文科立体几何知识点方法总结高三复习终审稿)
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文科立体几何知识点方法总结高三复习
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立体几何知识点整理（文科）
一．
直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行
实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二：用面面平行
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
β
方法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则
m
l//。
方法四：用向量方法：
若向量和向量共线且l、
m不重合，则
m
//。
2.线面平行：
方法一：用线线平行
实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实
现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且
α
⊄
l,则α
//
l。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
l
βααβ//',','
//'//⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面
平行实现。
βαβαα
//,////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊂且相交m l m l 三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫
⊂⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫
⊂⊥αα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则
m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，
找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
ab
c b a 2cos 2
22-+=θ
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：
=
θcos (二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围：]90,0[︒︒ 当︒=0θ时，α⊂l 或α//l
当︒=90θ时，α⊥l
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于
平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹
角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
θ
n 1n 2
步骤一：计算121212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=
⋅
步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能
相等或者互补。
四． 距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
O
A
P
α
步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
n
m
α
如图，m 和n 为两条异面直线，
α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间
的距离可转化为直线m 与平面α之间的
距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
d c
b
a
θm'
D
C
B
A
m
n
如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：
θcos 2222ab b a c d ±--=
高考题典例
考点1 点到平面的距离
例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．