江苏省苏州市吴江中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题

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2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省苏州中学高一上学期月考数学试题一、填空题1．如果全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =，{1,3,5,7}B =，那么()UA B ⋂等于________. 【答案】{}1,3,7【分析】由全集U 和补集的定义求出UA ，再由交集的运算求出()U AB ⋂.【详解】解：∵全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =， ∴{1,3,4,6,7}UA =，又{1,3,5,7}B =得，(){}1,3,7U A B =，故答案为：{}1,3,7.2．设集合{12}A xx =<<∣，{}B x x a =<∣满足A B ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a【分析】根据真子集的定义､以及A ､B 两个集合的范围，求出实数a 的取值范围. 【详解】由于集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，且满足A B ， ∴2a ，故答案为：2a .3．函数1()3f x x=+-的定义域为________. 【答案】[)()1,33,-⋃+∞【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可. 【详解】解：由题意得：1030x x +⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且3x ≠，故函数的定义域是：[)()1,33,-⋃+∞，故答案为：[)()1,33,-⋃+∞.4．满足条件，{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数为________. 【答案】6【分析】根据题意得M 中必须有1，2，3这三个元素，因此M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数.【详解】根据题意：M 中必须有1，2，3这三个元素，则M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数，因为集合{4,5,6}的非空真子集有{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6}，共6个. 故答案为：6【点睛】结论点睛：如果一个集合有n 个元素，则它的子集的个数为2n 个，它的真子集个数为2 1.n -5．函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则((1))f f -=________.【答案】π【分析】求出(1)0f -=，从而((1))(0)f f f -=，由此能求出结果.【详解】∵函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，∴(1)0f -=，((1))(0)f f f π-==故选：π6．已知{44}A xa x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >，且A B R =，则实数a 的取值范围为_________(用区间表示). 【答案】(1,3)【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案. 【详解】解：∵{44}A xa x a =-<<+∣，{1B x =<-∣或5}x >，若A B R =，则4145a a -<-⎧⎨+>⎩，即13a <<.∴实数a 的取值范围为(1,3). 故答案为：(1,3).7．如图所示的对应中，能构成A 到B 的映射的序号是________.【答案】（2）（3）【分析】由题意利用映射的定义，判断各个选项是否符合条件，从而得出结论. 【详解】按照映射的定义，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的象，而对于选项（1），集合A 中的元素b 在集合B 中没有象，故排除选项（1）；显然，（2）（3）满足条件；选对于项（4），集合A 中的元素2在B 中有2个元素b ､c 和它对应，故排除选项（4），故答案为：（2）（3）.8．已知集合01P x y x ⎧==⎨+⎩∣，集合{}24Q y y x ==-+∣，则P Q =________. 【答案】(1,2)(2,4]-⋃【分析】可以求出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可. 【详解】∵{12P xx =-<<∣或2}x >，{4}Q y y =∣， ∴(1,2)(2,4]P Q ⋂=-⋃. 故答案为：(1,2)(2,4]-⋃.9．下列函数中，表示同一函数的是________. （1）()||f x x =，2()g x x =（2）2()f x x =2()g x x =；（3）21()1x f x x -=-，()1g x x =+；（4）()11f x x x =+-2()1g x x =-【答案】（1）【分析】根据两函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同，对选项进行逐一判断..【详解】解：（1）()||f x x =，2()||g x x x ==，函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同的函数.（2）()f x =R ，2()g x =的定义域是[)0,+∞；两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.（3）21()1x f x x -=-的定义域是{}|1x R x ∈≠，()1g x x =+的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数；（4）()f x =[)1,+∞，()g x =(][),11,-∞-+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.故答案为：（1） 10．已知(21)f x -=()f x =________.)0x ≥ 【分析】求出函数(21)f x -定义域为12xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣，令21(0)t x t =-，代入(21)f x -=.【详解】解：函数(21)f x -定义域为12xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣，令21(0)t x t =-，代入(21)f x -=得()0)f t t =≥，所以()0)f x x ==≥.)0x ≥. 11．若实数,x y 满足2244x y x +=，则22S x y =+的取值范围是________.【答案】[]0,16【分析】把S 表示为关于变量x 的二次函数，由20y可求得x 的范围，在x 的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围.【详解】由2244x y x +=，得()22144y x x =-，由()221404y x x =-，解得04x ，代入22Sx y =+得，()222213321444433S x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+- ⎪⎝⎭，[0,4]x ∈，由于函数S 在[]0,4上单调递增，当0x =时S 取得最小值为0；当4x =时S 取得最大值为16，故S 的取值范围为[]0,16. 故答案为：[]0,16.【点睛】易错点睛：解答本题时，学生容易漏掉求x 的范围，从而得出错误的结论.利用函数的思想研究数学问题时，一定要注意求函数的自变量的取值范围，即遵循“函数问题定义域优先”的原则.二、解答题12．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值. 【答案】32-【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可. 【详解】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A ∈ 所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性，当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意所以32a =-【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.13．已知{}2320A xx mx m =-+<∣. （1）若3A ∈，求m 的取值范围；（2）若0A ∈且1A ∈，求m 的取值范围. 【答案】（1）(27,)+∞；（2）(,3)-∞-.【分析】（1）根据3A ∈，可得出27320m m -+<，解出m 的范围即可；（2）根据0A ∈且1A ∈，可得出20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解出m 的范围即可.【详解】解：（1）由3A ∈，所以27320m m -+<，解得27m >，所以m 的取值范围为(27,)+∞；（2）由0A ∈，且1A ∈，所以20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解得3m <-.所以m 的取值范围为(,3)-∞-. 14．求下列函数的值域：（1）223y x x =+-，[2,2]x ∈-；（2）2y x=-，[1,0)(0,2)x ∈-⋃. 【答案】（1）[4,5]-；（2）(,1)[[2,)-∞-⋃+∞. 【分析】（1）22 23(1)4y x x x =+-=+-，结合定义域，求出y 的最大值和最小值即可；（2）分[1,0)x ∈-和(0,2)x ∈两段，根据反比例函数2y x=-的单调性即可得值域. 【详解】（1）2223(1)4y x x x =+-=+-， ∵[2,2]x ∈-，∴当1x =-时，y 取得最小值4-；当2x =时，y 取得最大值5， ∴函数的值域为[4,5]-. （2）当[1,0)x ∈-时，2y x=-单调递增，[2,)y ∈+∞；当(0,2)x ∈时，2y x=-单调递增，(,1)y ∈-∞-， ∴函数的值域为(,1)[[2,)-∞-⋃+∞. 15．作出函数21()1x f x x +=-的图象，并直接作答下列问题：（1）()f x 的图象与x 轴的交点坐标为________，与y 轴的交点坐标为________；（2）不等式()3f x <的解集为_________.【答案】图象答案见解析；（1）102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()0,1-；（2）(,1)(4,)-∞⋃+∞.【分析】直接作出函数的图象（1）由()0f x =可得图象与x 轴的交点坐标，由(0)1f =-，可得与y 轴的交点坐标，（2）由()3f x <，即2131x x +<-，结合函数图象可得答案. 【详解】图象如图所示：（1）令()0f x =，即2101x x +=-，解得12x =-，令0x =，则(0)1f =-，故()f x 的图象与x 轴的交点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为()0,1-；（2）不等式()3f x <，即2131x x +<-，结合图象可得解集为(,1)(4,)-∞⋃+∞，故答案为：（1）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)-；（2）(,1)(4,)-∞⋃+∞.16．（1）已知二次函数()f x ，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的表达式；（2）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x 的表达式.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）1()23f x x =-或()21f x x =-+. 【分析】（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，可得1c =，由(1)()2f x f x x +-=，可列出关于a 和b 的方程组，解之即可；（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，由(())41f f x x =-，可列出关于k 和m 的方程组，解之即可.【详解】解：（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，∴1c =，()22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，化简得，22ax a b x +-=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴2()1f x x x =-+.（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，∵(())41f f x x =-，∴()41k kx m m x ++=-，即2(1)41k x m k x ++=-，∴24(1)1k m k ⎧=⎨+=-⎩，解得213k m =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k m =-⎧⎨=⎩， ∴1()23f x x =-或()21f x x =-+. 17．（1）求函数1y x =-+的值域；（2）求函数21()()12f x x m =--+在[]1,2上的最大值()g m . 【答案】（1）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）221(1)1,12()1,121(2)1,22m m g m m m m ⎧--+<⎪⎪=⎨⎪⎪--+>⎩. 【分析】（1）利用换元法，令0t =≥，则23x t =-，故22y t t =-++，再结合配方法即可得解；（2）分1m <，12m 和2m >三类，讨论()f x 在[]1,2上的单调性，从而得解.【详解】解：（1）令0t =≥，则23x t =-，∴ 2221931224y t t t t t ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵ 0t ≥， ∴ 当12t =时，y 取得最大值94，∴函数的值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）21()()12f x x m =--+的开口方向向下，对称轴为x m =，当1m <时，()f x 在[]1,2上单调递减，21()(1)(1)12g m f m ==--+；当12m 时，()f x 在[)1,m 上单调递增，在(,2]m 上单调递减，()()1g m f m ==；当2m >时，()f x 在[]1,2上单调递增，21()(2)(2)12g m f m ==--+.综上，221(1)1,12()1,121(2)1,22m m g m m m m ⎧--+<⎪⎪=⎨⎪⎪--+>⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用换元法求函数值域和二次函数的动轴定区间问题，讨论对称轴与区间端点的大小是解决本题的关键.。

江苏省苏州市吴江区2019-2020学年第一学期第一次月度质量调研试卷高三数学(有解析)

