中考数学常见易错知识点汇总(圆)

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初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总结及例题详解Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.圆的基本性质1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 .A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 .A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 .A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 .° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 .° ° ° °9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm..4 C D. 10点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .A.相离B.相切C.相交D.相交或相离2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 .个个个 D.不能确定•B • •CBAO• BO CA D•BOCAD•BOCADDC A O•DB C A O• DBCA O5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 不能确定6．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交8. 已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 .A.点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D.不能确定圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是 .A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外切B.相交C. 内切D. 内含4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外离B. 外切C.相交D.内切5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长43，则两圆的位置关系是 .A.外切B. 内切C.内含D. 相交6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为 .A. 1条条条条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.条 B. 2条 C. 3条 D. 4条6．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm,若O 1O 2=7cm,则这两个圆的公切线有条.条 B. 2条 C. 3条 D. 4条正多边形和圆1．如果⊙O 的周长为10πcm ，那么它的半径为 . A. 5cm 10 C.10cm πcm2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为 . A. 2 B. 3 D.23．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为 . A. 2 B. 1 C.2 D.34．扇形的面积为32π,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= . ° ° ° D. 120°5．已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为 . 212 D.R3 6．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= . A.2C π B.π2C C.π22C D.π42C7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 . :2 :3 C.3:2 :28. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .C π B. C π C. π2C D. πC9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为 . .4 C 2 310．已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为 . A. 3 B. 3 2 3。

九年级数学圆知识点总结

九年级数学圆知识点总结在九年级数学学习的过程中，我们接触到了许多关于圆的知识。

圆是几何学中的重要概念之一，它有着特殊的性质和应用价值。

接下来，本文将对九年级数学中的圆知识点进行总结。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点距离相等的点组成的图形。

这个给定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

2. 相关性质：- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的两倍。

- 圆的半径相等，且平行于任意切线。

- 圆的弦是连接圆上任意两点的线段，直径是最长的弦。

- 相等弧所对的圆心角相等，且圆心角大于它所对的弧上任意角。

二、圆的周长与面积1. 周长：- 弧长：圆的周长也被称为圆的周长，用C表示。

弧长是圆上一段弧的长度，计算公式为：C = 2πr，其中r是圆的半径。

- 弧度制：弧度制是角度的一种衡量方式，常用的单位是弧度（radian）。

一个完整的圆周对应的弧度数为2π。

2. 面积：- 圆的面积：用A表示，计算公式为：A = πr^2，其中r是圆的半径。

三、圆的位置关系1. 内切与外切：- 内切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心重合，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为内切圆。

- 外切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为外切圆。

2. 切线与割线：- 切线：从圆外一点引出的与圆相切的直线称为切线，切线与半径垂直。

- 割线：与圆相交于两点的直线称为割线。

四、圆的常见定理和应用1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么它与半径的垂直角都是直角。

2. 弧长与圆心角关系：弧长等于半径与对应圆心角的乘积。

3. 弧度制与角度制的转换关系：一周的弧度数为360°。

4. 圆心角、弦与弧的关系：圆心角的度数是对应的弧度数的两倍。

5. 弦切角定理：一个弦与切线所夹的角等于被切割的弧所对的圆心角。

中考数学圆的复习

中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。

斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。

考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。

考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。

考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。

考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

初中数学中考圆的知识点总结归纳(中考必备)

中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

九年级数学知识点总结圆

九年级数学知识点总结圆数学中的圆是我们学习的重要几何形状之一，也是九年级数学中的一个重要知识点。

学习圆的相关知识，不仅可以提高我们的几何直观能力，还有助于我们解决实际问题。

接下来，我们就一起来总结九年级数学中关于圆的知识点。

一、圆的概念及性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。

在圆上，我们常见的有圆心、半径、直径、弦、弧等概念。

1. 圆心：圆心是圆上离任何一点距离相等的点，通常用字母O 表示。

2. 半径：从圆心到圆上任一点的线段称为半径，通常用字母r 表示。

3. 直径：通过圆心的任意两点构成的线段称为直径，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。

4. 弦：在圆上任意选取的两点之间的线段称为弦。

5. 弧：在圆上两个点之间的曲线部分称为弧。

圆的性质有很多，比如圆心角是指圆上两条半径之间的夹角，它的度数等于它所对应的弧所对的圆心角的一半。

此外，对于一个圆，任意一条直径将圆分为两个相等的半圆，而一个圆只有一个圆心和一个半径。

圆的任意两条弦的长度相等，且直径是一个弦的最长长度。

二、圆的计算在九年级数学中，我们还需要学习如何计算与圆相关的一些特性，包括圆的周长和面积的计算。

1. 周长：圆的周长也被称为圆周长，通常用公式2πr表示，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。

2. 面积：圆的面积可以用公式πr²来计算，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。

三、圆的相交关系及定理在几何学中，圆与直线或其他圆的相交关系是我们需要掌握的重要知识。

1. 圆与直线的相交：若直线和圆有两个交点，则该直线被称为圆的切线，若直线与圆相交于两个不同的交点，则直线被称为圆的弦。

2. 圆与圆的相交：两个圆可以有三种相交关系，即相离、相切和相交。

当两个圆内部没有公共点时为相离，当两个圆的外切线只有一个公共点时为相切，当两个圆内外各有一个公共点时为相交。

在圆的相交关系中，我们还有一些重要的相关定理，比如切线定理和割线定理等，它们有助于我们计算圆内外的线段长度。

九年级圆的知识点难点

九年级圆的知识点难点圆是数学中重要的几何概念之一，在九年级的学习中，我们需要掌握圆的定义、性质以及相关的定理和公式。

本文将从这些方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识。

一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。

圆心到圆上任意点的距离称为半径，用字母r表示。

二、圆的性质1. 圆心角的度数等于所对弧的度数：圆心角是以圆心为顶点的角，对应的弧是在圆上的一段弧。

圆心角的度数等于所对弧的度数，即∠AOB = 弧AB的度数。

2. 圆上任意两点到圆心的距离相等：对于圆上的任意两点A、B，它们到圆心的距离都相等，即OA = OB。

3. 弦的性质：弦是圆上连接两点的线段。

在同一个圆或等圆上，两个弦AB和CD相等的充分必要条件是它们所对的弧相等（即弧AB = 弧CD）。

4. 切线的性质：切线是与圆只有一个交点的直线，与该交点处的切点垂直。

切线与半径的夹角为90度。

三、圆的定理和公式1. 圆的周长和面积计算公式：周长C = 2πr面积A = πr²2. 切线与半径的关系：切线长的平方等于从该切点到圆心的半径与与该切点所对的弧相乘，即t² = r * 弧AB。

3. 相交弦的性质：当两条弦AB和CD在圆的内部相交时，两弦的和乘积等于内接四边形ACBD的对角线的乘积，即AB * CD = AC * BD。

四、圆的难点对于九年级学生来说，圆的难点主要有以下几个方面：1. 圆心角和弧的度数之间的关系不易理解：学生需要通过具体的示例和练习，加深对圆心角和弧的度数之间的理解，并能在具体问题中正确运用。

2. 相交弦的性质的应用：学生在解题时需要辨别图中的相交弦，正确运用相交弦的性质来解题。

3. 切线与半径的关系：学生需要理解切线长的平方等于半径与切点所对弧的乘积这一关系，并能够运用到具体问题中。

4. 圆的推理证明题：学生需要通过大量的实践，熟练掌握圆的定理和性质，并能够灵活运用到推理证明题中。

九年级数学圆的知识点总结大全

一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径、圆周。

3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。

二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。

2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。

3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。

4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。

三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。

2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。

3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。

4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。

四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。

2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。

五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。

2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。

六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。

九年级常考的圆知识点总结

九年级常考的圆知识点总结圆是我们九年级数学中的一个重要知识点，也是经常出现在考试中的内容。

本文将对九年级常考的圆知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、圆的定义和性质圆是平面内所有与一个确定点距离相等的点构成的集合。

其中，确定的点称为圆心，相等的距离称为半径。

圆的性质有很多，包括以下几个重要的方面：1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离；3. 圆的半径垂直于切线；4. 圆的切线与半径的交角是直角；5. 圆的内接四边形的两对对边和相等。

二、圆的基本要素和计算1. 弧度制和度度量制弧度制是一种角度的计量单位，它是以圆的半径长的弧所对的圆心角来定义的。

与之相对的是度度量制，在度度量制中，一个圆被划分成360个度。

在解决圆的相关问题时，我们需要根据具体情况选择使用弧度制还是度度量制。

2. 圆的弧长和扇形面积当我们需要计算圆上两点之间的弧长时，可以使用下列公式进行计算：L = rθ，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对的圆心角的度数或弧度数。

