高中数学新课 圆锥曲线方程 教案 (5)
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
高中数学圆锥曲线教学案
高中数学总复习教学案第9单元圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点难点聚焦本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程与标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
本章的难点：求圆锥曲线的方程与利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。
本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。
本章高考分析与预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。
通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉与本章的知识，分值20分左右。
主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等知识与基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题与最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。
§9.1 椭圆① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单性质．本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。
本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用与解决椭圆问题所涉与的思想方法。
高中数学圆锥曲线解读教案
高中数学圆锥曲线解读教案
教学目标：
1. 了解圆锥曲线的基本概念和性质；
2. 掌握圆锥曲线的方程及其图像的特点；
3. 能够通过方程求解圆锥曲线的各项参数。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入圆锥曲线的概念，介绍圆锥曲线在实际生活中的应用。
2. 提出学习目标，激发学生的学习兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线等四种圆锥曲线的定义和性质。
2. 介绍圆锥曲线的方程和各项参数的含义。
3. 分别展示各种圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
三、练习（20分钟）
1. 给学生提供几个圆锥曲线的方程，让他们分别绘制出对应的图像。
2. 让学生通过方程求解圆锥曲线的焦点、准线、长轴、短轴等参数。
四、展示（10分钟）
1. 学生展示他们绘制的圆锥曲线图像，并解读图像的特点。
2. 请学生通过求解方程，解读各种参数的意义。
五、总结（5分钟）
1. 总结圆锥曲线的性质和方程求解方法。
2. 强调重点，提醒学生注意常见的错误和解题技巧。
教学反思：
通过这节课的教学，学生能够对圆锥曲线的基本概念和性质有所了解，提高了他们的数学能力和解题技巧。
在未来的教学中，可以适当增加实例分析，激发学生的思维和创造力。
《圆锥曲线》教学设计-精品教案
圆锥曲线一、教学内容分析圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。
二、学生学习情况分析我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。
三、设计思想由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.四、教学目标1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。
2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。
3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.五、教学重点与难点:教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点:巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】(一)开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出——例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。
(A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在(2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。
(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线【设计意图】定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。
圆锥曲线高中数学讲解教案
圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。
三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。
四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。
3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。
4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。
五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。
希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。
下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册 《圆锥曲线的方程》总体设计
《圆锥曲线的方程》总体设计I总体设计解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础.本章将在“直线和圆的方程”的基础上，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.以上是《标准（2017年版）》对本章内容的总体定位，也是本章编写的总体指导思想.一、本章学习目标1.了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.4.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.5.了解椭圆、抛物线的简单应用.6. 了解解析几何产生和发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.二、本章知识结构框图三、内容安排首先，本章的研究对象是圆锥曲线（几何图形），研究过程中，数形结合思想和坐标法统领全局.