湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷(文科)
湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，10小题共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．（5分）函数y=ln（2﹣x﹣x2）+的定义域是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．①若=，=，则=；②若∥，∥，则∥；③||=||•||；④若•=•，则=的逆命题．其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②③D．①②④7．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）A．9B．8C．7D．68．（5分）在数列{a n}中，a n+1=ca n（c为非零常数），前n项和为S n=3n+k，则实数k为（）A．0B．1C．﹣1 D．29．（5分）已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点10．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可不得分．11．（5分）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=．12．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间上的奇函数，则f（m+1）=．13．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．14．（5分）已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量，，，且a=2，．则b=．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，则S17=．16．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2=．17．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=+2．则函数g（x）的值域为；满足方程f（x）﹣g（x）=0的x的值是．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．18．（12分）已知向量=（2cos（+x），﹣1），=（﹣sin（），cos2x），定义函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC 的面积S．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数，其中ω为使f（x）能在时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A 时，求f（x）的值域．21．（13分）设函数f（x）=，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f（x1）=，f（x n）=x n+1（n∈N*）．（1）求f（x）的表达式；（2）求x2015的值；（3）若a n=﹣4023且b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜n+1．22．（14分）已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，当x1≠x2时，都有＜﹣1，求a的取值范围．湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，10小题共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．（5分）函数y=ln（2﹣x﹣x2）+的定义域是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．A．9B．8C．7D．6考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用．8．（5分）在数列{a n}中，a n+1=ca n（c为非零常数），前n项和为S n=3n+k，则实数k为（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由a n+1=ca n，知{a n}是等比数列，由S n=3n+k，分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3成等比数列，求出k的值．．解答：解：∵a n+1=ca n，∴{a n}是等比数列，∵a1=S1=3+k，a2=S2﹣S1=（9+k）﹣（3+k）=6，a3=S3﹣S2=（27+k）﹣（9+k）=18，∵a1，a2，a3成等比数列，∴62=18（3+k），∴k=﹣1．故选C．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用．9．（5分）已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点考点：轨迹方程；三角形五心．专题：计算题；数形结合．分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，但λ≠0则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．解答：解：取AB的中点D，则∵∴=，而，∴P、C、D三点共线，∵λ≠0∴点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．故选D．点评：此题是个中档题．考查向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，和三角形的五心问题，综合性强，体现了数形结合的思想．10．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，可求函数g（x）=在R上单调递减，即可得＞f（0），＜f（0）．解答：解：构造函数g（x）=，则g′（x）=．因为∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），并且e x＞0，所以g′（x）＜0，故函数g（x）=在R上单调递减，所以g（﹣2014）＞g（0），g＜g（0），即＞f（0），＜f（0），即e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）．故选：D．点评：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中，构造函数g（x），并讨论其单调性是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可不得分．11．（5分）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案解答：解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义12．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间上的奇函数，则f（m+1）=8．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的定义域关于原点对称可得m，即可得出．解答：解：∵幂函数在上是奇函数，∴m=1，∴f（x）=x3，∴f（m+1）=f（1+1）=f（2）=23=8．故答案为：8．点评：本题考查了奇函数的性质、函数求值，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．解答：解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得2﹣﹣3=0，③解③得=或=﹣1（舍），所以=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量，，，且a=2，．则b=．考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据两向量垂直时数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则化简=0，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取2后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出此角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由B的范围及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，然后由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵，∴，∴，（4分）∴，（6分）∵0＜A＜π，∴，∴，（8分）∴；（9分）在△ABC中，，a=2，，∴，（10分）由正弦定理知：，（11分）∴═．∴b=．（13分）点评：此题综合考查了平面向量的数量积的运算法则，三角函数的恒等变换及正弦定理．要求学生掌握平面向量垂直时满足的关系及正弦函数的值域，牢记特殊角的三角函数值．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，则S17=9．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得S17=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（15﹣16）+17，由此能求出结果．解答：解：∵S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，∴S17=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（15﹣16）+17=+17=﹣8+17=9．故答案为：9．点评：本题考查数列的前17项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意总结规律．16．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2=﹣6．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据等差数列{a x}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，即可求出答案．解答：解：∵f（x）=2x，f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，∴a2+a4+a6+a8+a10=2，又{a n}的公差为2，∴a1+a3+a5+a7+a9=（a2+a4+a6+a8+a10）﹣5d=﹣8，∴a1+a2+…+a9+a10=﹣6，∴log2=log22﹣6=﹣6．故答案为：﹣6．点评：本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则．属基础题．17．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=+2．则函数g（x）的值域为（2，3]；满足方程f（x）﹣g（x）=0的x的值是log．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据指数函数的性质结合不等式求解，（2）分类求解方程：2x﹣﹣2=0，即可．解答：解：（1）∵2|x|≥1，∴，∴2＜+2≤3故g（x）的值域是（2，3]．故答案为（2，3]．（2）由f（x）﹣g（x）=0，当x≤0时，﹣2=0，显然不满足方程，即只有x＞0时满足2x﹣﹣2=0，整理得（2x）2﹣2•2x﹣1=0，（2x﹣1）2=2，故2x=1±，即x=log2（1+）．故答案为；log点评：本题考察了指数函数的性质，求解方程等问题，属于中档题．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．18．（12分）已知向量=（2cos（+x），﹣1），=（﹣sin（），cos2x），定义函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC 的面积S．考点：正弦定理的应用；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）首先对向量进行化简，利用三角函数的基本关系确定函数f（x）的解析式，从而求出f（x）的最大，最小值．（2）根据已知条件以及（1）中的结论确定A的值，再利用三角形的面积公式求出面积S．解答：解：（1）∵，．∴f（x）=•=（﹣2sinx，﹣1）•（﹣cosx，cos2x）=（﹣2sin x，﹣1）•（﹣cos x，cos 2x）=（﹣sinx）•（﹣cosx）﹣cos2x=sin 2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最大值和最小值分别是和﹣．（2）∵f（A）=1，∴，∴sin（2A﹣）=．又∵0＜A＜π∴2A﹣=或2A﹣=．∴A=或A=．又∵△ABC为锐角三角形，∴A=．∵bc=8，∴△ABC的面积S═×8×=2．点评：本题考查三角函数基本关系的应用，正弦定理等知识．属于中档题．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（13分）已知函数，其中ω为使f（x）能在时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A 时，求f（x）的值域．考点：两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为，再根据在时取得最大值可得，由此求得ω的最小正整数值．（2）△ABC中，由b2=ac 以及余弦定理可得，可得，即，再利用正弦函数的定义域和值域求得当x∈A时，f（x）的值域．解答：解：（1）∵函数=sin2ωx﹣=，由于f（x）能在时取得最大值，故，即，故ω的最小正整数值为2．…（5分）（2）△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，再由b2=ac，可得a2+c2﹣2accosB=ac，化简得，当且仅当a=c时，取等号．求得，可得，即．…（8分）∴，（）∴，∴，…（10分）∴函数f（x）的值域是．