2018年高考数学(文)复习:第1部分 专题3 点6 古典概型与几何概型含答案
古典概型、几何概型复习优秀课件
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考点二 复杂事件的古典概型问题
求复杂事件的概率问题,关键是 理解题目的实际含义,必要时将所求 事件转化为彼此互斥事件的和,或者 是先去求对立事件的概率,进而再用 互斥事件的概率加法公式或对立事件 的概率公式求出所求事件的概率.
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例2
袋中装有大小相同的10个小球, 其中6个红色,4个白色,从中依次不 放回地任取出3个,求: (1)取出3球恰好2红1白的概率; (2)取出3球依次为红、白、红的 概率; (3)第三次取到红球的概率.
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【思路点拨】 本题第(1)问为几 何概型,可采用数形结合的思想画出 图形,然后利用几何概型的概率公式 求解,第(2)问为古典概型只需分别求 出|x|≤2,|y|≤2内的点以及(x-2)2+(y -2)2≤4的点的个数即可.
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【解】 (1)如图,点P所在的区域 为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x -2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为 圆心,2为半径的圆面(含边界).
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1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16
(2)满足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的点 (x,y)有25个,满足x,y∈Z,且(x-2)2+ (y-2)2≤4的点(x,y)有6个,∴所求的概率
6 P2= . 25
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【规律小结】 几何概型与古典概型的 区别在于它的试验结果不是有限个,其特点 是它的试验结果在一个区域内均匀分布,所 以几何概型的概率的大小与该事件所在区域 的形状和位置无关,只与该区域的大小有 关.利用几何概型的概率公式P(A)= A的测度 ,求概率的思路与古典概型的概率 Ω的测度 求解思路一样,都属于“比例解法”.
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习:古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征(1)有限性:即在一次试验中,可能出现的结果,只有有限个,也就是说,只有有限个不同的基本事件。
(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的,如果一次试验中共有n 种等可能的结果,那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件,由于基本事件是互斥的,则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和,即n m A P =)(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为:试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤:(1)算出基本事件的总个数n ;(2)计算事件A 包含的基本事件的个数m ;(3)应用公式()m P A n=求值。
5.古典概型中求基本事件数的方法:(1)穷举法;(2)树形图;(3)排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义:事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点:(1)无限性,即在一次试验中基本事件的个数是无限的;(2)等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式:随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(体积、长度)”之比来表示。
所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为:Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量,A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。
2018高考数学文科一轮复习讲义 7.2 第二节 古典概型
第二节 古典概型【考点点知】知己知彼,百战不殆古典概型是新课标概率知识中最重要的内容,高考对这一部分的考查,主要是利用古典概型的概率公式解决一些古典概型的应用题,是考查的重点.复习时,应先加强对基本事件的定义及古典概型定义的理解,从而更好地利用古典概型的概率公式求解古典概型问题. 考点一: 基本事件1.在试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来表示,这样的事件称为基本事件. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间.2.古典概型,都具有两个特征:(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;(2)每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型),试验的每一个可能结果称为基本事件.考点二: 有放回抽样与无放回抽样1.在随机试验中有两种重要的概率模型,即有放回抽样与无放回抽样.(1)有放回的抽样:每次摸出一只后,仍放回袋中,然后再摸一只,这种摸球的方法称为有放回的抽样.显然,对于有放回的抽样,依次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去.(2)无放回的抽样:每次摸出一只后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一只,这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.2.由此可见有放回的抽样不是古典概型,无放回的抽样是古典概型.考点三: 古典概型的概率公式对于古典概型,通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成,如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ,随机事件A 包含的基本事件数为m ,那么事件A 的概率规定为P (A )=nm .由此规定可知,在古典概型中,计算事件A 的概率,关键是计算试验的所有可能结果(基本事件)数n 和事件A 包含的可能结果(基本事件)数m .【考题点评】分析原因,醍醐灌顶例1.(基础·2007江西文,6)一袋中装有大小相同,编号分别为12345678,,,,,,,的八个球,从中有放回...地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于...15的概率为( ) A.132 B.164 C.332 D.364思路透析:两个球的编号和不小于...15, 则两球号码可以为7,8; 8,7; 8,8三种可能, 其概率为338864P ==⨯, 故应选D. 点评:应用枚举法列出基本事件的个数,再利用公式求概率,求解中有不少考生遗漏了8,8这一可能性.例2.(基础·2007上海春季)在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目.若选到男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有 人.思路透析:设男教师有x 人,则女教师有12x +人,则随机挑选一人是男教师的概率1112912220xx x C x C x ++==+,解之得54x =, ∴参加联欢会的教师共有122120x +=人.点评:本题考查了随机事件的概率事件的分析与实际应用, 概率与方程思想相交汇的综合考查. 不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件,但它们可以看作是随机事件的两个极端情况,用这种既对立又统一的观点去看待它们,有利于认识它们的内在联系.例3.(综合·2007山东卷文科12)设集合{12}{123}A B ==,,,,,分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ,确定平面上的一个点()P a b ,,记“点()P a b ,落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤,,若事件n C 的概率最大,则n 的所有可能值为( )A .3B .4C .2和5D .3和4思路透析:当2x =时, 211()236P C ==⨯; 当3x =时, 321()233P C ==⨯; 当4x =时, 421()233P C ==⨯; 当5x =时, 511()236P C ==⨯, 综上可得事件n C 的概率最大时, n 的所有可能值为3或4,故应选D.点评:考生在求解不同的赋值情况下的概率时,对于点在直线上的点坐标的对号选择有部分错误,导致结论出解中出现错误,也有部分考生对于得到的两个值持怀疑态度,进行二次概率求解,试图比较其两者的大小而出现延时现象.高考概率试题的求解,对概率事件的分析过程一要细心,二要清楚的理解该事件所有可能发生的情况,作出正确的判断后再进行求解.例 4.(综合·2007山东临沂期中,17)已知△ABC ,向量ABC k AB AC k BC ∆∈≤=-=求且,,4||),4,2(),3,2(Z 为直角三角形的概率.思路透析:).1,(),3,2()3,2(k CB AC AB k CB k BC =+=∴--=∴-=又.1515,15,161,4||22≤≤-∴≤≤+∴≤k k k又.3,2,1,0,±±±=∴∈k k Z若△ABC 为直角三角形,则(i )2,042,0-=∴=+∴=⋅k k ;(ii )13,32,02-=∴--∴=⋅或k k k ;(iii )8,012)2(2,0=∴=+-∴=⋅k k (舍去).∴△ABC 为直角三角形的k 的值为-1,-2,3,而基本事件总数为7.由古典概型知,.73=P 即△ABC 为直角三角形的概率为.73点评:本题以平面向量的坐标运算与点坐标间的相互联性定义进行命题,通过直角三角形的个数作为事件,考查了古典概型及其概率计算公式,属于一道综合题,考查了考生对复杂的概率事件的分析与推理论证的能力.例 5.(创新探究·2008如东、启东期中,18)已知函数:c bx x x f ++=2)(,其中:40,40≤≤≤≤c b ,且,b c Z ∈,记函数)(x f 满足条件:⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ,求事件A 发生的概率.思路透析:由 ⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 得:282b c b c +≤⎧⎨-+≤⎩ 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ . 当b=0时c=0,1,2 ; 当b=1时c=0,1,2,3 ; 当b=2时c=0,1,2,3,4 ;当b=3时c=0,1,2 ; 当b=4时c=0以上共16种情形 .故事件A 发生的概率为16()25P A = . 点评:古典概型是近几年高考考查的热点内容.在计算其基本事件的个数以及事件A 所包含的基本事件的个数时,既可以直接列举,也可借用平面直角坐标系、有序实数对(有序实数组或有序元素等)、树枝状图等方法来列举. 本例中是通过有序实数对来计数的.例6.(创新探究·2007湖北八校联考)箱中装有15张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码,正面号码为n 的卡片反面标的数字是21240n n -+.(卡片正反面用颜色区分)(1)如果任意取出一张卡片,试求正面数字大于反面数字的概率;(2)如果同时取出两张卡片,试求他们反面数字相同的概率.思路透析:(1)由不等式21240n n n >-+,得58n <<.由题意知6,7n =,即共有2张卡片正面数字大于反面数字,故所求的概率为215. 答:所求的概率为215. (2)设取出的是第m 号卡片和n 号卡片(m n ≠), 则有2212401240m m n n -+=-+.即2212()n m n m -=-,由m n ≠得12m n +=.故符合条件的取法为1,11;2,10;3,9;4,8;5,7. 故所求的概率为2155121C =. 答:故所求的概率为121. 点评:本题为一个不等式与概率问题的交汇考题,通过解不等式得出符合条件的基本事件数,也可以用列举法列出所有的基本事件(当基本事件个数较少时适用),然后分别求得符合条件的概率值.【画龙点睛】探索规律,豁然开朗1.规律总结:(1)一般地,对于古典概型,如果试验的n 个基本事件组成基本事件集合(称为基本事件空间),随机事件A 含有m 个基本事件,这m 个基本事件构成集合A,则集合A 中元素的个数m 与基本事件的个数n 的比值,就是事件A 的概率,即P (A )=n m . (2) P (A )=nm ,既是概率的古典定义又是求古典概型的概率的基本方法. 求P(A)时,首先要判断是否是古典概型,它的计算步骤是: ①判断事件A 是否为古典概型; ②算出基本事件的总个数n ;③算出事件A 包含的基本事件的个数m ;④算出事件A 的概率P (A )=A 事件所包含的基本事件数试验的所有可能的基本事件总数=nm . 2.学以致用:(1)将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为A .91B .121C .151D .181 (2)将一枚硬币连掷3次,出现“2个正面,1个反面”的概率是 A.31 B.81 C.83 D.32 (3)在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率 是 (结果用数值表示).(4)豌豆的高矮性态的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D ,决定矮的基因记为d,第一子代的一对基因为D d ,若第一子代的D ,d 基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率.(只要有基因D,则茎就是高茎,只有两个基因全是d 时,才显现矮茎)答案:(1)D 解析: 设骰子连续抛掷三次向上的对应的点数所成等差数列的公差为d ,若0d =,则该等差数列有6个; 若1d =,则该等差数列有4个; 若2d =,则该等差数列有2个; 若3d ≥,则该等差数列不存在; 若1d =-,则该等差数列有4个; 若2d =-,则该等差数列有2个; 若3d ≤-,则该等差数列不存在.由此可得点数依次成等差数列的概率3642421618P ++++==, 故应选D. (2)C 解析:用“×”表示反面向上,“√”表示正面向上,所有的可能结果有“√√√”“√√×”“√×√”“×√√”“√××”“×√×”“××√”“×××”共8种;其中“2个正面,1个反面”的有3种,概率为83. 故应选C.(3)3.0解析:从5个数中任取3个共有10种方法,而取出三个数字后剩下的两个数字都是奇数,则取出的三个数中必有一个是奇数,两个是偶数,共有3种取法,∴剩下两个数字都是奇数的概率30.310P ==. (4)解析:由于第一子代的D ,d 基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都列举出来. 如图所示,Dd 与Dd 的组合有4种:DD ,Dd ,d D ,dd , 其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为375%4=. 3.易错分析:(1)在运用公式时,关键在于求出m 、n. 在求n 时,必须注意几种结果必须是等可能的,这一点比较容易出错.(2)利用图表的形象直观性,可以清晰地分析基本事件空间,确定随机事件中所含的基本事件的个数,进而利用古典概型的概率公式来求其概率.【能力训练】学练结合,融会贯通一、选择题:1.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x 、y ,则2log 1x y =的概率为 ( )A .61B .365 C .121 D .21 2.从1,2,…,9共9个数字中任取一个数字,取出数字为偶数的概率为 ( ) A.0 B.1C.95D.94 3.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是( ) A.21 B.31 C.41 D.32 4.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( ) A.51 B.103 C.53 D.21 5.从集合{a ,b ,c ,d ,e }的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合{a ,b ,c }的子集的概率是 ( ) A .53 B.52 C.41 D.81 6.在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A .17B .27C .37D .47二、填空题:7.若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取1把能将该锁打开的概率为 .8.从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,取出的两件产品中恰有一件次品的概率为 .9.某号码锁有6个拨盘,每个拨盘上有从0到9共十个数字,当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时,锁才能打开.如果不知道开锁号码,试开一次就把锁打开的概率是 ?10.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张,取到的卡片是7的倍数的概率是_______.三、解答题:11.抛掷两粒均匀的骰子,求:(Ⅰ)点数和为7的概率;(Ⅱ)出现两个5点的概率.12.某校举行运动会,高三(一)班有男乒乓球运动员4名,女乒乓球运动员3名,现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛,试列出全部可能结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,则她参赛的概率是多少?13.某城市的电话号码是8位数,如果从电话号码中任指一个电话号码,求(Ⅰ)头两位号码都是8的概率;(Ⅱ)头两位号码都不超过8的概率;(Ⅲ)头两位号码不相同的概率.14.已知袋中有编号为1~9的小球各一个,它们的大小相同,从中任取三个小球.求:(Ⅰ)恰好有一球编号是3的倍数的概率;(Ⅱ)至少有一球编号是3的倍数的概率;(Ⅲ)三个小球编号之和是3的倍数的概率.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. D3. D4. B5. C6. C二、填空题:7. 15 8. 32 9. 11000000 10. 0.14 三、解答题:11.解析:用有序实数对(x ,y )表示基本事件,其中x 、y 分别表示两粒骰子的点数,易知所有基本事件数为36.(Ⅰ)用A 表示事件“点数之和为7”,则事件A 所含有的基本事件数为6.所以P (A )=61366=. (Ⅱ)用B 表示事件“出现两个5点”,则事件B 所含有的基本事件数为1.所以P (B )=361. 12.解析:由于男生从四人中任意选取,女生从3人中任意选取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果如(A ,1)表示:第一次随机选取中从男生中选的是男生A ,从女生中选取的是女生1, 可用列举法列出所有可能的结果. 如下表所示:由表可知,可能结果总数是12个.设该国家一级运动员为编号1,她参赛的可能事件有4个,故她参赛的概率为41123P == 13.解析:电话号码的第一位可以是0~9中的任一个数字.第二位也是0~9中的任一个数字,我们把前2位号码用(,x y )表示,试验的所有结果如下表:从表中可以看出,头两位号码的所有可能的结果共有100个,由于是随机抽取,每个号码是等可能出现的,这个试验属于古典概型.(Ⅰ)记A 为“头两位号码都是8”,事件A 包含的基本事件只有1个(8,8),∴事件A 的概率1()0.01100P A ==. (Ⅱ)记B 为“头两位号码都不超过8”,则事件B 包含的基本事件由表可知共有81个, ∴事件B 的概率81()0.81100P B ==. (Ⅲ)记C 为头两位号码不相同,则事件C 包含的基本事件数由表可以数出共90个, ∴事件C 的概率90()0.9100P C ==. 14.解析:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有39C 种取法,它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A , 则2815)(392613=⋅=C C C A P . (Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B , 则2116)(21161)(3926131623333936=++==-=C C C C C C B P C C B P 或 . (Ⅲ)设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C ,设集合}7,4,1{},9,6,3{21==S S ,}8,5,2{3=S ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有131313333C C C C ⋅⋅+种,则1453)(3913131333=⋅⋅+=C C C C C C P .。
【高考数学】2018年高考数学(文)二轮复习课件:第1部分 重点强化专题 专题3 突破点6 古典概型与几何概型
4.(2017· 全国卷Ⅰ)如图61,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方 形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形 内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(
1 A.4 1 C.2 π B.8 π D.4
)
图61
B [不妨设正方形ABCD的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,可得S正方形= 4. 1 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S黑=S白= 2 S圆 π S黑 2 π π =2,所以由几何概型知所求概率P= = = . S正方形 2×2 8 故选B.]
