一元一次不等式(组)的解法
一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次不等式组的概念及其解法在代数学中，不等式组是一种包含有两个或更多个不等式的数学表达式。
这些不等式之间可以通过逻辑连接诸如“且”或者“或者”等来关联起来，形成一个不等式组。
而一元一次不等式组则是其中一种特殊形式的不等式组，其中每个不等式均为一元一次不等式。
为了更清晰地理解一元一次不等式组的概念及其解法，让我们从简单的例子开始。
假设我们有一个一元一次不等式组：1. 2x + 3 > 72. x - 5 < 2在这个不等式组中，我们有两个一元一次不等式，分别为2x + 3 > 7和x - 5 < 2。
要解决这个不等式组，我们需要先单独解决每个不等式，然后将它们的解集合起来，以得出整个不等式组的解。
我们来解决第一个不等式2x + 3 > 7。
要解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1. 将2x + 3 > 7化简为2x > 42. 再将2x > 4化简为x > 2第一个不等式2x + 3 > 7的解为x > 2。
接下来，我们来解决第二个不等式x - 5 < 2。
解决这个不等式的步骤如下：1. 将x - 5 < 2化简为x < 7第二个不等式x - 5 < 2的解为x < 7。
现在，我们得到了每个不等式的解，即第一个不等式的解为x > 2，第二个不等式的解为x < 7。
要得到整个不等式组的解，我们需要将这两个不等式的解进行合并。
由于这是一个“且”的关系，所以整个不等式组的解为同时满足这两个不等式的解，即2 < x < 7。
通过以上例子，我们可以看到解决一元一次不等式组的关键步骤。
首先是单独解决每个不等式，然后根据逻辑连接的关系合并这些解来得到整个不等式组的解。
在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和实际问题的求解中。
比如在工程、经济学、物理学等领域，人们经常需要通过建立不等式组来描述某一问题的限制条件，然后利用不等式组的解来得出问题的答案。
一元一次不等式(组)及其解法
一.一元一次不等式的定义
只含有一个未知数, 只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的 不等式叫一元一次不等式. 不等式叫一元一次不等式.
二.形式: 形如 形式: 形如ax>b(a≠0)
如何解不等式ax>b(a ≠0)? 如何解不等式
b 分类讨论:a>0时,x> 分类讨论 时 a
1 − 3x 练习: (1)解不等式 − 7 ≤ <2 2 (2)解不等式组 : 4 + 2x > 7 x + 3 3x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5
x+y=3 例8.方程组 8.方程组 的解满足 x-2y=-3+a 2y=-
x>0 ,求a的取值范围. 的取值范围. y>0
x
b a b a
x
b a<0时,x< 时 a
三.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法:
4 − 2x x −3 例1.解不等式 < 1− 3 4
去分母 去括号 移项b的形式 或 化成 的形式
练习：求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解 1. 1 2 2.k取什么值时, 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数. 2 3
2 3 x + 25 例2.关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数, 3 3 那么m的取值范围是什么?
四.一元一次不等式组
假设a>b 假设
x>a
(1)
x>b x>a
x>a
x<a
考点07 一元一次不等式(组)及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点07 一元一次不等式（组）及其应用中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。
而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。
对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！一、不等式的基本性质二、一元一次不等式（组）的解法三、求不等式（组）中参数的值或范围四、不等式（组）的应用考向一：不等式的基本性质【易错警示】1．若a ＞b ，则下列不等式中，错误的是（ ）A ．3a ＞3bB ．﹣＜﹣C ．4a ﹣3＞4b ﹣3D ．ac 2＞bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断．【解答】解：A 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a ＞3b ，故本选项正确；B 、在不等式a ＞b 的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C 、在不等式a ＞b 的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a ﹣3＞4b ﹣3，故本选项正确；D 、当c ＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D ．2．已知x ＜y ，下列式子不成立的是（ ）A ．x +1＜y +1B ．x ＜y +100C ．﹣2022x ＜﹣2022yD ．