工程结构抗震设计第3章 地震作用和结构抗震验算

图3.11 多自由度体系计算模型
39
3.5.2 运动方程的解 在自由振动时系统的振动可表示为简谐振动的合成：
40
41
42
43
44
45
3.5.3 主振型的正交性 自由振动的振型｛X｝j具有某些特殊性质，它们在 结构动力分析中是非常有用的，这些性质叫正交关系。 第一个正交性是不同的振型对质量矩阵的正交性，即：
第3章 地震作用和结构抗震验算
本章要点 本章介绍静力法和单自由度、多自由度 体系的运动方程及其在地震作用下的解。阐述了反应谱 的概念、振型分解反应谱法和底部剪力法。给出了时程 分析法的概念。最后阐述了截面抗震验算的方法。
1
3.1 概 述
地震时由于地面运动使原来处于静止的结构受到动 力作用，产生强迫振动。这种由于地面运动引起的对结 构的动力作用称为地震作用。地震作用下在结构中产生 的内力、变形和位移等称为结构的地震反应。
2
3.2 静 力 法
静力法始于意大利，发展于日本。结构抗震定量计 算由此开始。1900年日本学者大森房吉提出的基本烈度 表，用静力等效最大水平惯性力的绝对值，并以最大水 平加速度绝对值|xg|max作为地震烈度的绝对指标。日本 当时的结构多为笨重的砖石结构，地震后许多石灯柱和 碑石倒塌了，人们认为是地震时由水平地震作用力F推 倒的。1899年大森房吉提出结构物所受的地震力F可表 示为：
37
3.5.1 运动方程的建立 图3.11（c）是n个自由度体系的自由振动模型，设 振动的某瞬时各质点的位移分别为xi（t）,i=1,2,…，n。 则作用在该质点mi上的惯性力分别为－mixi（t）。用δik 表示单位力作用于质点k上引起质点i的位移，即柔度系 数，则多自由度无阻尼位移方程可写成
38
9
3.3.1 运动方程的建立 为了确定当地面加速度按xg（t）变化时单自由度体 系相对位移反应x（t），我们来建立其运动方程。 取m为隔离体（图3.4（b）），作用在它上面的力 有： （1）弹性恢复力 这是使质点从振动位置回到平衡位置的一种力，它 的大小与质点m的相对位移x（t） 成正比，方向总是指 向平衡位置，即：
54
55
56
3.7 多自由度体系水平地震作用——振型分解反应 谱法
多自由度体系在地震时，质点i上受到的地震作用等 于质点i上的惯性力
57ห้องสมุดไป่ตู้
58
59
图3.14 例3.3图
60
3.8 多自由度体系水平地震作用近似计算法——底 部剪力法
按振型分解反应谱法计算水平地震作用，随着自由 度的增加，计算变得冗繁。为简化计算，《建筑抗震设 计规范》规定，高度不超过40m，以剪切变形为主且质 量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质 点体系的结构，宜采用底部剪力法等简化法近似计算其 水平地震作用。
13
它表示质量为单位质量的单自由度体系在地震干扰 力-xg（t）作用下的强迫振动。（3.13）的解由对应齐 次方程的通解与非齐次方程的特解组成。
14
3.3.2 运动方程的解 为了获得方程（3.13）的解，首先考虑式右等于零 的齐次方程，
（1）无阻尼自由振动 如果体系没有阻尼，即c=0，则方程（3.14）成为：
3.4.1 水平地震作用基本公式
22
23
3.4.2 地震影响 如前所述，地震系数k是地面运动最大加速度的绝 对值与重力加速度之比，即
24
25
3.4.3 动力系数β 动力系数β定义为质点最大绝对加速度与地面最大 加速度绝对值之比，即：
26
图3.8 1996.10.17秘鲁利马记录的反应谱
27
46
47
图3.12 例3.2图
48
49
3.6 多自由度体系的地震反应
3.6.1 运动方程的建立
50
图3.13
51
52
53
3.6.2 运动方程的解 对于n个自由度的系统，具有n个独立的主振动，每 个主振动有其相应的振型｛X｝i（i＝1，2，…，`）。 以这n个振型作为广义坐标轴进行坐标变换，则结构的 任意位移可在此广义坐标系中表示出来。如多自由度系 第i个自由度的位移xi，可用各个主振动的分量和表示为
15
16
图3.5 无阻尼自由振动
17
（2）有阻尼自由振动 当体系内存在低阻尼，即c<2ωm时，方程（3.14） 的通解为：
18
图3.6 具有临界阻尼的自由振动
19
（3）地震作用下的强迫振动 求地震干扰力－xg（t）作用下运动方程
20
图3.7 地震干扰力xg（t）作 用下的强迫振动
21
3.4 单自由度体系水平地震作用——反应谱法
3
可以说计算地震力的静力法是把由地震引起的振动、 地基情况、结构动力特性和基础强度等互为影响的复杂 现象简化后，综合地用一个经验性的地震系数来表示的 方法。
4
图3.1 静力法
5
6
7
图3.2 地震合力与地震角
8
3.3 单自由度体系的地震反应
水塔、排架桥墩、单层房屋等结构，它们的质量大 部分集中于结构的顶部，通常都简化为如图3.3所示的 单质点体系。其中m为全部集中于顶部的质量，k为无重 量弹性直杆的刚度系数。 目前，计算弹性体系的地震反应时，一般不考虑地 基转动的影响，而把地面的运动分解两个互相垂直的水 平方向和一个竖直方向的分量，然后分别计算这些分量 对结构的影响。
10
图3.3 单质点弹性体系计算简图
11
图3.4 地震时单质点体系运动状态
12
（2）阻尼力R 在振动过程中，由于外部介质阻力，构件之间的摩 擦等原因，结构的振动将逐渐衰减。这种使结构振动衰 减的力称为阻尼力。在工程计算中一般采用粘滞阻尼理 论，即假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度的 方向相反，
3.4.4 地震影响系数 定义地震系数k和动力系数β的乘积为地震影响系数 α，
28
图3.9 地震影响系数曲线
29
30
31
32
33
图3.10 例3.1图
34
35
36
3.5 多自由度体系的自由振动
实际工程中的结构大多是多自由度体系。如图3.11 （a）所示的多层结构，计算简图可取为图3.11（b）， 其中质量mi为相应第i层取上、下各一半集中于楼面和屋 面标高处的质量，并假设这些质点间以无质量的直杆支 撑于地面上。 为研究多自由度体系的地震作用，首先来分析体系 的自由振动，以了解其动力特征，为确定体系的地震作 用作必要的准备。