2011-2012学年湖南师大附中高一(上)12月月考数学试卷

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湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(二)数学试题

B．若
AF
5 ，则 AOF 4
的面积为 1 8
C．若直线 AB 过点 F ，则 2x1 x2 的最小值为
2 2
D．若
OA
OB
1 4
，则直线
AB
恒过定点
1 2
,
0
12．如图，矩形 ABCD 中， AB 4, BC 2, E 为边 AB 的中点，沿 DE 将V ADE 折起，点
A 折至 A1处 A1 平面 ABCD, P,Q 分别在线段 CE 和侧面 A1DE 上运动，且 PQ 2 ，若
能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干
时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和
混合动力型车．今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆． (1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S (n) ； (2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值．
A．的最小值为 1 16
C．
1
1 4
的最小值为
4
B．的最大值为 1
D．
1
1 4
的最大值为
16
二、多选题
9．已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是（）
A．若复数
z
1 i 1i
，则
z 30
1
B．若复数 z 满足 z 1 z i ，则复平面内 z 对应的点 Z 在一条直线上
C．若 x2 1 x2 3x 2 i 是纯虚数，则实数 x 1
x 1, ex, x
x
1 1 ，若

湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)

16．已知函数
f
x
2, x m
x
2
4
x
2,
x
，若方程
m
f
x
x有
3
个不等实根，则实数
m
的取值范围是
____________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A
x 5x 3 4x
，集合 B
x
x2 m
值域也是a,b ，则称函数 F x 是区间 D 上的“优函数”，区间a,b 称为 F x 的“等域区间”．
（1）已知函数 f x 3 x 2 是区间0, 上的“优函数”，求 f x 的“等域区间”；
（2）是否存在实数 k，使函数 g x x2 k 是区间 , 0 上的“优函数”？若存在，求 k 的取值范围；
当 x 0 时， f (x) x(2 x) x(x 2) ，由图知， f (x) 单调递减，选 A．
4
7．C 【解析】法一：因为 f ( 2) 2, f (2) 2 ，则 f [ f ( 2)] 2 ，所以 a 2 ，选 C．
法二：令 f f (a) t ，则 f (t) 2 ．因为当 t 0 时， f (t) t2 0 ，所以 t2 t 2(t 0) ，
m 1 2m 1, 若 B ，则 m 1 2, 解得 2 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (, 3]，选 A．
2m 1 5,
9．B 【解析】因为函数 y 1 的定义域是 (, a) (a, ) ，且在区间 (a, ) 上是减函数，则 xa
a 0 ，且 (1, ) (a, ) ，所以 0 a 1，选 B．

湖南师大附中2005--2006学年度高三年级月考试题数学(理)