3 A.5 1 C.2
)
3 B.10 6 D.25
(2)已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增 函数的概率是( ) 【导学号:04024067】 9 A.16 4 C.16 7 B.16 3 D.16
(1)B (2)A [(1)设3个白球分别为a1,a2,a3,2个黑球分别为b1,b2,则先后从 中取出2个球的所有可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2, a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1), (b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2, b1),共20种. 其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2, 6 3 b2),(a3,b1),(a3,b2),共6种,故所求概率为20=10.故选B.
5.(2016· 全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时 间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿 灯的概率为(
2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点50 几何概型
考点五十 几何概型知识梳理1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的概率公式P (A )=构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3.几何概型的两个特点几何概型有两个特点:一是无限性;二是等可能性. 4.几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,而几何概型则是无限个.典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为________. 答案 35解析 在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1,即-2≤X ≤1的概率为P =35.变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1”发生的概率为________. 答案 34解析 由-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1,得12≤x +12≤2,∴0≤x ≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P =32-02-0=34.解题要点 基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率. 题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________.答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ,则P (A )=阴影面积长方形面积=12π·121×2=π4.变式训练 (2015福建文)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________.答案 14解析 由图形知C (1,2),D (-2,2),∴S 四边形ABCD =6,S 阴=12×3×1=32.∴P =326=14.解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点:求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.答案 1-π12解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心,以1为半径的半球外.记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ,则P (A )=23-12×4π3×1323=1-π12. 变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________. 答案 23解析 先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V 圆柱=π×12×2=2π,以O 为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球=12×43π×13=23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1-13=23.解题要点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.当堂练习1.(2015陕西文)设复数z =(x -1)+y i(x ,y ∈R ),若|z |≤1,则y ≥x 的概率为________. 答案 14-12π解析 由|z |≤1可得(x -1)2+y 2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为1的圆及其内部,满足y ≥x 的部分为如图阴影所示,由几何概型概率公式可得所求概率为:P =14π×12-12×12π×12=π4-12π=14-12π.2.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________. 答案127解析 由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P =1333=127.3. 在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π2上随机取一个x ,sin x 的值介于-12与12之间的概率为________. 答案 13解析 由-12<sin x <12,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2,得-π6<x <π6.所求概率为π6-⎝⎛⎭⎫-π6π2-⎝⎛⎭⎫-π2=13.4.在[-2,3]上随机取一个数x ,则(x +1)(x -3)≤0的概率为________. 答案 45解析 由(x +1)(x -3)≤0,得-1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.5.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则事件“3a -1>0”发生的概率为__________. 答案 23解析 由3a -1>0得a >13,由几何概型知P =1-131=23.课后作业一、 填空题1.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ,并以线段AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________. 答案 15解析 可以判断属于几何概型.记正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间为事件A ,那么正方形的边长为[5,7]内,则事件A 构成的区域长度是7-5=2(cm),全部试验结果构成的区域长度是10cm ,则P (A )=210=15.2.在区间(10,20]内的所有实数中,随机取一个实数a ,则这个实数a <13的概率是________. 答案310解析 这是一个与长度有关的几何概型.所求的概率P =(10,13)的区间长度(10,20]的区间长度=310.3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为________. 答案 23解析 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P =812=23.4.如图,一个矩形的长为5,宽为2,在矩形内随机的撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为________.答案235解析 据题意得S 阴影S 矩形=S 阴影2×5=138300⇒S 阴影=235.5.假设△ABC 为圆的内接正三角形,向该圆内投一点,则点落在△ABC 内的概率为________. 答案334π解析 设圆O 的半径为R ,“所投点落在△ABC 内”为事件A ,则P (A )=34AB 2πR 2=34(3R )2πR 2=33. 6.一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B =90°)的边上爬行,则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为________. 答案 2- 2解析 如图,E 为斜边AC 上的点,且AE =1cm ,则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行,所求概率P =22+2=2- 2. 7.(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记p 1为事件“x +y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则________. 答案 p 1<12<p 2解析 在直角坐标系中,依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1,0≤y ≤1,x +y ≤12,xy≤12的可行域如图所示:依题意,p 1=S △ABO S 四边形OCDE ,p 2=S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE,而12=S △OEC S 四边形OCDE ,所以p 1<12<p 2.8.在区间[20,80]内任取一个实数m ,则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________. 答案512解析 选择区间长度度量,则所求概率为75-5080-20=512.9.(2013·湖北卷)在区间[-2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x |≤m 的概率为56,则m =______.答案 3解析 由图知要使|x |≤m 的概率为56,易得m =3.10. (2014·福建文)如图所示,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系.由题意知,这是个几何概型问题,S 阴S 正=1801 000=0.18.∵S 正=1,∴S 阴=0.18.11.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图,随机向正方形内丢一粒豆子,豆子落入圆内的概率为______________________.答案 π4解析 记“豆子落入圆内”为事件A ,则P (A )=μA μΩ=圆面积正方形面积=πa 24a 2=π4.二、解答题12.已知关于x 的一元二次方程x 2-2(a -2)x -b 2+16=0.(1)若a ,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若a ∈[2,6],b ∈[0,4],求方程没有实根的概率.解析 (1)易知基本事件(a ,b )共有36个,方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a -2>0,16-b 2>0,Δ≥0,即a >2,-4<b <4,(a -2)2+b 2≥16,设“方程有两个正根”为事件A ,则事件A 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4个,故所求的概率为P (A )=436=19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ,b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4,a ,b ∈N *},其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ,则构成事件B 的区域为{(a ,b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4,(a -2)2+b 2<16},其面积为14×π×42=4π.故所求的概率为P (B )=4π16=π4.13.已知集合A =[-2,2],B =[-1,1],设M ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },在集合M 内随机取出一个元素(x ,y ).(1)求以(x ,y )为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率; (2)求以(x ,y )为坐标的点到直线x +y =0的距离不大于22的概率. 解析 (1)集合M 内的点形成的区域面积S =8. 因x 2+y 2=1的面积S 1=π, 故所求概率为P 1=S 1S =π8.(2)由题意|x +y |2≤22,即-1≤x +y ≤1,形成的区域如图中阴影部分所示,面积S 2=4,所求概率为P 2=S 2S =12.。
2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型 理
考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型【考点剖析】1.最新考试说明:1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.2.命题方向预测:1.随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查,也时常在解答题中出现,应用题也是常考题型,并且常与统计知识放在一块考查.2.借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法.考查古典概型概率公式的应用,尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点.在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查,考查学生分析和解决问题的能力,难度以中档题为主.3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法,特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容.新课标高考对几何概型的要求较低,因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主.3.名师二级结论:一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式())1(A A P P =-,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目,用间接法就显得比较简便. 一条规律从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I ,基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数,事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集.故().cardA mP A cardI n== 两种方法(1)列举法:适合于较简单的试验.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.另外在确定基本事件时,(x ,y )可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同. 一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法. 两种类型(1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时.(2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决. 4.考点交汇展示: (1)与函数相结合【2017江苏,7】 记函数()f x D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 . 【答案】59(2)与线性规划、定积分相结合【2017届辽宁省大连市第八中学高三春季模拟】若从区间()0,(e e 为自然对数的底数,2.71828...e =)内随机选取两个数,则这两个数之积小于e 的概率为 ( )A.2e B. 1e C. 21e - D. 11e-【答案】A【解析】可行域为{0x ey exy e<<<<<,画出图像如下图所示,故概率为1212e ee dxxe e⋅+=⎰.【考点分类】热点一随机事件的概率1.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C2.【2018届山西省名校高三模拟一】在,,A B C三个盒子中各有编号分别为1,2,3的3个乒乓球,现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球,那么至少有一个编号是奇数的概率为__________.【答案】2627【解析】从1是个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为13,则从3个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为()111133327P A =⨯⨯=,所以至少有一个编号是奇数的概率概率为()12612727P A =-=3.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6【解析】从4只球中一次随机摸出2只,共有6种摸法,其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种,所以其概率为5.6【方法总结】求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件拆分成若干个互斥事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误. 热点二 古典概型1.【2018届贵州省遵义航天高级中学高三9月模拟】设{},0,1,2,3,4m n ∈,向量()1,2a =--,(),b m n =,则//a b 的概率为( )A.225 B. 325 C. 320 D. 15【答案】B【解析】//a b 22m n m n ⇒-=-⇒= ,所以012{,{ ,{ ,024m m m n n n ====== 因此概率为335525=⨯ ,选B. 2.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;从以上五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( ) A.13 B. 110 C. 310 D. 23【答案】C【解析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种: 红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3, 红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,,蓝1蓝2其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,红1蓝1,,红1蓝2,红2蓝1, 故所求的概率为310P = 故答案选C3.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种,所以所求概率为305.366= 【方法总结】1.计算古典概型事件的概率可分三步:①算出基本事件的总个数n ;②求出事件A 所包含的基本事件个数m ;③代入公式求出概率P . 2.古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 热点三 几何概型1.【2017课标1,理】如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8C .12D .π4【答案】B 【解析】2.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】在[]4,4-上随机地取一个数m ,则事件“直线0x m -+=与22220x y x ++-=有公共点”发生的概率为( ) A.16 B. 13 C. 23 D. 34【答案】D【解析】由直线0x m +=与圆()2222220,13x y x x y ++-=++=有公共点得:24m ≤⇒-≤≤ ,所以概率为()()423444--=-- ,选D. 3.【2016高考山东理数】在[1,1]-上随机地取一个数k ,则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d 3=<,解得33k 44-<<,而[1,1]k ?,所以所求概率P =33224=.4.【2018届河北省衡水中学高三9月大联考】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径22mm ,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得,芝麻落在军旗内的概率为30310010p ==, 设军旗的面积为S ,由题意可得: ()22233363,1111101010S S mm πππ=∴=⨯⨯=⨯. 本题选择B 选项. 【方法总结】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率. 应用公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.【热点预测】1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,对于事件A :“这个三角形是等腰三角形”,下列推断正确的是( ) A .事件A 发生的概率等于15 B .事件A 发生的概率等于25C .事件A 是不可能事件D .事件A 是必然事件 【答案】D【解析】因为任意三个顶点连成三角形都是等腰三角形,所以事件A 是必然事件.2.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )(A )13 (B )12 (C )23 (D )34【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴:8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==.故选B . 3.在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤()1”发生的概率为( ) (A )34 (B )23 (C )13 (D )14【答案】A【解析】由121-1log 2x ≤+≤()1得,11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤(),所以,由几何概型概率的计算公式得,332204P -==-,故选A .4.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A .0.4B .0.6C .0.8D .1 【答案】B5.【2017届河北衡水中学高三摸底】已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4,甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张,则他们选择同一张卡片的概率为( )A .1B .116C .14D .12【答案】C【解析】甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个基本事件,选择同一张卡片的有4个,所以他们选择同一张卡片的概率为41164P ==,故选C. 6.【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】 五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 A.12 B. 1532 C. 1132 D. 516【答案】C【解析】五个人的编号为12345,,,,由题意,所有事件共有5232=种,没有相邻的两个人站起来的基本事件有()()()()()()()()12345131424,,,,,,,,,,,再加上()()2535,,, 没有人站起来的可能有1种,共11种情况, 所以没有相邻的两个人站起来的概率为1132故答案选C .7.【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】在6盒酸奶中,有2盒已经过了保质期,从中任取2盒,取到的酸奶中有已过保质期的概率为 ( ) A.13 B. 23 C. 35 D. 115【答案】C【解析】所求概率为24266311155C C -=-= ,选C.8.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n【答案】C【解析】利用几何概型,圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形,所以4m n π=.选C.9.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为m 和n ,则复数2)(ni m +为纯虚数的概率为( )A .13B .14C .16D .112【答案】C【解析】∵复数2)(ni m +为纯虚数 ∴m n = ∴61666p ==⨯ 10.【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上期中】在区间[]0,π上随机地取一个数x ,则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为( ) A. 23 B. 12 C. 13 D. 16【答案】C【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值,得到1sin 2x ≤5|066x x x πππ⎧⎫⇒≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭或 ,根据几何概型判断,概率为: 13.3ππ=故答案选C 。
