2019北京中考数学试卷评析
2019年北京市中考数学试卷解析版
2019年北京市中考数学试卷解析版一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．3．（2分）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，̂，交射线OB于点D，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ连接CD；̂于点M，N；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON=13∠MON＝20°，故B选项正确；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM=180°−α2，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN=12∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（2m+nm−mn +1m）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：原式=2m+n+m−nm(m−n)•（m+n）（m﹣n）=3mm(m−n)•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，1a ＜1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则1a ＜1b；真命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，或b＜a＜0，∴1a ＜1b；②若ab＞0，1a ＜1b，则a＞b，真命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵1a ＜1b，∴a＞b；③若a＞b，1a ＜1b，则ab＞0，真命题；理由：∵a＞b，1a ＜1b，∴a、b同号，∴ab＞0∴组成真命题的个数为3个；故选：D．8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t人数学生类型0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间 所有合理推断的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20﹣30 之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t ＜10 的人数在 0﹣15 之间，当人数为 0 时中位数在 20﹣30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20﹣30 之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t ＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10﹣20 之间；当 0≤t ＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10﹣20 之间，故④错误． 故选：C ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）分式x−1x的值为0，则x 的值是 1 ．【解答】解：∵分式x−1x的值为0，∴x ﹣1＝0且x ≠0， ∴x ＝1． 故答案为1．10．（2分）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为 1.9 cm 2．（结果保留一位小数）【解答】解：过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，如图所示． 经过测量，AB ＝2.2cm ，CD ＝1.7cm ，∴S △ABC =12AB •CD =12×2.2×1.7≈1.9（cm 2）． 故答案为：1.9．11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠P AB+∠PBA＝45°，故答案为：45．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=k1x上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2x，则k1+k2的值为0．【解答】解：∵点A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在双曲线y =k1x 上，∴k 1＝ab ；又∵点A 与点B 关于x 轴的对称， ∴B （a ，﹣b ）∵点B 在双曲线y =k2x 上，∴k 2＝﹣ab ；∴k 1+k 2＝ab +（﹣ab ）＝0； 故答案为：0．14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 12 ．【解答】解：如图1所示： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， 设OA ＝x ，OB ＝y ， 由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2，∴AC ＝2OA ＝6，BD ＝2OB ＝4， ∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×6×4＝12； 故答案为：12．15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形，当四边形ABCD 为正方形时，四边形MNPQ 是正方形，故错误； 故答案为：①②③．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：|−√3|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（14）﹣1．【解答】解：原式=√3−1+2×√32+4=√3−1+√3+4＝3+2√3． 18．（5分）解不等式组：{4(x −1)＜x +2x+73＞x【解答】解：{4(x −1)＜x +2①x+73＞x②，解①得：x ＜2， 解②得x ＜72，则不等式组的解集为x ＜2．19．（5分）关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根， ∴b 2﹣4ac ＝4﹣4（2m ﹣1）≥0， 解得：m ≤1， ∵m 为正整数， ∴m ＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G=12，求AO的长．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠CDO，∴tan G＝tan∠CDO=OCOD=12，∴OC=12OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OC＝1，∴OA＝OC＝1．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，̂=CD̂，∴AD∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，̂=CD̂，∵AD∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入x 3补全上表；（2）若x 1＝4，x 2＝3，x 3＝4，则x 4的所有可能取值为 4，5，6 ； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 23 首． 【解答】解：（1）第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x 1 x 1 x 1 第2组 x 2 x 2 x 2 第3组 x 3 x 3 x 3 第4组x 4x 4x 4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴x 1≥4，x 3≥4，x 4≥4， ∴x 1+x 3≥8①， ∵x 1+x 3+x 4≤14②， 把①代入②得，x 4≤6， ∴4≤x 4≤6，∴x 4的所有可能取值为4，5，6， 故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x 1+x 2≤14①，x 2+x 3≤14②，x 1+x 3+x 4＝14③，x 2+x 4≤14④， ①+②+2③+④≤70得，x 1+x 2+x 2+x 3+2（x 1+x 3+x 4）+x 2+x 4≤70， ∴3（x 1+x 2+x 3+x 4）≤70， ∴x 1+x 2+x 3+x 4≤703， ∴x 1+x 2+x 3+x 4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23．24．（6分）如图，P 是AB̂与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB ̂上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：̂上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几（1）对于点C在AB组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC ＝2PD ，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD 的长度为2.3和4.0．25．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ．①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【解答】解：（1）令x ＝0，y ＝1， ∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②当k ＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当k ＜0时，W 内点的横坐标在﹣1到0之间，故﹣1≤k ＜0时W 内无整点；当﹣2≤k ＜﹣1时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M （﹣1，﹣k ）和N （﹣1，﹣k +1），MN ＝1；当k 不为整数时，其上必有整点，但k ＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点； 当k ≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k ）和（﹣2，﹣2k +1），线段长度为﹣k +1＞3，故必有整点．综上所述：﹣1≤k ＜0或k ＝﹣2时，W 内没有整数点；26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx −1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P （12，−1a），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）A （0，−1a）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，−1a ）； （2）A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线对称轴x ＝1； （3）∵对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∴y ＝ax 2﹣2ax −1a ， ①a ＞0时，当x ＝2时，y =−1a ＜2， 当y =−1a时，x ＝0或x ＝2， ∴函数与PQ 无交点； ②a ＜0时，当y ＝2时，ax 2﹣2ax −1a=2， x =a+|a+1|a 或x =a−|a+1|a 当a−|a+1|a≤2时，a ≤−12；∴当a ≤−12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；27．（7分）已知∠AOB ＝30°，H 为射线OA 上一定点，OH =√3+1，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD=12OP＝1∴OD=√OP2−PD2=√3∵OH =√3+1 ∴DH ＝OH ﹣OD ＝1 ∵∠OMP ＝∠OPN∴180°﹣∠OMP ＝180°﹣∠OPN 即∠PMD ＝∠NPC 在△PDM 与△NCP 中 {∠PDM =∠NCP ∠PMD =∠NPC PM =NP∴△PDM ≌△NCP （AAS ） ∴PD ＝NC ，DM ＝CP设DM ＝CP ＝x ，则OC ＝OP +PC ＝2+x ，MH ＝MD +DH ＝x +1 ∵点M 关于点H 的对称点为Q ∴HQ ＝MH ＝x +1∴DQ ＝DH +HQ ＝1+x +1＝2+x ∴OC ＝DQ在△OCN 与△QDP 中 {OC =QD∠OCN =∠QDP =90°NC =PD∴△OCN ≌△QDP （SAS ） ∴ON ＝QP28．