用样本估计整体

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简述以样本均值估计总体均值的理由

样本均值恰好等于总体均值的机会很少，但是样本均值的期望（平均值）却是等于样本均值的。

一般情况下样本均值与总体均值之间会有些差异，这个差异是可以科学计算并加以控制的。

样本均值也称为样本均值。

是样本的平均值。

平均值是一组数据集中趋势的数量，即一组数据中所有数据的总和，然后除以该组数据的数量。

它是反映数据集中趋势的指标。

样本均值是总体中样本数据的平均值。

样本是指从人口中提取的一部分个人。

样本中的个体数量称为样本数量或含量，并用符号n或n表示。

人口是指客观存在并基于相同属性组合的许多单个单元的整体，即具有某些特征的一类事物的整体，也称为矩阵或整个域。

简而言之，人口是相同性质的个体的总和。

样本是被检查物体或其一部分的反射图像。

以某种方式从种群中提取的一些个体用于提供有关种群的信息，从而对种群进行统计推断。

也称为子样本。

例如，由于人力和物力的限制，不可能对全国人口进行年度普查，但是可以通过抽样调查获得必要的信息。

从总体采样的过程称为采样。

最常用的采样方法是简单的随机采样。

这样，总体中的每个人都有相同的机会被采样到样本中，因此获得的样本称为简单随机样本。

样本的平均值称为样本平均值，样本偏差的平方的平均值称为样本方差。

在数学统计中，样本平均值通常用于估计总体平均值，样本方差用于估计总体方差。

平均值是代表一组数据集趋势的数量。

它指的是一组数据中所有数据的总和，然后除以该组数据的数量。

它是反映数据集中趋势的指标。

解决平均数问题的关键是确定“总数”以及与该总数相对应的副本总数。

在统计工作中，平均值和标准差是描述数据趋势和离散度的两个最重要的指标。

平均值是统计中的重要概念。

在统计中，算术平均值通常用于表示统计对象的一般水平。

它是一个统计数据，描述了数据集的位置。

它不仅可以用来反映一组数据的一般情况和平均水平，而且可以用来比较不同组的数据以查看组之间的差异。

使用平均值表示一组数据是直观而简洁的，因此在日常生活中经常使用它，例如平均速度，平均身高，平均输出，平均得分等。

用样本估计整体的基本步骤

用样本估计整体的基本步骤
用样本估计整体的基本步骤通常包括以下几个部分：
1.确定研究目标和总体：首先确定你想要估计的总体，即你
希望得到关于整体特征的估计值。

2.定义样本和抽样方法：确定你将要使用的样本大小和抽样
方法。

样本应该以代表性的方式从总体中选择，以确保估计的结果具有统计学上的可靠性。

3.收集数据：采用所选择的抽样方法从总体中抽取样本，并
收集样本数据。

确保采样过程是随机的，以避免样本选择上的偏差。

4.数据整理和分析：对收集到的样本数据进行整理和分析。

这包括描述性统计分析、计算样本统计量等。

5.估计总体参数：根据样本数据，计算出所需的总体参数的
估计值。

例如，估计总体均值、总体比例等。

这通常涉及到对样本统计量的计算和推断。

6.确定估计的精度和置信水平：评估估计结果的精度和可靠
性。

这可以通过计算估计值的置信区间来完成，确定估计结果所在的范围。

7.结果解释和推断：将估计结果解释给目标受众。

解释估计
结果的含义、置信水平以及可能的限制。

8.结论和报告：根据估计结果，得出结论并撰写报告。

将报
告中包含所采用的方法、数据分析流程、估计结果和相关
的解释。

在用样本估计整体时，确保使用恰当的统计方法和技术，并遵循相关的统计学原则和假设。

此外，维护数据的质量和准确性也是十分重要的，以确保估计结果的可靠性和有效性。

必修三2.2.用样本估计总体(教案)

