2012上海高考数学试题(文科)答案与解析

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2012年上海高考文科数学试卷真题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @ ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：i i 13=（i 为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】ii 13=(3)(1)(1)(1)i i i i =1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{x x A，}1|{x x B ，则B A= .【答案】1|12x x 【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，所以，B A =1|12x x 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(的最小正周期是 .【答案】【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则21arctan,21tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.【答案】6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r ，所以该圆柱的表面积为：624222rrl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程14230xx 的解是.【答案】3log 2【解析】根据方程03241x x，化简得0322)2(2xx ，令20xt t，则原方程可化为0322tt，解得3t或舍1t，即3log ,322xx.所以原方程的解为3log 2.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61xx的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x 是奇函数，若()()2g x f x 且(1)1g ，则(1)g .【答案】3【解析】因为函数)(x f y 为奇函数，所以有)()(x f x f ，即,1)1(,1)1(,2)1()1(f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y 的目标函数z y x 的最小值是.【答案】2【解析】根据题意得到0,0,22;xy xy或0,0,22;x yx y或0,0,22;x y xy或0,0,2 2.x y x y其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z xy，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2m i n z .105510642246y=x+z BDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2minz ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD，则AM AN 的取值范围是【答案】4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(xx N b M ，根据题意，22xb ，所以2(,1),(2,).2xANx AM 所以123x ANAM20x ，所以41231x ，即41ANAM.105510642246C ADBM N【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x 的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()yxf x （01x）的图像与x 轴围成的图形的面积为.【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x xx，从而得到121,22210,2)(22x x xx x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为41.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知1()1f x x，各项均为正数的数列n a 满足11a ，2()n n a f a ，若2010201a a，则2011a a 的值是.【答案】265133【解析】据题xx f 11)(，并且)(2n na f a ，得到nna a 112，11a ，213a ，20122010a a ，得到2010201011a a ，解得2152010a （负值舍去）.依次往前推得到2651331120a a .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n na f a 是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若12i 是关于x 的实系数方程20xbx c 的一个复数根，则（）A ．2,3bcB.2,1b cC.2,1b cD.2,3bc 【答案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122nymx的曲线表示椭圆，常数常数n m,的取值为0,0,,mn mn 所以，由0mn得不到程122nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn ，因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A BC ，则△ABC 的形状是（）A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若2sinsin (i)777n n S （n N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72C.86D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC =2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221ABCS ，2分三棱锥P-ABC 的体积为3343131232PAS VABC. 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角.8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ADE，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos .12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(x x f . （1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y ])2,1[(x 的反函数.（8分）[解]（1）由1022x x ，得11x .PABCDPABCDE由1lg )1lg()22lg(0122x xx x 得101122x x . ……3分因为01x ，所以1010221x xx ，3132x.由313211x x 得3132x.……6分（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y .……10分由单调性可得]2lg ,0[y .因为yx103，所以所求反函数是xy 103，]2lg ,0[x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P 的横坐标x P =277t，代入抛物线方程24912xy 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan ∠OAP =30712327，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(tt vt ，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144v ，即25v . 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22yxC .xOyPA（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212yC x ，左焦点)0,(26F .设),(y x M ，则22222262)3()(||xy x MF ，……2分由M 是右支上一点，知22x，所以223||22xMF ，得26x.所以)2,(26M . ……5分（2）左顶点)0,(22A ，渐近线方程：x y 2. 过A 与渐近线x y2平行的直线方程为：)(222xy，即12x y.解方程组122x yx y ，得2142yx .……8分所求平行四边形的面积为42||||y OA S .……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y.因直线与已知圆相切，故11||2kb ，即122kb (*).由1222yxb kx y ，得012)2(222bkbx xk .设P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，则22221212221kbkkb x x x x .))((2121b kx b kx y y ，所以2212122121)()1(bx x kb x x k y y x x OQOP 22222222221222)1)(1(kkbkb k kb k .由(*)知0OQ OP ，所以OP ⊥OQ.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k ka a ab （k=1,2,…,m ），即kb 为k a a a ,,,21中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k mk 1（C 为常数，k=1,2,…,m ）.求证：k ka b （k=1,2,…,m ）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若n ana n n n2)1()1(2，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b ，},,,,max{1211k k ka a a ab ，所以k k b b 1. ……6分因为C b a k mk 1，C b a kmk 1，所以011kmk mk kb b a a ，即k ka a 1.……8分因此，k k a b .……10分（3）对25,,2,1k ，)34()34(234k ka a k；)24()24(224kk a a k；)14()14(214kk a a k；)4()4(24k k a a k .比较大小，可得3424k k a a .……12分因为121a ，所以0)38)(1(2414k a a a kk，即1424k ka a ；0)14)(12(2244ka a a kk，即244k ka a .又k k a a 414，从而3434k k a b ，2424kk a b ，2414kka b ，k k a b 44. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b =)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k=2511424)(k k ka a =251)38()1(k ka =)1(2525a .……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年高考文科数学上海卷-答案