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A 、在不等式x ＝y 的两边同时加上1得x +1＜y +1，原变形成立，故此选项不符合题意；B 、在不等式x ＜y 的两边同时加上100得x +100＜y +100，原变形成立，故此选项不符合题意；C 、在不等式x ＜y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x ＞﹣2022y ，原变形不成立，故此选项符合题意；D 、在不等式x ＜y 的两边同时除以2022得x ＜y ，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：C ．3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围 a＜﹣3 ．【分析】根据题意，在不等式x＞y的两边同时乘以（a+3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是 y≤8 ．【分析】根据3x﹣y＝1求出x＝，根据x≤3得出≤3，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3x﹣y＝1，∴3x＝1+y，∴x＝，∵x≤3，∴≤3，∴1+y≤9，∴y≤8，即y的取值范围是y≤8，故答案为：y≤8．5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 130 ．【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．【解答】解：，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣，∵a，b，c为三个非负实数，∴a ＝10﹣≥0，c ＝20﹣≥0，∴0≤b ≤20，∴W ＝3a +2b +5c ＝2b +130﹣4b ＝130﹣2b ，∴当b ＝0时，W ＝130﹣2b 的最大值为130，故答案为：130．考向二：一元一次不等式（组）的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式（组）的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵3（2﹣x）＞x+2，∴6﹣3x＞x+2，﹣3x﹣x＞2﹣6，﹣4x＞﹣4，x＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（ ）A．1B．﹣C．0D．4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是 a＞2 ．【分析】先解方程得到x＝，根据题意得到＜0，所以2﹣a＜0，然后解不等式即可．【解答】解：解方程ax＝2x﹣7的得x＝，∵方程ax＝2x﹣7的解为负数，∴＜0，∴2﹣a＜0，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为 1 ．【分析】先把m看作常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为x＞2，建立关于m的方程，求解即可．【解答】解：x﹣3m+1＞0x＞3m﹣1，∵x＞2 是关于x的不等式x﹣3m+1＞0 的解集，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1，故答案为：1．5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是 x＞﹣1 ．【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a+b的符号，进而求得a＝2b，进一步求得b＜0，从而解不等式即可．【解答】解：移项，得：（a+b）x＜b，根据题意得：a+b＜0且＝，即3b＝a+b，则a＝2b，又a+b＜0，即3b＜0，则b＜0，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b化为：3bx＜2bx﹣b，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）﹣x+19≥2（x+5）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘12去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）﹣x+19≥2（x+5），去括号，得）﹣x+19≥2x+10，移项，得﹣x﹣2x≥10﹣19，合并同类项，得﹣3x≥﹣9，系数化为1，得x≤3．将解集在数轴上表示为：（2），去分母，得3（x+4）﹣12＜4（4x﹣13），去括号，得3x+12﹣12＜16x﹣52，移项，得3x﹣16x＜﹣52﹣12+12，合并同类项，得﹣13x＜﹣52，系数化为1，得x＞4．解集在数轴上表示为：7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．【分析】解方程得出x＝k+1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【解答】解：解方程5x﹣2k＝6+4k﹣x得x＝k+1，∵方程的解是负数，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≥2，故原不等式组的解集是x≥2，其解集在数轴上表示如下：，故选：C．9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，可得﹣3＜2x+3≤﹣2，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵{2x+3}＝﹣2，∴﹣3＜2x+3≤﹣2，∴﹣6＜2x≤﹣5，∴﹣3＜x≤﹣，故选：D．10．不等式组的解集是 x＜3 ．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤8，解②得：x＜3，∴不等式组的解集为x＜3．故答案为：x＜3．11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+2＜3x；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）+2＜3x，∴2x﹣2+2＜3x，∴2x﹣3x＜2﹣2，∴﹣x＜0，则x＞0，将解集表示在数轴上如下：（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，解不等式x+1＞，得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考向三：求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结：①解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；②根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。