湖南师大附中2005—2006学年度高三年级月考试题数学（理科）说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．若复数i a a a a z )2()2(22--+-=的纯虚数，则（）A ．12≠≠a a 或B ．12≠≠a a 且C ．a =0D ．a =2或a =0 2．若|)|1)(1(,x x R x -+∈那么是正数的充要条件是（）A ．1||<xB ．1<xC ．1||>xD ．111<<--<x x 或3．设全集I=R ，.}0)(|{},0)(|{R Q P x g x Q x f x P ≠≠≠⊂⊂⊂>=<=φ且满足则集合}0)(0)(|{≤≥=x g x f x M 且等于（）A ．C I PB ．C I QC ．φD ．（C I P ）∪（C I Q ）4．已知随机变量p n D E p n B 与则且,4.2,12),,(~==ξξξ的值分别是（）A ．15与0.8B ．16与0.8C ．20与0.4D ．12与0.65．在等差数列{a n }中，若a 2+ a 6+ a 16为一个确定的常数，则下列各个和中也为确定的常数的是（） A ．S 8 B ．S 10 C ．S 15 D ．S 176．已知实数),(,2|1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，)(,0),1()(x f x x x x f 时那么当<+=的解析式是（）A ．)1(x x --B ．)1(x x -C ．)1(x x +-D ．)1(x x +8．设函数f (x )是可导函数，并且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（）A ．21B ．－2C ．0D ．－19．设函数)12(),()(1-==-x f y x f x f y 现将函数的反函数为的图象向左平移2个单位，再关于x 轴对称后，所对应的函数的反函数是（）A ．2)(31x f y --=B ．2)(31x f y ---=C ．2)(31x f y -+-=D ．2)(31x f y -+=10．给出下列4个命题： ①若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形； ②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形； ③若cosAcosBcosC<0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 是等边三角形.其中正确的命题是（）A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数21)|lg(|xx x y --=的定义域为 .12．已知,)1(x e f x =+则函数)(x f 的解析式是)(x f = . 13．已知函数=-+-++≠>+=)41()21()41()21(),10(11)(f f f f a a a x f x 则且 .14．设向量||3||),sin ,(cos ),sin ,(cos a b y y b x x a =+==若，则=-)c o s (y x .15．求值：= 2222 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知βα,为锐角，且试求,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα)23c o s (βαπ++的值.17．（12分）已知双曲线2112222+>=-e by a x 的离心率，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，试推断在双曲线上的左支上是否存在点P ，使得|PF 1|是点P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18．（14分）一袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球.（Ⅰ）求至少摸到一个红球的概率；（Ⅱ）求摸到黑球个数ξ的概率分布和数学期望.19．（14分）在三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近C 点，AC=4，14 PA ，PB 和底面所成角为45°.（Ⅰ）求点P 到底面ABC 的距离. （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的正切值.20．（14分）已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x +1.（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围.21．（14分）已知数列{a n }满足：*).(02,2,81241N n a a a a a n n n ∈=+-==++且（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和2221224232221n n a a a a a a -++-+-- ；（Ⅲ）设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=21*),()12(1，若存在整数m ，使对任意n∈N*，均有32mT n >成立，求m 的最大值.高三数学（文）参考答案一、选择题：1.C2.D3.B4.A5.C6.A7.B8.D9.C 10.B 二、填空题11．（－1，0） 12．)1ln(-x 13．2 14．823 15．2 三、解答题：16．解：由⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32∵.02sin ,02sin ,2,20,2,0≠≠∴<<∴<<βαπβαπβα①÷② .2c o t t a nβα= 即 .2cot )2cot(βαπ=- …………6分又∵220παπ<-<，∴.0)2cot(2cot >-=απβ∴22,22,220πβαβαππβ=+∴=-∴<<. …………10分∴.23)32cos()23cos(-=+=++ππβαπ…………12分 17．设在左支上存在P 点使|PF 1|2=|PF 2|·d ，则,||||||121PF PF d PF = ① ②又||||,||121PF e PF e dPF =∴= ① …………4分又|PF 2|－|PF 1|=2a ②由①、②得.12||,12||21-=-=e aePF e a PF …………8分因在△PF 1F 2中有 |PF 1|+|PF 2|≥2c ，∴c e aee a 21212≥-+- ③ …………10分利用,ace =代入③得.2121,0122+≤≤-∴≤--e e e212111+>+≤<∴>e e e 与矛盾.∴符合条件的点P 不存在. …………12分18．（1）至少摸到一个红球的概率 56551383505=-=C C C P …………4分（2）ξ表示摸到黑球个数，则2815)1(;285)0(382513383503======C C C P C C C P ξξ； …………6分 561)3(;5615)2(38535381523======C C C P C C C P ξξ. …………8分 ∴摸到黑球个数ξ的概率分布为：∴E ξ=.8…………14分19．（1）∵P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上，过P 作PH ⊥底面ABC ，则H 在AC上且靠近C 点，∴面PAC ⊥面ABC …………2分在等腰Rt △ABC 中，连结BH 取AC 中点O ，连BO. 设PH=h ，由已知∠PBH=45°，则BH=h.…………4分在△OHB 中BO ⊥AC ，OB=222,221-==h OH AC 在Rt △PAH 中，PA 2=HA 2+PH 2. ∴5,14)24(222=∴=+-+h h h∴P 到底面ABC 之距离为5 ………7分（2）在H h OH h ∴=-==,12,522时是CO 中点.……9分在△ABC 中，过点H 作HM ⊥AB 于垂足为M ，连PM.则∠PMH 为二面角P —AB —C …………12分 ∵.3102235tan ,223224343==∠∴=⋅==PMH BC HM …………14分 20．（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 …………2分而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a =2，b=－4，c=5.∴.542)(23+-+=x x x x f ………………5分（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时 13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 …………8分又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13. …………9分（3）y=f (x )在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a +b=0. 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ……10分 ① ②①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时； ③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 …………13分综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ …………14分21．（1）∵n n n n n n n a a a a a a a -=-=-=+++++1121202即∴数列{a n }成等差数列. ………………2分由n a a a d a a n 210,232,81441-=∴-=-===得公差 ……4分（2）2221224232221n n a a a a a a -++-+--)())(())(())((212432121221243432121n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a ++++++-=-++++-++-=--- ).29(42)(2221n n a a n n -=+⋅= …………9分（3）∵).111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n …………10分 ∴n n b b b T +++= 21]1113121211[21+-++-+-=n n =.)1(2)111(21+=+-n n n …………11分 ∴0)1)(2(21)111(21)211(211>++=+--+-=-+n n n n T T n n ∴{T n }是递增数列. ∴411=T 是T n 的最小值. …………13分由83241<⇒>m m ∴满足条件的最大整数m=7 …………14分。