教科书按椭圆、双曲线、抛物线的顺序安排了三节内容，三种圆锥曲线的研究内容、过程和方法是“同构”的，对每一种圆锥曲线都是按照“曲线的几何特征—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的过程展开，在具体展开过程中，教科书把椭圆作为重点，强调它的典型示范作用，注重数学思想和基本方法的引领性，双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成.第二，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，与前一章内容的处理方式一样，本章仍然采取在建立圆锥曲线的标准方程后，就着方程的建立过程讨论“曲线上点的坐标都满足方程”“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.这样处理，既不失科学性，又不让学生感到过于抽象，可以使学生在潜移默化中体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步理解通过方程研究曲线性质的合理性，使理性思维得到培养.第三，圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，是平面几何没有涉及的.根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略.对于每一种圆锥曲线，都加强了概念的抽象过程，强调在探索、明确其几何特征（主要是对称性）的基础上，再利用几何特征建立坐标系、求出标准方程，然后通过方程、运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，从而促进学生的直观想象、数学运算等素养的发展.第四，圆锥曲线的统一定义表明三种曲线之间的内在联系，是非常重要的，而“个性定义”的几何特征非常突出，特别是，我们可以根据椭圆的定义方便地得到其图形，通过直观就能发现椭圆的基本特征—对称性.因此，与以往的处理方式一样，教科书以三种曲线的“个性特征”为明线，分别定义三种曲线同时，为了使学生能了解统一定义，教科书以“具体例子+拓展性素材”的方式进行渗透和明确，并在引出抛物线概念时进行适当归纳.第五，教科书虽然没有明确给出求曲线的方程的一般步骤，但在求圆锥曲线的方程时进行了渗透：（1）建立适当的坐标系,用有序实数对(,)x y表示曲线上任意一点M的坐标;（2）写出适合条件p的点M的集合{|()}=;P M p M（3）用坐标表示条件()f x y=;p M,列出方程(,)0（4）化方程(,)0f x y=为最简形式;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.同时，通过“思考”“探究”等栏目，让学生自己推出不同坐标系下的标准方程，达到既熟练推导过程又加强代数运算的训练，并使学生把握标准方程的多样性表示.第六，在研究圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率等性质时，教科书特别注意发挥“几何图形的性质指什么”“如何利用方程研究几何图形的性质”“先直观感知图形的性质，再用方程进行论证”等一般观念的引领作用，通过栏目、边空等作出明确提示，将坐标法具体结合到几何性质的研究过程中去，在增强教科书的思想性的同时，也为直观想象、逻辑推理等素养的培养和理性思维的发展提供了载体.对于椭圆的离心率，教科书要求学生探究怎样利用a，c这些“基本量”刻画椭圆的扁平程度；对于双曲线的渐近线，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，以增强直观性和操作性，使学生在信息技术的帮助下体会“渐近”的含义.第七，用坐标法解决几何问题，其基础是利用坐标系将点表示为有序数对，建立起平面内点与有序数对之间的一一对应，由此可以将曲线表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题；然后借助于代数运算和逻辑推理，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论；最后把讨论的结果利用坐标系翻译成相应的几何结论.这就是我们熟悉的“三步曲”：几何问题“翻译”为代数问题——代数运算与推理—代数结论“翻译”为几何结论.与圆锥曲线相关的主要问题是（1）求有某种几何特征的曲线方程；（2）根据曲线的方程，用代数方法证明（或讨论）曲线的几何性质；（3）赋予代数方程以几何意义，用几何方法研究它的代数性质，例如通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系等.为此，教科书在解决（1）（2）两个问题后，通过例题、习题解决问题（3）.教科书特别注意把圆锥曲线丰富多彩的性质选作例题和习题，不仅使题目的思想内涵得到增强，而且通过这些题目加强了知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识.例如，椭圆的例题中，就包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等，这些题目的“数学含金量”是非常高的.另外，这些题目的可拓展性也是很强的.第八，教科书在三种圆锥曲线中都注意安排实际应用问题，并通过拓展性资源对“圆锥曲线的光学性质及其应用”进行归纳总结，以落实“通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用”的要求.同时，教科书特别注意发挥信息技术的作用，在正文中明确提出利用信息技术进行探究的要求，而且安排了利用信息技术探究圆锥曲线性质的栏目、拓展性材料等.另外，还安排了“文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展”，要求学生查阅与解析几何有关的文献，了解解析几何形成与发展的过程，以及解析几何对人类文明的主要贡献，以体现本章内容在数学文化中的特殊作用.四、课时安排本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1椭圆约4课时3.2双曲线约3课时3.3抛物线约3课时文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展约1课时小结约2课时五、本章编写思考总体而言，本章教科书的编写，注意吸收以往教科书的优点，强调在继承基础上进行创新在内容的选择上，围绕圆锥曲线的核心概念，以椭圆、双曲线、抛物线的主要性质及其应用为重做到削支强干；在结构体系上，强调知识发生发展的逻辑合理性，加强背景和应用，从而使学生在三种曲线的学习中经历完整的研究过程；注重按照学生学习心理组织教科书内容，加强数学思想的引导和解题方法的分析，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，誠少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，强调代数运算与逻辑推理的融合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化；等等.贯彻“问题引导学习”思想，通过“观察”“思考”“探究”等栏目，以层层递进、逻辑连贯的“问题串”为载体创设系列化数学活动，引导学生开展创造性学习活动；强调根据学生的认知规律，采用“归纳式”呈现学习内容，引导学生自己归纳和概括数学结论；注意使用“先行组织者”手段，从方法论高度，对如何观察、发现圆锥曲线的几何特征，如何构建研究路径，如何发现圆锥曲线的性质，如何用坐标法研究几何问题等加强指导，以提高教科书的思想性；采用单元整体设计，在坐标法的统领下，以直线和圆的方程为基础，从椭圆、双曲线到抛物线顺次展开内容；在语言叙述上尽量做到条理清楚、简洁明快；等等.以下就几个主要问题介绍教科书的设计思路.1.关于研究对象的定义我们知道，因为一个数学对象的本质特征可以有多种等价的表现形式，所以数学对象的定义是不唯一的.数学定义是选择的结果.这就带来一个问题：如何选择才更有利于我们展开对这个对象的研究？