一元一次不等式组的三种求解方法
数学篇数苑纵横解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分.怎样找公共部分是同学们求不等式组解集的一个难点.突破这一难点的方法有三种：数轴法、图象法、口诀法.下面结合例题进行分析.同学们在做题时可以灵活选择不同的解答方法.一、数轴法数轴在解一元一次不等式组中有着重要的作用.利用数轴法求解不等式组的解集时，首先确定出每一个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出来.每个一元一次不等式的解集在数轴上的表示都是一条射线，这些射线都通过的部分就是这些不等式的解集的公共部分.如果公共部分不存在，那么不等式组就无解.例1已知m为任意实数，求不等式组{1-x<3，x<m-2，的解集.解析：由不等式1-x<3化简得x>2，先在数轴上表示，如图1所示，接着，在数轴上表示出解集x<m-2.借助数轴可直观地发现，当表示数m-2的点在表示2的点的右边，即m-2>2，解得m>4时，该不等式组的解集为2<x<m-2；当表示数m-2的点在表示2的点的左边，或与2重合，即m-2≤2，解得m≤4时，该不等式组无解.ìíîx>2，x<5，x<m-2，的解集.解析：和例1相比较，该不等式组中不等式的个数增加到3个，需求出这3个不等式解集的公共部分，此时借助数轴更能起到化抽象为直观的作用.先在数轴上表示出第一、二个不等式解集的公共部分，如图2，再借助数轴可直观地发现，当表示数m-2的点在表示2的点上边或左边，即m-2≤2，m≤4时，3个不等式的解集没有公共部分，原不等式组无解；当表示数m-2的点在2和5之间，即2<m-2<5，4<m<7时，原不等式组的解集为2<x<m-2；当表示数m-2的点在表示5的点上边或右边，即m-2≥5，m≥7时，原不等式组的解集为2<x<5.图2说明：利用数轴来确定解集时，要特别注意两个端点处是空心还是实心.同时要牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.二、图象法一元一次不等式与一次函数之间存在着密切联系，因此，可根据一次函数图象确定不等式组的解集，具体步骤如下：（1）在同一直角坐标系中，把每个不等式的解集所确定的一元一次不等式组的三种求解方法山西太原吴雨桐数学篇数苑纵横各解集的交集所确定的区间；（3）写出不等式组的解集.例3如图3，观察图象，可以得出不等式组ìíî3x +1>0,0.5x -1<0,的解集是（）.A ．x <13B ．-13<x <0C ．0<x <3D ．-13<x <2解析：由图象知，函数y =3x +1与x 轴交于点(-13,0)，即当x >13时，函数值y 的范围是y >0；因而当y >0时，x 的取值范围是x >-13；函数y =-0.5x +1与x 轴交于点(2,0)，即当x <2时，-0.5x +1>0，即0.5x -1<0；因而当y >0时，x 的取值范围是x <2；所以，原不等式组的解集是-13<x <2．故选：D 项．例4已知，函数y =kx +m 和y =ax +b 的图象交于点P ，则根据图象可得不等式组{kx +m >0,ax +b >kx +m ,的解集为_____________.图4解析：由图象知，当kx +m ＞0时，x ＞-2.当ax +b ＞kx +m 时，x ＜-1．∴不等式组的解集为：-2＜x ＜-1．说明：利用图象法求解不等式组的解集，关键就要在图象上找到对应的部分，再由图象确定对应的x 的取值范围，即为不等式(组)的解集.三、口诀法由两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组，变换为标准形式后，可分为以下表格所列出的四种基本类型，求不等式的解集即确定它们的公共部分.这时可利用口诀法，根据“同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小解没了”这四句口诀，快速确定不等式组的解集.例5解不等式组ìíîïïx -32+3≥x ,①1-3(x -1)<8-x ,②解析：解不等式①，得x ≤3；解不等式②，得x >-2.两个不等式一个含有大于号，一个含有小于或等于号，并且是x大于两个数中较小的数-2，小于等于较大的数3.根据“大小小大中间找”，这个不等式组的解集是-2<x ≤3.例6解不等式组ìíî1-2x >4-x ,①3x -4>3,②解析：解不等式①，得x <-3；解不等式②，得x >73.两个不等式的不等号方向相反，并且x 是大于两个数中的较大的数，同时小于较小的数.根据“大大小小解没了”，所以这个不等式组无解.说明：在填空题、选择题中运用口诀法可以提高解题速度；在计算题等大题中口诀法可以起检验的作用.所以，掌握好口诀法对同学们解答一元一次不等式组有着重要作用.图322。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
8.3.1 一元一次不等式组及其解法
知2－练
1
(福州)不等式组
x x
1的, 解集在数轴上表示正确的是 2
()
第十八页，编辑于星期五：九点 二十四分。
2
不等式组 A．x＜1
x x
1 , 的解集是( 3
B．x≥3
)
C．1≤x＜3
D．1＜x≤3
知2－练
第十九页，编辑于星期五：九点 二十四分。
易看出，这两个不等式的解集没有公共部分.这时，
这个不等式组无解.
