高中数学第3章3.1.3知能优化训练新人教B版选修11

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高中数学第3章3.3.1知能优化训练新人教B版选修11

1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ′＝3x 2＋1＞0对于任何实数都恒成立．2．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．解析：令y ′＝3x 2＋2x －5＞0得x ＜－53或x ＞1. 答案：(－∞，－53)，(1，＋∞) 4．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x. 令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x<0，解得0<x <1. 因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0，而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y ＝12x的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝x －2ln x 的单调减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)，(2，＋∞)答案：C2．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12，＋∞)． 3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )内是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x 解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π2 D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0. 综上可得a ≤0.二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0.∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x； (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)函数的定义域为x ≠0.f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2＝1x 2(x ＋b )(x －b )．令f ′(x )＞0，则1x (x ＋b )(x －b )＞0， ∴x ＞b 或x ＜－b .∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．令f ′(x )＜0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＜0， ∴－b ＜x ＜b 且x ≠0.∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．11．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，得－4≤x <－1或3<x ≤4.令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，得－1<x <3.∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．12．已知函数f (x )＝ax －a x－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，则a －1a ≥0，解得a ≥1. 综上，a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}．。

高中数学第3章3.3.2第2课时知能优化训练新人教B版选修11

1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43. 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0.比较可知y max ＝0，y min ＝－64.答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x . (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 163 ↘ －163↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－163. (2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＝3， f (4)＝13×43－4×4＝163，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是163，最小值是－163.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e. 4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上有最小值是________．解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－1(舍去)，比较f (0)，f (2)，f (3)可得函数的最小值为f (2)＝－15.答案：－158．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e. 答案：－1e9．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2. 由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]三、解答题10．试求f (x )＝(x 2－3)e x 的最值．解：函数的定义域为R ，且f ′(x )＝e x (x 2＋2x －3)令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－3；令f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以函数f (x )在(－∞ ，－3)和(1，＋∞)上递增，在(－3,1)上递减，因此函数f (x )在x ＝－3处取得极大值，极大值为f (－3)＝6e －3，在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝－2e.又由f (x )＞0，得x ＞3或x ＜－3；由f (x )＜0，得－3＜x ＜3，所以函数的大致图象如图．从函数图象可知函数f (x )的最小值就是函数的极小值f (1)＝－2e ，而函数无最大值．11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求：(1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) －2 ↗ 2 ↘ －2 ↗ 2 从上表可知f (x )在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＝3时亦符合题意，∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.。

第3章3.1.1知能优化训练

1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( )x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，－12C ．0，12D ．2，122．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥13．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)4．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0) 5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．9．下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．10．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．11．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？12．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.。

高中数学第2章231知能优化训练选修11 试题(共6页)

知能优化训练(x ùnli àn)[学生用书 P 33]1．动点P 到直线x ＋4＝0的间隔与它到M (2,0)的间隔之差等于2，那么P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.依题意知，动点P 到定直线x ＝－2的间隔与到定点M (2,0)的间隔相等，故动点P 的轨迹是抛物线．2．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．当a >0时，(0，a )，当a <0时，(0，－a )B ．当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2C ．(0，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，0 解析：选C.a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴正半轴上；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不管a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，所以选C.3．(2021年模拟)点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的间隔为d ，点A (72，4)，那么|PA |＋d 的最小值是( ) A.72 B ．4C.92D ．5y 2＝2x 的焦点为F ，那么F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的间隔为d ，所以d ＝|PF |，那么|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5.应选D.4．抛物线y ＝ax 2的准线(zhǔn xiàn)方程是y ＝2，那么a 的值是______．解析：由y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ＝2，得a ＝－18.答案：－18一、选择题1．准线方程为x ＝1的抛物线的HY 方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝4xx ＝1知，抛物线的HY 方程是y 2＝－4x .应选B.2．抛物线y ＝mx 2的准线方程是y ＝1，那么实数m 的值是( ) A.14 B ．－14C ．4D ．－4y ＝mx 2，得x 2＝1m y ，14m ＝－1，a ＝－14.3．P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的间隔为10，那么焦点到准线的间隔为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的间隔为2p ＝4.4．(2021年高考卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值是( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4x ＝－p 2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线(zhǔn xiàn)与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5．(2021年高考卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的间隔是4，那么点P 到该抛物线焦点的间隔是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选 B.如下图，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．假设点P 到定点F (4,0)的间隔比它到直线x ＋5＝0的间隔小1，那么点P 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或者y ＝0(x <0)解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的间隔比它到直线x ＋5＝0的间隔小1，∴点P 到F (4,0)的间隔与它到直线x ＋4＝0的间隔相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的间隔为________．解析：y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的间隔为2＋p 2＝52.答案(dá àn)：528．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，假设|AB |＝43，那么焦点F 到直线AB 的间隔为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求间隔为3－1＝2. 答案：29．动点P 到点F (2,0)的间隔与它到直线x ＋2＝0的间隔相等，那么点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，那么其方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 三、解答题10．假设抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的间隔为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的间隔为|MN |，那么|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或者M (－9，－6)．11．指出抛物线方程为x ＝ay 2(a ≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程．解：∵原抛物线方程(fāngchéng)为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |.当a ＞0时，p 2＝14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向右，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a；当a ＜0时，p 2＝－14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向左，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a.综上，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x＝－14a.12．根据以下所给条件，写出抛物线的HY 方程及准线方程： (1)焦点是F (0，－2)； (2)焦点是F (3,0)； (3)准线方程为x ＝－14；(4)焦点到准线的间隔是2.解：(1)∵焦点F (0，－2)在y 轴的负半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为x 2＝－2py (p >0)．由p2＝2，得p ＝4， ∴抛物线的HY 方程的形式为：x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2.(2)∵焦点F (3,0)在x 轴的正半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为y 2＝2px (p >0)．由p2＝3，得p ＝6， ∴抛物线的HY 方程(fāngchéng)为：y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－3.(3)∵准线方程为x ＝－14，∴抛物线的HY 方程为：y 2＝2px (p >0)．由p 2＝14，得p ＝12，所以抛物线的HY 方程为：y 2＝x . (4)由参数p 的几何意义，可知p ＝2.焦点在x 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；焦点在x 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝－4x ，其准线方程为x ＝1；焦点在y 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1；焦点在y 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.内容总结。