湖南师大附中 2023-2024 学年度高二第一学期第一次大练习(月考)数学试卷

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知1i22iz −=+，则z z −=（） A ．i −B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（） A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β 3．若()()21ln21x f x x a x −=++为偶函数，则a=（） A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a = ，AC b = ，AD c =，则BP =（）A ．511666a b c −− B ．511666a b c −++ C ．211333a b c −−D ．211333a b c −++ 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =−，则A=（） A ．34π B ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（） A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα− =−（）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b −≤ ∗=−> ，设函数()()()212f x xx =+∗+，若函数()y f x c =−有两个零点，则实数c 的取值范围是（） A ．()()2,45,+∞ B ．(](]1,24,5 C ．()(],14,5−∞D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++−=与n ：()2360a x y −+−=，下列选项正确的是（） A ．若l ∥n ，则a=6或1a =−B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1−）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =−−11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+−（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=−，则下列结论正确的是（）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π−，0）对称 C ．函数()g x 在区间0,2πD ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π 12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（0） C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x − ≤ =−> ，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω=+（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2−=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若cos α=，求直线l 的斜截式方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程． 18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且cos b a A A c++=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且，求2a b +的取值范围．如图，在四棱雉P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，BC=P A=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为．（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，，BB 1=BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小． 22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x −+．（1）求a 的值；（2）求()2f x ≥解集；（3）设()24log 231x g x=+ −，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ∈−），若()()f h x g h x ≥ ，求实数m 的值．。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

20．已知 f (x) 是定义在区间[1,1] 上的奇函数，且 f (1) 1，若 a,b [1,1]，a b 0 时，
有
f
(a) f ab
(b)
0.
（1）判断函数 f (x) 在[1,1] 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若 f (x) m2 5mt 5 对所有 x [1,1]， t [1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围.
2
f 3 2x f x 2 的解集是（）
A．
,
1 3
C．
,
1 3
5,
B．
1 3
,
D．
1 3
,
5
8．函数 f x loga 2x 3 1（ a 0 且 a 1）的图象恒过定点 Am, n ，若对任意正数
x
、
y
都有
mx
+
ny
=
4 ，则
1 x 1
2 y
的最小值是（
）
A． 2
Q
其中
R
为实数集，
Q
为有理数
集．则关于函数 f (x) 有如下四个命题，正确的为（）
A．对任意 x R ，都有 f x f x 0
B．对任意 x1 R ，都存在 x2 Q ， f x1 x2 f x1
C．若 a 0 ， b 1，则有x f (x) a x f (x) b
3．三个数 40.2 , 30.4 , log0.4 0.5的大小顺序是
A． 30.4 <40.2 log0.4 0.5
B． 30.4 < log0.4 0.5<40.2
C． log0.4 0.5 30.4 40.2
D． log0.4 0.5 4 0.2 30.4