而当我们需要计算一个扇形的面积时，可以使用下列公式：S = 0.5r²θ，其中S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示扇形所对的圆心角的度数或弧度数。

三、圆的位置关系和相交性质1. 相离和相切当两个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的；当两个圆只有一个公共切点时，我们称它们为相切的。

2. 相交和内切当两个圆有两个交点时，我们称它们为相交的；当一个圆完全包含在另一个圆内部，并且两个圆的圆心重合时，我们称它们为内切的。

四、圆的切线和切点1. 切线的性质圆的切线与半径的交角是直角，这是一个重要的性质。

同时，切线与半径的长度相等。

2. 切点的坐标计算当我们知道切线的方程和圆的方程时，可以通过联立两个方程来求解切点的坐标。

五、圆的证明问题圆的证明问题是考察同学们对圆性质的理解和运用能力的重要环节。

2022年最新中考数学知识点梳理考点17 圆(教师版)

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点17 圆考点总结一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵BC＝CD，∴BĈ=CD̂，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC=12∠DAB＝20°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，故选：D．2．（2021•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC 和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y ﹣x ＝18°，在△ANM 中，∠NAM +∠ANM ＝180°﹣108°，∴x +2y ＝72°，{y −x =18°2y +x =72°，解得{x =12°y =30°， ∴∠BAC ＝4x ＝48°．故选：B ．3．（2021•桥东区二模）如图，点O 为△ABC 的内心，∠B ＝58°，BC ＜AB ，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且∠MON ＝122°．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：OM ＝ON ；乙：四边形OMBN 的面积是定值；丙：当MN ⊥BC 时，△MON 的周长取得最小值．则下列说法正确的是（）A ．只有甲正确B ．只有丙错误C ．乙、丙都正确D ．甲、乙、丙都正确【分析】过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，根据三角形内心可得OD ＝OE ，然后证明△DON ≌△EOM ，可得ON ＝OM ；连接OB ，根据△DON ≌△EOM ，可得四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，根据点D 的位置固定，可得四边形OMBN 的面积是定值；过点O 作OF ⊥MN 于点F ，根据ON ＝OM ，∠MON ＝122°，可得∠ONM ＝29°，MN ＝2NF ＝2ON cos29°，所以△MON 的周长＝2ON （cos29°+1），可得当ON 最小时，即当ON ⊥BC 时，△MON 的周长最小值，进而可得结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，∵点O 为△ABC 的内心，∴OB 是∠ABC 的平分线，∴OD ＝OE ，∵∠B ＝58°，∴∠DOE ＝122°，∵∠MON ＝122°，∴∠DON ＝∠EOM ，在△DON 和△EOM 中，{∠DON =∠EOMOD =OE ∠NDO =∠MEO，∴△DON ≌△EOM （ASA ），∴ON ＝OM ，所以甲的判断正确；连接OB ，∵△DON ≌△EOM ，∴四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，∵点D 的位置固定，∴四边形OMBN 的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O 作OF ⊥MN 于点F ，∵ON ＝OM ，∠MON ＝122°，∴∠ONM ＝29°，∴MN＝2NF＝2ON cos∠ONM＝2ON cos29°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ON cos29°+2ON＝2ON（cos29°+1），∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误．综上所述：说法正确的是甲、乙．故选：B．4．（2021•开平区一模）如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．【解答】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故选：C．5．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．故选：B．6．（2021•河北模拟）有一题目：已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2√3，求∠A的度数．嘉嘉这样求解：如图，作直径CD，点A在BDĈ上，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，在Rt△BCD中，∵sin D=BCCD=2√34=√32，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．琪琪说：“嘉嘉的答案不全，∠A还有一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．嘉嘉的答案没有遗漏B．嘉嘉的结果错误，∠A＝30°C．琪琪的说法错误D．琪琪的说法正确，还有一个答案为120°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．故选：B．8．（2021•桥东区二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=12OB•AD=14，即可得出答案．【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ，∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14，∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3，故选：A ．9．（2021•顺平县二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是△ABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（）A ．√32B ．√2C ．12D ．1【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到△ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形，∴AM ＝AN ，MB ＝BN ，∴AB ⊥MN ，∴△ABC 为直角三角形，∵G 是AN 的中点，GE ∥BC ，∴点E 是△ABC 斜边的中点，∴△ABC 的外心是斜边的中点，即点E ，∴E 到AB 的距离1，故选：D ．10．（2021•河北模拟）如图，取正六边形ABCDEF 的各边中点并依次连接，得到正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，再取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边中点并依次连接，得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，则正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比为（）A ．12B ．23C ．34D ．45 【分析】如图，设AF 1＝FF 1＝a ，求出AF ，F 2E 2（用a 表示），可得结论．【解答】解：如图，设AF 1＝FF 1＝a ，∵∠A ＝120°，AA 1＝AF 1＝a ，∴A 1F 1=√3a ，∴A 1F 2＝F 2F 1=√32a ，∵∠F 2F 1E 2＝120°，∴F 2E 2=√3F 2F 1=32a ，∴A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比=32a ：2a ＝3：4，故选：C ．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）正多边形的外角为120度，边长为m ，则这个正多边形的面积是√34m 2 ．【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【解答】解：正多边形的边数是：360÷120＝3．等边三角形的边长为2cm ，所以正六边形的面积=12×m ×m ×√32=√34m 2．故答案为：√34m 2． 12．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，连结GF 、FE ，当∠D ＝60°时，∠GFE ＝ 30 °．【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD ＝∠D ＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GAD ＝∠D ＝60°，∴∠GFE =12∠GAE =12×60°＝30°．故答案为30．13．（2021•长安区二模）如图，正方形ABCD 和正六边形AEFCGH 均内接于⊙O ，连接HD ；若线段HD 恰好是⊙O 的一个内接正n 边形的一条边，则n ＝ 12 ．【分析】连接OH 、OD 、OA ，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA ＝60°，∠DOA ＝90°，∠DOH ＝∠DOA ﹣∠HOA ＝90°﹣60°＝30°，然后计算n ．【解答】解：连接OH 、OD 、OA ，如图，∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，∴∠HOA=360°6=60°，∠DOA=360°4=90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，∴n=360°30°=12，即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为12．14．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是√552，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是√552−√5，最大值是√552+√5．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC=12AB=32，由勾股定理得，OC =√OB 2−BC 2=√552，由勾股定理得，OD =√22+12=√5，当点D 在直线OC 上时，点D 到AB 的距离的最小或最大，∴点D 到AB 的距离的最小值为√552−√5，点D 到AB 的距离的最大值为√552+√5，故答案为：√552；√552−√5；√552+√5．15．（2021•石家庄一模）如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝ 140 °．【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA ＝∠BAE ＝70°，求出∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF ＝∠FCB ＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．【解答】解：∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED =12（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°，∴∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，∵点F 为△ADE 的外心，∴AF ＝EF ，AF ＝DF ，∴点F 在AE 的垂直平分线上，同理点B 在AE 的垂直平分线上，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠EBF =12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案为：140．三．解答题（共3小题）16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ，（1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN ．证明△DPM ≌△CPN （ASA ），推出PM ＝PN ，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN ．∵PM ⊥PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠CPD ＝∠MPN ，∴∠DPM ＝∠CPN ，∵DM ⊥PD ，PC ⊥OA ，∴∠PDM ＝∠PCN ＝90°，在△PDM 和△PCN 中，{∠PDM =∠PCNPD =PC ∠DPM =∠CPN，∴△DPM ≌△CPN （ASA ），∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE ＝15°，∴∠CPE ＝90°﹣15°＝75°，∴S 扇形PEC =75×π×22360=5π6．17．（2021•滦州市一模）如图，AM ∥BN ，AB ⊥BN ，点C 在射线BN 上且∠ACB ＝50°，BQ ⊥AC于点Q ，点P 是线段QA 上任意一点，延长BP 交AM 于点D ，AB ＝6．（1）若点P 为AC 中点，求证：△APD ≌△CPB ；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求∠PBC 的度数；（3）直接写出△PBC 的外心运动的路径长．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法：ASA即可得到结论；（2）分三种情况：当PC＝PB时，当BC＝BP时，当BC＝BP时，分别计算即可；（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ＝x，AQ＝y，设△PBC外心运动路径长为h，外心一定在直线l1上，根据三角函数可得答案．【解答】解（1）∵P为AC中点，∴PA＝PC，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠APD，∴△APD≌△CPB（ASA）．（2）当PC＝PB时，∠PBC＝∠ACB＝50°，当CP＝CB时，∠PBC＝∠CPB=180°−50°2=65°，当BC＝BP时，∠PBC＝108﹣2x50＝80°，综上：∠PBC＝50°或65°或80°．（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ ＝x ，AQ ＝y ，∴EF =x+y 2−x 2=y 2，设△PBC 外心运动路径长为h ，外心一定在直线l 1上，∵∠CFT ＝∠CAB ＝40°，∴cos40°＝（y 2）÷h =AB AC =AQ AB =y 6， ∴y 2÷h ＝y ÷6， ∴h ＝3，故△PBC 的外心运动的路径长为3．18．（2021•南皮县一模）如图，射线AM ⊥AB ，O 是AM 上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径，在AM 上方作半圆AOC ，BE 与半圆相切于点D ，交AM 于点E ，EF ⊥BO 于点F ．（1）求证：BA ＝BD ；（2）若∠ABE ＝60°，①判断点F 与半圆AOC 所在圆的位置关系，并说明理由；②若AB =√3，直接写出阴影部分的面积．【分析】（1）由切线长定理可得出答案；（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，∴BA是半圆的切线，切点为A，又∵BE与半圆相切于点D，∴BA＝BD；（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：∵∠ABE＝60°，∴∠BEA＝30°，又∵OBA＝∠OBE=12∠ABE＝30°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE，又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，∴△OBA≌△OEF（AAS），∴OF＝OA，∴点F在半圆AOC所在的圆上；②连接OD，则OD⊥BE，∵OB＝OE，∴DE＝BD＝AB=√3，∵∠OBA＝30°，∴OD＝OA＝AB•tan30°=√3×√33=1，2 360=√32−π6．∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD=12×√3×1−60π×1。