古典概率与几何概率的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中,作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别,有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后,将等可能事件的概念从有限向无限的延伸,这两种概型,在初中阶段都呈现了出来,作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别,有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。
一、古典概型和几何概型的意义(一).几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式:P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)(二)古典概型的意义大家都很熟知,此处不在介绍1. 古典概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式:P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子。
三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力(一)结合实例进行建模题组一:情境1、抛掷两颗骰子,求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球,2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外,其他都相同,小明从两个袋各摸一球,问摸出的两球异色的概率是多少?情景3、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里摸出一球放回去,摇匀后,在摸出一球,问两次摸出的球为异色的概率是多少?情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球,问两球异色的概率是多少?说明:第一组题是古典概型,(1)通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征;(2)通过作树状图,让学生领略各题之间存在的不同;(3)体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项(如:元素是否重复利用、元素间有无顺序;实验出现的结果确保等可能性)。
古典概型和几何概型
一、 古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能的结果都是随机事件,这类随机事件称为基本事件. 2)基本事件的特点:① 任何两个基本事件是互斥的;② 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 3)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,其特征是: ① 有限性:即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.② 等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的;称这样的试验为古典概型. 4)基本事件的探索方法:① 列举法:此法适用于较简单的实验.② 树状图法:这是一种常用的方法,适用于较为复杂问题中的基本事件探索.5)在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有n 个不同的球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球的方法: ① 有放回的抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球的方法称为有放回的抽样,显然对于有放回的抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去. ② 无放回的抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸的球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 二、 古典概型计算公式1)如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n; 2)如果某个事件A 包括的结果有m 个,那么事件A 的概率()m P A n=. 3)事件A 与事件B 是互斥事件()()()P AB P A P B =+4)事件A 与事件B 可以是互斥事件,也可以不是互斥事件()()()()P A B P A P B P A B =+-.古典概型注意:① 列举法:适合于较简单的试验.② 树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.另外在确定基本事件时,(),x y 可以看成是有序的,如()1,2与()2,1不同;有时也可以看成是无序的,如()1,2与()2,1相同.三、几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关,满足此条件的试验称为几何概型. 四、几何概型的计算1)几何概型中,事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,A μ表示区域A 的几何度量. 2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时.面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决. 五、几何概型具备以下两个特征:1)无限性:即每次试验的结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示;2)等可能性:即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等.一、古典概型古典概型是基本事件个数有限,每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型,其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值.【题干】甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为( ) A .16B .14C .13D .12【答案】D.【解析】甲、乙在同一组:113P =.甲、乙不在同一组,但相遇的概率:2111362P =+=.【点评】【题干】有十张卡片,分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、,(1)从中任意抽取一张,①求抽出的一张是大写字母的概率;②求抽出的一张是或的概率;e A a(2)若从中抽出两张,③求抽出的两张都是大写字母的概率;④求抽出的两张不是同一个字母的概率; 【答案】 【解析】 【点评】【题干】袋子中装有编号为,a b 的2个黑球和编号为,,c d e 的3个红球,从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率; (3)求至少摸出1个黑球的概率.【答案】(1),,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ;(2)0.6;(3)0.7. 【解析】(1),,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de .(2)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含了上一问列举的所有结果,记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件A ,则事件A 包含的基本事件为,,,,,ac ad ae bc bd be ,共6个基本事件,所以()60.610P A ==. (3)试验发生包含的事件共有10个,记“至少摸出1个黑球”为事件B ,则B 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ,共7个基本事件,所以()70.710P B ==. 【点评】步骤:用列举法求出基本事件的总数n ,求出具体时间包含的基本事件数m ,根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型(长度)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 【题干】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A .13 B . 2πC . 12D . 23 【答案】A【解析】∵0cos x <<12,∴52,233x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭.当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,,,2332x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到12之间的概率133P ππ==.【点评】【题干】平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm ,把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A.14B .13 C . 12D .23【答案】B【解析】为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠的最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ;线段OM 长度的取值范围就是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,只有当132OM <≤时,硬币不与平行线相碰,所以所求事件的概率33110223P ⎛⎫⎛⎫=-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】【题干】在区间[010],中任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是______. 【答案】25【解析】在区间[010],中,任意取一个数x ,则它与4之和大于10的x 满足4x +>10, 解得610x <≤,所以,概率为1062105-=. 【点评】【题干】在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率为( ) A .56B .12C .13D .16【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形的面积介于362m 与812m 之间,座椅正方形的边长介于6cm 到9cm 之间,即线段AM 介于6cm 到9cm 之间,所以AM 的活动范围长度为:3.由几何概型的概率公式可得31186=.【点评】【题干】某人向一个半径为6的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( ) A .113 B. 19 C . 14 D . 12【答案】B【解析】整个靶子是如图所示的大圆,而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示:故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率226129P ππ==.【点评】【题干】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一彩珠,则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为( ) A.12B .13C .14D .23【答案】13. 【解析】设事件A 为“灯与两端距离都大于2m ”,根据题意,事件A 对应的长度为2m 的部分,因此,事件A 发生的概率()2163P A ==. 【点评】三、二维情形的几何概型(面积)数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式,在图形中画出事件A 发生的区域,利用公式可求.【题干】如图,60AOB ∠=°,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,试求: (1)AOC ∆为钝角三角形的概率;(2)AOC ∆为锐角三角形的概率.【答案】(1)0.4(2)0.6【解析】如图,由平面几何知识:当AD OB ⊥时,1OD =;当OA AE ⊥时,4OE =,1BE =.(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,AOC ∆为钝角三角形,记“AOC ∆为钝角三角形”为事件M ,则()110.45OD EB P M OB ++===,即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时,AOC ∆为锐角三角形,记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ,则()30.65DE P N OB ===,即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6. 【点评】AOC ∆为直角三角形的概率等于0,但直角三角形AOC ∆是存在的,因此概率为0的事件不一定是不可能事件.【题干】已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000粒黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为600粒,则可以估计出阴影部分的面积约为________.【答案】36【解析】设图中阴影部分的面积为S ,由题意可得6001251000S =⨯,解得36S =. 【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口,时间是下午6:00到6:30,小明放学后到学校门口的候车点候车,能乘上公交车的时间为5:50到6:10,如果小明的爸爸到学校门口时,小明还没乘上车,就正好坐他爸爸的车回家,问小明能乘到他爸的车的概率. 【答案】 【解析】 【点评】CE DBOA【题干】在平面直角坐标系xOy 中,平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足225x y +≤,从区域W 中随机取点(),M x y .(1)若x ∈Z ,y ∈Z ,求点M 位于第四象限的概率;(2)已知直线():0l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=求y x b ≥-+的概率. 【答案】(1)17;(2.【解析】(1)若x Z ∈,y Z ∈,则点M 的个数共有21个,列举如下:()2,1--,()2,0-,()2,1-,()1,2--,()1,1--,()1,0-,()1,1-,()1,2-,()0,2-,()0,1-,()0,0,()0,1,()0,2,()1,2-,()1,1-,()1,0,()1,1,()1,2,()2,1-,()2,0,()2,1时,点M 位于第四象限.当点M 的坐标为()1,2-,()1,1-,()2,1-时,点M 位于第四象限.故点M 位于第四象限的概率为17. (2)由已知可知区域W 的面积是5π.因为直线:l y x b =-+与圆22:5O x y +=的弦长为,如图,可求得扇形的圆心角为23π,所以扇形的面积为125233S ππ=⨯=,则满足y x b≥-+的点构成的区域的面积为122sin 233S ππ=⨯=,所以y x b≥-+的概率为20125ππ- .【点评】【题干】如图,60AOB ︒∠=,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,试求:(1)AOC ∆为钝角三角形的概率; (2)AOC ∆为锐角三角形的概率. 【答案】(1)0.4 ;(2)0.6 .【解析】如图,由平面几何知识:当AD OB ⊥时,1OD =;当OA AE ⊥时,4OE =,1BE =.(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,AOC ∆为钝角三角形,记“AOC∆为钝角三角形”为事件M ,则()110.45OD EB P M OB ++===.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时,AOC ∆为锐角三角形,记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ,则()30.65DE P N OB ===. 【点评】【题干】在区间[]1,1-上任取两实数,a b ,求二次方程2220x ax b ++=的两根都为实数的概率. 【答案】()12P A =【解析】方程有实根的条件为22440a b ∆=-≥,即||||a b ≥.在平面直角坐标系中,点(),a b 的取值范围为如图所示,的正方形的区域,随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分.易求得()12P A =.【点评】四、三维情形的几何概型(体积)【题干】在Rt ABC ∆中,30A ∠=,过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M,求使CE DBOAAM AC >的概率.【答案】16. 【解析】设事件D 为“作射线CM ,使AM AC >”.在AB 上取点1C 使1AC AC =,因为1A C C ∆是等腰三角形,所以118030752ACC -∠==,907515A μ=-=,90μΩ=,所以()151906P D ==. 【点评】几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线CM 落在ACB ∠内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因M 在AB 上的落点不是等可能的.【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ,P 是正四面体ABCD 的内部的点. (1)设“14P ABC V V -≥”的事件为X ,求概率()P X ; (2)设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ,求概率()P Y . 【答案】 【解析】 【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是( ) A .18 B .116 C .127 D .38【答案】C ;【解析】容易知道,当蜜蜂在边长为10,各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的.于是安全飞行的概率为331013027=.【点评】【题干】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________. 【答案】112π-【解析】点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心,以1为半径的半球外.记点P 到点O 的距离大于1为事件A ,则()3331421231212P A ππ-⨯⨯==-. 【点评】【题干】在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为( )A.2 B .2 C. 16D . 16π【答案】C【解析】本题是几何概型问题,与点A 距离等于a 的点的轨迹是一个八分之一个球面, 其体积为:33114836a a V ππ=⨯⨯=,“点P 与点O 距离大于1的概率”事件对应的区域体积为:3314836a a ππ⨯⨯=,则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为:33166a a ππ=.【点评】【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ,P 是正四面体ABCD 的内部的点. ①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ,求概率()P X ; ②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ,求概率()P Y . 【答案】①()2764P X =②18【解析】①分别取,,DA DB DC上的点,,E F G,并3,3,3DE EA DF FB DG GC ===,连结,,EF FG GE ,则平面EFG 平面ABC .当P 在正四面体DEFG 内部运动时(如图),满足14P ABC V V -≥,故()33327464D EFG D ABC V DE P X V DA --⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②在AB 上取点H ,使3AH HB =,在AC 上取点I ,使3AI IC =,在AD 上取点J ,使3AJ JD =,P 在正四面体AHIJ 内部运动时,满足14P BCD V V -≥.结合①,当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时,亦即P 在正四面体EMNJ 内部运动时(M 是EG 与IJ 的交点,N 是EF 与HJ 的交点),同时满足14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥,于是()331281J EMN D ABC JE D Y V A V P --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.【点评】五、高考汇编【题干】(2010年江苏理科 3)盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率________.【答案】【解析】【点评】【题干】(2010年江苏理科4)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[]5,40 中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有________根在棉花纤维的长度小于20mm .【答案】【解析】【点评】【题干】(2011江苏5)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是BAB A另一个的两倍的概率是________. 【答案】13【解析】【点评】【题干】(2011江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差2s =________. 【答案】165【解析】可以先把这组数都减去6再求方差,【点评】【题干】(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.【答案】15.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此,由35015334⨯=++知应从高二年级抽取15名学生. 【点评】【题干】(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是________. 【答案】35. 【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,3-,9,27-,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, ∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63105=. 【点评】。