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考卷(四)数学

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

湖南省师大附中2012届高三月考(四)数学文科试题及答案

湖南省师大附中2012届高三月考(四)数学试卷(文科)分值:150分时量:120分钟考试日期:2012-02-04一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.已知集合{1,2},{1},A B A B ==⋃则集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.过点(1,2)与圆221x y +=相切的直线方程是( ) A ．1x =B ．3450x y -+=C ．34501x y x -+==或D ．54301x y x -+==或3.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如右图),s 1,s 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准方差,则它们的大小关系是( )A ．12s s <B ．12s s ≤C ．12s s >D ．12s s ≥4.已知定义在R 上的奇函数()(2)(),(6)f xf x f x f +=-满足则的值为( )A ．—1B ．0C ．1D ．45.在△ABC 中,已知B =30 ,150b c ==,那么这个三角形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6.设变量x ,y 满足约束条件14,242x y x y z x y y -≥-⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则目标函数的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．147.已知F 是双曲线22221(0)3x ya aa-=>的右焦点,O 为坐标原点,设P 是双曲线C 上一点,则∠POF 的大小不可能是( ) A ．20°B ．40°C ．80°D ．160°8.已知函数2()21f x x mx =-++,若0x R ∃∈,使得1[1,2]x ∀∈都有10()()f x f x <,则实数m 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,1)(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)9.(优选法)在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ,1.1KΩ,1.9K Ω,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的电阻的阻值是.10.(坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为2c o s()sinxyααα=⎧⎨=⎩为参数,曲线C2的极坐标方程c o s()4πρθ-=则曲线C1与曲线C2的交点个数有个.(二)必做题(11〜16题)11.计算:2310i i i i++++=(i表示虚数单位)12.在一个直径为6的球内随机取一点,则这个点到球心的距离小于1的概率为.13.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是.14.已在()1,()xf x e ax f x=--若在定义域R内单调递增,则a的取值范围是.15.,90,60,,()||||AC AB Rt ABC C BAC AC P BP PC AP mAC ABλ∆∠=∠====+中点满足若,则λ的值为.16.已知数列{}21(1,2,3,)n na a n n=-=的通项,现将其中所有的完全平方数(即正整数的平方)抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列{}nb.(1)若k mb a=,则正整数m关于正整数k的函数表达式为m= ;(2)记{},nn nnSS a nnb是数列的前项和则能取到的最大值等于.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{}na是公差不为零的等差数列,11,a=且139,,a a a成等比数列.(1)求数列{}na的通项公式;(2)求数列{2}n a的前n项和nS.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg /100ml (不含80)之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg /100ml (含80)以上时,属醉酒驾车”.2011年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个小时共查出酒后驾车者60名,图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图.(1)求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数;(图甲中每组包括左端点,不包括右端点);(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的S 值,并说明S 的统计意义;(图乙中数据m 与f ,分别表示图甲中各组的组中值及频率);(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml (含70)以上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml (含70)以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验,求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率.19.