圆易错知识点总结

圆易错知识点总结一、圆的基本概念1、圆圆是由平面上距离给定一点不超过定值的点的全体组成。

2、圆心圆上所有点到圆心的距离相等。

3、半径圆心到圆上任意点的距离称为半径，通常用字母“r”表示。

4、直径过圆心并且两点在圆上的线段叫做直径，直径长是半径长的两倍。

5、弧圆上的一段是弧，通常用字母“s”表示。

6、弦连接圆周上两点的线段叫做弦。

7、切线与圆只有一个公共点的线叫做切线。

8、弦长弦的长度叫做弦长。

9、弧长圆上的一段弧对应的弧长。

10、圆周长圆的周长叫做圆周长，通常用字母“C”表示。

二、圆周角1、圆周角定义中心角的顶点落在圆的周上，角的两边是圆的两条切线，圆周角的大小等于它所对的弧所对的圆心角所对的圆周的两倍。

2、圆周角的性质如果已知圆周角的大小，它所对的弧的长度与它所对的圆心角的大小可以计算出来。

如果已知圆周角所对的弧的长度，它的大小可以通过它所对的圆心角大小的两倍得到。

3、圆周角的计算如果已知圆周角所对的弧长s，圆周角的大小可以通过如下公式计算：θ = \dfrac{s}{r}，其中θ是圆周角的大小，s是弧长，r是半径。

三、圆心角1、圆心角定义连接圆周上任意两点与圆心的两条线段所成的角叫做圆心角，它是圆的一个特殊的角。

2、圆心角的性质如果已知圆心角的大小，它所对的弧所对的圆周的长度可以通过它所对的弧的两倍得到。

如果已知圆心角所对的弧的长度，它的大小可以通过它所对的弧的一半得到。

3、圆心角的计算如果已知圆心角的大小θ，它所对的弧长s和半径长r的关系可以通过如下公式计算：s = θr，其中s是弧长，θ是圆心角的大小，r是半径。

四、圆周长1、圆周长的定义圆周长是圆的周长，它等于弧长的总和。

2、圆周长的计算圆周长的大小可以通过半径长和直径长计算得到。

如果已知半径r，圆周长C可以通过如下公式计算：C = 2πr；如果已知直径d，圆周长C可以通过如下公式计算：C = πd。

五、圆的面积1、圆的面积的定义圆的面积是圆内部的面积，它等于圆心周围划定的圆周的面积。

(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典

∴ PA2 PC PB
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
（ 4 ）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图）。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆于 E，求 DE： AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
C
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
C
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
B
A
推论 1：（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结

中考数学圆题型大归纳

中考数学圆题型大归纳
中考数学中关于圆的题型涵盖了很多内容，主要涉及圆的性质、圆的面积与周长、相交定理等方面。

下面对中考数学中常见的圆题型进行大归纳：
一、圆的性质题型：
1. 圆的基本概念：圆的半径、直径、周长、面积等概念的理解和计算；
2. 圆心角与弧度的关系：圆心角的大小和对应弧的关系，以及圆心角的计算；
3. 圆内接四边形：正方形、矩形、菱形等图形的性质及相关计算；
4. 圆的切线与切点：切线的性质、切线与半径的关系，以及切点的判定方法。

二、圆的面积与周长题型：
1. 圆的面积计算：根据圆的半径或直径计算圆的面积；
2. 圆的周长计算：根据圆的半径或直径计算圆的周长；
3. 圆与多边形的面积比较：圆与正方形、正三角形等图形的面积比较和计算；
4. 圆的面积与周长的关系：圆的面积与周长的计算及应用。

三、圆的相交定理题型：
1. 同弧的圆周角：同弧的圆周角的性质和计算方法；
2. 圆的相交性质：相交弧的关系、相交角的计算等；
3. 圆的切线定理：圆的切线与切点的性质、切线长度的计算方法；
4. 圆的交点的计算：两个圆的交点的计算和判定方法。