对这个问题的回答可能是没有统一标准的.事实上，数学定义是一代代数学家不断研究、改进的结果，特别是一些处于基础地位的概念，例如函数的定义.有时，对一个数学对象的不同定义也反映了人们对其本质属性的认识的不同抽象层次，因此，在编写教科书的过程就需要思考怎样的定义才能既反映数学对象的本质特征，又能与学生的认知水平相适应.在阿波罗尼奥斯（Apollonius ，约公元前262一前190）的《圆锥曲线论》中，三种圆锥曲线是基于平面截圆锥给出的.由平面与圆锥的轴所成角的不同范围，可将截线区分为三类，阿波罗尼奥斯将它们分别称为齐曲线（抛物线）、超曲线（双曲线的一支）、亏曲线（椭圆）.从上述定义出发，利用相似三角形、圆的有关性质，通过一系列的几何推理，可以推出三类曲线的性质：（1）椭圆:2(2)2p y x a x a=⋅-; （2）抛物线:2y px =;（3）双曲线:222p y px x a=+. 用解析几何的语言叙述,即：以圆锥曲线的轴为x 轴、顶点为原点建立直角坐标系,上述三个性质就是对称轴与x 轴重合的圆锥曲线方程,2a 就是椭圆的长轴（或双曲线的实轴),p =22(b b a⋅是半短轴). 得到上述圆锥截线的性质后,就不再利用圆锥曲面而直接从这三条性质推出其他性质,“椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a ”“椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为大于0小于1的常数”等都可由此推出.①由上所述可见,由平面截圆锥得到三种截线,这是最原始的定义．由这个定义可以容易地区分截线的类型，但每一种截线的几何特征却不明显.由此出发推导圆锥曲线的方程，需要用到较多的几何知识,推理过程比较复杂,对大多数学生而言难度太大,显然不合适.其他定义实际上都是从这个原始定义推出的性质.因为“平面内,与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”的几何特征非常明确,可以与圆的定义䄄衔接（当两个定点的位置逐渐接近时,椭圆的形状就逐渐接近圆),容易作图,其基本几何性质（对称性）也易于直观想象,由此就方便于我们合理地建立直角坐标系求出椭圆的方程,而由“距离的和等于常数”联想到“距离的差等于常数”也是非常自然的,所以教科书对椭圆、双曲线的定义做出如此选择.不过,这样的选择存在一个缺陷,即与抛物线的定义无法衔接.为了解决这个问题,教科书在椭圆、双曲线的内容设置中做了一定的铺垫.在“椭圆”一节设置例题:“动点(,)M x y到定点(4,0)F的距离和它到定直线:l x=254的距离的比是常数45,求动点M的轨迹”和“用信息技术探究点的轨迹:F是定点,l是不经过点F的定直线,动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比e是小于1的常数.用信息技术软件画出动点M的轨迹,观察这个轨迹,可以发现它是一个椭圆.在01e<<的范围内,改变e的大小,或改变点F与直线l的相对位置,可以发现动点M的轨迹仍然是一个椭圆”.在“双曲线”一节设置例题:“动点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到定直线:l x=94的距离的比是常数43,求动点M的轨迹”和习题:“设动点M与定点(,0)(0)F c c>的距离和它到定直线2:al xc=的距离的比是()ca ca<,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状”.在“抛物线”的节引言中先进行引导:“通过前面的学习可以发现,如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k,当01k<<,点M的轨迹为椭圆;当1k>时,点M 的轨迹为双曲线.一个自然的问题是:当1k=时,即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？”然后通过“探究”，让学生用信息技术画出动点的轨迹，在此基础上再给出抛物线的定义.教科书的这种处理方式，兼顾了三种圆锥曲线的“个性”与“共性”，使概念的引人、定义的给出基本做到了衔接自然、光滑.2.对解析几何学科特点的思考解析几何的创建是为了科学发展的需要，而从数学内部看，则是出于对数学方法的追求.认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要.追溯笛卡儿（Descartes，15961650）创立解析几何的心路历程，可以明显看出这种追求.笛卡儿不仅在数学上做出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都有杰出贡献.他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者.他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的.数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法.数学方法“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源泉……所有那些目在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关”①他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法.他认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学”.所以，代数与几何必须互相取长补短不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力.于是，他提出了一个计划，即：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.他把精力集中在把代数方法用于解决几何问题的研究，其结果是创立了解析几何.笛卡儿的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念，基于坐标法思想，给出了一系列新颖的结论，例如：曲线的“次”与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程越简单越好；在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程，解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点；用方程的“次”给几何曲线分类，圆锥曲线的方程是二次的（没有证明）；等等.总之，笛卡儿创立解析几何的原动力是他对普适性方法的追求，“创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法”的思想指引着他的创新之路，而几何代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源，所以解析几何具有浓厚的“方法论”色彩.了解这点很重要，因为这能使我们理解为什么在解析几何的教学中要把重点放在对坐标法的理解和应用上，而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上.基于上述分析，我们把“解析几何是一种方法论”作为本章内容的一个核心定位，并在编写过程中把如何讲好“方法论”作为教科书的一个关键问题.具体而言，教科书做出了如下安排.首先，在章、节引言及小结中，用明确的语言表述数形结合思想、坐标思想.