2.2 用样本估计总体教案 A第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1. 通过实例体会分布的意义和作用.2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，第 1 页为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2.决定组距及组数；3.将数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.探究2：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图的不同看法进行交流……）接下来请同学们思考下面这个问题：思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见教材P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）（二）频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.思考：1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把第 3 页这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.三、例题精析例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.cm ）例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++，又因为频率＝.第二小组频数样本容量所以，12150.0.08===第二小组频数样本容量第二小组频率（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、课堂小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、评价设计1．P81习题2.2 A组1、2.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.二、探究新知（一）众数、中位数、平均数探究（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供第 5 页关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.（图略见教材73页图2.2-6）思考：2.02这个中位数的估计值，及样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）图2.2-6显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）（二）标准差、方差１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176cm ，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态.例如，在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？我们知道，77x x ==乙甲，.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ74图2.2-7）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：第 7 页（１）算出样本数据的平均数x .（２）算出每个样本数据及样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （３）算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方.（４）算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差.（５）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：s ≥0.当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数.2．方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.三、例题精析例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.（1）５，５，５，５，５，５，５，５，５（2）４，４，４，５，５，５，６，６，６（3）３，３，４，４，５，６，６，７，７（４）２，２，２，２，５，８，８，８，８分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：（图见教材Ｐ76）四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ）：甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.3825.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.4225.45 25.35 25.41 25.39乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.3625.34 25.49 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.3125.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数及标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值.解：四、课堂小结1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数.（2）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.五、评价设计P81 习题 2.2 A组 3、4.教案 B第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境，导入新课我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.二、新课探知（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1. 计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2. 决定组距及组数；第 9 页cm ） 3. 将数据分组；4. 列频率分布表；5. 画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）一画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134C ｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图：（3134cm 的男孩出现的，所以我们估计身高小（1趋势. （2把数据抹掉了.曲线 1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.（见教材P69）（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用茎叶图表示，你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？解：“茎”指的是中间的一列数，表示得分的十位数；“叶”指的是从茎的旁边生长出来的数，分别表示两人得分的个位数.画这组数据的茎叶图的步骤如下第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；第二步，茎是中间的一列数，按从小到大的顺序排列；第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.甲乙8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 91 5 0从图中可以看出，乙运动员的得分基本上是对称的，页的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数为36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶主要集中在茎1，2，3上，中位数是26.由此可以看出，乙运动员的成绩更好. 另外i，从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定.练习：在ＮＢＡ的2010赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33学生画出茎叶图（略）三、巩固练习为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（见下页图示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.第 11 页（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.08 24171593=+++++，又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以，121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、布置作业P71练习1、2、3.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境导入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.二、新课探究（一）众数、中位数、平均数初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，第 13 页。

随机抽样-用样本估计总体

2．[2017全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数。 (2)中位数：将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数。
(3)平均数：－x ＝_x_1＋__x_2_＋_n_…__＋__x_n___ ______，反映了一组数据的平均水平。
B．某车间包装一种产品，在自动传送带上，每隔 5分钟抽一包产品，称其质量是否合格
C．某校分别从行政、教师、后勤人员中抽取2人、 14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
[答案] D
[解析] A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C也不是，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样中的抽签法．故选D.
A．480 B．481
C．482 D．483
[答案] C
[解析] 根据系统抽样的定义可知，样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
4．[2019山东临沂模拟]某班共有52人，现根
据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42
号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
A．10

2.2.1用样本的频率分布估计总体分布

2019/4/10
总体密度曲线
反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具. 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值百分比。
定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.那么①标准a定为多少比较合理呢？ ②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做哪些工作？
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量(单位： t) ，如下表：
思考：由上表，大家可以得到什么信息？
2019/4/10
二、画频率分布直方图的步骤
1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
4.3 - 0.2 = 4.1
极差 4.1 2.决定组距与组数： = 组距= = 0.5 8 组数
当数据在100个以内时，常分8-12组.
3.将数据分组
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表
月均用水量 /t 4.5
归纳：作频率分布直方图的方法为:
把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，以此线段为底作矩形，高等于该组的频率/组距, 这样得到一系列矩形, 每一个矩形的面积恰好是该组上的频率, 这些矩形构成了频率分布直方图.
三、频率分布直方图再认识 1、小长方形
频率
的面积总和=?
频率组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
2019/4/10
当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量的增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？

样本方差估计总体方差

样本方差估计总体方差样本方差是用来估计总体方差的常用统计量之一、在统计学中，方差是衡量数据分散程度的一个重要指标，用来描述数据集中各数据与其平均值的偏离程度。

通过样本方差的估计，我们可以推断出总体方差的信息，从而对总体进行更深入的分析。

首先，我们先来了解一下方差的概念。

方差是指一组数据与其均值之差的平方的平均值。

对于一个由n个数据组成的样本，方差的计算公式如下：s^2 = Σ(x_i - x_bar)^2 / (n-1)其中，s^2表示样本方差，x_i表示第i个数据点，x_bar表示样本的均值，n表示样本数量。