数学试题2019.9 1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2+x≤0}，则M∩N＝．2．复数z＝（1﹣2i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是．3．已知抛物线方程为y＝4x2，则抛物线的焦点坐标为．4．函数f（x）的定义域为．5．函数的最小正周期为．6．已知θ是第三象限角，且，则sinθ+cosθ＝．7．函数f（x）＝log2（﹣x2+2）的值域为．8．已知（4x，2x），（1，），x∈R，若⊥，则．9．在平面直角坐标系中，曲线y＝e x+2x+1在x＝0处的切线方程是10．在△ABC中，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为，则AB 的长为．11．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．12．已知函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），且f（α）＝f（β）（α≠β），则α+β＝．13．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．14．已知函数，，＞，若方程f（x）＝a有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知向量（cosα，﹣1），（2，sinα），其中，，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β），且，，求角β．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD＝2BC，AD ⊥CD，PA＝PD，M为棱AD的中点．（1）求证：CD∥平面PBM；（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．17．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）解不等式f（x）+f（1+x）＞0．18．（本小题满分16分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即∠AOB）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？19．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝xlnx﹣（k+1）x，k∈R．（1）若k＝﹣1，求f（x）的最值；（2）若对于任意x∈[e，e3]，都有f（x）＜4lnx成立，求实数k的取值范围；（3）对于任意x∈[2，e2]，都有f（x）＞﹣2x﹣k成立，求整数k的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（x＞0），m＞0．（1）当m＝1时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x∈[1，e]时恒有f（x）≤0成立，求满足条件的m的范围；（3）当m＝e时，令方程f（x）＝t有两个不同的根x1，x2，且满足x1＜x2，求证：x2﹣x1．1．由N中不等式变形得：x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即N＝[﹣1，0]，∵M＝{﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣1，0}．答案：{﹣1，0}．2．复数z＝（1﹣2i）（3+i），i为虚数单位，则|z|＝|（1﹣2i）|×|（3+i）|＝5．答案：5．3．由题意，x2，故其焦点在y轴正半轴上，p．∴焦点坐标为，，答案，．4．由题意，＞，解得1＜x≤3，答案：（1，3]．5．函数的最小正周期为：T3π．答案：3π．6．已知θ是第三象限角，且，所以sinθ＜0，cosθ＜0，则，解得，所以sinθ+cosθ．答案：．7．∵0＜﹣x2+22，∴x＝0时，f（x）最大，f（x）＝f（0），最大值答案：（﹣∞，]．8．∵，∴且2x＞0，∴解得2x＝1，∴，，，，∴，，∴．答案：2．9．∵y＝e x+2x+1，∴f′（x）＝e x+2，∴在x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝1+2＝3，∴f（0）＝1+0+1＝2，∴y＝e x+2x+1在x＝0处的切线方程为：y﹣2＝3x，∴y＝3x+2，答案：y＝3x+2．10．∵sin B＝2sin A，由正弦定理可得，b＝2a，∴s△ABC2，∴a＝2，b＝4，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C28，∴c＝2，答案：2．11．若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝2﹣x﹣3＝﹣f（x），则f（x）＝﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x＝0时，f（0）＝0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．答案：（﹣∞，﹣3]．12．解法一：∵函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），∴2x∈[，）．∵f（α）＝sin（2α）＝f（β）＝sin（2β）∈（0，），（α≠β），不妨假设α＜β，则2α∈（，π），2β∈（2π，），∴α∈（，），β∈（π，），∴α∈（，），β∈（，），∴α+β∈（，）．再根据 sin（2α）﹣sin（2β）＝2cos sin2cos（α+β）sin（α﹣β）＝0，∴cos（α+β）＝0，∴，或，则α+β（舍去）或α+β，答案：．解法二：∵函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），∴2x∈[，）．∵f（α）＝f（β）（α≠β），则由正弦函数的图象的对称性可得2α2β2•，即α+β，答案：．13．由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2r sin C＝2sin C，b＝2r sin B＝2sin B，∵tan A，tan B，∴，∴sin A cos B＝cos A（2sin C﹣sin B）＝2sin C cos A﹣sin B cos A，即sin A cos B+cos A sin B＝sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A，即A，∴cos A，∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2r sin A）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），∴△ABC面积为S bc sin A3，则△ABC面积的最大值为：．答案：．14．不妨设，，＞，由题意，g（x）＝a有四个不等实根，设为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，t1＝x1+1，t2＝x2+1，t3＝x3+1，t4＝x4+1，作函数g（x）的图象，由图可知，﹣1＜t1＜0＜t2＜1＜t3＜2＜t4，且，，，∴，，∴，设，，函数，则＜，∴函数h（m）在（0，1）上为减函数，∴h（m）∈（h（1），h（0））＝（﹣4，0），即（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）的取值范围为（﹣4，0）．答案：（﹣4，0）．15．（1）∵向量（cosα，﹣1），（2，sinα），其中，，且．∴2cosα﹣sinα＝0，∴sin2α+cos2α＝5cos2α＝1，∴cos2α，∴cos2α＝2cos2α﹣1．（2）∵cos2α，，，∴cosα，sinα，∵sin（α﹣β），且，，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴2cosβ﹣sinβ，∴sinβ＝2cos，∴sin2β+cos2β＝5cos2β﹣20，解得cosβ或cosβ（舍），∵，，∴β．16．证明：（1）因为AD∥BC，且AD＝2BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD∥BM，又CD⊄平面PBM，BM⊂平面PBM，所以CD∥平面PBM；（6分）（2）因为PA＝PD，点M为棱AD的中点，所以PM⊥AD，又AD⊥CD，CD∥BM，故AD⊥BM，而PM∩BM＝M，PM、BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．（本小题满分14分）17．（1）由题意可得，f（﹣1）＝﹣f（1），，∴m＝2；（2）由（1）可得，f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＜0 ∴f（x）在R上单调递减∵f（x）+f（1+x）＞0，∴f（x）＞﹣f（1+x）＝f（﹣1﹣x），∴1+x＜﹣x，解可得，x＜，综上可得，不等式的解集为（﹣∞，）18．（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝10，设∠AOE＝α，则＜α＜，所以∠BOEα，所以AB＝AE+BE＝10tanα+1+10tan（α）；解得cosαcos（α）sin（2α）；所以当α时，AB取得最小值为20（1）；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示；则圆C的方程为（x+30）2+y2＝25，设直线AB的方程为y＝kx+t，（k＞0，t＞0）；∴10，∴5，解得t＜20k或t＞60k（舍），∴OA＜20，又当AB∥ON时，OA→10，所以10＜OA＜20；综上知，当10＜OA＜20时，即设计出入口A离市中心O的距离在10km 到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）．19．（1）f（x）＝xlnx，x＞0．则f'（x）＝1+lnx．当0＜x＜e﹣1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＝e﹣1时，f'（x）＝0；当x＞e﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝e﹣1时，f（x）取最小值f（e﹣1）＝﹣e﹣1．（2）f（x）＜4lnx⇔k+1＞（1）lnx．令g（x）＝（1）lnx，则g'（x）．当x≥e时，x﹣4+4lnx≥e﹣4+4＞0，所以g（x）在[e，e3]单调递增，g（x）＝g（e3）＝3．所以，所以k＞31＝2．（3）当x∈[2，e2]时，f（x）＞﹣2x﹣k⇔k＜．令h（x），h'（x）．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，则u'（x）＝1．因为x∈[2，e2]，所以u'（x）≥1＞0，u（x）单调递增，又u（3）＝1﹣ln3＜0，u（4）＝2﹣2ln2＞0，所以u（x）存在唯一的零点x0，且3＜x0＜4．当x∈[2，x0）时，u（x）＜0，所以h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＝x0时，u（x）＝0，h'（x）＝0；当x∈（x0，e2]时，u（x）＞0，所以h'（x）＞0，h'（x）单调递增．所以k＜，h（x）＝h（x）x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．20．（1）解：由题意，当m＝1时，f（x）＝（x﹣1）lnx，x＞0．f′（x）＝lnx1，x＞0．∵f′（1）＝0，f（1）＝0．∴函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y＝0．（2）解：由题意，当x∈[1，e]时恒有f（x）≤0成立，即（x﹣m）lnx≤0对任意x∈[1，e]成立．∵当x∈[1，e]时，lnx≥0恒成立，∴x﹣m≤0对任意x∈[1，e]恒成立．∴m≥x max＝e．∴m的取值范围为[e，+∞）．（3）证明：由题意，当m＝e时，f（x）＝（x﹣e）lnx，x＞0．f′（x）＝lnx lnx+1，x＞0．①令f′（x）＝0，即lnx+1，根据下面图象：根据图，很明显交点的横坐标在1与e之间，设为x0，即f′（x）＝0的解为x＝x0，（1＜x0＜e），且lnx0+1．②令f′（x）＜0，即lnx+1＜，解得0＜x＜x0；③令f′（x）＞0，即lnx+1＞，解得x＞x0．∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，在x＝x0处取得极小值．∵f（1）＝0，f（e）＝0．∴根据题意，画图如下：由图，①设函数f（x）在x＝1处的切线为l1，∵f′（1）＝1﹣e．∴直线l1的直线方程：y＝（1﹣e）（x﹣1），令y＝t，解得x31；②设函数f（x）在x＝e处的切线为l2，∵f′（e）＝1．∴直线l2的直线方程：y＝x﹣e，令y＝t，解得x4＝e+t．∴x2﹣x1≤x4﹣x3＝e+t1＝e﹣1．。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．47．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为412．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】判断出阴影部分中的元素在A中但不在B中即在A与B的补集的交集中．【解答】解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（∁R B）∩A＝{0，1}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a＝3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a ＝3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a＝3时，A＝{1，3}所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．【分析】由x+1＝2，得x＝1，代入函数的解析式求出即可．【解答】解：∵函数f（x+1）＝，∴f（2）＝f（1+1）＝＝0，故选：A．【点评】本题考查了函数求值问题，是一道基础题．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．【分析】根据条件，取特殊值即可排除ACD，由不等式的基本性质即可判断B．【解答】解：根据a，b，c∈R，且a＞b，取a＝2，b＝0，c＝﹣2，则可排除AD；取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除C；根据不等式的基本性质，由a＞b，可知（a﹣b）c2≥0成立，故B正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断，分离参数a即求a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值即可．【解答】解：“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，即a≤＝（﹣x）+（﹣），x＜0，即当∀x＜0时，a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值，令f（x）＝（﹣x）+（﹣），x＜0，由基本不等式可得f（x）＝（﹣x）+（﹣）≥2＝2，x＜0，当且仅当（﹣x）＝（﹣），x＝﹣时取等号，所以f（x）min＝2，则实数a的取值范围为是a．故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假，根据全称命题的定义和一元二次不等式的解法求解是解决本题的关键．6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．4【分析】先求出函数M（x）的解析式，然后根据分段函数求最值的方法求出最小值即可．【解答】解：令﹣x+3＞（x﹣1）2，解得﹣1＜x＜2，则M（x）＝，当﹣1＜x＜2时，M（x）＞M（2）＝1，当x≥2或x≤﹣1时，M（x）min＝M（2）＝1，所以函数M（x）的最小值为1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，涉及到解一元二次不等式问题，属于基础题．7．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．【分析】设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由t＝t1+t2可得，化简整理即可求出v1：v2值．【解答】解：设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t＝t1+t2，∴，整理得：，解得：，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a【分析】根据f（x）+f（a﹣x）＝2可知，f（x）的图象关于（，1）对称，然后将y＝化简后也可以看出关于（）对称，由此它们的交点也关于（）对称，问题可解．【解答】解：因为函数f（x）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，故f（x）的图象关于（）对称；而＝，该函数图象是由函数y＝的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，结合y＝的图象关于（0，0）对称，故y＝的图象关于（）对称．设该它们的四个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）分成两对各自关于对称，不妨设（x1，y1）与（x2，y2）对称，（x3，y3）与（x4，y4）对称，则y1+y2+y3+y4＝2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与函数的性质的综合考查，注意对称性在研究函数零点时的应用．属于中档题．二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．【分析】利用已知的条件即可判断选项是否正确．【解答】解：选项A：f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），A正确，选项B：f（2x）＝（2x）2＝4x2≠2f（x），B错误，选项C：f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），C正确，选项D：f（2x）＝2x+≠2f（x），D错误，故选：AC．【点评】本题考查了函数的性质以及解析式问题，属于基础题．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．【解答】解：对于A：当B⊆A有A∪B＝A成立，反之，若A∪B＝A成立，B⊆A成立，所以A符合；对于A：当B⊆A，有A∩B＝B；反之，若A∩B＝A成立，A⊆B成立，所以B不符合；对于C：若B⊆A有（∁U A）⊆（∁U B），反之若（∁U A）⊆（∁U B），则B⊆A，故C符合；对于D：A∪∁U B＝U⇔B⊆A，故D符合；故选：ACD．【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为4【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：∵x，y是正数，且1＝2x+y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，∴解可得，xy，即xy的最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy＝，当且仅当2x＝y且2x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值，B正确；因为2x+y＝1，所以y＝1﹣2x，所以x（x+y）＝x（1﹣x）＜＝，当且仅当x＝1﹣x即y＝0，x＝时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C错误；因为＝＝＝（4+）＝4，当且仅当且2x+y＝1即x＝，y＝时取等号，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是结论的灵活变形，属于中档试题．12．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）【分析】结合函数的零点及基本不等式的应用条件，函数对称性的应用及导数与单调性的关系检验各选项即可判断．【解答】解：由f（x）＝＝0可得x2+2x+2＝0，且x≠0，此时方程没解，A正确；当x＝﹣2时f（﹣2）＝﹣2，显然2不是最小值，B不正确；因为f（x）＝＝＝x+1+，所以f（﹣2﹣x）＝﹣1﹣x+＝﹣（1+x+）＝﹣f（x），故f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，C正确；＝，当x＞0或x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，D正确．故选：ACD．【点评】本题综合考查了函数的最值，对称轴及单调性的判断，属于函数性质的综合应用．三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为特称命题，则命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1，故答案为：∀x＞1，x2≤1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为﹣2．【分析】利用已知求出f（﹣x），然后令f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解．【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，﹣x≤0，则f（﹣x）＝﹣x（a+x），又f（x）＝x（x﹣2），所以﹣x（a+x）＝﹣x（x﹣2），所以a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是提高票价；图③的建议是降低成本．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：由图②看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，由图③知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；综上可得图②的建议是提高票价，图③的建议是降低成本．故答案为：提高票价，降低成本．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．【分析】根据条件可得（a+b）（a+2c）＝3，然后由，利用基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：∵a2+ab+2ac+2bc＝3，∴（a+b）（a+2c）＝3，∴，当且仅当a+b＝a+2c，即b＝2c时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；（2）写出满足条件的函数的解析式即可．【解答】解：（1）将（4，2）代入f（x）＝x a，得：4a＝2，解得：a＝，故f（x）＝＝，设∀x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，+∞）递增；（2）g（x）＝﹣x4．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R（A∩B）．（2）选①，求出集合B，推导出A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，当A≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．选②，求出集合B，推导出B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．选③，求出集合B，推导出A＝B，无解．【解答】解：（1）∵a＝4时，A＝{x|3＜x＜8}，＝{x|≥0}＝{x|2＜x≤5}．∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞3}．（2）选①，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，则a＜﹣1，当A≠∅时，，解得a∈∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．选②，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，∴，解得＜a＜3．∴实数a的取值范围是（，3）．选③，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”充要条件，∴A＝B，无解．故应该①或②，不应该选③．【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．【分析】（1）利用方程的根与函数的关系，构造不等式即可；（2）由题意得关于x的一元二次不等式，然后通过分类讨论求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，故，解得．所以实数a的取值范围为[0，6）．（2）不等式f（x）＜a2即2x2+（a﹣2）x+a﹣a2＜0，等价于，当，即a＝时，，显然无解；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式的解集为（）．综上可知，a＝时，不等式无解；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为（）．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，一元二次不等式的解法．属于中档题．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．【分析】（1）先设DQ＝y，又AD＝x，根据由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域得出y的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．【解答】解：（1）设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴（0＜x＜10），∴S＝4200x2+210•4xy+80•2y2＝（0＜x＜10）．（2），当且仅当，即时，S min＝118000元．【点评】本小题主要函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．【分析】（1）代入a的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数g（a）在定义域上的单调性，即可求出最大值．【解答】解：（1）当a＝时，f（x）＝x2﹣|x|＝，函数f（x）的图象如图所示：增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）①因为x∈[1，2]，所以f（x）＝ax2﹣x+2a﹣1，（a＞0），因为a＞0，所以f（x）＝a（x﹣）2+2a﹣﹣1，若＜1，即a＞时，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝3a﹣2；若1，即时，f（x）在[1，]上递减，在[]上递增，所以f（x）min＝f（）＝2a﹣﹣1；若＞2，即0＜a＜时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝6a﹣3，综上：g（a）＝，②a∈[]时，g（a）＝2a﹣，因为y＝2a，y＝﹣在[]上单调递增，所以g（a）＝2a﹣﹣1在[]单调递增，所以g（a）的最大值为g（）＝﹣．【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．【分析】（1）运用单调性的定义判断f（x）在（1，2）递减，（2，6）递增，求得f（x）在[1，6]的值域，|f（x）﹣6|的范围，由存在性可得a的范围；（2）可令t＝（t∈（0，1]），运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）求得x+∈[4，5]，讨论a≥5，4＜a＜5，a≤4，去绝对值，运用基本不等式，解方程可得所求范围．【解答】解：（1）设任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣x2﹣＝，因为x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在[1，2]递减，同理可得f（x）在[2，6]递增，所以4≤f（x）≤，所以﹣2≤f（x）﹣6≤，即0≤|f（x）﹣6|≤2，因为∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，可得a≤2；（2）设t＝（t∈（0，1]），由题意可得t+≥mt+16对t∈（0，1]恒成立，所以m≤（﹣+1）min，因为﹣+1＝4（﹣2）2﹣15，在t＝时有最小值﹣15，所以m≤﹣15；（3）因为x∈[1，4]，所以x+∈[4，5]，①当a≥5时，g（x）＝a﹣x﹣+a＝2a﹣x﹣≤2a﹣2＝2a﹣4，所以g（x）的最大值为2a﹣4＝5，即a＝（舍去）；②当a≤4时，g（x）＝x+﹣a+a＝x+≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，g（x）max＝max{|4﹣a|+a，|5﹣a|+a}，则或，解得a＝或a＜．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

