文科立体几何知识点方法总结高三复习终审稿)
文科立体几何知识点方法总结高三复习
立体几何知识点整理方法二：用面面平行实现。
•直线和平面的三种位置关系:// ll //1.线面平行方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面的一个法向量，n2.线面相交则丨〃3.面面平行:符号表示:方法一：用线线平行实现。
l //l' m// m' l, m 且相交 l',m' 且相交方法用线面平行实现。
二•平行关系: 1.线线平行: l // 方法一：用线面平行实现。
l //l 〃m mm//且相交•垂直关系:1.线面垂直://方法二：用面面平行实现。
『二'刁7〃 a m 丰 方法三：用线面垂直实现。
l l //m m 方法一：用线线垂直实现。
l AC l AB lAC AB A AC, AB方法二：用面面垂直实现。
若 I ,m ，则 l // m 。
方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且I 、m 不重合，则l//m 。
m ll m,l2.面面垂直:2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。
l//m ml //方法一：用线面垂 直实现。
（1）定义：直线l上任取一点P （交点除外），作PO 于O,连结AO ,则AO为斜线PA在面内的射影，PAO （图中）为直线I与面所成的角。
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法: POl OAll PA⑵范围：[0 ,90 ]当0时，l 或丨〃当90时，l（3）求法：方法一：定义法。
步骤1:作出线面角，并证明。
步骤2:解三角形，求出线面角。
若向量l和向量m的数量积为0,则l m。
三•夹角问题。
（一）异面直线所成的角：（1）范围：（0,90] （三）二面角及其平面角（1）定义：在棱I上取一点P,两个半平面内分别作I的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹角为二面角一l —的平面角。
（2）求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
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立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
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若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
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βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos(二)线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理（文科）l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一． 直线和平面的三种地点关系：αm 不重合，则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行：α 符号表示：方法一：用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示：方法二：用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示：二． 平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。
方法一：用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二：用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行：γl l // mαmm方法一：用线线平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m，则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
C方法二：用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二：计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三．垂直关系：A Ol1. 线面垂直：αl方法一：用线线垂直实现。
l AC 方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ，则 lm 。
AC lAB A AC,AB三． 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。
(1) 范围： (0 ,90 ](2) 求法：Pβlnmlmlm, lα方法一：定义法。
αAθO步骤 1 ：平移，使它们订交，找到夹角。
步骤 2 ：解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理：aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二：向量法。
高中文科数学立体几何知识点总结
ll//m立体几何知识点整理（文科）ml//m一．直线和平面的三种位置关系：αl1.线面平行方法二：用面面平行实现。
l//l//αl 符号表示：2.线面相交lβlαAα方法三：用平面法向量实现。
符号表示：3.线在面内nl若n 为平面的一个法向量，nl 且l,则l//。
lα α符号表示：二．平行关系：1.线线平行：l方法一：用线面平行实现。
l// ll//mm3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
l//l' αl βm l' m'mm // l,mm ' 且相交//方法二：用面面平行实现。
l',m'且相交l//βll//m γ mmα方法二：用线面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l//若l,m ，则l//m 。
m//// 方法四：用向量方法：l,m且相交βl m若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则l//m 。
α2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
1/11WORD 格式lA αC B方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则lm 。
三．垂直关系：三．夹角问题。
4.线面垂直：(一)异面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现。
(1)范围：(0,90] lAC l ABAB AB AC AC,Al(2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
P nA θOα 方法二：用面面垂直实现。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理： βlmlacmlm,lcos2 a 2 b 2abc2 θbα(计算结果可能是其补角) 5.面面垂直：方法二：向量法。
转化为向量 方法一：用线面垂直实现。
C的夹角βllθ()计算结果可能是其补角：lA BαABAC ABACcos方法二：计算所成二面角为直角。
(二)线面角6.线线垂直：(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作方法一：用线面垂直实现。
m l lmlmP O于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。
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教学设计方案XueDa PPTS Learning Center立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二． 平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l ,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
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3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。
高中文科数学立体几何知识点总结
立体几何学问点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
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若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
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若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlmll三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
文科立体几何知识点、方法总结材料高三复习88069
立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
(完整)高中文科数学立体几何知识点总结(2),推荐文档
(2)求法：
P n
方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。 α A θ O
方法二：用面面垂直实现。
β α
l m
m
l
l m,l
步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
cos a 2 b2 c 2 2ab
a
c
θ b
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为
，表面积为
，体积为
。
(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
立体几何知识点整理（文科）
一． 直线和平面的三种位置关系： α
l
m
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
1. 线面平行
l
α
2. 线面相交
l A α
3. 线在面内
符号表示： 符号表示：
l α
符号表示：
二． 平行关系：
1. 线线平行：
l // m
m
l
//
l
方
β α
法二：用面面平行实现。
l
// l
则ab
a b
ab
cos a b
六．常见几何体的特征及运算
(一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、 ，则 cos2 +cos2 +cos2
α βγ
βγ α
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、 ，则 cos2 +cos2 +cos2
文科立体几何知识点、方法总结材料高三复习
立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
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文科立体几何知识点方法总结高三复习公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαβ方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则m//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
lβααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围：]90,0[︒︒ 当︒=0θ时，α⊂l 或α//l当︒=90θ时，α⊥l(3)求法：方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
θn 1n 2步骤一：计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能相等或者互补。
四． 距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
OAPα步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。
nmα如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
d cbaθm'DCBAmn如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：θcos 2222ab b a c d ±--=高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考点2 异面直线的距离例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.考点3 直线到平面的距离例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离考点4 异面直线所成的角可以通例4如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC△过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．ABC D1A1C1BO FBACDOG H 1A 1C 1D1B 1OO CADBE考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．考点6 二面角例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥（II ）求二面角B AC P --的大小．考点7 利用空间向量求空间距离和角体，例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θDBCASABCQαβ P CBAHM DEF1B1A 1D1C<一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=.8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）9.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).10、空间四点A 、B 、C 、P 共面z y x ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=14.异面直线间的距离： ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).15.点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.16.三个向量和的平方公式：2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18. 面积射影定理 'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的θ).19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为6a ,外接球的半径为6a . 20.求点到面的距离的常规方法是什么（直接法、体积法） 〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定： ab b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒ααα abα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b三垂线定理（及逆定理）：P A A O P O ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα aO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒ 面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =⊂⇒l l aaaα alβa b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒ a bα2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°o b⊂θαα＝0b或时∥，8，α301≤角l o o-<-βθθ的面二面（角）平角面：二（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。