4
4
【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公
式的运用。
20【. 答案】（1）解：由
轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 。
6
4
2
B y=x+z
10
5
C
A
5
10
D
2
4
6
【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 ，结合图形可求。【考点】简单线性规划。 11.【答案】 2
方程组
1

b

c

0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项。
2 2 2b 0
【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。
16.【答案】B
m 0 【解析】方程 mx2 ny2 1 的曲线表示椭圆，常数 m, n 的取值为 n 0 ，所以，由 mn 0 得不到程
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】

1 2
,1
【解析】由题意得，
A

{x
|
2x
1＞0}=
x
|
x

1 2

，
A

{x
|
2x
1

0}=
x
|
x

1 2

，
∴A
B

1 2
,1
，故答案为：

1 2
,1
【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。

2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版

2012 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14 题，满分 56 分）1．（4 分）（2012?上海）计算：= 1﹣2i（i为虚数单位）．【剖析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为 1﹣2i2．（ 4 分）（2012?上海）若会集 A={ x| 2x﹣1＞0} ，B={ x|| x| ＜1} ，则 A∩B= （，1）．【剖析】由题意，可先化简两个会集A， B，再求两个会集的交集获得答案【解答】解：由题意 A={ x| 2x﹣1＞0} ={ x| x＞ } ， B={ x| ﹣1＜x＜1} ，∴A∩ B=（，1）故答案为（，1）3．（4 分）（2012?上海）函数的最小正周期是π ．【剖析】先依据二阶队列式的公式求出函数的分析式，而后利用二倍角公式进行化简，最后依据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2= sin2x+2∴ T= π=∴函数的最小正周期是π故答案为：π4．（ 4 分）（2012?上海）若，是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan（结果用反三角函数值表示）【剖析】依据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，依据 tan α=k，最后利用反三角可求出倾斜角．【解答】解：∵，是直l的一个方向向量∴直 l 的斜率即tanα=l 的斜角的大小arctan故答案： arctan5．（ 4 分）（2012?上海）一个高 2 的柱，底面周2π，柱的表面6π ．【剖析】求出柱的底面半径，而后直接求出柱的表面即可．【解答】解：因一个高 2 的柱，底面周2π，所以它的底面半径： 1，所以柱的表面S=2S底 +S 侧=2× 12×π+2π×2=6π．故答案： 6π．6．（4 分）（2012?上海）方程 4x2x+13=0 的解是x=log23．【剖析】依据指数的运算性可将方程4x 2x+1 3=0 形（ 2x）2 2×2x 3=0 而后将 2x看做整体解对于 2x的一元二次方程即可．+【解答】解：∵ 4x2x 13=0x2x∴（ 2 ）2×2 3=0∴（ 2x3）（2x+1） =0∵2x＞0∴2x 3=0∴x=log2 3故答案 x=log237．（4 分）（2012?上海）有一列正方体，棱成以 1 首、公比的等比数列，体分 V1， V2，⋯，V n，⋯，（ V1+V2+⋯+V n）═．【剖析】由意可得，正方体的体=是以 1 首，以公比的等比数，由等不数列的乞降公式可求【解答】解：由意可得，正方体的棱足的通a n∴=是以1首，以公比的等比数列（V1+V2+⋯+v n） ==故答案：8．（4 分）（2012?上海）在的二式睁开式中，常数等于20．【剖析】研究常数只要研究二式的睁开式的通，使得x 的指数 0，获得相的 r ，进而可求出常数．