浙江省金华市浙江师大附属东阳花园外国语学校2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题

浙江省金华市浙江师大附属东阳花园外国语学校【最新】高二上学期第一次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“若p 则q”的逆命题是 A ．若q 则p B ．若⌝p 则⌝q C ．若q ⌝则p ⌝D ．若p 则q ⌝2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．椭圆22124x y +=的离心率是（ ）ABC ．2D 4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（ ） A ．22134x y +=B ．2214x += C ．22142x y +=D ．22143x y +=5．22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）A ．132x -<< B ．16x -<< C ．102x -<<D ．132x -<<6．设m ，n 为两条直线，若直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，下列说法正确的是（ ） ①若α∥β，则m ⊥n ②若α⊥β，则m ∥n ③若m ∥n ，则α⊥β④若m ⊥n ，则α∥β A ．①④B ．②③C ．①③D ．③④7．下列叙述中正确的是（ ）A ．若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“若a b >，则11a b ->-”的逆否命题是“若11a b -<-，则a b ≤”D ．l 是一条直线，,a β是两个不同的平面，若,l a l β⊥⊥，则//a β8．已知正方形ABCD 的边长为1，沿对角线AC 将△ADC 折起，当AD 与平面ABC 所成的角最大值时，三棱锥D ﹣ABC 的体积等于（ ）A ．12B ．112C ．16D 9．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()7,+∞B ．()4,7C ．()4,10D ．()7,1010．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（ ）A ．aB ．2a CD ．2二、双空题11．椭圆2214y x +=的离心率为________，焦点坐标为__________．12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为()F -，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________．13．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是______，体积是______.14．下列四个正方体图形中，A ､B 为正方体的两个顶点，M ､N ､P 分别为其所在棱的中点，能得出AB 与MP 是异面直线的序号是______；能得出//AB 面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号①②③④).三、填空题15．已知()2:20p x x x m +->，如果()1p 是假命题，()2p 是真命题，则实数m 的取值范围是_______________．16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA =E 为AB 上的动点，则1D E CE +的最小值为____________.17．已知椭圆22:143x y C +=，12,A A 为长轴的两个端点，点P 是椭圆上的一点，且满足直线1PA 的斜率的取值范围是[]1,2，则直线2PA 的斜率的取值范围是__________ .四、解答题18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4a =，c =，焦点在y 轴上； （2）过点3(1,)2，离心率为12. 19．某几何体的三视图如图所示，（1）画出该几何体的直观图； （2）求该几何体的表面积和体积.20．已知2:8200p x x -->,()22:2100q x x a a -+->>,若p 是q 的充分而不必要．．．．．．条件．．，求实数a 的取值范围. 21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，E 是PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，右焦点)F.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线()0:k y x m l m k +<=与圆222:O x y b +=相切，且与椭圆C 交于M 、N两点，求MF NF +的最小值.参考答案1．A 【解析】：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p ，则q”的逆命题是“若q ，则p”故选A ． 【考点定位】本题主要考查四种命题之间的关系 2．D 【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D ． 3．C 【分析】根据题意得到24a =，22b =，22c =，再求离心率即可. 【详解】因为椭圆22124x y +=，24a =，22b =，所以22c =，即2e ==.故选：C 【点睛】本题主要考查直接法求椭圆的离心率，属于简单题. 4．D 【分析】根据题意可得1c =，又12c e a ==，可得2a =，进而利用222b a c =-即可求解. 【详解】由椭圆C 的右焦点为()1,0F 知1c =， 又12c e a ==，∴2a =，2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆方程与椭圆的几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 5．B 【分析】首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可. 【详解】求解不等式22530x x --<可得132x -<<， 结合所给的选项可知22530x x --<的一个必要不充分条件是16x -<<. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C 【分析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断即可. 【详解】解：①若α∥β，∵m ⊥平面α，∴m ⊥平面β， ∵n ⊂平面β，∴则m ⊥n 成立，故①正确，； ②若α⊥β，∵m ⊥平面α，∴m ∥β或m ⊂β， ∵n ⊂平面β，∴m ∥n 不一定成立，故②错误； ③若m ∥n ，则n ⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确； ④若m ⊥n ，则α∥β不一定成立，故④错误. 故正确的是①③. 故选：C. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判断，结合相应的判断定理和性质定理是解决本题的关键. 7．D 【分析】根据充分条件和充要条件即可得到A ，B 错误，根据逆否命题的定义得到C 错误，根据线面垂直的性质得到D 正确. 【详解】对选项A ，因为若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”， ①当0a =时，要使20ax bx c ++≥，则0b =，0c ≥， ②当0a ≠时，要使20ax bx c ++≥，则0a >，240b ac -≤， 所以由240b ac -≤不能推出20ax bx c ++≥，故A 错误； 对选项B ，若0b =，则由a c >不能推出22ab cb >，故B 错误；对选项C ，“若a b >，则11a b ->-”的逆否命题是“若11a b -≤-，则a b ≤”， 故C 错误；对选项D ，因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件和充要条件及命题，同时考查了立体几何的知识，属于中档题. 8．A 【分析】判断AD 与平面ABC 所成的角最大值时，AD 的位置，然后求解高与底面面积，即可得到体积． 【详解】正方形ABCD 的边长为1，沿对角线AC 将△ADC 折起，当AD 与平面ABC 所成的角最大值时，平面ADC 与底面ABC ，底面面积为：111122⨯⨯=．所以三棱锥D ﹣ABC 的体积：1132212⨯⨯=故选：A ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，线面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是基础题． 9．D 【分析】根据椭圆焦点在x 轴上的方程特征，建立k 的不等量关系，求解即可. 【详解】方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，410100k kk ->-⎧⎨->⎩，解得710k <<. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆标准方程，熟记椭圆标准方程满足的条件即可，属于基础题. 10．D 【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出112HI CD == 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，112HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题.11 (0, 【分析】由椭圆的方程得出2,a c ==. 【详解】由2214y x +=得2,a c ==c e a ==，焦点坐标为(0,．(0, 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标、离心率的概念，考查考生对基础知识的掌握情况．12．8 221164x y +=【分析】先根据题意2,a b c ==222a b c =+求出,,a b c 的值，代入标准方程得到答案． 【详解】解：已知2222242,1628b a bc a a b c a ⎧⎧=⎪==⎪∴=⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎩则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是221164x y +=．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是221164x y +=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题． 13．12π【分析】将三棱锥的补形成正方体，三棱锥的外接球也即是正方体的外接球，由此求得外接球的表面积和体积. 【详解】由于三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，故可将此三棱锥补形成边长为2的正方体. 三棱锥的外接球也即是正方体的外接球.正方体的体对角线长为r =所以外接球的表面积为24π12πr =，体积为334π4π33r =⋅=.故答案为：（1）12π；（2） 【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积和体积有关计算，属于基础题. 14．①②④ ①③ 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合异面直线的定义，线面平行的判定定理一一判断即可. 【详解】BC的中点为E，连接EN，因为EN在平面MNP中，且与AB平行，对于图①，取1AB面MNP，又EN与MP相交，由线面平行的判定定理可知，//则AB与MP是异面直线；CC BD且相交于点O，连接ON，对于图②，连接1,AB NO，由于NO与平面MNP相交，由中位线定理得//则AB与平面MNP不平行，由图可知，显然AB与MP是异面直线；AB MP，则AB与MP不是异面直线，对于图③，易知//AB面MNP；由线面平行的判定定理可知//对于图④，取1CC 的中点为E ，连接PE ，易知//PE AB ， 且PE 与平面MNP 相交于点P ，则AB 与平面MNP 不平行， 由于PE 与MP 相交，则AB 与MP 是异面直线；综上可得，能得出AB 与MP 是异面直线的序号是①②④； 能得出//AB 面MNP 的图形的序号是①③ 故答案为：①②④；①③ 【点睛】本题主要考查了异面直线的判定以及判断图形中的线面关系，属于中档题.15．[)38，【解析】()1p 是假命题，120m ∴+-≤，解得3m ≥，由()2p 是真命题，440m ∴+->，解得8m <，∴实数m 的取值范围是38m ≤<，故答案为[)3,8.16 【分析】将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，由C 、E 、1D 三点共线可求得1D E CE +的最小值. 【详解】如下图所示，将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，12AD ==，延展后113DD AD AD =+=，1CD =，由勾股定理可得1CD ==由图形可知，当C 、E 、1D 三点共线时，1D E CE +. 【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 17．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】首先得到()12,0A -，()22,0A ，设(),P m n ，根据题意计算得到1234PA PA k k ⋅=-，再根据112PA k ≤≤，即可得到答案.【详解】由题知：2a =，则()12,0A -，()22,0A ，设(),P m n ， 因为12PA n k m =+，22PA n k m =-，1222224PA PA n n n k k m m m ⋅=⋅=+--， 又22143m n +=，则221234mn -=，所以12221233444PA PA m k k m -⋅==--. 因为112PA k ≤≤，所以23348PA k -≤≤-. 