第二十三页，编辑于星期五：九点 二十四分。
总结
知3－讲
解不等式组的关键：一是要正确地求出每个不等 式的解集；二是要利用数轴正确地表示出每个不等式 的解集，并找出不等式组的解集．
第二十四页，编辑于星期五：九点 二十四分。
知2－练
1 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
第八页，编辑于星期五：九点 二十四分。
知1－练
1 下列不等式组是一元一次不等式组的有_________．
(填序号)
①
x 2 3x 1, 2y 7;
②
③ 2( x 1) 3x, ④
x
2;
⑤
x 1 0,
2
x
3
0
⑥
x 4 2 x 3;
x2 1 2x 2, 3x 1;
x 6 1,
式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 要点精析：(1)这里的“几个”是指两个或两个以上；(2)每
个不等式只能是一元一次不等式；(3)每个不等式必须含 有同一个未知数． 2. 易错警示：判断一个不等式组是否为一元一次不等式组， 常出现以下几种错误：
①不等式组中不都是一元一次不等式；
微专题六 一元一次不等式(组)的解法及其应用
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<
,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂 州 第 12 题 3 分 ) 若 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为
2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22； 【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节 一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集 表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在 数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取 值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种 方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、 销售费用问题，以解答题为主
一元一次不等式的求解步骤
一元一次不等式的求解步骤
1. 将不等式写成标准形式：将不等式中的项整理到一边，使得不等式左边为0。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，整理后为2x - 2 > 0。
2. 判断不等式的符号：观察不等式中的不等号，确定所求解的未知数应该满足大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）还是小于等于（≤）。
3. 解算不等式：根据不等式的符号，将解算分为两部分。
a. 当不等式符号为大于（>）或大于等于（≥）时，解算为正数部分。
将不等式中的项移至一边，并进行分配律的运算，然后将方程两边同时除以系数，得到未知数的解。
b. 当不等式符号为小于（<）或小于等于（≤）时，解算为负数部分。
将不等式中的项移至一边，并进行分配律的运算，然后将方程两边同时除以系数，得到未知数的解。
4. 结果表示：将解得的不等式表示出来，例如，x > 1 或x ≤ -2。
在求解一元一次不等式时，需要注意以下几点：
- 在整理不等式过程中，需要保证不等式的方向不变。
如果需
要改变不等式方向，需要将不等号反向。
- 对于带有绝对值的一元一次不等式，需要根据绝对值的性质
进行求解，并将绝对值拆分为两个不等式。
- 如果求解过程中需要进行乘法或除法运算，需要考虑系数的
正负性，避免改变不等式的方向。
以上是一元一次不等式的求解步骤，可以帮助我们找到使不等
式成立的未知数的范围。
通过这些步骤，我们可以更好地理解和应
用一元一次不等式的知识。
一元一次不等式的解法步骤
一元一次不等式的解法步骤
解一元一次不等式的基本思路是将未知数（例如x）移项，从而把x的系数与常数分离开来。
以下是解一元一次不等式的具体步骤：
1. 检视不等式的形式，确定左边是未知数的系数和常数，右边是未知数的系数和常数。
2. 将左边的常数移到右边，将右边的系数移到左边，使得未知数的系数全部在左边，常数全部在右边。
3. 如果未知数系数的前面有一个负号，就把不等式的符号取反。
4. 化简不等式，将系数和常数约分，消去多余项。
5. 再次检查不等式的形式，确保未知数只出现在左边而不在右边。
6. 将不等式解释成为图形上的区间，即开一条数轴，找到未知数的取值区间。
7. 判断区间的两端点是否包含在不等式的解中，如果是，则将其作为解的端点，如果不是，则继续缩小区间，找到另一个端点。
8. 将解写成区间的形式。
(完整版)一元一次不等式组的三种求解方法
一元一次不等式组的三种求解方法一元一次不等式及不等式组的解法是初中数学中的一个重要内容，具体可利用图象、数轴以及口诀解答有关题目.下面结合实例进行讲解，同学们在解题时可以灵活选择解题方法。
一、利用图象解一元一次不等式（组）1.求解一元一次不等式kx+b>0或kx+b0或y〈0；当一次函数y=kx+b 的图象在x轴上方或下方时，求横坐标x的取值范围。
2。
求解一元一次不等式k1x+b1〉k2x+b2或k1x+b1〈k2x+b2(其中k、b为常数，且k≠0）可以转化为:求当x取何值时，一次函数y1=k1x +b1的值大于或小于一次函数y2=k2x+b2的值;当一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2= k2x+b2图象上方或下方时,求横坐标x的取值范围。