【解答】解：睁开式的通 T +1x 6﹣ r（）r=（ 1）rx6﹣ 2rr =令 6 2r=0 可得 r=3常数（ 1）3=20故答案： 209．（4 分）（2012?上海）已知 y=f（x）是奇函数，若 g（x）=f（ x）+2 且 g（ 1）=1， g（ 1）= 3．【剖析】由意 y=f（x）是奇函数， g（x）=f（x）+2 获得 g（x）+g（ x）=f（ x）+2+f（ x）+2=4，再令 x=1 即可获得 1+g（ 1）=4，进而解出答案【解答】解：由意 y=f（x）是奇函数， g（ x） =f（x）+2∴g（ x）+g（ x）=f（ x）+2+f （ x）+2=4又 g（1）=1∴1+g（ 1）=4，解得 g（ 1）=3故答案： 310．（ 4 分）（2012?上海）足束条件 | x|+ 2| y| ≤ 2 的目函数 z=y x 的最小是2．【剖析】作出束条件的平面地区，由z=y x 可得 y=x+z， z 直在 y上的截距，解决越小， z 越小，合形可求【解答】解：作出束条件的平面地区，如所示因为 z=y x 可得 y=x+z， z 直在 y 上的截距，截距越小，z 越小合形可知，当直y=x+z C z 最小，由可得C（2，0），此Z=﹣ 2 最小故答案为：﹣ 211．（ 4 分）（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目同样的概率是（结果用最简分数表示）【剖析】先求出三个同学选择的所求种数，而后求出有且仅有两人选择的项目完全同样的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有 3×3×3=27 种有且仅有两人选择的项目完整同样有××=18种此中表示 3 个同学中选 2个同学选择同样的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 种选择故有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是=故答案为：12．（4 分）（ 2012?上海）在矩形 ABCD中，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M 、N 分别是边 BC、CD上的点，且知足，则的取值范围是[ 1，4]．【剖析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，成立坐标系，写出要用的点的坐标，依据两个点的地点获得坐标之间的关系，表示出两个向量的数目积，依据动点的地点获得自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数目积的范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y 轴，成立坐标系如图，∵AB=2， AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设 M （2，b），N（x，1），∵，∴ b=∴，，=（2，），∴=，，∴ 1，即 1≤≤4故答案为： [ 1， 4]13．（4 分）（2012?上海）已知函数 y=f（x）的图象是折线段 ABC，此中 A（0，0）、，、C（1，0），函数 y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与 x 轴围成的图形的面．【剖析】先利用一次函数的分析式的求法，求得分段函数f（x）的函数分析式，而求得函数 y=xf（ x）（0≤x≤1）的函数分析式，最后利用定分的几何意和微分基本定理算所求面即可【解答】解：依意，当0≤x≤，f（ x） =2x，当＜x≤1，f（x）=2x+2，∴f（x）=，，∴y=xf（x）=，y=xf（x）（0≤x≤1）的象与 x 成的形的面S=+ = x3+（+x2）= + =故答案：14．（4 分）（2012?上海）已知，各均正数的数列 { a n} 足 a1，=1a n+2=f（a n），若 a2010=a2012， a20+a11的是．【剖析】依据，各均正数的数列{ a n} 足 a1=1，a n+2=f（a n），可确立 a1，，， a7=，，，利用 a2010 2012，可得=1=a 2010（舍去），挨次往前推获得 a20，由此可得．a ==【解答】解：∵，各均正数的数列 { a n} 足 a1，n+2（ n），=1 a =f a∴ a1，，，a7，，=1=∵a2010=a2012，∴∴ a2010=（舍去），由a2010=得a2008=⋯挨次往前推获得a20=∴a20+a11=故答案为：二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）15．（ 5 分）（2012?