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(文科)
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(文科)考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷(文科)【母题题文】从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A. 15B.13C.25D. 23【答案】C【试题解析】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()() 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 15种情况,其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62 155=.故选:C.【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式,属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现,试题难度不大,多为抵挡题目,是历年高考的热点.常见的命题角度有:(1)列举法求古典概型的概率;(2)树状图法求古典概型的概率.【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 考向二 几何概型【母题来源】2021年高考全国卷(理科)【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74的概率为( ) A .79B .2332C .932D .29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ,则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,设事件A 表示两数之和大于74,则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,分别求出,A Ω对应的区域面积,根据几何概型的的概率公式即可解出. 【详解】 如图所示:设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ,则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111S Ω=⨯=.设事件A 表示两数之和大于74,则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中的阴影部分,其面积为133********A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω== 【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式,属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现,试题难度不大,多为抵挡题目,是历年高考的热点. 常见的命题角度有:(1)由长度比求几何概型的概率;(2)由面积比求几何概型的概率;(3)由体积比求几何概型的概率; (4)由角度比求几何概型的概率. 【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义. 真题汇总及解析 一、单选题1.(河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题)6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁,从中任取2把能将该锁打开的概率为( ) A .23 B .12C .13D .16【答案】C 【解析】 【分析】将6把钥匙编号为a 、b 、c 、d 、e 、f ,不妨设能打开锁的为钥匙a ,列举出所有的基本事件,并确定所求事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.将6把钥匙编号为a、b、c、d、e、f,不妨设能打开锁的为钥匙a.从中任取2把,有:ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、ef,共15种情况,能将锁打开的情况有5种,分别为ab、ac、ad、ae、af,故所求概率为51 153=.故选:C.2.(2022·广东茂名·二模)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员,根据值班需要甲连续工作2天后休息一天,乙连续工作3天后休息一天,丙连续工作4天后休息一天,已知3月31日这一天三人均休息,则4月份三人在同一天工作的概率为()A.13B.25C.1130D.310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日,由古典概型公式可得.【详解】解:甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10, (29)乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10, (30)丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9, (29)在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29∴三人同一天工作的概率为122305P==.3.(2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测(文))“田忌赛马”的故事千古流传,故事大意是:在古代齐国,马匹按奔跑的速度分为上中下三等.一天,齐王找田忌赛马,两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马,每匹马都各赛一局,采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马,比齐王同等次的马慢,但比齐王较低等次的马快.若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场,则田忌获胜的概率为()A.12B.13C.14D.16【答案】D【解析】【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C,田忌有上、中、下三等的三匹马a、b、c,列举出所有比赛的情况,以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况,结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方式有:Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca,一共6种.其中田忌能获胜的方式只有Ac,Ba,Cb1种,故此时田忌获胜的概率为16.故选:D.4.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A,B,C三个景区中的一个景区旅游,甲乙去A,B,C三个景区旅游的概率分别如表:则甲、乙去不同景区旅游的概率为( )去A 景区旅游 去B 景区旅游 去C 景区旅游 甲 0.4 0.2 乙 0.3 0.6D .0.52【答案】A 【解析】 【分析】由题可得甲、乙去同一景区旅游的概率,然后利用对立事件的概率公式即得. 【详解】由题可得甲乙去A ,B ,C 三个景区旅游的概率分别如表:去A 景区旅游 去B 景区旅游 去C 景区旅游 甲 0.4 0.2 0.4 乙 0.10.30.60.40.60.34+⨯=, 故甲、乙去不同景区旅游的概率为10.340.66-=. 故选:A.5.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(文))在区间[-2,12]中任取一个数x ,则[]8,13x ∈的概率为( )A .514B .27C .25D .13【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式可求出结果. 【详解】根据几何概型的概率公式得[]8,13x ∈的概率为128212(2)7-=--. 故选:B.6.(2022·北京·北大附中三模)有一副去掉了大小王的扑克牌(每副扑克牌有4种花色,每种花色13张牌),充分洗牌后,从中随机抽取一张,则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为( ) A .152B .827C .413D .1752【答案】C 【解析】 【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果. 【详解】依题意,样本空间包含样本点为52,抽到的牌为“红桃”或“A ”包含的样本点为16, 所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=,故选:C. 7.(2022·河北邯郸·二模)甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏,每个回合,两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方.游戏开始时,甲手中的两张纸牌数字分别为1,3,乙手中的两张纸牌数字分别为2,4.则一个回合之后,甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为( ) A .12 B .14C .34D .38【答案】B 【解析】 【分析】用列举法,结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】甲手中的两张纸牌数字用{}1,3表示,乙手中的两张纸牌数字用{}2,4表示,一个回合之后,甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为:(1){}{}2,314、,; (2){}{}4,321、,;(3){}{}1,234、,:(4){}{}1,423、,共4种情况, 其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况, 所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为14,故选:B 8.(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))在区间[]0,1上随机取两个数,则这两个数差的绝对值大于12的概率为( ) A .34B .12C .14D .18【答案】C 【解析】 【分析】设在[]0,1上取的两数为x ,y ,满足12x y ->,画出不等式表示的平面区域,结合面积比的几何概型,即可求解. 【详解】设在[]0,1上取的两数为x ,y ,则12x y ->,即12x y ->,或12x y -<-.画出可行域,如图所示,则12x y ->,或12x y -<-所表示的区域为图中阴影部分,易求阴影部分的面积为14,故所求概率11414P ==; 故选:C.9.(2022·全国·哈师大附中模拟预测(文))若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ,则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为( )A .14B .12C .18D .34【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线的斜率,根据已知条件可得出t 的取值范围,结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】双曲线的渐近线斜率为12±,则12t <,即1122t -<<,故所求概率为12P =, 故选:B.10.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))甲、乙两人约定某日上午在M 地见面,若甲是7点到8点开始随机到达,乙是7点30分到8点30分随机到达,约定,先到者没有见到对方时等候10分钟,则甲、乙两人能见面的概率为( ). A .13B .16C .59D .38【答案】B 【解析】 【分析】从早上7点开始计时,设甲经过x 十分钟到达,乙经过y 十分钟到达,可得x 、y 满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD ,而甲乙能够见面,x 、y 满足的平面区域是图中的四边形EFGH .分别算出图中正方形和四边形的面积,根据面积型几何概型的概率公式计算可得. 【详解】解:从早上7点开始计时,设甲经过x 十分钟到达,乙经过y 十分钟到达, 则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,作出不等式组对应的平面区域,得到图中的正方形ABCD ,若甲乙能够见面,则x 、y 满足||1x y -≤, 该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ,6636ABCD S =⨯=,114422622EFGH BEHBFGS SS=-=⨯⨯-⨯⨯= 因此,甲乙能见面的概率61366EFGH ABCD S P S ===故选:B.二、填空题11.【2020·天津市红桥区高考二模】一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为________.【答案】1 12【解析】基本事件总数为6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个,所求事件的概率P=186×6×6=112.12.(2022·黑龙江·哈尔滨三中一模(理))关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学,每人随机写下一个x、y 都小于1的正实数对(),x y,再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m,最后再根据m来估计π的值.假如统计结果是36m=,那么π的估计值为______.【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域,x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分,分别求出其面积,由几何概型概率公式求得其概率后可得.【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域,如图正方形OABC (不含边界),x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩,(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分(不含边界), 因此所求概率为113642142120P ππ-==-=,估计 3.2π≈.故答案为:3.213.(2022·河南·模拟预测)现有四张正面分别标有数字-1,0,-2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张记作m 不放回,再从余下的卡片中取一张记作n .则点(),P m n 在第二象限的概率为______. 【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况,根据古典概型的方法求解即可【详解】由题,点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-,()1,2--,()1,3-,()0,1-,()0,2-,()0,3,()2,1--,()2,0-,()2,3-,()3,1-,()3,0,()3,2-共12种情况,其中在第二象限的为()2,3-,()1,3-,故点(),P m n 在第二象限的概率为21126= 故答案为:1614.(2021·江西·新余市第一中学模拟预测(理))寒假即将来临,小明和小强计划去图书馆看书,约定上午8:00~8:30之间的任何一个时间在图书馆门口会合.两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟,如果对方10分钟内没到,那么等待的人先进去.则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________.【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型,利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分,小强到达的时刻为8时y 分,其中030,030x y ≤≤≤≤,则当|x-y |≤10时,两人能够在图书馆门口会合.如图示:两人到达时刻(x ,y )构成正方形区域,记面积为S ,而事件A :两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域,记其面积为S 1 所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==. 故答案为:59.【点睛】(1)几何概型的两个特征——无限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型;(2)几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比.三、解答题15.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))2022年2月20日,北京冬奥会在鸟巢落下帷幕,中国队创历史最佳战绩,北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及,让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛,并对成绩前15名的参赛学生进行奖励,奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶,现将100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表,若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍,试回答以下问题; 成绩分组 (50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100] 频率 b 0.26 a 0.18 0.06(2)如果规定竞赛成绩在(80,90]为“良好”,竟赛成绩在(90,100]为“优秀”,从受奖励的15名学生中利用分层抽样抽取5人,现从这5人中抽取2人,试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.【答案】(1)0.08,0.42b a ==,估计值为85 (2)35【解析】【分析】(1)由题意结合频率之和等于1得出,a b ,再由频率、频数的关系得出受奖励的分数线的估计值;(2)分别求出良好、优秀的人数,再由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.(1)0.06610.260.18a b a b +=⎧⎨+=--⎩,∴0.08,0.42b a == 竞赛成绩在[90,100]分的人数为0.061006⨯=,竞赛成绩在[80,90)的人数为0.1810018⨯=,故受奖励分数线在[80,90)之间,设受奖励分数线为x ,则900.180.060.1510x -⨯+= 解得85x =,故受奖励分数线的估计值为85.(2)由(1)知,受奖励的15人中,分数在[85,90]的人数为9,分数在(90,100]的人数为6,利用分层抽样,可知分数在[85,90]的抽取3人,分数在(90,100]的抽取2人,设分数在(90,100]的2人分别为1A ,2A ,分数在[85,90]的3人分别为1B ,2B ,3B ,所有的可能情况有(1A ,2A ),(1A ,1B ),(1A ,2B ),(1A ,3B ),(2A ,1B ),(2A ,2B ),(2A ,3B ),(1B ,2B ),(1B ,2B ),(2B ,3B ),共10种, 满足条件的情况有(1A ,1B ),(1A ,2B ),(1A ,3B ),(2A ,1B ),(2A ,2B ),(2A ,3B )共6种,故所求的概率为63105P ==.16.(2020·江苏·一模)2021年江苏省高考实行“312++”模式,“312++”模式是指“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有考生必考;“1”为首选科目,考生须在高中学业水平考试的物理、历史2个科目中选择1科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科,共计6个考试科目.(1)若学生甲在“1”中选物理,在“2”中任选2科,求学生甲选化学和生物的概率;(2)设2220x ax b ++=是关于x 的一元二次方程,若[]0,3a ∈,[]0,2b ∈,求方程有实数根的概率.【答案】(1)16;(2)23【解析】【分析】(1)记学生甲选化学和生物为事件A ,求事件A 包含的基本事件的个数和总的基本事件的个数,由古典概型计算公式即可求解;(2)记方程有实根为事件B ,由几何概型概率公式计算即可求解.【详解】(1)记学生甲选化学和生物为事件A ,学生甲在“1”中选物理,在“2”中任选2科,包含的基本事件有:(化,生),(化,政),(化,地),(生,政)(生,地),(政,地)共有6个, 事件A 包含的基本事件为(化,生),共1个,所以()16P A =.(2)记方程2220x ax b ++=有实根为事件B ,总的基本事件区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤的面积,若方程2220x ax b ++=有实根,则22440a b ∆=-≥,即220a b -≥, 可得()()0a b a b +-≥,所以a b ≥,事件B 发生包含的区域为(){},|,03,02a b a b a b ≥≤≤≤≤的面积, 作图如下:所以事件B 发生的概率为()1322222323P B ⨯-⨯⨯==⨯,所以方程有实数根的概率为23.。
高中数学高考总复习---古典概型与几何概型知识讲解及考点梳理
1.如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为
2.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被 取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
位数字也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果,即概率为
.