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC 00折起,使∠BDC =600.(1)证明:平面ADB ⊥平面(2)设E 为BC 的中点,求异面直线AE 与DB 所成角的大小.农户计划将已有的一块半径为100米的土地(如图所示)重新规划,拟将面积相等的两个△AOD 与△BOC 置为普通花草地,△COD 置为特级花草地,O 为半圆圆心,∠COB =θ,据市场调查,特级花草市场销售价变化不大, 普通花草市场销售价变化较大,以往经验显示:特级花草地每平方米年利润为a 元,普通花草地每平方米年利润为sin a θ元.(1)分别写出△BOC 、△AOD 、△COD 的面积关于θ的函数关系;(2)写出农户年总利润()f θ关于θ的函数关系,当θ为何值时,年总利润()f θ最大.21.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4.(1)求椭圆G 的方程;(2)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得△AEF 的说明理由.22.(本小题满分13分)已知函数()[,]f x a b 的图象在上连续不断,1()min{()|,[,]}f x f t a t x x a b =≤≤∈,2()max{()|,[,]}f x f t a t x x a b =≤≤∈,其中min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.若存在最小正整数k ,使21()()()f x f x k x a -<-对任意的[,]x a b ∈成立,则称函数()[,]f x a b 为上的“k 阶收缩函数”. (1)若12()cos ,[0,],(),()f x x x f x f x π=∈试写出的表达式;(2)已知函数2(),[1,4],()[1,4]f x x x f x =∈--试判断是否为上的“k 阶收缩函数”,如果是,求出对应的k ,如果不是,请说明理由.(3)已知320,()3[0,]b f x x x b >=-+函数是上的“2阶收缩函数”,求b 的取值范围.湖南师大附中2012届高三月考(四)参考答案一、选择题:D C A B;D C C D8.【解】因为max ()(),f x f m =若0x R ∃∈,使得1[1,2]x ∀∈都有10()()f x f x <,即11[1,2],()()x f m f x ∀∈>恒成立.故[1,2]m ∉,所以m 的取值范围是(,1)(2,)-∞+∞ ,选D.二、填空题:9. 3.5K Ω; 10. 2 ; 11.1i -+; 12.127; 13.; 14.(,0]-∞; 15. 2 ;16.(1)2221k k -+; (2) 1 .15. 【解】在,Rt ABC ∆易求得6BC =,因为()||||ACABAP m AC AB =+,故P 在B A C ∠的平分线上,又BP PC λ= ,故P 在线段B C 上,所以P 是B A C ∠的平分线与B C 的交点,在Rt AC P ∆中,由30,PAC AC ∠== ,可求得2,P C =又6BC =,故2BP PC =,故2λ=.16.【解】(1)列举发现2(21)n b n =-,所以22(21)2(221)1k b k k k =-=-+-,则2221m k k =-+; (2)由22111(21)44n nS nnb n n n n ==≤-+-,当且仅当1n =时,n nS nb 取最大值1.三、解答题17.【解】(1)由题设知公差0d ≠,由11391,,,a a a a =成等比数列,得121812d d ad++=+,……………………4分解得1,0d d ==(舍) …………………………………………………………………………………6分故{}n a 的通项公式1(1)1n a n n =+-⨯=……………………………………………………………8分 (2)由(1)知22na n =,由等比数列前n 和公式得,2312(12)22222212nnn n S +-=++++==-- …… …12分18.【解】(1)0.00510603⨯⨯=,属醉酒驾车的共有3人. ………………………………………………4分 (2)(250.025350.015450.020S =⨯+⨯+⨯ 550.015650.010750.010+⨯+⨯+⨯850.005)1047+⨯⨯=S 的统计意义是这60名酒后驾车者血液平均酒精浓度在47mg/100ml. ………………8分 (3)被洒精测试仪测得酒精浓度在70 mg/100 ml(含70)以上的酒后驾车共有9人,不妨设编号分别为1(吴),2(李),3,4,5,6,7,8,9,则随机抽出2人共有36种情况,如右表,显然,由表格统计可知,事件A={吴、李两位先生至少有1人被抽中}发生的有15种情况,所以由古典概型知: 155()3612P A ==…………………………………………………………………………………………12分19.【解】(1)证明:因为折起前AD 是B C 边上的高, 所以当ABD ∆折起后,,A D D C A D D B ⊥⊥, 又BD DC D = ,所以AD ⊥平面B D C ,又AD ⊂平面ABD ,所以平面ABD ⊥平面B D C .…………5分. (2)取C D 的中点F ,连接EF AF D E 、、,则E F B D ,所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角(或其补角), ………7分设2DB =,则1,6,3EF AD DC DF ====. 由120BDC ∠= ,E F B D ,所以60DFE ∠=在,D FE ∆中2222cos 6013DE DF EF DF EF =+-⨯= ,…………………………………………9分又R t A D E ∆中,5AE ==,在Rt AD F ∆中,AF =在AEF ∆中,2221cos 22AE EF AFAEF AE EF+-∠==⋅, ……………………………………………………11分所以异面直线AE 与BD 所成的角为60.