上海）若i 是对于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣ 1C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【剖析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0 整理后依据得数相等的充要条件获得对于实数 a，b 的方程组，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是对于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0∴1+2 i﹣ 2+b+ bi+c=0，即∴，解得 b=﹣2，c=3应选： D．16．（ 5 分）（ 2012?上海）对于实数 m ，，“ ＞”是“方程mx2+ny2=1对应的曲n mn 0线是椭圆”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】先依据 mn＞0 看可否得出方程mx2+ny2=1 的曲线是椭圆；这里能够利用举出特值的方法来考证，再看方程mx2 +ny2=1 的曲线是椭圆，依据椭圆的方程的定义，能够得出mn＞0，即可获得结论．【解答】解：当 mn＞0 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不必定是椭圆，比如：当 m=n=1 时，方程 mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或许是，都是m n负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充足条件；当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时，应有m， n 都大于 0，且两个量不相等，得到 mn ＞ 0；由上可得： “mn ＞0”是“方程 mx 2+ny 2=1 的曲是 ”的必需不充足条件．故： B ．17．（ 5 分）（ 2012?上海）在△ ABC 中，若 sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ， △ ABC 的形状是（）A ．角三角形B ．直角三角形C ．角三角形D ．不可以确立【剖析】由 sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，合正弦定理可得， a 2+b 2＜c 2，由余弦定理可得CosC=可判断 C 的取范【解答】解：∵ sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ，由正弦定理可得， a 2+b 2＜c 2由余弦定理可得 cosC=＜∴ ＜＜∴△ ABC 是角三角形故： C ．18．（5 分）（ 2012?上海）若 S n =sin +sin+⋯+sin（n ∈N * ），在 S 1，S 2，⋯，S 100 中，正数的个数是（）A ．16B ．72C ．86D ．100【剖析】因为 sin ＞0，sin＞0，⋯sin＞ 0， sin，sin ＜ 0，⋯sin ＜=00，sin ，可获得 1 ＞0，⋯S 13 ，而 14 ，进而可获得周期性的律，=0S=0S =0进而获得答案．【解答】解：∵sin＞ 0，sin＞0，⋯sin＞0，sin，＜0，⋯sin ＜=0 sin0，sin=0，∴ S 1=sin ＞0，S 2=sin +sin ＞0，⋯，S 8=sin +sin +⋯sin+sin +sin =sin +⋯+sin+sin＞0，⋯，S12＞0，而 S13=sin +sin+⋯+sin+sin+sin+sin+⋯+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又 S15=S14+sin=0+sin =S1＞0，S16=S2＞0，⋯S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0，S14n=0（n∈N*），在 1，2，⋯ 100中，能被 14 整除的共 7 ，∴在 S1， S2，⋯，S100中， 0 的共有 14 ，其他都正数．故在 S1， S2，⋯，S100中，正数的个数是 86．故： C．三、解答（本大共有 5 ，分 74 分）19．（ 12 分）（ 2012?上海）如，在三棱的中点，已知∠ BAC= ，AB=2，P ABC中， PA⊥底面，PA=2，求：ABC，D 是PC（1）三棱 P ABC的体；（2）异面直 BC与 AD 所成的角的大小（果用反三角函数表示）【剖析】（ 1）第一依据三角形面公式，算出直角三角形 ABC的面：S ABC，△而后依据 PA⊥底面 ABC，合体体公式，获得三棱 P ABC的体；（ 2）取 BP 中点 E，接 AE、 DE，在△ PBC中，依据中位定理获得DE∥BC，所以∠ ADE（或其角）是异面直 BC、AD 所成的角．