例如，本章小结中明确指出：用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应几何图形的特征，认识确定几何图形的要素例如椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这里“两个定点”“距离之和为定长”等就是确定椭圆的几何要素；然后用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系.在此基础上，利用方程研究曲线的性质.可以看到，析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的.这表明，用代数方法研究几何问题圆锥曲线的性质），其处理方法具有统一性.实际上，通过运算来发现几何图形的性质，不能迅速地证明曲线的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所在，是体现数形结合思想威力的典范.用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价转化等起着很重要的作用.例如，当我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等.所以，学习解析几何需要较强的逻辑推理、数学运算等能力.第二，在正文的表述中，教科书随时随地强调坐标法的基本思想，加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的过程，并在“如何以直角坐标系为参照，确定问题中的几何要素”上加强引导，体现“从推理几何到解析几何”的过渡.按上一章小结中给出的坐标法基本步骤呈现标准方程的推导过程、例题的解答过程，强调用坐标法研究问题的规范，完整地给出利用方程讨论图形的几何性质的示范，并以“三步曲”为指导，在小结中进一步给出用坐标法解决圆锥曲线问题的基本思路.第三，从圆锥曲线的标准方程出发，用坐标法研究圆锥曲线的性质及数学内外的各种应用问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量.为使学生集中精力于坐标法的学习在素材选择上，教科书特别关注了圆锥曲线的性质，把那些通过不太复杂的代数运算就能得出的性质及其在现实中的应用设计为例题、习题，例如，鉴于三种圆锥曲线的定义都是从“距离”间的关系给出的，在例题中专门设置了从“角度”间的关系反映的性质：设A ，B 两点的坐标分别为(5,0),(5,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-（或49-），求点M 的轨迹方程. 事实上，把这个题目反过来，就是圆锥曲线的一条性质：椭圆、双曲线上的点（长轴（或实轴）端点除外）与长轴（或实轴）的两个端点连线的斜率之积是定值.同时，这条性质还具有可推广性，给教学留下了空间.另外，与这套教科书的其他章比较，本章设置的拓展性资源是比较多的，其目的也是给学生从不同角度感悟解析几何思想与方法的机会.3.根据学生学习心理安排教学内容与以往比较，在强调教科书的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按学生的心理逻辑组织教学内容，这是本套教科书的一个总体特色.本章内容编写中注意了如下几个方面：（1）强调“先行组织者”的使用，认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能为学生提供一个学习的整体架构，避免学习的盲目性，同时也能为新旧知识搭建联系通道.前面已指出，解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”.所以，在教科书内容的展开过程中，特别是在章节的开篇、内容之间的衔接与过渡等地方，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导.实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学，对于学生获得数学基本思想、积累基本活动经验，增加发现和提出问题的可能性，以及培养理性思维等都能起到非常重要的作用.（2）对坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”，采取“渗透—明确—一应用”的呈现过程.我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想”“怎么做”的知识属“默会知识”范畴.这种知识的掌握，更多地依赖于实践中的体悟.因此，本章在“直线和圆的方程”中明确坐标法思想、提供用坐标法解决平面几何问题的示范和练习的基础上，进一步确了坐标法和数形结合思想，并加强了用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中加深理解，逐步养成用坐标法思考和解决问题的思维习惯.（3）尽量用“归纳式”呈现教科书，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会.这是与以往教科书有很大区别的地方.例如，对“曲线的方程”“方程的曲线”概念的处理，虽然它在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问.因此，教科书在圆锥曲线方程的推导中，继续采取“结合具体曲线呈现相关内容”的方式，最后再在本章小结中对“曲线与方程的关系”进行归纳，并指出“利用坐标系建立曲线与方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到”.4.设计系列化的数学活动引导学生开展有结构有逻辑的系统学习以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境、提出数学问题，引导学生以独立思考、自主学习、合作交流等多样化的方式开展数学学习，是《标准（2017年版）》的基。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议新教材人教A版
人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议2021年9月24日一、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用《圆锥曲线的方程》是在学习《直线和圆的方程》的基础上，进一步运用坐标法研究几何问题，通过行星运行轨道，抛物运动轨迹等，让学生了解圆锥曲线的背景与应用，在平面直角坐标系中，建立它们的标准方程认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
二、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系1. 新教材《曲线与方程》不再作为独立单元呈现在旧教材的课本中： 2-1课本35页例题2求解线段垂直平分线后，给出了求解原曲线方程的步骤：（第36页）新教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》对应旧教材中《圆锥曲线与方程》，旧教材选修2-1中把《曲线与方程》作为一个独立的单元来处理，选修教材1-1和新教材都是是将这部分内容渗透到圆锥曲线的学习过程中，并在章末小结中（课本143页）给出了曲线的方程与方程的曲线的定义；通过例题和习题把求曲线方程的常用方法一一作了介绍,除了建立三种圆锥曲线的标准方程；由定义或待定系数法确定圆锥曲线的方程外，在例题、习题中都设置了21个求轨迹方程的问题：椭圆有8个：课本108页例2,例3；109页练习4；113页例6；115页习题3。
1中6，8,9,10。
双曲线中共设置了7个求轨迹方程的题：121页的探究；5页例5；126页的练习1；127页习题3。
2中5,10,11,14。
抛物线中共设置了4个：137页例6；138页练习第5题；习题3.3中的第9、11题。
