福建省泉州十五中高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修4

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【新导学案】高中数学人教版必修四：2.3.4《平面向量共线的坐标表示》

2.3.4《平面向量共线的坐标表示?导学案【学习目标】：1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题 .3．通过学习向量共线的坐标表示 ,使学生认识事物之间的相互联系 ,培养学生辨证思维能力.【学法指导】通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算.【知识链接】：2.平面向量共线的坐标表示：设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) (b ≠ )其中b ≠a ,那么a ∥b (b ≠)⇔_____________________.三、提出疑惑1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ,那么这个条件是否也能用坐标来表示呢 ?设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) (b ≠ )其中b ≠a由a =λb ,得___________________,即__________________________,消去λ后得:__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a 与b 共线.2.典型例题例2: (1,1)A -- ,(1,3)B ,(2,5)C ,求证A 、B 、C 三点共线．例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点 , P 1、P 2的坐标分别是(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2).(1 )当点P 是线段P 1P 2的中点时 ,求点P 的坐标；(2 )当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时 ,求点P 的坐标.【学习反思】1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?【根底达标】1. =a +5b ,BC =－2a +8b ,CD =3 (a －b ) ,那么 ( )C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2.假设向量a =( -1 ,x)与b =( -x , 2)共线且方向相同 ,那么x 为________.3．设3(,sin )2a α= ,1(cos ,)3b α= ,(0,2)απ∈ ,且//a b ,求角α．【拓展提升】 1.假设a =(2 ,3) ,b =(4 , -1 +y ) ,且a ∥b ,那么y = ( )A.6 B .5 C.7 D.82.假设A (x , -1) ,B (1 ,3) ,C (2 ,5)三点共线 ,那么x 的值为 ( )A. -3 B .-1 C.1 D.33.假设AB =i +2j , =(3 -x )i +(4 -y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与DC 共线 ,那么x 、y 的值可能分别为 ( )A.1 ,2 B .2 ,2 C.3 ,2 D.2 ,44.a =(4 ,2) ,b =(6 ,y ) ,且a ∥b ,那么y =.5.a =(1 ,2) ,b =(x ,1) ,假设a +2b 与2a -b 平行 ,那么x 的值为6.A( -1 , -1) , B(1 ,3) , C(1 ,5) ,D(2 ,7) ,向量与CD 平行吗 ?直线AB 与平行于直线CD 吗 ?。

高中数学第2章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案含解析新人教A版必修4

2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝．－4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)，解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间，则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0，解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。

高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

高中数学必修4(人教A版)教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示

2. 3.4平面向量共线的坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．教学难点：定比分点的理解和应用．【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

二、〖新知探究〗思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b 0）其中b a由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) 2121y y x x 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0结论：a ∥b (b0) x 1y 2-x 2y 1=0注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2 充要条件不能写成2211x y x y ∵x 1, x 2有可能为0. 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221y x y x三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a r ，(6,)b y r，且//a b r r ，求y ．解：∵//a b r r，∴4260y ．∴3y ．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1( ，),2(m ，且b a //，则32 等于_________.例2: 已知(1,1)A ，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC u u u r，又26340 ，∴//AB AC u u u r u u u r.∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线。

【新导学案】高中数学人教版必修四：234《平面向量共线的坐标表示》(2).doc

2. 3.4《平面向量共线的坐标表示》导学案【学习目标】：1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3.通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之I'可的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【学法指导】通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算.【知识链接】：1、知识回顾：平面向量共线定理_________________________________________________ •2.平面向量共线的坐标表示：设5=(xi? yi) b =(x2, y2)(b ^0 )其中b ,则a // b (5 H6) O _______________________ .三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数入使得b = \a,那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设3=(x1, y0, h =(x2, y2)( Z?H6)其中brtl a=xb ,得____________________________ ，即 ___________________________ ，消去入后得:时，向量&与5共_________________________________ - ____ .这就是说，当且仅当线.2.典型例题例1 已知° = (4,2), b = (6, y),且Q〃乙，求y.例2:已知A(—l, -1), B(l,3), C(2,5),求证A、B、C 三点共线.例3:设点P 是线段P$2上的一点，Pl 、P2的坐标分别是（X 】,yj, （x 2, y 2）.（1）当点P 是线段P1P2的屮点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段Pf2的一个三等分点时，求点P 的坐标.【学习反思】1. 平面向量共线充要条件的两•种表达形式是什么？2. 如何用平面向量共线的充要条件的坐标形一式证明三点共线和两直线平行?3. 判断两直线平行与两向量平行有什么异同？【基础达标】1.已矢W~AB=a+5b , ~BC=-2a+Sb ,CD=3 (a~b ) 贝 1」()A. A 、B 、D 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2•若向量3=(-1, x)与 b =(-x, 2）共线且方向相同，则x 为 __________3. 设 ^7 = (—,sin a), b = (cosa,—), ae (0,2^),且 a 〃b,求角d.【拓展提升】1.若Q=(2, 3), b -1+y)，且ci // b ,则 y=(.) A.6B.5C.7 2. 若 A(x, -1), 3(1, 3), C(2, 5)三点共线, A.-3 B.・l C.l3. 若AB=i+2j,£>C=（3*）i+（4・yH （其屮人/的方向分別与兀、y 轴正方向相同且为单位向量）.AB 与 DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（）A 」，2 B2, 2 C.3, 2 D.2, 44. 已知厅=(4, 2), b =(6, y),.且a // b ，则尸 ___________________ .5. 已知a=(l. 2), b=(x, 1),若&+2方与2&・方平行，则兀的值为 __________________6 •已知A(-l, -1), B(l, 3), 0(1, 5) , D(2, 7),向^AB 与而平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？参考答案：1. C2.B3.B4.35.0.56. 解:•/A3=(l -(4> 3-(-l)X2, 4) , CD =(2-1, 7・沪1, 2) 又*/2X2-4Xl=0 :.AB//CD■又・・・ 5<l)Xi ©，AB=Q 9 4), 2X4-2X6#0 /.AC 与HEWrD.8 则x 的值为（ D.3/.A, B,・・・.AB与CD不重合・・・AB〃CD.亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的, 在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧!。