而后在△ ADE中，利用余弦定理获得 cos∠ ADE= ，所以∠ ADE=arccos是角，所以，异面直BC与 AD 所成的角的大小arccos ．【解答】解：（1）∵∠ BAC=，AB=2，，∴ S△ABC=×2×=又∵ PA⊥底面 ABC，PA=2∴三棱锥 P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；（2）取 BP 中点 E，连结 AE、 DE，∵△ PBC中， D、E 分别为 PC、PB中点∴ DE∥BC，所以∠ ADE（或其补角）是异面直线 BC、 AD 所成的角．∵在△ ADE中， DE=2，AE= ，AD=2∴ cos∠ ADE== ，可得∠ ADE=arccos （锐角）AD 所成的角的大小arccos．所以，异面直线BC与20．（ 14 分）（ 2012?上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0＜f （1﹣2x）﹣ f（x）＜ 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤ x≤ 1 时， g（x）=f（ x），求函数 y=g（ x）（x∈ [ 1，2] ）的反函数．【剖析】（1）应用对数函数联合对数的运算法例进行求解即可；（ 2）联合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（ 1）f（1﹣2x）﹣ f（x）=lg（1﹣ 2x+1）﹣ lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数存心义，则＞由解得：﹣ 1＜x＜1．＞由 0＜lg（2﹣2x）﹣ lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞ 0，∴x+1＜ 2﹣ 2x＜10x+10，∴＜＜．＜＜由，得：＜＜．＜＜（2）当 x∈[ 1， 2] 时， 2﹣ x∈ [ 0，1] ，∴y=g（ x） =g（x﹣2）=g（ 2﹣ x） =f（2﹣x） =lg（ 3﹣x），由单一性可知 y∈[ 0，lg2] ，又∵ x=3﹣10y，∴所求反函数是 y=3﹣10x，x∈[ 0， lg2] ．21．（ 14 分）（2012?上海）海事营救船对一艘出事船进行定位：以出事船的目前地点为原点，以正北方向为 y 轴正方向成立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则营救船恰幸亏出事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假定：①出事船的挪动路径可视为抛物线；②定位后营救船马上沿直线匀速前去营救；③营救船出发 t 小时后，出事船所在地点的横坐标为7t（ 1）当 t=0.5 时，写出出事船所在地点P 的纵坐标，若此时两船恰巧会集，求营救船速度的大小和方向．（ 2）问营救船的时速起码是多少海里才能追上出事船？【剖析】（1）t=0.5 ，确立 P 的横坐，代入抛物方程中，可得P 的坐，利用 | AP| =，即可确立营救船速度的大小和方向；（2）营救船的速v 海里， t 小追上出事船，此地点（ 7t，12t 2），进而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可获得．【解答】解：（1）t=0.5 ， P 的横坐x P=7t=，代入抛物方程中，得 P 的坐y P=3．⋯2分由 | AP| =，获营救船速度的大小海里/．⋯4分由 tan∠OAP= ，得∠ OAP=arctan ，故营救船速度的方向北偏 arctan 弧度．⋯6分（ 2）营救船的速v 海里， t 小追上出事船，此地点（7t ，12t 2）．由 vt=，整理得．⋯分10因，当且当 t=1 等成立，所以 v2≥ 144×2+337=252，即 v≥ 25．所以，营救船的速起码是 25 海里才能追上出事船．⋯14分22．（16 分）（2012?上海）在平面直角坐系 xOy 中，已知双曲2 y2．C：2x=1（ 1） F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点，若，求点 M 的坐；（2） C 的左焦点作 C 的两条近的平行，求两平行成的平行四形的面；（ 3）斜率 k（＜）的直l交C于P、Q两点，若l与x2+y2=1相切，求： OP⊥ OQ．【剖析】（ 1）求出双曲的左焦点2（22，求F的坐， M（ x，y），利用 | MF|）+y= x+出 x 的范，推出 M 的坐．（2）求出双曲的近方程，求出直与另一条近的交点，而后求出平行四形的面．