2016年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷(解析版)

2016年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．的绝对值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．2．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图，（两图都不完整），则下列结论中正确的是（）A．步行人数为30人B．骑车人数占总人数的10%C．该班总人数为50人D．乘车人数是骑车人数的40%3．下列四个图形能围成棱柱的有几个（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．据研究，一种H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10﹣9米）．下列用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10﹣9米B．3.0×10﹣8米C．3.0×10﹣10米D．0.3×10﹣7米5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的有（）个．①y=2x；②y=2﹣x；③y=﹣；④y=x2+6x+8．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（）①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．A．只有①②B．只有①③C．只有①②③ D．①②③④8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：=______．10．在一个不透明的口袋中装有5个白球和n个黄球，它们出颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到白球的概率为，则n的值是______．11．已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为______．12．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为______．13．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=3cm，AB=3cm，则图中阴影部分的面积为______．14．将n+1个腰长为1的等腰直角三角形，按如图所示放在同一直线上．设阴影部分△B2D1C1D n C n的面积为S n，则S2=______；S n=______．（用的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，B n+1含n的式子表示）三、解答题（本大题共10小题，满分78分）15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，线段a．求做：Rt△ABC，使∠A=90°，AB=AC=a．结论：______．16．（1）化简：（2）解不等式组：．17．某餐厅为了吸引顾客，举行吃套餐优惠活动，套餐每套20元，每消费一套即可直接获得10元餐劵，或者参与游戏赢得餐劵．游戏规则如下：设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），顾客每消费一套套餐，就可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得20元、15元、10元、5元餐劵，下次就餐时可以代替现金消费．（1）求顾客任意转动一次转盘的平均收益是多少；（2）如果你是餐厅经理，你希望顾客参与游戏还是直接获得10元餐劵？请说明理由．18．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的10次选拔赛中，这两个人的跳远成绩（单位：cm）如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：（1）通过计算，补充完成下面的统计分析表．运动员平均数众数中位数方差甲601.8 600 600 50.56乙599.3 ______ ______ 284.21（2）请依据对上述统计信息的数据分析，说明这两名运动员的成绩各有什么特点？19．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC．（不考虑其它因素）（参数数据：sin8°=，tan8°=，sin10°=，tan10°=）20．某水果店计划购进苹果和丑桔共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）苹果 5 8丑桔9 13（1）若该水果店购进这两种水果的进货款为1000元，求水果店购进这两种水果各多少千克．（2）若该水果店决定丑桔的进货量不超过苹果进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E．（1）求证：E是AD的中点；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．22．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB=20米，最高处点C距地面5米（即OC=5米）（1）分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；（2）夜晚，公园沿着抛物线ACB用彩灯勾勒拱桥的形状；现公园管理处打算在观景拱桥ABC的横截面前放置一个长为10米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌高拱桥的桥面至少0.35米，求矩形广告牌的最大高度，并说明理由．23．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽______．∴=，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=______．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）类比思考平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的______（填写图形各称），再转化为等积的正方形．如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n﹣1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，对角线AC=10cm，点P 从点C出发沿着边CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位：同时，点Q从点B开始沿着边AB向点A匀速运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回，点Q的速度为每秒1个单位，过P点与AB平行的直线交线段AD于点E，交AC于点F，连接PQ，设运动时间为t（s）．（1）当0＜t＜10时，设四边形AQPE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（2）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE的面积为平行四边形ABCD面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使PQ⊥PE？