5.方程求根
方程的求根公式
方程的求根公式一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,~a \neq 0 ，通过配方可以得到\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} ，根据判别式 \Delta=b^2-4ac 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式。
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\要么是 2 个不同的实根 \Delta>0 ，要么是 1 个二重实根\Delta=0 ，要么是 1 对共轭虚根 \Delta<0 ；计算重数的情况下都是 2 个根。
记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} 以及两根之积x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2 .求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\。
注：如果 x_1,~x_2 是共轭虚根，x_1-x_2 就是纯虚数，对负数\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2 开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2} .几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a} 是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a} . 如果 x_1,~x_2 都是实根，则d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p} 是根到平均值的距离。
解方程的根的判别与求解
解方程的根的判别与求解解方程的根的判别与求解是数学中重要的内容之一。
当我们遇到一个方程时，我们需要通过判别方程的根的性质来确定解的存在与数量，并通过求解方程来得到具体的根。
本文将介绍解方程的根的判别方法及求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这个知识点。
1. 一元二次方程的根的判别与求解一元二次方程通常可以表示为ax^2 + bx + c = 0的形式，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
我们可以通过求方程的判别式Δ=b^2 - 4ac的值来判断方程的根的性质。
1.1 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
我们可以使用求根公式x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)来求得根的具体数值。
1.2 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
我们可以使用求根公式x = -b / (2a)来求得根的具体数值。
1.3 当Δ < 0时，方程没有实根。
此时方程的解为复数根，具体形式为x1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)，其中i为虚数单位。
2. 一元一次方程的求解一元一次方程通常可以表示为ax + b = 0的形式，其中a和b为已知常数，且a≠0。
求解一元一次方程的过程相对简单，我们只需要将方程改写为x = -b / a的形式，即可直接得到方程的解。
3. 高次方程的求解对于高次方程，例如三次方程、四次方程等，通常没有一般的求根公式。
因此，在判别高次方程的根的性质时，我们需要通过观察方程的特点，应用代数学中的定理和方法进行求解。
3.1 三次方程的求解可借助韦达定理和根与系数的关系。
韦达定理指出，对于三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其根x1+x2+x3 = -b / a，x1x2+x1x3+x2x3 = c / a，x1x2x3 = -d / a。
利用这些关系可以将三次方程转化为二次方程进行求解。
3.2 四次方程的求解可借助费拉里定理和根与系数的关系。
求根公式公式法
求根公式公式法
求根公式是一种用来求解一元二次方程（ax^2+bx+c=0）的方法。
它由欧拉在16世纪提出，并且在数学和实际应用中都有重要的地位。
一元二次方程的求根公式如下：
x=(b±√(b^24ac))/(2a)
其中，a、b和c分别代表二次项、一次项和常数项的系数，±表示两个解。
这个公式被称为二次方程的求根公式或者根式公式。
使用求根公式的步骤如下：
1.将一元二次方程化简为标准形式，确保系数已经排列好。
2.根据方程中的系数a、b和c，计算出Δ（即判别式，
Δ=b^24ac）。
3.判断Δ的值：
若Δ>0，方程有两个不相等的实数根，可以使用求根公式计算根的值。