分 20.【解】(1)4110sin (0),5000sin (0)222BO C AO D S S θθθθ∆∆ππ=⨯⨯<<=<<4110s i n (2)5000s i n 2(0)22O C D S θθθ∆π=⨯⨯π-=<<…………4分 (2)4411()sin 210sin 10sin 222f a a θθθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ …………………………………………7分42110(sin sin 2)((0,))22a θθθπ=+∈…………………………………………………………8分从而41)4()102f a θθπ+-=………………………………………………………………10分故242θππ-=,即38θπ=时,()f θ取最大值.从而当38θπ=时,年总利润()f θ最大.21.【解】(1)因为A 点坐标为(2,0)-,故4A C =, 又因为四边形ABC D 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1. 所以椭圆G 的方程为2214xy +=……………………………………………………………………………3分(2)因为直线l 不垂直y 轴,故设直线l 的方程为1x my =+,由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,22(4)230m y my ++-= ………………………………………………………4分所以22412(4)0m m ∆=++>恒成立. …………………………………………………………………5分设1122(,),()E x y F x ,y ,则12122223,44m y y y y m m +=-=-++…………………………………………6分所以211||||2AEF S AM y y ∆=⨯-==4m ==+4m =+得4272040m m ++=,解得207m =<(舍去)所以不存在直线l ,使得△AEF.22.【解】(1)由于函数cos y x =在区间[0,]π上单调递减,所以1()min{()|0,[0,]}cos ([0,])f x f t t x x x x =≤≤∈π=∈π2()max{()|0,[0,]}cos 01f x f t t x x =≤≤∈π==…………………………………………………4分(2)由于函数2()f x x =在区间[1,0]-上递减,在区间[0,2]上递增;所以21[1,)()m in{()|1,[1,4]}0[0,4]x x f x f t t x x x ⎧∈-0=-≤≤∈-=⎨∈⎩221[1,1)()m i n {()|1,[1,4]}[1,4]x f x f t t x x x x ∈-⎧=-≤≤∈-=⎨∈⎩也所以,22121[1,0)()()1[0,1)[1,4]x x f x f x x xx ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩……………………………………………………………6分 ①当[1,0)x ∈-时,若21(1)x k x -≤+恒成立,则1k x ≥-,所以2k ≥; ②当[0,1)x ∈时,若1(1)k x ≤+恒成立,则11k x ≥+,所以k ≥1③当[1,4]x ∈时,若2(1)x k x ≤+恒成立,则21(1)211xk x x x ≥=++-++,令1[2,5]t x =+∈,易知函数1()2g t t t=+-在区间[2,5]上递增,16()5f t =,所以165k ≥综上①②③可知,16,5k ≥又*k N ∈,所以4k ≥;即存在最小正整数4k =使得()f x 是[1,4]-上的“4阶收缩函数”.……………………………………8分(3)2()363(2)f x x x x x '=-+=--,令()0,f x '=得0x =或2x =;所以当02x <<时,()0f x '>,函数()f x 递增,当2x >时,()0f x '<,函数()f x 递减;于是函数在[0,)x ∈+∞上有最大值(2)4f =,且当x →+∞时,2()(3)f x x x =-→-∞,即没有最小值; 且当()0f x =时,0x =,或3x =,草图如右,………………………………………9分 (Ⅰ)当02b <≤时,()f x 在区间[0,]b 上递增,因此,3221()()3,()(0)0f x f x x x f x f ==-+==,因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的“2阶收缩函数”,所以,3221()()32(0)f x f x x x x -=-+≤-对[0,]x b ∈恒成立…………①且存在[0,]x b ∈时,3221()()3(0)f x f x x x x -=-+>1⨯-成立……② 由①式解得01x ≤≤或2x ≥,显然此时要求01b <≤由②式得2(31)0(0{|0,22x x x x x x x x -+<⇔--<⇔<22x <<在[0,]x b ∈上有解,这要求22b <≤ 综上可知,此时b的取值范围为2;…………………………………………………………11分(Ⅱ)当23b <≤时,显然由函数()f x 草图可知,21()(2)4,()(0)0f x f f x f ====,此时,由题知21()()42(0)f x f x x -=≤-对[0,]x b ∈恒成立,要求2x ≥, 显然当1x =[0,]b ∈时,上式就不成立.故舍去;(Ⅲ)当3b >时,同理(Ⅱ),21()()4()2f x f x f b x -=-≤对[0,]x b ∈恒成立,此时()0f b <当2[0,]x b =∈时,代入上式4()22()0f b f b -≤⨯⇔≥与()0f b <矛盾,舍去; 综上(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)可知,所求b12b <≤.…………………………………………13分。