例1 用图象的方法解不等式2x+1>3x+4.解析：把原不等式的两边看作两个一次函数,在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y= 3x+4（图1）,从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x3x+4，因此不等式的解集是x〈-3.图1例2 已知函数y=kx+m和y=ax+b的图象如图2交于点p，则根据图象可得不等式组kx+m>0ax+b>kx+m的解集为_____________.图2解析:当kx+m>0时，x〉—2。
ax+b>kx+m时，x〈-1。
∴不等式组的解集为：—2〈x〈—1。
数轴在解一元一次不等式中有着重要作用,不等式的解集在数轴上的表示如下：(1)x〉a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示，表示a不在解集内；(2)x （3）x≥a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及a的点的右边部分来表示，表示a在这个解集内;（4)x≤a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及a的点的左边部分来表示，表示a在这个解集内.例3 已知m为任意实数，求不等式组1-x〈3x〈m—2的解集.解析:由不等式1-x2，先在数轴上表示，如图1.接着，在上面的数轴上表示出解集x2，m>4时,该不等式组的解集为2<x〈m—2；当表示数m —2的点在表示2的点的左边或和与2重合即m—2≤2，m≤4时，该不等式组无解。
数学七年级下册培优第13讲 一元一次不等式(组)的解法探究
第十三讲一元一次不等式（组）的解法探究专题讲解专题1 一元一次不等式的解法例1解不等式，并在数轴上表示出来：（1）3－2x＞4；（2）10－3(x＋6)≤1；（3）12(x－3)＜1－2x；（4）213x－＜715x＋＋1．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练1．1（1）不等式x＞－3的负整数解是________．（2）求不等式2x－2≥2(2x＋1)的正整数解是________．（3）若a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；②ab＞1；③a＋b＜ab；④1a＜1b．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式已知y＝2－2x，试求：（1）当x为何值时，y＞0；（2）当y为何值时，x≤－1．专题2 一元一次不等式组的解法例2解不等式组，并在数轴上表示出来：（1）591131xx⎧⎨⎩＋＞－－＜；（2）23212x xx⎧⎪⎨⎪⎩－≤－＞－；（3）3353324xx⎧⎪⎨⎪⎩＋＜＋＜．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练2．1不等式组21318xx⎧⎨⎩－≥－－＞的解集在数轴上可表示为（）练2．2不等式组31526xx⎧⎨⎩＋≥－－＞－的解集是________，这个不等式组的所有整数解的和是________．练2．3不等式组31212131xx x⎧⎨⎩－≤－＜－的解集是________；负整数解是________．变式1已知三角形的三边长分别为a＋1，a，a－1，求a的取值范围．专题3 含参数不等式（组）例3不等式13(x－m)＞2－m的解集为x＞2，求m的值．归纳总结：DCBA②方法与技巧：______________________________________________________________________ 练3．1如果不等式ax≤2的解集是x≥－4，则a的值为（）A．a＝－12B．a≤－12C．a＞－12D．a＜－12例4已知不等式组2133x ax b⎧⎨⎩－＜－＞的解集为－1＜x＜1，求a，b的值为多少．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练3．2不等式组2123x ax b⎧⎨⎩－＜－＞的解集为－1＜x＜1，那么(a＋1)(b－1)＝________．练3．3关于x的不等式组12x mx m⎧⎨⎩＞－＞＋的解集为x＞－1，则m＝________．变式若不等式组x a bx a b⎧⎨⎩＋＜－＞的解集为－1＜x＜3，求关于x的不等式ax－b＜0．例5已知关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜107，求关于x的不等式ax＋b＞0的解集．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练3．4 已知关于x的不等式ax＋b＜0的解集是x＞13，求bx－a＞0的解集．变式已知不等式组1xx a⎧⎨⎩＞＜．（1）如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明；（2）如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明．A 级1．将下列不等式化成“x＜a”或“x＞a”的形式，并在数轴上表示出来：（1）－2x＞5；（2）2x－1＜7；（3）23x－1＜5．2．若0＜b＜a，下列不等式组：①x ax b⎧⎨⎩＞＜；②x ax b⎧⎨⎩＞－＜－；③x ax b⎧⎨⎩＞＜－；④x ax b⎧⎨⎩＞－＜．其中有解的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．点P(5－a，2)位于第二象限，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a＜5 C．a≤5 D．a≥5 4．长方形的周长为30，宽不超过3，则长a的取值范围是（）A．27≤a≤30 B．12≤a＜15 C．12＜a＜15 D．0＜a＜125．不等式组2403xx⎧⎨⎩－＞－＞0的解集为（）A．x＞2 B．x＜3 C．x＞2或x＜－3 D．2＜x＜36．若不等式组530xx m⎧⎨⎩－≥－≥有实数解，则实数m的取值范围是（）A．m≤53B．m＜53C．m＞53D．m≥537．不等式x－12(1－12x)－13(2－4x)≤2的非负整数解为________．8．关于x的方程(2－3a)x＝1的解为负数，则a的取值范围是________．