2016天津市河北区高三三模数学理科试卷(及答案)

河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（三）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343Rπ其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{(1)(2)0}A x x x =-+≤，集合{0}B x x =<，则A B =（A ）(0)-∞，（B ）[20)-， （C ）(1]-∞， （D ）[1)+∞，（2）若实数x y ，满足条件01001x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥，≥，≤≤， 则3x y -的最小值为（A ）5- （B ）3- （C ）1 （D ）4（3）运行如图所示的程序框图，若输出的结果为163， 则判断框中应填入的条件是 （A ）4?i > （B ）4?i < （C ）5?i > （D ）5?i <（4）某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（A ）24 （B ）40 （C ）36 （D ）48（5）下列结论错误的是（A ）若“p q ∨”为假命题，则p q ，均为假命题 （B ）“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件（C ）命题：“20x x x ∃∈->R ，”的否定是“20x x x ∀∈-R ，≤” （D ） 命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”（6）设曲线2y x =及直线1y =所围成的封闭图形为区域D ，不等式组1101x y -⎧⎨⎩≤≤，≤≤所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点落在区域D 内的概率为（A ）13（B ）25 （C ）35（D ）23（7）双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且5PF =，则该双曲线的离心率为 （A 23 （B 5（C 5 （D ）2（8）已知函数10()ln 0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，则下列关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（A ）当0k >时，有3个零点，当0k <时，有2个零点 （B ）当0k >时，有4个零点，当0k <时，有1个零点 （C ）无论k 为何值，均有2个零点 （D ）无论k 为何值，均有4个零点河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（三）数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2． 用钢笔或圆珠笔答在答题纸．．．上。