江苏省苏州市吴江中学2020-2021学年第一学期第一次质量检测高一数学学生

吴江中学 2020~2021 学年第一学期第一次质量检测
高一数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．集合 A 1, 0,1,3, B 1, 2,3 ， A B （
）
A.1, 0,1,1, 2,3
11．给出下列四个条件：① a2 x a2 y ；② 1 1 0 ；③ x2 y2 ；④ x y .其中能成 xy
为“ x y ”的充分条件的是（
）
A.①
B.②
C.③
D.④
12．已知 a,b, c, d 均为实数，则下列命题正确的是（
）
A.若 a b,c d ，则 ac bd C.若 a b,c d ，则 a d b c
C. m n
D. m n
6．满足2 Ü A 1, 2,3, 4,5 ，且 A 中元素之和为偶数的集合 A 的个数是（
A.5
B.6
C.7
D.8
7．已知实数 x, y 满足 4 x y 1, 1 4x y 5 ，则 9x y 的取值范围是（
））
A.7, 26
B.1, 20
C. 4,15
9．设全集为U ，集合 A, B 满足 A Ü B ，则以下说法正确的有（
）
A. Ü A
B. A B A
10．下列各式中，最小值为 2 的有（
A.
a2 b2
b2 a2
B. x 1 x 0
x
C. A CU B
）
C. x 4 x 2
x2
D. CU A B
x2 3
D.
x2 2
）

江苏省苏州市2020-2021学年第一学期期中试卷高一数学(PDF,无答案)

A. p : x A, 2x B
B. p : x A, 2x B
C. p : x A, 2x B
D. p : x A, 2x B
4．已知函数 f x x 3x 7 x 2 ，则（
）
x2
A. f x 有最小值 1
B. f x 有最大值 1
C. f x 有最小值 3
D. f x 有最大值 3
, 2
12．已知
f
x
x 2, x 1
k x
k
2,
x
1
（常数
k
0
），则（
）
A.当 k 0 时， f x 在 R 上单调递减
B.当 k 1 时， f x 没有最小值
2
C.当 k 1 时， f x 的值域为 0,
D.当 k 3 时， x1 1,x2 1，有 f x1 f x2 0
9．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ，集合 M 3, 4,5 ， N 1, 2,5 ，则集合1, 2 可以表
示为（
A. M N
）
B. CU M N
C. CU N M
D. CU M N N
10．已知 a 0,b 0 ，则下列说法正确的有（
）
A.
a
1 b
1 a
C.若 a b 2 ，则 ab 1
5．“ x 2 ”的一个必要不充分条件是（
）
A. x 2
B. x2 2
C. 2x 4 0
D. x2 9
6．对于 x 2, 2，不等式 mx 2 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（
）
A. m 9 4
B. m 2
C. m 0
D. m 4
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江苏省苏州市吴江中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题

