18.2.3正方形(课件)- 八年级数学下册同步备课系列(人教版)

∴AC⊥BD，AO=1 AC=4
BO=1
2
BD=3，
2
∴AB=
AO2 BO2 =5，
∵∴S12△AABBD·= D12HS=菱1形2A，BCD=∴D12H=12
AC
24 5
BD
12
12.（1）如下图（1），四边形OBCD是矩形，O，B，D 三点的坐标分别是（0,0），（b，0），（0，d），求点 C的坐标.
∴四边形DFGE是矩形.
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D， ∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点.∠ECD是多少度？ 为什么？
解：∵E是斜边AB上的中点，即CE是斜边上的中线， ∴CE= 1AB=AE，
∴∠2A=∠ACE， ∵CD⊥AD， ∴∠B+∠BCD=90°， ∠A+∠ACD=90°，
证明：因为AE∥BF. ∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD， ∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，∠BAC=∠BCA， ∴AB=AD=BC，∴四边形ABCD是菱形.
7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后 剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折痕 应成多少度的角？
解：剪口应与折痕成45°角.
∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD. ∵∠ACD=3∠BCD， ∴∠ACD=3∠A， 又∠ADC=90°， ∴∠A=22.5° ∴∠ECD=∠ACD-∠ECA =67.5°-22.5°=45°
10.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在 AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB； 点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E. 求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间 有什么关系？与同学们讨论一下.
平
行 四 边
菱 形
形
正方形
平
行 四 边
矩 形
形
正方形
练习
1.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点 E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别 是多少？
解：∵ABCD是正方形， ∴∠B=90°.在Rt△BEC中， BC EC2 BE2 900 100 20 2 （m）
（2）AB，AC的长.
解：设AC与BD交于点O，
由（1）∠BAD=60°，AB=AD.
知△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6. 在Rt△ABO中，AB=6，BO1= BD=3，
2
∴AO= 62 32 3 3
∴AC=2AO=6 3 ≈10.39.
O
6.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C， BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD. 求证：四 边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=DA=BC=CD，∵BM=DN， ∴AM=AN，∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形，又AM=AN， 所以AMEN是菱形.同理可证EFCG是菱形.
11.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8， DB=6，DH⊥AB与点H，求DH的长.
解：∵四边形ABCD是菱形.
∴AB∥CD，∠A=90°，
AD∥BC.
A
D
∴四边形ABCD是矩形.
B
C
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A，
∠B的度数.
A
解：取AB得中点D，连接CD，
D
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD= 1 AB=AD，
C
B
2
∵AB=2AC，∴AC=
1AB，
2
∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形，
∴∠A=60°，又∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=30°.
5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （1）∠BAD，∠ABC
解：（1）∵四边形ABCD是菱形. ∴AC平分∠BCD. ∴∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°， ∴∠BAD=∠BCD=60°， 又∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
那么，如何判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据 是定义，途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
练习
1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下， 就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知： ∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸 板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下.然后把纸
板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就 做成了. 纸盒的底面是什么形状？为什么？
BA
解：纸盒的底面是矩形.
如图：∵ABCD是正方形. C D
E
∴∠ADC=90°，
∠EDF=90°，
F
G
同理∠E=∠F=90°，
∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，
A
B
∴∠HAE=∠DAB=90°
E
则△AEH为等腰直角三角形.
随堂演练
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质 是（ C ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每一条对角线平分一组对角
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
习题18.1
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.它是一个矩
形吗？为什么？
解：它是一个矩形.
理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD. ∴ABCD是矩形.
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
新课导入 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形 吗？
正方形
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方 形？
学习目标
1.能说出正方形的意义及性质. 2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系（共 性与个性）. 3.知道正方形的判定方法.
学习重、难点
∴AH=AE.则△AEH为等腰三角形. A
B
E
错因分析：本题出错原因在于分析问题时，只注重AH 与AE之间的数量关系，而忽略了AH与AE之间的位置关系.