若存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（4）当0＜t＜12时，是否存在某一时刻t，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B？存在，请直接给出相应的t值；若不存在，请说明理由．2016年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．的绝对值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．【考点】绝对值．【分析】根据计算绝对值的方法可以得到的绝对值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴的绝对值是，故选D．2．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图，（两图都不完整），则下列结论中正确的是（）A．步行人数为30人B．骑车人数占总人数的10%C．该班总人数为50人D．乘车人数是骑车人数的40%【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图．【分析】根据乘车的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以步行所占的百分比求出步行的人数，用骑车的人数除以总人数求出骑车人数占总人数的百分比，用乘车的人数除以骑车人数，求出乘车人数是骑车人数的倍数．【解答】解：A、步行的人数有：×30%=15人，故本选项错误；B、骑车人数占总人数10÷=20%，故本选项错误；C、该班总人数为=50人，故本选项正确；D、乘车人数是骑车人数的=2.5倍，故本选项错误；故选：C．3．下列四个图形能围成棱柱的有几个（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】展开图折叠成几何体．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：第一个图形缺少一个面，不能围成棱柱；第三个图形折叠后底面重合，不能折成棱柱；第二个图形，第四个图形都能围成四棱柱；故选：C．4．据研究，一种H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10﹣9米）．下列用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10﹣9米B．3.0×10﹣8米C．3.0×10﹣10米D．0.3×10﹣7米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：由题意可得：30×10﹣9=3.0×10﹣8．故选：B．5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A=30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∵OB=OC，，∴∠C=∠OBC，OB=OA，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选B．6．当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的有（）个．①y=2x；②y=2﹣x；③y=﹣；④y=x2+6x+8．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．【解答】解：①为一次函数，且a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大；②为一次函数，且a＜0时，函数值y总是随自变量x增大而减小；③为反比例函数，当x＞0或者x＜0时，函数值y随自变量x增大而增大，当﹣2＜x＜2时，就不能确定增减性了；④为二次函数，对称轴为x=﹣3，开口向上，故当﹣2＜x＜2时，函数值y随自变量x增大而增大，符合题意的是①④，故选B．7．如图，在△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（）①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．A．只有①②B．只有①③C．只有①②③ D．①②③④【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根据SAS证△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根据平行线的判定推出即可，再根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°，求出∠PMA=90°，即可得出答案．【解答】证明：如图，∵△ABC和△APQ是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正确，∴AB∥CQ，故①正确，∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，∴△APM∽△ACP，∴，∴AP2=AC•AM，故③正确，∵BP=PC，∴∠BAP=30°，∴∠PAC=30°，∵∠APC=60°，∴∠AMP=90°，∴PQ⊥AC，故④正确．故选D．8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．【分析】首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0，∴﹣b＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．故选D．二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：=﹣．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后把分子合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：原式===﹣．故答案为﹣．10．在一个不透明的口袋中装有5个白球和n个黄球，它们出颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到白球的概率为，则n的值是10．【考点】概率公式．【分析】根据摸到白球的概率为，列出方程求解即可．【解答】解：∵在一个不透明的布袋中装有5个白球和n个黄球，∴共有（5+n）个球，根据古典型概率公式知：P（白球）=，解得n=10．故答案为：10．11．已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原来的平均速度为x千米/时，列车大提速后平均速度为x+70千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了3小时，列方程即可．【解答】解：设原来的平均速度为x千米/时，可得：，故答案为：12．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（﹣2a，﹣2b）．【考点】位似变换．【分析】先找一对应点是如何变化，那么所求点也符合这个变化规律．【解答】解：小鱼最大鱼翅的顶端坐标为（5，3），大鱼对应点坐标为（﹣10，﹣6）；小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（﹣2a，﹣2b）．13．