江苏省苏州市吴江中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}1,0,1,3A =-，{}1,2,3B =，A B =（）A ．{}1,0,1,1,2,3-B ．{}1,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,0,2-2．集合M ={x |-1≤x <2}，N ={x |1≤x ≤3}，如图所示阴影部分所表示的集合为（）A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|12}x x ≤<D ．{|12}x x <≤3．条件:2p x >，条件:3q x >，则p 是q 的（） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．不等式||22x x x x>--的解集为（） A ．{x |0<x <2}B ．{x |x ≠2}C ．∅D ．{x |x <0或x >2}5．已知a >b >c >0，m =b -ca ，n =a -cb ，则（） A ．m ≥n B ．m >nC ．m ≤nD ．m <n6．满足{}{2}1,2,3,4,5A ⊆，且A 中元素之和为偶数的集合A 的个数是（）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知实数,x y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[]7,26-B ．[]1,20-C ．[]415，D ．[]115，8．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为（） A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |－1<x <2}9．下列各式中，最小值为2的有（）A ．2222a b b a+B ．1(0)x x x+<C ．4(2)2x x x +>-+ D 2二、多选题10．设全集为U ，集合A ，B 满足,A B 则以下说法正确的有（）A ．A ∅B ．A ∩B =AC ．()U A B ⋂=∅D ．)(UA B =∅11．给出下列四个条件：①22a x a y >②110x y<<③22x y >>其中能成为“x >y ”的充分条件的是（） A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,a b c d >>，则a d b c ->- D ．若,0a b c d >>>，则a b d c>三、填空题13．若命题1:1,1,p x x∀><则¬p 为________. 14．若集合2{|210}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是________. 15．不等式解集211x ≤+的解集________. 16．已知x >0，y >0，且3x y +=，则141x y ++的最小值为________.四、解答题17．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x≤3}，N ＝{x|x<1}，求M ∪N ，（∁U M ）∩N ，（∁U M ）∪（∁U N ）18．求下列关于x 的不等式的解集：（1）2x ≤5-x ；（2）|32|3x -> （3）221x x -≥- （4）(2)(1)x x x --<.19．已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ；（3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.20．已知1:22x p x +>-，2:50q x ax -+>. （1）若p ⌝为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）分别写出用x 表示 y 和用x 表示 S 的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？22．已知不等式2364ax x -+>的解集为{x |x <1或x >b } （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式2.cx ab x c-+>-参考答案1．C 【分析】根据交集的运算直接进行求解即可. 【详解】{}{}{}1,0,1,31,2,31,0,1,2,3A B =-=-.故选：C 【点睛】本题主要考查集合的定义和交集的运算，属于基础题. 2．B 【分析】设全集为R ，根据文氏图可得所求集合为()M N R ，计算即可得解.【详解】设全集为R ，{|1RM x x =<-或}2x ≥，根据文氏图可得阴影部分所表示的集合为：(){}|23RM N x x =≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查了集合文氏图的表示，考查了集合补集和交集的运算，属于基础题. 3．A 【分析】根据集合{}2x x >与集合{}3x x >的关系，直接判断出p 是q 的何种条件. 【详解】因为{}2x x > {}3x x >，所以p 是q 的必要非充分条件，故选：A . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即(){}(){},A x p x B x q x ==，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件. 4．D 【分析】将不等式||22x x x x>--，转化为02xx <-，即()20x x ->求解. 【详解】因为不等式||22x xx x>--，所以02xx<-，即()20x x ->，解得0x <或 2x >，所以不等式||22x x x x>--的解集为： {x |x <0或x >2} 故选：D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．D 【分析】通过作差法比较大小，由()(1)m n b ca a cb b a c -=--+=-+，判断正负即可得解. 【详解】作差可得：()()(1)m n b ca a cb b a c b a b a c -=--+=-+-=-+，因为a >b >c >0，所以0,10b a c -<+>，所以0m n -<，所以m n <. 故选：D . 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了计算能力，属于基础题.6．C 【分析】根据条件可得2A ∈，又A 中元素之和为偶数，写出满足条件的集合A ，即可得答案. 【详解】因为{}{2}1,2,3,4,5A ⊆，所以2A ∈，又A 中元素之和为偶数，所以满足条件的集合A 有{2,4}、{1,2,3}、{1,2,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}、{1,2,4,5}、{2,3,4,5}共7个，故选：C 【点睛】本题考查集合间的包含关系，考查分析理解的能力，属基础题. 7．B 【分析】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n m y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，然后根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n m y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则85933z x y n m =-=-， 41m -≤≤-，5520333m ∴≤-≤，又15n -≤≤，8840333n ∴-≤≤，∴80315923z x y n m -=-=-≤≤，故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，考查逻辑推理和计算能力，属于中档题． 8．B 【分析】根据题中的新定义列出不等式，求不等式解集即可. 【详解】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为{x |－2<x <1}，故选：B 【点睛】以新定义为平台，考查一元二次不等式的解法，属于简单题. 9．AC 【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解判断；选项D 用对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的性质求解判断；【详解】A. 22222a b b a +≥=，当且仅当2222a b b a =，即 0a b =≠时取等号，所以其最小值为2，故正确； B. 112x x x x ⎛⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x x -=- ，即1x =-时取等号，所以求最大值为-2，无最小值，故错误； C.44222222x x x x +=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时，取等号，所以求最小值为2，故正确；D.221+==，令t =≥1y t t=+在)+∞递增，所以 2y ≥，故其最小值为2，故错误；故选：AC【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及对勾函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．BC 【分析】根据集合间关系，再结合文氏图，逐个判断即可得解. 【详解】如图，对A ，不能确定集合A 为空集，故不能判断A ∅，故A 错；对B ，若A B ，根据文氏图可得： A ∩B =A 正确；对C ，若A B ，根据文氏图可得：()U A B ⋂=∅正确；对C ，若A B ，根据文氏图可得：)(U A B =∅错误.故选：BC. 【点睛】本题考查了集合间的关系，考查了补集和交集的概念，同时考查了文氏图的应用，属于基础题. 11．ABD 【分析】利用不等式的性质对选项逐一判断，即可得答案. 【详解】原题等价于“（）”是“x >y ”的充分条件，即“选项”可推出“x >y ”成立，对于①：由22a x a y >，及20a >，所以x y >成立，故①满足题意；对于②：由110x y<<，左右同取倒数，可得0x y >>，所以x y >成立，故②满足题意；对于③：由22x y >，可得x y >，不能推出x y >，故③不满足题；y =[0,)+∞为单调递增函数，可得0x y >≥，所以x y>成立，故④满足题意. 故选：ABD 【点睛】本题考查充分条件定义、不等式的性质的应用，考查分析理解，逻辑推理的能力，属基础题. 12．BC 【分析】结合不等式性质，由同向可加性可知A 项缺少条件，C 项正确；B 项可证正确；D 项通过列举法可证错误. 【详解】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错；若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对；若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对；若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错；故选：BC ．【点睛】本题考查由不等式的基本性质判断不等关系是否成立，属于基础题 13．0011,1x x ∃>≥ 【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法，直接可得结果. 【详解】因为全程命题的否定是特称命题，所以¬p 为：0011,1x x ∃>≥，故答案为：0011,1x x ∃>≥ 【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.14．[0,1]【分析】对二次项系数a 是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案.【详解】当0a =时，不等式可化为10<，不成立，故为空集，满足题意；当0a ≠时，根据二次函数图像与性质可得20(-2)40a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得01a <≤，综上01a ≤≤.故答案为： [0,1]【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题.15．()[),11,-∞-+∞ 【分析】将原不等式进行移项,通分,合并,可得解集.【详解】由211x ≤+得2101x -≤+，即()2101x x -+≤+，即101x x -≥+，解得1x <-或1≥x ，所以原不等式的解集为：()[),11,-∞-+∞. 故答案为：()[),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查分式不等式的解法,注意在不知分母的正负时,不可在不等式的两边同时乘以分母,可以移项,通分,属于基础题.16．94【分析】由3x y +=，可得()1114x y ++=⎡⎤⎣⎦，利用1的代换结合基本不等式求出最小值．【详解】 3x y +=，14x y ∴++=，()1114x y ++=⎡⎤⎣⎦ ()()141141141915541414144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎡⎤+=+++=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当3141x y y x x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即4353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号故答案为：94 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题．17．M ∪N ＝{x|x≤3}，（∁U M ）∩N ＝∅，（∁U M ）∪（∁U N ）＝{x|x≥1}【解析】试题分析：由M ，N 以及全集U=R ，求出M 与N 的并集，M 补集与N 的交集，M 补集与N 补集的并集即可试题解析：由题意得M ∪N ＝{x|x≤3}，∁U M ＝{x|x>3}，∁U N ＝{x|x≥1}，[来则（∁U M ）∩N ＝{x|x>3}∩{x|x<1}＝∅，（∁U M ）∪（∁U N ）＝{x|x>3}∪{x|x≥1}＝{x|x≥1}．考点：集合的交并补运算18．（1）5|3x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|0x x <或}3x >；（3）{}|01x x ≤<；（4）{|22x x -<<.【分析】根据不等式的解法，逐个求解即可.【详解】（1）由2x ≤5-x ，可得53x ≤，解集为5|3x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（2）由|32|3x ->，可得323x ->或323x -<-，解得0x <或3x >，解集为{|0x x <或}3x >；（3）由221x x -≥-整理可得01x x ≤-，所以01x ≤<，解集为{}|01x x ≤<；（4）整理(2)(1)x x x --<可得：2420x x -+<，解得22x -<<+{|22x x <<【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的求法，考查了计算能力，属于基础题.19．（1）1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2） {}0,1B =；（3）{|1a a ≥或0}a =.【分析】（1）若1∈A ，则a ＝﹣3，解方程可用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，分a ＝0，和a ≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．（3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．【详解】解：（1）∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1＝0的一个根，∴a +2+1＝0，即a ＝﹣3，此时A ＝{x |﹣3x 2+2x +1＝0}．∴x 1＝1，213x =-，∴此时集合113A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，；（2）若a ＝0，方程化为x +1＝0，此时方程有且仅有一个根12x =-，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实根x 1＝x 2＝﹣1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ＝{0，1}；（3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a ＝0或a ＝1，②A 中一个元素也没有，即A ＝∅，此时a ≠0，且△＝4﹣4a ＜0，解得a ＞1，综合①②知a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}【点睛】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题．考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示.20．（1）2x ≤或5x ≥（2）a <【分析】（1）先解分式不等式得出25x <<，再由p 与p ⌝的关系得出p ⌝为真时x 的取值范围；（2）由题意得出q 是p 的必要不充分条件，从而得到5a x x <+对于任意25x <<恒成立，由基本不等式求出5x x +的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x << :25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥；（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立故5a x x <+，由基本不等式可知5x x+≥x =故a <【点睛】本题主要考查了根据非命题的真假求参数，根据充分不必要条件求参数，属于中档题. 21．（1）1500030306,6500S x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭（2）矩形场地50,60x m y m ==时，运动场的面积最大，最大面积是22430m【解析】试题分析：（1）塑胶运动场地占地面积S 为中间三个矩形面积的和.其中大矩形的宽为a 米,长为()2x -米.两个小矩形的长为a 米,宽为62x -米.其中26y a =+,则62y a -=.根据矩形的面积公式可用x 表示y 和S 的函数关系式.根据各边长为正及3000xy =可得x 的范围.（2）由(1)知1500030306,6500S x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭,用基本不等式求其最值. 解：（1）由已知3000,26xy a y =+=∴6,6x y >>，故3000y x =，由6y >，解得500x <，∴()30006500y x x=<<． ()()()46210S x a x a x a =-+-=-，根据26a y +=，得1500332y a x =-=-， ∴()150015000210330306,6500S x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当150006x x=，即50x =时等号成立，此时60y =. 所以，矩形场地50,60x m y m ==时，运动场的面积最大，最大面积是22430m . 考点：1函数解析式;2基本不等式.22．（1）1,2a b ==；（2）详见解析.【分析】（1）根据不等式2364ax x -+>的解集为{x |x <1或x >b }，得到1，b 是方程2320ax x -+=的两根，且0a >，然后利用根与系数的关系求解.（2）由（1）将原不等式转化为()()10cx x c -->，再分1c <- ，1c =-，10c -<<,0c ，01c <<，1c =，1c >七种情况讨论求解.【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{x |x <1或x >b }，所以1，b 是方程2320ax x -+=的两根，且0a >，所以321,b b a a+==，‘ 解得1,2a b ==；（2）由（1）知解不等式2.cx a b x c-+>-即为：10cx x c ->-，即()()10cx x c -->，当1c <-时，不等式为()10x x c c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1c x c<<，当1c =-时，不等式为()210x -+>，无解，当10c -<<时，不等式为()10x x c c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1x c c <<，当0c 时，不等式为0x ->，解得0x <，当01c <<时，不等式为()10x x c c ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得x c <或1x c >，当1c =时，不等式为()()110x x -->，解得1x ≠，当1c >时，不等式为()10x x c c ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x c<或x c >，综上：当1c <-时，原不等式的解集为：1|x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1c =-时，原不等式的解集为：∅；当10c -<<时，原不等式的解集为：1|x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当0c 时，原不等式的解集为：{}|0x x <；当01c <<时，不等式的解集为： {|x x c <或1x c ⎫>⎬⎭，当1c =时，原不等式的解集为：{}|1x x ≠；当1c >时，不等式的解集为： {1|x x c<或}x c >，【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