正解：△AEH为等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是正方形.
所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，
H
D
C
AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱 形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互 相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 是轴对称图形，有4条对称轴.
正方形的性质
正方形的四个角都是直角； 正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
解：四边形EFMN是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 又AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE， ∴△AEN ≌ △BFE ≌ △CMF≌△DNM， ∴EN=NM=MF=FE， ∴四边形EFMN为菱形. ∵∠BFE+∠BEF=90°， ∴∠BEF+∠AEN=90°。 ∴∠NEF=90°， ∴四边形EFMN为正方形.
A.AD∥BC，∠B=∠D
B.AD=BC，AB ∥＝ CD
C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
错解：A或B或D
正解：C
错因分析：对正方形的判定不熟练，A、B、D只
能判断四边形ABCD是平行四边形或矩形或菱形.
知识点 1 平行四边形，矩形，菱形，正方形
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
解：（1）∵四边形OBCD是矩形， ∴OD=BC，OB=DC，且CD⊥OD， CD垂直OB.∵D（0，d），B（b，0）， ∴C（b，d）
（2）如下图（2），四边形ABCD是菱形，C，D两点的 坐标分别是（c，0）（0，d），点A，B在坐标轴上，求 A，B两点的坐标.
解：（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵C（c，0），∴A（-c，0）， ∵D（0，d），∴B（0，-d），
重点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联 系与区别. 难点：正方形的性质的运用.
推进新课
知识点 1 正方形
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边 都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是 矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的 性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱 形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互 相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ √ ） （2）对角线互相垂直的矩形.（ √ ） （3）对角线相等的菱形.（ √ ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
（ √）
3.如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O， 点M，N分别在AC，BD上，且OM=ON，求 证：BM=CN.
证明：由正方形的性质可得： OB=OC，∠BOM=∠CON=90°， 又∵OM=ON, ∴△BOM≌△CON, ∴BM=CN.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD 相交于O。 求证：△ABO，△BCO， △CDO，△DAO是全等的等腰 直角三角形。
证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD， OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO， △DAO都是等腰直角三角形， 并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
DC上一点，E是CB延长线上一点，且
DH=BE，请你判断△AEH的形状，并说明理
由.
H
D
C
A
B
E
错解：△AEH为等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是正方形.
所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，
H
D
C
AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，
∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），
课堂小结
正方形的性质
正方形的四个角都是直角；
正方形
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
拓展延伸
如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的 任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG 于点F，求证：AF-BF=EF.
证明：∵∠BAF+∠DAE=90°， 又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG， ∴∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠DAE. 又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°, ∴△ABF≌△DAE， ∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.
（2）如果是一个长方形木板，如何从中 裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边 上截取一段等于较短的一条边 长，即可得到最大的正方形木 板。
误 区诊 断
误区一 对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形 的判定不熟练，容易混淆
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，能
判定这个四边形是正方形的是（ ）
（3）如下图（3），四边形OBCD是正方形，O，D两点 的坐标分别为（0，0），（0，d）. 求B，C两点的坐标.
解：（3）∵四边形OBCD为正方形, ∴OD=DC=BC， 且CB⊥OB，CD⊥DO， 又∵D（0，d），∴B（d，0）， ∴C（d，d）.
13.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四 条边上的点， 且AE=BF=CM=DN.试判断四边 形EFMN是什么图形？并证明你的结论.
证明：由四边形的内角和定理得，
∠A+∠B+∠C+∠D=360°， A
D
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
B
C
3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一 个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方 向锯了两次。就能得到矩形踏板.为什么？
解：如图∵AB⊥AD，CD⊥AD.
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=BC=20 2 （m）， AC= AB2 BC2 = 800 800 =40（m） S正方形ABCD=BC2 = （20 2）2=800（m2） 所以正方形的对角线长40m， 面积为800m2.
误区二 考虑问题不全面，出现漏解情况
2.如图所示，在正方形ABCD中，H是