…（12分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f（x1）=，f（x n）=x n+1（n∈N*）．（1）求f（x）的表达式；（2）求x2015的值；（3）若a n=﹣4023且b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜n+1．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由x=，得ax（x+2）=x（a≠0），由此能求出f（x）=．（2）由f（x n）=x n+1，得=x n+1，从而数列是以为首项，为公差的等差数列．由此能求出x n=，从而x2015==．（3）由x n=，得a n=2n﹣1，从而b n=1+﹣，由此能证明b1+b2+…+b n＜n+1．解答：（1）解：由x=，得ax（x+2）=x（a≠0），所以ax2+（2a﹣1）x=0，当且仅当a=时，方程x=f（x）有唯一解．从而f（x）=．（2）解：由已知f（x n）=x n+1，得=x n+1，∴=+，即=（n∈N*），∴数列是以为首项，为公差的等差数列．∴=+（n﹣1）×=，故x n=．∵f（x1）=，∴=，解得x1=．∴x n==，故x2015==．（3）证明：∵x n=，∴a n=4×﹣4 023=2n﹣1，∴b n====1+﹣，∴b1+b2+…+b n﹣n=﹣n=1﹣＜1．故b1+b2+…+b n＜n+1．点评：本题考查函数的表达式的求法，考查数列的第2005项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（14分）已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，当x1≠x2时，都有＜﹣1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；分类讨论；函数思想；导数的综合应用．分析：（1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在（0，2]上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+，（x＞0）；∴f′（x）=﹣=，当a=时，令f′（x）＞0，即x2﹣x+1＞0，解得x＞2，或x，∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为（，2）；﹣﹣﹣5分（注：两个单调增区间，错一个扣1分）（2）∵＜﹣1，∴+1＜0，即＜0；设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；﹣﹣﹣8分当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，h′（x）=﹣+1；令h′（x）≤0，解得a≥+（x+1）2=x2+3x++3对x∈时恒成立；设m（x）=x2+3x++3，则m′（x）=2x+3﹣，∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣＞0，∴m（x）在上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为，∴a≥；…11分当0＜x＜1时，h（x）=﹣lnx++x，h′（x）=﹣﹣+1，令h′（x）≤0，解得a≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1，设t（x）=x2+x﹣﹣1，则t′（x）=2x+1+＞0，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0；﹣﹣﹣13分综上所述，a的取值范围{a|a≥}．﹣﹣﹣14分点评：本题考查了导数的综合应用问题，也考查了构造函数来研究函数的单调性与最值问题和分类讨论思想，是综合性题目．。
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(文)试卷
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学（文）试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知集合2{|,},{|2,}xM x x x x R N x y x R =≥∈==∈，则M N =( )A ．(]0,1B ．()0,1C ．[)0,1D ．[]0,1 3、”lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4， 则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据球的回归方程为ˆˆˆybx a =+，且直线:18100l x y +=，则点ˆˆ,a b 满足（ ） A ．在l 左侧 B ．在l 右侧 C ．在l 上 D ．无法确定 6、已知函数()2ln(28)f x x x =-++，则函数()f x 的增区间为（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()2,1-D ．()1,4 7、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 B．3 D．39、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123n a a a aE A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．732 B ．316 C ．532D ．1810、已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
【湖北版】2015届高三上学期月考(2)数学文试卷Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第二次月考数学文试题【湖北版】说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知全集{}2250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若MN ≠Φ，则a 等于（ ）A.1-B.2C.1-或2D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a ＝( )A.1-B.1C.D.3．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A. 23n a n =- B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩D. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩4．有关命题的说法中正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+=”；B ．命题“若2230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2230x x --≠，则3x ≠”；C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有210x x ++≥。
5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩 形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）6．若对正数x ，不等式21x x≤+都成立，则a 的最小值为（） A.1D.127．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，),sin sin c B A =+-n ，若m n ，则角B 的大小为（ ）A.56π B. 6π C. 23π D.3π8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39a =，313S =，则{}n a 的公比q 等于（ ）A ．43-B ．3 C.3或43- D.139．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<10．点P 是函数22ln y x x =-的图象上任意一点，则点P 到直线31y x =-的最小距离是 ．A B C D 正视图侧视图A B C D非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ ． 12．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= ． 13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与 底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ． 14．在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。
湖北省部分学校2015届高三数学上学期一轮复习质量检测试题 文(含解析)
稳派湖北省部分学校2015届高三一轮复习质量检测文科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设i是虚数单位，若复数2i1im-+为纯虚数，则实数m的值为A．2B．2-C．12D．12-【答案】A【解析】依题意2i(2i)(1i)22i1i(1i)(1i)22m m m m----+==-++-．由复数2i1im-+为纯虚数可知22m-=，且22m+≠，求得2m=．故选A．【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．2．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y+的值为A．6B．8C．9D．11【答案】B．【解析】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80，80x+，85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知5x=．由茎叶图可知，乙班学生成绩为76，81，81，80y+，91，91，96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知3y=．所以8x y+=．故选B．【解题探究】本题主要考查统计中的众数与中位数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x y+的值．甲乙8 9 7 65 x0 8 1 1 y6 2 9 1 1 63．已知()3sin f x x x π=-，命题:p (0,)2x π∀∈，()0f x <，则 A ．p 是假命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x ≥ B ．p 是假命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥C ．p 是真命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥ D ．p 是真命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x > 【答案】C ．【解析】因为()3cos f x x π'=-，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，即对(0,)2x π∀∈，()(0)0f x f <=恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥．故选C ．【解题探究】本题考查函数的单调性与全称命题的否定．解题首先判断命题p 的真假，然后再将命题p 写成p ⌝的形式，注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式．4．执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D ．【解析】每次循环的结果分别为：0n =，0S =；1n =，1S =；2n =，112S =+=；3n =，213S =+=；4n =，325S =+=； 5n =，527S =+=，这时4n >，输出7S =．故选D ．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过x 的最大整数[]x 的理解．要得到该程序运行后输出的S 的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件4?n >调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序．5．一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为922cm ，则h 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形 的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2，下底为5，高为4，四棱柱的高为h ，则几何体的表面积2524(2452+⨯⨯+++2234)h ++92=，即1664h =，解得4h =．故选A ．【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的表面积计算．通过题中给出的三视图，分析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，然后依据四棱柱的表面积公式进行计算．6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb +的值为A ．22 B ．2 C ．2 D ．4【答案】C ．【解析】由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B -=，因为sin 0A ≠，所以0cos 3sin =-B B ．所以tan 3B =，又0B π<<，所以3B π=．由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即22()3b a c ac =+-，又2b ac =，所以224()b a c =+，求得2a cb +=．故选C ．【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B ，再由余弦定理列出关于a ，c 的关系式，然后进行合理的变形，求出a cb +的值．