湖南师大附中 2023-2024 学年度高一第一学期第一次月考数学试卷

湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<<，则A B =（）A ．{}23x x <≤ B ．{}23x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x <<2．命题：“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（）A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x=C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =3．一元二次不等式2144x x −≥的解集是（）A ．72,4⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．7,24⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．74,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．7,42⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4．已知2x >，则442x x +−的最小值是（） A ．4B ．8C ．12D ．165．设()22M a a =−，()()13N a a =+−，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤6．已知{}31,M x x m m ==−∈Z ，{}32,N x x n n ==+∈Z ，{61P x x p ==−，}p ∈Z ，则下列结论正确的是（）A ．M PN = B ．P M N = C ．M N P ⊆ D ．N M P⊆7．命题“[]1,2x ∀∈，1120ax x+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≥− B ．2a ≥− C ．3a ≥− D ．4a ≥− 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(一)数学试题

A． an 为等差数列
B．an 为等比数列
C．Sn 为等差数列
D．Sn 为等比数列
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过 0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量
迅速上升到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末
D． 1 108
二、多选题 9．下列命题为真命题的是（）
A．若 a b ，且 1 1 ，则 ab 0 ab
C．若 c a b 0 ，则 a b ca cb
B．若 a b 0 ，则 a2 ab b2 D．若 a b c 0 ，则 a a c
b bc
10．设正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 ，BB1 ，BC 的中点分别为 E ，F ，G ，则（）
与 x 轴的交点为 E ，求VABE 的面积的最大值.
22．已知函数 f x x aex 1 ，g x ax ln x x e2 a R ，设 max ,m n 表示 m ，
n 的最大值，设 F x max f x, g x .
(1)讨论 f x 在 0, 上的零点个数；
(2)当 x 0 时 F x 0 ，求 a 的取值范围.
术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数 m ，满足以上两个条件，若
存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆
C
的中心在坐标原点，两焦点
F1
，F2
在
x
轴上，离心率为
1 2
，点
P
在
C
上，
且△PF1F2 的周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程；

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷)

第1页/共5页湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。

湖南师大附中2012-2013学年高三第一次月考数学试卷(文科)

2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．﹣ ﹣﹣﹣=2．（5分）（2012•北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（） IF a ＜10 THEN y=2+a ELSE y=a*a4．（5分）设函数，且函数f （x ）为偶函数，则g （﹣2）=（）解：∵6．（5分）函数，g （x ）=3x﹣1，则不等式f[g （x ）]≥0的解集为（）①②，解得7．（5分）点，则x 2+y 2的取值范围是（）解：约束条件==，的取值范围∠ADC=30°，则斜坡AD 的长为（）C |AC|=|AC|====|AD|=a 半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正10．（5分）（2012•湖北）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ．若（a+b ﹣c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=．cosC==C=．故答案为：11．（5分）（2012•上海）已知y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）=13．（5分）已知函数f （x ）=x 2+ax+b ﹣3，f （x ）的图象恒过点（2，0），则a 2+b 2的最小值为．a++，﹣，﹣时，的最小值为．故答案为：．14．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．解：∵，=1∴=|2|====解得3下列关于函数f （x ）的命题； ①函数f （x ）的值域为[1，2]；②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点．其中真命题为 ② （填写序号）16．（12分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+2sinxcosx （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f （x ）在[﹣，]上的值域．=cos2x+sin2x=sin 2x+﹣≤2x+≤+﹣≤+﹣]）∵﹣，∴﹣≤2x+≤，∴≤2x+，]1111（1）证明：BC⊥AC1；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．AM=2，，所成角的正弦值为18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{b n}，使a1b 1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{b n}的前n）由题意可得，解得==1+万件，则可获利﹣lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润m=，则企业获得利润是lnx+﹣时，都有﹣+﹣，﹣+﹣，则﹣+﹣﹣+﹣上的最小值为≤与椭圆相交于不同的两点代入椭圆，可得与椭圆相交于不同的两点﹣，= =+==x+﹣x+x+x+x+﹣+≥=，≥，∴。