9．若a为整数，且点P（3a－9，2a－10）在第四象限，求2a＋1的值．10．已知x 满足3351114x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋＞－＋＞－，化简｜x －2｜＋｜x ＋5｜．B 级1．解不等式组()2214310x x xxx ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＜－≤－－＞ 2．解不等式（2x ＋1）（3x －2）＞0时，根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”有210320x x ⎧⎨⎩＋＞－＞①或210320x x ⎧⎨⎩＋＜－＜②，解不等式①，得x ＞23；解不等式②，得x ＜－12，则不等式（2x ＋1）（3x －2）＞0的解集为x ＞23或x ＜－12，请根据上述方法解不等式5123x x +-＜0．家庭作业1．将下列不等式化成“x ＜a ”或“x ＞a ”的形式，并在数轴上表示出来： （1）－34x ＞34； （2）3－2x ＞－4； （3）－1－3x ＜7x －3．2．已知y ＝2x －3，当x 时，x ＞y 成立． 3．命题：①－a ＞b ⇒a ＋b ＜0；②a ＜－b ⇒a ＞b ；③ab ＞0⇒a ＞0，b ＞0；④a ＞b ，c ≠0⇒ac ＞bc 其中正确个数是 ．4．不等式3（x ＋1）≥5 x －1的非负整数解是 ． 5．不等式组235324x x ⎧⎨⎩＋＞－≤的解集是 ．6．已知三个奇数的和不超过27且大于10，这样的数组共有 个．7．已知点M （－35－P ，3＋P ）是第三象限的点，则P 的取值范围是 ．8．不等边三角形的周长为8，其中最大的一条边长为3，最小一边的长为c ，则c 的取值范围是 ． 9．若a ＜0，则不等式ax ＋b ＜0的解集是（ ）A ．x ＞b a B ．x ＜b a C ．x ＞－b a D ．x ＜－ba10．若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋1；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知x ＝3是关于x 的不等式3x －2＞22ax ＋的解，求a 的取值范围．12．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）3（x＋1）≤4（x－2）－3；（2）213x－－512x＋≤1；（3）4813458x xx x⎧⎨⎩－＜＋＋＜＋（4）－1＜322x－＜2．13．已知2b－a＜3，2 a－b＜5，化简｜2b－a－7｜－｜b－2a＋8｜＋｜a＋b－9｜．下次课必背不等式的解法：步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一；注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题．不等式组的解：“大大取大”，“小小取小”，“大小小大中间找”，“大大小小找不了”．二元一次方程组的解法：①代入消元法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．②加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，再求解．。
一元一次不等式组(公开课课件)
形式
一元一次不等式组通常表 示为“{①，②，③...}”， 其中①，②，③...是一元 一次不等式。
特点
一元一次不等式组中至少 包含两个不等式，且每个 不等式只含有一个未知数 。
一元一次不等式组的解集
定义
满足一元一次不等式组中 所有不等式的未知数的取 值范围称为该不等式组的 解集。
性质
解集具有封闭性，即满足 所有不等式的解都在解集 中。
求法
通过解每个不等式，找出 满足所有不等式的解，再 确定解集。
一元一次不等式组的分类
分类标准
简单型
根据一元一次不等式组中不等式的个数和 形式，可以将一元一次不等式组分为简单 型、线性型、多项式型等。
由两个一元一次不等式组成的不等式组， 如“{2x > 3, x < 5}”。
线性型
多项式型
由两个或多个线性一元一次不等式组成的 不等式组，如“{3x + 2 > 0, 4x - 1 < 5}” 。
VS
解集关系
一元一次不等式组的解集与相应的一元一 次方程组的解集存在一定的包含关系，可 以根据方程组的解来推断不等式组的解。
一元一次不等式组在实际问题中的应用
资源分配问题
例如，在有限资源下如何分配任 务以达到最优效果。
最优化问题
例如，在一定条件下如何选择方案 以达到最优目标。
经济问题
例如，在预算限制下如何选择商品 或服务以实现最大效益。
生产问题
总结词
企业生产过程中的资源配置问题
详细描述
生产问题涉及到企业生产过程中的资源配置，如原材料、设备和人力资源的分配。一元 一次不等式组可以用来解决生产中的成本和效率问题，例如优化生产流程以降低成本和
一元一次不等式(组)的解法课件(共22张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
很多实际问题，通过设未知数列关系式，得到
的是一元一次不等式．上面解一元一次不等式的步 骤对于任意一个一元一次不等式都有效．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 1.解不等式2x 1 x 2＞7x 1
32
解：由原不等式可得
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
学习目标
知识目标 能力目标
理解一元一次不等式（组）概念及其解集的学习，掌握一元一次不等式（组） 的解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握一元一次不等式（组）的解题方法，提 高一元一次不等式（组）解决实际问题能力
12(x+1)+2(x-2)＞21x-6,（原式两边同乘以6)
12x+12+2x-4＞21x-6,
（分配律）
12x-14
（合并同类项）
x＜2.