7．设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|z x y =-的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C ．【解析】依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数|3|z x y =-，当直线经过点(2,2)A -时，|3|z x y =-取得最大值，即max |232|8z =--⨯=．故选B ．【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解．求解先画出满足条件的可行域，再通过平移直线13y x=找到在可行域中满足使|3|z x y =-取得最大值的点．8．函数()2tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致是【答案】D .【解析】定义域(,)22ππ-关于原点对称，因为()2tan (2tan )()f x x x x x f x -=-+=--=-，所以函数()f x 为定义域内的奇函数，可排除B ，C ；因为2()tan 0333f πππ=->，55()126f ππ=-tantan546(23)061tan tan 46πππππ+=-+<-⋅，可排除A .故选D .【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数()y f x =的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．9．已知双曲线:C 22221x y a b -=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB△的内切圆半径为A1 B1 C．3 D．3【答案】C ．【解析】由2c e a ====，可得b a =2b y x a p x ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --，所以122AOB bp p S a =⨯⨯=△ba =24p =，解得2p =．所以(A -，(1,B -，则AOB △的三边分别为2，2，AOB △的内切圆半径为r ，由1(222r ++=3r =．故选C ．【解题探究】本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．10．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m=-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是A .3(1,)2B . 3(,3)2C .(1,2)(2,3)D .33(1,)(,3)22【答案】B .【解析】由题意可知，在[]0,m 上存在1x ，2x （120x x m <<<），满足12()()f x f x ''==3221()(0)1303m m f m f m m m m --==--，因为2()2f x x x '=-，所以方程22123x x m m -=-在[]0,m上有两个不同的根.令221()23g x x x m m=--+（0x m<<），则222444031(0)032()031m mg m mg m m mm⎧=+->⎪⎪⎪=-+>⎪⎨⎪=->⎪⎪⎪>⎩△，解得332m<<，所以实数m的取值范围是3(,3)2．故选B．【解题探究】本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数()f x的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m 所满足的条件，解之即得所求.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）11．已知集合|A x y⎧⎫==⎨⎩，{}2|log(2)B x y x==-，则()A B=R．【答案】[)2,3．【解析】因为|(2,3)A x y⎧⎫===-⎨⎩，{}()2|log(2),2B x y x==-=-∞，则BR[)2,=+∞，所以()[)2,3A B=R．故填[)2,3．【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算．求解集合A时要注意两点：一是根式有意义的条件，二是分母不能为0；求解集合B的补集，要注意区间端点的取值．12．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为45y x a=+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为．【答案】9.5．【解析】由表中数据得7x =， 5.5y =，由(,)x y 在直线45y x a =+，得110a =-，即线性回 归方程为41510y x =-．所以当12x =时，41129.5510y =⨯-=，即他的识图能力为9.5．故填9.5．【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的a 值，方法是利用样本点的中心(,)x y 在线性归回方程对应的直线上． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10k k S S +<的正整数k = ．【答案】12．【解析】依题意6650a S S =->，7760a S S =-<，67750a a S S +=->，则1111111()2a a S +=6110a =>，671121212()12()022a a a a S ++==>，11313713()1302a a S a +==<，所以12130S S <，即满足10k k S S +<的正整数k =12．故填12．【解题探究】本题考查数列的前n 项和与通项na 关系的应用．解题首先由675S S S >>得到6a ，7a 的符号，进而推理出12130S S <．14．过点(2,3)P 的直线l 将圆Q ：22(1)(1)16x y -+-=分成两段弧，当形成的优弧最长时，则 （1）直线l 的方程为 ； （2）直线l 被圆Q 截得的弦长为 ． 【答案】280x y +-=；【解析】（1）设圆心为(1,1)Q ，由圆的性质得，当直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长，此时31221PQ k -==-，所以直线l 的斜率为12k =-．于是有点斜式得直线l 的方程为13(2)2y x -=--，即280x y +-=．故填280x y +-=．（2）圆心(1,1)Q 到直线280x y +-=的距离为d ==，设直线l 与圆Q 相交于点A ，B ，则弦长||AB==． 【解题探究】本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线l 的方程；第（2）问先求出圆心到直线l 的距离，再计算直线l 被圆Q 截得的弦长．15．已知正实数a ，b 满足123a b +=，则(1)(2)a b ++的最小值是 ．【答案】509．【解析】因为0a >，0b >，所以123a b =+≥3≥，求得89ab ≥，当且仅当12123a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以ab 的最小值是89．又1223b a a b ab ++==，即2a b += 3ab ，所以850(1)(2)22424299a b ab a b ab ++=+++=+≥⨯+=．故填509．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件123a b +=得到89ab ≥，再对(1)(2)a b ++展开求出其最小值．16．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．【答案】32π．【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯- 3422643ππ⨯⨯=，于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体2Г的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体1Г的体积与旋转体2Г的体积之间的关系，进而得到1Г的体积．17．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点． （1）若向正方形ABCD 内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形ABD 内的概率为 ； （2）设PAB θ∠=，向量AC DE AP λμ=+(λ，μ∈R )，若1μλ-=，则θ= .【答案】4π；2π.【解析】（1）所求概率为扇形ABD 的面积与正方形ABCD 的面积的比值，设正方形边长为a ，则所求概率为22144a P a ππ==.故填4π. （2）不妨设正方形边长为1，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则1(,1)2DE =-，(1,1)AC =，(cos ,sin )AP θθ=.由AC DE AP λμ=+，得1cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2sin 2cos sin 2cos 3sin 2cos θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.由1μλ-=，求得sin 1θ=，从而2πθ=.故填2π. 【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为1，则点P 在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点P 的坐标.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）BACDEPxy18.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若4OQ =，5OP =，13PQ =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当(1,2)x ∈-时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域．【解析】（1）由条件知2224(5)(13)5cos 5245POQ +-∠==⨯⨯，所以(1,2)P ． （2分） 由此可得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=．将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，于是()2sin()63f x x ππ=+． （6分）（2）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x xπππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦． 所以2()()()4sin()sin 2sin 23sin cos 636666h x f x g x x x x x xππππππ=⋅=+⋅=+⋅ 1cos3sin12sin()3336x x x ππππ=-+=+-． （9分）当(1,2)x ∈-时，），（22-6x 3ππππ∈-，所以）（,11-)6x 3sin(∈-ππ，即）（,31-)6x 3sin(21∈-+ππ．于是函数()h x 的值域为（-1,3）． （12分）【命题立意】本题主要考查三角函数的图象和性质．第（1）问从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，14T的长度，由此推理出三角函数的解析式；第（2）问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，求解三角函数的值域，关注自变量x 的取值范围是解题的关键，同时还要结合三角函数的图象进行分析，才能准确求出其函数值域.19.（本小题满分12分）设二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ，0a <），关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素． （1）设数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2n f n b n -=（n *∈N ），则数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．【解析】（1）因为关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，所以二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ）的图象与x 轴相切， 则2()420a =--⨯=△，考虑到0a <，所以a =-．从而22()2(f x x x =++=+，所以数列{}n a 的前n项和2(nS n =（n *∈N ）． （3分）于是当2n ≥，n *∈N时，221((1)21n n n a S S n n n -⎡=-=--+=+⎣， 当1n =时，211(13a S ===+ 所以数列{}n a的通项公式为3121,2,n n a n n n *⎧+=⎪=⎨+≥∈⎪⎩N ． （6分）（2）()2n f n b n n -==+假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b （正整数p ，q ，r 互不相等）成等比数列，则2qp r b b b =，即2((q p r +=++，整理得2()2)0pr q p r q -++-=． （9分） 因为p ，q ，r 都是正整数，所以2020pr q p r q ⎧-=⎨+-=⎩，于是2()02p r pr +-=，即2()0p r -=，从而p r =与p r ≠矛盾． 故数列{}n b 中不存在不同的三项能组成等比数列． （12分）【命题立意】本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，得到()n S f n =，然后由此求出数列{}n a 的通项公式，由n S 求通项n a 时注意检验初始项1a 是否满足；第（2）问判断数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．