高中数学新人教版A版精品教案《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》

平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。

首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。

这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。

其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。

2. 向量的坐标运算：，探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、；（2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3：设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。

高中数学第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示问题导学案新人教A版必修89

2.3.4 平面向量共线的坐标表示问题导学一、向量共线的坐标运算活动与探究1已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？迁移与应用1．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a∥b ，则3a ＋2b ＝( )A ．(－1,7)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(1，－2)2．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，判断AB 与CD 是否共线．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0．当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．对条件的理解有两方面的含义：由x 1y 2－x 2y 1＝0，可判定a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则x 1y 2－x 2y 1＝0．二、三点共线问题活动与探究2向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？迁移与应用1．若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝__________． 2．已知OA ＝(1,1)，OB ＝(3，－1)，OC ＝(a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．三、向量共线坐标表示的应用活动与探究3在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．迁移与应用1．已知a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，若a∥b ，则tan θ＝__________．2．已知向量a ，b ，满足a ＋b 平行于x 轴，a ＝(2，y )，b ＝(2，－2)，则a 与b 的夹角为__________．关于解决点共线或向量共线问题，主要是求出相关向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程(方程组)来解决．当堂检测1．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．12．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )A ．a －c 与b 共线B ．b ＋c 与a 共线C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ＝( ) A ．12B ．2C ．－12D ．－2 4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝______．5．已知向量a ＝(2x,7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝__________时，a ＝b ；当x ＝__________时，a ∥b 且a ≠b ．课前预习导学【预习导引】x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1x 2＝y 1y 2预习交流：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．解：因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，又∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴－4(k －3)＝10(2k ＋2)，∴k ＝－13．这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的．迁移与应用 1．D 解析：a ∥b ⇒y ＝－4，∴3a ＋2b ＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)．2．解：AB ＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD ＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴AB ∥CD ，即AB 与CD 共线．(或CD ＝－2AB ，AB ∥CD ，∴AB 与CD 共线)活动与探究2 思路分析：根据向量共线的充要条件，若A ，B ，C 三点共线，只要满足AB ＝λBC (或AC ＝λAB )，就可以列方程求出k 的值或利用向量平行的充要条件求出k 的值．解：方法一：∵AB ＝OB －OA ＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)， BC ＝OC －OB ＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝λBC ，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)＝(6λ，(k －5)λ)．∴46,7(5).k k λλ-=⎧⎨-=-⎩解得k ＝11，或k ＝－2．方法二：同方法一，∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －5)＝6×(－7)，解得k ＝11，或k ＝－2．迁移与应用 1.9 解析：∵AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC ＝(x －1，4)，AB ∥AC ，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9． 2．解：(1)由题意知，AB ＝OB －OA ＝(2，－2)，AC ＝OC －OA ＝(a －1，b －1)，若A ，B ，C 三点共线，则AB ∥AC ，即2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，故a ＋b ＝2．(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴14,14,a b -=⎧⎨-=-⎩∴5,3,a b =⎧⎨=-⎩即C (5，－3)．活动与探究3 思路分析：充分利用向量共线的坐标表示，列出方程组求解．解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA ＝(0,5)，OB ＝(4,3)．∵OC ＝(x C ，y C )＝14OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54， ∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54．同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，从而AD ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)．∵A ，M ，D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20．①易知CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74． ∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20．② 由①②得x ＝127，y ＝2．∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2．迁移与应用 1．14解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14． 2．90° 解析：由已知得a ＋b ＝(4，y －2)，∵a ＋b 与x 轴平行，∴y －2＝0，y ＝2．在坐标系中以原点为起点，画出向量a ，b ，则由图知，a 与b 夹角为90°．【当堂检测】1．A 解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A ．2．C 解析：由已知得b －c ＝(3,3)，∵a ＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．∴a 与(b －c )共线．3．C 解析：λa ＋μb ＝(λ－μ，λ)，a －2b ＝(3,1)，由共线条件可得，λ－μ＝3λ即λμ＝－12，故选C ． 4．1 解析：a －2b ＝(3，1)－(0，－2)＝(3，3)，∵a －2b 与c 共线，∴存在实数λ使λ(3，3)＝(k，3)，即(3λ，3λ)＝(k ，3)，∴,3k λ==⎪⎩∴31,k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．3 －7 解析：若a ＝b ，则26,74,x x =⎧⎨=+⎩⇒x ＝3．若a ∥b ，则2x (x ＋4)－42＝0，解得x ＝－7或x ＝3．当x ＝3时，a ＝b ，∴x ＝－7时，a ∥b 且a ≠b ．。