高中数学第3章3.3.2知能优化训练湘教版选修11

[学生用书 P 33]1．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3解析：选B.A 中f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲线．∴A 中函数无极值．B中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2. 答案：a ＋4 2一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数f (x )＝x ＋1x在x ＞0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在解析：选A.令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1，∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴在x ＞0时，函数f (x )有极小值．3．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x.在x ＝0处取得极小值的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③解析：选B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A 、C 、D ，故应选B.4．函数f (x )的定义在区间[a ，b ]上，其导函数的图象如图所示，则在[a ，b ]上函数f (x )的极值点个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7解析：选C.图象与x 轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：选A .y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0得e x＝－a ，即x ＝ln(－a )＞0，所以a ＜－1.6．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )＞0，则下列结论中正确的为( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点解析：选D.由题意，得x ＞－1，f ′(x )＞0或x ＜－1，f ′(x )＜0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D. 二、填空题7．函数y ＝x ·2x取极小值时x 等于________．解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln2＝2x(1＋x ·ln2)＝0.∴x ＝－1ln2.当x ＞－1ln2时，f ′(x )＞0，函数递增；当x ＜－1ln2时，f ′(x )＜0，函数递减．∴函数在x ＝－1ln2时取得极小值．答案：－1ln28．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：x ＝2是f (x )的极大值点，∵f (x )＝x (x 2－2cx ＋c 2)∴f ′(x )＝x (2x －2c )＋x 2－2cx ＋c 2＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0.∴c ＝2或c ＝6.当c ＝2时，f (x )在x ＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c ＝6. 答案：69．当a 为________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由已知可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f ′(x )＝0即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解之得0≤a ≤4. 答案：0≤a ≤4 三、解答题10．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝ln xx.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x且极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x 单调递增单调递减故当x ＝e 时函数取得极大值，且极大值为f (e)＝e.11．如果函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a ≠0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2.令f ′(x )＝0，即5ax 4－3bx 2＝0，x 2(5ax 2－3b )＝0.∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0.又x 2＝0，∴可疑点为x ＝0，x ＝±1.若a >0，f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．由上表可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值；当x ＝1时，f (x )有极小值． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋c ＝4a －b ＋c ＝05a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2b ＝a ＋2b ＝53a⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝3，b ＝5若a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.12．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.。

高中数学第3章2知能优化训练选修11 试题

卜人入州八九几市潮王学校1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为()A．f′(x0)＝B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝，右边的式子表示函数的平均变化率．2．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，那么()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A.∵＝＝Δx＋a，当Δx趋于0时，趋于a，∴a＝1.又点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴0－b＋1＝0，即b＝1.3．(2021年模拟)假设＝k，那么等于()A．2k B．kC.k D．以上都不是＝·2＝2·＝2k.4．设函数y＝f(x)，f′(x0)>0，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________．解析：根据导数的几何意义，曲线y＝f(x)在点x＝x0处的导数即为曲线在这一点的切线的斜率，由f′(x0)>0知斜率大于零，故倾斜角为锐角．答案：(0，)一、选择题1．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3C．6 D．12解析：选C.f′(1)＝＝＝6.2．设f(x)＝ax＋4，假设f′(1)＝2，那么a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选A.∵＝＝a，且f′(1)＝＝2，∴f′(1)＝a＝2.3．函数y＝f(x)的图像如图，那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定解析：选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(x A)<f′(x B)．4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，那么点P0的坐标为()A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)或者(－1，－4) D．(2,8)或者(－1，－4)f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或者(－1，－4)．5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A.∵点(－1，－1)在曲线y＝上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，由＝＝，当Δx趋近于零时，趋近于2可知y＝在x＝－1处的导数为f′(－1)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.6．点P是曲线y＝－x2上任意一点，那么点P到直线y＝x＋2的最小间隔为()A．1 B.C. D.解析：选B.依题意知，当过P点的曲线y＝－x2的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的间隔最小，设此时P点的坐标为(x0，－x)．令f(x)＝－x2，那么由导数的定义可以求得f′(x0)＝＝(－2x0－Δx)＝－2x0，由导数的几何意义可知过P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以－2x0＝1，解得x0＝－.故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的间隔d＝＝.二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，那么f(4)＋f′(4)＝________.解析：由导数的几何意义知f′(4)＝－2，由点P在切线y＝－2x＋9上知y P＝－2×4＋9＝1.∴点P的坐标为(4,1)，∴f(4)＝1，∴f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1.答案：－18．假设f′(x0)＝－3，那么等于________．解析：＝＝＋3＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：－129．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为________．解析：设P点的坐标为(x0，y0)．y′＝＝＝3x2－10，曲线C在点P处的切线的斜率k P x－10＝2，解得x0＝±2，∵点P在第二象限内，∴x0＝－2，又点P在曲线C上，那么y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题10．f(x)＝，求f′(2)．解：∵Δy＝－，∴＝＝＝.∴f′(x)＝＝＝.f′(2)＝＝.11．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在P点的切线斜率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3Δx2＋Δx3，∴＝＝3＋3Δx＋Δx2.当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为tanβ＝＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝1，曲线在点P的切线斜率为tanα＝＝(3＋3Δx＋Δx2)＝3.12．曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线？假设存在，求出实数a的取值范围；假设不存在，请说明理由．解：因为y＝x2＋1，由导数的定义知y′＝＝＝2x.设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，所以切线方程的斜率为y′|x＝t＝2t，于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，即t2－2t＋(a－1)＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，a)．。