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b，通直 PQ 与已知相切，获得 b2=k2+1，通求解=0．明 PO⊥OQ．【解答】解：（1）双曲 C1：的左焦点F（，），M （x，y）， | MF|2=（x+） 2+y2，由 M 点是右支上的一点，可知所以| MF| ==2，得x≥x=，，所以M（，）．（2）左焦点 F（，），近方程：y=± x．F 与近 y= x 平行的直方程y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四形的面S=．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b，因直 PQ与已知相切，故，即 b2=k2+1⋯①，由，得（ 2 k2）x22bkx b21=0，P（x1，y1），Q（x2， y2），，又 y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（ 1+k2）x1x2+kb（ x1+x2） +b2==．由①式可知，故 PO⊥ OQ．23．（18 分）（2012?上海）于数 m 的有数列 { a n} ， b k=max{ a1，a2，⋯，a k} （k=1，2，⋯，m），即b k a1，a2，⋯，a k中的最大，并称数列 { b n } 是{ a n} 的控制数列，如 1，3，2，5， 5 的控制数列是 1，3，3，5，5．（ 1）若各均正整数的数列{ a n} 的控制数列2，3，4，5，5，写出全部的{ a n} ．（2） { b n } 是 { a n} 的控制数列，足 a k+b m﹣k+1=C（ C 常数， k=1，2，⋯，m），求：b k=a k（k=1，2，⋯，m）．（ 3） m=100，常数 a∈（，1），a n n2n ，n}是{ a n }的控制数=a{ b列，求（ b1a1）+（b2a2）+⋯+（b100a100）．【剖析】（1）依据意，可得数列 { a n} ： 2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；（2）依意可得 b k+1≥b k，又 a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，进而可得 a k+1 a k=b m﹣k+1b m﹣k≥0，整理即得；（ 3）依据，可，a4k﹣3=a（4k3）2+（4k 3），a4k﹣2=a（4k2）2+（4k 2），a4k﹣1=a（4k 1）2（ 4k 1），a4k=a（4k）24k，通比大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞ a4k﹣2，而 a4k+1＞a4k， a4k﹣1a4k﹣2=（a 1）（8k 3），进而可求得（ b1a1）+（ b2a2）+⋯+（ b100a100）=（a2 a3）+（a6a7）+⋯+（ a98a99）=（a4k﹣2a4k﹣1）=2525（1 a）．【解答】解：（1）数列 { a n} ： 2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；⋯4分（2）∵ b k=max{ a1，a2，⋯，a k} ，b k+1=max{ a1，a2，⋯，a k+1} ，∴ b k+1≥ b k⋯6分∵ a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴ a k+1 a k=b m﹣k+1 b m﹣k≥ 0，即 a k+1≥a k，⋯8分∴b k=a k⋯ 10分（3） k=1，2，⋯25，a4k﹣3=a（4k 3）2+（4k 3）， a4k﹣2=a（ 4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（4k1）2（ 4k 1），a4k=a（4k）2 4k，⋯12分比大小，可得a4k﹣2＞ a4k﹣1，∵＜ a＜ 1，∴a4k﹣1 a4k﹣2=（a 1）（ 8k 3）＜ 0，即 a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k a4k﹣2=2（2a 1）（ 4k 1）＞ 0，即 a4k＞ a4k﹣2，又 a4k+1＞a4k，进而 b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2， b4k﹣1=a4k﹣2， b4k=a4k，⋯15分∴（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（b100a100）=（a2a3）+（a6a7） +⋯+（a98a99）=（a4k﹣2 a4k﹣1）=（1 a）（8k3）=2525（1 a）⋯ 18分。