以上是中考数学中关于圆的题型的大致分类和内容归纳，希望对你的学习有所帮助。

在备考中考数学的过程中，重点理解圆的基本性质和计算方法，灵活运用各种定理和公式，多做相关的练习题目，扎实掌握圆的相关知识，相信你一定能在考试中取得优异的成绩。

祝你学业有成，考试顺利！。

九年级上数学圆知识点归纳总结

九年级上数学圆知识点归纳总结数学是一门与实际生活密切相关的学科，其中的圆是一个非常重要的概念。

在九年级上学期，我们学习了关于圆的各种性质和定理。

在本文中，我将对九年级上学期数学中的圆知识点进行归纳总结。

一、圆的定义和性质圆是由平面上到一个固定点的距离等于定值的点的集合。

圆的性质有：1. 圆的半径是任意两点间的距离。

2. 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。

3. 圆的弦是连接圆上两点的线段。

4. 圆的弧是连接圆上两点的一段。

二、圆的元素及关系1. 圆心：圆中心点的位置，通常用大写拉丁字母O表示。

2. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

3. 直径：通过圆心的线段，两端点都在圆上，通常用小写字母d表示。

直径等于半径的两倍。

4. 弦：连接圆上任意两点的线段。

5. 弧：圆上的一段曲线，通常以两个端点来表示。

6. 弧长：弧所对应的圆心角的度数的长度。

7. 圆周：圆的边界，也是一个圆的周长。

8. 弦的性质：等长的弦对应的圆心角相等；等长的弧所对应的圆心角相等。

三、弦长和弧长的计算公式1. 弦长公式：如果弦的两边对应的圆心角是θ度，半径为r，则弦的长度L等于2πr(θ/360°)。

2. 弧长公式：如果一个弧所对应的圆心角是θ度，半径为r，则弧长S等于2πr(θ/360°)。

四、切线和切点1. 切线：与圆相切于圆上某一点的直线。

切线与半径垂直。

2. 切点：切线和圆相切的点。

五、圆与角的关系1. 圆心角：以圆心为顶点的角，其两边是由圆弧所确定。

2. 弧度制与角度制的换算：弧度制：以半径等于1的圆为单位圆时所对应的圆心角的弧长。

角度制：一个圆的周长的360分之一。

弧度制和角度制的转换公式：θ(弧度制) = θ(角度制) * π/180°。

六、圆的相交关系1. 外切：两个圆只有一个公共切点。

2. 内切：一个圆完全位于另一个圆的内部，并且两个圆有唯一的公共切点。

中考圆中优弧劣弧易错分类问题

中考圆中优弧劣弧易错分类问题中考圆中优弧劣弧易错分类问题中考数学中，有一个非常容易被考察到的知识点，那就是圆中优弧劣弧易错分类问题。

由于该问题的特殊性质，很多学生容易混淆或者记不清楚。

下面就将该问题进行详细的分类和解析，希望能够对广大考生有所帮助。

1.圆的性质首先，需要了解圆的性质。

圆是由平面上所有到圆心的距离都相等的点组成的集合。

圆的周长和面积也具有一定的关系：周长是圆的直径的π倍，面积是半径的平方乘以π。

2.弧的分类圆上的弧是指圆周上两点之间的一段弧线。

根据弧线所处的位置、大小和圆心角的大小，弧可以分为优弧和劣弧。

（1）优弧优弧是指圆周上两点间的弧线小于半个圆（即夹角小于180度）的一段，数学符号是AB<sub>α</sub>，其中α是圆心角的度数。

除了满足上述条件之外，优弧还需要满足弧线顺时针的方向是从圆心角的起点指向圆心角的终点。

（2）劣弧劣弧是指圆周上两点间的弧线大于半个圆（即夹角大于180度）的一段，数学符号是AB<sub>α</sub>，其中α是圆心角的度数。

除了满足上述条件之外，劣弧还需要满足弧线顺时针的方向是从圆心角的终点指向圆心角的起点。

3.易错点根据以上所述，我们可以初步了解圆的优弧和劣弧的分类问题。

在真正的考试中，以下是常见易错点：（1）混淆优弧和劣弧由于优弧与劣弧的命名并不含有具体的大小信息，所以一些考生非常容易混淆此两种弧线。

应该强调的是，优弧是小于半圆的一段弧，而劣弧是大于半圆的一段弧。

所以，在解题时一定要严格遵照定义。

（2）不理解“当α=180度时，弧长为πR”α为圆心角的度数，可以用α°表示，或者用α∠AOC表示，其中A和C是弧AB所在圆的两端点，O是圆心。

应该注意的是，当α=180度时，即所谓的整圆，弧AB的长度就等于圆的周长。

根据周长公式，周长等于直径的π倍。

（3）不理解优弧顺是顺时针方向，劣弧是逆时针方向这是很多人容易犯的一个错误。

2024中考数学易错题专题易错06 圆(六大易错分析+举一反三+易错题通关)(解析版)