高中数学第3章3.1.3知能优化训练湘教版选修11

[学生用书 P 33]1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数答案：A2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，d ＝0.1时，f (x ＋d )－f (x )的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.f (x ＋d )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.f 32＋d －f 32d＝－d －3，当d 趋于0时，－d －3趋于－3，故选B.4．已知f ′(1)＝1，则当d →0时，f ＋d －f d →________.解析：当d →0时，f ＋d －f d →f ′(1)＝1.答案：1一、选择题1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋d ，f (1＋d ))，则f ＋d －f d等于( ) A ．4B ．4xC ．4＋2dD ．4＋2d 2 解析：选C.f ＋d －f d ＝＋d 2－4＋2d ＝2d 2＋4d d＝2d ＋4. 2．正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )A ．8B ．7 C.72D ．1 解析：选B.V ＝V －V 2－1＝23－13＝7. 3．球的半径从a 增加到a ＋h 时，球表面积的平均变化率为( )A ．π(2a ＋h )B ．π(a ＋h )C ．4π(2a ＋h )D ．4π(a ＋h ) 解析：选C.S ＝S a ＋h －S a h ＝4πa ＋h 2－4πa 2h＝4π(2a ＋h )．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C.s ＋d －s d＝1－＋d ＋＋d 2－－3＋32d ＝5＋d ，当d 趋于0时，5＋d 趋于5.5．球的半径r ＝a 时，球表面积相对于r 的瞬时变化率为( )A ．2a πB ．a πC ．8a πD ．4a π解析：选C.4πa ＋d 2－4πa 2d＝4π(2a ＋d )，当半径的改变量d 趋于0时，4π(2a ＋d )趋于8a π.即球表面积相对于r 的瞬时变化率为8a π.6．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋d ](d >0)上的平均变化率不大于－1，则d 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.f ＋d －f d＝－＋d 2＋＋d －－4＋d＝－3－d .∴由－3－d ≤－1得d ≥－2.又∵d >0，∴d 的取值范围是(0，＋∞)．二、填空题7．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为______．解析：当自变量从－2变化到－2＋d 时，函数平均变化率－2＋d 2－－2＋d ＋1－＋4＋d＝d －6. 答案：d －68．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：s ＋d －s d ＝1＋d 2－122d ＝－4－d＋d 2，当d 趋于0时，－4－d ＋d 2趋于－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14. 答案：－149．函数f (x )＝23x 2－2，则f ′(－12)＝________. 解析：f －12＋d －f－12d＝23－12＋d 2－2－[23－122－2]d ＝－23＋23d ，当d 趋于0时，－23＋23d 趋于－23， ∴f ′(－12)＝－23. 答案：－23三、解答题10．球半径r ＝a 时，计算球体积相对于r 的瞬时变化率．解：半径r 从a 增加到a ＋d 时，球体积的平均变化率为：43πa ＋d 3－43πa 3d＝43πa 2d ＋3ad2＋d 3d＝4πa 2＋4πad ＋43πd 2，当d 趋于0时，4πa 2＋4πad ＋43πd 2趋于4πa 2. 即球半径r ＝a 时，球体积相对于r 的瞬时变化率为4πa 2. 11．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．解：令f (x )＝y ＝x ， ∵f (1＋d )－f (1)＝1＋d －1， ∴f ＋d －f d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1，当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12. 即函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12. 12．甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？解：在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－d )>s 2(t 0－d )，故s 1t 0－s 1t 0－d d <s 2t 0－s 2t 0－d d，所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．。

【优化设计】高一下学期数学(人教版必修4)第三章3.1.3课时作业

[学业水平训练]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝725>0，故α是第四象限角．3．下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos xB ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2xC ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2xD ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x 1－tan 2x解析：选D.显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15， ∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________．解析：由已知可得cos α＝－255， ∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425. 答案：24259．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，求sin α，tan 2α的值．解：∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15. ∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35. ∴tan α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 10．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．解：∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. [高考水平训练]1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34B.34 C ．－43 D.43 解析：选B.由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除以cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 2．计算cos 10°·cos 80°sin 20°＝________．解析：原式＝sin 80°·cos 80°sin 20°＝2sin 80°·cos 80°2sin 20°＝sin 160°2sin 20°＝12. 答案：123．已知sin(π4＋x )sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin 4x 的值．解：∵sin(π4＋x )sin(π4－x )＝sin(π4＋x )sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4＋x )cos(π4＋x )＝12sin(π2＋2x ) ＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13. ∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 4．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明：原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①而①式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．。

