变化率问题
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变化率问题
当空气容量V从1L增加到2L时, 气球的平均膨胀率为
r 2 r 1 2 1 0.16 dm / L .
可见 0.62>0.16
这就说明： 随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率 请用用一句话描述得到的结论 逐渐变小。
思考：一般地，当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?
继续观察平均变化率的代数表达式: 由式子你还会想到什么？
f x 2 f x1 x 2 x1
，
几何意义
观察函数f(x)的图 象 f(x y
x
2
) f ( x1 )
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1) O
x 2 x1
Y=f(x)
平均变化率 表示：
T (℃) C (34, 33.4) B (32, 18.6)
30
20 （注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
思考
0
2
10
20
30
34
t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
问题二 气球膨胀率
这是一段吹气球的视频，细细体会气球 的膨胀过程，你有什么发现？随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 怎样从数学角度描述这种现象呢?
状态有什么问题吗 ?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示 意义（实际、
几何）
思想方法
平均速度
从特殊到一般
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
五、作 业
应用：
求函数 y 率.
变化率问题(储蓄问题)
巩固
3、初三(2)班的一个综合实践活动小组 去A、B两超市调查去年和今年“五· 一” 节期间是销售情况：两超市去年的销售 额共150万元，今年为170万元；A超市 销售额今年比去年增加15%，B超市销 售额今年比去年增加10%。求两超市去 年“五· 一”期间的销售额。
求两超市今年“五· 一”期间的销售额。
引入
有关概念：
本金：顾客存入银行的钱。 利息：银行付给顾客的酬金。 期数：存入的时间。 利息=本金×利率×期数 本息和：本金与利息的和。
利率：每个期数内的利息与本金的比。
税后利息=本金×利率×期数× （1-20%）
教育储蓄：利息=本金×利率×期数
练笔
（1）某种储蓄年利率5％，存入100元，则 105元 一年后的取出________ 三年后能取________元.
二、实际问题与二元一次方程组
例 某工厂去年的利润为200万，今年总收入比 去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今 年的利润为780万.去年的总收入、总支出各是 多少?
问1：去年总收入、总支出与哪些量有关，是什么关系？ 去年总收入-去年总支出=去年利润 去年总收入 （1+20%）=今年总收入 去年总支出 （1-10%）=今年总支出 问2：今年总收入、总支出、利润是什么关系？ 今年总收入-今年总支出=今年利润 问3：若设去年总收入为x万元，总支出为y万元，请完成 下面表格？
（2）小明把200元存入银行，一年得净利息 为21.6元，问这项储蓄的年利率为多少？ 等量关系：利息＝本金×利率×期数 解：设这项储蓄的年利率为X
200X＝21.6
解得：X＝10.8％
练笔
（3）爸爸为小明存了一个3年期的教 育储蓄(3年期的年利率为2.7 ％),3年后 能取5405元,他开始存入多少元?
变化率问题举例
三、进行边际分析
【例3】
某厂生产某种产品，总成本c是产量x的函数 c(x)=200+4x+0.05x2,
求产量x=200时的边际成本. 解 因为c′(x)=(200+4x+0.05x2)′
=4+0.1x, 所以，当产量x=200时的边际成本为
c′(x)|x=200=4+0.1×200=24.
三、进行边际分析
变化率问题 举例
一、求非恒定电流的电流强度
由电学知识可知，恒定电流的电流强度是单位时间内通过 导体横截面的电量Q，即i=Q/t,而非恒定电流的电流强度就不 能按上述公式计算.
设非恒定电流通过导体横截面积的电量Q是时间t的函数， 即Q=Q(t),当时间由t0变到t0+Δt时，通过导体的电量由Q（t0） 变到Q（t0+Δt）,此时的平均电流强度为
四、进行弹性分析
【例5】
设某商品的需求函数为Q=eห้องสมุดไป่ตู้p5（其中P是商品的价格 ，Q是商品的需求量），求： （1)需求弹性函数； （2)当P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并说明其经济意义
.
四、进行弹性分析
第六节
函数的微分
引例1
一、引例
求自由落体运动中，物 体由时刻t到t+Δt所经过路程 的近似值.
设总成本函数c=c(q)是可导的，其中q表示产量，c表示总 成本，则产量为q的边际成本为
设定某种产品的单位售价为P(P不变)，则总收入函数R(q)=P·q, 总利润函数 L(q)为
L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q), 上式两边对q求导，有
L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).
三、进行边际分析
5.1.1变化率问题
1)处的切线.