(2)两个玩具的数字之和共有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 共 11 种不同结果.
从中可以看出,出现 12 的只有一种情况,概率为 .出现数字之和为 6 的共有(1,5),(2,
4),(3,3),(4,2),(5,1)五种情况,所以其概率为 . 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法,做到不漏不重.
(3)应用公式
求值。
5.古典概型中求基本事件数的方法: (1)穷举法; (2)树形图; (3)排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不 重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义: 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积 或体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点: (1)无限性,即在一次试验中基本事件的个数是无限的; (2)等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式: 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与 “试验的基本事件所占总面积(体积、长度)”之比来表示。
举一反三: 【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等 奖的同学中选出 2 名志愿者,参加广州亚运会的服务工作。求:(1)选出的 2 名志愿者都 是获得书法比赛一等奖的同学的概率;(2)选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等 奖,另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率. 【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1,2,3,4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同 学编号为 5,6.
2018高考数学文科一轮复习讲义 7.3 第三节 几何概型
第三节 几何概型【考点点知】知己知彼,百战不殆几何概型是新课标新增添内容,所以高考在考查上可能会有所侧重,当然由于课时所限,也不会占分太多,由于几何命题的空间较为广阔,因而此部分的考题也相当的丰富.复习时应理解好基本概念,注意培养用几何度量来理解概率问题的习惯.考点一: 几何概型公式 1.随机地向正方形内投点,此点落在阴影区域的数目与落在正方形中的数目的比等于阴影区域的面积与正方形面积的比,即P (点落在阴影区域)=阴影区域面积整个区域面积.由此可以看到点落在阴影区域的概率只与阴影区域的面积成正比,而与阴影区域的位置和形状没有关系,满足上述条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式为:P (A )=构成事件A 的区域面积试验构成的整个区域面积.考点二: 几何概型公式的推广1.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这个区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 也只因为区域中每一点被取到的机会都一样(等可能性),某个事件发生的概率才只与构成该事件区域的“长度”成比例.2.几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:P (A )=积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A .3.很多概率问题可以归结为几何概型.对于几何概型,随机事件A 的概率P (A )与表示它的区域(面积、长度或体积)成正比,而与区域的位置和形状无关.只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.由此可知,利用公式求概率的关键在于求解产生指定范围内的随机数或指定范围内的面积、体积、长度等的计算.【考题点评】分析原因,醍醐灌顶例1.(基础·2007山东临沂期中,4)设点A 是圆O 上一定点,点B 是圆O 上的动点,6,πθθ≤则的概率为( )A .61 B .41 C .31 D .21 思路透析:如右图所示,当点B 在劣弧 CD上运动时, 6AO AB πθ≤ 与的夹角为,此时∠DOC=22263ππ⨯⨯=,则6πθ≤的概率 2323R CD P R πππ==劣弧长=圆周长, 故应选C.点评:在本题中,构造几何图形,找出两“弧长”,套用几何概型公式.此类几何概型题,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率.例2.(基础·2007海南模)如图,60AOB ∠=,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,则AOC ∆为钝角三角形的概率是____________.思路透析:如图,由平面几何知识: 当AD OB ⊥时,1OD =;当OA AE ⊥时,4OE =,1BE =.当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,AOC ∆为钝角三角形 记”AOC ∆为钝角三角形”为事件M ,则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4.点评:求与长度有关的几何概型的方法,是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解,应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例3.(综合·2007南城期末)二次方程02=++bx a x )2,0(,(∈b a )的两根都是实数的概率为 ( )A 41 B.31 C .21D. 1思路透析:由题意得:0≥-=∆b a又[]2,0,∈b a ∴结合图形得21=P ,故选点评:本题考查了几何概率模型,先由二次方程x )的两根都是实数,由判别式0≥-=∆b a 得出 a,b 的关系式,转化为几何概率模型,利用线性规划求面积当作“测度”求其概率.例4.(综合·2007灌云期末)在线段[0,a ]上随机地取三个点,则由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率为 .思路透析:令A =“三线段能构成一个三角形”. 设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示 为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合 Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a }.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ; 所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a },表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体,其体积等于a 3-3·31·22a ·a =21a 3.a从而P (A )=的体积的体积ΩA =3321aa=0.5.点评:在必修2中我们学习了空间直角坐标系,本题中引入了三个随机变量,其变量的轨迹为正方体,而符合条件的随机事件为六面体,该几何概型为的概率为两个几何体的体积之比.你还能用其它方法解决这一问题吗?例5.(创新探究·2007海南模)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤,则方程220x ax b -+=有实数解的概率为 ( )A14 B 12 C 23 D 34思路透析:因为方程220x ax b -+=有实数解, 所以2440,a b =-≥ 即2b a ≤; 又11,11a b -≤≤-≤≤,则满足条件的点012S P S ==所表示的平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率,而阴影面积为1231000182(1)2(1)33S a da a =+=+=⎰;而224S =⨯=.所以023S P S ==. 故选C.点评:解决此类问题时,首先根据条件,列出相应表达式,根据结构和形式可判断出这类概率属几何概率,在条件范围内画出相应图形,算出相应面积求其比值即可.考查了考生对一元二次方程的实根分布、几何概型、线性规划等知识的掌握,解决实际问题的能力及创新意识.例5.(创新探究·2007宁夏卷文科20)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.(Ⅰ)若a 是从0123,,,四个数中任取的一个数,b 是从012,,三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a 是从区间[03],任取的一个数,b 是从区间[02],任取的一个数,求上述方程有实根的概率.思路透析:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”.当0a >,0b >时,方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥.(Ⅰ)基本事件共12个:(00)(01)(02)(10)(11),,,,,,,,,,(12)(20)(21),,,,,, (22)(30)(31)(32),,,,,,,.其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件,事件A 发生的概率为93()124P A ==.(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ,,≤≤≤≤. 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ,,,≤≤≤≤≥. 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯.点评:本题中不少考生将区域约束条件不等式列式错误,导致平面区域的面积求解出现偏差.在几何概型问题的分析中,试验的构成区域决定着概率运算的正确性,因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据.【画龙点睛】探索规律,豁然开朗 1.规律总结:(1)几何概型的两个特征:①每次试验的结果是无限多个,且全体结果可用一个有度量的区域来表示. ②每次试验的各种结果是等可能的(2)几何概型公式的应用需说明以下几点:①公式中的“长度”并不是实际意义上的长度,有些书上把它叫做“测度”,测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定,当区域分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等;②当试验的全部结果所构成的区域长度一定时,A 的概率只与构成事件A 的区域长度有关,而与A 的位置和形状无关.如图所示.A2.学以致用:(1)面积为S 的△ABC ,D 是△ABC 内部任一点,那么2DBC SS ∆>的概率为( ). A.13B.12 C.14 D.16 (2)在圆心为90o的扇形OAB 中,以圆心O 为起点任作射线OC ,OD ,则使得30o AOC BOD ∠+∠<的概率是( )A.13 B.16 C.118 D.136(3)取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41D.不确定 (4)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤,则方程2220x ax b -+=有实数解的概率为 .答案:(1)C 解析:如右图所示,当且仅当点D 在AMN ∆ 内(MN 为ABC ∆中BC 边上的中位线).则2DBC S S ∆>的概率1144AMN ABCSS P S S ∆∆===,故应选C . (2)A 解析:事件30oAOC BOD ∠+∠<构成的测度为角度6π, 所求概率为1632P ππ==.(3) 记“剪得两段绳长都不小于1 m ”为事件A ,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,所以事件A 发生的概率P(A )=31. 故应选B.(4)12解析:因为2220x ax b -+=方程有实数解,所以22440a b =-≥ 即220a b -≥; ∴()()0a b a b +⋅-≥.即0,0,a b a b +⎧⎨-⎩≥≥ 或0,0.a b a b +⎧⎨-⎩≤≤又11,11a b -≤≤-≤≤, 则满足条件的点(,)P a b 所表示的 平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率, 而阴影面积为02,S =而4S =,所以012S P S ==.3.易错分析:(1)解几何概型的试题时,尤其是与平面几何相关的作图问题时,一定要明确指定作图的路径,选择正确的测度,不同测试的选择其结果往往不相同..(2)理解题意“出错”,对“测度的值”没有弄清,利用几何概型处理相关问题时,等可能性是非常重要的,同时对表示事件的区域的确定也是非常重要的(3)解题过程中的概率通过长度或面积等来计算,但有注意的问题是在同一个问题中的两个测度必须是一致的.【能力训练】学练结合,融会贯通一、选择题:1.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率为( )A.0B.5001C.2501 D.1 2.在区间(0,L )内任取两点,则两点之间的距离小于3L的概率为( )A. 13B. 23C. 49 D.953.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形.这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.8136 B.3612C.8112D.41 4.如图,设M 是半径为R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N ,连结MN ,则弦MN的概率为( )A .15 B .14 C .13 D .125.向右图中所示正方形内随机地投掷飞标,飞标落在阴影部分的概率为( )A.41 B.3625C.14425D.16.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[)85.4,8.4( g )范围内的概率是( )A 0.62B 0.38C 0.02D 0.68二、填空题:7.在等边三角形ABC 内任意取一点P ,A 、B 、C 中至少存在一点与P 的距离不大于三角形边长的一半的概率是 .8.公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,乘客候车不超过3 min 的概率为 .9.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ,高为h ,在正三棱锥内任取点M ,则使点M 到底面ABC ∆的距离小于2h的概率为 . 10.在ABC ∆中, 45,60=∠=∠C B ,高3=AE ,在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M ,则BM <1的概率为 .三、解答题:11.如图所示,向边长为2的正方形内投飞镖,求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.12.在地面上画一正方形框,其边长为一枚硬币半径的4倍,向框中投硬币(硬币完全落在正方形外的不计),试求硬币与正方形框相交的概率.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.14.如左下图,在0~1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0~1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. D3. D4. D5. C6. C 二、填空题:7..8. 0.6 9. 87 10. 25三、解答题:11.解法一: 用计算机随机模拟这个试验,步骤如下:(1)用计数器n 记录做了多少次投飞镖的试验,用计数器m 记录其中有多少次投在中央的小正方形内,置n =0,m =0.(2)用函数rand( )*4-2产生一个-2~2的随机数x 、y ,x 表示所投飞镖的横坐标,y 表示所投飞镖的纵坐标.(3)判断(x ,y )是否落在中央的小正方形内,也就是看是否满足|x |<1,|y |<1,如果是则m 的值加1,即m =m +1;否则m 的值保持不变.(4)表示随机试验次数的记录器n 加1,即n =n +1.如果还需要继续试验,则返回步骤S2继续执行,否则,程序结束.程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率nm作为概率的近似值. 解法二:用几何概型概率计算公式得P =大正方形小正方形S S =41.12.解析:这是一道二维几何概型问题,设硬币半径为r , 则正方形框的边长为r 4,将硬币视为一几何点, 则问题转化为:以正方形上任一点为圆心,与圆心距 离小于等于r 的平面区域是有利场合的测度d , 而正方形的面积加上有利场合中正方形外的测度 就是基本事件空间的测度D ,于是3228])4()4(4[)2(])4()4(4[22222++=+⨯⨯+-+⨯⨯+=ππππr r r r r r r r r D d . 13.解析:这是一个几何概率问题.设甲、乙两艘船到达码 头的时刻分别为x 与y ,A 为“两船都需要等待码头空 出”,则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码 头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早 到达2 h 以上,即y -x ≥1或x -y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y ):y -x ≥1或x -y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}. A 为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24 的正方形.由几何概率定义,所求概率为 P (A )=的面积的面积ΩA =2222421)224(211)(24⨯-+⨯-=5765.506=0.87934. 14.解析:设三条线段的长度分别为x 、y ,1-x -y ,则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<,110,10,10y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<.10,10x y x 在平面上建立如右上图所示的直角坐标系,直线x =0,x =1,y =0,y =-x +1围成如右上图所示的三角形区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ).由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.三条线段能构成三角形当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+,1,1,1y y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->.21,21,21y x x y 因此图中的阴影区域g 就表示“这三条线段能构成三角形”.容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,由几何概型的概率计算公式,“这三条线段能构成三角形”的概率 P (这三条线段能构成三角形)=的面积的面积G g =41.。
高考数学复习:古典概型与几何概型
又满足椭圆xm2+y22=1
的焦距为整数的
m
的取值有
1,3,11,共有
3
个,∴椭圆x2+ m
y22=1 的焦距为整数的概率 p=36=12.