【优化方案】高中数学第3章3.2.3知能优化训练新人教B版选修11

1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x解析：选D.y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5，选D.2．函数y ＝x ＋1x的导数是( )A ．1－1x 2B ．1－1xC ．1＋1x2 D ．1＋1x解析：选A.(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2.3．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，若f ′(x 0)＝0，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，由f ′(x 0)＝0，得3x 20－4x 0＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝13.答案：1或134．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x.解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x ＋x 2＝1＋x2.(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x.一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x ＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，(3x )′＝3xln3，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2x x ＋－x 2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.4．函数y ＝x 3cos x 的导数是( )A ．3x 2cos x ＋x 3sin xB ．3x 2cos x －x 3sin xC ．3x 2cos xD ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2·cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (1x )＝x 2－2x ＋ln 1x(x ＞0)，则f ′(1)＝________.解析：令1x ＝t ，则x ＝1t，∴f (t )＝(1t )2－2t ＋ln t ，∴f (x )＝(1x)2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x －3－2＋1x，∴f ′(1)＝－2－2＋1＝－3.答案：－39．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)； (2)f (x )＝1x －1x2；(3)f (x )＝sin x 1＋sin x； (4)f (x )＝lg x －3x.解：(1)因为f (x )＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6，所以f ′(x )＝2x －1.(2)因为f (x )＝1x －1x 2，所以f ′(x )＝－1x－－2x ＝2x －1x ＝2－xx .(3)因为f (x )＝sin x1＋sin x，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x －sin x ·cos x＋sin x2＝cos x ＋sin x2.(4)因为f (x )＝lg x －3x，所以f ′(x )＝1x ln10－3xln3. 11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a e ＋b ＝e f －＝a e －b ＝1e，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

高中数学第3章1知能优化训练选修11 试题

1．对于函数y ＝1x，当Δx ＝1时，Δy 的值是( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定解析：选D.函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因此要求Δy ，必须指明在某处附近的函数改变量．2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：选D.根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．3．如下图，物体甲、乙在时间是0到t 1范围内路程的变化情况，以下说法正确的选项是( )A ．在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度t 0范围内甲、乙的平均速度v ＝s 0t 0，故A 、B 错；在t 0到t 1范围内甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0，很明显s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确． 4．函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx . ∴Δy Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋12一、选择题1．函数y ＝f (x )＝log 2x ，当x 从2变到4时，函数值的改变量Δy ＝( ) A ．2B.12 C ．1D ．－12y ＝f (4)－f (2)＝log 24－log 22＝1.2．函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，那么ΔyΔx＝( )A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δxy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2) ＝－Δx 2＋3Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2＋3Δx Δx＝－Δx ＋3. 3．函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5y ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，那么Δy Δx ＝3ΔxΔx＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.应选B.4．(2021年质检)将半径为R 的铁球加热，假设铁球的半径增加ΔR ，那么铁球的外表积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2s ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.5．物体运动时位移s 与时间是t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，那么相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4s ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt →0时，ΔsΔt ＝16－8t －4Δt ＝0.即16－8t ＝0，解得t ＝2.6．物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，那么在4 s 时物体的瞬时速度为( ) A ．56 m/s B ．48 m/s C ．25 m/sD ．20 m/ss ＝s (4＋Δt )－s (4)＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt＝25＋3Δt ，当Δt ＝0.1时，ΔsΔt ＝25.3，当Δt ＝0.01时，ΔsΔt ＝25.03，当Δt ＝0.001时，ΔsΔt＝25.003，…所以估计4 s 时物体的瞬时速度为25 m/s. 二、填空题7．汽车行驶的路程s 和时间是t 之间的函数图像如图，在时间是段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，那么三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k OA ；v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ；v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC .又∵k BC >k AB >k OA ，∴v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 18．物体的运动方程是s (t )＝4tt 2，那么从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为ΔsΔt＝,2)＝2.2.9．某汽车启动阶段的位移函数为s (t )＝2t 3－5t 2(s 的单位是米)，那么t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是________．解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－2×23＋5×22＝2(Δt )3＋7(Δt )2＋4·Δt .所以Δs Δt ＝2(Δt )2＋7Δtt →0时，Δs Δt＝4(米/秒)．答案：4米/秒三、解答题10．(2021年高三模拟)假设一物体运动方程如下：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋10≤t ≤3，2＋3t －32t >3.求物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度．解：令s (t )＝3t 2＋1(0≤t ≤3)， ∴s (3)＝28，s (1)＝4， ∴Δs ＝s (3)－s (1)＝24. 又∵Δt ＝3－1＝2， ∴Δs Δt ＝242＝12. 故物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度为v ＝12.11．(2021年调研)一做直线运动的物体，其位移s 与时间是t 的关系是s ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间是段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs Δt ＝s Δt －sΔt＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt .当Δt →0时，ΔsΔt →3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间是段[2,2＋Δt ]，那么Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝32＋Δt －2＋Δt2－6－4Δt＝－Δt 2－ΔtΔt＝－Δt －1当Δt →0时，ΔsΔt→－1.∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，v ＝s 2－s 02－0＝3×2－42＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进展检查，其连续检测结果如下图．试问哪个企业治污效果好？(其中W 表示排污量)解：当自变量的变化由t 0－Δt 到t 0时，甲的平均变化率为W 甲＝W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt，乙的平均变化率为W 乙＝W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt，由图可知W 1(t 0)＝W 2(t 0)，W 1(t 0－Δt )>W 2(t 0－Δt )＞W 1(t 0)，可得W 甲<W 乙<0，所以说，在单位时间是里企业甲比企业乙的平均排污率小，因此，企业甲比企业乙治污效果好．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高中数学第3章332第1课时知能优化训练 B选修11 试题(共6页)