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
变化率 问题
y y=f(x) B (x2, f(x2))
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时，可以采用近似解析法，通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛，涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中，变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如，研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速；分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策；研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式，使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
Python是一种解释型、高级编程语言，具有简单易学、语法简洁、可读 性强等特点。
Python拥有丰富的第三方库和框架，如NumPy、Pandas、SciPy等，可 以进行科学计算、数据分析、机器学习等多种任务。
工程领域应用
总结词
详细描述
生物领域应用
总结词 详细描述
物理领域应用
总结词
详细描述
变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱，支持多种编程语言和脚本语言，方便用户进行算法设计和数据 分析。
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
2.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在 10 秒后加速到 80km/h，求此过程中汽车的加速度。
3. 已知 y = e^x，求当 x = 1 时，y 的变化率。
4. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在 x = -1 处的导数和变化率。
5. 一根杆的长度为 10m，下端固定在地面上，上端固定在墙上，当地面与杆之间的距离为 6m 时，墙与杆之间的距离变化的速率是0.2m/s，求地面与杆之间的距离的变化速率。
6. 已知函数 y = x^2 + 2x，求当 x = 3 时，y 的导数和变化率。
7. 一架飞机以 800km/h 的速度飞行，在 5 秒后加速到
1000km/h，求此过程中飞机的加速度。
8. 求函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 在 x = 0 处的导数和变化率。
9. 已知 y = ln(x)，求当 x = 2 时，y 的变化率。
10. 一张正方形的边长为 5cm，在此正方形的四个角落各铺一只蚂蚁，当蚂蚁开始沿着正方形的边爬行时，正方形的面积的变化率是多少？
- 1 -。
5.1.1变化率问题
表示。这个式子称为函数 y=f(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率。
习惯用∆x=x1-x2，∆y=y1-y2 ，故平均变化率表示为：
y = f (x1) f (x2 )
x
x1 x2
但天才的牛大爷 并不满足于算出平 均速度，他更想知 道，在变速运动中， 瞬时速度怎么算呢？
问题引入
从5s到6s，小 车的速度变化了不 少，用其平均速度 来刻画5s时的瞬时 速度，不够准确。 那如果缩短时间， 你能求出由5s到5.1s 的平均速度吗？由 5s到5.01s呢?
问题引入
（1）求5s到5.1s的平均速度 （2）求5s到5.01s的平均速度
问题引入
问题引入 由5s到5+∆t s的平均速度又如何计算呢？
问题引入 由5s到5+∆t s的平均速度又如何计算呢？
问题分析
当时间为 t 到 t +△t的平均速度的计算式子：
问题分析
当时间为 t 到 t +△t的平均速度的计算式子：
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义.
【例3】
【例4】
求函数f(x)=3x2－2x在x=1处的导数.
【课堂训练】
问题引入
牛顿能很简单地计算出 平均速度。比如：第5s到第 6s，路程是25m到36m，它 的平均速度是多少呢？
问题引入
问题引入
牛顿能很简单地计算出
平均速度。比如：第5s到第Biblioteka 6s，路程是25m到36m，它
的平均速度是多少呢？
若函数关系用y=f(x)表示，则变化率可用式子
f (x1) f (x2 ) x1 x2
当时间为 t 的瞬时速度的计算式子：
知识归纳
一般地，函数 y f (x)在x x0 处的瞬时变化率是
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
1.一条杆子长度为10cm，其中心靠左的4cm处挂一重物，偏离
杆子中心线1cm。
若将杆子向左转动，则重物距离中心线的距离将如何变化？
2. 一辆汽车从A点出发，以每小时60公里的速度向B点行驶，同时另一辆汽车从B点出发，以每小时80公里的速度向A点行驶。
两车在D点相遇，若D点距A点120公里，则两车在D点停留了多长时间？
3. 一坛子装有一定质量的水，下面有一个小孔，小孔直径为1mm。
当水面下降了5cm时，流出的水的体积是多少？（已知水密度为1g/cm）
4. 一架飞机从地面起飞，以每小时800公里的速度向东飞行。
同一时刻，另一架飞机从同一地点起飞，以每小时600公里的速度向南飞行。
两架飞机在4小时后相遇，此时它们距离起点的距离分别是多少？
5. 一张长方形纸片，宽为x cm，长为y cm，从其中一角剪掉一个正方形，使得剩余部分的宽和长的比为2：3。
求剪掉的正方形边长。
- 1 -。
变化率问题
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
.
思考：Δx，Δy 以及平均变化率一定为正值吗？
[提示] Δx，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但 Δx 不能为零， 平均变化率ΔΔyx可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在_某__一__时_刻__的速度称为瞬时速度．
(2)函数 f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f (x)从 x0 到 x0＋Δx 的平
3．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在一小段时间[2，2.1]
内的平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
B [ v ＝ΔΔst＝s22.1.1－－s22＝2.102－.1 22＝4.1，故选 B.]
4．一辆汽车运动的速度为 v(t)＝t2－2，则该汽车在 t＝3 时 的加速度为________． 6 [ΔΔvt ＝3＋Δt2－Δ2t－32－2＝Δt2Δ＋t 6Δt＝6＋Δt， 当 Δt→0 时，ΔΔvt →6，即汽车在 t＝3 时加速度为 6.]