样本方差的计算很直观，但是其中的(n-1)却很有讲究。

这是因为在计算样本方差时，我们仅仅依赖于样本数据，而未涉及到总体的任何信息。

因此，一个包含n个数值的样本集中的自由度只有n-1，而非n。

通过减去一个自由度，可以消除样本方差的偏向，使其更接近总体方差。

接下来，我们来讨论一下为什么样本方差能够估计总体方差。

首先，样本方差具有无偏性。

无偏性是指估计值的期望等于被估计参数的真实值。

对于样本方差来说，它的期望等于总体方差。

也就是说，对于一个随机样本，样本方差的期望等于总体方差。

其次，样本方差是一致估计量。

一致估计量是指当样本数量趋近无穷大时，估计值趋近于真实值。

对于样本方差来说，当样本数量足够大时，样本方差的估计值将无限接近总体方差。

再次，根据中心极限定理，当样本数量足够大时，样本的均值和方差近似服从正态分布。

这使得样本方差成为了对总体方差进行估计的有力工具。

最后，样本方差的估计是基于样本数据集的统计分析，并且利用了样本的所有信息。

通过计算样本方差，我们可以对总体方差的大小和分布情况进行推断。

总结起来，样本方差是一种用来估计总体方差的常用统计量。

它具有无偏性和一致性，并且通过样本方差的计算，我们可以推断总体方差的信息。

样本方差的估计是基于样本数据集的统计分析，通过利用样本的所有信息，我们可以对总体方差进行更深入的分析。

9.2用样本估计总体

授课主题用样本估计总体教学目标1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．3．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．教学内容1.频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且=极差组距组数；③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图。

（2）频率分布直方图的特点：①==⨯频率小长方形的面积组距频率组距，②个小长方形的面积等于1，③1==频率小长方形的高，所有小长方形的高的和组距组距．（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x=来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地n；n①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；x的平均数为x，则一组数,,n的平均数为用样本的标准差估计总体的标准差）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=；简化公式：22222121[()]n s x x x nx n=+++-=2222121()n x x x x n+++-（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差22212()()()0n x x x x x x s s n-+-++-=≥，．标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．（5）方差相关结论：①如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n x a x a x a +++的方差为2s ；②如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n kx kx kx 的方差为22k s 。

用样本估计总体

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
练习1、如图是150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[60， 60 辆. 70)的汽车大约有______
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图.
练习3、以往招生Biblioteka 计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550 分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
要点： (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.
标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等. 方差的意义：方差(或标准差)越大离散程度越大，数据较分散；方差(或标准差)越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.
例 2 、有两个班级，每班各自按学号随机选出 5 名学生，测验铅球成绩，以考察体育达标程度，测验成绩如下：单位（米）甲 9.1 7.8 8.5 6.9 5.2 乙 8.8 7.2 7.3 7.5 6.7 两个班相比较，哪个班整体实力强一些？
制作频率分布直方图的方法：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（样本容量不超过
100时，组数常分成5～12组）
（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图.
注：频率分布直方图中

《用样本估计总体》PPT下载

由样本平均数估计总体平均数,2000棵苹果树平均每棵产量约
为85 kg,总产量的估计值为85×2000=170000(kg).
知识讲解
知识总结
1.用样本估计总体是统计的基本思想,而总体的平均数和方差是最重要的两个数字特征.在统计中,我们常用样本平均数(或方差)估计总体平均数(或方差).
2.当调查的对象有破坏性或数量较大时,常采用样本估计总体的方法解决实际问题.
用样本中比例估计总体中的比例
“鱼塘问题”小明与客户签订销售合同，需要了解自己鱼塘里鱼的数
量，请你帮小明设计一个合理的方案.
你还知道哪些与此类似的问题？例如:估计不透明袋子中球的数目估计树林中鸟的数目等等.
知识讲解
1.用样本估计总体
为了估计全校初中女生的平均身高,九年级(一)班8个课外学习小
组采用随机抽样的方法,分别抽取容量为25和100的样本,样本平均数
知识讲解
例1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴,从某天加工的
轴中随机抽取了10件,测得其直径(单位:mm)如下:
20.1 19.9 20.3 20.2 19.8
19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
(2)求总体平均数和总体方差的估计值.
(2)总体平均数和总体方差的估计值分别为 20 mm和0.042 mm2.
使用环保方便袋的数量,数据如下(单位:只):
6,5,7,8,7,5,8,10,5,9,利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内
需要环保方便袋约( B )
A.2000只
B.14000只
C.21000只
D.98000只
解析:
1 10
×(6+5+7+8+7+5+8+10+5+9)×2000=14