（不等式的性质）
所以，原不等式的解集是{x丨x＜2}，即（- ,2).
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
一元一次不等式方程组的解法
一元一次不等式（组）的解法及其应用题课程要点：一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）的解法及其应用题题型一：整数解[x—3》0,例1 （2011江苏苏州，6,3分）不等式组x 的所有整数解之和是（）32A、9B、12C、13D、15考点：一元一次不等式组的整数解.分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案. 解答：由①得：x>3由②得：x V 6,二不等式的解集为：3WX6,二整数解是：3, 4, 5,所有整数解之和：3+4+5=12 .故选B.点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小, 小大大小中间找，大大小小解不了.f3-x > 0练习1.（2011山东泰安，18 , 3 分) 不等式组4x 3 x 的最小整数3+2 >-6解为（).A.0B.1C.2D.-1【答案】A（2011?南通）求不等式组3x -6 _x -42x 1 3(x -1)的解集，并写出它的整数解•专题：探究型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x 的整数解即可.解答：【解】解不等式3x —6》（—4，得x>1.解不等式2x+ 1>3（x—1）,得x V 4.所以原不等式组的解集为1WCV4.它的整数解为1, 2, 3.o 1 J点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键.一元一次不等式（组）的解法及其应用题例2 ©（2011?恩施州14,3分）若不等式x v a只有4个正整数解，则a的取值范围是4v a W5 .考点：一元一次不等式的整数解。
分析：首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围.解答：解：T不等式x v a只有四个正整数解，•••四个正整数解为：1, 2, 3, 4,二4v a<5?故答案为：4v a<5点评：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解.②已知关于x的不等式x-2a v3的最大整数解一5,求a的取值范围. 解：x v 2a+ 3，由题意，有—5 v 2a+ 3 w —4, —8 v 2a w —7, 4 . a 亠7.2f2（x—1）—3（X+2）A-6,①③关于x的不等式组x a恰好有两个整数解，求a的取值范围.1, ②L 2解：由①，得2x — 2 —3x — 6 > —6, —x > 2, x v —2,由②得x > 2 —a,因为恰好有两个整数解—5< 2 —a v —4，所以—7w —a v —6,—7> a> 6.£x 1 x 2 d练习1 .关于x的不等式组〒一十’1,只有3个整数解，求a的取值范围.x -a 2,2 .关于x的不等式组"‘③-5,恰好有4个整数解，求a的取值范围. .2x -a vO,题型二：不等式（组）的解集例3已知不等式口1的每一个解都是 3 J的解，求a的取值范围;3 2 2解：由，1,得x v a—3,由J-得x v 1,由题意有：a—3w 1,得a w 4.3 2 2点评：注意二者之区别.一元一次不等式（组）的解法及其应用题练习1 •若不等式口一口1的解集与x v 6的解集相同，求a的取值范围.3 2解：由口一口i，得2x—2a-3x + 3a>6, - x>6- a, x v a- 6,3 2由题意，有a—6=6，所以a= 12.2. （2011山东日照，6, 3分）若不等式2x v4的解都能使关于x的一次不等式（a- 1）x v a+5成立，则a的取值范围是（）A . 1 v a<7 B. a<7 C. a v 1 或a>7 D. a=7考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。
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