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x02＋5) ＝3x02＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数 f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0Δx＋Δx3Δx2＝6x0＋3Δx.
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则 2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.
【规律方法】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝st， 则求物体在 t＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下： 1写出时间改变量 Δt，位移改变量 ΔsΔs＝st0＋Δt－st0. 2求平均速度： v ＝ΔΔst. 3求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v常数.
变化率应用题
变化率应用题
在数学中，变化率是指一个量随着另一个变量的变化而变化的速率。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样涉及变化率的问题，如速度、增长率、衰减率等。
通过对变化率的应用，我们可以更好地理解和解
决实际问题。
举个例子，假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，我们可以
通过计算汽车的速度随时间的变化率来确定在任何特定时间汽车所处
的位置。
如果汽车行驶了3个小时，我们可以通过速度乘以时间的方
法计算汽车行驶的距离，即60公里/小时 × 3小时 = 180公里。
又如，假设一个城市的人口增长率为每年2%，我们可以通过计算
人口增长率对应的变化率来确定未来几年的人口数量。
如果该城市目
前有100万人口，那么经过1年后，人口数量将增加2%，即100万 ×2% = 2万人；经过2年后，人口数量将再次增加2%，即102万 × 2% = 2.04万人。
除了速度和增长率，变化率还可应用于更复杂的问题中，如物体的
加速度、化学反应速率等。
通过对变化率的理解和运用，我们能够更
好地分析和解决各种实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
总的来说，变化率应用题是数学中一个重要且广泛应用的概念，在
现实生活中具有重要的意义。
通过掌握变化率的定义和应用方法，我
们能够更好地理解和解决各种实际问题，提高数学建模和问题求解的
能力。
希望大家能够认真学习和掌握变化率的相关知识，为将来的学
习和工作打下坚实的基础。
变化率问题
变化率问题
1,导数的概念:导数就是瞬时变化率
函数 y f ( x )，如果自变量 x 在 x 0处有增量 x ，那么
函数 y相应地有增量
y
f (x0 x)
f ( x 0 ); 比值
y 就 x
叫做函数 y f ( x )在 x 0到 x 0 x 之间的平均变化率，即
y f (x0 x) f (x0) .
1.已知一个物体运动的位移s(米)与时间t(秒)满足:
s(t) 2t 2 5t, 求物体在第5秒
的瞬时速度。
2.求下列函数的导数 (1)y x3 x cosx (2) f (x) x ln 3x
sin x 3.求曲线y x2 1在点P(-2,5)处的切线方程.
导数的应用有: 1.求切线的斜率(已学过) 2.求函数f(x)的单调性:
x
x
如果当 x 0 时， y 为瞬时变化率 , 这个瞬时变化率 y 叫做
x
x
函数 y f ( x )在点 x 0处的导数
,
记为
f
或 ,
()
y
x x0
,
公式为:
y
xx0
f
'(x0)lxim 0 yxlxim 0 f
(x0
x)f x
(x0)
由定义求导数（三步法）
步骤:
( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x ); (3)求导y数 x lim y. x
x 0x
例1.求y=x2在点x=1处的导数
解： y ( 1 x )2 1 2 2 x ( x )2
y2x(x)2 2x x x
limy lim(2x)2
1,导数的概念:导数就是瞬时变化率
函数 y f ( x )，如果自变量 x 在 x 0处有增量 x ，那么
函数 y相应地有增量
y
f (x0 x)
f ( x 0 ); 比值
y 就 x
叫做函数 y f ( x )在 x 0到 x 0 x 之间的平均变化率，即
y f (x0 x) f (x0) .
1.已知一个物体运动的位移s(米)与时间t(秒)满足:
s(t) 2t 2 5t, 求物体在第5秒
的瞬时速度。
2.求下列函数的导数 (1)y x3 x cosx (2) f (x) x ln 3x
sin x 3.求曲线y x2 1在点P(-2,5)处的切线方程.
导数的应用有: 1.求切线的斜率(已学过) 2.求函数f(x)的单调性:
x
x
如果当 x 0 时， y 为瞬时变化率 , 这个瞬时变化率 y 叫做
x
x
函数 y f ( x )在点 x 0处的导数
,
记为
f
或 ,
()
y
x x0
,
公式为:
y
xx0
f
'(x0)lxim 0 yxlxim 0 f
(x0
x)f x
(x0)
由定义求导数（三步法）
步骤:
( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x ); (3)求导y数 x lim y. x
x 0x
例1.求y=x2在点x=1处的导数
解： y ( 1 x )2 1 2 2 x ( x )2
y2x(x)2 2x x x
limy lim(2x)2
变化率问题举例.