江苏省苏州中学2020-2021学年高一(上)月考数学试题

2020-2021学年江苏省苏州中学高一（上）月考数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =，{1,3,5,7}B =，那么()U A B ⋂等于________． 2．（5分）设集合{12}A x x =<<∣，{}B x x a =<∣满足A B ，则实数a 的取值范围是________． 3．（5分）函数1()3f x x=-的定义域为________． 4．（5分）满足条件，{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M的集合M 的个数为________．≠ 5.（5分）函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则((1))f f -=________．6．（5分）已知集合{}22,2A m m m =++，若3A ∈，则m 的值为________．7．（5分）已知{44}A x a x a =-<<+∣，{1 5}B x x =<->∣或，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围为_________（用区间表示）．8．（5分）如图所示的对应中，能构成A 到B 的映射的序号是________．9．（5分）已知集合0P x y ⎧==⎨⎩∣，集合{}24Q y y x ==-+∣，则P Q ⋂=________． 10．（5分）下列函数中，表示同一函数的是________．（1）()||f x x =，()g x = （2）()f x =2()g x =；（3）21()1x f x x -=-，()1g x x =+；（4）()f x =()g x =11．（5分）已知(21)f x -=()f x =________．12．（5分）若实数,x y 满足2244x y x +=，则22S x y =+的取值范围是________．二、解答题：（本大题共5小题，共40分）13．（8分）已知{}2320A x x mx m =-+<∣．（1）若3A ∈，求m 的取值范围；（2）若0A ∈且1A ∈，求m 的取值范围．14．（8分）求下列函数的值域：（1）223y x x =+-，[2,2]x ∈-；（2）2y x=-，[1,0)(0,2)x ∈-⋃． 15．（8分）作出函数21()1x f x x +=-的图象，并直接作答下列问题：①()f x 的图象与x 轴的交点坐标为________，与y 轴的交点坐标为________； ②不等式()3f x <的解集为_________．16．（8分）（1）已知二次函数()f x ，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的表达式；（2）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x 的表达式．17．（8分）（1）求函数1y x =-+的值域；（2）求函数21()()12f x x m =--+在[]1,2上的最大值()g m ．2020-2021学年江苏省苏州中学高一（上）月考数学试卷（1）参考答案与试题解析 1．由全集U 和补集的定义求出U A ，再由交集的运算求出()U A B ⋂．解：∵全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,5,8}A =，∴{1,3,4,6,7}U A =，由{1,3,5,7}B =得，(){}1,3,7U A B ⋂=,故答案为：{}1,3,7．本题的2．根据真子集的定乂、以及A 、B 两个集合的范围，求出实数a 的取值范围．解：由于集合{12}A x x =<<∣，{}B x x a =<∣，且满足A B ， ∴2a ，故答案为：2a ．本题主要考查集合间的关系，真子集的定义，属于基础题．3．根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．解：由题意得：1030x x +⎧⎨-≠⎩，解得：1x -且3x ≠，故函数的定义域是：{1 3}x xx -≠∣且，故答案为：{1 3}x x x -≠∣且．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．4．根据题意M 中必须有1，2，3这三个元素，因此M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数．解：根据题意：M 中必须有1，2，3这三个元素，则M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数，所以是6个故答案为：6本题主要考查子集、真子集的概念及运算．5．求出(1)0f -=，从而((1))(0)f f f -=，由此能求出结果．解：∵函数1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，∴(1)0f -=，((1))(0)f f f π-==故选：π本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．根据集合元素的特征，即可求出．解：∵集合{}22,2A m m m =++，若3A ∈，∴23m +=，且223m m +≠，或23m +≠，且223m m +=，解得1m =，或32m =-，当1m =时，∴23m +=，223m m +=，故1舍去，故答案为：32- 本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．7．由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案．解：∵{44}A x a x a =-<<+∣，{1 5}B x x =<->∣或，若A B R ⋃=，则4145a a -<-⎧⎨+>⎩，即13a <<．∴实数a 的取值范围为(1,3)．故答案为：(1,3)．本题考查并集及其运算，关键是对两集合端点值关系的处理，是基础题．8．由题意利用映射的定义，判断各个选项是否符合条件，从而得出结论．解：按照映射的定义，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的象，而对于选项（1），集合A 中的元素b 在集合B 中没有象，故排除选项（1）；显然，（2）（3）满足条件；选对于项（4），集合A 中的元素2在B 中有2个元素b 、c 和它对应，故排除选项（4），故选：（2）（3）．本题主要考查映射的定义，属于基础题．9．可以求出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可．解：∵{12 2}P x x x =-<<>∣或，{4}Q y y =∣，∴(1,2)(2,4]P Q ⋂=-⋃．故答案为：(1,2)(2,4]-⋃．本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．10．判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同．解：（1）()||f x x =，()||g x x ==，利用函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同的函数．（2）()f x =R ，2()g x =的定义域是0x ；两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数．（3）21()1x f x x -=-的定义域是1x ≠，()1g x x =+的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数；（4）()f x =1x ，()g x =1x 或1x -，两个函数的定义域不相同，不是相同的函数．本题考查函数的基本知识的应用，判断两个函数是否相同，关键是定义域与对应法则相同．11．先求出函数(21)f x -定义域为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣，令21(0)t x t =-，代入(21)f x -=，即可得出答案．解：函数(21)f x -定义域为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣，令21(0)t x t =-，代入(21)f x -= 得()0)f t t =，所以()0)f x x =．故答案为：()0)f x x =．本题考查换元法求函数解析式，属于基础题．12．把S 表示为关于变量x 的二次函数，由20y 可求得x 的范围，在x 的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围．解：由2244xy x +=，得()22144y x x =-，由()221404y x x =-，解得04x ，代入22S x y =+得，()222213321444433S x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+- ⎪⎝⎭，[0,4]x ∈， S 在[]0,4上单调递增，当0x =时S 取得最小值为0；当4x =时S 取得最大值为16，故S 的取值范围为[]0,16．故答案为：[]0,16．本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查学生运用知识分析解决问题的能力，属中档题．二、解答题13．（1）根据3A ∈，可得出27320m m -+<，解出m 的范围即可；（2）根据0A ∈且1A ∈，可得出20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解出m 的范围即可．解：（1）∵3A ∈，∴27320m m -+<，解得27m >，∴m 的取值范围为(27,)+∞；（2）∵0A ∈，且1A ∈， ∴20320m m m <⎧⎨-+<⎩，解得3m <-． ∴m 的取值范围为(,3)-∞-．本题考查了元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．14．（1）22 23(1)4y x x x =+-=+-，结合定义域，求出y 的最大值和最小值即可；（2）分[1,0)x ∈-和(0,2)x ∈两段，根据反比例函数2y x =-的单调性，求出y 的最大值或最小值即可．解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-，∵[2,2]x ∈-，∴当1x =-时，y 取得最小值4-；当2x =时，y 取得最大值5，∴函数的值域为[4,5]-．（2）当[1,0)x ∈-时，2y x =-单调递增，[2,)y ∈+∞；当(0,2)x ∈时，2y x=-单调递增，(,1)y ∈-∞-， ∴函数的值域为(,1)[[2,)-∞-⋃+∞．本题考查函数值域的求法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15．先画出函数的图象，根据图象，即可求出相对应的答案．解：图象如图所示：①令()0f x =，即2101x x +=-，解得12x =-，令0x =，则(0)1f =-，故()f x 的图象与x 轴的交点坐标为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为()0,1-； ②不等式()3f x <，即2131x x +<-，结合图象可得解集为(,1)(4,)-∞⋃+∞，故答案为：①1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)-；②(,1)(4,)-∞⋃+∞．本题考查了函数图象的画法和应用，属于基础题．16．（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，可得1c =，由(1)()2f x f x x +-=，可列出关于a 和b 的方程组，解之即可；（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，由(())41f f x x =-，可列出关于k 和m 的方程组，解之即可．解：（1）设()f x 的表达式为2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，∴1c =，()22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，化简得，22ax a b x +-=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩， ∴2()1f x x x =-+．（2）设()f x 的表达式为()(0)f x kx m k =+≠，∵(())41f f x x =-，∴()41k kx m m x ++=-，即2(1)41k x m k x ++=-，∴24(1)1k m k ⎧=⎨+=-⎩，解得213k m =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k m =-⎧⎨=⎩， ∴1()23f x x =-或()21f x x =-+．本题考查利用待定系数法求函数的解析式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17．（1）利用换元法，令0t =，则23x t =-，故22y t t =-++，再结合配方法即可得解；（2）分1m <，12m 和2m >三类，讨论()f x 在[]1,2上的单调性，从而得解．解：（1）令0t =，则23x t =-，∴2221931224y t t t t t ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵0t ，∴当12t =时，y 取得最大值94，∴函数的值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）21()()12f x x m =--+的开口方向向下，对称轴为x m =，当1m <时，()f x 在[]1,2上单调递减，21()(1)(1)12g m f m ==--+；当12m 时，()f x 在[)1,m 上单调递增，在(,2]m 上单调递减，()()1g m f m ==；当2m >时，()f x 在[]1,2上单调递增，21()(2)(2)12g m fm ==--+．综上，221(1)1,12()1,121(2)1,22m m g m m m m ⎧--+<⎪⎪=⎨⎪⎪--+>⎩．本题考查利用换元法求函数值域和二次函数的动轴定区间问题，考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}260x x x --≤，B ＝{}24x x >，则A B ＝A ．(2，3)B ．[2，3]C ．(2，3]D ．[2，3] {﹣2}2．角α的终边经过点(3﹣sin α，cos α)，则sin α的值为A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列的前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点(0，﹣e)，且与曲线C ：()y f x =相切，则直线l 的斜率为A ．﹣2B ．2C ．﹣eD ．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为49a ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A ．(0，34]B ．(0，23]C ．(0，34)D ．(0，23)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则A ．()g x 的图像关于点(2，0)对称B ．()g x 的图像的一条对称轴是x ＝6πC ．()g x 在(56π-，6π)上递减D ．()g x 在(3π-，3π)值域为(0，1)10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则A ．若59S S >，则150S >B ．若59S S =，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >，则56S S >11．已知函数()lg(1)f x x =-，1b a >>且()()f a f b =，则A ．1＜a ＜2B ．a ＋b ＝abC ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>--12．函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0，+∞)上有唯一零点0x ，则A ．00e 1x x =B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式(2)()0x f x -<的解集为．14．对任意正数x ，满足224y xy y x +=-，则正实数y 的最大值为．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为．（取1.211＝7.5，1.212＝9）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当x ≥0时，()1xf x '>()f x -．若对任意x ∈R ，不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω＞0，ϕ≤2π)的最小正周期为π．（1）求ω的值及()(6g f πϕ=的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R)．（1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对于任意x ∈[1，+∞)都有()2(1)f x a <-成立，求实数a 的取值范围．在①c sin B C 2+＝a sinC ，②2cosA(b cosC ＋c cosB)＝a ，③(sinB ﹣sinC)2＝sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝(1)b ，．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3-，求b 的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．①是否存在正整数k ，使得1k T +=32k k T b ++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥．若函数()f x 在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k a](k ＞0)，则称[a ，b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数()g x ，当x ∈[0，4]时，2()g x x =-4x +．（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[2，4]内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x ax x =+⋅．（1）求曲线C ：()y f x =在x ＝0处的切线方程；（2）当a ＝﹣2时，设函数()()f x g x x=，若0x 是()g x 在(﹣π，0)上的一个极值点，求证：0x 是函数()g x 在(﹣π，0)上的唯一极大值点，且0＜0()g x ＜2．。