3． 本卷共12小题，共110分。

题 号 二 三总 分 （15） （16） （17） （18） （19） （20）分 数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知i 为虚数单位，复数24i1i+=+ _______________． （10）如图，已知圆1O 和圆2O 交于点C 和D ，圆1O 上的点P 处的切线交圆2O 于A B ， 两点，交直线CD 于点E ，M 是圆2O 上的一点，若2PE =，1EA =，=30AMB ∠︒， 则圆2O 的半径为_______________．（11）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若22sin A = 22ABC a S ∆==，b 的值为_______________．（12）已知曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ， 曲线12C C ，相交于点M N ，，则弦MN 的长为_______________．（13）已知ABC ∆是边长为的等边三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为______________． （14）设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若对任意的[]x a b ∈，， 都有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“密切函数”，区间[]a b ，称 为“密切区间”．若()=ln f x x 与1()=mx g x x-在1[e]e ，上是“密切函数”，则实数m 的取值范围是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数πππ()=12sin(+)[sin(+)cos(+)]888f x x x x --，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数π()8f x +在区间π[0]2-，上的最大值和最小值．请将答案写在答题纸上（16）（本小题满分13分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能 正常工作的概率分别降为112223，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修 集成电路E 所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E 需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修 集成电路所需的费用，求随机变量X 的分布列和期望()E X ．请将答案写在答题纸上得分 评卷人 （17）（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =AB =AC =，E F ，分别是1CC BC ，的 中点，11AE A B ⊥，D 是11A B 上的点． （Ⅰ）求证：DF AE ⊥；（Ⅱ）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为14若存在，说明点D 的位置；若不存在，请说明理由．请将答案写在答题纸上（18）（本小题满分13分）已知圆2219:()24E x y +-=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12F F ，，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F E A ，，三点共线，直线l 交椭圆 C 于M N ，两点，且λ(λ0)MN =OA >．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程．请将答案写在答题纸上（19）（本小题满分14分）已知数列{}n a 是公比为正整数的等比数列，若22a =且13412a a a +，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）定义：12nn P P P +++为n 个正数123n P P P P ，，，，（*n ∈N ）的“均倒数”， （ⅰ）若数列{}n b 的前n 项的“均倒数”为*1()21n n a ∈-N ，求数列{}n b 的通项公式；（ⅱ）试比较1212nnb b b +++与2的大小，并说明理由．请将答案写在答题纸上（20）（本小题满分14分）已知函数1()()ln f x a x x x=--，其中a ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f y =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数e()g x x=，若在[1e]，上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x ≥成立， 求实数a 的取值范围．请将答案写在答题纸上河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（三）数 学 答 案（理）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）3+i ； （10）3； （11（12 （13）3； （14）[e 22]-，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2πππ()12sin ()2sin()cos()888f x x x x =-++++ππcos(2)sin(2)44x x x =+++=，∴()f x 的最小正周期T π=． ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ππ())84f x x +=+，令π())4g x x =+，∵()g x 在ππ[]28--，上为增函数，在π[0]8-，上为减函数，且π3π())124g --=-，π()8g -，π(0)14g ==，∴()g x 在区间π[0]2-，1-，即π()8f x +在区间π[0]2-，，最小值为1-． …………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A B C ，，，则112()()()223P A P B P C ===，，．依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：① 3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=； ② 3个元件中的2个不能正常工作，概率为21()()()()3P P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =++=++=．∴集成电路E 需要维修的概率为12512P P +=．…………6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0100200，，．∵2749(0)()12144P X ===， 125735(100)()()121272P X C ===， 2525(200)()12144P X ===，∴X0 100 200 P49144 3572 25144493525250()0100200144721443E X =⨯+⨯+⨯=． …………13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）∵11AE A B ⊥，11A B AB ∥，∴AE AB ⊥． 又1AA ⊥平面ABC∴1AA AB ⊥． 又1AE AA A =，∴AB ⊥平面11A ACC ． ∴AB AC ⊥．以A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，则111(000)(01)(0)222A E F ，，，，，，，，．设(λ01)D ，，(0λ1)≤≤，则11(λ1)22DF =-，，-，1(01)2AE =，，．∵11==022DF AE ⋅-， ∴DF AE ⊥． …………6分（Ⅱ）假设D 点存在，设平面DEF 的法向量为()x y z =，，n ， 则00.FE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n∵111()222FE =-，，，11(λ1)22DF =-，，-， ∴111022211(λ)022x y z x y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，--． ∴3(λ1)02x z -+=．取3x =，则(312λ2(1λ))=，+，-n ． 又平面ABC 的法向量为(001)=，，m ，∵平面DEF 与平面ABC 14， ∴222(1λ)14cos 9(12λ)1λ)⋅-===⋅++-，+（4m n m n m n解得1λ=2或7λ=4（舍）．∴当D 为11A B 的中点时，满足条件．…………13分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点12F F ，， ∴2219(0)24c +-=，解得2c =∵1F E A ，，三点共线，∴1AF 为圆E 的直径． ∴212AF F F ⊥． ∵2222112981AF AF F F =-=-=， ∴123142AF AF a ==+=+．∴2a =．由222+a b c =，得b =∴椭圆C 的方程为22142x y +=． …………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，点A的坐标为1)， ∵λ(λ0)MN OA =≠ ∴直线l的斜率为2，设直线l的方程为2y x m =+.联立222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，得2220x m +-=． 设1122()()M x y N x y ，，，，由22)4(2)0m ∆=-->，得22m -<<．∵122122x x x x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，∴2MN x =-=１ 又点A 到直线l的距离为d ，2212(4)22AMN S MN d m m ∆==-+== 当且仅当224m =m -，即m = ∴直线l的方程为2y x =+或2y x =-． …………… 13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 由题意知，2122(2+)=+22q q q，即2(21)(2)=0q q --． ∵q 为正整数，∴=2q ．∴12n n a -=． …………5分（Ⅱ）（ⅰ）由题意有12121n n n b b b +=++-，∴12(21)n n b b b n +++=-． ①1121(1)(21)(2)n n b b b n n -+-++=--≥． ②由①-②得， 1(1)21n n b n -=+⋅-(2)n ≥，又11b =， . ∴1*(1)21()n n b n n -=+⋅-∈N ． （ⅱ）当1n =时，1112b =<；当2n ≥时，1111(1)1(1)1(1)21(1)21(1)22n n n n n n n n n b n n n ----+-+==<=+-+-+． ∴011121212221321(1)21n n n nb b b n -+++=+++⋅-⋅-+- 011111222n -<+++11112221212n n --==-<-． ∴12122nnb b b +++<*()n ∈N ． ………… 14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln f x x x x =--，211()1+f x =x x'-， (1)11ln10f =--=，(1)1+111f ='=-，∴曲线)(x f y =在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-．………… 4分（Ⅱ）∵22211()(1)ax x+af x =a x x x '=-+-，要使函数()f x 在定义域(0)+∞，内为增函数， 只需()0f x '≥在(0)+∞，上恒成立．∴20ax x +a -≥，即21x a x +≥，也即11a x x+≥恒成立．又12x x+≥，∴a 的取值范围为12a ≥． ………… 8分（Ⅲ）∵e()g x x=在[1e]，上是减函数， ∴(e)()(1)g g x g ≤≤，即1()e g x ≤≤．（1）当0a ≤时，211()(1)0f x =a x x'+<-，∴()0f x '<，∴()f x 在[1e]，上是减函数；∴max (())(1)0<1f x f ==，不合题意．（2）当102<a <时，∵[1e]x ∈，，∴10x x-≥．∴111()()ln ()ln 2f x a x x x x x x =----≤．令11()()ln 2F x x x x =--，由（Ⅱ）知，()F x 在[1e]，上是增函数，∴111111()ln (e )ln e =(e )1122e 2ex x x ------<≤．∴()1f x <，不合题意．（3）当12a ≥时，由（Ⅱ）知，1()()ln f x a x x x=-- 在[1e]，上是增函数，(1)01f =<，又e()g x x=在[1e]，上是减函数， ∴只需max min (())(())f x g x ≥，又max 1(())(e )ln e ef x a =--，即1(e )11ea --≥， 解得22e e 1a -≥．∴a 的取值范围是22e[)e 1+∞-，． ………… 14分。