2012年高考真题——文科数学(上海市)解析版(2)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31i i-=+ （i 为虚数单位）【解析】复数i i i i i i ii 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。

【答案】i 21-2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝【解析】集合}21{}012{>=>-=x x x x A ，}11{}1{<<-=<=x x x x B ，所以}121{<<=x xB A ，即)1,21(。

【答案】)1,21(3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【解析】函数x x x x f 2sin 212)2(cos sin )(+=--=，周期ππ==22T ，即函数)(x f 的周期为π。

【答案】π4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率21=k ，即21t a n =α，所以直线的倾斜角21arctan=α。

【答案】21arctan5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为【解析】底面圆的周长ππ22=r ，所以圆柱的底面半径1=r ，所以圆柱的侧面积为π4 两个底面积为ππ222=r 。

，所以圆柱的表面积为π6。

【答案】π66、方程14230x x +--=的解是【解析】原方程可化为0322)2(2=-⋅-x x ，解得32=x ，或12-=x （舍去）， ∴3log2=x 。

【答案】3log 2。

7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim (...)n n V V V →∞+++=【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列，∴1V +2V +…+n V =811811--n=)811(78n -，∴78。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文数上海卷word版含答案

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、计算：31i i-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos xf x x =-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230x x +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= 8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定18、若2sinsin ...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）PAB C D。

上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 . 6．方程03241=--+x x的解是 .7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g .10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．已知x x f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若 20122010a a =，则1120a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i21+是关于x 的实系数方程2=++c bx x 的一个复数根，则（）（A ）3,2==c b. （B ）1,2-==c b .（C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b .16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形（C ）锐角三角形.（D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）16.（B ）72.（C ）86.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23， P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）PA BCD20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. （1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y xC .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证：k ka b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =)1,(21 . 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 π .4．若)1,2(=n是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为21arctan （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 6π . 6．方程03241=--+x x的解是3log 2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 -20 . 9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g3 .10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 [1, 4] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折5线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为41 .14．已知x x f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若 20122010a a =，则1120a a +的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i21+是关于x 的实系数方程2=++c bx x 的一个复数根，则（ D ）（A ）3,2==cb . （B ）1,2-==c b .（C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b .16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ B ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ A ）（A ）钝角三角形.（B ）直角三角形.（C ）锐角三角形.（D ）不能确定. 18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ C ）（A ）16. （B ）72.（C ）86.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23， P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABCS ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos.PA BCDPA BCDE因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . (6)分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. （1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）5.0=t时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v.……10分因为2212≥+t t，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y xC .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . (8)分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S. (10)分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b(*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x .))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证：k ka b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k ka a ab =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. (8)分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；)14)(12(2244>--=--k a a a k k，即244->k k a a .又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+---=)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---=∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2012上海高考数学试题(文科)答案与解析

2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14.（2012上海高考）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 18.若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA BCDPA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）PA BCDE[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共22页）数学试卷第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则（）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共22页）数学试卷第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求：（Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标；（Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。

2012年上海高考数学(文科)试卷(Word版有答案)

2012年上海高考数学（文科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 . 6．方程03241=--+x x的解是 .7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为 V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）16. （B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 PAB CD22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =)1,(21 . 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 π .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为21arctan （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 6π . 6．方程03241=--+x x的解是3log 2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为 V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 -20 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g 3 . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 [1, 4] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折5线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为41 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ D ）16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ B ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ A ）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ C ）（A ）16. （B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .PAB CDPA BCDE因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程4912y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ . ……16分23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共14小题,满分56分)每个空格填对得4分,否则一律得零分1.计算:31ii-=+_______(i 为虚数单位)2.若集合{}{}|210,|||1A x x B x x =->=<,则A B =I _______3.函数()sin 21cos x f x x=-的最小正周期是_______4.若()2,1=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为_______(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为_______6.方程14230x x +--=的解是_______7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,,n V V V ⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()12lim n n V V V →∞++⋅⋅⋅+=_______8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于_______9.已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且()11g =,则()1g -=_______10.满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是_______11.三位同学参加跳高,跳远,铅球项目的比赛,若每人都是选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______(结果用最简分数表示)12.在矩形A B C D 中,边,AB AD 的长分别为2,1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||B MC N B C CD =uuur uuu ruuu r uuu r,则AM AN ⋅uuu r uuur 的取值范围是_______ 13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中()()10,0,(,1),1,02A B C .函数()()01y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为_______14.已知()11f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==,若20002012a a =,则2011a a +的值是_______ 二、填空题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( ) A.2,3b c == B.2,3b c =-= C.2,1b c =-=- D.2,1b c ==- 16.对于常数,m n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定18.若()π2ππsin sin sin 777n n S n N *=++⋅⋅⋅+∈,则在12100,,,S S S ⋅⋅⋅中,正数的个数是( )A.16B.72C.86D.100三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)19.(本小题12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,A B C D 是PC 的中点.已知π,2,3,22B AC A B A C P A ∠===,求:(1)三棱锥P ABC -的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20.(本小题14分)已知()()lg 1f x x =+(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数.PD C B A21.(本小题14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为(||k k <的直线l 交C 于,P Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP OQ ⊥23.(本小题18分)对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}()12max ,,,1,2,,n k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ; (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m ka b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅).求证:()1,2,,k k b a k m ==⋅⋅⋅(3)设100m =,常数1(,1)2a ∈.若()()1221n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求()()()1122100100b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。