lim
x0
y x
lim
x0
x
f (x0 ) 0 0．
2.1.5 可导与连续的关系
由定义1.16知， y f (x) 在点 x0 处连续． 这个定理的逆命题不成立,即函数 y f (x)
在点 x0 处连续时，在点 x0不一定可导． 例如 函数 y 3 x在 x 0点连续，但不可
导．因为 y 3 0 x 3 0 3 x ，
①写出函数的改变量 y f (x x) f (x)；
②计算比值
y x
f
(x x) x
f
(x)
；
③求极 限
y
f (x)
lim
x0
f (x x) ．x
f
(x)
例 求 y．
解
设 y x10 ，y 3
x
，y
1 x
，y 1 4 x3
由幂函数的求导公式得
(x10) 10x9；
(3
x)
2.1.5 可导与连续的关系
(
1
x3
)
1 3
x
2 3
1 33 x2
；
(1) (x1) (1)x2 1 ；
x
x2
(
1
)
3
(x 4 )
( 3)
7
x4
3
．
4 x3
4
44 x7
例 设 y log2 x ，求 y．
解 因为 a 2 ，由公式，可得
(log2
x)
1 xln 2
．
例
设 y1
10x，y2
2x 3x
，求 y1 ， y2 ．
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间(a,b)
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3
当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了 r 1 r 0 0.62dm， 气球膨胀率为
r 1 r 0 0.62dm / L . 1 0
当空气容量V从1L增加到2L时,气球半径增加
r 2 r 1 0.16dm，
气球膨胀率为
r 2 r 1 0.16dm / L . 2 1
65 h h0 49 v 0 65 0 49
思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题吗?
将上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，问题中的变
化率可用式子 f x2 f x1 表示 x2 x1
随气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r V2 r V1 V2 V1
问题2 高台跳水
高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与 起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 h(t)= －4.9t2+6.5t+10.
用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态
在0≤t≤0.5这段时间里
h0.5 h0 v 4.05m / s 0.5 0
在1≤t≤2这段时间里
h2 h1 v 8.2m / s 2 1
这速度合理吗？
65 探究 计算运动员在0 来自 这段时间里的平均速度, 49
变化率的问题
问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
如何从数学角度来描述这种现象?
气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
4 3 V r r ， 3
如果将半径r表示为体积V的函数
3V r V . 4
把式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 用△x表示 x2－x1 ，即△x = x2－x1，
△x看作是相对于x1“增量”.
类似地 f f x2 f x1
f x
平均变化率为
堂上练习
1.设函数 f (x) = x2-1，求： （1）当自变量 x 由1变到1.1时，自变量的增量△x； （2）当自变量 x 由1变到1.1时，函数的增量△y； （3）当自变量 x 由1变到1.1时，函数的平均变化率.
堂上练习
2.生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)=200+0.05q2, 求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本; (2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率.
思考
观察函数f(x)的图象平均变化率
f f x2 f x1 x x2 x1
y f(x2) f(x1) y=f(x)
表示什么？
x 2 -x 1
f(x2)-f(x1)
O
x1
x2
x
当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了 r 1 r 0 0.62dm， 气球膨胀率为
r 1 r 0 0.62dm / L . 1 0
当空气容量V从1L增加到2L时,气球半径增加
r 2 r 1 0.16dm，
气球膨胀率为
r 2 r 1 0.16dm / L . 2 1
65 h h0 49 v 0 65 0 49
思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题吗?
将上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，问题中的变
化率可用式子 f x2 f x1 表示 x2 x1
随气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r V2 r V1 V2 V1
问题2 高台跳水
高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与 起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 h(t)= －4.9t2+6.5t+10.
用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态
在0≤t≤0.5这段时间里
h0.5 h0 v 4.05m / s 0.5 0
在1≤t≤2这段时间里
h2 h1 v 8.2m / s 2 1
这速度合理吗？
65 探究 计算运动员在0 来自 这段时间里的平均速度, 49
变化率的问题
问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
如何从数学角度来描述这种现象?
气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
4 3 V r r ， 3
如果将半径r表示为体积V的函数
3V r V . 4
把式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 用△x表示 x2－x1 ，即△x = x2－x1，
△x看作是相对于x1“增量”.
类似地 f f x2 f x1
f x
平均变化率为
堂上练习
1.设函数 f (x) = x2-1，求： （1）当自变量 x 由1变到1.1时，自变量的增量△x； （2）当自变量 x 由1变到1.1时，函数的增量△y； （3）当自变量 x 由1变到1.1时，函数的平均变化率.
堂上练习
2.生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)=200+0.05q2, 求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本; (2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率.
思考
观察函数f(x)的图象平均变化率
f f x2 f x1 x x2 x1
y f(x2) f(x1) y=f(x)
表示什么？
x 2 -x 1
f(x2)-f(x1)
O
x1
x2
x