若Δ=0，方程有两个相等的实数根，使用求根公式计算根的值时，两个解会重合。
若Δ<0，方程没有实数根，但是有两个共轭复数根，使用求根公式计算根的值时，会涉及到虚数。
根据上述步骤，我们可以使用求根公式来解决一元二次方程的问题。
这个公式的推导过程涉及一些数学原理，超出了本回答的范围，所以我们只介绍了最终的求根公式和使用方法。
如果你想了解更多关于求根公式的数学原理和推导过程，可以参考相关的教材或者网上的学习资源。
五次求根公式
五次求根公式好的，以下是为您生成的关于“五次求根公式”的文章：在数学的奇妙世界里，求根公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开方程的神秘面纱。
而今天咱们要聊的，是五次求根公式这个相当有挑战性的话题。
记得我当年上高中的时候，数学老师在课堂上讲起五次方程，那神情就像是一位即将出征的将军，充满了斗志。
他在黑板上写下一个复杂的五次方程，然后问我们：“同学们，你们觉得能像二次方程那样，找到一个通用的求根公式吗？”大家都一脸茫然，而我当时心里也是直打鼓。
其实啊，五次求根公式之所以让人头疼，是因为它不像二次方程求根公式那么简单直观。
二次方程的求根公式，咱们稍微用点心思就能记住，可五次方程的求根公式，那可真是复杂得让人想哭。
为了搞清楚这个问题，我那段时间简直是“走火入魔”了。
每天放学后，我就一头扎进数学书里，不停地推导、计算。
有一次，我为了验证一个自己想到的方法，竟然忘记了吃晚饭，一直算到了晚上十点多。
等我回过神来，肚子饿得咕咕叫，可心里却满满的都是对数学的热情。
咱们来仔细瞧瞧五次方程。
五次方程的一般形式是：$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$ 。
如果能找到一个通用的求根公式，那该多好啊！可事实是，经过数学家们多年的努力研究发现，对于一般的五次方程，不存在由方程系数的四则运算和根式运算构成的求根公式。
这是不是让您感到很惊讶？就好像你一直在寻找一个宝藏，结果被告知这个宝藏根本不存在。
但是呢，这并不意味着我们就没办法解决五次方程了。
通过一些特殊的方法，比如数值解法，我们还是能够求出五次方程的近似解。
比如说，我们可以用牛顿迭代法。
这就像是在黑暗中摸索，每次都根据当前的位置和方向，做出一点点的调整，逐渐靠近那个正确的答案。
虽然不能一下子就得到精确的根，但至少能让我们越来越接近真相。
还有一种方法叫伽罗瓦理论。
这个理论就像是给我们打开了一扇新的窗户，让我们从一个全新的角度来看待方程的解。
excel_方程求根_化学专业
设一非线性方程组
f1 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 f ( x , x , , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x 2 , , x n ) 0
f ( x i ) Δf ( xi ) Dx f ( xi Dx) f ( xi ) Dx
• x0与根
若方程有几个根，则用数值法得到的解与 x 的初始值有关。
g初始值的选择很重要。
• 化学中通常只有一个正数解。需用专业知识确定 x0。
10
5.2 用“单变量求解”法解方程
•单变量求解工具 Goal Seek •单变量求解法
a 11 D2 a 21 a n1 c1 c2 cn a 1n a 2n a nn
13
示例：方程组
系数行列式值
2 1 1 1 1 2 1 1 1 9
2x + y – z= 0 x–y+z=6 x +2y + z= 3 D1求 x 的分子行列式值
0 6 3 1 1 2 1 1 1 18
•方法2
同时用两个函数 =MMULT(MINVERSE(A), C) 行列式法和矩阵法均为直接法，仅用于解线性方程组。 •也可用附加程序“规划求解” 解线性方程组或非线性方程组。
Excel
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5.4 Newton-Raphson迭代法解非线性方程组
• 迭代解法属于间接解法，可用于非线性方程组的求解。 x12+x22+x32–1=0 • Newton-Raphson迭代法原理 2 2
求根的万能公式(一)
求根的万能公式(一)求根的万能公式1. 二次方程的求根公式•二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数，a ≠ 0。
•求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
•举例：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根。
–根据公式，a = 2, b = 5, c = -3。
–将数值代入公式：•x1 = (-5 + √(5^2 - 42(-3))) / (2*2) = (-5 +√(25 + 24)) / 4 = (-5 + √49) / 4 = (-5 + 7)/ 4 = 2/4 = 。
•x2 = (-5 - √(5^2 - 42(-3))) / (2*2) = (-5 -√(25 + 24)) / 4 = (-5 - √49) / 4 = (-5 - 7)/ 4 = -12/4 = -3。