易错06圆易错点一：忽略了两个圆周角易错提醒：在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。

例1．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60o B．120oC．60o或120o D．30o或150o【答案】C【详解】作OD⊥AB,如图，∵点P 是弦AB 上的动点，且12OP ££， ∴OD =1，30OAB \Ð=o ， 120AOB \Ð=o ， 1602AEB AOB \Ð=Ð=o ， 180E F Ð+Ð=o Q ，120.F \Ð=o即弦AB 所对的圆周角的度数为60o 或120.o故选C.点睛：圆内接四边形的对角互补.例2．在半径为1的O e 中，弦AB =，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）．A ．45°B ．30°C ．45°或135°D ．60°或120°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握一条弦所对的圆周角有两种情况是解答本题的关键．连结OA ，OB ，先根据勾股定理的逆定理得到90AOB Ð=°，再根据圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情况，分别求出弦AB 所对的圆周角的度数即可．【详解】如图，连结OA ，OB ，=1OA OB =Q ，AB ，222+OA OB AB \=，90AOB Ð=°∴，当圆周角的顶点在优弧上时，1452ADB AOB Ð°=Ð=，当圆周角的顶点在劣弧上时， 90AB =°，36090270ADB \=°-°=°，135ADB \Ð=°综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数为45°或135°．故选C ．变式1．圆中一条弦所对的圆心角是30°，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】15°或165°【分析】本题考查圆周角定理，分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况进行讨论即可．解题时，要注意分类讨论．【详解】解：当弦所对的弧为劣弧时，∵该弦所对的圆心角是30°，∴这条弦所对的圆周角的度数是15°；当弦所对的弧为优弧时，则：这条弦所对的圆周角的度数是18015165°-°=°；故答案为：15°或165°．变式2．已知AB 为e O 的弦，沿AB 折叠e O ，圆心O 恰好落在e O 上，则弦AB 所对的圆周角的度数为．【答案】60°或120°【分析】本题考查了折叠的性质，圆的基本概念，等边三角形的性质，解题关键是“数形结合”．由沿AB 折叠e O ，圆心O 恰好落在e O 上点O ¢，可得OBO ¢△是等边三角形，即可得AOB Ð，再由圆的基本概念即可求解．【详解】解：沿AB 折叠e O ，圆心O 恰好落在e O 上点O ¢，OO ¢交AB 于点C 如图：由折叠可得：,OB O B OA O A ¢¢==，OB O B OO ¢¢\==，OBO ¢\V 是等边三角形，60O OB ¢\Ð=°，120AOB \Ð=°，\弦AB 所对的圆周角的度数为：60°或120°故答案为：60°或120°变式3．如图，O e 的半径为1，AB 是O e 的一条弦，且=1AB ，则弦AB 所对的圆周角的度数为．【答案】30°或150°【分析】连接OA ，OB ，判定AOB △是等边三角形，再根据圆周角定理可得1==302C AOB ÐÐ°，根据圆内接四边形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图：连接OA ，OB ，在优弧AB 上取一点C ，在劣弧AB 上取一点D ，1AB =Q ，O e 的半径为1，OA OB AB \==，AOB \V 是等边三角形，=60AOB \Ð°，∴1==302C AOB ÐÐ°，=180=150ADB C \Ð-Ð°°，∴弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．变式4．线段AB 是圆内接正十边形的一条边，则AB 所对的圆周角的度数是度．【答案】18或162/162或18【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【详解】解：如下图，圆内接正十边形的边AB 所对的圆心角1=36010=36Ð°¸°，则2=36036=324Ð°-°°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，AB 所对的圆周角的度数是136=182°´°或1324=1622°´°．故答案为：18或162．【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的关系，并要注意分两种情况讨论．1．已知弦AB 把O e 的周长分成1:3的两部分，则弦AB 所对的圆周角的度数为．【答案】45°或135°【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦AB 把圆周分成1:3两部分，求得AOB Ð的度数，又由圆周角定理，求得ACB Ð的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得ADB Ð的度数，继而可求得答案．【详解】解：Q 弦AB 把O e 分成1:3两部分，1360904AOB \Ð=´°=°，1452ACB AOB \Ð=Ð=°，Q 四边形ADBC 是O e 的内接四边形，180135ADB ACB \Ð=°-Ð=°．\弦AB 所对的圆周角的度数为45°或135°，故答案为45°或135°．2．已知AB 是半径为6的圆的一条弦，若AB =AB 所对圆周角的度数是（）A ．60°B ．30°或150°C ．60°或120°D ．120°【答案】C【分析】根据垂径定理和正弦定义求得60AOC Ð=°，进而得到AOB Ð的度数，再根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补求解即可．【详解】解：如图，OC AB ^于C ，则12AC BC AB ===在Rt OAC V 中，OA =AC =∴sin AC AOC OA Ð==，∴60AOC Ð=°，∵OA OB =，OC AB ^，∴60BOC AOC Ð=Ð=°，∴2120AOB AOC Ð=Ð=°，∴1602ADB AOB Ð=Ð=°，∵四边形ADBE 是圆内接四边形，∴180120AEB ADB Ð=°-Ð=°，故AB 所对圆周角的度数是60°或120°，故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．3．在半径为5的O e 中，弦5AB =，则弦AB 所对的圆周角的度数为．【答案】30°或150°【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补；弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°．【详解】解：如图，弦AB 所对的圆周角为C Ð，D Ð，连接OA 、OB ，因为5AB OA OB ===，所以，60AOB Ð=°，根据圆周角定理知，1302C AOB Ð=Ð=°，根据圆内接四边形的性质可知，180150D C Ð=°-Ð=°，所以，弦AB 所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．4．在O e 中，84AOB Ð=°，则弦AB 所对的圆周角的度数为．【答案】42°或138°【分析】画出图形，可知弦AB 所对的圆周角有两个，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，“圆的内接四边形对角互补”即可求解，本题考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是注意弦所对的圆周角有两个，且互补．【详解】解：如图，ACB Ð和ADB Ð都是弦AB 所对的圆周角，Q 弦AB 所对的圆心角84AOB Ð=°，\ACB Ð1422AOB =Ð=°，Q 四边形ADBC 是O e 的内接四边形，\180ADB ACB Ð+Ð=°，\180138ADB ACB Ð=°-Ð=°，故答案为：42°或138°．5．已知⊙O 半径为r ，弦AB ＝r ，则AB 所对圆周角的度数为．【答案】30°或150°【分析】先计算出AOB Ð的度数，根据圆周角定理即可求出C Ð的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得的ADB Ð度数，这两个角都是弦AB 所对的圆周角．【详解】解：如图，O e 中 OA OB AB ==，∴60AOB Ð=°， ∴1302C AOB ==°∠∠，∵四边形ACBD 是O e 的内接四边形，∴180C ADB Ð+Ð=°，∴ADB Ð=18030150°-°=°，∴弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．注意：圆当中一条弦对了两条弧，也就对了两个圆周角，做题时防止漏掉一个解．6．如图，四边形ABCD 内接于O e ，4OC =，AC =(1)求点O 到AC 的距离；(2)求出弦AC 所对的圆周角的度数．【答案】(1)(2)∠B =45°，∠D =135°．【分析】（1）连接OA ，作OH ⊥AC 于H ，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC =90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B ，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】（1）连接OA ，作OH ⊥AC 于H ，∵4OA OC ==，AC =，∴22224432OA OC +=+=，232AC ==， ∴OA 2+OC 2=AC 2，∴△AOC 为等腰直角三角形，90,AOC Ð=° 又∵OH AC ^，∴AH CH =，∴OH =12AC =O 到AC 的距离为；（2）90,AOC Ð=°Q\ ∠B =12∠AOC =45°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D =180°-45°=135°．综上所述：弦AC 所对的圆周角∠B =45°，∠D =135°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．7．如图，四边形ABCD 内接于4O OC AC ==，，e ．(1)求点O 到AC 的距离；(2)直接写出弦AC 所对的圆周角的度数．【答案】(1)点O 到到AC 的距离为(2)弦AC 所对的圆周角的度数为45°或135°【分析】（1）过点O 作OE AC ^于点E ，利用勾股定理求解即可；（2）连接OA ，利用圆周角定理求出B Ð，再利用圆内接四边形的性质求出ADC Ð即可．【详解】（1）解：过点O 作OE AC ^于点E ，则12CE AC =，∵AC =∴CE =，在Rt OCE V 中，4OC =，∴OE ===∴点O 到到AC 的距离为；（2）解：连接OA ，由（1）知，在Rt OCE V 中，OE CE =，∴45OCE EOC Ð=Ð=°，∵OA OC =，∴45OAC OCA Ð==°，∴=90AOC Ð°，∴45B Ð=°，∴180********ADC B Ð=°-Ð=°-°=°,∴弦AC 所对的圆周角的度数为45°或135°．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．易错点二：忽略两弦与圆心的位置易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．例3．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．【答案】70或170/170或70【分析】过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可．【详解】解：如图所示：,OE CD OF AB ^^，由题意=100cm AB ，=240cm CD ，根据垂径定理，1120cm 2DE CD ==，150cm 2BF AB ==，直径为260cm ，半径130cm OD OB ==，\在Rt OED V 中，222221*********OE OD DE =-=-=,\50cmOE =\在Rt OFB △中，222221305014400OF OB BF =-=-=,\120cmOF =①当CD 在圆心下方时，1205070cmEF OF OE =-=-=②当CD 在圆心上方时，12050170cmEF OF OE =+=+=故答案为：70或170【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．例4．已知⊙O 的直径为20， AB ， CD 分别是⊙O 的两条弦，且AB//CD ，AB=16，CD=10，则AB ，CD 之间的距离是．【答案】6-或【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE CD ^，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OA ，OC ，由AB //CD ，得到OF AB ^，利用垂径定理得到E 与F 分别为CD 与AB 的中点，在直角三角形AOF 中，利用勾股定理求出OF 的长，在三角形COE 中，利用勾股定理求出OE 的长，由OE OF -即可求出EF 的长；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理由OE OF +求出EF 的长即可．