第五章-1-劳斯稳定性判据[1]自动控制原理 浙江大学考研资料

n n −1
R
+ -
y G H
特征多项式
其中， Q ( s ) = Δ ( s ) = bn s + bn −1s
+
+ b1s + b0
为了计算系统闭环传递函数的极点，我们需要求解如下方程：
Q ( s ) = Δ ( s ) = bn s n + bn −1s n −1 + + b1s + b0 = 0
d2 = − d3 = −
连续运算，直到所有的 d 式都计算完成， 余下的各行都按照类似的方法计算，直到 s0 行。 注意：劳斯阵列中，s1 和 s0 行都只包 含一项。
• 步骤 3: 特征方程根中，具有正实部的根的个数，等于劳斯阵 列中第一列元素符号变化的次数。 • 因此，对于稳定系统来说，劳斯阵列的第一列元素必须没有符号变 化，这是系统稳定的充分必要条件。
bn − 2 bn −3
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劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
例1
Q ( s ) = s 5 + s 4 + 10 s 3 + 72 s 2 + 152 s + 240
劳斯阵列 首次符号变化 第二次符号变化
s5
在首列中，发生了 2 次符号变化，因此有 2 个特征根位于 S 平面的右半平面，系统 不稳定。 事实上，系统特征根为：
1
bn c1 d1 j1 k1
bn − 2 c2 d2
bn − 4 bn −5 c3
bn −1 bn −3
c1 =
c2 = − c3 = −
连续运算，直到余下 的 C 式都为零。
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劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
d1 = c1bn −3 − bn −1c2 − 1 bn −1 bn −3 = c2 c1 c1 c1 1 bn −1 bn −5 c3 c1 c1 1 bn −1 bn −7 c4 c1 c1
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引 言
引言 系统稳定性
控制科学与工程学系
引言
引言
开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为 反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。 衡量反馈控制系统性能的五个重要指标 稳定性 可控性 可观性 参数灵敏性
取决于系统的特征方程， 有多种分析方法。
稳态误差的存在性及量级
基于状态空间模型
8
引言
s1 = − 3 s 2 ,3 = − 1 ± j s 4 ,5 = + 2 ± j 4 3
+ - 2 + s1 s
s0
c1 =
s4 s3
1 1 − 62 70.6 122.6 240
10 72 − 88 240
152 240
b n −1b n − 2 − b n b n − 3 − 1 1 10 = = − 62 1 1 72 b n −1 1 b n −1 1 b n −1 bn b n −1 bn b n −1 bn − 4 1 152 =− = − 88 bn − 5 1 240 bn − 6 =0 bn − 7
15
引言
稳定性判别方法
1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据 是一种代数判据方 法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从 而决定系统的稳定性. 2. 根轨迹法 是一种图解求特征根的方法。根据系统开环传递函数 以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的 轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据 是一种在复变函数理论基础上建立起 来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性， 同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上得到 了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺 夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根 据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
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[
]
劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
也就是说，对于 n 阶方程，我们可以得到
Δ ( s ) = bn s n − b n s n − 1 ∑ 所 有 特 征 根 + − bn s n − 3 ∑ 所 有 三 个 特 征 根 的 乘 积 + bn s n − 2 ∑ 所 有 两 个 特 征 根 的 乘 积 + … + ∑ bn ( − 1) n ( 所 有 n 个 特 征 根 的 乘 积 )
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引言
稳定性概念
• 我们可以利用放置在水平面 上的圆锥体的运动来理解稳定 性的概念。
• 反馈系统稳定的一个充分必 要条件是，系统传递函数的所 有极点均具有负实部。
稳
临界稳
不稳
11
引言
稳定性概念
• 下面是关于稳定系统、不稳定系统和临界稳定系统的实 例。
不稳定
稳定
临界稳定