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(1)三棱锥 P ABC 的体积;
(2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
P
A B
D C
20.(本小题 14 分)已知 f x lg x 1 (1)若 0 f 1 2x f x 1,求 x 的取值范围;
(2)若 g x是以 2 为周期的偶函数,且当 0 x 1时,有 g x f x,求函数 y g xx 1, 2的
往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t .
和方向;
(1)当 t 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
22.(本小题 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2x2 y2 1
(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点.若 | MF | 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为 k | k | 2 的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,若 l 与圆 x2 y2 1相切,求证: OP OQ
O
A
y
P
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012年高考数学试卷及解析上海卷(文科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）【试卷总评】本试卷遵循考纲的要求，保持了近几年的命题风格，注重基础检测，深化能力立意，突出思维考查。

试卷覆盖了高中数学的主干内容，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，重视对数学思想方法的考查，着重考查了思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。

试题能较好地检测考生的数学素养和进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于向新课程高考过渡。

2012年高考文科数学(上海卷)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）： 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|||{<=x x B ，则=B A 。

3．函数xx x f cos 12sin )( -=的值域是。

4．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 .6.方程14230x x +--=的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN ⋅ 的取值范围是13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 18.若2sinsin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是 A ．16 B.72 C.86 D.100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=.（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =，求点M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ；（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）；（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.参考答案及其解析一．填空题 1．【答案】1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 【解析】【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．【答案】π【解析】【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．【答案】21arctan【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.【答案】3log 2【解析】根据方程03241=--+x x ，化简得0322)2(2=-⋅-xx ，令()20xt t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 7.【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 8.【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 9.【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中. 10.【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12.【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-== 所以123+=∙→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ，即→→≤∙≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ ，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.【答案】265133+【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到nn a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15.【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题. 17.【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分【答案与解析】【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分【答案与解析】【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本y±题属于中档题．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分【答案与解析】【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年全国高考文科数学试题及答案-上海卷

2012年全国普通高等学校招生统一考试(上海)数学试卷(文史类)一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1、计算:31ii-=+ (i 为虚数单位) 2、若集合{}210A x x =->,{}1B x x =<,则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)5、一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,...,,...n V V V ,则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项等于9、已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示)12、在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ,函数()y xf x =(01x ≤≤)的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=,若20102012a a =,则2011a a +的值是二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15、若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( )A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中,若222sin sin sin A B C +<,则△ABC 的形状是( )A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定 18、若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++(n N *∈),则在12100,,...,S S S 中,正数的个数是( ) A 、16 B 、72 C 、86 D 、100三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点,已知∠BAC ＝2π,2AB =,AC =2PA =,求: (1)三棱锥P ABC -的体积(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+(1)若0(12)()1f x f x <--<,求x 的取值范围(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,()()g x f x =,求函数()y g x =([]1,2x ∈)的反函数21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,若MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k (k <)的直线l 交C 于P 、Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP ⊥OQ23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}12max ,,...,k k b a a a =(1,2,...,k m =),即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,...,k m =),求证:k k b a =(1,2,...,k m =)(3)设100m =,常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若(1)22(1)n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。