1．设x 0为可导函数(hánshù)f (x )的极值点，那么以下说法正确的选项是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或者f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，f (x )在x ＝－3时获得极值，那么a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3处获得极值， ∴f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5.3．y ＝x 3－6x 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或者x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，获得极大值4 2.答案：4 24．求函数f (x )＝x ＋1x的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x2＝x ＋1x －1x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ ＋ 0 －－ 0 ＋ y↗极大值－2↘↘极小值2↗因此(yīncǐ)，当x ＝－1时，y 有极大值，且y 极大值＝f (－1)＝－2，当x ＝1时，y 有极小值，且y 极小值＝f (1)＝2.一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0〞是“函数y ＝f (x )在这点取极值〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．应选B.2．以下函数存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲函数．∴A 中函数无极值．B 中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得xx <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．应选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图，那么函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数(hánshù)f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)．∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，如下图． ∴x ＝－1时取极小值．5．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值解析：选D.y ′＝－2x －3x 2＝0⇒x ＝0或者x ＝－23.所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，y ′<0，y为减函数；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0时，y ′>0，y 为增函数；在x ∈(0，＋∞)时，y ′<0，y 为减函数，∴函数既有极大值又有极小值．6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，那么a 、b 的值是( )A ．a ＝3，b ＝－3或者a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上(yǐshàng)都不正确解析：选B.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵在x ＝1处f (x )有极值，∴f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，∴a ＝3或者a ＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，(舍去)或者⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0， ∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.答案：10 －988．函数y ＝x 2(x －1)－1，当x ＝________时，获得极大值________；当x ＝________时，获得极小值________．解析：f (x )的定义域为x ≠1. y ′＝2xx －1－x 2x －12＝x x －2x －12＝0，解得x ＝0或者x ＝2.当x ＜0或者x ＞2时，y ′＞0，当0＜x ＜1或者1＜x ＜2时，y ′＜0.∴当x ＝0时，函数获得极大值0. 当x ＝2时，函数获得极小值4. 答案(dá àn)：0 0 2 49．假设函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，那么实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或者x ＝4，容易得出当x ＝4时函数获得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－19 三、解答题 10．求f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解：函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或者x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化状态如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值－3↗极大值－1↘所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝2－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.11．函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极小值．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx由可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9.(2)由(1)可知f (x )＝－6x 3＋9x 2∴f ′(x )＝－18x 2＋18x由f ′(x )＝0可得x ＝0或者x ＝1，列表(liè biǎo)：12．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或者极小值，如有，试写出极值； (3)画出它的大致图象．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表：(2)由上表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.(3)当x ＝0时，f (x )＝11，结合函数的单调区间以及极值的情况可画出f (x )的大致图象，如下图．内容总结。

【优化方案】2012高中数学第3章3.1.3频率与概率同步课件新人教B版必修3

①对贫困地区和发达地区进行六次智力测试．对贫困地区和发达地区进行六次智力测试．计算60分以上频率分以上频率， ②计算分以上频率，分析贫富差距带来人的智力的差别的原因．的差别的原因．
解答本题可先分析两个地区参加测试的儿童分以上的频率，得 60分以上的频率，然后根据频率的稳定值分以上的频率估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的估计两个地区参加测试的儿童得分以上的概率，概率，进而分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．智力的差别．
变式训练2 一个地区从某年起几年之内的变式训练新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：年内年内年内年内时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 1352 1719 新生婴儿 5544 9607 0 0 数n 男婴数m 2883 4970 6994 8892 男婴数 (1)计算男婴出生的频率保留位小数；计算男婴出生的频率(保留位小数)；计算男婴出生的频率保留4位小数 (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？这一地区男婴出生的概率约是多少？这一地区男婴出生的概率约是多少
说明该厂产品合格的可能性为90%，解：(1)说明该厂产品合格的可能性为说明该厂产品合格的可能性为，也就是说，件该厂的产品中大约有90件也就是说， 100件该厂的产品中大约有件件该厂的产品中大约有是合格品．是合格品． (2)说明参加抽奖的人中有说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，的人可能中奖，说明参加抽奖的人中有的人可能中奖也就是说，若有100人参加抽奖，约有人人参加抽奖，也就是说，若有人参加抽奖约有20人中奖．中奖．
从定义中，可以看出随机事件A的概率的概率P(A)满足从定义中，可以看出随机事件的概率满足 0≤P(A)≤1 ≤ ≤ _______________.这是因为在次试验中，事件这是因为在n次试验中这是因为在次试验中， A发生的频数满足 ≤m≤n，所以 ≤≤ 当 A 发生的频数m满足 ≤≤1.当发生的频数满足0≤ ≤ ，所以0≤≤ ＝是必然事件时， __________，当 A是不可能事是必然事件时，P(A)＝1 ，是不可能事 P(A)＝件时，＝0 件时，__________. 3．概率是可以通过频率来“测量”的，或．概率是可以通过________来测量” 者说频率是概率的一个_______，概率从______ 者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性大小．上反映了一个事件发生的可能性大小．思考感悟如何理解概率与频率的本质区别？如何理解概率与频率的本质区别？提示：频率随着试验次数的改变而变化，概率却提示：频率随着试验次数的改变而变化，是一个常数，它是频率的科学抽象；是一个常数，它是频率的科学抽象；当试验次数越来越多时，频率逐渐向概率靠近．越来越多时，频率逐渐向概率靠近．