答案
(1)A
1 (2)2
21
基础知识诊断
考点聚焦突破
@《创新设计》
规律方法 求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用 古典概型的有关知识解决,一般步骤为: (1)将题目条件中的相关知识转化为事件; (2)判断事件是否为古典概型; (3)选用合适的方法确定基本事件个数; (4)代入古典概型的概率公式求解.
17
基础知识诊断
考点聚焦突破
@《创新设计》
【训练1】 (1)(2020·深圳一模)两名同学分3本不同的书,则其中一人没有分到书,另
一人分得3本书的概率为( )
1
1
1
1
A.2
B.4
C.3
D.6
(2)(2019·南昌一模)2021 年广东新高考将实行 3+1+2 模式,即语文、数学、外语必
选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有 12 种选课模式.今
2.几何概型 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长__度__(面__积__或__体__积__)__成比例,那么 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的两个基本特点
无限多个
等可能性
4
基础知识诊断
考点聚焦突破
@《创新设计》
(3)几何概型的概率公式 P(A)=试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域(长面度积(或面体积积或)体积). [常用结论与微点提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的,确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与 树状图法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B= , 即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0. 3.几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的.
2018届高考数学一轮复习几何概型课件(共36张)
[解析]
B
30 2 [以时间的长短进行度量,故 P=75=5.]
3 3 (4)在区间[0,π]上随机取一个数,使 cos x 的值介于- 2 与 2 之 间的概率为( 1 A.3 3 C.8
[解析] B
) 2 B.3 5 D.8
3 3 5π π [cos x 的值介于- 2 与 2 之间的区间长度为 6 -6
解析:B
[如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时 间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟, 10+10 1 根据几何概型,所求概率 P= 40 =2.故选 B.]
4 . ( 导 学 号 60592635)(2014· 高考湖北卷)由不等式组 x≤0, x+y≤1, y≥0, 确定的平面区域记为 Ω1,不等式组 x+y≥-2, y-x-2≤0, 确定的平面区域记为 Ω2.在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的 概率为( 1 A.8 3 C.4 ) 1 B.4 7 D .8
解析:D
1 [由题意作图,如图所示,Ω1 的面积为2×2×2=2,
7 4 7 1 2 2 7 图中阴影部分的面积为 2-2× 2 × 2 =4,则所求的概率 P=2=8. 故选 D.]
与长度有关的几何概型
[例 1]
(1)(2015· 重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p,则 ________ .
2π 3 2π 2 = 3 .由几何概型概率计算公式,得 P= = .故选 B.] π-0 3
(5)已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬 行,则其恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率为( 4 A.5 π C.60 3 B.5 π D. 3 )
最新-2018年高考数学总复习 18-5 古典概型与几何概型
"【走向高考】2018年高考数学总复习 11-5 古典概型与几何概型课后作业 新人教A 版 "1.(2018·新课标全国文,6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为32=9种,甲、乙参加同一个小组的选法有3种,所以其概率为39=13.故选A.2.(2018·福建文,7)如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 本题属于几何概型求概率问题,设矩形长为a ,宽为b ,则点取自△ABE 内部的概率P=S △ABE S 矩形ABCD =12ab ab =12. 3.(文)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}共6个基本事件.其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个基本事件, ∴所求概率为P =46=23.(理)(2018·浙江文,8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A. 110B. 310C. 35D. 910[答案] D[解析] 3个红球记为a ,b ,c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc ,ab 1,ab 2,ac 1,ac 2,a 12,bc 1,bc 2,b 12,c 12.共10个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是ab 1,ab 2,ac 1,ac 2,a 12,bc 1,bc 2,b 12,c 12共9个.∴至少有一个白球的概率为910.故选D. [点评] A =“至少有一个白球”的对立事件是B =“全是红球”,故所求概率为P (A )=1-P (B )=1-110=910.4.(文)(2018·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B .1-π12 C.π6 D .1-π6 [答案] B[解析] 以点O 为圆心,半径为1的半球的体积为V =12×43πR 3=2π3,正方体的体积为23=8,由几何概型知:点P 到点O 的距离大于1的概率为P (A )=1-23π8=1-π12,故选B.(理)已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P ,使得V P -ABC <12V S-ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 [答案] A[解析] 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求,由几何概型知,P =1-18=78,故选A. 5.(2018·潍坊二检)若在区间[-π2,π2]上随机取一个数x ,则cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23 [答案] A[解析] 当-π2≤x ≤π2时,由0≤cos x ≤12,得-π2≤x ≤-π3或π3≤x ≤π2,根据几何概型的概率计算公式得所求概率P =π6+π6π=13.6.(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段,从中任意取出3条,则所取3条线段可构成三角形的概率是( )A.35B.310C.25D.710 [答案] B[解析] 构不成三角形的为(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(3,5,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),能构成三角形的有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),∴所求概率为310.(理)在圆周上有10个等分点,以这些点为顶点,每3个点可以构成一个三角形,如果随机选择3个点,刚好构成直角三角形的概率是( )A.15B.14C.13D.12 [答案] C[解析] 从10个点中任取三个有C 310种方法,能构成直角三角形时,必须有两点连线为直径,这样的直径有5条,∴能构成直角三角形5×8=40个,∴概率P =40C 310=13.7.(2018·皖南八校联考)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,设向量a =(m ,n )与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0,π2的概率是________. [答案]712[解析] ∵cos θ=m -n 2·m 2+n2,θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2, ∴m ≥n ,满足条件m =n 的概率为636=16,m >n 的概率与m <n 的概率相等,∴m >n 的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-16=512,∴满足m ≥n 的概率为P =16+512=712.8.(文)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为m 和n ,则方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.[答案]12[解析] ∵方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,∴m >n .由题意知,在矩形ABCD 内任取一点P (m ,n ),求P 点落在阴影部分的概率,易知直线m =n 恰好将矩形平分,∴p =12.(理)设集合A ={x |x 2-3x -10<0,x ∈Z},从集合A 中任取两个元素a ,b 且a ·b ≠0,则方程x 2a+y 2b=1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________. [答案] 310[解析] A ={x |-2<x <5,x ∈Z}={-1,0,1,2,3,4},由条件知,(a ,b )的所有可能取法有:(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20种,方程x 2a +y 2b=1表示焦点在x 轴上的椭圆,应有a >b >0,∴有(2,1,),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)共6种,∴所求概率P =620=310.1.已知函数f (x )=sin a π3x ,a 等于抛掷一颗骰子得到的点数,则y =f (x )在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )A.13B.12C.23D.56 [答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况.当a =1,2时,y =f (x )在[0,4]上的零点少于5个;当a =3,4,5,6时,y =f (x )在[0,4]上的零点至少有5个,故P =46=23,选C.2.(2018·天津六校联考)某学校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则三年级应抽取的学生人数为( )A.24 B .18 C .16 D .12 [答案] C[解析] 由题意得,x2000=0.19.解得x =380.∴y +z =2000-(373+380+377+370)=500. 设三年级应抽取n 人,则642000=n500.∴n =16.故选C.3.(文)m ∈{-2,-1,0,1,2,3},n ∈{-3,-2,-1,0,1,2},且方程x 2m +y 2n =1有意义,则方程x 2m +y 2n=1可表示不同的双曲线的概率为( )A.3625 B .1 C.925 D.1325 [答案] D[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0,1°⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0时有不同取法3×3=9种.2°⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0时有不同取法2×2=4种,∴所求概率P =9+45×5=1325.(理)从-1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的系数组成不同的二次函数,其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.79B.712C.59D.512 [答案] A[解析] 首先取a ,∵a ≠0,∴a 的取法有3种,再取b ,b 的取法有3种,最后取c ,c 的取法有2种,∴共组成不同的二次函数3×3×2=18个.f (x )若有变号零点,不论a >0还是a <0,均应有Δ>0,即b 2-4ac >0,∴b 2>4ac .①首先b 取0时,a 、c 须异号,a =-1,则c 有2种,a 取1或2,则c 只能取-1,∴共有4种.②b =1时,若c =0,则a 有2种,若c =-1,a 只能取2. 若c =2,则a =-1,共有4种. ③若b =-1,则c 只能取0,有2种.④若b =2,取a 有2种,取c 有2种,共有2×2=4种. 综上所述,满足b 2>4ac 的取法有4+4+2+4=14种, ∴所求概率P =1418=79.4.(文)(2018·苏北四市模考)已知函数f (x )=ax 2-bx -1,其中a ∈(0,2],b ∈(0,2],则此函数在区间[1,+∞)上为增函数的概率为________.[答案]34[解析]函数f (x )=ax 2-bx -1在[b 2a ,+∞)上为增函数,据已知条件可知,b2a≤1,∴b ≤2a ,如图可知,所求概率P =12+2×2=34. (理)(2018·东北三校二模)已知实数a ,b 满足-1≤a ≤1,-1≤b ≤1,则函数y =13x 3-ax 2+bx +5有极值的概率为( )A.14B.12C.23D.34 [答案] C[解析]y ′=x 2-2ax +b ,当方程x 2-2ax +b =0有两个不同实根,即a 2>b 时,函数y =13x 3-ax 2+bx+5有极值点,如图,阴影部分面积为2+⎠⎛-11a 2d a =2+13a 3|1-1=83,所以函数y =13x 3-ax 2+bx +5有极值的概率为P =S 阴影S 正方形ABCD =834=23,故选C.5.(2018·浙江宁波八校联考)已知k ∈Z ,AB →=(k,1),AC →=(2,4),若|AB →|≤4,则△ABC 是直角三角形的概率是________.[答案]37[解析] ∵|AB →|=k 2+1≤4,∴-15≤k ≤15, ∵k ∈Z ,∴k =-3,-2,-1,0,1,2,3,当△ABC 为直角三角形时,应有AB ⊥AC ,或AB ⊥BC ,或AC ⊥BC ,由AB →·AC →=0得2k +4=0,∴k =-2,∵BC →=AC →-AB →=(2-k,3),由AB →·BC →=0得k (2-k )+3=0,∴k =-1或3,由AC →·BC →=0得2(2-k )+12=0,∴k =8(舍去),故使△ABC 为直角三角形的k 值为-2,-1或3,∴所求概率p =37.6.(文)(2018·福建文)设平面向量a m =(m,1),b n =(2,n ),其中m ,n ∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m ,n )的所有可能结果;(2)记“使得a m ⊥(a m -b n )成立的(m ,n )”为事件A ,求事件A 发生的概率. [解析] (1)有序数组(m ,n )的所有可能结果为:(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2),(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16个.(2)由a m ⊥(a m -b n )得m 2-2m +1-n =0,即n =(m -1)2由于m ,n ∈{1,2,3,4},故事件A 包含的基本事件为(2,1)(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为P (A )=216=18. (理)(2018·天津文,15)编号分别为A 1,A 2,…,A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果. ②求这2人得分之和大于50的概率. [解析] (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10},{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13},共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有:{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11},共5种.所以P (B )=515=13. 7.(文)(2018·江西文,16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率.[解析] 将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料,编号4,5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234)(235),(245),(345),共有10种令D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)P (D )=110, (2)P (E )=35,P (F )=P (D )+P (E )=710.(理)(2018·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a +b =2”,求事件A 的概率;②在区间[0,2]内任取两个实数x ,y ,求事件“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”的概率.[解析] (1)由题意可知:n 1+1+n =12,解得n =2.(2)将标号为2的小球记作a 1,a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为:(0,1),(0,a 1),(0,a 2),(1,0),(1,a 1),(1,a 2),(a 1,0),(a 1,1),(a 1,a 2),(a 2,0),(a 2,1),(a 2,a 1),共12个,事件A 包含的基本事件为:(0,a 1),(0,a 2),(a 1,0),(a 2,0),共4个.∴P (A )=412=13. ②记“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”为事件B ,则事件B 等价于“x 2+y 2>4”, (x ,y )可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2,x ,y ∈R},而事件B 所构成的区域B ={(x ,y )|x 2+y 2>4,x ,y ∈Ω},∴P (B )=S B S Ω=2×2-π2×2=1-π4.1.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m +ni )(n -mi )为实数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112 [答案] C[解析] 投掷两颗骰子,共向上的点数m ,n ,用(m ,n )记录基本事件,则基本事件构成集合Ω={(m ,n )|1≤m ≤6,1≤n ≤6,m ,n ∈N},∵(m +n i)(n -m i)=2mn +(n 2-m 2)i ,它为实数的等价条件是m 2=n 2,又m 、n 均为正整数,∴m =n .故所求事件所含基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)共6个,Ω中共有36个基本事件,∴P =636=16.故选C.2.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ,则在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( )A.π4B.π8C.π6D.π12 [答案] C[解析] 设正方体棱长为a ,则正方体的体积为a 3,内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22=16πa 3,故点M 在球O 内的概率为16πa 3a 3=π6.3.在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( ) A.17 B.27 C.37 D.47 [答案] C[解析] 寻找直角非等腰三角形构成的特征.方法1:相对棱AB 与C 1D 1的四个顶点所构成的四边形中,任取三个顶点构成的三角形,符合条件,故有C 34种情形,由于正方体有6对相对棱,故可得到的直角非等腰三角形有6C 34个,因此,所求的概率为:6C 34C 38=2456=37,∴选C.方法2:以A 为直角顶点的直角非等腰三角形仅有:Rt △D 1AB 、Rt △B 1AD 、Rt △A 1AC 三个,故共有直角非等腰三角形8×3=24个,因此,所求的概率为:24C 38=2456=37,∴选C. [点评] 探求规律特征,或从特殊点出发思考,是解这类问题的一般思路.把问题改为求“所得三角形恰为直角三角形”的概率,则答案为C 38-8C 38=67.4.(2018·烟台实验中学)已知关于x 的二次函数f (x )=ax 2-4bx +1.设集合P ={-1,1,2,3,4,5}和Q ={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b 的值,求函数y =f (x )在区间[1,+∞)上是增函数的概率.[解析] 函数f (x )=ax 2-4bx +1图象的对称轴为x =2ba.要使y =f (x )在区间[1,+∞)上为增函数,应有a >0且2ba≤1,∴a ≥2b 且a >0.①若a =1,则b =-2,-1;②若a =2,则b =-2,-1,1;③若a =3,则b =-2,-1,1;④若a =4,则b =-2,-1,1,2;⑤若a =5,则b =-2,-1,1,2,∴该事件包含基本事件数为16, ∴所求概率P =166×6=49.5.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n ,求n <m +2的概率.[解析] (1)从袋中取球编号之和不大于4的基本事件有1和2,1和3两个,而随机取两球其一切可能的基本事件有6个.