20.（本小题满分13分）如图，AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的动点，四边形ABCD 为矩形，且2AB =，1AD =，平面ABCD ⊥平面ABE ． （1）求证：BE ⊥平面DAE ；（2）当点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33．【解析】（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以DA AB ⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABE ， 且平面ABCD平面ABE AB =，所以DA ⊥平面ABE ，而BE ⊆平面ABE ，所以DA ⊥BE ． （3分） 又因为AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的 动点，所以AE BE ⊥． 因为DAAE A =，所以BE ⊥平面DAE ． （6分）（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，过点E 作EH AB ⊥交AB 于点H ，则EH ⊥平面ABCD ．在Rt BAE △中，记BAE α∠=（02πα<<），因为2AB =，所以2cos AE α=，sin 2cos sin sin 2HE AE αααα=⋅==，所以11221sin 2sin 2333E ABCD ABCD V S HE αα-=⨯=⨯⨯⨯=． （10分）由已知33E ABCD V -=，所以23sin 233α=，即3sin 22α=．BDCO•HBADCEO•因为02πα<<，所以23πα=，即6πα=；或223πα=，即3πα=．于是点E 在AB 满足6EAB π∠=或3EAB π∠=时，四棱锥E ABCD -的体积为3． （13分）【命题立意】本题考查立体几何中的线面关系的证明和四棱锥体积的计算．第（1）问先证明线线垂直，再证明线面垂直；第（2）问探求点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为，从研究BAE α∠=的大小着手思考，通过体积建立关系求出α的大小．21.（本小题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．（1）当2a =时，求函数()f x 的最值；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a ee --<<． 【解析】（1）当2a =时，()ln 2(1)f x x x =--，定义域为(0,)+∞．对()f x 求导，得112()2x f x x x -'=-=． （2分）当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减．所以max 111()()ln 2(1)1ln 2222f x f ==--=-，没有最小值． （5分）（2）设切线2l 的方程为2y k x=，切点为22(,)x y ，则22x y e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==．由题意知，切线1l的斜率为1211k k e ==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==，所以1111x y ax e ==-，111a x e =-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e -+-=． （8分）令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e ∈，而111a x e =-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<． （10分） 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e=，所以1110a x e =-=（舍去）． （13分）综上可知，211e e a ee --<<． （14分） 【命题立意】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题.第（1）问利用导数求函数的单调区间，求解函数的最值；第（2）问背景为指数函数xy e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．22.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且12||4A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN △面积的最大值． 【解析】（1）由12||24A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A -，2(2,0)A ．设00(,)P x y ，则000022002322414y y x x x y b ⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23b =．于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ． （5分）（2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由22143x y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得(M n，(,N n ，从而12OMN S n =⨯⨯=△当n =OMN △（7分） ②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++-=． 2222644(34)(412)0k m k m =-+->△，化简得22430k m -+>． （9分）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+，||MN ==，原点O 到直线MN的距离d =所以11||22OMNS MN d=⋅=≤=△当且仅当22342k m+=时，OMNS△（13分）综合①②知，OMN△．（14分）【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨论．第（1）问首先由12||4A A=得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA和2PA的斜率之积为34-求出几何量b的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN△的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN△的面积最值．。
湖北省八校2015届高三第一次联考文科数学试卷(解析版)
湖北省八校2015届高三第一次联考文科数学试卷（解析版）一、选择题1．若复数z 满足()i z i -=+11，则=z （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】C【解析】i ii i z -=-=+-=2211，则i z =-，故选C考点：复数的概念，复数的代数运算2．已知函数211)(xx f -=的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则()R M C N =U （ ）A ．}1|{<x xB ．}1|{≥x xC ．ΦD ．}11|{<≤-x x 【答案】A【解析】()1,1-=M ，()+∞-=,1N ，故(){|1}R M C N x x =<U ，故选A考点：集合及其运算 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是（ ） A ．x x f sin )(= B ．x x x f cos sin )(= C ．x x f cos )(= D ．x x x f 22sin cos )(-= 【答案】D【解析】由题意知道：()x f 是偶函数，且周期是π，选项A ，C 的周期是π2，选项B ，函数()x x f 2sin 21=为奇函数，故选D. 考点：三角函数性质4．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x【答案】C【解析】∵()a f x mx =为经过点A ⎪⎭⎫⎝⎛21,41的幂函数，∴21,1==a m 故x x f =)(，xx f 21)(='，则它在点A 处的切线方程为0144=+-y x ，故选C考点：幂函数，导数 5．如图给出的是计算11112462014++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i 【答案】B【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B ．考点：算法，程序框图6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>S D ．若04>a ，则02014>S 【答案】C【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：－1，1，－1，1， ，不满足条件，D 错．故选C ． 考点：等比数列前n 项和性质7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．314B ．4C ．310D ．3【答案】B【解析】几何体如图，体积为：42213=⨯，故选B考点：三视图，几何体体积8．点A 是抛物线)0(2:21>=p px y C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】C【解析】∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e故选C.考点：抛物线与双曲线性质9．已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<<--=>-=)10(,ln 1)1(,0)1(,ln 1)(22x x x x x x f ，1>x 时，0ln 1)(2=-=x x f ，解得e x =；当1=x 时，0)(=x f ；当10<<x 时，0ln 1)(2=--=x x f ，即1ln 2-=x 无解．故函数)(x f 的零点有2个．故选B ．考点：函数性质，零点 10．有下列命题：①在函数)4cos()4cos(ππ+-=x x y 的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数13-+=x x y 的图象关于点)1,1(-对称； ③“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的∈x R ，都有1sin ≤x ，则p ⌝是：存在∈x R ，使得1sin >x ； ⑤在△ABC 中，若6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则角C 等于︒30或︒150． 其中所有真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】对于① 1cos()cos()cos 2442y x x x ππ=-+=，相邻两个对称中心的距离为22T π=，①错对于② 函数31x y x +=-的图象关于点(1,1)对称， ②错 对于③ 5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故③错 对于④：很明显是对的对于⑤：由1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 得（两式平方和）：()21sin =+B A 6cos 4sin 3=+B A 则6π=+B A 或65π而A B A sin 346cos 4sin 3+≤=+， 故6,2132sin π>>≥A A ，π65=+∴B A ，故6π=C ，故⑤错.故选A考点：函数，三角函数，命题二、填空题11．在边长为2的正△ABC 中，则=⋅BC AB _________． 【答案】－2【解析】BC AB ⋅＝232cos22-=⨯⨯π考点：平面向量的数量积12．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n 的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取___人． 【答案】8【解析】在高二学生中应抽取830640=⨯人. 考点：统计，抽样方法，分层抽样13．设x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为___________．【答案】8【解析】由图象得知，y x z 2+=过点()3,2达到最大，最大值为8.考点：线性规划14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____． 【答案】241π-【解析】分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462112112ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P . 考点：几何概型15．观察下列等式：112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-， ，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于∈n N *，2222121234(1)n n +-+-++-=L ___________．【答案】2)1(21nn n +-+ 【解析】由于()()()()244110,23316,22213,21111214213212211+-=-+-=+-=-+-=++++， 则2222121234(1)n n +-+-++-=L 2)1(21nn n +-+ 考点：合情推理，数列16．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，则=a ___________． 【答案】4【解析】由于a x x =-+|322的根可能是2个，3个，4个，而|A －B|＝1，故ax x =-+322只有3个根， 故4=a .考点：集合性质17．在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y +=2是曲线x a y ln =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是 ．