再加上145页的复习参考题中的第9,11题。
2.课本例题、习题有所调整椭圆的例题(7个)，练习题(共11个)（原来分两个练习，现在是三个练习），习题(14个)，总体个数没变，具体题目内容和顺数有所调整；新教材中的例7是与旧教材中的例7相关的一个变式，而旧教材中的例7放到了新教材课后习题13题的位置上；课后习题第2题删除了一个与例1同类型的一个小题，保留了原来的两个小题，删除了旧教材的习题第3题（给出方程画椭圆）；新教材习题14题是原来的A组中的第8题。
新版高中数学圆锥曲线教案
新版高中数学圆锥曲线教案一、教学目标：1. 熟练掌握圆锥曲线的基本概念和性质；2. 能够理解常见圆锥曲线方程的几何意义；3. 能够运用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：1. 圆锥曲线的定义和分类；2. 圆锥曲线的方程及性质；3. 圆锥曲线的应用实例。
三、教学内容：1. 圆锥曲线的基本概念：椭圆、双曲线、抛物线；2. 圆锥曲线的方程：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程；3. 圆锥曲线的性质：焦点、准线、离心率等；4. 圆锥曲线的应用：求解实际问题。
四、教学步骤：1. 引入：通过生活实例引入圆锥曲线的概念，引发学生兴趣；2. 讲解：介绍圆锥曲线的定义、分类、方程和性质；3. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容；4. 应用：通过应用题，让学生运用所学知识解决实际问题；5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强化记忆。
五、教学工具：1. 讲义、教材：提供相关知识点及例题；2. 幻灯片：辅助讲解，呈现图形与方程对应关系；3. 黑板、彩色粉笔：展示解题过程；4. 习题册、练习册：让学生进行巩固练习。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论、思维活跃；2. 作业情况：学生对作业的完成情况及正确率；3. 考试成绩：检验学生掌握情况。
七、教学反馈：1. 整理学生反馈意见，根据学生反馈调整教学方式；2. 总结本节课教学经验，为下一节课改进教学方法做准备。
八、教学延伸：1. 给学生留下更多实例让学生探究，提高学生学习兴趣；2. 引导学生自主进行拓展探索，培养学生解决问题的能力。
以上是本节课的教案范本，希望能够对教学工作有所帮助，祝教学顺利！。
高中数学圆锥曲线系统讲解第5讲《阿氏圆》练习及答案
第5讲 阿氏圆知识与方法1.阿氏圆：设A 、B 是平面上的两个定点，若平面内的动点P 满足PA PBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆，该圆叫做阿氏圆. 2．考题中常用的阿氏圆性质：（1）圆心位置：当1λ>时，圆心M 在AB 的延长线上；当01λ<<时，圆心M 在BA 的延长线上.（2）半径公式：21dr λλ=−，其中d 为两定点A 、B 之间的距离. （3）找定点：如右图所示，设圆M 的半径为r ，对于圆M 外任意一点A ，连接AM 交圆M 于点N ，则在线段MN 上必定存在点B ，使得对于圆M 上任意一点P ，都有PA PBλ=，可以根据2MA MB r ⋅=找到点B λ=求出λ.典型例题【例题】已知两个定点()2,0A −，()4,0B ，若动点C 满足2CB CA =，则点C 的轨迹方程为______.【解析】设(),C x y ，因为2CB CA =，所以=，化简得：()22416x y ++=【答案】()22416x y ++=变式1 已知圆()22:416M x y ++=，点()2,0A −，若x 轴上的定点B 满足对圆M 上的任意一点C ，都有PA PBλ=恒成立，其中λ为常数，则点B 的坐标为______，常数______.【解析】设(),0B a ，()00,C x y ，则()2200416x y ++=，所以()22200001648y x x x =−+=−−， 故CA CB===，要使CA CB为定值，应有24428a a−=+−， 解得：4a =或2−（舍去），所以点B 的坐标为()2,0−，此时12CA CB==，即12λ=.解法2：如图，由阿氏图性质，点B 在MA 的延长线上，且2MA MB r ⋅=，所以216MB =，故8MB =，显然()4,0M −，从而点B 的坐标为()4,0，12λ==.【答案】()2,0−，12变式2 在ABC 中，6AB =，2BC AC =，则ABC 的面积的最大值为______. 【解析】解法1：设AB c =，BC a =，AC b =，则6c =，2a b =， 由余弦定理，22222536cos 24a b c b Cab b +−−==，所以21sin sin 2ABCSab C b C b b =====所以当b =时，ABC 的面积取得最大值12.解法2：以AB 中点O 为原点建立如图1所示的平面直角坐标系， 则()3,0A −，()3,0B ，设(),C xy ， 因为2BC AC==，化简得：()22516x y ++=()0y ≠。
高中数学新课圆锥曲线方程教案
一、教案基本信息高中数学新课圆锥曲线方程教案课时安排：2课时教学对象：高中数学学生教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及其特点。
2. 掌握圆锥曲线的基本方程。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题。
教学方法：1. 采用问题导入法，激发学生兴趣。
2. 利用多媒体课件，直观展示圆锥曲线的图形。
3. 采用小组讨论法，引导学生探究圆锥曲线方程的推导过程。
4. 运用例题讲解法，帮助学生掌握圆锥曲线方程的应用。
教学内容：1. 圆锥曲线的概念及特点2. 圆锥曲线的基本方程3. 圆锥曲线方程的推导过程4. 圆锥曲线方程的应用二、教学过程第一课时：1. 导入：利用多媒体课件，展示圆锥曲线的图形，引导学生观察其特点。
2. 新课讲解：1. 讲解圆锥曲线的概念及特点。
2. 引导学生探究圆锥曲线的基本方程。
3. 讲解圆锥曲线方程的推导过程。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程的应用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
第二课时：1. 复习导入：复习上一课时所讲的内容，提问学生圆锥曲线方程的应用。
2. 课堂讲解：讲解圆锥曲线方程在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程解决实际问题的方法。
4. 小组讨论：布置讨论题，让学生分组讨论圆锥曲线方程的应用。
5. 课堂总结：总结本节课所讲内容，强调圆锥曲线方程的重要性。
6. 课后作业：布置作业，让学生巩固所学知识。
三、教学评价1. 课后问卷调查，了解学生对圆锥曲线方程的掌握程度。
2. 课堂练习及作业批改，评估学生运用圆锥曲线方程解决实际问题的能力。
3. 课堂表现，观察学生在讨论、回答问题等方面的参与度。
四、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
2. 结合学生反馈，优化教学内容，使课堂更贴近学生需求。
3. 注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，提高学生的综合素质。
五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的图形，生动直观。
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析 新课标 人教版 教案