（7分）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ̂上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DÊ为△ABC 的中内弧．例如，图1中DE ̂是△ABC 的一条中内弧．（1）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC的最长的中内弧DÊ，并直接写出此时DE ̂的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t ＞0），在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE ̂所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DÊ，使得DE ̂所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ̂，就是△ABC 的最长的中内弧DE ̂，连接DE ，∵∠A ＝90°，AB ＝AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴BC =AC sinB =2√2sin45°=4，DE =12BC =12×4＝2，∴弧DE ̂=12×2π＝π； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G ，①当t =12时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1）， 设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE 上方射线FP 上均可，∴m ≥1， ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°∴∠ACO ＝45°，∵DE ∥OC∴∠AED ＝∠ACO ＝45°作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG ＝EF =12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； ∴m ≤12综上所述，m ≤12或m ≥1．②如图4，设圆心P 在AC 上，∵P 在DE 中垂线上，∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM =32， ∴P （t ，32）， ∵DE ∥BC∴∠ADE ＝∠AOB ＝90°∴AE =√AD 2+DE 2=√12+(2t)2=√4t 2+1， ∵PD ＝PE ，∴∠AED ＝∠PDE∵∠AED +∠DAE ＝∠PDE +∠ADP ＝90°， ∴∠DAE ＝∠ADP∴AP ＝PD ＝PE =12AE由三角形中内弧定义知，PD ≤PM∴12AE ≤32，AE ≤3，即2+1≤3，解得：t ≤√2， ∵t ＞0∴0＜t ≤√2．如图5，设圆心P 在BC 上，则P （t ，0） PD ＝PE =√OD 2+OP 2=√t 2+1，PC ＝3t ，CE =12AC =12√OA 2+OC 2=√4t 2+1 由三角形中内弧定义知，∠PEC ≤90°， ∴PE 2+CE 2≥PC 2即(√t 2+1)2+(√4t 2+1)2≥（3t ）2，∵t ＞0 ∴0＜t ≤√22；综上所述，t 的取值范围为：0＜t ≤√2．。
2019年北京市中考数学试卷评析
2019年北京市中考数学试卷评析2019年北京中考数学考试已经结束，很多关注中考的家长、学员们想要了解今年的试卷情况，下面给大家带来2019年北京中考数学的试卷解析。
（一）试卷整体结构、难度分析2019年北京中考数学试卷延续了2018年的选择题（8道题）、填空题（8道题）、解答题（12道题）的出题形式，试题分值和题目数量和去年考查的一致。
但今年很多中考数学题目特点都发生了新的变化，整体难度与2018年相比更加注重考查学生独立思考、运用所学知识分析问题和解决问题的能力，同时重视了学科素养和思维方法的培养。
在试卷中体现出对中档题目的考查难度及灵活性明显增加，题型特点变化较大。
（二）重点知识点分析及分值占比题号涉及知识点难度（五星评定）5尺规作图、圆心角、等边三角形★★7不等式的性质、命题★★8统计中的中位数与平均数★★★★10图形的测量与面积计算★13反比例函数图象与性质★★14利用方程思想解决菱形面积★★16平行四边形及特殊的平行四边形判定★★★21用统计图表分析数据★★★22三角形的外接圆尺规作图★★★切线的判定23统计表★★★★★24新函数探究动手操作★★★★25一次函数的图象性质一次函数与整点问题★★★★26二次函数的图象性质参数取值范围★★★★27作图、倒角、辅助线构造★★★★★28新定义：中内弧分类讨论思想（三）重点题型解读1、选择题第5题考查了尺规作图，不同于以往基础尺规作图，今年主要通过尺规作图总结出相应几何条件，转化成与圆有关的几何问题，对学生们的识图与阅读能力有较高的要求。
2、选择题第8题考查了中位数、平均数及可能性问题，考查了对统计图表的理解及分析数据的能力。
特点是通过最不利原则总结出中位数可能在的范围，而不能直接计算出中位数的值。
3、第10题一改往年填空题考查范围题型，让学生们自己通过测量、计算得出三角形的面积，体现自主探究的学习理念。
4、第16题通过动手画图及平行四边形相关判定来解决问题，同时考查了对任意、存在、至少存在的理解。
2019年北京市中考数学试卷附分析答案
万
美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是
．
①相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加
快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决
胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
位长度，得到点 C，若 CO＝BO，则 a 的值为（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．﹣1
D．1
5．（2 分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，
连接 CD；
（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于点 M，N；
26．（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx 与 y 轴交于点 A，将点 A 向右 平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上． （1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 P（ ， ），Q（2，2）．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求 a 的取值范围． 27．（7 分）已知∠AOB＝30°，H 为射线 OA 上一定点，OH h1，P 为射线 OB 上一点， M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺 时针旋转 150°，得到线段 PN，连接 ON． （1）依题意补全图 1；
组值，如下表：
位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
2019年中考北京中考数学真题评析
2019年中考北京中考数学真题评析各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢当我看到2019年北京市中考试卷数学试题，第一感觉是2019年题目整体难度较2018年有所下降。
从近四年北京试题的难易程度可以看出北京市中考数学整体大小年的规律。
2019年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。
本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质能力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明中C级要求相呼应。
就具体题目而言，第8、12、22、23、24、25题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。
笔者统计了近四年北京中考数学试题这几道题考查分布：图示今年中考数学试题，整体上呈现以下特点：特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。
特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整;第18题的一次函数综合体换成了一元二次方程;第19题回归对梯形的考察;第20题第问没有考察切线的证明等。
特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。
特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。
特点五、计算量大幅下降，去年计算题19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。
特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到A1。
特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题第20题。
解答题第25题都涉及圆的知识。
2019年北京市中考数学试卷及解析
数学试卷第1页（共12【本文由书林工作坊整理发布，欢迎下载使用！】绝密★启用前2019年北京市高级中等学校招生考试数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为（ ） A .60.43910⨯B .64.3910⨯C .54.3910⨯D .343910⨯ 2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）AB CD3.正十边形的外角和为（ ）A .180︒B .360︒C .720︒D .1440︒4.在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C .若CO BO =，则a 的值为（ ）A .3-B .2-C .1-D .15.已知锐角AOB ∠如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ；（3）连接OM ，MN .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A .COM COD ∠=∠B .若OM MN =，则20AOB ︒∠= C .MN CD ∥D .3MN CD =6.如果1m n +=，那么代数式()22221m nm n m m mn +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A .3-B .1-C .1D .37.用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A .0B .1C .2D .38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公学生类别5毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共12页）数学试卷第4页（共12页）下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（ ）A .①③B .②④C .①②③D .①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式1x x-的值为0，则x 的值为 .10.如图，已知ABC △，通过测量、计算得ABC △的面积约为 2cm .（结果保留一位小数）11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）12.如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠=＋ 。
2019中考北京市数学试卷评析
2019年北京市中考数学试卷评析（一）试卷整体结构、难度分析2019年北京中考数学试卷延续了2018年的选择题（8道题）、填空题（8道题）、解答题（12道题）的出题形式，试题分值和题目数量和去年考查的一致。
但今年很多中考数学题目特点都发生了新的变化，整体难度与2018年相比更加注重考查学生独立思考、运用所学知识分析问题和解决问题的能力，同时重视了学科素养和思维方法的培养。
在试卷中体现出对中档题目的考查难度及灵活性明显增加，题型特点变化较大。
（二）重点知识点分析及分值占比47%44%8%44%41%15%（三）重点题型解读1、选择题第5题考查了尺规作图，不同于以往基础尺规作图，今年主要通过尺规作图总结出相应几何条件，转化成与圆有关的几何问题，对学生们的识图与阅读能力有较高的要求。