【详解】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE AB ^，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OA ，OC ，AB //CD Q ，OE CD \^，∴F 、E 分别为AB 、CD 的中点，1AF BF AB 82\===，1CE DE CD 52===，在Rt COE V 中，OC 10=，CE 5=，根据勾股定理得：OE =，在Rt AOF V 中，OA 10=，8AF =，根据勾股定理得：OF =，则6EF OE OF =-=-；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理可得6EF OE OF =+=，综上，弦AB 与CD 的距离为6或6，故答案为：6或6．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．变式1．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =，则AB 和CD 之间的距离为．【答案】【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．【详解】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，OE \==在Rt OCF V 中，4OC ==Q ，C FOF \==当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF OF OE =+=当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF OF OE =-=即AB 和CD 之间的距离为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式2．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN 为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB 上升（）A ．1分米B ．4分米C ．3分米D ．1分米或7分米【答案】D 【分析】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【详解】解：连接OA ．作OG ⊥AB 于G ，则在直角△OAG 中，AG ＝3分米，因为OA ＝5分米，根据勾股定理得到：OG ＝4分米，即弦AB 的弦心距是4分米，同理当油面宽AB 为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O 时，油上升了1分米；当油面超过圆心O 时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理,灵活运用是本题解题关键,注意要分类讨论.变式3．⊙O 的半径是10，弦AB CD ∥，1612AB CD ==，，则弦AB 与CD 的距离是（）A ．2B ．14C ．2或14D ．7或1【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用．作OE AB ^于E ，OF CD ^于F ，由垂径定理得118622AE AB CF CD ====，，由于AB CD ∥，易得E 、O 、F 三点共线，在Rt AOE △和Rt OCF V 中，利用勾股定理分别计算出OE 与OF ，然后讨论：当圆心O 在弦AB 与CD 之间时，AB 与CD 的距离OF OE =+；当圆心O 在弦AB 与CD 的外部时，AB 与CD 的距离OF OE =-．【详解】解：如图，作OE AB ^于E ，OF CD ^于F ，连10OA OC OA OC ==，，，则118622AE AB CF CD ====，，∵AB CD ∥，∴E 、O 、F 三点共线，在Rt AOE △中，6OE ===，在Rt OCF V 中，8OF ===，当圆心O 在弦AB 与CD 之间时，AB 与CD 的距离8614OF OE +=+=；当圆心O 在弦AB 与CD 的外部时，AB 与CD 的距离862OF OE -=-=．所以AB 与CD 的距离是14或2．故选：C ．变式4．已知O e 的半径为13，弦AB 平行于CD ，1024CD AB ==，，求AB 和CD 之间的距离．【答案】AB 和CD 之间的距离为7或17【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当O e 的圆心O 位于AB 、CD 之间时，当O e 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O 到AB 和CD 的距离，据此可得答案．【详解】解：如图，当O e 的圆心O 位于AB 、CD 之间时，作OE AB ^于点E ，并延长EO ，交CD 于F 点．分别连接AO 、CO ．∵AB CD P ，∴EF CD ^，∵1024CD AB ==，，∴1112522AE AB CF CD ====，，在Rt AEO △中，由勾股定理得5OE ==，在Rt CFO △中，由勾股定理得12OE ==，∴51217EF OE OF =+=+=，∴AB 和CD 之间的距离为17；如图所示，当O e 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间（即弦AB 、CD 在圆心O 的同侧）时，同理可得：125OF OE ==，，∴7EF OF OE =-=，∴AB 和CD 之间的距离为7；综上所述，AB 和CD 之间的距离为7或17．1．在半径为4cm 的O e 中，弦CD 平行于弦AB ，AB =，90BOD Ð=°，则AB 与CD 之间的距离是 cm ．【答案】2或2【分析】根据题意，分析两种AB 的位置情况进行求解即可；【详解】解：①如图，AB //CD ，过点O 作GH AB GH CD^^、在O e 中∵90BOD Ð=°，GH AB GH CD^^、∴90GOB DOH Ð+Ð=°∴GOB ODHÐ=Ð∵OGB DHOGOB ODHOB ODÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ΔΔGOB DHO AAS @∴BG OH=∵OG AB^∴12OH BG AB ===∴2OG ===∴2GH OH OG =+=∵AB //CD∴AB 与CD 之间的距离即GH∴AB与CD 之间的距离为2+②如图，作OF AB PD AB ^^、，连接AD则有四边形PEFD 是矩形，∴EF =PD∵90BOD Ð=°∴45BAD Ð=°∵PD AB^∴AP PD =∵OF AB^∴12BE AB ==∴2OE===∵222OD OF FD =+∴()()22242PD PD=++∴2PD =故答案为：2或2-【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．2．已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为17cm ，30AB cm =，16CD cm =，则AB 、CD 间的距离为．【答案】7或23【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可．【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时：Q AB 、CD 是⊙O 的两条平行弦，\过圆心作MN 分别垂直于AB 、CD ，则根据垂径定理可得：15BN =，8DM =，在Rt DMO △中，15OM ===；同理在Rt BNO V 中，8ON ===；则15823MN =+=，同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，1587MN =-=，故答案为：7或23．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．3．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，CD ＝8．AB ＝10，则CD 与AB 之间的距离是．【答案】3【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，CD＝4，连接OC，如图，则CH＝DH＝12在Rt△OCH中，OH＝3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．4．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为A．7B．17C．5或12D．7或17【答案】D【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt △OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD 的距离．【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEA中，由勾股定理可得：OE2=OA2-AE2∴在Rt△OFC中，由勾股定理可得：OF2=OC2-CF2∴∴EF=OE+OF=17AB与CD的距离为17；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE=5，OF=12；则AB与CD的距离为：OF-OE=7；故答案为：17或7．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1或7B．7C．1D．3或4【答案】A【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE==3，在Rt△OFA中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF==4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB 、CD 在圆心同侧时；同①可得：OE ＝3，OF ＝4；则AB 与CD 的距离为：OF ﹣OE ＝1；综上所述：AB 与CD 间的距离为1或7．故选：A.【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.6．已知O e 的半径长为5R =，弦AB 与弦CD 平行，6AB =，8CD =，求,AB CD 间的距离．【答案】1或7【分析】先根据勾股定理求出OF=4，OE=3，再分AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 在点O 的两侧时两种情况分别计算求出EF 即可.【详解】如图，过点O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于点F ，∵//AB CD ，∴OE ⊥AB ，在Rt △AOF 中，OA=5，AF=12AB=3，∴OF=4，在Rt △COE 中，OC=5，CE=12CD=4，∴OE=3，当AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 间的距离EF=OF-OE=4-3=1；当AB 、CD 在点O 的两侧时，AB 、CD 间的距离EF=OE+OF=3+4=7，故答案为：1或7.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.7．已知O e 的半径为5cm ，弦//AB CD ，6cm AB =，8cm CD =，求AB 与CD 间的距离．【答案】7cm 或1cm【分析】有两种情况，即AB ，CD 在圆心O 的同侧或两侧两种情况，需分类讨论．【详解】解：如图①，过O 作OF AB ^于F 交CD 于E ，连接OA ，OC ，//AB CD Q ，OE CD \^；由垂径定理得132AF FB AB ===，142CE DE CD ===，4OF \，3OE ==，1EF OF OE cm \=-=；如图②，过O 作OF AB ^于F ，OE CD ^于E ，连接AO ，CO ，同理可得4OF cm =，3OE cm =，当AB ，CD 在圆心O 的两侧时，7()EF OF OE cm =+=，AB \与CD 的距离为7cm 或1cm ．【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB 、CD 的位置关系有两种，不要漏解．易错点三：理解不准确切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．切线性质定理及推论：①圆的切线垂直于过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心易错提醒：运用判定和性质时，要严格根据方法及定理进行说明，不能凭主观进行判断．例5．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^，垂足为点E ，DF 为O e 的切线，AF 交CD 于点G ，若3AE =，43BE =，FD FG =，则AGGF =（）A ．165B ．3C ．103D ．247【答案】C【分析】本题考查圆的相关知识，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质．连接OD ，由题意易证O e 的半径长，从而在Rt ODE △中，求得2ED ==．由DF 是O e 的切线，得到90ODE CDF Ð+Ð=°，又90EAG AGE Ð+Ð=°，CDF FGD AGE Ð=Ð=Ð，得到EAG EDO Ð=Ð，从而∴AEG DEO V V ∽，根据对应边成比例求得54EG =，进而34DG ED EG =-=，过点F 作FM CD ^于点M ，根据“三线合一”可得1328GM GD ==，因此由AEG FMG V V ∽即可解答．【详解】连接OD ，∵3AE =，43BE =，∴413333AB AE EB =+=+=，∴O e 的半径1113132236OD OA AB ===´=．∴135366OE AE AO =-=-=，∵CD AB ^，即90AED Ð=°∴在Rt ODE △中，2ED ===，∵DF 是O e 的切线，∴OD DF^∴90ODF Ð=°，即90ODE CDF Ð+Ð=°，∵90AEG Ð=°，∴90EAG AGE Ð+Ð=°，∵FD FG =，∴CDF FGD AGE Ð=Ð=Ð，∴EAG EDO Ð=Ð，∵90AEG DEO Ð=Ð=°，∴AEG DEO V V ∽，∴AE EG DE EO=，即3526EG=，∴54EG =，∴53244DG ED EG =-=-=．