江苏省苏州市昆山市2020-2021学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试卷及解析

江苏省苏州市昆山市2020-2021学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|1}B x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊂”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数()211x f x x-+=，则()2f 等于（）A.0B.23C.3D.834.若a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（）A. a+c ≥b −c B. (a −b)c 2≥0C. ac>bcD.b a≤b+c a+c5.“0x ∀<，220x ax ++”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.a ≤B.a ≤-C.a ≥D.a ≥-6.对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（）A.-1B.0C.1D.47.有一支长Lm 的队伍匀速前进，速度大小为1m/s v ，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为2m/s v ，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L m ，则12:v v 值为（）A.12B.21 18.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f a x +-=，若函数212x y x a+=-的图像与()y f x =的图像有4个交点，分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则1234y y y y +++=（）A.2B.4C.8D.2a第II 卷（非选择题）二、填空题命题，的否定为_____. 10.函数(2),0(),(),0x x x f x x a x x -≥⎧=⎨-<⎩对∀x ∈R ，有f (-x )+f (x )=0，则实数a 的值为_____.11.已知0a bc >，，，2223a ab ac bc +++=，则2ba c ++的最小值为_____.三、解答题12.幂函数f x x =过点()4,2.（1）求a 的值，并证明()f x 在[)0,+∞是增函数；（2）幂函数()g x 是偶函数且在()0,∞+是减函数，请写出()g x 的一个表达式（直接写结果，不需要过程）.13.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题. 14.已知()()222f x x a x a =+-+.（1）若方程0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()2f x a <.15.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m 2.（1）设总造价为S (单位：元)，AD 长为x (单位：m)，求出S 关于x 的函数关系式；. （2）当AD 长取何值时，总造价S 最小，并求这个最小值. 16.已知函数()()2||210f x ax x a a =-+->.（1）请在如图所示的直角坐标系中作出12a =时()f x 的图像，并根据图像写出函数的单调区间；（2）设函数()f x 在[]1,2x ∈上的最小值为()g a . ①求()g a 的表达式；②若11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g a 的最大值.17.已知函数()4f x x x=+.（1）若在[]1,6上0x ∃，使得()0|6|f x a -成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式2116fm x -恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()||g x f x a a =-+在区间[]1,4上的最大值是5，求a 的取值范围四、新添加的题型18.下列函数中，对x R ∀∈，满足()()22f x f x =的是（） A.()f x x =B.()2f x x =C.()f x x x =-D.()1f x x x=+19.记全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（） A.A B A ⋃=B.AB A =C.()()U UA B⊂D.UAB U20.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（） A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4 21.已知()2221x x f x x ++=+，则下列结论正确的是（）A.()0f x =方程无解B.()f x 的最小值为2C.()f x 的图像关于()1,0-对称D.()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+22.图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.参考答案1.B【解析】1.根据Venn 图表示的集合运算结果求解．图中阴影部分表示()U A B ，{|1}UB x x =≤，∴(){0,1}U AB =．故选：B ． 2.A【解析】2.本题首先可判断“3a =”能否证得“A B ⊂”，然后判断“A B ⊂”能否证得“3a =”，即可得出结果.当3a =时，集合{}1,3A =，满足A B ⊂，故“3a =”可以证得“A B ⊂”， “3a =”是“A B ⊂”的充分条件，若A B ⊂，则a 的值为2、3都可，故“3a =”不是“A B ⊂”的必要条件，综上所述，“3a =”是“A B ⊂”的充分不必要条件，故选：A . 3.A【解析】3.整体代换，令12x +=，代入计算．令12x +=，则1x =，∴211(2)01f -==．故选：A ． 4.B【解析】4.根据不等式性质确定选项. 当c<0时，a +c ≥b −c 不成立；因为c 2≥0,a −b >0，所以(a −b)c 2≥0；当c<0时，ac >bc 不成立；当c<0时，ba ≤b+c a+c不成立；所以选B. 5.A【解析】5.将a 分离，可得2a x x ≤--，令()2g x x x=--()0x <，只需()min a g x ≤ ，再求()min g x 即可求解.由0x ∀<，220x ax ++可得：2a x x≤--，令()2g x x x=--()0x < ，只需()min a g x ≤ ， ()()22g x x x x x ⎛⎫=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x-=-，即x =所以()min g x= 所以a ≤ 故选：A 6.C【解析】6.根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值．由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数， ∴min ()(2)1M x M ==．故选：C ． 7.C【解析】7.求出队伍前进的总时间，传令兵从队尾到队头的时间和从队头到队尾的时间，利用传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可得出22112220v v v v +-=，进而求解. 由题可得队伍前进的总时间为1L v ，传令兵从队尾到队头的时间为21L v v -，从队头到队尾的时间为21Lv v +，由传令兵往返总时间与队伍前进时间相等可得12121L L L v v v v v =+-+，整理可得22112220v v v v +-=，即21122210v v v v ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，解得121v v =--（舍去）或121v v =-，12:1v v ∴=.故选：C. 8.B【解析】8.由题意可得两个函数都关于,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则可判断交点也关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可列出式子求出结果.函数()()f x x R ∈满足()()2f x f a x +-=，()f x ∴关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称， 211122x a y x a x a ++==+--也关于,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， ∴两个函数的交点关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称，不妨设()11,x y 和()44,x y ，()22,x y 和()33,x y 对称，14231212y y y y +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，则14232,2y y y y +=+=， 12344y y y y ∴+++=.故选：B.9.1x ∀>，21x ≤【解析】9.根据特称命题的否定为全称命题可得. 因为特称命题的否定为全称命题，则命题“1x ∃>，21x >”的否定为“1x ∀>，21x ≤”. 故答案为：1x ∀>，21x ≤. 10.2-【解析】10.根据已知得函数为奇函数，利用奇函数定义求解． ∵()()0f x f x ，娵()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，∴0x <时，()(2)(2)f x x x x x -=---=+，则()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=--()x a x =-，∴2a =-．故答案为：2-．．【解析】11.由已知条件凑配出积为定值，113(2)22222b a c a c a b a c a c ⎛⎫++=+++=++ ⎪+⎝⎭，由基本不等式可得最小值．∵0a bc >，，，2223a ab ac bc +++=，∴()(2)3a b a c ++=，32a b a c+=+，∴1131(2)222222b a c a c a b a c a c ⎛⎫++=+++=++≥⨯= ⎪+⎝⎭，当且仅当322a c a c+=+，即2a c +=12.（1）12a =，证明见解析；（2）()4g x x -=（答案不唯一）.【解析】12.（1）将点()4,2代入函数()f x 的解析式，可求得a 的值，可得出()f x =函数单调性的定义可证得结论成立；（2）根据幂函数的基本性质可写出符号条件的函数()g x 的一个解析式. （1）把点()4,2代入()af x x =，得42a =，解得12a =，所以()12f x x ==，任取1x 、[)20,x ∈+∞，且12x x <，则()()12f x f x -==因为210x x >≥0>，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)0,+∞是增函数；（2）()4g x x -=（答案不唯一）.13.（1）{}35A B x x ⋂=<≤，(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >；（2）选择①，1a ≤-；选择②，532a <≤；选择③，无解.【解析】13.（1）先求出集合A ，B ，再根据交集补集的定义即可求出；（2）选择①，则A B ，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论；选择②，则B A ，则1225a a -≤⎧⎨>⎩，解出即可；选择③，则A B =，可得实数a 无解. （1）4a =时，{}38A x x =<<，因为502x x-≥-，解得25x <≤，所以{}25B x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=<≤，(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >.（2）若选择①充分不必要条件作答，则A B ，当A =∅时，12a a -≥，即1a ≤-时，满足A B ，当A ≠∅时，则121225a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，不等式无解，综上，a 的取值范围为1a ≤-. 若选择②必要不充分条件，则B A ，所以1225a a -≤⎧⎨>⎩，解得532a <≤，综上，a 的取值范围为532a <≤；若选择③充要条件，则A B =，实数a 无解. 14.（1）0,6-⎡⎣（2）见解析【解析】14.（1）由函数的零点的定义，结合二次函数图象的性质列出不等式组，求解即可；（2）将()2f x a <化简为()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭，讨论,12aa -的大小关系，从而得出该不等式的解集. （1）因为0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根所以()()()()()228021<1{412201220a a a f a a f a a ∆=-->---<-=--+≥=+-+≥解得06a ≤<-所以实数a的取值范围为0,6-⎡⎣（2）不等式()2f x a <，即()22220x a x a a +-+-<，等价于()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭当12a a =-，即23a =时，2203a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不等式无解；当12a a >-，即23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当12a a <-，即23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫⎪⎝⎭综上，当23a =时，不等式解集为∅当23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭15.（1）2240000038004000(0S x x x =++<<；（2）当AD米时，总造价有最小值11800元.【解析】15. （1）设DQ y =，AD x =，根据正方形、长方形的面积公式得出22004x y x-=，再由相应单价乘以面积得出S 关于x 的函数关系式；（2）由基本不等式求出最小值即可.解：（1）设DQ y =，AD x =则，所以24200x xy +=所以，22004x y x -= 所以221420021048042S x xy y =+⨯+⨯⨯2240000038004000(0x x x =++<< （2）因为2240000038004000S x x =++3800118000(0x ≥+=<< 当且仅当224000004000x x=，即x =时，min 11800S =(元) 答：当AD米时，总造价有最小值11800元.16.（1）图象见解析，增区间()()1,0,1,-+∞，减区间()(),1,0,1-∞-；（2）①()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩；②12-.【解析】16.（1）12a =时，()21||2f x x x =-，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；（2）①[]1,2x ∈时，()()2210f x ax x a a =-+->，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a =--，根据单调性即可求出. （1）12a =时，()21||2f x x x =-，函数图象如图:增区间()()1,0,1,-+∞；减区间()(),1,0,1-∞-.（2）①因为[]1,2x ∈，所以()()2210f x ax x a a =-+->. 若112a <，即12a >时，()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min 132f x f a ==-；若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时， ()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()min 112124f x f a a a ⎛⎫ =-⎪⎝⎭=-；若122a >，即104a <<时，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()()min 263f f x a ==-，综上()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； ②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a=--，因为12,4y a y a ==-在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()1214g a a a =--在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()g a 的最大值为1122g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 17.（1）2a ≤；（2）15m ≤-；（3）9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】17.（1）用单调性定义证明4()f x x x=+在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增．然后求得()f x 在[1,6]上的取值范围，从而得0()6f x -的最大值，即得a 的范围；（2）设t =(0,1]t ∈，不等式可变形为24161m t t ≤-+，求出24161t t-+在01t <≤时的最小值即可得m 的范围；（3）[1,4]x ∈时，()[4,5]f x ∈，然后分类讨论5a ≥，4a ≤，45a <<，求得最大值，由最大值为5得a 的范围．（1）设[]12,1,2x x ∀∈，且12x x <，则()()()()121212121212444x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=. 因为[]12,1,2x x ∀∈，且12x x <，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>所以()()()1204,f x x x f x f x =+>>在[]1,2单调递减. 同理，()4f x x x =+在[]2,6单调递增所以()2043f x ≤≤，所以()2263f x -≤-≤，所以()062f x ≤-≤，因为0x ∃，使得()6f x a -≥成立，只需()6max a f x ≤-所以2a ≤.（2）设t =(]0,1t ∈ 由题意416t mt t +≥+对(]0,1t ∈恒成立，所以24161m t t≤-+. 因为22416114215t t t ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭-；在12t =时有最小值15-，所以15,m ≤-（3）因为[]1,4x ∈，所以[]44,5x x+∈.①当5a ≥时，()442224g x a x a a x a a x x =--+=--≤-=- 所以()g x 的最大值245a -=，即92a =(舍去) ②当4a ≤时，()445g x x a a x x x =+-+=+<，此时命题成立.③当45a <<时，(){}4,5max g x max a a a a =-+-+ 则4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩解得92a =或92a < 综上，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 18.AC【解析】18.求出每个选项中函数的定义域，对每个选项中的函数()f x 的解析式是否满足()()22f x f x =进行验证，由此可得出合适的选项.对于A 选项，()f x x =，该函数的定义域为R ，则()()2222f x x x f x ===，合乎要求；对于B 选项，()2f x x =，该函数的定义域为R ，则()()()222244f x x x f x ===，不合乎要求；对于C 选项，()f x x x =-，该函数的定义域为R ，则()()222222f x x x x x f x =-=-=，合乎要求；对于D 选项，()1f x x x=+，该函数的定义域为{}0x x ≠，不合乎要求. 故选：AC.19.AD【解析】19.画出Venn 图，通过Venn 观察各选项可得． B A ⊆，用Venn 图表示：等价的只有AD ．故选：AD ．20.AB【解析】20.选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+= ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误. 故选：AB.21.ACD【解析】21.对于A ，利用()2222110x x x ++=++>可判断；对于B ，取2x =-可判断；对于C ，证明()()20f x f x +--=即可判断；对于D ，利用导数求出单调递增区间可判断.对于A ，要使()0f x =，则22201x x x ++=+，即2220x x ++=，()2222110x x x ++=++>，故方程无解，故A 正确；对于B ，当2x =-时，()4422221f -+-==--+，故B 错误；对于C ，()()()()()222222222222222012111x x x x x x x x f x f x x x x x --+--++++++++--=+=+=+--++--，所以()f x 的图像关于()1,0-对称，故C 正确；对于D ，()()()()()()()22222122211x x x x x x f x x x ++-+++'==++，令()0f x '>，解得2x <-或0x >，故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，故D 正确.故选：ACD.22.增加票价，运营成本不变票价不变，降低运营成本【解析】22.由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出.由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，图②中，直线的斜率增加，在y轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变，图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本.故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本.。