初中数学用样本估计总体优秀教案

初中数学用样本估计总体优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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用样本平均数估计总体平均数的方法

用样本平均数估计总体平均数的方法下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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用样本估计整体

300名学生成绩频数分布直方图这就是频率分布直方图
总体的平均成绩为78.1，标准差为10.8分
做一做
另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，如下表：
随机数（学号）成绩随机数（学号）成绩
132 78 90 72
245 73 167 86
5 76 86 83
98 69 275 82
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
1.下列调查适合做抽样调查的是( A ) (A)了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率 (B)了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况 (C)了解某班每个学生家庭电脑的数量 (D)“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查 2.下列调查方式中合适的是( C ) (A)要了解一批节能灯的使用寿命,采用普查方式 (B)调查你所在班级同学的身高,采用抽样调查方式 (C)环保部门调查沱江某段水域的水质情况,采用抽样调查方式 (D)调查全市中学生每天的就寝时间,采用普查方式 3.为了解某公司员工的年工资情况,小王随机调查了10位员工,其年工资(单位: 万元)如下:3,3,3,4,5,5,6,6,8,20,下列统计量中,能合理反映该公司年工资中等水平的是( ) C (A)方差 (B)众数 (C)中位数 (D)平均数 4在调查一年内某地区降雨的情况时,下列选取样本较为恰当的是( A ) (A)春、夏、秋、冬各观察一个月 (B)春、夏、秋、冬各观察一天 (C)春天和秋天各观察一个月 (D)冬天和夏天各观察一个月
为了使被抽查的样本能更好地反映总体，那么样本应该具备什么要求？（1）具有代表性；（2）不偏向总体中的某些个体。
用抽签的办法决定哪些个体进入样本，这种理想的抽样办法称为简单的随机抽样．

30.2 .3.用样本估计总体

4、总结反思：在实际问题中，平均数是最常用的指标，但不能一味的使用平均数来确定数据的特征，根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。平均数、中位数、和众数各有所长，也各有其短。 1、用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用也最为广泛，特别是在进行统计推断时有最要的作用，但计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响。 2、用众数作为一组数据的代表，着眼于对数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。 3、用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用他来描述其集中趋势。 5、什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差(range)．极差＝最大值－最小值．
（可能不一致，因为还应考虑影响种子发芽的其他因素，温度等。）
为了一般地研究“香烟浸出液浓度对于种子萌芽的影响”，是否需要选取一些其他的种子做类似的实验？（对此问题，你们可以课后查阅有关生物资料，并亲自动手实验获得更为感性的认识。）如果有兴趣，请动手做一做，再与同学们一起讨论各自获得的数据和结论。
评注：1.数学家已经证明，随机抽样方法是科学而且可靠的。
2.基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，但随着样本容量的增加，有样本得出的特性会接近总体的特性。
例2．某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上
100条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼?

从样本统计量估计整体参数

第六章从样本统计量估计整体参数学习要点第一节点估计第二节区间估计第三节总体均数的估计第四节其他总体参数的估计本章小结学习要点掌握推断统计的内容和前提条件理解统计估计的原理，掌握统计估计的方法能够运用总体均数估计的方法解决实际问题第一节点估计当总休平均数或比例未知时，我们可以直接把样本平均数或比例用作它的估计值。

由于样本统计量为数轴上的一个点，所以称为“点估计值” 。

科学研究不仅需要对事物特征作出一般性的描述，而且更要根据样本提供的信息去推测相应总体的情况，统计内容中的推断统计则是专门研究如何用样本去推断总体的方法。

一、什么是推断统计一般情况下，样本统计量是不会和相应的总体参数完全相同的，两者多少都会有一定的差距，但是如果用无限多个样本的统计量来估计总体参数，平均估计误差将会等于0。

具有这一特征的统计量就无偏估计值。

例如，用样本平均数估计总体平均数时，总会有些误差，在有些样本中，它可能会大于总体平均数，而在另一些样本中它又可能会小于总体平均数，而且对于不同的样本估计误差的大小也是不同的，但是无限多个样本平均数的平均估计误差为0。