2. 三次方程的求根公式•三次方程的一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d是已知实数，a ≠ 0。
•求根公式为：x = z - b / 3a，其中z是方程的零点，代入公式得到：x = z + m + n，其中m和n为方程求得的虚数根。
•举例：求解方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0的根。
–可以通过观察得到，方程的一个根为x = 2。
–将x = 2代入方程，得到：8 - 16 + 10 - 2 = 0，验证通过。
–使用长除法可以得到另外两个根为x = 1 ± √2i，得到虚数根。
–代入求根公式，得到实数根：x = 2 + 1 - √2i，x = 2 +1 + √2i。
3. 四次方程的求根公式•四次方程的一般形式为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e是已知实数，a ≠ 0。
•求根公式相对复杂，可以转化为解四次方程的问题，或者使用数值解法进行求解。
多项式方程的根及其计算方法
多项式方程的根及其计算方法多项式方程是数学中最基础也最重要的一个概念。
其形式为f(x)=0，其中f(x)是x的幂次之和，而x的幂次可以是正整数、负整数或零。
多项式方程的根是使方程成立的解。
例如，方程x^2-2x+1=0的根是x=1。
多项式方程的求根方法是数学中的一个基础部分，本文将介绍多项式方程的根及其计算方法。
一、一次多项式方程的根及计算方法一次多项式方程是x的一次幂次相加，其一般形式为ax+b=0。
其根可以通过求解x=−ba公式得到。
例如，方程2x+1=0的根是x=−12。
二、二次多项式方程的根及计算方法二次多项式方程是x的二次幂次相加，其一般形式为ax^2+bx+c=0。
利用求根公式可以得到方程的两个根：x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}例如，方程x^2+x-6=0的两个根为x=-3和x=2。
三、三次和四次多项式方程的根及计算方法三次和四次多项式方程的求根公式较为复杂。
其中三次方程的求根公式有卡氏公式（Cardano's formula）和费拉里公式（Ferrari's formula）等多个求解方法。
四次方程的求根公式为费拉里公式。
这些公式求根过程繁琐，计算精度较高。
一般情况下，四次方程的求根还可以通过将其转化为两个二次方程求解来进行，这称为分解法。
三次方程也可以通过求导法、牛顿迭代法等方法求解。
但是，这些方法的计算量很大，不适用于计算机数值解。
四、数值解法对于高次多项式方程（阶数大于4或者方程系数无解析求解公式），我们可以通过数值解法来求解其根。
数值解法包括牛顿法、割线法、二分法、迭代法等。
这些方法的基本思想是，根据方程连续性和单调性，在可接受的误差范围内逼近方程根。
例如，牛顿法的逼近公式为：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，f(x)是方程，f'(x)是f(x)的导数。
初始值为x0，依次迭代即可求解。
方程求根的数值方法
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件 x1, x2 [a,b]
(x1) (x2 ) L x1 x2 0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根；
最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
作业：求下面方程的数值解。
x3 x 9 0
xsin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
精品课件！
精品课件！
谢 谢！
f (x1)
再由x0 , x2计算x3......
xn1 xn
xn x0 f (xn ) f (x0 )
f (xn )
称之为定端点弦截法.
(n 1,2,...)
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1, x2计算x3 ,以此类推
xn1
xn
xn xn1 f (xn ) f (xn1 )
则过P0 (x0 , f (x0 ))及P1(x1, f (x1))得弦的方程
y
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f (x0 x0
)
(
x
x1
)
令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
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15
但若采用方程（2.3）的另一种等价形式
x x3 1
建立迭代公式
3 xk 1 xk 1.
仍取迭代初值 x0 1.5，则有
x1 2.375, x2 12.39.
结果会越来越大，不可能趋于某个极限.这种不收敛的迭 代过程称作是发散的.