高中数学(2.3.4平面向量共线的坐标表示)教案新人教A版必修4

三维目标
1. 通过经历探究活动 , 使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法 . 理解
并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示
.
2. 引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化
, 平面向在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯 , 以加深理解知识要点 , 增强应用
y2 是向量 a、 b 共线的什么条件 ? x2
活动 : 教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系
. 此处教师要对探究
困难的学生给以必要的点拨 : 设 a=(x 1,y 1), b=(x 2,y 2), 其中 b≠0. 我们知道 , a、b 共线 , 当且仅
当存在实数 λ , 使 a=λ b. 如果用坐标表示 , 可写为 (x 1,y 1)= λ (x 2 ,y 2),
教师和学生一起总结 , 把上述结论用文字叙述分别为 : 两个向量和 ( 差 ) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
( 差); 实数与向量的积的坐标
等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 . 教师再引导学生找出点与向量的关系 : 将向量 AB
平移 , 使得点 A 与坐标原点 O重合 , 则平移后的 B 点位置就是 P 点 . 向量 AB 的坐标与以原点
的 P 点吗 ?标出点 P 后 , 你能总结出什么结论 ? 活动 : 教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、
黑板去板书步骤 . 可得 :
减运算 , 教师可以让学生到
图1 a+b=(x 1ｉ +y1j )+(x 2ｉ +y2j )=(x 1+x2) ｉ +(y 1+y2) j , 即 a+b=(x 1+x 2,y 1+y2). 同理 a- b=(x 1-x 2,y 1-y 2). 又 λ a=λ (x 1ｉ +y1j )= λ x 1ｉ +λ y1j . ∴ λa=( λ x 1, λ y1).

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修4

【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？ 2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. *变式：当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。

高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案含解析新人教A版必修

学习资料2．3.4 平面向量共线的坐标表示内容标准学科素养1。

理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2。

能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3。

掌握三点共线的判断方法. 应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第60页[基础认识］知识点平面向量共线的坐标表示阅读教材P98～99,思考并完成以下问题根据向量的坐标运算,向量共线如何表示？已知下列几组向量：①a＝（0，3），b＝（0,6）；②a＝(2,3），b＝(4，6);③a＝(－1，4)，b＝(3,－12）;④a＝错误!，b＝错误!.（1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？提示：①②中a与b同向，③④中a与b反向．(2)每组中的a与b共线吗？提示:共线．知识梳理(1）设a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb。

(2)如果用坐标表示,可写为(x1，y1)＝λ（x2,y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．注意:对于(2）的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式,可简记为：纵横交错积相减．思考若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a∥b时，一定有错误!＝错误!吗？提示:不一定，当y1＝0或y2＝0时，不成立．[自我检测］1．已知向量a＝(2，－1），b＝（x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为(）A．2B．－2C．3D．－3答案:D2．与a＝（12，5)平行的单位向量为(）A.错误!B。

错误!C。

错误!或错误!D.错误!答案:C授课提示：对应学生用书第60页探究一向量共线的判定与证明［教材P101习题第6题]已知A(－2，－3），B(2，1)，C(1，4）,D(－7,－4)．试问错误!与错误!是否共线?解析:错误!＝(2,1)－（－2，－3)＝（4，4),错误!＝(－7，－4）－（1，4)＝（－8，－8)，∵44＝错误!.∴错误!与错误!共线．[例1］（1)下列各组向量中，共线的是(）A．a＝（－2，3），b＝(4，6)B．a＝（2，3)，b＝(3，2）C．a＝（1，－2)，b＝(7,14）D．a＝(－3，2）,b＝（6，－4）(2）在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7）表示出来的是（）A．e1＝（0，1)，e2＝(0，－2)B．e1＝（1，5),e2＝(－2,－10）C．e1＝(－5,3），e2＝(－2，1）D．e1＝（7，8）,e2＝（－7，－8)［解析](1）利用x1y2－x2y1＝0判定．（2)只有C不共线，可作为基底．[答案］(1）D（2）C方法技巧向量共线的判定方法跟踪探究1。