【答案】－2【解析】设切点为（0x ，)ln 0x a ，则x a y ln =上此点处的切线为+=x x ay 0a x a -0ln ，故⎪⎩⎪⎨⎧=-=ba x a x a 00ln 2a aa b -=∴2ln ()0>a 在()2,0上单调递减，在()+∞,2上单调递增.b ∴的最小值为2-.考点：利用导数研究函数性质，切线三、解答题18．（本小题满分12分）已知函数∈-+-=x x x x f (1cos 2)62sin()(2πR ）．（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知21)(=A f ，b ， a ， c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值．【答案】（1）∈++-k k k ](6,3[ππππZ ）；（2）23=a . 【解析】 试题分析：（1）化简f （x ）为一个角的一个三角函数关系式，根据三角函数性质求单调递增区间；（2）由等差及数量积条件，再结合余弦定理，建立a ，b ，c 的方程组，消去b ，c ，可求得a.试题解析：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π 2分x x 2cos 212sin 23+=＝)62sin(π+x 3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ ）得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ ） 5分故)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ ） 6分（2）21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ，故3π=A 8分由c a b ,,成等差数列得：c b a +=2，由9=⋅AC AB 得9cos =A bc ，18,921==bc bc 10分由余弦定理得，bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=， 于是54422-=a a ，182=a ，23=a 13分 考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列19．（本小题满分12分）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，点F 、H 分别为A 1D 、A 1C 的中点．（1）证明：A 1B ∥平面AFC ； （2）证明：B 1H ⊥平面AFC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用中点，结合三角形的中位线性质，只需取AC 中点E ，证A 1B ∥EF 即可；（2）注意到B 1H 即B 1D ，只需证B 1D 与AF 、AC 均垂直即可. 试题解析：（1）连BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连EF ， 又F 为A 1D 的中点，所以EF ∥A 1B ， 3分 又⊂EF 平面AFC ，⊄B A 1平面AFC ，由线面平行的判断定理可得A 1B ∥平面AFC 5分（2）连B 1C ，在正方体中A 1B 1CD 为长方形， ∵H 为A 1C 的中点 ，∴H 也是B 1D 的中点， ∴只要证⊥D B 1平面ACF 即可 6分 由正方体性质得BD AC ⊥，B B AC 1⊥，∴⊥AC 平面B 1BD ，∴D B AC 1⊥ 9分又F 为A 1D 的中点，∴D A AF 1⊥，又11B A AF ⊥，∴⊥AF 平面A 1B 1D ， ∴D B AF 1⊥，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， 11分 ∴⊥D B 1平面ACF.即⊥H B 1平面ACF. 12分 考点：空间几何体，线面关系20．（本小题满分13分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3＝7，且31+a ，23a ，43+a成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设1210{,,}A a a a =L ，1240{,,}B b b b =L ，C A B =U ，求集合C 中所有元素之和． 【答案】（1）12-=n n a ；（2）32n b n =-；（3）3318【解析】试题分析：（1）设a n ＝a 1q n －1，利用已知条件，可求得a 1和q ，从而得到{a n }的通项公式；（2）将2)13(6++=n n b n T 变更序号作差，可得b n ＋1与b n 的关系，再迭代（或叠乘）可得{b n }的通项公式；（3）分别求出两个集合中元素之和，再减去公共元素之和即可. 试题解析：（1）∵73=S ，∴7321=++a a a ① ∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② 2分 ②－①得，22=a 即21=q a ③ 又由①得，5211=+q a a ④消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或21=q （舍去） ∴12-=n n a 4分（2）当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即53231--=-n n b b n n 6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ， ，53231--=-n n b b n n ∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-L L ，即231-=n b bn∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n故∈-=n n b n (23N *） 8分（3）1023122121101010=-=--=S ，23808024140340=-⨯⨯=T 10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S 12分 考点：等差数列，等比数列，递推数列，数列求和.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22， 过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23||||=+CD AB ．（1）求椭圆的方程；（2）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S . 【解析】试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ，可求得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB ⊥CD ，故1||||2S AB CD =⋅⋅四边形，将AB 和CD 所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S 的范围.试题解析：（1）由题意知，c e ==，则c b c a ==,2，2322222||||2=+=+=+∴c c ab a CD AB ，所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=． 4分 （2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形； 5分②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k =--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以2222221221)1(22211221||1||kk k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=． 8分 同理，2)1(2221)11(22||2222++=++=k k kk CD ． 10分 所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121k k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形()()()2221422112121k k k k k k+==-++++，22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝Q 当且仅当1±=k 时取等号 11分∴)2,916[∈四边形S综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S 13分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，范围，基本不等式. 22．（本小题满分14分）已知函数x x x x f --=3)(． （1）判断xx f )(的单调性； （2）求函数)(x f y =的零点的个数；（3）令x xx f axax x g ln )()(2+++=，若函数)(x g y =在)1,0(e 内有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）x x f )(在),0(+∞单调递增；（2）2；（3）21-+>ee a . 【解析】试题分析：（1）令()()f x x xϕ=，求Φ'（x ），通过Φ'（x ）＞0可得单调性；（2）根据（1）的单调性，结合特殊值的符号，可确定零点的个数；（3）通过g'（x ）求出g （x ）的单调性，得到g （x ）有两个极值点，并得出两个极值点的关系，通过其中一个极值点在)1,0(e内，可得另一个极值点的范围，然后将a 表示为这两个极值点的关系式，求出范围. 试题解析：（1）设x x x 11)(2--=ϕ，其中0>x ，0212)('3>+=x x x ϕ，∴)(x ϕ在),0(+∞单调递增 3分（2）因为01)1(<-=ϕ，213)2(-=ϕ，有)(x ϕ在),0(+∞单调递增 故)(x ϕ在（1， 2）内有唯一零点 5分 又)()(3x x x x x x f ϕ⋅=--=，显然0=x 为)(x f 一个零点，因此)(x f y =在),0[+∞有且仅有2个零点 7分（3）1ln ln )1)(1()1(ln )(2-+=+-++=+-+=x a x x x x x x ax x xx ax ax x g 22222)1(1)2()1(12)1(1)('+++-=--+-=--=x x x a x x x ax x x x a x x g 9分 设1)2()(2++-=x a x x h ，则0)(=x h 有两个不同的根x 1， x 2，且一根在)1,0(e内， 不妨设ex 101<<，由于121=⋅x x ，所以e x >2 12分 由于1)0(=h ，则只需0)1(<e h ，即011)2(12<++-e a e， 解得：21-+>ee a 14分 考点：利用导数研究函数的性质，单调性，极值，零点，范围.。
湖北省鄂州高中2015届高三八校联考文科全排名
5 1 6 3 3 1 5 4 5 1 2 3 4 4 1 1 5 1 3 4 3 1 6 2 1 2 4 1 1 1 5 2 4 1 4 3 5 5 2 1 2 5 5 3 5 4 6 4 4 5 1 1 2 2
487.5 486.5 485.5 485.0 484.0 483.5 483.5 483.0 482.0 482.0 481.5 481.0 480.5 480.0 479.5 479.0 476.5 476.5 476.5 476.5 476.0 475.0 474.0 473.5 473.5 473.0 473.0 472.0 471.5 471.5 471.0 471.0 470.0 470.0 469.5 469.5 468.5 467.5 467.5 467.0 466.5 466.5 466.0 466.0 465.0 464.5 464.0 462.5 462.5 462.5 462.0 461.5 461.0 460.0
班名 3 6 9 32 28 5 1 2 50 47 39 12 20 20 28 6 32 28 32 39 20 48 32 3 12 8 39 50 39 36 25 45 12 39 9 55 39 57 36 9 12 12 20 12 25 25 2 5 58 12 16 18
1203082 1203002 1204001 1202002 1205004 1203009 1201006 1206061 1202001 1201081 1206047 1203013 1203004 1206048 1204007 1204023 1204002 1201085 1206052 1206053 1206029 1203006 1202008 1202019 1201005 1206034 1205015 1201016 1202005 1201086 1205078 1203005 1202003 1205020 1205002 1203018 1204009 1205006 1202006 1206051 1205013 1201014 1202022 1206046 1202004 1201201029 1202070 1202015 1205003 1203080
湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考数学文试题
湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考数学文试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共0个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ） A ．1 B ．-1 C ． D ．i -2、已知函数()f x =的定义域为(),ln(1)M g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =( )A ．{}|1x x <B ．{}|1x x ≥C ．φD ．{}|11x x -<<3、下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A ．()sin f x x = B ．()sin cos f x x x = C ．()cos f x x = D ．()22cos sin f x x x =-4、若幂函数()f x mx α=的图象经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．4410x y -+=D ．4410x y ++= 5、如图给出是计算11112462014++++的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是（ ） A ．2013i ≤ B ．2015i ≤ C ．2017i ≤ D ．2019i ≤6、已知实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论一定 成立的是（ ）A ．若30a >，则20130a <B ．若40a >，则20140a <C ．若30a >，则20130a >D ．若40a >，则20140a > 7、、棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体 的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A ．14 B ．4 C ．103D ．3 8、点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ） AB ．2 CD ．49、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10、有下列命题： ①在函数cos()cos()44y x x ππ=-+的图象中，相邻两个对称中心的距离为π； ②“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的必要不充分条件；③已知命题:p 对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则“p ⌝是：存在x R ∈，使得sin 1x >”； ④在ABC ∆中，若3sin 4sin 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则角C 等于30或150。
湖北省黄冈中学荆州中学等八校2015届高三第一次联考 文科数学试题(word版,含答案)
湖北省 八校2015届高三第一次联考 数学试题（文科）命题学校：襄阳五中 出题人： 审题人：考试时间：2014年12月11日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．1．若复数z 满足()i z i -=+11，则=z A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知函数211)(xx f -=的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=)(N C M RA ．}1|{<x xB ．}1|{≥x xC ．ΦD ．}11|{<≤-x x 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是 A ．x x f sin )(=B ．x x x f cos sin )(=C ．x x f cos )(=D ．x x x f 22sin cos )(-=4．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x5．如图给出的是计算20141614121++++ 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A ．2013≤i B ．2015≤i C ．2017≤i D ．2019≤i6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是 A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A ．314B ．4C ．310D ．3鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中8．点A 是抛物线)0(2:21>=p px y C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于A ．2B ．3C ．5D ．6 9．已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．有下列命题：①在函数)4cos()4cos(ππ+-=x x y 的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数13-+=x x y 的图象关于点)1,1(-对称；③“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的∈x R ，都有1sin ≤x ，则p ⌝是：存在∈x R ，使得1sin >x ； ⑤在△ABC 中，若6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则角C 等于︒30或︒150． 其中所有真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．在边长为2的正△ABC 中，则=⋅BC AB _________．12．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70 名学生中抽取一个容量为n 的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取___人．13．设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为___________．14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____． 15．观察下列等式：112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于∈n N *，=-++-+-+212222)1(4321n n ___________． 16．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，则=a ___________．17．在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y +=2是曲线x a y ln =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值 是 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知函数∈-+-=x x x x f (1cos 2)62sin()(2πR )．（I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，三内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知21)(=A f ，b , a , c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值．19．（本小题满分12分）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，点F 、H 分别为为A 1D 、A 1C 的中点． （Ⅰ）证明：A 1B ∥平面AFC ； （Ⅱ）证明：B 1H ⊥平面AFC ．20．（本小题满分13分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3=7，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）设},,{1021a a a A =，},,{4021a b b B =，B A C =，求集合C 中所有元素之和．21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23||||=+CD AB ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数x x x x f --=3)(．（Ⅰ）判断xx f )(的单调性；（Ⅱ）求函数)(x f y =的零点的个数； （Ⅲ）令x xx f axax x g ln )()(2+++=，若函数)(x g y =在)1,0(e 内有极值，求实数a 的取值范围．（第21题）2015届高三第一次联考文科数学参考答案11．2- 12．8 13．8 14．241π-15．2)1(21nn n +-+ 16．4 17．2- 解析如下：1．i ii i z -=-=+-=2211，则i z =-，故选C2．()1,1-=M ，()+∞-=,1N ，故}1|{)(<=x x N C M R ，故选A3．由题意知道：()x f 是偶函数，且周期是π，选项A ，C 的周期是π2，选项B ，函数()x x f 2sin 21=为奇函数，故选D .4． ()a f x mx =为经过点A ⎪⎭⎫⎝⎛21,41的幂函数，∴21,1==a m 故x x f =)(，x x f 21)(='，则它在点A 处的切线方程为0144=+-y x ，故选C5．由程序知道，2014,6,4,2 =i 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B ． 6．设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1 与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D 错．故选C ．7．几何体如图，体积为：42213=⨯，故选B8． 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e 故选C.9．⎪⎩⎪⎨⎧<<--=>-=)10(,ln 1)1(,0)1(,ln 1)(22x x x x x x f ，1>x 时，0ln 1)(2=-=x x f ，解得e x =；当1=x 时，0)(=x f ；当10<<x 时，0ln 1)(2=--=x x f ，即1ln 2-=x 无解．故函数)(x f 的零点有2个．故选B ． 10．对于①: 1cos()cos()cos 2442y x x x ππ=-+=,相邻两个对称中心的距离为22T π=，①错 对于②: 函数31x y x +=-的图象关于点(1,1)对称, ②错 对于③: 5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故③错 对于④：很明显是对的对于⑤：由1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 得（两式平方和）：()21sin =+B A6c o s 4s i n 3=+B A 则6π=+B A 或65π而A B A sin 346cos 4sin 3+≤=+，故6,2132sin π>>≥A A ，π65=+∴B A ，故6π=C ，故⑤错.故选A二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．BC AB ⋅=232cos 22-=⨯⨯π12．在高二学生中应抽取830640=⨯人.13．由图象得知，y x z 2+=过点()3,2达到最大，最大值为8.14．分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462112112ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P . 15．由于()()()()244110,23316,22213,21111214213212211+-=-+-=+-=-+-=++++， 则=-++-+-+212222)1(4321n n 2)1(21n n n +-+16．由于a x x =-+|322的根可能是2个，3个，4个，而|A-B|=1，故a x x =-+322只有3个根，故4=a .17．设切点为(0x ,)ln 0x a ，则x a y ln =上此点处的切线为+=x x a y 0a x a -0ln ，故⎪⎩⎪⎨⎧=-=ba x a x a00ln 2a aa b -=∴2ln ()0>a 在()2,0上单调递减，在()+∞,2上单调递增.b ∴的最小值为2-.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π …………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x …………………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ )得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ ) ……5分故)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ ) ………………………6分（Ⅱ）21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ，故3π=A …………………………8分由c a b ,,成等差数列得：c b a +=2，由9=⋅AC AB 得9cos =A bc ，18,921==bc bc ………………………………10分由余弦定理得，bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，于是54422-=a a ，182=a ，23=a ……………………………………13分19．（Ⅰ）连BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连EF ， 又F 为A 1D 的中点，所以EF ∥A 1B ，……………3分 又⊂EF 平面AFC ，⊄B A 1平面A FC ，由线面平行的判断定理可得A 1B ∥平面AFC ……5分（Ⅱ）连B 1C ，在正方体中A 1B 1CD 为长方形，∵H 为A 1C 的中点 ，∴H 也是B 1D 的中点，∴只要证⊥D B 1平面ACF 即可 ………………6分由正方体性质得BD AC ⊥，B B AC 1⊥，∴⊥AC 平面B 1BD ，∴D B AC 1⊥ …………………………………………9分 又F 为A 1D 的中点，∴D A AF 1⊥，又11B A AF ⊥，∴⊥AF 平面A 1B 1D ， ∴D B AF 1⊥，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， …………………11分 ∴⊥D B 1平面ACF 。
2015届湖北省部分高中高三元月调考数学(文)(解析版)