故答案为：33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，同时考查学生的计算能力，属于中档题.18．（1）22116y x += （2）当椭圆的焦点在x 轴上时；22143y x +=;当椭圆的焦点在y 轴上时: 22161214343x y +=【分析】（1）由条件可1b ==，根据焦点得位置写出方程. (2)分焦点的位置分别求解，设出其方程，由12e =和点在椭圆上建立方程求解. 【详解】（1）根据条件设所求椭圆的方程为：22221(0)y x a b a b+=>>由4a =，c =，则1b ==所以所求椭圆方程为：22116y x +=（2）当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为：22221(0)x ya b a b+=>>由22222114c b e a a ==-=，得2234b a =，即22134a b =又椭圆过点3(1,)2，则221914a b +=，所以2239144b b += 解得223,4b a ==所以椭圆方程为：22143y x += 当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆方程为：22221(0)y xa b a b+=>>由22222114c b e a a ==-=，得2234b a =，即22134a b =又椭圆过点3(1,)2，则229114a b +=，即22391144b b⨯+= 解得224343,1612b a ==所以椭圆方程为：22161214343x y +=【点睛】本题考查根据条件求椭圆的标准方程，注意焦点位置的讨论，属于基础题.19．（1）答案见解析；（2）S =，272S ABC V -= 【分析】（1）根据三视图得到直观图为底面是直角三角形三棱锥，由此画出几何体的直观图即可. （2）根据直观图计算三棱锥的表面积和体积即可. 【详解】（1）由题知：三棱锥S ABC -为该几何体的直观图AB =3BC =，SC =（2）因为6AC ==，6SB ==，所以132ABC S =⨯=△1322SBC S =⨯=△， 162SAC S =⨯=△，162SAB S =⨯=△，所以几何体的表面积22S =++=11273322S ABC V -=⨯⨯⨯=【点睛】本题第一问考查根据三视图求几何体的直观图，第二问考查三棱锥的表面积和体积，属于中档题. 20．03a <≤ 【分析】根据p 是q 的充分而不必要条件可得p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，据此可求实数a 的取值范围.【详解】不等式28200x x -->的解集为102{|}A x x x =><-或，因为0a >，故不等式22210x x a -+->的解集为11{|}B x x a x a =>+<-或， 依题意，p q ⇒且qp ，故A B ，故011012a a a >⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩且等号不同时成立，解得：03a <≤, ∴正实数a 的取值范围是03a <≤. 【点睛】（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．21．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，证明AEFB 是平行四边形，从而有线线平行得线面平行；（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，易知AM CD ⊥，证得CD ⊥平面PAM 后得面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，证明ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角，然后解得这个角的正弦即可． 【详解】解：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF .∵E 是PD 的中点，∴//EF CD 且12EF CD =，∵//AB CD 且2CD AB =，∴//AB EF 且AB EF =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF ，∵BF ⊂平面PBC ，AC ⊄平面PBC ，∴//AE 平面PBC.（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，ABCM 是平行四边形也是矩形，∴AM CD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，∴CD ⊥平面PAM ，∵CD ⊂面PCD ，∴面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，连HD ，∴AH ⊥面PCD ， ∴ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角， ∵2PA AD ==，∴AM =MP =， 在PAM △中，由等面积法知：7AH ==，∴sin 7AH ADH AD ∠==【点睛】本题考查证明线面平行，求直线与平面所成的角，证明线面平行的根据是线面平行的判定定理，求直线与平面所成的角关键是作出直线与平面所成的角，为此需要找平面的垂线，这可从线线垂直、线面垂直、面面垂直间的关系去寻找确定．22．（1）2214x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据题意求得a 、b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由直线l 与圆O 相切得出221m k =+，由两点间的距离公式可得122MF x =-，同理得出222NF x =-，再将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得MF NF +的最小值. 【详解】 （1）右焦点)F，所以c =2c e a ==，故2a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆22:14x C y +=；（2）直线()0:k y x m l m k +<=与圆222:O x y b +=1b ==，221m k ∴=+.设()11,M x y 、()22,N x y ，由于点M 在椭圆C 上，则221114x y +=，可得221114x y =-.则12MF x ====-122x =-，同理，222NF x =-，()1242MF NF x x ∴+=-+.联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2221484400k x kmx m +++-=∆>，显然成立 ，则122814kmx x k +=-+，又0km <，故122814km x x k+==+令2411t k =+≥，则123x x +==≤，所以，)12422MF NF x x +=-+≥. 所以MF NF +的最小值为2. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.。