16
2.2
不动点的存在性与迭代法的收敛性
x ( x).
（2.1）
若要求 x * 满足 f ( x*) 0 ，则 x* ( x*) ；反之亦然， 称 x *为函数 ( x ) 的一个不动点. 求 f ( x)的零点就等价于求 ( x ) 的不动点，选择一个 初始近似值 x0 ，将它代入(2.1)右端，即可求得
x1 ( x0 ).
x * xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2
k 1
1 1 k 1 0.005 2 2
8
只需 k 6 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度. 计算结果如表1.
表1 k 0 1 2 3 4 5 6 0.3203 1.3125 1.3438 ak 1.0 1.25 1.375 bk 1 .5 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3242 1.3281 1.3203 f ( xk )符号
9
二分法是解非线性方程的一种常用算法，计算步骤为： 步骤1 准备 计算 f ( x) 在有根区间 [a, b]端点处的
计算 f ( x) 在区间中点
ab 2
值 f (a), f (b). 步骤2 二分
f( ab ). 2
处的值
步骤3 判断 若 f ( 计算过程结束，否则检验.
ab ab ) 0 ，则 2 2
如果点列 {Pk } 趋向于点P * ，则相应的迭代值xk 收敛 到所求的根 x * .
例3 求方程
f ( x) x 3 x 1 0
（2.3）
在 x0 1.5附近的根 x * .
解 设将方程（2.3）改写成下列形式
x 3 x 1.
据此建立迭代公式
14
xk 1 3 xk 1
（1.3）
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
x * xk ,
这里 为预定的精度.
7
例2
求方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间 [1.0,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后第2 位. 解 这里 a 1.0, b 1.5 ，而 f (a) 0, f (b) 0
设 x1 , x2 [a, b] 都是 ( x ) 的不动点，则由(2.4)得
x1 x2 ( x1 ) ( x2 ) L x1 x2 x1 x2 .
引出矛盾. 故 ( x ) 的不动点只能是唯一的. 证毕.
18
定理2 设 ( x) C[a, b] 满足定理1中的两个条件，则 {xk } 收敛到 对任意 x0 [a, b] ，由（2.2）得到的迭代序列 ( x ) 的不动点 x * ，并有误差估计
取 [a, b]的中点 x0 1.25 ，将区间二等分，由于f ( x0 ) 0 ， 即 f ( x0 ) 与 f (a) 同号，故所求的根 x * 必在 x0 右侧，这时 应令 a1 x0 1.25, b1 b 1.5 ，而得到新的有根区间 [a1 , b1 ].
如此反复二分下去, 按误差估计（1.3）式, 欲使
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [ak , bk ] ,
其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 [ak , bk ] 的长度
bk ak (b a) / 2 k
当 k 时趋于零，就是说，如果二分过程无限地继续 下去，这些区间最终必收缩于一点 x *，该点显然就是所 求的根.
于是对任意正整数 p 有
xk p xk xk p xk p 1 xk p 1 xk p 2 xk 1 xk ( Lk p 1 Lk p 2 Lk ) x1 x0 Lk x1 x0 . 1 L
6
每次二分后，设取有根区间 [ak , bk ] 的中点
xk (ak bk ) / 2
作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的 序列
x0 , x1 , x2 , xk ,,
该序列必以根 x *为极限. 由于
x * xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 ,
即是根，
若
ab 2
f(
ab ab ) f ( a ) 0 ，则以 2 2
代替 b，否则以
代替 a .
ab 即为所求近似根. 2
10
反复执行步骤2和步骤3，直到区间 [a, b] 长度小于 允许误差 ，此时中点
2 迭代法及其收敛性
2.1 不动点迭代法 将方程（1.1）改写成等价的形式
(k 0,1,2, ).
各步迭代的结果见表2.
如果仅取6位数字，那么结果 x7与 x8 完全相同，这时可 以认为 x7实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根.