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引言
稳定性概念
稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改 变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰 动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时 间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的 平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系 统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
bn −1bn − 2 − bn bn −3 − 1 bn bn − 2 = bn −1 bn −1 bn −1 bn −3 1 bn bn − 4 bn −1 bn −1 bn −5 1 bn bn −6 bn −1 bn −1 bn −7
步骤 2: 计算并完成劳斯阵列
sn s n −1 s n−2 s n −3 s s0
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劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
特征多项式 Q(s) 劳斯阵列 首次符号变化
Δ ( s ) = bn s n + bn −1 s n −1 +
sn bn c1 d1 j1 k1 bn − 2 c2 d2 s n −1 s n−2 s n −3 s1 s0
c1 =
+ b1 s + b0
பைடு நூலகம்
bn − 4 … bn −5 c3
c2 = − c3 = − ……
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劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
在应用劳斯判据判定系统稳定性时，可以会遇到 3 种情况： (1) 首列无零元素 (2) 首列有零元素，但在零元素所在的行中具有非 零的其他元素 (3) 劳斯阵列的某一行元素均为零
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劳斯稳定性判据
情况 1：劳斯阵列第一列无零元素
例 2 ：二阶系统 二阶系统的特征多项式为：
a 2 a1 − a0 a3 = 1 × 2 − 24 × 1 = −22 < 0 可知，系统不稳定。
自动控制理论
第五章 控制系统特性
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
1
第二章回顾
第二章 列写系统方 输入变量、输出变量 方程的阶——独立储能元件 输入输出模型及其一般形式
– 微分方程 – 传递函数 – 方块图
状态空间模型 线性化
2
第三章回顾
第三章 微分方程的 稳态响应 暂态响应 系统暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的全解
情况 1：劳斯阵列第一列无零元素
例 3：三阶系统 三阶系统的特征多项式为：
Δ (s) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a1s + a 0
劳斯阵列为：
其中，
s3 s s
2
a3 a2 c1 d1
a1 a0 0 0
s1
0
− 1 a3 c1 = a2 a2 − 1 a2 d1 = c1 c1
a1 a2 a1 − a0 a3 = , a0 a2 a0 = a0 0
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引言
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引言
稳定性判别方法
令特征多项式（闭环传递函数的分母）等于零，计算系统的极点 不直接计算系统极点 – 劳斯-赫尔维茨判据 – 根轨迹 – 奈奎斯特判据
根据系统开环传递函数 根据系统特征方程
对于一般的非线性系统（线性系统为非线性系统的特例），我们可 以利用李亚普诺夫稳定性理论来判别系统的稳定性 我们将开始研究线性系统稳定性分析问题——劳斯-赫尔维茨判据
如果 Δ ( s ) 写成因式相乘形式，我们可以得到（ λi , i = 1, 系统特征根），( s ) = b ( s − λ )( s − λ ) ( s − λ ) = 0 Δ
n 1 2 n
,n 为
将因式相乘后展开，可以得到
bn sn −(λ1 + +λn )sn−1 +(λ1λ2 +λ2λ3 + )sn−2 −(λ1λ2λ3 +λ1λ2λ4 + )sn−3 +(−1)n λ1λ2 λn = 0
引言
劳斯稳定性判据为判别系统稳定性提供了途径，并且 不需要直接计算系统特征方程的根。 稳态误差可以根据单位反馈系统（或等价的单位反馈 系统）的开环传递函数获得，其作为一种性能指标， 为系统分类提供了依据。
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引言
引言
我们将介绍一种评价系统稳定性的有力工具——劳斯-赫尔维茨方法， 该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复 平面右半平面的特征根个数 。 这样，我们可以在不增加计算量的前提下推断特征根的位置，并分析 系统的稳定性；同时，该方法还为我们提供了保证闭环系统稳定性的系 统参数设计方法。 对于稳定系统，我们还将引入相对稳定的概念，这个概念同系统的稳 定程度有关，而稳定程度同特征根与虚轴之间的距离有关。
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第五章要点