大冶一中 广水一中 天门中学 仙桃中学 浠水一中 潜江中学2015届高三元月调考 数学（文科）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、抛物线、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合{1,2,3,4}M =，集合{3,4,6}N = ，全集{1,2,3,4,5,6}U =， 则集合()U M C N ⋂= （ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,4,5} 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】由题意得{1,2,5}U C N =,则()U M C N ⋂={1,2} 【思路点拨】根据集合的运算得。
【题文】2．复数51iz i+=+的虚部为 （ ） A. 2 B ． C ．D ．【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】B 【解析】51i z i +=+=(5)(1)(1)(1)i i i i +-+-=3-2i ，则虚部为-2 【思路点拨】对复数进行化简求出虚部。
【题文】3．要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度2i-2i 湖北省 六校【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案】A【解析】∵将函数y=cos2x 的图象向右平移6π个单位，得到y=cos2（x- 6π）=y=c os(2x-3π) 【思路点拨】根据左加右减，看出三角函数的图象平移的方向，再根据平移的大小确定函数式中平移的单位，这里的平移的大小，是针对于x 的系数是1来说的．【题文】4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2B ． 4C ． 2-D ．4- 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案】C【解析】由020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩可行域知，2z x y =-在（0,2）处取得最小值，z=2⨯0-2=-2.【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。
湖北省八校2015届高三第一次联考
湖北省 八校2015届高三第一次联考二、选择题：本题共8小题，每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．英国科学家法拉第最先尝试用“线”描述磁场和电场，有利于形象理解不可直接观察的电场和磁场的强弱分布。
如图所示为一对等量异种点电荷，电量分别为+Q 、-Q 。
实线为电场线，虚线圆的圆心O 在两电荷连线的中点，a 、b 、c 、d 为圆上的点，下列说法正确的是 A ．a 、b 两点的电场强度相同 B ．b 、c 两点的电场强度相同 C ．c 点的电势高于d 点的电势 D ．d 点的电势等于a 点的电势15．如图所示，两竖直木桩ab 、cd 固定，一不可伸长的轻绳两端固定在a 、c 端， 绳长L ，一质量为m 的物体A 通过轻质光滑挂钩挂在轻绳中间，静止时轻绳两 端夹角为120º。
若把轻绳换成自然长度为L 的橡皮筋，物体A 悬挂后仍处于静 止状态，橡皮筋处于弹性限度内。
若重力加速度大小为g ，关于上述两种情况， 下列说法正确的是 A ．轻绳的弹力大小为2mg B ．轻绳的弹力大小为mg C ．橡皮筋的弹力大于mgD ．橡皮筋的弹力大小可能为mg16．在2014年11月11日至16日的珠海航展中，中国展出了国产运-20和歼-31等最先进飞机。
假设航展中有两飞机甲、乙在平直跑道上同向行驶，0-t 2时间内的v -t 图象 如图所示，下列说法正确的是A ．飞机乙在0-t 2内的平均速度等于v 2/2B ．飞机甲在0-t 2内的平均速度的比乙大C ．两飞机在t 1时刻一定相遇D ．两飞机在0-t 2内不可能相遇17．库仑定律是电学中第一个被发现的定量规律，它的发现受万有引力定律的启发。
实际问题中有时需要同时考虑万有引力和库仑力，比如某无大气层的均匀带有大量负电荷的质量分 布均匀的星球。
将一个带电微粒置于离该星球表面一定高度处无初速释放，发现 微粒恰好能静止。
湖北省八市2015年高三年级三月联考数学文
10 设函数 f ( x) = 2 | x − 1| + x − 1
x∈M I N 时
g ( x) = 16 x 2 − 8 x + 1 若 f ( x) ≤ 1 的解集为 M
g ( x) ≤ 4 的解集为 N
函数 F ( x) = x 2 f ( x) + x[ f ( x)]2 的最大值是
·2 ·
线 x − 2y = 0
16
在
4
0
Q 0
圆 C 的面
4
M N
最小时 面α
别是 x 轴和 y 轴
的动点
若
MN 为直径的圆 C
设 α 是一个 面
在四边形 MPQN 内任取一点 存在一个定点 A 和一个定角 所得到的图形
这点落在圆 C 内的概率为
17
Γ是
的一个图形
若在
θ (θ ∈ (0, 2π )
原图形 Γ 重合 至右依次是
比为 10 的等比数
.
∴ akn = 10n −1 , n ∈ N ∗
…………………………………………………………8
又 akn ∈ {a1 , a2 ,L , an ,L}
∴ akn = 3kn − 2 = 10n −1 ,
10 n −1 + 2 ∴ kn = , n ∈ N ∗ ……………………………………………………12 3
Q BC=
T 2π π =4 ∴T = 8,∴ω = = …………………………………… 4 8 4 2
角形 ∆ ABC 的高即为函数 f ( x) 的最大值 a
·5 ·
由图象可知
得a = 解 由
3 BC = 2 3 ………………………………………………………6 2
2015年高考模拟试题_湖北省部分重点中学高三联考数学(文)卷
3 x 2, x 0
x, x
0
,若 f x 0 1 ，则 x 0 的取值范围是
;
14.. 已知点 G 是△ABC 的重心，若∠A=120° ， AB AC 2 ，则| AG |的最小值是 15. 在△ABC 中，∠C=60° ，AB=2 3 ，AB 边上的高为
2014～2015 年度湖北省部分重点中学高三联考
数学（文科）试题
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上 无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)
, | | 的最大值为 m ，最小值为 n ，则对任意的 ， m n 的最小值为
6
.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 函数 f ( x ) A sin( x 之间的距离为
)
1 (A ＞0, ＞0)的最小值为-1 ，其图象相邻两个对称中心
ln x, m R
（1）求 的值. （2）若 f ( x ) g ( x ) 在 1, 上为单调函数，求 m 的取值范围. 20. 在△ABC 中 ， a 、 b 、 c 分别为三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长 ，且若是 C
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湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1+i）z=1﹣i，则=（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∪（∁R N）=（）A．{x|x＜1} B．{x|x≥﹣1} C．∅D．（x|﹣1≤x＜1}3．（5分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．（5分）若幂函数的图象f（x）经过点A（，），则它在点A处的切线方程为（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+y+1=05．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2013 B．i≤2015 C．i≤2017 D．i≤20196．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞07．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．38．（5分）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知符号函数sgn=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．4B．3C．2D．110．（5分）有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，=．12．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为．13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．14．（5分）随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是．15．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．16．（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|A﹣B|=．若A={1，2}，B={x||x2+2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则a=．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为A1D、A1C的中点．（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设A={a1，a2，…，a10}，B={b1，b2，…，b40}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1+i）z=1﹣i，则=（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵复数z满足（1+i）z=1﹣i，∴z====﹣i．则=i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∪（∁R N）=（）A．{x|x＜1} B．{x|x≥﹣1} C．∅D．（x|﹣1≤x＜1}考点：对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求法函数的定义域求出集合M，对数函数的定义域求出集合N，求出N的补集，然后求解M∪（C R N）即可．解答：解：因为函数的定义域为M={x|﹣1＜x＜1}；g（x）=ln（1+x）的定义域为N={x|x＞﹣1}，所以C R N={x|x≤﹣1}M∪（C R N）={x|﹣1＜x＜1}∪{x|x≤﹣1}={x|x＜1}．故选A．点评：本题考查函数的定义域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：直接利用已知条件，判断函数的奇偶性，以及函数的周期性，然后判断选项即可．解答：解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．点评：本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用，基本知识的考查．4．（5分）若幂函数的图象f（x）经过点A（，），则它在点A处的切线方程为（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先根据已知条件幂函数的图象f（x）经过点A（，），求出幂函数的解析式，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线的方程．解答：解：设幂函数f（x）=xα（α为常数）．∵幂函数的图象f（x）经过点A（，），∴，解得，∴．∴，∴=1，即切线的斜率为1．∴它在点A处的切线方程为，即4x﹣4y+1=0．故选C．点评：充分理解导数的几何意义和幂函数的定义是解题的关键．5．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2013 B．i≤2015 C．i≤2017 D．i≤2019考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图写出每次循环i，S的值，和，比较即可确定退出循环的条件，得到答案．解答：第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；第3次循环：i=6，S=；…第1007次循环：i=2014，S=；此时，设置条件退出循环，输出S的值．由程序知道，i=2，4，6，…2014都应该满足条件，i=2016不满足条件，故判断框内可填入i≤2015．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=1，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积．解答：解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．故选B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．8．（5分）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．解答：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系．9．（5分）已知符号函数sgn=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：对lnx的值进行分类讨论，即lnx＞0、lnx=0、lnx＜0，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．解答：解：①如果lnx＞0，即x＞1时，那么函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=1﹣ln2x，令1﹣ln2x=0，得x=e，即当x＞1时．函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点是e；②如果lnx=0，即x=1时，那么函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=0﹣ln2x，令0﹣ln2x=0，得x=1，即当x=1时．