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连接OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA=OB=3cm ，AB=3cm ，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】由AB 为圆的切线，得到OC ⊥AB ，再由OA=OB ，利用三线合一得到C 为AB 中点，且OC 为角平分线，在直角三角形AOC 中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，进而确定出AB 的长，求出∠AOB 度数，阴影部分面积=三角形AOB 面积﹣扇形AOB 面积，求出即可． 【解答】解：连接OC ， ∵AB 与圆O 相切， ∴OC ⊥AB ， ∵OA=OB ， ∴AC=BC=AB=， ∴sin ∠AOC==，∴∠AOC=60°， ∴∠AOB=120° ∴OC=OA=，∴S 阴影=S △AOB ﹣S 扇形=×3×﹣，故图中阴影部分的面积为，故答案为：．14．将n +1个腰长为1的等腰直角三角形，按如图所示放在同一直线上．设阴影部分△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，B n +1D n C n 的面积为S n ，则S 2=；S n =．（用含n 的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1，依题意可知△B1C1B2是等腰直角三角形，知道△B1B2D1与△C1AD1相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S1，同理：B2B3：AC2=1：2，所以B2D2：D2C2=1：2，进而S2的值可求出，同样的道理，即可求出S3，S4…S n的值．【解答】解：∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，=×1×1=，∴S△AB1C1连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1∵∠B1C1B2=90°∴A1B1∥B2C1∴△B1C1B2是等腰直角三角形，且边长=1，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1：D1C1=1：1，∴S1=×=，同理：B2B3：AC2=1：2，∴B2D2：D2C2=1：2，∴S2=×=，同理：B3B4：AC3=1：3，∴B3D3：D3C3=1：3，∴S3=×=，∴S4=×=，…∴S n=故答案为：；．三、解答题（本大题共10小题，满分78分）15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，线段a．求做：Rt△ABC，使∠A=90°，AB=AC=a．结论：△ABC为等腰直角三角形．【考点】作图—复杂作图．【分析】先在一直线上截取AB=a，再过A作AB的垂线，接着在此垂线上截取AC=a，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作，△ABC为等腰直角三角形．故答案为△ABC为等腰直角三角形．16．（1）化简：（2）解不等式组：．【考点】分式的加减法；解一元一次不等式组．【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）原式=+===；（2），由①得：x＞，由②得：x≤3，则不等式组的解集为＜x≤3．17．某餐厅为了吸引顾客，举行吃套餐优惠活动，套餐每套20元，每消费一套即可直接获得10元餐劵，或者参与游戏赢得餐劵．游戏规则如下：设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），顾客每消费一套套餐，就可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得20元、15元、10元、5元餐劵，下次就餐时可以代替现金消费．（1）求顾客任意转动一次转盘的平均收益是多少；（2）如果你是餐厅经理，你希望顾客参与游戏还是直接获得10元餐劵？请说明理由．【考点】概率公式．【分析】（1）根据转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得20元、15元、10元、5元餐劵得：顾客任意转动一次转盘的平均收益是×（20+15×2+10×3+5×6），再计算即可；（2）根据（1）的结果与10比较即可．【解答】解：（1）顾客任意转动一次转盘的平均收益是×（20+15×2+10×3+5×6）=（元），答：顾客任意转动一次转盘的平均收益是元；（2）∵＜10，∴如果是餐厅经理，希望顾客参与游戏，这样能减少支出．18．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的10次选拔赛中，这两个人的跳远成绩（单位：cm）如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：（1）通过计算，补充完成下面的统计分析表．运动员平均数众数中位数方差甲601.8 600 600 50.56乙599.3 618596.5284.21（2）请依据对上述统计信息的数据分析，说明这两名运动员的成绩各有什么特点？【考点】折线统计图；中位数；众数；方差．【分析】（1）根据中位数、众数的概念求值即可；（2）答案不惟一，如：甲的成绩比较稳定，波动小；乙成绩不稳定，波动较大．【解答】解：（1）根据折线统计图知乙10次成绩从小到大依次排列为：574，580，585，590，595，598，613，618，618，624，则其众数为：618，中位数为：=596.5；（2）甲的平均水平和跳远在600及以上要优于乙且甲的方差小说明甲成绩比医德成绩稳定，乙跳远的最好成绩大于甲的最好成绩．故答案为：（1）618，596.5．19．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC．（不考虑其它因素）（参数数据：sin8°=，tan8°=，sin10°=，tan10°=）【考点】解直角三角形的应用．【分析】通过构造直角三角形来解答，过A作AD⊥MN于D，就有了∠ABN、∠ACN的度数，又已知AE的长，可在直角三角形ABE、ACE中分别求出BE、CE的长，BC就能求出．【解答】解：如图，过A作AD⊥MN于点D，在Rt△ACD中，tan∠ACD==，CD=5.6（m），在Rt△ABD中，tan∠ABD==，BD=7（m），则BC=7﹣5.6=1.4（m）．答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m．20．某水果店计划购进苹果和丑桔共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）苹果 5 8丑桔9 13（1）若该水果店购进这两种水果的进货款为1000元，求水果店购进这两种水果各多少千克．（2）若该水果店决定丑桔的进货量不超过苹果进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）设购进苹果x千克，则购进丑桔千克，根据进货钱数=单价×数量，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）设购进苹果x千克时售完这批水果将获利y元，由丑桔的进货量不超过苹果进货量的3倍可列出关于x的一元一次不等式，解不等式可找出x的取值范围，再根据总利润=每千克利润×千克数可找出y关于x的函数关系式，根据函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进苹果x千克，则购进丑桔千克，依题意得：5x+9=1000，解得：x=65，则140﹣65=75（千克），答：水果店购进苹果65千克，丑桔75千克．