过点F 作FM CD ^于点M ，∵FD FG =，∴11332248GM GD ==´=，∵AGE FGM Ð=Ð，90AEG GMG Ð=Ð=°，∴AEG FMG V V ∽，∴5104338AG EG FG MG ===．故选：C例6．如图，AC 是O e 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A Ð=°，AB OC ==BC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．4【答案】B【分析】本题考查切线性质、正切定义、勾股定理，连接OB ，先根据切线性质得到90OBA Ð=°，再利用正切定义求得OB ，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接OB ，∵AC 是O e 的切线，∴90OBA OBC Ð=Ð=°，∵30A Ð=°，AB OC ==∴tan30OB AB =×°=∴BC ==故选：B ．变式1．（1）如图①，ABC V 中，90,C AD Ð=°平分BAC Ð交BC 于点D ，点O 在边AB 上，且O e 经过A 、D 两点，分别交AB 、AC 于点E 、F ．求证：BC 是O e 的切线：（2）如图②，ABC V 中，90C Ð=°，用直尺和圆规作P e ，使它满足以下条件：圆心P 在边AB 上，经过点A ，且与边BC 相切．（保留作图痕迹，不用写出作法）【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析【分析】本题考查了圆的性质、圆的切线的判定、等边对等角、平行线的判定与性质，解题的关键是作出恰当的辅助线．连接OD ，由OA OD =得OAD ODA Ð=Ð，再由OAD CAD Ð=Ð得ODA CAD Ð=Ð，从而得OD AC ∥，结合90C Ð=°可证OD BC ^，因OD 为圆的半径，从而得证．【详解】（1）证明：连接OD ，如图．∵O e 经过A 、D 两点，∴OA OD =，∴OAD ODA Ð=Ð，∵AD 平分BACÐ∴OAD CAD Ð=Ð∴ODA CAD Ð=Ð∴OD AC ∥∵90C Ð=°，∴90ODB Ð=°，∴OD BC ^，又点D 在O e 上，∴BC 是O e 的切线．（2）根据（1）题的证明过程，所作P e 如下图．变式2．如图，BD 是O e 的直径，A 是BD 延长线上的一点，点E 在O e 上，BC AE ^，交AE 的延长线于点C ，BC 交O e 于点F ，且点E 是 DF的中点．(1)求证：AC 是O e 的切线；(2)若3,AD AE CE ===，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形的性质可得EBC DBE BEO Ð=Ð=Ð，经过角的转化即可证明90OEC Ð=°，再根据切线的判定定理可得答案；（2）设O e 的半径为r ，在Rt AOE △中，由勾股定理可得关于r 的方程，求出r 的值，再根据等角，利用三角函数即可求出BC 的值．【详解】（1）证明：如图，连接OE ，∵BD 为直径，∴90DBE BDE Ð+Ð=°，又AE BC ^，∴90EBC BEC Ð+Ð=°，又OB OE =，∴DBE BEO Ð=Ð，又E 为 DF中点，∴EBC DBE BEO Ð=Ð=Ð，∴90BEO BEC Ð+Ð=°，即90OEC Ð=°∴OE AC ^，则AC 为O e 的切线．（2）设O e 半径为r ，∵AC 为O e 的切线，∴90OEC Ð=°，即AOE △为直角三角形，∴222AE OE AO +=，而AE =，3AD =，∴()22183r r +=+，∴ 1.5r =，∴3BD =，15OD =.，∴在Rt AOE △中，1.51sin 4.53OE A AO Ð===，∴在Rt ABC △中，sin BCA ABÐ=，1sin 623BC A AB =Ð´=´=，∴2BC =．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及锐角的三角函数等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．变式3．如图，已知等腰ABC V ，AB AC =，以AB 为直径作O e 交BC 于点D ，过D 作DF AC ^于点E ，交BA 延长线于点F ．(1)求证：DF 是O e 的切线；(2)若CE 2CD =，求O e 的半径．【答案】(1)证明【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用，掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD ，证明ODB C Ð=Ð，推出AC OD ∥，即可证明结论成立；（2）连接AD ，在Rt CED V 中，求得利用三角形函数的定义求得30C Ð=°，60AOD Ð=°，在Rt ADB V 中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD ，∵AB AC =，B C \Ð=Ð，又OB OD =Q ，B ODB \Ð=Ð，ODB C \Ð=Ð，AC OD \∥，DF AC ^Q ，OD DF \^，DF \是O e 的切线；（2）连接AD ，设O e 半径为r ，在Rt CED V 中，2CE CD ==Q ，222ED CD CE \=-222=-1=，又cos CE C CD Ð==Q 30C \Ð=°，30B \Ð=°，60AOD \=°∠，AB Q 是O e 的直径．90ADB \Ð=°，12AD AB r \==，∵AB AC =，∴2CD BD ==，又222AD BD AB +=Q ，2222(2)r r \+=，r \负值已舍)．变式4．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，AB CD ^，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD Ð=Ð．(1)求证：CF 是O e 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)452【分析】（1）连接OC ，BC ，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理在Rt OCH V 中求出8OH =，同理求出BC =，AC =，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可．【详解】（1）证明：连接OC 、BC ，如图所示：AB Q 是O e 的直径，90ACB \Ð=°，AO OB =，AB CD ^Q ，AB \平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD \=， CBDB =，90CHA CHE Ð=°=Ð，BAD BAC DCB \Ð=Ð=Ð，2ECD BAD Ð=ÐQ ，22ECD BAD BCD \Ð=Ð=Ð，ECD ECB BCD Ð=Ð+ÐQ ，BCE BCD \Ð=Ð，BCE BAC \Ð=Ð，OC OA =Q ，BAC OCA \Ð=Ð，ECB OCA \Ð=Ð，90ACB OCA OCB Ð=°=Ð+ÐQ ，90ECB OCB \Ð+Ð=°，\半径CO FC ^，CF \是O e 的切线；（2）解：20AB =Q ，12CD =，在（1）的结论中有10AO OB ==，6CH HD ==，在Rt OCH V 中，8OH ===，则1082BH OB OH =-=-=，在Rt BCH △中，BC ==在Rt ACH V 中，81018HA OA OH =+=+=，则AC ==，Q HE BH BE =+，\在Rt ECH △中，222226(2)EC HC HE BE =+=++，CF Q 是O e 的切线，90OCB \Ð=°，在Rt ECO △中，2222222()10(10)10EC OE OC OB BE BE =-=+-=+-，()()2222101062BE BE \+-=++，解得52BE =，\5452022AE AB BE =+=+=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．1．一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与O e 等高，如图放置，O e 与BC 相切于点C ，O e 与AC 相交于点 E ，则CE 的长为 cm【答案】3【分析】本题连接OC ，并过点O 作OF CE ^于F ，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的4cm 的等边三角形 ABC 与O e 等高，说明O e 的半径为OC =60ACB Ð=°，故有30OCF Ð=°，在Rt OFC △中，利用锐角三角函数，可得出FC 的长，利用垂径定理即可得出CE 的长．【详解】解: 连接OC ，并过点O 作OF CE ^于F ，ABC V 为等边三角形，边长为4，故高为 OC =Q O e 与BC 相切于点C ，90OCB \Ð=°,又60ACB Ð=°，故有30OCF Ð=°，在Rt OFC △中，可得 3cos302FC OC =×°=，OF 过圆心，且OFCE ^，根据垂径定理易知23CE FC ==．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、切线的性质、锐角三角函数、垂径定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上的一点，将BCE V 沿着CE 折叠至FCE △，若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的O e 相切，则折痕CE 的长为（）A ．B ．5CD ．以上都不对【答案】C【分析】此题考查了翻折变换的知识．连接OC ，则根据正方形的性质可推出1303ECF BCE BCD Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，设BE x =，则2CE x =，利用勾股定理可得出x 的值，也即可得出CE 的长度．【详解】解：连接OC ，则DCO BCO Ð=Ð，FCO ECO Ð=Ð，DCO FCO BCO ECO \Ð-Ð=Ð-Ð，即DCF BCE Ð=Ð，又BCE QV 沿着CE 折叠至FCE △，BCE ECF \Ð=Ð，1303ECF BCE BCD \Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，设BE x =，则2CE x =，得222CE BE =，即22244x x =+，解得BE =，2CE x \=故选：C ．3．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，以AD 为直径作O e ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接EF 交AD 于点G ，连接OB 交EF 于点P ，连接DF ．(1)求证：BC 是O e 的切线；(2)若3OG =，4EG =，求：①tan DFE Ð的值；②线段PG 的长．【答案】(1)见解析；(2)①12；②3．【分析】（1）根据三线合一得到AD BC ^，即可证明BC 是O e 的切线；（2）①如图所示，连接DE ，DF ，OE ，由角平分线的定义和圆周角定理得到∠∠E A D F A D =，即可利用三线合一得到AG EF ^，利用勾股定理求出5OE =，即可求出AD 的长，从而得出2DG =，由垂径定理得出GF ，最后根据正切的定义即可得出答案；②证明EF BC ∥，得到AEG ABD △∽△，利用相似三角形的性质求出5BD =，证得ODB △，OPG V 是等腰直角三角形即可求出PG 的长．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 平分BAC Ð，∴AD BC ^，∵OD 是O e 的半径，∴BC 是O e 的切线；（2）解：①连接DE ，DF ，OE ，∵AD 为O e 的直径，∴90AED AFD Ð=Ð=°，∵AD 平分BAC Ð，∴∠∠E A D F A D =，∴ADE ADF Ð=Ð，∴ AE AF =，∴AG EF ^，∵3OG =，4EG =，∴5OE ==，∴8AG =，10AD =，∴2DG =，由垂径定理可得4GF EG ==，∴21tan 42DG DFE GF Ð===；②∵AG EF ^，AD BC ^，∴EF BC ∥，∴AEG ABD △∽△，∴AG EGAD BD =，∴8410BD=，∴5BD =，∴BD OD =，∴ODB △是等腰直角三角形，∴45OBD Ð=°，∵EF BC ∥，∴45OPG OBD Ð=Ð=°，∴OPG V 是等腰直角三角形，∴3PG OG ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三线合一定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，E 是AC 上一点，以BE 为直径的O e 交BC 于点F ，连接DE ，DO ，且90DOB Ð=°．(1)求证：AC 是O e 的切线；(2)若1DF =，3DC =，求BE 的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．(1)由AB AC =，AD BC ^于点D ，得BD DC =，而BO OE =，根据三角形的中位线定理得OD EC ∥，则90CEB DOB Ð=Ð=°，即可证明AC 是O e 的切线；(2)连接EF ，由3BD DC ==，1DF =得到314BF BD DF =+=+=，由DO 垂直平分BE ，得3BD DE ==，由 BE 是O e 的直径，得90BFE Ð=°，则EF ===BE ===【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD BC ^，∴BD DC =，又∵BO OE =，∴OD EC ∥．。