2、选择题第8题考查了中位数、平均数及可能性问题，考查了对统计图表的理解及分析数据的能力。
特点是通过最不利原则总结出中位数可能在的范围，而不能直接计算出中位数的值。
3、第10题一改往年填空题考查范围题型，让学生们自己通过测量、计算得出三角形的面积，体现自主探究的学习理念。
4、第16题通过动手画图及平行四边形相关判定来解决问题，同时考查了对任意、存在、至少存在的理解。
5、第21题散点图与去年中考第16题考查知识点有相似之处。
散点图是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点的分布形态反映变量统计关系。
整道题考查学生理解数据、分析数据的能力。
6、第22题圆综合问题，2019年北京中考的圆综合与往年最大的不同就是第一问的圆需要我们自己做出，涉及三角形外接圆的尺规作图。
第二问是一个比较常规的切线证明，梳理清楚条件，证明难度不大。
但因为出题的角度较新，所以很多孩子会比较不适应，从而出现失误。
7、第23题不同于往年的统计题型，需要孩子们对于题目有一个准确的理解和把握，题目本身难度不大，但因为题目条件的表述有一定新意，在获取信息时会有一定难度，所以孩子们在题意理解方面可能会出现问题。
2019北京中考数学解析
2019 年北京市初中毕业、升学考试数学（满分100 分，考试时间120 分钟）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 2 分，共16 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019北京市，1题，2分）4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439000 米．将439000 用科学记数法表示应为A．0.439´106 C．4.39´105B．4.39´106 D．439´103【答案】C【解析】绝对值大于 1 的正数用科学记数法表示为a ⨯10n 1 ≤a < 10 ，其中 n 是等于原数的整数位数减 1.∴439000 =4.39´105 ；故选 C.【知识点】科学记数法——表示较大的数2．（2019北京市，2题，2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选 C.【知识点】图形变换——轴对称图形.3．（2019北京市，3题，2分）正十边形的外角和为A．180 B．360 C．720 D．1440【答案】B【解析】根据多边形的外角和等于360°易得 B 正确；故选 B.【知识点】多边形的外角和等于360°.4．（2019北京市，4题，2分）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点 C．若 CO=BO，则a 的值为A．-3 B． -2 C．-1 D． 1【答案】A【解析】由题意知，点 B 表示的数是 2，由 CO=BO，可得点 C 表示的数为 2 或-2，⎝ ⎭将点 C 向左平移 1 个单位长度可得到点 A ，故点 A 表示的数为 1 或-3； 又∵点 A ，B 在原点 O 的两侧；∴点 A 表示的数-3. 【知识点】有理数——数轴、分类讨论.5．（2019 北京市，5 题，2 分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C ，以点 O 为圆心，OC 长为半径，交射线 OB 于点 D ，连接 CD ；（2）分别以点 C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，于点 M ，N ；（3）连接 OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是A ．∠COM=∠CODB ．若 OM=MN ，则∠AOB=20°C ．MN∥CDD ．MN=3CD【答案】D【解析】由作图知， C M = C D = D N,OM=OC=OD=ON ；A ．在⊙中，由C M = C D 得∠COM =∠COD ；故选项A 正 确.B ．由 OM=MN ，结合 OM=ON 知△OMN 为等边三角形；得∠MON=60°.又由C M = CD = D N 得∠COM =∠COD= ∠DON；∴∠AOB=20°.故选项 B 正确.C ．由题意知 OC=OD ，∴ ∠OCD = 180︒ - ∠COD.2 设 OC 与 OD 与 MN 分别交于 R ，S.易得△MOR≌△NOS （ASA ）∴OR=OS ∴ ∠ORS = 180︒ - ∠COD2∴∠OCD = ∠ORS ∴MN∥CD. 故选项 C 正确.D ．由C M = C D = D N 得 CM=CD=DN=3CD ；而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN ，即 MN<3CD ；∴MN=3CD 是错误的；故选 D.【知识点】全等三角形的性质和判定、圆的有关性质、等边三角形的性质和判定.6．（2019 北京市，6 题，2 分）如果m + n = 1，那么代数式⎛ 2m + n + 1 ⎫ ⋅ (m 2 - n 2)的值为 m 2 - mn m ⎪A ．-3 B ． -1C ．1D ． 3⎝ ⎭⎣ m (m - n )⎥⎥【答案】D ⎛ 2m + n 【解析】 + 1 ⎫ ⋅ (m 2 - n 2 )m 2 - mn m ⎪⎡ 2m + n = ⎢⎢ m (m - n ) + m - n ⎤ (m + n )(m - n ) ⎦ 2m + m=m (m - n ) =3(m + n ) (m + n )(m - n ) 又∵ m + n = 1∴原式= 3 ⨯1 = 3 .故选 D. 【知识点】分式的运算、整体思想.7．（2019 北京市，7 题，2 分）用三个不等式 a > b ， ab > 0 ， 1 < 1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组a b成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】本题共有 3 个命题：命题①，如果 a > b ， ab > 0 ，那么 1 < 1.a b∵ a > b ，∴ a - b > 0 .又∵ ab > 0 ；∴a -b > 0 ，化简得 1 < 1，该命题为真命题. ab a b命题②，如果 a > b ， 1 < 1；那么 ab > 0 .a b1 1 1 1 b - a∵ < ，∴ - < 0 ，< 0 . ∵ a > b ，∴ b - a < 0 ，∴ ab > 0 .该命题为真命题. a b a b ab命题③，如果 ab > 0 ， 1 < 1，那么 a > b .a b1 1 1 1 b - a∵ < ，∴ - < 0 ，< 0 . ∵ ab > 0 ，∴ b - a < 0 ， ∴ b < a .该命题为真命题. a b a b ab 选 D.【知识点】真假命题、不等式的性质.8．（2019 北京市，8 题，2 分）某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．⎩下面有四个推断：①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间 ②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间 ④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间所有合理推断的序号是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【答案】C【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为 24.5h ，女生为 52.5h ，则平均数一定在 24.5——25.5 之间，故①正确.②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在 20——30 之间，故②正确. ③由统计表类别栏计算可得，初中学生各时间段人数分别为 25，36，44，11；共有 116 人，∴初中生参加公益劳动时间的中位数在对应人数为 36 的那一栏；即 中位数在 20——30 之间；故③正确.④由统计表类别栏计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 15，35，15，18，1；共有 84 人，∴中位数在对应人数为 35人对应的时间栏，即中位数在 10——20 之间；故④错误.【知识点】条形统计图、统计表、统计量——平均数、中位数.二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2019 北京市，9 题，2 分）若分式 x - 1 的值为 0，则 x 的值为 . x 【答案】1⎧x - 1 = 0【解析】方法一、分式值为 0 的条件是分子等于 0，且分母不为 0.即 ⎨x ≠ 0 ，∴x = 1.方法二、解分式方程x - 1= 0 ，解得 x = 1；经检验 x = 1是原分式方程的解.x【知识点】分式的值为 0、解分式方程.10．（2019北京市，10题，2分）如图，已知!ABC，通过测量、计算得!ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数）【答案】由测量结果计算.【解析】如图 10-1，测量三角形的底和高时，长度精确定 mm，测量图中 AC 和 BD 的长度.【知识点】三角形的面积、动手测量、求近似数.11．（2019北京市，11题，2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）【答案】①②.【解析】长方体的三种视图都是矩形，圆柱的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是三角形；圆锥的俯视图为带圆心的圆.故选①②.【知识点】三视图、矩形的判定.12．（2019北京市，12题，2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA ＝°（点A，B，P 是网格线交点）.【答案】45°【解析】如图 12-1，延长 AP 至 C ，连结 BC.设图中小正方形的边长为 1，由勾股定理得 PC 2 = 12 + 22 = 5 ， BC 2 = 12 + 22 = 5 ， PB 2 = 12 + 32 = 10 ； ∴ PC 2 + BC 2 = PB 2 ,且PC = BC .即△PBC 为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°.由三角形外角的性质得∠PAB ＋∠PBA = ∠MPC = 45︒ .【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质.13．（2019 北京市，13 题，2 分）．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (a ，b ) (a > 0，b > 0)在双曲线 y = k1 上．点 A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线xy = k2 上，则 k + k 的值为 .x1 2【答案】0【解析】∵A、B 两点关于 x 轴对称，∴B 点的坐标为(a , -b ).又∵A(a ，b )、B (a , -b )两点分别在又曲线 y = k 1 和 y = k2 上； x x ∴ab = k 1 , -ab = k 2 .∴ k 1 + k 2 = 0 ；故填 0.【知识点】关于 x 轴对称的点的坐标特点、双曲线 y = k上点的坐标与 k 的关系.x14．（2019 北京市，14 题，2 分）把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形， 则图 1 中菱形的面积为．【答案】12⎩⎩ 0( ) ( ) 0 10 1⎧a + b = 5【解析】设图 1 中小直角三角形的两直角边长分别为 a ，b （a>b ）；则由图 2 和图 3 列得方程组 ⎨a - b = 1 ，由加⎧a = 3 1 1 减消元法得 ，∴菱形的面积 S = 4 ⨯ ab = 4 ⨯ ⨯ 3 ⨯ 2 = 12 .故填 12. ⎨b = 2 2 2【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.15．（2019 北京市，15 题，2 分）小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s 2．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4， 4，9， 5．记这组新数据的方差为 s 2 ，则 s 2s 2 . (填“ >”，“ =”或“ <”)11【答案】=【解析】数据 92，90，94，86，99，85 的平均数 x =92 + 90 + 94 + 86 + 99 + 85= 91； 62 + 0 + 4 + -4 + 9 + -5 新数据 2，0，4， 4，9， 5 的平均数为 x `= = 1 ；6∴S 2 = 1 ⎡(92 - 91)2 + (90 - 91)2 + (94 - 91)2 + (86 - 91)2 + (99 - 91)2 + (85 - 91)2⎤ = 68 ； 0 6 ⎣⎦3S 2 = 1 ⎡(2 - 1)2 + (0 - 1)2 + (4 - 1)2 + (-4 - 1)2 + (9 - 1)2 + (-5 - 1)2⎤ = 68 ；16 ⎣⎦3∴ S 2 = S 2. 