换句话说，样本平均数的平均数将会等于总体平均数。

推断统计就是指由样本资料去推测相应总体情况的理论与方法。

也就是由部分推全体，由已知推未知的过程。

推断统计根据推测的性质不同而分为参数估计和假设检验两方面。

参数估计（parameter estimation）就是用样本去估计相应总体的状况，其具体方法有点估计和区间估计。

假设检验（hypothesis test）的主要用途是对出现差异的两个或多个现象或事物进行真实性情况的检验，又称统计检验（statistical test）。

在检验中又根据是否需要依赖于对总体分布形态和总体参数检验的假设而分为参数检验和非参数检验。

参数检验法在检验时对总体分布和总体参数σ）有所要求，而非参数检验法在检验时则不依赖于总体的分布形态和总体参数的（μ，2情况。

《用样本估计总体》统计(总体取值规律的估计)

由于样本是总体的一个随机抽样，因此样本方差可以作为总体方差的估计。在统计学中，这种用样本方差来估计总体方差的方法称为二次估计。二次估计是一种对总体参数的间接估计方法，通常用于描述一个未知的、但感兴趣的参数。
估计的准确性
虽然样本方差可以作为总体方差的估计，但这种估计的准确性取决于样本的代表性。如果样本是总体的一个随机抽样，那么样本方差与总体方差之间的差异通常会较小，从而使得估计较为准确。然而，如果样本不是随机抽样，那么样本方差可能会偏离总体方差，从而使得估计不准确。
估计的准确性
虽然样本中位数可以作为总体中位数的估计，但这种估计的准确性取决于样本的代表性。如果样本是总体的一个随机抽样，那么样本中位数与总体中位数之间的差异通常会较小，从而使得估计较为准确。然而，如果样本不是随机抽样，那么样本中位数可能会偏离总体中位数，从而使得估计不准确。
总体取值规律的估
加权中位数
将每个观测值乘以相应的权重后加总，再除以权重的总和得到的值。它常用于分析不同组观测数据之间的比较。
方差和标准差
要点一
方差
每个观测值与均值之差的平方的总和再除以观测次数。它反映的是一组数据的离散程度。
要点二
标准差
方差的平方根。它也反映了一组数据的离散程度，并且与方差一样，标准差越大，数据点越分散；标准差越小，数据点越集的调查分析
总结词
通过抽样调查，我们能够了解该城市居民的收入情况，并估计总体特征。
详细描述
首先，我们需要在城市中随机抽取一定数量的居民作为样本。然后，收集这些居民的收入数据，并计算样本的平均收入、中位数、标准差等统计指标。通过这些指标，我们可以估计该城市居民的总体平均收入、中位数、标准差等特征。此外，我们还可以计算样本的方差、标准误、置信区间等指标，以评估样本估计总体的准确性。

用样本平均数估计总体平均数课件

在统计学中，大数定律是用来估计总体参数的基础，当样本量足够大时，样本平均数将趋于总体平均数。
中心极限定理
01
中心极限定理是指无论总体分布是什么形状，只要样本量足够大，样本平均数的分布将趋于正态分布。
02
中心极限定理是统计学中非常重要的原理，它为我们提供了用样本平均数估计总体平均数的理论基础。
簇随机样本的平均数计算
总结词
簇随机抽样是将总体分成若干簇，然后在每一簇内进行随机抽样。
详细描述
在簇随机抽样中，首先将总体分成若干簇，然后在每一簇内进行随机抽样。样本平均数的计算需要考虑各簇的权重，计算公式为：$overline{x} = frac{sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{sum_{i=1}^{n} w_i}$，其中 $w_i$ 是第 $i$ 簇的权重。
在市场调估计总体消费水平、满意度等指标，帮助企业了解市场需求和消费者行为。
通过样本平均数，企业可以评估市场趋势，制定更加精准的市场策略和营销计划。
在质量控制中的应用
在质量控制中，样本平均数可以用来评估生产过程中的质量水平，帮助企业及时发现和解决质量问题。
课程目标
掌握样本平均数的计算方法。
学会在实际问题中应用样本平均数估计总体平均数的技巧。
理解用样本平均数估计总体平均数的原理。
02
样本平均数与总体平均数的关系
定义与概念
定义
样本平均数是指从总体中随机抽取的一部分个体的平均值，而总体平均数是指总体中所有个体的平均值。
概念
样本平均数和总体平均数都是描述数据集中趋势的统计量，但样本平均数是估计总体平均数的工具。
样本平均数的分布
样本平均数是所有样本数据的加权平均值，其分布受到样本量和总体分布的影响。