高中数学第3章323知能优化训练选修11 试题

卜人入州八九几市潮王学校[学生用书P33]1．(2021年高二检测)以下求导运算正确的选项是()A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3x·log a eD．(x2·cos x)′＝－2x sin x解析：选B.A错误，因为(x＋)′＝(x)′＋()′＝1－；B正确；C错误，因为(3x)′＝3x ln3；D错误，因为(x2·cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x.2．(2021年高考卷)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析：选A.y′＝－3x2＋6x，当x＝1时，切线的斜率k＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，应选A.3．函数y＝的导数是()A．－B．－sin xC．－D．－解析：选C.y′＝()′＝＝.4．y＝2cos x＋sin x－，那么y′＝________.解析：y′＝(2cos x＋sin x－)′＝(2cos x)′＋(sin x)′－()′＝－2sin x＋cos x－x－.答案：cos x－2sin x－一、选择题1．(2021年高考卷)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．15解析：选C.y′＝3x2，所以过P(1,12)的切线的斜率k＝3，切线方程为3x－y＋9＝0，故其与y轴交点为(0,9)，应选C.2．对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，那么此函数为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2解析：选B.∵f′(x)＝4x3，∴f(x)＝x4＋c(c为常数)，∵f(1)＝1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．函数y＝的导数是()A. B.C. D.解析：选A.y′＝()′＝＝＝.4．(2021年高考卷)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－ B.C．－ D.解析：选B.y′＝＝，故切线斜率k＝y′|x＝＝，选B.5．设曲线y＝x n＋1－2(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，那么log2021x1＋log2021x2＋…＋log2021x2021的值是()A．－log20212021 B．－1C．log20212021－1 D．1y＝x n＋1，得y′＝(n＋1)x n，那么在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)·(x －1)，令y＝0，得x n＝，∴log2021x1＋log2021x2＋…＋log2021x2021＝log2021(x1·x2·…·x2021)＝log2021(×××…×)＝log2021＝－1，应选B.6．假设函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，那么f′(－1)的值是()A．0B．－1C．1D．2解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2.∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1.二、填空题7．令f(x)＝x2·e x，那么f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)8．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－，∴s′(3)＝－＝－.答案：－9．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′()＝，那么a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′()＝πa＋＝，得a＝0.答案：0－1三、解答题10．求以下函数的导数．(1)y＝sin4＋cos4；(2)y＝(＋1)(－1)；(3)y＝－sin(1－2cos2)．解：(1)∵y＝sin4＋cos4＝(sin2＋cos2)2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，∴y′＝－sin x.(2)∵y＝·－＋－1＝－x＋x－，∴y′＝－x－－x－＝－(1＋)．(3)∵y＝－sin(1－2cos2)＝－sin[1－(1＋cos)]＝sin·cos＝sin x，∴y′＝cos x.11．设f(x)＝a·e x＋b ln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．解：由f(x)＝a·e x＋b ln x，∴f′(x)＝a·e x＋，根据题意应有，解得，所以a，b的值分别是1,0.12．f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，那么f′(x)＝2ax＋b.把f(x)、f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0要使方程对任意x恒成立，那么需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。

高中数学第3章332知能优化训练 A选修11 试题

卜人入州八九几市潮王学校1．设x0为可导函数f(x)的极值点，那么以下说法正确的选项是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或者f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3时获得极值，那么a＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处获得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或者x>时，y′>0；当－<x<时，y′<0.∴函数在x＝－时，获得极大值a＋4.答案：a＋44．求函数f(x)＝x＋的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：极大值极小值＝2.一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．应选B.2．以下函数存在极值的是()A．y＝B．y＝x－e xC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－e x，令f′(x)＝0可得xx<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．应选B.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下列图，那么函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如下列图：∴x＝－1时取极小值．5．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值又有极小值解析：选D.y′＝－2x－3x2＝0⇒x＝0或者x＝－.所以x∈时，y′<0，y为减函数；在x∈时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，y为减函数，∴函数既有极大值又有极小值．6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，那么a、b的值是()A．a＝3，b＝－3或者a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或者a＝－4.∴(舍去)或者二、填空题7．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(5)＝－98.答案：10－988．设a∈R，假设函数y＝e x＋ax，x∈R，有大于零的极值点，那么a的取值范围为________．解析：y′＝e x＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.答案：(－∞，－1)9．假设函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，那么实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或者x＝4，容易得出当x＝4时函数获得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19三、解答题10．求f(x)＝－2的极值．解：函数的定义域为R.f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，得x＝－1或者x＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表：当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.11．f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，那么x＝－m或者x＝m.当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表极大值∴m＝1.12．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，获得极大值7；当x＝3时，获得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，那么有解得∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.∴所求函数的极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.。