事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后，所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得 S 2 = S 2. 【知识点】方差的计算和性质、平均数.16．（2019 北京市，16 题，2 分） 在矩形 ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．【答案】①②③【思路分析】如图 16-1，经矩形 ABCD 对角线交点 O ，任画两条和矩形对边分别相交的直线，顺次连接交点得到的四边形为平行四边形，显然有无数个四边形； ②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为矩形，显然有无数个四边形；1③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线，顺次连接交点得到的四边形为菱形，显然有无数个四边形；43 3 3 3 3 ⎨ x ④画两条和矩形对边分别相交，并且垂直且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为正方形，显然只有一 个四边形.【解题过程】如图 16-1，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，图中任过点 O 的两条线段 PM ，QN ，则四边形 MNPQ 是平行四边形；显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条相等的线段 PM ，QN ，则四边形 MNPQ 是矩形；显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条垂直的线段 PM ，QN ，则四边形 MNPQ 是菱形；显然有无数个.本结论正确. 图中过点 O 的两条相等且垂直的线段 PM ，QN ，则四边形 MNPQ 是正方形；显然有一个.本结论错误.故填：①② ③.【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.三、解答题（本大题共 12 小题，满分 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019 北京市，17 题，5 分）计算： - - (4 -π)0+ 2 sin 60︒ + 1 -1（ ）4【思路分析】根据 a 0 = 1 (a ≠ 0)， a -1 = 1 (a ≠ 0)， sin 60︒ = a3代入计算即可解答.2 【解题过程】解： - - (4 -π)0+ 2 sin 60︒ + 1 -1= - 1 + 2 ⨯ （ ） 43 + 12 14= - 1 + + 4【知识点】实数的混和运算、绝对值、零指数、负指数、特殊角的函数值.18．（2019 北京市，18 题，5 分）⎧4(x -1) < x + 2, ⎪解不等式组： ⎨ x + 7 > x .⎩⎪ 3【思路分析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.⎧4(x - 1) < x + 2 ① 【解题过程】解： ⎪+ 7⎪⎩3 > x②由①得4x - 4 < x + 2= 2 3+31 2 33x 6x < 2由②得 x + 7 > 3x7 > 2xx < 7 2①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为 x < 2 .【知识点】一元一次不等式组的解法. 19．（2019 北京市，19 题，5 分）关于 x 的方程 x 2 - 2x + 2m - 1 = 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根．【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式b 2 - 4ac ≥ 0 进而求出 m 的范围；结合 m 的值为正整数，求出 m 的值，进而得到一元二次方程求解即可.【解题过程】解：∵关于 x 的方程 x 2 - 2x + 2m - 1 = 0 有实数根，∴ ∆ = b 2 - 4ac = (-2)2- 4 ⨯1⨯ (2m - 1) = 4 - 8m + 4 = 8 - 8m ≥ 0 ∴m ≤ 1 又∵m 为正整数，∴m=1，此时方程为 x 2 - 2x + 1 = 0 解得根为 x 1 = x 2 = 1，∴m=1，此方程的根为 x 1 = x 2 = 1【知识点】一元二次方程根的判别式、20．（2019 北京市，20 题，5 分）如图 20-1，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，BE=DF ，连接 EF ． （1）求证：AC⊥EF；1 （2）如图 20-2，延长 EF 交 CD 的延长线于点 G ，连接 BD 交 AC 于点 O ，若 BD=4，tanG= 2，求 AO 的长．【思路分析】）（1）由四边形 ABCD 为菱形易得 AB=AD ，AC 平分∠BAD ，结合 BE=DF ，根据等腰△AEF 中的三线合一，证得 AC⊥EF.（2）菱形 ABCD 中有 AC⊥BD，结合 AC⊥EF 得 BD∥EF .进而有 tan ∠ODC = tan ∠G = 1 = OC = OC；得出 OA 的值.2 OD 2【解题过程】（1）证明：∵四边形 ABCD 为菱形∴AB=AD，AC 平分∠BAD ∵BE=DF∴ AB - BE = AD -DF∴AE=AF∴△AEF 是等腰三角形∵AC 平分∠BAD∴AC⊥EF（2）解：∵菱形 ABCD 中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.∴BD∥EF.1又∵BD=4，tanG=2∴ tan ∠ODC = tan ∠G =1=OC=OC2 OD 21∴AO=AC =OC=1.2【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.21．（2019北京市，21题，5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为 69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方．请在图中用“○”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会” 的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．【思路分析】（1）由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为 12，2，2；共16 个，而中国的创新指数为 69.5；进而求出中国的国家创新指数的世界排名.（2）由中国的国家创新指数得分为 69.5，结合中国的对应的点位于虚线l1的上方即可求得．（3）如图21-1，先画一条过69.5 的水平线，该线上方的点都是国家创新指数得分比中国高的国家；然后找除中国以外的，最左边的点进而求出该国的人均国内生产总值.（4）【解题过程】（1）解：∵由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为 12，2，2；共 16 个，且中国的创新指数为 69.5；∴中国的国家创新指数的世界排名为 17.故填 17.（2）解：由中国的国家创新指数得分为 69.5，结合中国的对应的点位于虚线l1的上方求得. 如下图，（3）如图21-1，易求得在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.7 万美元.故填：2.7. （4）①②【知识点】22．（2019北京市，22题，6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，∠ABC 的平分线交图形 G 于点D，连接 AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点 D 作DE ⊥BA，垂足为 E，作 DF ⊥BC，垂足为 F，延长 DF 交图形 G 于点M，连接 CM．若 AD=CM，求直线DE 与图形 G 的公共点个数．【思路分析】【解题过程】（1）∵BD 平分∠ABC更多中考资料尽在【中考必备资料群】群号10 群：972936318 /9 群：493459479 /11 群：1103308960∴∠ABD =∠CBD∴AD=CD（2）直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 1.【知识点】23．（2019北京市，23题，6分）小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成 4 组，第 i 组有x i 首，i =1，2，3，4；②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3 ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；首．解答下列问题：（1）填入x3 补全上表；（2）若x1 = 4 ，x2= 3，x3= 4 ，则x4的所有可能取值为；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首．【思路分析】【解题过程】（1）如下图第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天第 1 组第 2 组第 3 组x3x3x3第 4 组第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天第 1 组x1x1x1第 2 组x2x2x2第 3 组第 4 组x4x4x4（3）23【知识点】24．（2019北京市，24题，6分）如图，P 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段 PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD 的长度的几组值，如下表：位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为cm．【思路分析】（1）三个变量中，分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化，哪两个量就是函数.观察表格中的数据，当 AD 的长度发生变化时，PC ，PD 也随之变化.（2）以 AD 为自变量，分别以 PC ，PD 为函数，画函数图像即可. （3）找到图象中满足 PC=2PD 时，对应点的横坐标即可解答.【解题过程】（1）观察表格中的数据可知：PC ，PD 都随 AD 的变化而变化.故 AD 为自变量，PC ，PD 均为 AD 的函数. 故填：AD ， PC ，PD ；（2）以 AD 为自变量，分别以 PC ，PD 为函数，画出的函数图像如下图，（3）观察图象可得，当 AD=2.29 或者 3.98 时，有 PC=2PD.故填：2.29 或者 3.98. 【知识点】函数与自变量、画函数图形及应用函数图象.25．（2019 北京市，25 题，5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y = kx + 1(k ≠ 0)与直线 x = k ，直线 y = -k 分别交于点 A ，B ，直线 x = k 与直线 y = -k 交于点C ．（1）求直线l 与 y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当 k = 2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．【思路分析】（1）当 x = 0 时，由 y = kx + 1(k ≠ 0)求得 y 的值，即得直线 与 轴的交点坐标. （2）①当 k = 2 时画出图象分析有关区域中整点个数.②由图象分析解答即可.【解题过程】（1）当 x = 0 时，由 y = kx + 1(k ≠ 0) = 1；∴直线l 与 y 轴的交点坐标为(0,1). （2）①如下图，当 k=2 时，直线l ： y = 2x + 1 ，把 x = 2 代入直线l ，则 y = 5 .∴ A (2,5)；把 y = -2 代入直线l ， -2 = 2x + 1 ∴x = - 3 ， ∴ B ⎛ - 3 , -2 ⎫.C (2, -2). 22 ⎪画出函数 y = 2x + 1 的图象及直线 ⎝ ⎭ x = 2 ，直线 y = -2 组成的区域，⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2, - 0, - 2, - = =显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域W 内的整点个数有 6 个.