表2 k 0 1 2 3 4 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 k 5 6 7 8 xk 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
x f ( x)的符号 0 1 2 3 4 5 6
由此可知方程的有根区间为 [1,2], [3,4], [5,6].
4
1.2
二分法
考察有根区间 [a, b]，取中点 x0 (a b) / 2 将它分为 两半，假设中点 x0 不是 f ( x) 的零点，然后进行根的搜索. 检查 f ( x0 ) 与 f (a )是否同号，如果确系同号，说明所 求的根 x * 在 x0 的右侧, 这时令 a1 x0 , b1 b；否则 x * 必 在 x0 的左侧，这时令 a1 a, b1 x0 . 见图1.
首先考察 ( x ) 在 [a, b]上不动点的存在唯一性. 定理1 设 ( x) C[a, b] 满足以下两个条件： 1° 对任意 x [a, b]有 a ( x) b 2° 存在正常数 L 1，使对任意x, y [a, b] 都有
( x) ( y ) L x y .
的求根问题，其中系数 ai (i 0,1,, n) 为实数.
2
方程 f ( x) 0 的根 x *，又称为函数 f ( x) 的零点， 它使 f ( x*) 0 ，若 f ( x) 可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中 m 为正整数，且 g ( x*) 0. 当 m 1时，称 x *为单根，若 m 1 称 x *为（1.1） 的 m重根，或 x * 为 f ( x)的 m重零点. 若 x* 是 f ( x) 的 m重零点，且 g ( x ) 充分光滑，则 f ( x*) f ( x*) f ( m1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0. 当 f ( x)为代数多项式（1.2）时，根据代数基本定理 可知， n 次方程在复数域有且只有 n 个根（含复根，m 重 根为 m个根）.
（2.4）
则 ( x ) 在 [a, b]上存在唯一的不动点 x * . 证明 先证不动点存在性.
若 (a) a 或 (b) b ，显然 ( x ) 在[a, b] 上存在 不动点.
17
因 a ( x) b，以下设 (a) a 及 (b) b ，定义函数
如此反复迭代计算
xk 1 ( xk ) (k 0,1,).
（2.2）
11
( x )称为迭代函数.如果对任何 x0 [a, b]，由（2.2）得到
的序列 {xk } 2)收敛，且 x* ( x*) 为 ( x ) 的不动点， 故称（2.2）为不动点迭代法.
f ( x) ( x) x.
显然 f ( x) C[a, b] ，且满足 f (a) (a) a 0, f (b) (b) b 0，由连续函数性质可知存在 x* (a, b) 使 f ( x*) 0 ，即 x* ( x*), x * 即为 ( x ) 的不动点. 再证唯一性.
第五章
非线性方程求根
1
1. 方程求根与二分法
1.1 引言
f ( x) 0
单变量非线性方程 （1.1） 的求根问题，这里 x R , f ( x) C[a, b]. 一类特殊的问题是多项式方程
f ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an (a0 0), （1.2）
图1
5
不管出现哪一种情况，新的有根区间 [a1 , b1 ]的长度仅 为 [a, b]的一半. 对压缩了的有根区间 [a1 , b1 ]又可施行同样的手续，即 用中点 x1 (a1 b1 ) / 2 将区间 [a1 , b1 ]再分为两半，然后通 过根的搜索判定所求的根在 x1 的哪一侧，从而又确定一 个新的有根区间 [a2 , b2 ] ，其长度是[a1 , b1 ] 的一半. 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间
迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式 方程（2.1）归结为一组显式的计算公式（2.2）， 方程 x ( x) 的求根问题在 xy平面上就是要确定曲 线 y ( x) 与直线 y x 的交点 P *.
对于 x *的某个近似值 x0 ，在曲线 y ( x) 上可确定 一点 P0 ，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于 ( x0 ) x1.
因 0 L 1，故当 k 时序列 {xk } 收敛到 x * . 再证明估计式（2.5），由（2.4）有