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
高中科三数学教资教案
高中科三数学教资教案
课时：1课时
教学内容：圆锥曲线
教学目标：通过本节课的教学，学生能够理解圆锥曲线的概念，掌握椭圆、双曲线和抛物
线的相关性质，能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点：椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质。
教学难点：椭圆、双曲线和抛物线的区分和应用。
教学准备：教材、课件、黑板、粉笔、学生小组练习题
教学步骤：
1.导入：通过引导学生观察四个不同形状的曲线图形，让他们猜测这些曲线的名称，并思
考它们之间的关系。
2.讲解：依次介绍椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质，重点讲解它们的数学表达式和几
何意义。
3.练习：设计一些练习题，让学生将所学知识运用到实际问题中，加深对圆锥曲线的理解。
4.讨论：组织学生展示解题过程，并进行讨论，帮助学生发现和纠正错误。
5.总结：对本节课的重点知识进行总结，提醒学生复习重点内容。
6.作业：布置相关作业，巩固学生对圆锥曲线的掌握。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解概念，提高他们的解题能力，注重培养学
生的数学思维和分析能力，激发学生学习数学的兴趣。
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
人教版高中数学教案圆锥曲线方程05
双曲线及其标准方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．（二）能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．（三）学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．）2．难点：双曲线的标准方程的推导．（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．）3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？（解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．）三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．四、教学过程（一）复习提问1．椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）平面内与两定点F l、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆•教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点F1、F2的距离的和等于常数；⑶常数2a>|F1F2| .2•椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）焦点在井由上的牺圆标准方程为-y + A"- 1 0）；焦点在碎由a b上的椭圆标准方程为匚+ £ = 1 （Q Q 0）・a b（二）双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1. 简单实验（边演示、边说明）如图2-23，定点F i、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF i|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支; 由|MF2|-|MF 1|是同一常数，可以画出另一支.M注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.2. 设问问题1:定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能.强调“在平面内”.问题2: |MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1| >|MF2| ;当点M在双曲线左支上时，|MF1| v|MF2| .问题3:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF 2| ？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF 1| .正确表示为||MF2|-|MF 1|| .问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2| ?请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数〉|F I F2|时，无轨迹.3. 定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F l、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.（三）双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：（1）建系设点取过焦点F i、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴（如图2-24）建立直角坐标系.设M（x, y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（c >0），那么F i、F2 的坐标分别是（-c，0）、（c , 0）.又设点M与F i、F2的距离的差的绝对值等于常数.⑵点的集合由定义可知，双曲线就是集合:P={M||MF 1|-|MF 2||=2a}={M|MF 1|-|MF 2|= ± 2a}. ⑶代数方程(冀十沪十凡|叶J D "./■ + b ・J(2 +Y = + 2乩⑷化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：(x + c)2 +y 2 =4a 2 士 也血 $ +『+(x -c)2 +y\化简得：两种标准方程的比较(引导学生归纳):2x = 1 + --------tgQ! - 1 2tgo_ y = + ---------tga - 1Lx = -l+|AP|co^54 y =|AP|sin45°Scosoi X = ] + ---------------- ”八 sin a - cosa (AXanay = +- --------------- I SIM 」沖ajx — l+|MP|cosa 口 卜=|MP|sina 两边再平方，整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c >2a 即c >a ,所以c 2-a 2>0.设c 2-a 2=b 2(b >0)，代入上式得：(B)(D)b 2X 2-a 2y 2=a 2b 2.这就是双曲线的标准方程.(l)p- p-- l(a>0, b〉0)表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是F](G0).耳© 0),这里』=J+b32 2⑵右話二b〉0)表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F】®①、巧®臥这里(只须将⑴方程的石y互换即可得到).