新高考数学突破选择题、填空题的解法

专题突破练1选择题、填空题的解法一、选择题1.方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<02.(2019北京海淀区高三一模,理6)已知复数z=a+i(a∈R),则下面结论正确的是()A.z=-a+iB.|z|≥1C.z一定不是纯虚数D.在复平面上,z对应的点可能在第三象限3.(多选题)在△ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是()A.若A<B,则sin A<sin BB.若sin A<sin B,则A<BC.若A>B,则1tan2A >1tan2BD.若A<B,则cos2A>cos2B4.(多选题)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区间”的是() A.f(x)=2xB.f(x)=3-2xC.f(x)=x2-2xD.f(x)=ln x+25.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC等于()A.35B.4 5C.3 4D.436.(2019安徽宣城高三二调,理7)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.a>c>d>bB.a>d>c>bC.c>d>a>bD.c>a>b>d7.(2019安徽滁州一中高三模拟,文10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点.点A在抛物线上,若点P是抛物线准线上的动点,O为坐标原点,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为()A.√5B.√13C.2√5D.2√138.设函数f (x )={3x -1,x <1,2x ,x ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A .[23,1] B .[0,1] C .[23,+∞)D .[1,+∞)9.(多选题)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为PB ,PC 的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有( )A.直线AE 与直线BF 异面B.直线AE 与直线DF 异面C.直线EF ∥平面PADD.直线EF ∥平面ABCD10.(2019山西高三二模,文12)已知函数f (x )=xlnx+ax+1只有一个零点,则a 的取值范围为( ) A.-1e,0 B.-1e ,0 C.(-∞,0]∪{1e} D.(-∞,0)∪{1e }二、填空题11.设a>b>1,则log a b ,log b a ,log ab b 的大小关系是 .(用“<”连接)12.(2019河北邯郸一中高三二模,文14)已知直线l 过点(1,1),过点P (-1,3)作直线m ⊥l ,垂足为M ,则点M 到点Q (2,4)距离的取值范围为 .13.已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数,其导函数记为f'(x ),若对于∀x ∈R ,有f (x )>f'(x ),且y=f (x )-1是奇函数,则不等式f (x )<e x 的解集为 .14.(2019江苏无锡高三期末)已知直线y=k (x+2)(k>0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)(其中x 1<x 2<x 3<x 4),则x 4+1tan x 4= .15.设函数g (x )=x 2-2(x ∈R ),f (x )={g (x )+x +4,x <g (x ),g (x )-x ,x ≥g (x ),则f (x )的值域为 .16.(2019山西晋城高三三模,文16)记数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =3a n +2n-3,则数列{a n }的通项公式为a n =.参考答案专题突破练1 选择题、填空题的解法1.C 解析 当a=0时,x=-12,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B .故选C . 2.B 解析 z=a+i 的共轭复数为z =a-i,所以A 错误;|z|=√a 2+1≥1,所以B 正确;当a=0时,z 是纯虚数,所以C 错误;复数z 对应的点为(a ,1),因为纵坐标y=1,所以不可能在第三象限,D 也错误.故选B.3.ABD 解析 A .若A<B ,则a<b ,2R sin A<2R sin B ,所以sin A<sin B ,所以该选项正确;B .若sin A<sin B ,∴a2R <b 2R .∴a<b.则A<B.所以该选项正确; C .若A>B ,设A=π3,B=π6,∴1tan2A <0,1tan2B >0,所以该选项错误;D .若A<B ,则sin A<sin B ,sin 2A<sin 2B ,∴-sin 2A>-sin 2B ,∴1-sin 2A>1-sin 2B.∴cos 2A>cos 2B ,故该选项正确.故选ABD .4.BD 解析 对A,可知函数单调递增,则若定义域为[m ,n ]时,值域为[2m ,2n ],故f (x )=2x 不存在“和谐区间”;对B,f (x )=3-2x ,可假设在x ∈(0,+∞)存在“和谐区间”,函数为增函数,若定义域为[m ,n ]时,值域为[m ,n ],则{f (m )=3-2m =m ,f (n )=3-2n =n ,解得{m =1,n =2,(符合) {m =2,n =1,(舍去)故函数存在“和谐区间”; 对C,f (x )=x 2-2x ,对称轴为x=1,先讨论x ∈(-∞,1)区间,函数为减函数,若定义域为[m ,n ]时,值域为[m ,n ],则满足{f (m )=m 2-2m =n ,f (n )=n 2-2n =m ,解得m=n=0,故与题设矛盾;同理当x ∈(1,+∞)时,应满足{f (m )=m 2-2m =m ,f (n )=n 2-2n =n ,解得m=n=3,故无解,所以f (x )=x 2-2x 不存在“和谐区间”;对D,f (x )=ln x+2为单调增函数,则应满足{f (m )=lnm +2=m ,f (n )=lnn +2=n ,可将解析式看作h (x )=ln x ,g (x )=x-2,由图可知,两函数图象有两个交点,则存在“和谐区间”.