江苏省苏州市2020-2021学年高一第一学期学业质量阳光指标调研数学试题(含解析)

江苏省苏州市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4] C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v40 60 90 100 120Q 5.2 6 8.325 10 15.6W13 9.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．江苏省苏州市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4] C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v40 60 90 100 120Q 5.2 6 8.325 10 15.6W13 9.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v40 60 90 100 120Q 5.2 6 8.325 10 15.6W13 10 9.25 10 13 由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。

江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期1月学业质量阳光指标调研数学试题

苏州市2020~2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在母小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设有下面四个命题：1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，0x x +>；3:p x Z ∀∈，x N ∈；4:p x R ∃∈，2230x x -+=.其中真命题为（）A. 1pB. 2pC. 3pD. 4pC根据全称命题与特称命题真假的判断方法逐一判定. 解：对于A.2,11x x ∀∈+≥R ，所以该命题为假命题；对于B.当0x ≤时x x +=0，所以该命题为假命题；对于C.当x Z ∀∈时x 均为非负整数，所以该命题为真命题；对于D.因为2223(1)20x x x -+=-+≠，所以该命题为假命题；故选：C. 全称命题与特称命题真假的判断方法：1、全称命题：真：所有对象使命题真，否定为假；假：存在一个对象使命题假，否定为真. 2、特称命题：真：存在一个对象使命题真，否定为假；假：所有对象使命题假，否定为真.2. 若角α的终边经过点()1,2-，则cos α=（）A. B.C. D.A用余弦的定义可以直接求解.点()1,2-到原点的距离为cos5α==-，故本题选A.本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力.3. 对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫做集合A 与B 的差集，记作A B -.若{ln A x x =≤，{}1B x x =≥，则A B -为（）A. {}1x x <B. {}01x x <<C. {}13x x ≤<D. {}13x x ≤≤B解对数不等式得集合A ，现根据新定义计算．{ln {|03}A x x x x =≤=<≤，∴{|01}A B x x -=<<．故选：B ．思路点睛：本题考查集合的新定义，解题时关键是正确理解新定义运算，确定集合A 是解题基础．A B -是由集合A 中不属于集合B 的元素所组成，由此可得结论．4. 下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A. sin 2y x =B. cos y x =C. tan y x =D. cos 2xy =C根据三角函数的性质依次求出周期和判断单调性即可. 对于A ，sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭有增有减，故A 错误；对于B ，cos y x =的最小正周期为2π，故B 错误；对于C ，tan y x =的最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对于D ，cos 2xy =的最小正周期为2412ππ=，故D 错误.故选：C.5. “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价a %，第二次降价b %；乙平台两次都降价2a b+%（其中020a b <<<），则两个平台的降价力度（） A. 甲大 B. 乙大C. 一样大D. 大小不能确定A根据题意可分别得出甲、乙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再结合基本不等式比较大小即可．设原价是x ，那么甲平台两次降价后的售价＝（1﹣a %）（1﹣b %）x ；乙平台两次降价后的售价＝（1-2a b+%）2x ；而（1﹣a %）（1﹣b %）x ()1000010010000a b ab-++=x ()40000400440000a b ab-++=x ；（1-2a b +%）2x ()240000400()40000a b a b -+++=x ， ∵（a +b ）2≥4ab ，(当且仅当a b =是等号成立)，又020a b <<<， ∴乙＞甲．即乙的售价高，甲降价幅度大，故选：A ．6. 已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是（）A. B.C. D.A法一：根据函数奇偶性，及函数特殊值的正负判定；法二：根据函数()f x 函数值的正负，结合()y xf x =的函数值正负判定. 解：法一：由图可得()f x 为偶函数，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，所以()()g x xf x =为奇函数，排除C ，D.又,()0x f x →+∞>，所以,()()0x g x xf x →+∞=>.排除B. 法二：由函数图像可得()f x 的函数值：正、负、正、负；则()y xf x =的函数值：负、正、负、正.故选：A. 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若θ ）A. 2tan θB.2tan θC. 2tan θ-D. 2tan θ-D根据同角三角函数的关系化简可求出.θ为第二象限角，sin 0θ∴>，==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=- 1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-.故选：D. 8. 已知函致()23,01,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是（） A. ()1,4 B. (]1,4C. [)1,4D. []1,4B先求出()()y f f x =的解析式，画出函数图象，根据()()y f f x =和y k =有3个不同的交点可得出.当0x <时，()0f x >，则()()()()2211322f f x f x x x x =-+=-+-=--，当0x <3≤时，()0f x <，则()()()()2223314f f x f x x x =-=--+=-+，当3x ≥时，()0f x >，()()()()2224233366f f x f x x x x =-=--=-+，()()224222,04,0366,3x x x f f x x x x x x ⎧--<⎪⎪∴=-+≤<⎨⎪-+≥⎪⎩，当3x ≥时，()24226633y x x x =-+=--，23t x =-单调递增，且0t ≥，此时23y t =-单调递增，∴()2233y x =--在)3,⎡+∞⎣单调递增，min 3y =-，画出函数图象，函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，等价于()()y f f x =和y k =有3个不同的交点，则观察图象可得，14k <≤.故选：B.本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为()()y f f x =和y k =有3个不同的交点，数形结合求出.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知幂函数()f x 的图象经过点(.则（） A. ()f x 的定义域为[)0,+∞ B. ()f x 的值域为[)0,+∞ C. ()f x 是偶函数 D. ()f x 的单调增区间为[)0,+∞ABD先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.因()f x 为幂函数，故()a f x x =，所以3a =，故12a =，故()f x =所以函数的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞，单调增区间为[)0,+∞，且()f x 不是偶函数，故选：ABD.10. 为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点（）A. 向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B. 向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度 D. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度 BC由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论．要得到函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将y ＝cos x 的图象上所有点向左平移4π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到．也可将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移8π个单位长度而得．故选：BC ．易错点：y ＝A cos(ωx +φ)(ω>0)的图像是由y ＝A cos(ωx )(ω>0）向左平移φω个单位长度而得的,而不是向左平移ϕ个单位长度.11. 已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则（） A. a a b c < B. log log b c a a >C. 3a a <D. sin sin b c <AC根据幂函数，对数函数，指数函数，正弦函数的性质判断． ∵01a b c <<<<由a y x =在(0,)+∞上是增函数知A 正确；由对数函数性质log a y x =是减函数，0log log a a b c >>为，∴11log log a a b c<，即log log b c a a <，B 错；由x y a =是减函数得3a a <，C 正确；由于,b c 不一定在sin y x =的单调增区间内，不能比较sin ,sin b c 的大小，因此sin sin b c <错误，D 错；故选：AC ．关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别进行判断，需要掌握幂函数、指数函数、对数函数、正弦定理的性质．解题时，对数式中两个对数的底不相同，可考虑同底的对数同，因此利用换底公式及不等式的性质进行判断，正弦函数在整个定义域上不单调，它是周期函数，增区间是一个一个的，因此由b c <不能轻易地得出sin sin b c <．12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()sin sin f x x x =+，函数()() g x f x =⎡⎤⎣⎦，则（）A. 函数()g x 的值域是{}0,1,2B. 函数()g x 是周期函数C. 函数()g x 的图象关于2x π=对称 D. 方程()2g x x π⋅=只有一个实数根AD先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断选项ABC 的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=；当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项A 正确；由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，()[()]g x f x ππ+=+=故选项B 不正确；由函数()g x 的图象得到函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项C 不正确；对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根；当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根；故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故选：AD关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数()()f x g x ，的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数()()1lg 2f x x x =-+-的定义域是___________．[)1,2试题分析：要使函数有意义，需满足10{1220x x x -≥∴≤<->，所以函数定义域为[)1,2 考点：函数定义域14. 关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________.2由题意转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，求导得()'cos 10f x x =+≥，从而()f x 在R 上递增，且()20f <，502f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得结果.由题意得，关于x方程sin 30x x +-=的唯一解转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，()'cos 10f x x =+≥，()f x ∴在R 上递增，由()2sin 223sin 210f =+-=-<，且5555511sin 3sin 302226222f π⎛⎫=+->+-=-= ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，又因为方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，所以2k =. 故答案：2关键点点睛：方程sin 30x x +-=的解转化为函数()sin 3f x x x =+-的零点问题，求导得()f x 的单调性，再结合函数的零点存在定理.15. 已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________. 6利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值．∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++．(318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立，故答案为：6．方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到．16. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：lg 20.3≈）(1). 573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2). 3883根据指数函数模型得出函数关系式，然后由62.5%y =计算x ．设1年后碳14含量为原来的a 倍，则573012a =，1570312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴573012x x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由5730162.52100x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即57301528x⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴57302221510log log log 2816x⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴211log 104445730lg 20.301x -=-=-=-，3883x ≈．故答案为：573012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；3883．四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在条件：①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A 为锐角，___________. （1）求角A 的大小；（2）求()2021sin cos 2A A ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）见解析；（2）见解析.（1）利用同角的三角函数的基本关系式可求A 的三角函数值，从而得到角A 的大小. （2）利用诱导公式可求三角函数式的值. 若选①，（1）由2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+可得sin cos A A =，因为A 为锐角，故4A π=.（2）()220211sin cos sin sin sin 22A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=- ⎪⎝⎭. 若选②，（1）由24sin 4cos 1A A =+，故24cos 4cos 30A A +-=，故1cos 2A =或3cos 2A =-（舍），因为A 为锐角，故3A π=.（2）()220213sin cos sin sin sin 24A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=- ⎪⎝⎭. 若选③，（1）由1sin cos tan 2A A A =可得21sin 2A =，因为A 为锐角，故sin 2A =，故4A π=.（2）()220211sin cos sin sin sin 22A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=-⎪⎝⎭. 方法点睛：（1）利用同角的三角函数基本关系式化简时，常见的方法有弦切互化法、“1的代换”等，注意根据三角函数式的特征选择合适的方法.（2）使用诱导公式化简三角函数式，注意函数名是否改变，三角函数式的符号是否改变.18. 已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x a =-<.（1）当3a =时，求A B ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. （1）{}14x x -<<；（2）[0,2]（1）化简集合,A B ，根据并集运算即可；（2）根据命题的关系转化为B A ，得到1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，化简即可.解：集合,A B 化简得{}13A x x =-<<，{}11B x a x a =-<<+ （1）当3a =时，{}24B x x =<<，所以{}{}{}132414A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<<=-<< （2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以110132a a a a -≥-≥⎧⎧⇒⎨⎨+≤≤⎩⎩，验证当0,2a =时满足B A ，所以实数a取值范围为[0,2].根据充分、必要条件求参数范围的方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解；（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.19. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象经过点12π⎛ ⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. （1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ,再由相邻两个零点之间的距离为2π，求得ω，然后由函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，求得函数的解析式.（2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，结合[]0,x π∈，利用正弦函数的性质求解.（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4，所以A =2,又相邻两个零点之间的距离为2π.所以T π=，所以 22πωπ==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，所以()2sin 212f x πϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭sin 6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以263k ππϕπ+=+或2263k ππϕπ+=+，解得26k πϕπ=+或22k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或2ππ3x ，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．20. 已知定义在R 上的函数()()22x xf x k k R -=+⋅∈.（1）若()f x 是奇函数，求函数()()2y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数k ，使()f x 在(),1-∞-上单调递减且在()2,+∞上单调递增？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由. （1）0x =；（2）存在，1164k ≤≤，理由见解析. （1）利用特殊值求得k ，得到()22x xf x -=-，再令()()20y f x f x =+=，可求得零点；（2）对k 讨论，当0k ≤时不符合题意，当0k >时，令2(0)xt t =>，则()1g t t k t=+⋅，利用()g t的图象找到单调性的分界线，让其在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围可得答案.（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()000220f k =+⋅=，即1k =-，所以()22x x f x -=-，()()22x xf x f x --=-=-，即满足函数为奇函数，令()()22202222x x x xy f x f x --+--=+==，整理得222112222221x xx x x x ++=+= ，所以()2121220x xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为120x +>，所以22210xx-=，即0x =，函数()()2y f x f x =+的零点为0x =. （2）存在，理由如下：当0k <时，由于122xxy k k -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=是增函数，所以()22x x f x k -=+⋅是增函数，不符合题意；当0k =时，()2xf x =是增函数，不符合题意；当0k >时，令2(0)x t t =>，则()1g t t k t=+⋅，因为()f x 在(),1-∞-上单调递减且在()2,+∞上单调递增，所以()g t 在()4t ,∈+∞上单调递增，在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g t 的图象形如对勾，而()1g t t k t =+⋅≥=当且仅当1t k t =⋅等号成立，即t =是单调性分界线，所以142≤，解得1164k ≤≤，所以存在实数k ，且1164k ≤≤. 方法点睛：本题考查了奇偶性的应用，利用函数的单调区间研究参数的取值范围，第二问的关键点是对勾函数的单调性是以取得最值时的x 为分界线的，考查了分析问题、解决问题的能力.21. 经多次实验得到某种型号的汽车每小时．．．耗油量Q （单位：L ）、百公里．．．耗油量W （单位：L ）与速度v （单位：km/h ）（40120v ≤≤）的数据关系如下表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择：()0.5Q v a ν=+，()Q v av b =+，()32Q v av bv cv =++.（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[)60,90，[)90,110，[]110,120（单位：km/h ）.问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？（1）填表见解析，选第三种函数模型，()320.0000250.004+0.25Q v v v v =-；（2）在外侧车道以80km/h 行驶时W 最小.（1）根据分析可得出第三种模型最符合实际，代入三组值即可求出解析式；（2）可得21000.00250.425W Q v v v=⨯=-+，根据二次函数性质可求出最值. （1）填表如下：由题可得符合的函数模型需满足在40120v ≤≤时v 都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入()()40,5.2,60,6得 5.240660a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得0.04, 3.6a b ==，则()0.04 3.6Q v v =+，此时()907.2Q =，()1007.6Q =，()1208.4Q =，与实际数据相差较大，故第二种不符合；经观察，第三种函数模型最符合实际，代入()()()40,5.2,60,6,100,10，则323232404040 5.2606060610010010010a b c a b c a b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⨯+⨯+⨯=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎩，解得0.000025,0.004,0.25a b c ==-=， ()320.0000250.004+0.25Q v v v v ∴=-；（2）()221000.00250.4250.002580+9W Q v v v v=⨯=-+=-，当80v =时，W 取得最小值为9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h 行驶时W 最小.本题考查函数模型的应用，解题的关键是正确分析题意，考查学生计算能力.22. 已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若满足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ⋯∈，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋯∈），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）判断()1g x x =-[]()0,4x ∈是否为()2f x x =+[]()0,1x ∈的“n 重覆盖函数”、如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；（2）若()()22231,1log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+≤=⎨>⎩为()1221log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”.求实数a 的取值范围；（3）若()[]()sin 0,23g x x x πωπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭为()21x f x x =+的“21k +重覆盖函数”（其中k ∈N ），请直接写出正．．．．．实数ω的取值范围（用k 表示）（无需解答过程）. （1）是，1n =；（2）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）17,412k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ （1）根据[]0122,3i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，得出对于任意[]00,1x ∈，都能找到一个1x ，使得1012x x -=+，即得证；（2）将题转化为对任意0k >，()g x k =有2个实根，根据()g x 的性质即可求解；（3）将题转化为对于任意11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],0,2g x m x π=∈要有21k +个根，根据三角函数的性质列出不等式求解即可.（1）由定义可得，对任意[]00,1x ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ⋯∈，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋯∈），即[]0122,3i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，所以对于任意[]00,1x ∈，都能找到一个1x ，使得1012x x -=+，()g x ∴是()f x 的“n 重覆盖函数”，1n =；（2）可得()f x 的定义域为()0,∞+，即对任意()00x ∈+∞,，存在2个不同的实数12,x x R ∈，使得()()0i g x f x =（其中1,2i =），即()()000112221log log 10,21212x i x x g x -⎛⎫==-∈+∞ ⎪++⎝⎭，即对任意0k >，()g x k =有2个实根，当1x >时，()2log g x x k ==已有一个根，故只需1x ≤时，()g x k =仅有1个根，当0a =时，()31g x x =-+，符合题意，当0a >时，则需满足()12310g a a =+-+≤，解得203a <≤，当0a <时，抛物线开口向下，存在最大值，不符合题意，综上，203a ≤≤；（3）()00200111,1122x f x x x x ⎡⎤==∈-⎢⎥+⎣⎦+，∴对于任意11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],0,2g x m x π=∈要有21k +个根，()10sin 32g π⎛⎫=-=<- ⎪⎝⎭，()72262222212k k k k πππππωωππωππω⎧++⎪≤<⎪⎪⎪⋅<⎨⎪⎪⋅+>⎪⎪⎩，解得17412k k ω+≤<+. 故正．实数ω的取值范围为17,412k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭．本题考查函数新定义，解题的关键是正确理解“n 重覆盖函数”的概念，将题目转化为方程根的问题.。