② 由类似①分析图象知区域W 内没有整点时有 -1 ≤ k < 0 或 k = -2 .【知识点】一次函数的图象与性质26．（2019 北京市，26 题，6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2+ bx - 1 与 y 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B ，a点 B 在抛物线上．（1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 P ( 1 , 2 - 1) ， Q (2, 2) ．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．a【思路分析】（1）先求出 A 点的坐标为 0, - ，由平移规律求得点 B 的坐标. a ⎪ ⎝ ⎭（2）由 A 、B 两点的纵坐标相同，得 A 、B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程. （3）根据 a 的符号分类讨论分析解答即可.【解题过程】（1）∵当 x=0 时，抛物线 y = ax 2+ bx - 1 = - 1 ；a a ∴抛物线与 y 轴交点 A 点的坐标为 0, - ， a ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ 1 ∴由点 A 向右平移 2 个单位长度得点 B 的坐标为；即 B (2, - ) . a ⎪ a⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 0 + 2 （2）∵由 A 、B 两点的纵坐标相同，得 A 、B 为对称点.∴抛物线对称轴方程为x 1 ；即 a ⎪ a ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 直线 x = 1 .（3）①当 a > 0 时， - 1< 0 . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P ；也不可a能同时经过点 B 和点 Q ，所以线段 PQ 和抛物线没有交点.②当 a < 0 时，- 1> 0 . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P ；但当点 Qa3 在点 B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点，此时- 1 ≤ 2 ，即 a ≤ - 1.a 2综上所述：当 a ≤ - 1时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点.2【知识点】二次函数图象及性质、点的坐标平移规律、27．（2019 北京市，27 题，7 分）已知∠AOB = 30︒ ，H 为射线 OA 上一定点， OH = + 1，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM ，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转150︒ ，得到线段 PN ，连接 ON ． （1）依题意补全图 1； （2）求证： ∠OMP = ∠OPN ；（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q ，连接 QP ．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON=QP ，并证明．【思路分析】（1）作∠MPN=180°-∠AOB,用圆规截得 PM=PN ；可补全图形. （2）借助△OPM 的内角和为 180°及∠AOB=30°和∠MPN=150°即可得证， （3）【解题过程】（1）见下图（2）证明：∵ ∠AOB = 30︒∴在△OPM 中， ∠OMP =180︒ - ∠POM - ∠OPM = 150︒ - ∠OPM 又∵ ∠MPN = 150︒ ，∴∠OPN = ∠MPN - ∠OPM = 150︒ - ∠OPM ∴∠OMP = ∠OPN . （3）如下图，过点 P 作 PK⊥OA 于 K ，过点 N 作 NF⊥OB 于F3 3 3 3 3 3 ⎪⎩ ⎩∵∠OMP=∠OPN ∴∠PMK=∠NPF⎧∠NPF = ∠PMK 在△NPF 和△PMK 中， ⎨∠NFO = ∠PKM = 90︒⎪PN = PM∴△NPF≌△PMK （AAS ） ∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK 又∵ON=PQ⎧ON = PQ在 Rt△NOF 和 Rt△PKQ 中， ⎨NF = PK∴Rt△NOF≌Rt△PKQ （HL ） ∴KQ=OF设 MK = y , PK = x ∵∠POA=30°，PK⊥OQ ∴OP = 2x∴ OK = 3x ,OM = 3x - y∴OF = OP + PF = 2x + y ， MH = OH - OM = + 1 -(3x - y )，KH = OH - OK = + 1 - 3x .∵M 与 Q 关于 H 对称 ∴MH=HQ ∴KQ=KH+HQ= + 1 - 3x + + 1 - 3x + y= 2 + 2 - 2 3 x + y又∵KQ=OF∴ 2 + 2 - 2 3x + y = 2 x +y3P ∴2 + 2 = x (2 + 23 )∴ x = 1，即 PK=1又∵ ∠POA = 30︒∴OP=2. 【知识点】尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30°锐角的性质、中心对称的性质.28．（2019 北京市，28 题，7 分）在△ABC 中，D ，E 分别是! ABC 两边的中点，如上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在 Rt△ABC 中， AB = AC = 2 2，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内，并直接写出此 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2)，B (0, 0)，C (4t , 0) (t > 0)，在△ABC 中， D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．①若t =1 ，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围； 2②若在△ABC 中存在一条中内，使 所在圆的圆心 P 在△ABC的内部或边上，直接写出 t 的取值范围．【思路分析】（1） 与 BC 相切时，△ABC 的中内最长，结合勾股定理进而求得结果.（2）①分以下两种情况讨论，Ⅰ、当 P 为 DE 的中点时； Ⅱ、当⊙P 与 AC 相切时.②分以下两种情况讨论，Ⅰ、PE⊥AC 时，△EFC∽△PEF；Ⅱ、 ∆PFC ∽∆ABC 时.【解题过程】（1）如下图：当 与 BC 相切时，中内弧 最长.2 2l =nπr =180π⨯1 =π 180 180（2）解：①当t=1时，C（2，0），D（0，1），E（1，1）2Ⅰ、如下图，当 P 为 DE 的中点时， 是中内弧，∴ P ⎛1 ,1⎫DE 2 ⎪⎝⎭Ⅱ、如下图，当⊙P 与AC 相切时，yAC =-x + 2, yBE=x .当x =1时，y =1，∴ P⎛1 , 1 ⎫.⎪2 2 ⎝⎭= = = =综上所述，P 的纵坐标 y P ②中，≤ 1 或y ≥ 12 PⅠ、PE⊥AC 时，△EFC∽△PEF, EF FC 1 2t 得 ，即 . PF FE t 1∴t 2 = 1 2(t > 0)， ∴ t = 22∴ 0 < t ≤ 2 .20 < t ≤Ⅱ、∵ ∆PFC ∽∆ABC ，PF FC PF 3 ∴ ， ， AB BC 2 4∴ PF = 3 . 2如下图，22DP = PF = r ，PE = 1 ， DP = 3 2 2∴ t =∴ 0 < t ≤ .综上所述， 0 < t ≤ 【知识点】弧长公式、三角形相似性质与判定、圆的有关性质、点的坐标.2 2。
2019年北京中考数学试题(解析版)
{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x轴的对称点的坐标是解题的关键.∵点A(a，b)在双曲线 上，∴k1=ab.∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a,-b）.∵点B在双曲线 上，∴k2=-ab.∴k1＋k2=0.
{分值}2
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数的解析式}
{分值}2
{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段}
{考点:三角形的面积}
{考点:准确数与近似数}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）
{答案}①②
{解析}本题考查了几何体的三视图.①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形.
{分值}2
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:平行四边形对角线的性质}
{考点:矩形的判定}
{考点:菱形的判定}
{考点:正方形的判定}
{类别:高度原创}{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{
{题目}17．（2019年北京）计算： ．
{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是解题才能正确解答.
{分值}2
{章节:[1-18-2-2]菱形}
{考点:菱形的性质}
{考点:二元一次方程组的应用}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组新数据的方差为 ，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”）
北京市中考数学学科试题分析
北京市中考数学学科试题分析2019年北京市中考数学学科试题分析2019年北京市中考数学试题的命制依据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2019年版）》和北京教育考试院编写的《2019年北京市高级中等学学校招生考试考试说明》. 2019年的中考数学试题将学科理念与时代发展需求相融合，通过对学科素养的考查，体现立德树人、育人为本的教育目标和社会发展对人才培养的需求.试卷的整体设计，以“四基”、“核心概念”、“四能”、为主线，注重考查学生的思维，将学生在学校、家庭和社会所学融入其中，贴近学生的实际与生活.一、“四基”的考查1.基础知识的考查对于基础知识的考查，不仅仅局限于对知识应用的考查，还将知识的形成过程、知识之间的联系作为考查的一部分.如第12题（代数式几何意义）.认识不同的代数式表示方法之间的关系：ma+mb+mc=m(a+b+c)表示提公因式，m(a+b+c)=ma+mb+mc表示乘法分配率，(ma+mb)+mc=ma+(mb+mc)表示加法结合律，……，进一步理解整式乘法、因式分解、乘法关于加法的分配率等知识的内在联系.又如第13题（频率估计概率）.虽然学生对概率刻画随机事件发生可能性的大小有了一定的体会，但是对概率意义的理解容易停留在“比值”层面，而对其反映的随机性关系的数学模型就是函数.通过函数的学习，学生不断地形成、积累对函数的正确认识，即认识函数可以有不同的表示方法，研究函数需要研究自变量的取值范围、对应关系和因变量取值，通过图象反映的规律研究函数的性质，也就是说，学生积累的对函数的最根本的认识就是函数是刻画同一变化过程中两个变量之间的对应关系的模型.2019年的第26题是对2019年第26题（研究函数的基本过程）的继承与发展.学生根据学习函数所积累的经验，利用所给图、表反映出的y与x的对应关系，画出“自己的”函数图象.进一步地，对“自己的”函数进行性质的分析与研究.二、核心概念的考查核心概念是数学课程的重要支撑.例如第2题（对神舟飞船飞行速度进行科学记数），考查学生的数感，体现在对数量关系的感悟.又如第10题（阶梯水价机制制定推断）、第22题（小区居民燃气用量调查）、第24题（北京市文化创意产业发展预测）.通过设置学生熟悉的生活背景，考查学生的数据分析观念.在当今信息社会里，数据时一种重要的信息载体，统计所提供的“运用数据进行推断”的思考方法以及从随机性中寻找规律的归纳思想是现代社会一种普遍使用并且强有力的思维方式.重视数据的使用和能够对数据进行适当的处理，已经成为信息时代每一位公民必备的素质.其中，数据分析是统计的核心.数据分析观念包括三个方面的内容：（1）了解在现实生活中有许多问题需要先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息.（2）从大量的数据中提取有效信息，作出判断，进行决策.（3）根据问题的实际背景，选择合适的统计方法，解决实际问题.第22题（小区居民燃气用量调查）通过学生在社会大课堂中所学，设计了贴近学生生活实际的一个调查作业：调查你所住小区居民家庭5月份用气量情况.