∴所求概率为P =26=13.(2)由题意其一切结果设为(m ,n )有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件n ≥m +2的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,P 1=316.故满足条件n <m +2的事件的概率为 1-P 1=1-316=1316.6.(2018·北京文,16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.(1)如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X =9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注:方差s 2=1n[(x 1-x -)2+(x 2-x -)2+…+(x n -x -)2],其中x -为x 1,x 2,…,x n 的平均数)[解析] (1)当X =8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10. 所以平均数为x =8+8+9+104=354;方差为s 2=14[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116.(2)记甲组四名同学为A 1,A 2,A 3,A 4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11:乙组四名同学为B 1,B 2,B 3,B 4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4), (A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4), (A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 3,B 4), (A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 4,B 4).用C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:(A 1,B 4),(A 2,B 4),(A 3,B 2),(A 4,B 2),故所求概率为P (C )=416=14. 7.(2018·四川文,17)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过四小时.(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.[解析] (1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A ,B ,则P (A )=1-14-12=14, P (B )=1-12-14=14.∴甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14.(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ,所付租车费之和为0元、2元、4元的概率分别为P 1、P 2、P 3,则P 1=14×12=18,P 2=14×14+12×12=516,P 3=12×14+14×14+12×14=516,∴P(C)=P1+P2+P3=3 4 .∴甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3 4 .。
2018年高考数学 考点一遍过 专题45 古典概型 文
考点45古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中,可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点:(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式() P AA事件包含的基本事件数试验的基本事件总数.四、必记结论(1)古典概型中的基本事件都是互斥的.(2)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视它们是否是等可能的.考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的基本步骤:(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式()mP An,求出P(A).2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法,具体应用时可根据需要灵活选择3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题,可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片,乙盒子装有分别标有数字2,5的2张卡片,若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片,则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为A.78B.38C.14D.18【答案】B典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本.已知从高一的同学中抽取8人.(1)求样本容量n的值和从高二抽取的人数;(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.3【解析】(1)由题意可得8400350350400n =++,解得22n =,从高二抽取83507400⨯=人. 从这7位同学中任选2人,有女生的有:{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,A G B C B D B E B F B G 共 11 种, 故至少有1名女同学被选中的概率为1121.1.在1,2,3,4中任取2个不同的数,则这2个数的和小于5的概率为 .2.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为3,5对服务好评率为3,4其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率. 注:()()()()()22,其中n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.考向二用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果,然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组(比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组),明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组,即可求解概率.典例3已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为A.0.25 B.0.30C.0.35 D.0.40【答案】B3.袋子中有四个小球,分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字,从中任取一个小球,取到“丙”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计,直到第二次就停止的概率为A.15B.14C.13D.1251.甲、乙两人有三个不同的学习小组A ,B ,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为A .13B .23 C .16D .562.现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为A .110 B .25 C .12D .7103.袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于A .15B .25 C .35D .454.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中;5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A .0.40 B .0.30 C .0.35D .0.255.从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ,从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ,则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为A .29B .13 C .49D .146.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为A .37B .45 C .35D .347.2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为___________.8.已知集合A ={-2,3,5,7},从A 中随机抽取两个不同的元素a ,b ,作为复数z =a+b i(i 为虚数单位)的实部和虚部.则复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.9.某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.10.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将7他们按年龄分成6段[)[)[)[)[)[]:20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80后得到如图所示的频率分布直方图.(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数;(2)若从年龄在[)20,40中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率.11.某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.1.(2017天津文科)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A .45B .35 C .25D .152.(2017新课标全国Ⅱ文科)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为9A .110 B .15C .310D .253.(2016新课标全国Ⅰ文科)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A .13B .12C .23D .564.(2016新课标全国Ⅲ文科)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是,M I N ,中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A .815 B .18 C .115D .1305.(2016北京文科)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为A .15 B .25C .825D .9256.(2017山东文科)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.7.(2016山东文科)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若3xy≤,则奖励玩具一个;②若8xy≥,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.1.【答案】1 3【解析】在1,2,3,4中任取2个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种不同的取法,其中,“2个数的和小于5”包含()()1,2,1,3,共2种不同的取法,11则这2个数的和小于5的概率为2163=. 2.【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的22⨯列联表:计算得2K 的观测值为()22008010407011.11110.828,1505012080k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关.()()(),,,,,A B A C A a ,()()(),,,,,A b B C B a ,()(),,,B b C a ,()(),,,C a a b ,共计10种情况.其中只有一次好评的情况是()()()()()(),,,,,,,,,,,,A a A b B a B b C a C b 共计6种情况. 因此,只有一次好评的概率为63105=. 3.【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13,共5组随机数,故所求概率为51204P ==.1.【答案】A【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含3个基本事件()()(),,,,,A A B B C C , 则所求概率为3193P ==.故选A . 2.【答案】C【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为51102=. 3.【答案】B【解析】将1个红球,2个白球和3个黑球分别记为a 1,b 1,b 2,c 1,c 2,c 3, 从袋中任取两个球的基本事件有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 1,c 3),(b 1,b 2),( b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2), (b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共15种. 满足两个球的颜色为一白一黑的有6种, 故所求概率为62155=. 4.【答案】B【解析】由题意,得在20组模拟数据中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393,共6个数据,则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为60.3020=.故选B . 5.【答案】A6.【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出3;2y x ==-,输出0;1y x ==-,输出1;0y x =-=,输出0;1y x ==,输出3;2y x ==,输出8;3y x ==,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个元素可使得函数[),0,ay x x =∈+∞是增函数,故所求概率为35. 7.【答案】【解析】再扫两次得到福卡的所有情况有(爱国福,爱国福)、(爱国福,富强福)、(爱国福,和谐福)、(爱国福,友善福)、(爱国福,敬业福)、(富强福,爱国福)、(富强福,富强福)、(富强福,和谐福)、(富强福,友善福)、(富强福,敬业福)、(和谐福,爱国福)、(和谐福,富强福)、(和谐福,和谐福)、(和谐福,友善福)、(和谐福,敬业福)、(友善福,爱国福)、(友善福,富强福)、(友善福,和谐福)、(友善福,友善福)、(友善福,敬业福)、(敬业福,爱国福)、(敬业福,富强福)、(敬业福,和谐福)、(敬业福,友善福)、(敬业福,敬业福),共25种,记“小张再扫两次可以集齐五福”为事件M,则事件M包含的情况有(爱国福,敬业福)、(敬业福,爱国福),共2种,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P(M )=.8.【答案】1 29.【答案】4 5【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件M为“选取的3人都是男生”.采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为A,B.从6人中随机选取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d ,A,B},共20个.事件M所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4个,所以事件M的概率为P(M)=41 205=,所以事件M的概率为P(M)=1-P(M)=1-1455=.1310.【解析】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数为()0.020.030.025104030++⨯⨯=.(2)由直方图可知,年龄在[)20,30的有2人,分别记为12,,a a 在[)30,40的有4人,分别记为1234,,,b b b b .现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ,()()()()14212223,,,,,,,a b a b a b a b ,()()()()24121314,,,,,,,a b b b b b b b ,()()()232434,,,,,,b b b b b b 其中恰有1人在[)30,40的有8种,故这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率为815p =.(2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D 1,D 2,D 3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d 1,d 2,d 3, 则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3),(d 1,d 2),(d 1,d 3),(d 2,d 3),(D 1,d 1), (D 1,d 2),(D 1,d 3),(D 2,d 1),(D 2,d 2),(D 2,d 3),(D 3,d 1),(D 3,d 2),(D 3,d 3).记“抽取的2名高三学生均为运动健儿”为事件M ,则其包含的结果有3种:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3). 故抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率为P (M )=.1.【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有:红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫,共10种,含有红色彩笔的选法有:红黄、红蓝、红绿、红紫,共4种,由古典概型的概率计算公式,可得所求概率42105P==.故选C.【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算,属于基础题.解题时要准确理解题意,先要判断该概率模型是不是古典概型,然后找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数,代入公式()()n APnΩ=即可得解.2.【答案】D【解析】如下表所示,表中的点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数:总计有25种情况,满足条件的有10种.所以所求概率为102 255=.【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 3.【答案】C【解析】从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一个花坛有4种种法,故所求概率为23,选C.4.【答案】C155.【答案】B【解析】从5名学生中随机选出2人有10种选法,甲被选中的情况有4种, 故所求概率为42105P ==,故选B . 6.【解析】(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}313233121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个,则所求事件的概率为:31155P ==. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ,共9个,包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有:{}{}1213,,,A B A B ,共2个, 所以所求事件的概率为:29P =.【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )=求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.17则事件A 包含的基本事件共有5个,即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 所以()5,16P A =即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“8xy ≥”为事件B ,“38xy <<”为事件C .则事件B 包含的基本事件共有6个,即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4, 所以()63.168P B == 事件C 包含的基本事件共5个,即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1, 所以()5.16P C = 因为35,816>所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018版高考文科数学古典概型高品质版
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4.[2015·广东卷] 已知 5 件产品中有 2 件次品, 其余为合格品,现从这 5 件产品中任取 2 件,恰 有 1 件次品的概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1
[解析] B 5 件产品中有 2 件次品,记 为 a,b,有 3 件合格品,记为 c,d, e,从这 5 件产品中任取 2 件,有 10 种,分别是(a,b),(a,c),(a,d), (a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c, d),(c,e),(d,e),恰有 1 件次品, 有 6 种,分别是(a,c),(a,d),(a, e),(b,c),(b,d),(b,e).设事件 A
所以构成勾股数的概率为110.