教师指出：⑴双曲线标准方程中，a>0, b>0,但a不一定大于b；(2)如果X2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.⑶双曲线标准方程中a、b、c的关系是C2=a2+b2，不同于椭圆方程中C2=a2-b2.(四)练习与例题1. 求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1 (-3 , 0)、F2(3 , 0)，且2a=4;本题由学生先练习再口答雲y-^1；2. 证明；椭圆首+牛1与双曲线宀血二15的焦点相同.由学生演板完成.椭圆焦点耳厲臥E(4, 0)；双曲线焦点R(4 0). F s(4, 0).3. 已知两点F i(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3,所以b2=c2-a 2=52-32=42.因此所求方程是.星即--^=1.s y因为2a=12, 2c=10，且2a>2c.所以动点无轨迹.(五) 小结1. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|) 的点的轨迹.2. 标准方程：冷■■与=1(技〉0, 与■■打= l(a〉0, b〉0).a b a b3. 图形(见图2-25):4. 焦点：F i(-c , 0)、F2(C , 0) ; F i(0 , -c)、F2(0 , c).5. a、b、c 的关系：C2=a2+b2；c=a2+b2.五、布置作业1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1) 焦点的坐标是(-6 , 0)、(6 , 0)，并且经过点A(-5 , 2);(2) 经过点P(-3, 2血和Q(眾6焦点在y轴上.N已知二+二二俵示双曲线，求k的取值幫围*1 + k 1 - k3.已知圆锥曲线的方程为m>2+ny2=m+n(n< 0v m+n),求其焦点坐标.作业答案:楠匾]双曲线抛物线标堆方程X2人Q b3(a > b > 0)(a > 0 J b > 0)泽却亦> 0)图形J k yJ、$Y£11\Y厂.Z/a\l *\/;范围-a C x < a-h < y C b z>吐或h <-a ye Rx> 0 y G R对称性关于)!轴、萝轴对称关于原点对称关于x轴、萝釉对称关于原点对称关于x軸对称顶点( a J(Q(& J0) (0 , 4^X0 ,b)(-a t0)(a J0)(0 i 0)离心率0 < e = - < 1e = ^>l ae=l渐近线无存+% y= ±—xa无2. 由(1+k)(1-k) v 0 解得：k v-1 或k > 13.原方程可化为:(m + n) / nV—<0, —s故此曲线为焦点在舉出双般，/二吐, m n nm V tnn二焦点F](0, m2 -ti2---- \ 巧(0mn mn六、板书设计m2 -112以下内容与本文档无关！ ! !OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO。
高中数学新课圆锥曲线方程教案
高中数学新课圆锥曲线方程教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的基本概念，掌握圆锥曲线的定义及其性质。
2. 学习圆锥曲线的标准方程及其求法。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的定义与性质1.1 圆锥曲线的定义1.2 圆锥曲线的性质2. 圆锥曲线的标准方程2.1 椭圆的标准方程2.2 双曲线的标准方程2.3 抛物线的标准方程三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求法。
2. 难点：圆锥曲线标准方程的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线的定义与性质。
2. 利用图形演示，让学生直观理解圆锥曲线的特点。
3. 运用类比法，引导学生发现圆锥曲线标准方程的规律。
4. 注重实践操作，让学生在解决问题中巩固圆锥曲线方程的应用。
五、教学准备1. 教学课件：圆锥曲线的相关图片、图形演示等。
2. 教学素材：圆锥曲线的实例问题。
3. 学生用书：《高中数学》圆锥曲线相关章节。
教案篇幅有限，后续章节（六、七、八、九、十）将陆续提供。
请随时查阅。
六、教学过程1. 导入：通过展示生活中的圆锥曲线实例，如旋转的伞、地球卫星轨道等，引导学生关注圆锥曲线在现实世界中的应用。
2. 新课导入：介绍圆锥曲线的定义，引导学生理解圆锥曲线的形成过程。
3. 性质探讨：引导学生发现圆锥曲线的性质，如对称性、渐近线等。
4. 标准方程求法：讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程求法。
5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
七、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线的性质，分享各自的发现。
2. 提问环节：鼓励学生提问，解答学生关于圆锥曲线方程的疑问。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用圆锥曲线方程解决实际问题。
八、课后作业1. 完成学生用书上的课后练习题。
2. 选取一个实际问题，运用圆锥曲线方程进行解答。
九、教学反思2. 反思教学方法：观察学生对圆锥曲线方程的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
高二数学圆锥曲线方程教案 人教版
高二数学圆锥曲线方程教案 人教版一、知识框架二、重点难点重点：椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轭双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；难点: 利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。
三、知识点解析1、椭圆及其标准方程 （1）定义： 1）文字定义：第一定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；注意：12|2|||a F F >非常重要。
因为当12|2|||a F F =时，其轨迹为线段12F F ；当12|2|||a F F <时，其轨迹不存在；第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数(01)e e <<的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提，定点为椭圆的一个焦点，定直线是此焦点的相应的准线，e 为椭圆的离心率；2）符号定义：（2）方程：1）标准方程：①焦点在x 轴上：22222221(0,)x y a b b a c a b+=>>=-；②焦点在y 轴上：22222221(0,)y x a b b a c a b+=>>=-； 2）参数方程：cos sin x a y b θθ=⎛=⎝，θ是参数；3）注意：①标准方程中的常数b 源于222b ac =-，常数a 和b 决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件；②焦点12(,0),(,0)F c F c -的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型；③任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式．当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。
高二数学--圆锥曲线与方程教案