九年级圆的常考知识点总结

九年级圆的常考知识点总结圆是我们日常生活中经常遇到的几何对象之一，也是数学中非常重要的一个概念。

在九年级的几何学习中，圆的相关知识点常常被考察。

下面，我将总结一些九年级圆的常考知识点，帮助大家更好地理解和掌握。

一、圆的定义与性质圆是平面上到一定距离的点的集合，这个固定距离称作圆的半径。

根据圆的定义，我们可以得出一些重要的性质：1. 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点的距离相等的点，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

根据这一性质，我们可以得到等半径的圆是同心圆，同心圆的圆心是重合的。

2. 直径与半径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径与半径之间有一个简单的关系：直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧与弦：圆上两点之间的线段称为弦，而弧则是圆上两点之间的弧段。

一个弧对应一个弦，一个弦对应一个弧。

需要注意的是，对于同一条弧来说，不同的弦对应不同的拱长。

二、圆的角度与弧度1. 圆周角：以圆心为顶点的角称为圆周角，其对应的圆周称为全角。

在圆周角中，如果其度数为360度，则与之对应的全角是整个圆周。

2. 弧度制：弧度是一个用于衡量角度的单位，弧度制也是描述角度的重要方法之一。

一圆周等于2π弧度，即360度约等于6.28弧度。

弧度与度数之间的换算关系是π弧度=180度。

三、圆的内切与外接1. 内切与外切圆：如果一个圆与一个三角形的三条边都相切，那么这个圆就是这个三角形的内切圆。

类似地，如果一个圆与一个三角形的三条边的延长线都相切，那么这个圆就是这个三角形的外接圆。

2. 欧拉公式：对于任何一个三角形，其外心、内心和重心三点共线，且它们的连线互相垂直并且交于一点，这一点称为费马点。

欧拉公式指出，三角形的外心、内心和重心这三个点的连线长度之间有一定的关系。

四、圆的面积与周长1. 面积：圆的面积公式是S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径。

圆的面积是它的半径的平方乘以π。

需要注意的是，圆的面积没有单位，因为π是一个常数。

中考数学常考易错点：47《圆》

4.7 圆易错清单1.考虑问题不全面,缺乏分类讨论而导致错误.【例1】已知:☉O的直径为14cm,弦AB=10cm,点P为AB上一点,OP=5cm,则AP的长为cm. 【解析】学生画图造成思维定势,画出了一种,因此答案就写一种.没有真正理解“点P为AB上一点,OP=5cm”的含义,即点P是以O为圆心,5cm为半径的弧与AB的交点,这样的点P有两个.【答案】4或6【误区纠错】学生在画图的时候,没有分类的意识,这里的点P是靠近点A还是点B不清楚,因此需要分类.2.切线的判定【例2】(2014·山东临沂)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的☉O与底边AB 交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.(1)证明:DE为☉O的切线;(2)连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.【解析】(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的☉O,可得CD⊥AB,又由等腰三角形ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;(2)首先根据三角函数的性质,求得BD,DE,AE的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积,继而求得答案.【解答】(1)连接OD,CD,∵BC为☉O直径,∴∠BCD=90°.即CD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形,∴AD=BD.∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∵点D在☉O上,∴DE为☉O的切线.【误区纠错】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.3.圆和圆的位置关系.【例3】(2014·江苏徐州)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm,若圆P与这两个圆都相切,则圆P的半径为cm.【解析】如解答图所示,符合条件的圆P有两种情形,需要分类讨论.【答案】由题意,圆P与这两个圆都相切若圆P与两圆均外切,如图(1)所示,此时圆P的半径若圆P与两圆均内切,如图(2)所示,此时圆P的半径(1)(2)综上所述,圆P的半径为1cm或2cm.故答案为1或2.【误区纠错】本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是确定如何与两圆都相切,要注意分类讨论.名师点拨1.熟练掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化.2.理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定,会根据条件解决圆中的动态问题.3.掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两圆的位置关系,对中考试题中出现的阅读理解题、探索题,要灵活运用圆的有关性质,进行合理推理与计算.提分策略1.利用垂径定理进行证明或计算.通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解.由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况,所以利用垂径定理计算时,不要漏解.【例1】(2014·湖南张家界)如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN 于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为.【答案】72.圆心角、弧、弦之间的关系的应用.圆心角、弧、弦之间的关系要巧记.同圆或等圆中,有些关系要搞清:等弧对的弦相等,圆心角相等,等弦所对圆心角相等,反之亦成立.【例2】如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.【解析】(1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明;(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB=DE=DC.【答案】(1)∵AD为直径,AD⊥BC,∴BD=CD.(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由如下:由(1)知:BD=CD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.由(1)知:BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.3.切线的判定与性质的应用.【例3】(2014·甘肃白银)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆☉O交AC于点D,点E 为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是半圆☉O的切线.(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.【解析】(1)连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证.(2)在直角三角形ABC中,由∠BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由∠C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC-CD即可求出AD的长.【答案】(1)连接OD,OE,∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°.在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴DE=BE.在△OBE和△ODE中,∴△OBE≌△ODE(SSS).∴∠ODE=∠ABC=90°.则DE为圆O的切线.4.圆和圆的位置关系的判别.【例4】(2014·四川泸州)如图,☉O1,☉O2的圆心O1,O2都在直线l上,且半径分别为2cm,3cm,O1O2=8cm.若☉O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动(☉O2保持静止),则在7s时刻☉O1与☉O2的位置关系是().A. 外切B. 相交C. 内含D. 内切【解析】本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距,然后根据圆心距和两圆的半径确定答案.【答案】∵O1O2=8cm,☉O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动,7s后停止运动,∴7s后两圆的圆心距为1cm,此时两圆的半径的差为3-2=1cm,∴此时内切.故选D.5.圆中涉及弧长、扇形面积等计算问题.求不规则图形的面积,常转化为易解决问题的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.【例5】(2014·四川内江)通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习,我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程(如图(1)).在图(2)中,有2 014个半径为r的圆紧密排列成一条直线,半径为r的动圆C从图示位置绕这2 014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位,则动圆C自身转动的周数为.(1)(2)【解析】它从A位置开始,滚过与它相同的其他2014个圆的上部,到达最后位置.则该圆共滚过了2014段弧长,其中有2段是半径为2r,圆心角为120度,2012段是半径为2r,圆心角为60度的弧长,所以可求得.又因为是来回所以总路程为1314π×2=2628π.所以动圆C自身转动的周数为2628πr÷2πr=1314.【答案】1314【例6】(2014·山东潍坊)如图,两个半径均为的☉O1与☉O2相交于A,B两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)【解析】连接O1O2,由题意知,四边形AO1BO2B是菱形,且△AO1O2,△BO1O2都是等边三角形,四边形O1AO2B 的面积等于两个等边三角形的面积,【答案】专项训练一、选择题1.(2014·甘肃天水模拟)如图所示,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为().(第1题)(第2题)2.(2014·山东东营模拟)如图,▱ABCD的顶点A,B,D在☉O上,顶点C在☉O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为().A. 36°B. 46°C. 27°D. 63°3. (2014·贵州遵义二模)如图,在等边三角形ABC中,AB,AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN=1,那么△ABC的面积为().(第3题)(第5题)4.(2013·浙江湖州中考模拟试卷)AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC切☉O于点C,若∠A=25°,则∠D等于().A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°5.(2013·安徽淮南市洞山中学第四次质量检测)如图,AB是☉O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,则∠D等于().A. 25°B. 30°C. 35°D. 50°二、填空题6. (2014·北京平谷区模拟)如图,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的度数为.(第6题)(第7题)7.(2014·广西玉林一模)如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是. (结果保留π)8. (2013·江苏东台实中模拟)已知☉O的半径为6cm,弦AB的长为6cm,则弦AB所对的圆周角的度数是.(第9题)9.(2013·吉林长春模拟)如图,☉P与x轴切于点O,点P的坐标为(0,1),点A在☉P上,并且在第一象限,∠APO=120°.☉P沿x轴正方向滚动,当点A第一次落在x轴上时,点A的横坐标为.(结果保留π)三、解答题10.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)求证:P是线段AF的中点;(3)若☉O的半径为5,,求tan∠ABF的值.(第10题)11. (2013·吉林镇赉县一模)如图,A,B,C是半径为2的圆O上的三个点,其中点A是弧BC的中点,连接AB,AC,点D,E分别在弦AB,AC上,且满足AD=CE.(1)求证:OD=OE;(2)连接BC,当时,求∠DOE的度数.(第11题)参考答案与解析1. A[解析]∵△ABC∽△DOA,2. A[解析]∠B=∠ADC=54°,∴∠AEB=90°-∠B=36°.3. B[解析]根据垂径定理知M,N分别是AB, AC的中点,由三角形中位线定理得出BC=2MN=2,4. C[解析]∠COD=∠A+∠ACO=25°+25°=50°,∴∠D=90°-∠COD=40°.8. 30°或150°[解析] 弦AB所对的圆周角有二种, 这二种角互补.9.π[解析]过点A作y轴的垂线,解所得直角三角形即可.10. (1)∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD.∴∠DAC=∠DBA.(2)∵AB为直径,∴∠ADB=90°.又DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90°.∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°.∴∠ADE=∠ABD=∠DAP.∴PD=PA.又∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADE=∠DAC,∴∠PDF=∠PFD.∴PD=PF.∴PA=PF,即P是线段AF的中点.(3)∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°, ∴△FDA∽△ADB.11. (1)连接OA.∵点A是弧BC的中点, ∴∠AOB=∠AOC.∵OA=OB=OC,∴∠ABO=∠BAO=∠OAC=∠ACO.∵AD=CE,AO=CO,∠OAB=∠OCA,∴△ADO≌△CEO.∴OD=OE.∴BF=OF.∴∠AOB=45°.∵△AOD≌△COE,∴∠AOD=∠COE.∴∠BOD=∠AOE.∴∠DOE=∠AOB=45°.。

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。

圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。

二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。

2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。

4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。

圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。

双曲线类似。

三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。

如圆形广场、圆形剧场等。

2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。

这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。

3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。

这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。

4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。

对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。

四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。

我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。

2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。

3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。

九年级上圆的知识点总结

九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容之一，也是中考的必考知识点。

在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。

下面就让我们来一起总结一下九年级上圆的知识点。

一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法通常用“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。

3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、等圆和等弧能够完全重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理的推论：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r；（2）点在圆上⇔ d ＝ r；（3）点在圆内⇔ d ＜ r。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。