故选BD . 5.B 解析 (法一)由题意可取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cos C=0,cosA+cosC1+cosAcosC =45.故选B .(法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=12,cosA+cosC1+cosAcosC =45.故选B .6.A 解析 由题意设g (x )=(x-a )(x-b ),则f (x )=2 019+g (x ),所以g (x )=0的两个根是a ,b.由题意知f (x )=0的两个根c ,d ,也就是g (x )=-2 019的两个根,画出g (x )(开口向上)以及直线y=-2 019的大致图象,则与f (x )交点横坐标就是c ,d ,f (x )与x 轴交点就是a ,b.又a>b ,c>d ,则c ,d 在a ,b 内,由图象得,a>c>d>b.故选A.7.D 解析 ∵|AF|=5,∴点A 到准线的距离为5,由抛物线焦半径公式可知:点A 的横坐标为4.又点A 在抛物线上,∴点A 的坐标为(4,±4).∵坐标原点关于准线对称点的坐标为B (-2,0),∴|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=√(-2-4)2+(0±4)2=2√13.故选D .8.C 解析 当a=2时,f (a )=f (2)=22=4>1,f (f (a ))=2f (a ),∴a=2满足题意,排除A,B 选项;当a=23时,f (a )=f (23)=3×23-1=1,f (f (a ))=2f (a ),∴a=23满足题意,排除D 选项,故答案为C .9.ACD 解析 由题可知,该几何体为正四棱锥.对A,可假设AE 与BF 共面,由图可知,点F 不在平面ABE 中,故矛盾,A 正确;对B,因E ,F 为BP ,CP 中点,故EF ∥BC ,又四边形ABCD 为正方形,所以AD ∥BC ,故EF ∥AD ,A ,D ,E ,F 四点共面,B 错误;对C,由B 的证明可知,EF ∥AD ,又AD ⊂平面PAD ,故直线EF ∥平面PAD ,C 正确; 对D,同理由B 的证明可知,EF ∥BC ,又BC ⊂平面ABCD ,故直线EF ∥平面ABCD ,D 正确.故选ACD .10.C 解析 ∵f (x )=xlnx+ax+1只有一个零点,∴x ln x+a=0只有一解,即a=-x ln x 只有一解.设g (x )=-x ln x (x>0),则g'(x )=-ln x-1=-(ln x+1),当0<x<1e 时,g'(x )>0,当x>1e 时,g'(x )<0,∴g (x )在0,1e 上单调递增,在1e ,+∞上单调递减.故当x=1e 时,g (x )取得最大值g 1e =1e ,且当x →0时,g (x )→0,当x →+∞时,g (x )→-∞.∵a=g (x )只有一解,∴a ≤0或a=1e .故选C.11.log ab b<log a b<log b a 解析 考虑到两个数的大小关系是确定的,不妨令a=4,b=2,则log a b=12,log b a=2,log ab b=13,显然13<12<2,∴log ab b<log a b<log b a. 12.[√2,3√2] 解析直线l 过定点设为A ,则有A (1,1),设M (x ,y ),因为直线m ⊥l ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(-1-x ,3-y )·(1-x ,1-y )=0,化简为:x 2+(y-2)2=2,所以点M 的轨迹为以C (0,2)为圆心,√2为半径的圆.∵|CQ|=√22+22=2√2,∴|CQ|-√2≤|MQ|≤|CQ|+√2,即√2≤|MQ|≤3√2.故答案为[√2,3√2].13.(0,+∞) 解析 由题意令g (x )=f (x )e x ,则g'(x )=f '(x )e x -(e x )'f (x )(e x )2=f '(x )-f (x )e x, ∵f (x )>f'(x ),∴g'(x )<0,故函数g (x )=f (x )e x在R 上单调递减.∵y=f (x )-1是奇函数,∴f (0)-1=0,即f (0)=1,g (0)=1,则不等式f (x )<e x 等价为f (x )e x<1=g (0),即g (x )<g (0),解得x>0.14.-2 解析 直线y=k (x+2)过定点(-2,0),如图所示.由图可知,直线与余弦函数图象在x 4处相切,且x 4∈π2,π,即k(x 4+2)=-cos x 4,所以k=-cos x 4x 4+2.又y'=(-cos x )'=sin x ,即直线的斜率为k=sin x 4,因此k=-cos x 4x 4+2=sin x 4,即cos x4sin x 4=-x 4-2,所以x 4+1tan x 4=x 4+cos x4sin x 4=x 4-x 4-2=-2.15.[-94,0]∪(2,+∞) 解析 由x<g (x ),得x<x 2-2,∴x<-1或x>2; 由x ≥g (x ),得x ≥x 2-2, ∴-1≤x ≤2.∴f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.当x<-1时,f (x )>2;当x>2时,f (x )>8.∴当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0.∴当x ∈[-1,2]时,函数的值域为[-94,0].综上可知,f (x )的值域为[-94,0]∪(2,+∞).16.2-(32)n解析当n=1时,S1=a1=3a1-1,解得a1=12;当n≥2时,S n=3a n+2n-3,S n-1=3a n-1+2n-5,两式相减可得a n=3a n-3a n-1+2,故a n=3a n-1-1.设a n+λ=3(a n-1+λ),故λ=-2,即a n-2=32(a n-1-2),故a n-2a n-1-2=32.故数列{a n-2}是以-32为首项,32为公比的等比数列,故a n-2=-32·(3 2)n-1.故a n=2-(32)n.。