富县高级中学集体备课教案课题椭圆及其标准方程第 1 课时三维目标1、了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。
2、通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。
/3、通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．重点椭圆的定义和椭圆的标准方程中心发言人难点椭圆的标准方程的推导．教具课型常规课课时安排--1 -课时|教法学法个人主页) 教学[过程*(一)椭圆概念的引入取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．-学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．{(2)这里的常数有什么限制吗教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于| F1F2 |”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点&建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设| F1F2 |=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程&(4)化简方程（学生板演，教师点拨）2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题讲解例、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．|分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是思考：焦点F1、F2放在y轴上呢（四）课堂练习：、(五)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形~备课组长签字：陈天波年月日附注：课型填“常规课”或“复习课”或“习题课”或“多媒体课”。
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课 题：8．2椭圆的简单几何性质（一）
教学目的：
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程：
一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．标准方程：
12
22
2=+
b
y a
x ，
12
22
2=+
b
x a
y （0>>b a ）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？ （2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：
由椭圆方程
12
22
2=+
b
y a
x (0>>b a ) 研
究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:
从标准方程得出
12
2≤a
x ,
12
2≤b
y ,即有
a x a ≤≤-,
b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:
把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称
原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆
的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两
个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的顶点
令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，
它们也是椭圆12
22
2=+
b
y a
x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点：
)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称
轴的交点.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了． (4)离心率:
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：a
c e =
⇒
e =范围：10<<e
考察椭圆形状与e 的关系：
0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置
圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线
段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例
三、讲解范例： 例1 求椭圆40025162
2
=+y
x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐
标，并用描点法画出它的图形． 解：把已知方程化成标准方程
14
5
2
22
2=+
y x
所以，34
5,4,52
2=-===c b a ，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率
5
3==
a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是
)0,5(),0,5(2A A -，)4,0(),4,0(2B B -
将已知方程变形为2
255
4x
y -±
=，根据2
255
4x
y -=
，在
50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：
例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图： （1）
116
25
2
2
=+
y x
（2）
19
25
2
2
=+
y
x
答：简图如下：
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：
（1）
14
9
2
2
=+
y
x
（2）
136
49
2
2
=+
y
x
答：简图如下：
四、课堂练习：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率
解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2,即
2
311=
-+e
e ,解得 625-=e 2．如图，求椭圆
12
22
2=+
b
y a
x ,(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积
解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的1/4,且B 点横纵坐标相等，故设B （t t ,),代入椭圆方程求得2
2
222
b
a
b a t +=
,
即正方形ABCD 2
2
2
24b a
五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的
思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法 六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。