江苏省苏州市吴江高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

可以是（） A． 13 2
B． 1 2
C．
1 2
D． 13 2
三、填空题
13．用列举法表示xx6 a,a
N, x
N
．
14．已知集合 A x | x 3 x 3 ，集合 B {x∣x a} ，若命题“ x A ”是命题“ x B ”
的充要条件，则实数 a 的值是
．
试卷第 2页，共 4页
(1)若全集U R ，求 A B 、 ðU A B ；
(2)若全集U Z ，求 A ðU B ；
18．已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 的解集为{x x＜1 或 x b}
（1）求实数 a､b 的值；
（2）解关于
x
的不等式
xc ax b
0
(c
为常数)
19．（1）己知 p : t 2 4 0, q : m 1 t m2 1 ．若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实
D．若关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 abc 0 的解集与关于 x 的二次不等式
a1 x 2
b1x c1
0 a1b1c1
0 的解集相同都是 R
，则
a a1
b b1
c c1
12．若关于 x 的不等式 x2 m 3 x 3m 0 的解集中恰有 3 个整数，则实数 m 的取值
(1)求二次函数 y x2 x 3的不动点；
(2)若二次函数 y 2x2 3 a x a 1有两个不相等的不动点 x1, x2 ，且 x1 0, x2 0 ，求
a 的取值范围以及 x1 x2 的最小值； x2 x1
(3)若对任意实数 b ，二次函数 y ax2 b 1 x b 1 a 0 恒有不动点，求 a 的取值

江苏省扬州市吴江高级中学2020-2021学年高一数学理模拟试题含解析

江苏省扬州市吴江高级中学2020-2021学年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}参考答案：A2. 已知数列，，，，，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1参考答案：B略4. 已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A． B． C．D．参考答案：A略5. （5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足1﹣2x≥0，解不等式后，表示为区间形式，可得答案．解答：要使函数的解析式有意义自变量x须满足1﹣2x≥0即x≤故函数的定义域为故选C点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造不等式是解答的关键．6. 在中，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D7. 已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤－4B.－4≤k≤C. ≤k≤4D.－≤k≤4参考答案：A略8. 已知直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. 2 D.参考答案：A略9. 如果,,那么( )A．B．C．D．参考答案：D由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，，故选D.10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3参考答案：D【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3?x=3．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以下命题中，正确命题的序号是．①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称；③已知=（3，4），?=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0，]．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正切函数的单调性，可判断①；根据正弦型函数的对称性，可判断②；根据向量的投影的定义，可判断③；根据函数的单调性，可判断④．【解答】解：函数y=tanx在定义域内不是单调函数，故①错误；当x=时，2x+=，故函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称，故②正确；∵=（3，4），?=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是=﹣，故③正确；如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则f′（x）=2ax﹣2≤0在区间（﹣∞，4）上恒成立，解得：a∈[0，]．故④错误；故答案为：②③12. （5分）无论实数a，b（ab≠0）取何值，直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点．参考答案：（﹣2，3）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：把已知直线变形为，然后求解两直线x+2=0和y﹣3=0的交点得答案．解答：由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，联立，解得．∴直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．点评：本题考查了直线系方程，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．13. 已知实数x，y满足y=x2﹣2x+2（﹣1≤x≤1），则的取值范围是．参考答案：【考点】二次函数的性质．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，根据函数的图象求出代数式的最大值和最小值即可．【解答】解：画出函数的图象，如图示：，由图象得：x=﹣1，y=5时，最大，最大值是8，x=1，y=1时，的值最小，最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题．14. 当时，函数的最小值为____________________参考答案：5【分析】利用基本不等式即可求得答案．【详解】y=x+=x+-1+1≥2+1=5，当且仅当x=3时取等号，故函数y=x+的最小值为5．故答案为：5.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知，若函数的最小正周期是2,则．参考答案：－1略16. 已知，则f （cos100°）= ．参考答案：3【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、函数的奇偶性，求得a?sin 310°+b?cos 310°的值，可得f （cos100°）的值．【解答】解：∵已知，a?sin 310°+b?cos 310°=1，则f （cos100°）=f（﹣sin10°）=a?（﹣sin310°）+b?（﹣cos310°）+4=﹣1+4=3，故答案为：3．17. 若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为．参考答案：[0，]∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），由﹣1≤k≤，即﹣1≤tanα≤，当0＜tanα≤，时，α∈[0，]；当﹣1≤tanα＜0时，α∈[，π），∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为∈[0，]∪[，π）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021苏州南京师范大学苏州实验学校高一数学上期中一模试题带答案

1 x
f x f 13x 0 f x f 13x
x 3x 1
f x f 3x 1 1 x 1 ，
1 3x 1 1
解可得：
1 2
x
2 3
，即不等式的解集为
1 2,2 3 Nhomakorabea；
故选:D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档
题．
4．A
,
1 3
代入函数
y
ax
，即
1 3
1
a3
，解得
a
1 27
，
3
把
N
2 3
,
2 3
代入函数
y
logb
x ，即 2 3
logb
2 3
，即得
b
2 2 3
26 9
，所以 a b 1.
故选 A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和
对数函数的解析式求得 a, b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
a
3,
1 3
因此选 B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
10．B
解析：B
【解析】
试题分析：因为函数 f(x)=2 x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据 f(-1)= 1 3 5 0 ,f
3．D
解析：D 【解析】【分析】
根据题意可得函数 f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为 f x f 3x 1 ，
求解可得 x 的取值范围，即可得出结论．【详解】