优化方案2020高中数学第3章3.2.3知能优化训练湘教版选修11

[学生用书P33]1．(2020年安丘高二检测)以下求导运算正确的选项是()11A．(x＋)′＝1＋2x x1B．(log2x)′＝xln2x xeC．(3)′＝3·logaD．(x2·cos x)′＝－2xsinx111x x剖析：选错误，因为(x＋x)′＝(x)′＋(x)′＝1－x2；B正确；C错误，因为(3)′＝3ln 3；D错误，因为(x2·cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.2．(2020年高考重庆卷)曲线y ＝－x3＋32在点(1,2)处的切线方程为()xA．y＝3x－1B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5D．y＝2x剖析：选A.′＝－32＋6，当x ＝1时，切线的斜率k＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为yy x x－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，应选A.cosx3．函数y＝x的导数是()sinxB．－sinxA．－x2xsinx＋cosx xcosx＋cosx C．－x2D．－x2cosx cosx′－′cosxx x剖析：选C.y′＝(x)′＝x2－xsinx－cosx＝x2 .1324．y＝2cosx＋sin x－x，则y′＝________.31321321剖析：y′＝(2cosx＋3sinx－x)′＝(2cos x)′＋(3sinx)′－(x)′＝－2sin x＋3cosx 21－3x－3.1x－2答案：cosx－2sin333x一、选择题1．(2020年高考山东卷)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是() A．－9B．－3C．92，所以过D．15剖析：选C.y ′＝3(1,12)的切线的斜率k＝3，切线方程为3x－＋9＝0，故其与x P yy 轴交点为(0,9) ，应选C.3，2．对任意x，有 ′()＝4 xf(1)＝－1，则此函数为()fxA ．f(x)＝x 4B ．f(x)＝x 4－2C ．f(x)＝x 4＋1D ．f(x)＝x 4＋2剖析：选 B.∵f ′(x)＝4x 3，f(x)＝x 4＋c(c 为常数)，∵f(1)＝1＋c ＝－1， c ＝－2，f(x)＝x 4－2. x 23．函数y ＝x ＋3的导数是()x 2＋6xx 2＋6xA. x ＋3 2B.x ＋3C.－2x3x 2＋6xx ＋32D.2x ＋3x 2剖析：选A.y ′＝(x ＋3)′＝ x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′＋3 2x＝2xx ＋3－x 2＝x 2＋6x 2.x ＋32x ＋3年高考湖南卷)曲线y ＝sin sinx1 π4．(2020 x ＋cosx－2在点M(4，0)处的切线的斜率为()11A ．－B.22C ．－22D.2cos 2x ＋sin 2x2剖析：选B.y ′＝1sin x ＋cosx 2＝1＋sin2x，π1故切线斜率 k＝y′|x＝4＝2，选B.5．设曲线y＝x n＋1*处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2020x1＋－2(n∈N)在点(1,1)log2020x2＋＋log2020x2020的值为()A．－log20202020B．－1 C．log20202020－1D．1剖析：选B.由y＝x n＋1，得y′＝(n＋1)x n，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切n线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝n＋1，∴log x＋log x＋＋log x＝log(x·x··x)＝log1232010120202020202020202020(2×3×4××2011)202 02020212＝log20201＝－1，应选B. 2011126．若函数f(x)＝2f′(－1)x－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0B．－1C．1D．2剖析：选 B.∵f(x)＝1f′(－1)x2－2x＋3，2f′(x)＝f′(－1)x－2.f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.f′(－1)＝－1.二、填空题2x7．令f(x)＝x·e，则f′(x)等于________．剖析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′x x x＝2x·e＋x2·e＝e(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)18．一物体的运动方程是s(t)＝t，当t＝3时的瞬时速度为________．111剖析：∵s′(t)＝－t 2，∴s′(3)＝－32＝－9.答案：－192π19．设f(x)＝ax－bsinx，且f′(0)＝1，f′(3)＝2，则a＝________，b＝________.剖析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，f ′(0)＝－b＝1得＝－1，bπ211′(3)＝3πa＋2＝2，得a＝0. 答案：0 －1三、解答题10．求以下函数的导数．(1 )y＝sin4x＋cos4x；44(2)y＝(x＋1)(1－1)；x(3y＝－x(1－2cos2x)．)sin24解：(1)∵y＝sin4x＋cos4x442x2x22x2x＝(sin4＋cos4)－2sin4cos4 12x11－cosx31＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，222441y′＝－4sinx.1 1 1 1(2)∵y＝x·x－x＋x－1＝－x2＋x－2，1 1 1 3∴y′＝－x－－x－＝－2 2 2 2∵y＝－sin x(1－2cos2x)241 12x(1＋x)．x xx＝－sin2[1－(1＋cos2)]x1sin2·cos2＝2sinx，1y′＝2cosx.x11．设f(x)＝a·e＋blnx解：由f(x)＝a·e＋bln1x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝e，求a，b的值．x，xbf ′(x)＝a ·e＋x ，f ′ 1＝ae ＋b ＝e依照题意应有a1，f ′ －1＝e －b ＝ea ＝1，所以a ，b 的值分别是1,0.解得b ＝0212．已知f ′(x)是一次函数， xf ′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的剖析式．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.把 f ( x)、 ′()代入方程 2 ′()－(2x－1) f ( x)＝1中得：f x xfxx 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0 要使方程对任意 x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，2所以f(x)＝2x ＋2x ＋1.。