从样本统计量估计整体参数

样本平均数分布的离散程度是用样本平均数的抽样分布的标准差来表示的。为了与样本标准差区别开来，抽样分布的标准差习惯上称作“标准误” ，用符号 SE表示。标准误与样本容量（N）以及总体的标准差有关，即
也就是说，标准误与总体标准差的大小成正比，与样本的大小成反比（严格来说是与样本大小的开方成反比，因此在总休标准差一定时，为了使标准误减少一半，就必须使样本容量扩大四倍）。
1.（渐近）正态分布
平均数的抽样分布的形态取决于总体的分布和总体方差是否已知，以及样本容量的大小：当总体的分布为正态，总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布；当总体的分布为非正态，总体方差已知时，如果样本较大，则样本平均数的分布接近正态分布，其样本越大，总体偏接近的程度取决于样本容量以及总体的偏斜程度斜程度越轻，两者就越接近。这一现象叫做 “中心极限定理” 。
4.样本容量
样本的 “大” 与 “小” 是相对的，一般情况下，一个变量的总体的分布是未知的。如果一个量是由数个互相独立的部分相加而来的，那么该量的分布一般为正态. 在语言研究中经常遇到的许多变量（例如 “测试分数” ）都具有这种性质，那么不需要太大的样本容量就可以保证样本平均数的正态分布。当样本容量大于30时，不论总体的分布是否为正态，基本上都可以保证样本平均数的抽样分布为正态或接近正态。因此，一般30为界，样本的观测值少于30,就是“小”样本，大于30就叫做 “大” 样本。
对于较大的样本，加与不加该值对结果不会有太大的影响，但当样本较小时，则最好加上。
2.从小样本对总体平均数进行区间估计
我们上面讨论的是当样本平均数的抽样分布为正态时如何对总体平均数或比例进行估计。从小样本对总体平均数或比例进行区间估计的方法是一样的，即：。唯一不同的是，当样本较小时，其抽样分布不是正态分布，而是t分布。这时，公式中的 “临界值”不再是从正态分布表中查得的Z值，而是t分布表中对应于某一置信水平或显著水平的t值。

用样本估计总体知识点

用样本估计总体知识点在我们的日常生活和各种研究领域中，经常会遇到需要从部分数据来推断整体情况的情况。

这时候，“用样本估计总体”就成为了一种非常重要的方法和手段。

接下来，让我们一起深入了解一下这个有趣且实用的知识点。

首先，我们要明白什么是样本和总体。

总体，简单来说，就是我们所关心的研究对象的全体。

比如，要研究某个城市所有居民的收入情况，那么这个城市的所有居民就构成了总体。

而样本呢，则是从总体中抽取的一部分个体。

还是以城市居民收入为例，我们随机抽取了1000 位居民进行调查，这 1000 位居民的收入数据就是样本。

那么，为什么要用样本去估计总体呢？这主要是因为在很多情况下，要获取总体的全部数据几乎是不可能的，或者成本极高、耗费时间过长。

比如，要调查全国所有汽车的尾气排放情况，这几乎是无法做到的。

但是，通过抽取一定数量的汽车作为样本进行检测，就可以对整体情况做出一个相对合理的估计。

用样本估计总体，有几个关键的概念需要掌握。

第一个是样本容量。

样本容量就是样本中个体的数量。

一般来说，样本容量越大，对总体的估计就越准确。

但样本容量越大，调查的成本和难度也会相应增加。

所以，在实际应用中，需要根据研究的目的和实际情况，合理确定样本容量。

第二个是抽样方法。

常见的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。

简单随机抽样就是从总体中随机地抽取个体，每个个体被抽到的概率相等。

比如，从一个装有 100 个球的箱子里，随机抽取 10 个球，每个球被抽到的机会都是一样的。

分层抽样则是先将总体按照某些特征分成若干层，然后从每一层中分别进行抽样。

例如，要调查一个学校学生的视力情况，可以先按照年级分层，然后从每个年级中抽取一定数量的学生。

系统抽样是先将总体中的个体按照一定的顺序编号，然后按照固定的间隔抽取样本。

比如，从 1000 个学生中抽取 50 个样本，可以先将学生编号 1 到 1000，然后每隔 20 个抽取一个。

选择合适的抽样方法对于获得具有代表性的样本至关重要。