函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点是1；③如果lnx＜0，即0＜x＜1时，那么函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x转化为函数f（x）=﹣1﹣ln2x，令﹣1﹣ln2x=0，无解，即当0＜x＜1时．函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x没有零点；综上函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2．故选C．点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．10．（5分）有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①，利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式可将化为y=cos2x，再利用余弦函数的性质可判断①；②，由函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，可判断②；③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，可判断“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件，可判断③；④，利用全称命题与特称命题之间的关系可判断④；⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分类讨论后可判断⑤．解答：解：对于①，在函数=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x的图象中，其周期T=π，相邻两个对称中心的距离为=，故①错误；对于②，函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，故②错误；对于③，因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，所以，其逆否命题“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；对于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则（3sinA+4cosB）2+（4sinB+3cosA）2=62+12=37，整理可得sin（A+B）=，所以C=30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，3sinA+4cosB＜×3+4＜6，与已知矛盾，故C≠150°，故⑤错误．综上所述，正确命题为④．故选：A．点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的性质，考查充分必要条件、全称命题与特称命题的应用与解三角形，考查转化思想．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，=﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用两个向量的数量积的定义可得，要求的式子等于cos＜＞=2×2cos120°，运算求得结果．解答：解：=cos＜＞=2×2cos120°=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意＜＞=120°，这是解题的易错点．12．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为8．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据2014-2015学年高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以2014-2015学年高二的学生数，得到2014-2015学年高二要抽取的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一年级有30名学生，在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵2014-2015学年高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域，联立，解得B（2，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B（2，3）时，z取得最大值为z=2+2×3=8．故答案为：8．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；作图题；概率与统计．分析：本题符合几何概型，由题意作图，求面积比即可．解答：解：本题符合几何概型，由题意作图如下，则点P应落在黑色阴影部分，S△=×6×=12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积S=π，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．15．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：由已知中的等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前n项和，由此不难归纳出答案．解答：解：由已知中等式：12=1=，12﹣22=﹣3=，12﹣22+32=6=，12﹣22+32﹣42=﹣10=，…由此我们可以推论出一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|A﹣B|=．若A={1，2}，B={x||x2+2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则a=4．考点：函数的值域．专题：集合．分析：根据已知条件容易判断出a＞0，所以由集合B得到两个方程，x2+2x﹣3﹣a=0，或x2+2x﹣3+a=0．容易判断出方程x2+2x﹣3﹣a=0有两个不等实数跟，所以根据已知条件即知方程x2+2x﹣3+a=0有两个相等实数根，所以判别式△=4﹣4（a﹣3）=0，这样即可求出a 的值．解答：解：（1）若a=0，得到x2+2x﹣3=0；△=4+12＞0；∴集合B有2个元素，则|A﹣B|=0，不符合条件|A﹣B|=1，即这种情况不存在；（2）a＞0时，得到x2+2x﹣3=±a，即x2+2x﹣3﹣a=0或x2+2x﹣3+a=0；对于方程x2+2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，即该方程有两个不同实数根；∴C（B）≥2；又|A﹣B|=1，C（A）=2，∴C（B）=3；∴方程x2+2x﹣3+a=0有两个相等实数根；∴△=4﹣4（a﹣3）=0；∴a=4．故答案为：4．点评：考查对新定义|A﹣B|的理解及运用情况，以及描述法表示集合，一元二次方程解的情况和判别式△的关系．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数y的导数，设切点为（m，n），由条件得到2=，n=2m+b，n=alnm，即有b=aln﹣a（a＞0），再对b求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求．解答：解：y=alnx的导数为y′=，由于直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线，则设切点为（m，n），则2=，n=2m+b，n=alnm，即有b=aln﹣a（a＞0），b′=ln+1﹣1=ln，当a＞2时，b′＞0，函数b递增，当0＜a＜2时，b′＜0，函数b递减，即有a=2为极小值点，也为最小值点，且最小值为：2ln1﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值．考点：正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．（II）在△ABC中，由，求得A的值；根据b，a，c成等差数列以及=9，利用余弦定理求得a值．解答：解：（I）f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）．令2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f（x）的单调递增区间为，k∈z．（II）在△ABC中，由，可得sin（2A+）=，∵＜2A+＜2π+，∴2A+=或，∴A=（或A=0 舍去）．∵b，a，c成等差数列可得2a=b+c，∵=9，∴bccosA=9，即bc=18．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣3bc=4a2﹣54，求得a2=18，∴a=3．点评：本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为A1D、A1C的中点．（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连BD交AC于点E，连EF，可得EF是△A1BD的中位线，得EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出A1B∥平面AFC；（Ⅱ）连结B1C，根据正方体的对角面A1B1CD为矩形，得A1C的中点H也是B1D的中点，因此问题转化为证明B1D⊥平面AFC．利用正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质证出AF⊥B1D且AE⊥B1D，最后根据AF、AE是平面AFC内的相交直线，可得B1D⊥平面AFC，由此得到B1H⊥平面AFC．解答：解：（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF∵EF是△A1BD的中位线，∴EF∥A1B∵EF⊄平面AFC，A1B⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC；（Ⅱ）连结B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1CD是矩形∵矩形A1B1CD中，H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点因此，要证明B1H⊥平面AFC，即证明B1D⊥平面AFC∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1C1C，AF⊂平面AA1C1C，∴AF⊥A1B1又∵正方形AA1C1C中，AF⊥A1D，A1B1∩A1D=A1，∴AF⊥平面A1B1CD，结合B1D⊂平面A1B1CD，得AF⊥B1D同理可证：AE⊥B1D，∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，∴B1D⊥平面AFC，即B1H⊥平面AFC点评：本题在正方体中证明线面平行，并且探索了线面垂直的位置关系，着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和线面平行判定定理等知识，属于中档题．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设A={a1，a2，…，a10}，B={b1，b2，…，b40}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．考点：等比数列的通项公式；集合的相等；并集及其运算；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用“n=1时b1=T1；n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”和“累乘求积”即可得出．（3）利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得S10，T10，又A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．即可得出集合C中所有元素之和．解答：解：（1）∵S3=7，∴a1+a2+a3=7，∵a1+3，3a2，a3+4成等差数列，∴6a2=a1+3+a3+4，联立可得，解得．∴．（2）∵6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．当n≥2时，6T n﹣1=（3n﹣2）b n﹣1+2，b1=1．∴6b n=（3n+1）b n﹣（3n﹣2）b n﹣1，化为．∴b n=…=••…•=3n﹣2．（3），，∵A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．∴C=A∪B，集合C中所有元素之和为1023+2380﹣85=3318．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式、利用“n=1时b1=T1；n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k （x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，则，∴，所以c=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以．同理，．所以=，∵当且仅当k=±1时取等号∴综合①与②可知，点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．22．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2﹣（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）＞0解出a即可．解答：解：（Ⅰ）设φ（x）==x2﹣1﹣（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3﹣x﹣=x•φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h（）＜0即可，即﹣（2+a）+1＜0，解得a＞e+﹣2，∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．。