试题通过展现收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计调查的基本过程，体现抽样调查的必要性.在进行抽样调查时，必须明确调查目的，根据对调查背景的分析，抽样获取“好”的数据（所谓“好”的数据是指那些能够更加客观反映实际背景的数据），使得选取的样本必须具备代表性，不偏离调查的目的，最后根据调查的样本推断出总体情况.题目设计的目的是让学生在学习统计的过程中体验收集、整理、描述和分析数据的全过程，有意识的获取一些数据信息.因为随着学生年龄的增长，学生走向社会之后，会遇到各种各样的实际问题，其中“调查类”问题会是学生遇到的最多的实际问题之一，这种让学生感受获取真实数据的过程，分析调查目的的原因、选取调查的对象、设计调查的问题、应从哪些方面设计调查问题等，都是培养学生的应用意识，让学生用统计的眼光解决自己生活的实际问题.第10题（阶梯水价机制制定推断）从频数直方图给出的大量的数据中，提取有效的信息，结合分析数据的统计量（平均数、中位数）的统计意义，推断总体情况，作出推断.题目设计的目的是让学生理解分析数据的统计量（平均数、中位数、众数、方差）的统计意义，如反映了数据哪些方面的特征，各自的特点是什么，如何利用它们获取更多的信息等，将统计的概念、方法和原理统一到数据处理的活动过程中，让学生更好的体会统计的思想，培养学生的统计观念.第24题（北京市文化创意产业发展情况）根据画出的折线图预测2019年北京市文创意产业的发展态势.从教学的角度来说，通过三道试题的设置，引导教学中对于统计学习方式的转变，不能将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能.三、“四能”的考查“四能”是指发现、提出问题的能力和分析、解决问题的能力.其中发现和提出问题是培养创新意识的基础，独立思考、学会思考是创新的核心.第28题改变了以往试题的呈现形式，进行了一定的创新，将学生课堂研究问题的全过程原汁原味的呈现在试卷当中：发现问题（PA，PM的数量关系）、提出问题（PA=PM），通过交流与讨论，形成了解决问题的三种不同的思路，让学生进行独立思考，发现可以从不同的角度进行分析，并最终选择一种方法解决问题.第28题试图发挥积极的教学导向，学生需要根据已知条件，体验解决问题方法的多样性，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，考查学生思维的灵活性和多样性.同时，抛开题目本身来说，学生在平常的学习过程当中，不仅需要注重思维的灵活性与多样性，同时还需要注重思维的深刻性.也就是说，在追求解法多样性的过程当中，一定要善于总结哪个思维出发点解决问题是最优的，既要保持思维的灵活性也要保持思维的深刻性，这样才能不断地提升自身的思辨能力. 四、注重思维的考查2019年的试题体现出了“多思少算”的特点.如第14题（利用影长测灯高）.题目将测量灯高的实际问题抽象成简单的数学模型，学生通过简单的计算推理能够发现所抽象出的三角形是等腰直角三角形，进而问题得解.另外，2019年的试题加大了对开放性试题和选择性试题的考查.例如上面阐述的第12题（代数式几何意义）、第16题（尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线）、第26题（根据函数图、表反映的规律探究函数的性质）、第24题（北京市文化创意产业发展预测）、第29题（问题思路选择）都是对学生思维的灵活性与多样性的考查，考查学生的思辨能力.五、将中华古代优秀数学思想、社会主义核心价值观、数学美、九年积淀融为一体第15题（澳门百子回归图）是以我国汉代的“九宫图”为背景设计的试题，它的发展经历了几个重要阶段：（1）在中国古代著作《周易》的数表中就产生了古老的组合数学思想的萌芽.（2）汉代的“九宫图”使用九个数字组成的一个方阵，它的各行各列和对角线上的数字之和都是15，这是最早的纵横图，后世称之为“洛书”.纵横图设计数字组合的各种问题，其中已具有初步的组合数学的思想.（3）杨辉的《续古摘奇算法》中收集了20多个纵横图，包括n=3，4，5，…，10的各阶幻方（方形纵横图，即将1到n2中的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行每列及两条主对角线n 个数的和）.澳门回归纪念碑就是一副十阶幻方，中央四数连读即“2019·12·20”，表示澳门回归日.百子回归碑是一部百年的澳门简史，可查阅四百年来导致澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等.如“88”年中葡两国互换关于澳门问题的《联合声明》批准书，澳门陆地面积“23·50”平方公里等.在求每行、每列、每条对角线之和时，并不是计算1-100简简单单数字之和，而是体现数学之美，体现了九年的积累（运算法则）：1+2+3+…+100=（1+99）+(2+98)+ …（49+51）+50=5050.。
名师解析北京中考数学试卷分析
名师解析2019北京中考数学试卷分析?2019年数学试题严格遵循普通中考考试说明，重视基础，不断拔高，选拔性强，在考查基本知识的同时也保证了区分度。
①基础知识考察依然为全卷重点2019年北京卷较2019年北京中考数学整体内容和基本问题变化均不大，试题出题规律比较稳定，依然侧重于基础知识考核。
比如对于选择题：重点考察实数、一次函数、反比例函数、四边形、一元二次方程等知识点。
填空题主要考察不等式组等概念。
大题与往常相似，依然是全等、四边形、方程、二次函数、圆等知识②侧重基础的同时考察了思维能力2019年北京卷数学试题，部分题目考察了综合能力，乍一看此题与我们平时所学题目类似，可是仔细看又有细微的变化，做到了稳中有变，对于思维能力和临场应变能力是一个比较好的考察，比如综合题目代数几何综合，既考查了二次函数又考察了几何综合，就属于此类问题。
③重点突出，创新新颖2019年北京卷的数学试题，部分题目设计非常新颖，比如选择题第八题，填空题12题都属于此类题型，回顾近几年北京试题，往往都会在重视基础的同事保证创新，这样才会使孩子们的思维更加发散，而此类问题又往往和生活实际相结合，比如之前考核过推箱子问题，电脑程序设计问题，数字规律问题等等。
整体分析今年试卷，重难点突出，符合考试说明侧重的基本问题，在考核基本问题的基础上，适当拔高，增加部分综合性题目，保证了学生们在重视基础的前提下，开拓思维能力，发散知识，是一套比较成功的试题。
一、试题的基本结构整套数学试卷共设25个题目，120分。
选择题部分，共8个题目，32分。
非选择题（包括填空题和解答题）部分，其中填空题共4个题目，16分，解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题）共13个题目，72分。
这些与往年没有什么变化。
1、题型与题量全卷共25个小题，包括三种题型，其中选择题8个32分，填空题4个16分，解答题13个72分。
2、考查的内容及分布从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：数与代数、函数、三角形、四边形、圆、统计与概率都作了重点考查。
北京市2019年中考数学试题（解析版）
北京市2019年中考数学试题（解析版）2019年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只．有．⼀个。
1. 如图所⽰，⽤量⾓器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（A） 45°（B） 55°（C） 125°（D） 135°答案：B考点：⽤量⾓器度量⾓。
解析：由⽣活知识可知这个⾓⼩于90度，排除C、D，⼜OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。
2. 神⾈⼗号飞船是我国“神⾈”系列飞船之⼀，每⼩时飞⾏约28 000公⾥。
将28 000⽤科学计数法表⽰应为（A）（B） 28（C）（D）答案：C考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表⽰形式为10na?形式，其中1||10≤<，n为整数，28000＝。
故选C。
a3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所⽰，则正确的结论是（A）a（B）（C）（D）答案：D考点：数轴，由数轴⽐较数的⼤⼩。
解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。
4. 内⾓和为540的多边形是答案：ｃ考点：多边形的内⾓和。
n-??，当n＝5时，内⾓和为540°，所以，选C。
解析：多边形的内⾓和为(2)1805. 右图是某个⼏何体的三视图，该⼏何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原⼏何体。
解析：该三视图的俯视为三⾓形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个⼏何体是三棱柱。
6. 如果,那么代数2()b aaa a b--g的值是（A） 2 （B）-2 （C）（D）答案：A考点：分式的运算，平⽅差公式。
解析：2()b aaa a b--g＝22a b aa a b--g＝()()a b a b aa a b-+-+＝2。
7. 甲⾻⽂是我国的⼀种古代⽂字，是汉字的早期形式，下列甲⾻⽂中，不是轴对称的是答案：D考点：轴对称图形的辨别。
2019年北京市中考数学试卷及答案解析
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×1032．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．15．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC 长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD6．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．37．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳时间t0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40人数学生类型性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分式的值为0，则x的值是．10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为．14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12s02（填“＞”，“＝”或”＜”）16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．18．（5分）解不等式组：19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO的长．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【答案】C2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C3．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，∴∠OCD＝∠OCM＝80°，∴∠MCD＝160°，又∠CMN＝∠AON＝20°，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3个；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳时间t人数学生类型0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．故选：C．【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分式的值为0，则x的值是1．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．12．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠P AB+∠PBA＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为0．【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，∴k1＝ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y＝上，∴k2＝﹣ab；∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；故答案为：12．【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．【点评】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）解不等式组：【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为2＜x＜．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO的长．【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tan G＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO＝＝，∴OA＝OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【分析】（1）利用圆的定义得到图象G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为4，5，6；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23首．【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④﹣③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00确定PC的长度是自变量，PD的长度和AD 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 1.59（答案不唯一）cm．【分析】（1）按照变量的定义，PC是自变量，而PD、AD随PC的变化而变化，故PD、AD都是因变量，即可求解；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．【解答】解：（1）按照变量的定义，PC是自变量，而PD、AD随PC的变化而变化，故PD、AD都是因变量，故答案为：PC、PD、AD；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值约为1.59，故答案为1.59（答案不唯一）．【点评】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；。