优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教B版选修11

1．炼油厂某分厂将原油精华为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温132度(单位：℃)为f(x)＝3x－x＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的刹时变化率的最小值是()20A．8 B.3C．－1D．－8分析：选C.原油温度的刹时变化率为′()＝x 2－2＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当xf x x＝1时，原油温度的刹时变化率获得最小值－ 1.2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台分析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－62＋36x ＝－6·(－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经查验知＝6既是函数的极x x x x大值点又是函数的最大值点．应选 A.3．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．分析：设长为xcm，则宽为(30－x)cm，所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.答案：15154．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋起码10层，每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的均匀建筑花费为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的均匀综合花费最少，该楼房应建为多少层？购地总花费(注：均匀综合花费＝均匀建筑花费＋均匀购地花费，均匀购地花费＝建筑总面积)解：设楼房每平方米的均匀综合花费为f(x)元，2160×10000则f(x)＝(560＋48x)＋＝2000x＝560＋48x＋10800(x≥10，x∈N*)x10800′()＝48－ 2.fxx令f′(x)＝0，得x＝15.当x>15时，f′(x)>0；当10≤x <15时，′()<0.fx所以，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．故为了使楼房每平方米的均匀综合花费最少，该楼房应建为15层．一、选择题145321．一点沿直线运动，假如由始点起经过t秒运动的距离为s＝4t－3t＋2t，那么速度为零的时辰是()A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末分析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t 2＝1，t3＝4，此时的速度为零，应选D.2．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，而后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ()A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmcm 3分析：选 B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V .所以＝ (48－2x)2(0<x<24)，VxV ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0,24)．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，其余三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的资料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32米， 16米B ．30米，15米C ．40米， 20米D ．36米，18米分析：选A.要求资料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图，设场所宽为x 米，512则长为x米，512所以新墙总长度L ＝2x ＋x(x>0)，512则L ′＝2－x 2.令L ′＝0，得x ＝±16. x>0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝Lmin ＝64， 512∴堆料场的长为16＝32(米)．4．(2020年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为13y＝－3x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件分析：选 C.由于y′＝－D．7万件2x＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数13y＝－3x＋81x－234在(9，＋∞)上单一递减，在(0,9)上单一递加，所以x＝9是函数的极大值点，又由于函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处获得最大值．5．某企业生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增添100元，x3若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300分析：选D.由题意可得总利润()＝－x3＋300x －20000，0≤x≤390.由′()＝0，Px900Px得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x) 最大．6．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2 D.1πr22分析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.∴S侧＝2πR·l＝2πrcosθ×2rsinθ4πr2sinθcosθ.∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，π得θ＝.4π2∴当θ＝4，即R＝2r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.二、填空题7．物体的运动方程为s ＝2020＋20202(s的单位是米，t的单位是秒)，则此物体在t t t＝10秒时的速度是________．分析：由已知得s′＝2020＋4022t，所以，当t＝10时，物体速度为s′＝42230(米/秒)．答案：42230米/秒8．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．分析：设底面边长为x，则高为＝256 2，hx22562256×4其表面积为S＝x＋4×x2×x＝x＋x，256×4S ′＝2x － x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高256＝＝4(dm)．h64答案：4________m 2.9．有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场所，则矩形场所的最大面积是分析：设矩形的长为 xm ，则宽为16－2x2＝(8－x)m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x 2＋8x∴′()＝－2x ＋8，令′()＝0，SxS x则x＝4，又在(0,8) 上只有一个极值点，且x ∈(0,4)时，S(x)单一递加，x ∈(4,8)时，S(x)单一递减，故S(x)max ＝S(4)＝16. 答案：16三、解答题10．用长为18m 的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各少时，其体积最大？最大概积是多少？18－12x解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝43－3x(0＜x＜2)．故长方22332体的体积为V(x)＝2x－3x)＝9x－6x(0＜x＜2)，进而V′(x)＝18x－18x＝18x(1－x )．令′()＝0，得x＝0(舍去)或x＝1.当0＜x＜1时，′()＞0；当1＜＜3时，′() Vx Vx x2Vx ＜0，故在x＝1处V(x)获得极大值，而且这个极大值就是V(x)的最大值，进而最大概积V＝232m，高为m．即当长方体的长为2m、宽为V(1)＝9×1－6×1＝3，此时长方体的长为1m、高为m时，体积最大，最大概积为3m3.11．某银行准备新设一种按期存款业务，经展望，存款量与利率的平方成正比，比率系数为K(K>0)，贷款的利率为 4.8%，又银行汲取的存款能所有放贷出去．(1 )若存款的利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；存款利率定为多少时，银行可获取最大利润？解：(1)由题意，存款量g(x)＝Kx2，银行应支付的利息(2)设银行可获利润为y，则y＝·Kx2－Kx3.y′＝K·x－3Kx2.令y′＝0，即K×x－3Kx2＝0.解得x＝0或x＝0.032.又当x∈(0,0.032)时，y′>0，当x∈(0.032,0.048)时，y′<0，3 h(x)＝x·g(x)＝Kx.∴y在(0,0.032) 内单一递加，在(0.032,0.048) 内单一递减．故当x＝时，y在(0,0.048) 内获得极大值，亦即最大值．即存款利率为 3.2%时，银行可获取最大利润．12．某商场估计2020年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x 的近似关系是1 *p(x)＝2x(x＋1)(39－2x)(x∈N，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*且x≤12)．写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；该商品每件的售价为185元，若不计其余花费且每个月都能知足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润估计最大是多少元？解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；当2≤x≤12时，(x)＝p(x)－p(x－1)1 1＝2x(x＋1)(39－2x)－2(x－1)x(41－2x)2*＝－3x＋40x(x∈N，且2≤x≤12)．f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．该商场估计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*，且1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，140令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝9(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0；当5<x≤12时，g′(x)<0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(元)．优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教B版选修11 综上5月份的月利润最大是3125元．11 / 1111。

高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修11

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高中数学 第3章3.3.2第2课时知能优化训练 新人教B版选修11

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