（2）设购进苹果x千克时售完这批水果将获利y元，由题意得：140﹣x≤3x，解得：x≥35．获得利润y=（8﹣5）x+（13﹣9）=﹣x+560．故当x=35时，y有最大值，最大值为525元．140﹣35=105（千克）．答：购进苹果35千克，丑桔105千克时水果店在销售完这批水果时获利最多．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E．（1）求证：E是AD的中点；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）先连接DF，判定四边形ABDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出DE=AE即可；（2）先判定四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形的性质，得出AD=CD，最后判断四边形ADCF是菱形．【解答】（1）连接DF，∵AD是BC边上的中线，∴DB=BC，∵AF=BC，∴DB=AF，又∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DE=AE即E是AD的中点；（2）四边形ADCF是菱形．∵AD是BC边上的中线，∴DC=BC，∵AF=BC，∴DC=AF，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB⊥AC，AD是BC边上的中线，∴AD=BC=CD，∴四边形ADCF是菱形．22．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB=20米，最高处点C距地面5米（即OC=5米）（1）分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；（2）夜晚，公园沿着抛物线ACB用彩灯勾勒拱桥的形状；现公园管理处打算在观景拱桥ABC的横截面前放置一个长为10米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌高拱桥的桥面至少0.35米，求矩形广告牌的最大高度，并说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c，将点C（0，5），点B（10，0）代入求得a、c的值即可求解；（2）令x=5求得y的值，将y的值减去0.35可得广告牌最大高度．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y=ax2+c，将点C（0，5），点B（10，0）代入，得：，解得：．故抛物线解析式为：y=﹣x2+5；（2）当x=5时，y=﹣×25+5=3.75（m），3.75﹣0.35=3.4（m）．答：矩形广告牌的最大高度为3.4m．23．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．∴=，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=AD•DC．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）类比思考平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的▱ABDE（填写图形各称），再转化为等积的正方形．如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n﹣1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）通过直角△ADH和直角△HDE中，∠AHD=∠HED证明△ADH∽△HDE，得DH2=AD×DE，再根据等量代换得出正方形DFGH与矩形ABCD等积；（3）作法：①作BC的中垂线，取BD中点，作▱ABDE；②过B作BF⊥AE，垂足为F，作矩形BDHF；③在直线AE在取BF=FM，以HM为直径，以点F为圆心作半圆，与直线BF交于点G；④则线段FG就是所求的正方形的一边；=S （4）作法：①连接BD，②过A作l∥BD，③延长CD交l于E，④连接BE，则S△BEC ．四边形ABCD【解答】解：（1）答案为：△HDE，AD•DC；（3）如图2，答案为：▱ABDE；（4）如图3，则△BEC的面积=四边形ABCD的面积；24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，对角线AC=10cm，点P 从点C出发沿着边CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位：同时，点Q从点B开始沿着边AB向点A匀速运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回，点Q的速度为每秒1个单位，过P点与AB平行的直线交线段AD于点E，交AC于点F，连接PQ，设运动时间为t（s）．（1）当0＜t＜10时，设四边形AQPE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（2）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE的面积为平行四边形ABCD面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使PQ⊥PE？若存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（4）当0＜t＜12时，是否存在某一时刻t，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B？存在，请直接给出相应的t值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用相似三角形的判断和性质，表示出BQ=t，QH=t，PF=t，相似三角形=t2，从而y用三角形的面积的差表示出，即可；的面积比等于相似比的平方，S△CPF（2）假设存在，建立方程，求出方程的解，全不符合题意，得到不存在；（3）假设存在，建立方程，求出方程的解符合题意，即存在时间t，使PQ⊥PE；（4）假设存在，由线段PQ的垂直平分线恰好经过点B，得到BQ=BP，建立方程，求出t，即可．【解答】解：如图1，作AG⊥BC于G，作QH⊥BC于H，∴QH∥AG，∴=，∵AG⊥BC，AB=AC=10，BC=12，∴BG=BC=×12=6，AG=8，∵BQ=t ，∴=，∴QH=t ，∵PE ∥AB ，∴=， ∴=，∴PF=t ，∵BC=12，AG=8，∴S △ABC =×BC ×AG=48，（1）∵PE ∥AB ，∴=（）2==，∴S △CPF =×S △ABC =×48=t 2， ∵BP=BC ﹣PC=12﹣t ，QH=t ，∴S △BPQ=BP ×QH=×（12﹣t ）×t ，∴y=S 四边形AQPE =S △ABC ﹣S △BPQ ﹣S △CPF =48﹣×（12﹣t ）×t ﹣t 2=﹣t 2﹣t +48，（0＜t ＜10）（2）解：假设存在某一时刻t ，使四边形AQPE 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半， 由（1）由S 四边形AQPE =﹣t 2﹣t +48，∴=﹣t 2﹣t +48=48， ∴t=0（舍）或t=﹣60（舍），∴假设不成立，∴不存在这样某一时刻t ，使四边形AQPE 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半； （3）解：假设存在某一时刻t ，使PQ ⊥PE ，∵PE ∥AB ，∴∠BQP=90°，∴∠BQP=∠AGB ，∠B=∠B ，∴△BQP ∽△BGA ，。