2019年北京市中考数学试题及答案解析
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）60.43910（B ）64.3910（C ）54.3910（D ）3439102．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）3．正十边形的外角和为（A ）180 （B ）360 （C ）720 （D ）14404．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（A ）3（B ）2 （C ）1 （D ）15．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）∠COM=∠COD （B ）若OM=MN ，则∠AOB=20°（C ）MN∠CD（D ）MN=3CDB6．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（A ）3-（B ）1-（C ）1 （D ）37．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断：∠这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ∠这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间∠这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间学生类别5∠这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）∠∠（B ）∠∠（C ）∠∠∠ （D ）∠∠∠∠二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x -的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy 中，点A()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______20s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ∠存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ∠存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ∠存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ∠至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01142604sin π----++（）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．图3图2图120．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC∠EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是______．∠相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；∠相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．/万元23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ∠将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；∠对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；∠每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PCCBA交弦AB 于点D ．小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；AB（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：()10y kx k=+≠与直线x k=，直线y k=-分别交于点A，B，直线x k=与直线y k=-交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA，，围成的区域（不含边界）为W．∠当2k=时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；∠若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2Pa，(2,2)Q．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA上一定点，1OH=+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．28．在∠ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果上的所有点都在∠ABC 的内部或边上，则称为∠ABC 的中内弧．例如，下图中是∠ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt∠ABC中，AB AC D E ==，分别是AB AC ，的中点．画出备用图图1BAOB ABCDE∠ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在∠ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点．∠若12t =，求∠ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ∠若在∠ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在∠ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．AED CB2019年北京市中考数学答案参考答案与试题解析一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ∠∠ 12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ∠∠∠三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2 x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：∠四边形ABCD为菱形∠AB=AD，AC平分∠BAD∠BE=DF∠AB BE AD DF-=-∠AE=AF∠∠AEF是等腰三角形∠AC平分∠BAD∠AC∠EF（2）AO =1.21. 【答案】 （1）17 （2）（3）2.7 （4）∠∠ 22. 【答案】 （1）∠BD 平分∠ABC ∠∠=∠ABD CBD∠AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 23． 【答案】 （1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组第3组3x 3x3x（2）4，5，6 （3）23 24． 【答案】（1）AD ， PC ，PD ； （2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）()0,1（2）∠6个 ∠10k -≤<或2k =-26. 【答案】（1）1(2,)B a ； （2）直线1x；（3）1a ≤２．27. 【答案】 （1）见图（2） 在∠OPM中，=180150OMP POM OPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP=2. 28. 【答案】 （1）如图：1801180180n r l πππ===（2）∠1P y ≥或12P y ≤； ∠02t<≤BCD E。
2019年中考北京数学试卷分析
2019年中考北京数学试卷分析总体评价2019年中考数学试卷在全面考查基础知识的基础之上，扩大选材范围，突出对支撑学科体系重点知识的考查，关注价值导向，突出学科本质，体现思维广度与深度。
以考查数学思维为核心，注重知识整体性与知识之间内在联系的考查，加强对数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查。
试卷延续了“立德树人，引导教学，服务学生发展考查学生对学科本质的理解，从数学的角度思考问题和运用数学知识解决实际问题，让学生在数学的学习中有获得感，引导教学回归学科本质，关注数学思维，做到学以致用。
试题设问方式易于学生入手，层次分明，适度综合，体现应用，让不同水平的学生都有充分发挥的空间。
一、关注育人功能体现积极导向发挥试题的育人功能。
如第1题，以我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”为背景，考查了科学记数法，让学生在解决问题的同时了解我国的科技发展成就。
参考例题如第21题，以国家创新指数排名为背景，着重考查学生读取、分析数据，获取信息的能力，让学生感受到我国的创新发展水平以及中国创新在世界中的位置。
同时，让学生在数据分析与推断的过程中，感受党和国家提出“决胜全面建成小康社会”奋斗目标和“加快建设创新型国家”战略任务的意义。
参考例题如第14题，以教材中“赵爽弦图”为背景，在充分理解教材、挖掘教材的基础上设计试题，发挥了教材促进学生思维发展的功能，提供给学生展示自我的舞台。
二、关注四基要求体现数学基础试题的命制注重对数与代数、图形与几何、统计与概率等基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。
参考例题如第16题，考查特殊平行四边形（矩形、菱形和正方形）之间的关系。
题目设计体现出了对知识掌握的整体性要求，不要把知识割裂开来看，而是从整体上看知识之间的联系性，这样才能深刻理解并掌握基础知识。
参考例题如第24题，题目通过让学生经历阅读、观察、实验、推理等活动, 考查学生在数学学习过程中所积累的学习经验，尤其是思维经验，让学生“外显”在学习过程中形成的思维品质。
2019年北京市中考数学试卷(带解析)
（2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON＝QP，并证明．
28．（7 分）在△ABC 中，D，E 分别是△ABC 两边的中点，如果 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称 为△ABC 的中内弧．例如，图 1 中 是△ABC 的一条中内弧．
b．国家创新指数得分在 60≤x＜70 这一组的是： 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
第 5页（共 34页）
d．中国的国家创新指数得分为 69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
2019 年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共 16 分,每小题 2 分) 1．（2 分）4 月 24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地
球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距
地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（
D．3
7．（2 分）用三个不等式 a＞b，ab＞0， ＜ 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式
作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（2 分）某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加
公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20～30 之间
北京中考数学试卷分析及学法指导
北京中考数学试卷分析及学法指导2019年北京中考数学试卷分析及学法指导作者：孙庆功一、试卷整体分析与2019年北京市中考数学试卷相比，2019年北京中考数学试卷，题型结构总体稳定，灵活性加强，总体难度加大，。
本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质能力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明中C级要求相呼应（C级要求：“能通过观察，实验，运算和推理等思维活动，发现对象的某些特征及其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活，合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决”）。
在题型设计上，总体稳定，但加强了“实际应用问题”“新定义问题”“几何探究问题”的考察力度与难度。
如第8题，第11题，第18题，第21题都与实际生活的联系比较紧密，第21题难度略有加强；如第12题，第22题，第25题，都是”新定义问题”第12题，第22题难度略有加强，第25题难度与去年相比难度略有降低；如第24题是几何探究问题，重点考察学生探究，推理能力，难度加强。
通过对试卷的分析，我们可以看出，2019年中考数学试卷在“稳中求变”的过程中，除了题型新颖，让很多同学在做题烦，不能因此乱了阵脚，只要考生能够冷静对待，认真审题，还是能够顺利解决的，难度中等。
第23题，代数综合压轴题，本题主要考察了二次函数，一次函数，不等式相关知识。
这类题型基本上都会考察“数形结合思想”。
以函数图象平移，图象的交点等内容为载体，最终建立不等式及不等式组，以求解未知数的取值范围。
这需要学生在平时养成良好审题的习惯，培养将文字语言转化为数学语言的能力。
难度中等第24题，几何综合压轴题，本题主要考察了旋转变换，全等，等腰三角形等有关知识。
与2019年的几何综合题相比较而言，本题整体难度有很大的提升，相信能够解决本题的考生的比例不会很高，本题从第(2)问辅助线可以通过：“作点关于的对称点，连接,延长与相交于点”，最后证明点与点重合，点与点重合即可；第(3)问需要抓住点及的特殊状态，本题难度大，对学生的综合能力要求高。
北京中考数学试卷分析
2019年北京中考数学试卷分析火红的六月 ,北京中正如火如荼的进行中。
针对今早新鲜出炉数学试卷 ,高思教育第一时间为大家分析：一、试题构成① 试卷知识板块构成：概率统计、平面几何、代数的分值比 ,这一点与往年北京中考试卷结构根本一致。
② 试卷难度构成：纵观整套试卷 ,难度较为平缓 ,易、中、难的分值比根本上是 ,仅有最后两题(第28题几何综合7分题 ,第29题代几综合8分题)难度较大。
今年试题较往年而言 ,考察知识点广度变化不大：增加的考点有：1.圆内接四边形对角互补(第28题第(2)问)。
2.利用相对位置探求点的坐标(第8题,“紫禁城宫殿坐标〞)。
3.尺规作图原理(第16题 ,给定线段中垂线的尺规作图之理论依据)。
删除的考点有：1.梯形。
2.圆和圆的位置关系。
3.频数和频率。
今年试题较往年而言 ,题量增加4题 ,难度有所下降。
主要考察考生对根本知识点的掌握程度。
难度降了 ,可不代表容易得高分 ,试题出的很灵活。
总体上讲 ,要拿115以上高分实属不易。
二、主要试题具体分析：1.选择题第8题：此题考察利用相对位置探求点的坐标。
此题将紫禁城内各大宫殿置于正方形网格中 ,以此为背景建立平面直角坐标系。
但只给定x、y轴正方向 ,并未直接给定原点位置和单位长度。
而是通过给定太和门、九龙壁两点坐标间接给出以上信息 ,考查方式很灵活。
2.选择题第10题：延续往年选择题最后一题的一贯作风 ,给定数学模型考查函数大致图像 ,结合图像特点通过排除法得出正确选项。
3.填空题第15题：严格上讲 ,此题属于线性拟合问题 ,考查考生的归纳能力。
此题以北京市2009~2019年轨道交通日均客运量为题材 ,给出一条由6个点连接而成的折线图。
如果考生注意到这6个点大致在同一条直线上 ,那么问题迎刃而解：2019年相对于2019年客运增长量大致是2009~2019五年间年均增长量 ,是108万人次 ,那么2019年日均客运量约为1038万人次。
2019年北京市中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共22数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2019年北京市高级中等学校招生考试数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为（ ） A .60.43910⨯B .64.3910⨯C .54.3910⨯D .343910⨯ 2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）AB CD3.正十边形的外角和为（ ）A .180︒B .360︒C .720︒D .1440︒4.在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C .若CO BO =，则a 的值为（ ）A .3-B .2-C .1-D .15.已知锐角AOB ∠如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ；（3）连接OM ，MN .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A .COM COD ∠=∠B .若OM MN =，则20AOB ︒∠=C .MN CD ∥D .3MN CD =6.如果1m n +=，那么代数式()22221m nm n m m mn +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A .3-B .1-C .1D .37.用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A .0B .1C .2D .38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公下面有四个推断：学生类别5毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（ ）A .①③B .②④C .①②③D .①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式1x x-的值为0，则x 的值为 .10.如图，已知ABC △，通过测量、计算得ABC △的面积约为 2cm .（结果保留一位小数）11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）12.如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠=＋ 。
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2019年北京市中考数学试卷评析
出品人：爱智康8人班初中数学团队2019年北京中考数学考试已经结束，很多关注中考的家长、学员们想要了解今年的试卷情况，下面由爱智康8人班初中数学团队给大家带来2019年北京中考数学的试卷解析。
（一）试卷整体结构、难度分析
2019年北京中考数学试卷延续了2018年的选择题（8道题）、填空题（8道题）、解答题（12道题）的出题形式，试题分值和题目数量和去年考查的一致。
但今年很多中考数学题目特点都发生了新的变化，整体难度与2018年相比更加注重考查学生独立思考、运用所学知识分析问题和解决问题的能力，同时重视了学科素养和思维方法的培养。
在试卷中体现出对中档题目的考查难度及灵活性明显增加，题型特点变化较大。
（二）重点知识点分析及分值占比
（三）重点题型解读 1、选择题第5题考查了尺规作图，不同于以往基础尺规作图，今年主要通过尺规作图总结出相应几何条件，转化成与圆有关的几何问题，对学生们的识图与阅读能力有较高的要求。
2、选择题第8题考查了中位数、平均数及可能性问题，考查了对统计图表的理解及分析数据的能力。
特点是通过最不利原则总结出中位数可能在的范围，而不能直接计算出中位数的值。
3、第10题一改往年填空题考查范围题型，让学生们自己通过测量、计算得出三角形的面积，体现自主探究的学习理念。
4、第16题通过动手画图及平行四边形相关判定来解决问题，同时考查了对任意、存在、至少存在的理解。
47%44%8%
44%41%15%
5、第21题散点图与去年中考第16题考查知识点有相似之处。
散点图是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点的分布形态反映变量统计关系。
整道题考查学生理解数据、分析数据的能力。
6、第22题圆综合问题，2019年北京中考的圆综合与往年最大的不同就是第一问的圆需要我们自己做出，涉及三角形外接圆的尺规作图。
第二问是一个比较常规的切线证明，梳理清楚条件，证明难度不大。
但因为出题的角度较新，所以很多孩子会比较不适应，从而出现失误。
7、第23题不同于往年的统计题型，需要孩子们对于题目有一个准确的理解和把握，题目本身难度不大，但因为题目条件的表述有一定新意，在获取信息时会有一定难度，所以孩子们在题意理解方面可能会出现问题。
8、第24题是函数探究题，与往年不同的是，没有直接给出自变量与因变量是那条线段，需要我们自己判断谁是自变量，谁是因变量，很多同学容易在这个问题上就会不知道如何分析，导致后面的描绘函数图象错误，从而无法解决第3问。
9、第25题是小函数综合题的位置，今年重点考查的一次函数与整点问题，第1问很简单，第2问的第一小问难度也不是很大，只要能准确确定A、B、C 的位置，正确画出图形即可解决，但最后一问难度远高于往年，能达到代数综合最后一问的难度。
10、第26题是代数综合题，跟往年出题的特点变化不是很大，第1问和第2问考查二次函数的图象和性质，考查角度较常规，难度不是很大。
最后一问是已知抛物线与交点个数，求参数取值范围问题，也属于比较常见的考查方式，但
需要学生对于参数a的取值符号进行分类讨论，同时注意点P的位置特征。
11、第27题是几何综合题。
第1问是常规作图，比较意外的是，第2问非常简单，不需要构造辅助线，只需一步简单的倒角即可证明。
第3问可通过构造全等三角形来实现，线段之间的关系较为复杂，需要梳理清晰，整体难度较常规，和海淀二模的几何综合题有点类似的思想。
12、第28题新定义，定义了“中内弧”。
第1问需要先判断中内弧最长时圆心的位置，然后正确作图，这一问中圆心位置确定比较容易出现错误。
第2问涉及分类讨论的数学思想和临界状态的确定，在确定临界状态时有一个相切的状态，比价容易误判。
第3问同样涉及分类讨论的思想，其中一种情况还是需要确定临界状态后，求出参数值，然后判断范围；另一种情况可以借助函数思想，难度较大。
最后取值范围的确定也是一个易错点，需要取到的是两种情况下参数的最大范围而非交集。
（四）给2020届考生的复习建议
通过对2019年中考数学试卷整体的分析会发现中考题型趋势倾向于去模式化，对数学知识、数学知识形成与发展过程、数学知识灵活应用的考查增加明显。
同时考查了学生们抽象概括能力、运算能力、推理能力、分析和解决问题能力。
为此对2020届初三学生提出一些复习建议。
（1）回归教材：新初三阶段要注重知识的融合，学习过程中重点培养探究式的学习模式。
对基础知识的应用要求比较高，需要加强对教材的理解。
（2）培养习惯：培养总结题型的习惯，注重数学经验的累积。
（3）强化能力：强化数学知识的综合应用能力，培养在实际应用中解决问
题的能力。
团队简介
李淼：爱智康八人班初中数学教学负责人，毕业于重点师范院校，初中数学新教师培训师。
注重培养学生的数学解题思维，对北京各知识点研究透彻把握准确。
周翠莲：爱智康VIP教师，基础数学专业研究生，本科师范大学毕业，公立学校一线任教4年，“新浪五星金牌教师”，“教师风采赛”获奖教师。
参与编写和审核多版讲义和资料。
刘文静：毕业于师范院校数学系，有十几年的一线授课经验，作为核心成员曾参与八人班讲义编写。
也曾参加爱智康公立校项目，有良好的数学功底和较强的逻辑思维能力，并深学员受喜爱。
陈晶晶：师范大学数学与应用数学专业毕业，从事教育行业6年，具有高级中学教师资格证。
爱智康八人班骨干教师，讲义编写重要成员，授课展示获奖教师。