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4.[2013·新课标全国卷Ⅰ] 从 1,2,3,4 中 任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的 绝对值为 2 的概率是( )
1111 A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] B 基本事件是(1,2),(1,3),(1, 4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 个,其中 两数之差的绝对值为 2 的基本事件是(1,3), (2,4),共 2 个,根据古典概型公式得所求
意,故所求概率为122=16.
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3.[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各 个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体 玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________.
[答案]
5 6
[解析] 本题为古典概型,基本事件共 有 36 个,点数之和大于等于 10 的有 (4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6, 5),(6,4),共计 6 个基本事件,故点 数之和小于 10 的有 30 个基本事件,
2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 限时集训6 古典概型与几何概型 文
专题限时集训(六) 古典概型与几何概型[建议A 、B 组各用时:45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1.(2017·衡阳二模)同学聚会上,某同学从A 、B 、C 、D 四首歌中选出两首歌进行表演,则歌曲A 未被选取的概率为( ) A.13 B .12 C.23D .56B [从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,共6个,其中A 未被选取的结果有3个,所以所求概率P =36=12.故选B.]2.(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选2人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( ) A.310 B.58 C.710D.25D [由题意得从5人中选出2人,有10种不同的选法,其中满足2人编号相连的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种不同的选法,所以所求概率为410=25,故选D.]3.在区间[0,π]上随机地取一个数x ,则事件“sin x ≤12”发生的概率为( )【导学号:04024069】A.34B.23C.12D.13D [由正弦函数的图象与性质知,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π时,sin x ≤12,所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-0+⎝ ⎛⎭⎪⎫π-5π6π=13,故选D.]4.(2017·莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长,则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( ) A.π8B.π4C.12D.34B [任取的两个数记为x ,y ,所在区域是正方形OABC 内部,而符合题意的x ,y 位于阴影区域内(不包括x ,y 轴),故所求概率P =14π×121×1=π4.]5.(2017·武汉二模)已知圆C :x 2+y 2=4,直线l :y =x ,则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12D.13D [如图所示,设与y =x 平行的两直线AD ,BF 交圆C 于点A ,D ,B ,F ,且它们到直线y =x 的距离相等,过点A 作AE 垂直于直线y =x ,垂足为E ,当点A 到直线y =x 的距离为1时,AE =1,又CA =2,则∠ACE =π6,所以∠ACB =∠FCD =π3,所以所求概率P =2π32π=13,故选D.]二、填空题6.(2017·乌鲁木齐三模)不透明盒子里装有大小质量完全相同的2个黑球,3个红球,从盒子中随机摸取2个球,颜色相同的概率为________.25[设黑球编号为A 1,A 2,红球编号为B 1,B 2,B 3,则从盒子中随机摸取2个球的情况有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共10种,其中颜色相同的有(A 1,A 2),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共4种,所以所求概率为P =410=25.]7.(2016·河南市联考)已知函数f (x )=2x 2-4ax +2b 2,若a ∈{}4,6,8,b ∈{3,5,7},则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号:04024070】23[要使函数f (x )=2x 2-4ax +2b 2有两个零点,即方程x 2-2ax +b 2=0要有两个实根,则Δ=4a 2-4b 2>0.又a ∈{4,6,8},b ∈{3,5,7},即a >b ,而a ,b 的取法共有3×3=9种,其中满足a >b 的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共6种,所以所求的概率为69=23.]8.(2017·郴州三模)从集合A ={-2,-1,2}中随机抽取一个数记为a ,从集合B ={-1,1,3}中随机抽取一个数记为b ,则直线ax -y +b =0不经过第四象限的概率为________. 29[(a ,b )所有可能的结果为(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种.由ax -y +b =0得y =ax +b ,当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0,b ≥0时,直线不经过第四象限,符合条件的(a ,b )的结果为(2,1),(2,3),共2种,∴直线ax -y +b =0不经过第四象限的概率P =29.]三、解答题9.(2017·枣庄模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》:空气质量指数划分为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级,对应空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.专家建议:当空气质量指数小于150时,可以进行户外运动;空气质量指数为151及以上时,不适合进行旅游等户外活动,下表是济南市某年12月中旬的空气质量指数情况:(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游,想连续游玩两天,求适合连续旅游两天的概率.【导学号:04024071】[解](1)该试验的基本事件空间Ω={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20},基本事件总数n =10.设“市民不适合进行户外活动”为事件A ,则A ={13,14,19,20},包含的基本事件数m =4,所以P (A )=410=25,即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25.(2)该试验的基本事件空间Ω={(11,12),(12,13),(13,14),(14,15),(15,16),(16,17),(17,18),(18,19),(19,20)},基本事件总数n =9,设“适合连续旅游两天的日期”为事件B ,则B ={(11,12),(15,16),(16,17),(17,18)},包含的基本事件数m =4,所以P (B )=49,所以适合连续旅游两天的概率为49.10.已知向量a =(1,-2),b =(x ,y ).(1)若x ,y ∈R ,且1≤x ≤6,1≤y ≤6,求满足a·b >0的概率;(2)若x ,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b =-1的概率. [解](1)用B 表示事件“a·b >0”,即x -2y >0.1分 试验的全部结果所构成的区域为{(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}, 2分 构成事件B 的区域为{(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6,x -2y >0}, 3分如图所示.所以所求的概率为P (B )=12×4×25×5=425.6分(2)设(x ,y )表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36个.9分用A 表示事件“a·b =-1”,即x -2y =-1.则A 包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个. 11分 ∴P (A )=336=112.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1.(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.13 B.23 C.12D.34C [记两道题分别为A ,B ,所以抽取的情况为AAA ,AAB ,ABA ,ABB ,BAA ,BAB ,BBA ,BBB (其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目,第3个表示男教师抽取的题目),共有8种.其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ,ABB ,BAA ,BAB ,共4种.故所求事件的概率为12.故选C.]2.已知P 是△ABC 所在平面内一点,PB →+PC →+2PA →=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )【导学号:04024072】A.14B.13C.12D.23C [如图所示,取边BC 上的中点D ,由PB →+PC →+2PA →=0,得PB →+PC →=2AP →.又PB →+PC →=2PD →,故AP →=PD →,即P 为AD 的中点,则S △ABC =2S △PBC ,根据几何概率的概率公式知,所求概率P =S △PBC S △ABC =12,故选C.]3.已知函数f (x )=13ax 3-12bx 2+x ,连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ,b ,则函数f ′(x )在x =1处取得最值的概率是( ) A.136 B.118C.112D.16C [由题意得f ′(x )=ax 2-bx +1,因为f ′(x )在x =1处取得最值,所以b2a =1,符合的点数(a ,b )有(1,2),(2,4),(3,6),共3种情况.又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ,b )共有36种情况,所以所求概率为336=112,故选C.]4.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78C [如图所示,设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ,y ,x ,y 相互独立,由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4,0≤y ≤4,|x -y |≤2,所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x -y |≤2)=S 正方形-2S 三角形S 正方形=4×4-2×12×2×24×4=1216=34.]二、填空题5.曲线C 的方程为x 2m 2+y 2n 2=1,其中m ,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A 为“方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆”,那么P (A )=__________. 512[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆,则m >n ,有(2,1),(3,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15种情况,因此P (A )=1536=512.]6.(2017·合肥一模)从[-2,2]中随机选取一个实数a ,则函数f (x )=4x-a ·2x +1+1有零点的概率是________.14 [函数f (x )有零点,即f (x )=4x -2a ·2x +1=0有解,则2a =2x+12x ≥2,a ≥1,当且仅当x =0时,等号成立.故所求概率为2-12+2=14.]三、解答题7.现有8名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3数学成绩优秀,B 1,B 2,B 3物理成绩优秀,C 1,C 2化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.【导学号:04024073】[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(A 1,B 1,C 1},(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)},共18个基本事件组成.4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的. 用M 表示“C 1恰被选中”这一事件,则M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 3,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 3,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 3,C 1)}.6分 事件M 由9个基本事件组成,因而P (M )=918=12.8分(2)用N 表示“A 1,B 1不全被选中”这一事件, 则其对立事件N 表示“A 1,B 1全被选中”这一事件.由于N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},事件N 由2个基本事件组成,所以P (N )=218=19.11分由对立事件的概率公式得P (N )=1-P (N )=1-19=89.12分8.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为b ,c .(1)若直线l :x +y -5=0,求点P (b ,c )恰好在直线l 上的概率;(2)若方程x 2-bx -c =0至少有一根x ∈{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率. [解](1)因为是投掷两次,因此基本事件(b ,c )为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,4分当b +c =5时,(b ,c )的所有取值为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),5分 所以所求概率为P 1=416=14.6分(2)①若方程一根为x =1,则1-b -c =0,即b +c =1,不成立.7分 ②若方程一根为x =2,则4-2b -c =0,即2b +c =4,所以⎩⎪⎨⎪⎧ b =1,c =2.8分③若方程一根为x =3,则9-3b -c =0,即3b +c =9,所以⎩⎪⎨⎪⎧ b =2,c =3.9分④若方程一根为x =4,则16-4b -c =0,即4b +c =16,所以⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c =4.10分 由①②③④知,(b ,c )的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4), 11分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2=316.12分。
2018版高考数学 考点46 几何概型试题解读与变式
考点46 几何概型一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)特点:①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. ②等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布. (3)几何概型的概率公式:P (A )=构成事件A2.命题规律展望:几何概型是高考考查的重点与热点,以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体,主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率,题型为选择题、填空题,分值为5分,难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读 1.1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) (A )710 (B )58 (C )38 (D )310【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题,是基础题. 【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=,故选B.【解题能力要求】应用意识,运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度).然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度、角度). 1.2【典型考题变式】【变式1:改编条件】若正方形ABCD 边长为4,E 为四边上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B. 78 C. 38 D. 18【答案】D【解析】设M N ,分别为BC 或CD 靠近点C 的四等分点,则当E 在线段,CM CN 上时, AE 的长度大于5, E 所能取到点的长度为2, 正方形的周长为16, AE ∴的长度大于5,的概率等于21=168,故选D.【变式2:改编结论】在区间[]1,5内随机取一个数m ,则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是( ) A.35 B. 15 C. 14 D. 34【答案】D【解析】若方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆,则24m >,解得2m >, 25m << ,故方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是523514P -==-,故选D. 【变式3:改编问法】已知,直线和曲线有两个不同的交点,它们围成的封闭平面区域为,向区域上随机投一点,点落在区域内的概率为,若,则实数的取值范围为( ) A.B.C.D.【答案】B2.与面积有关的几何概型 2.1考题展示与解读3例2【2017课标1,理】如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8 C .12D .π4【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型,是基础题. 【答案】B【解题能力要求】数形结合思想,运算求解能力【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解. 2.2【典型考题变式】【变式1:改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自白色区域的概率为( )A.64πB.32πC.16π D. 8π 【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯⨯=,由几何概型概率公式可得所求概率为2888ππ=,选D 。
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突破点6 古典概型与几何概型
[核心知识提炼]
提炼1 古典概型问题的求解技巧
(1)直接列举:涉及一些常见的古典概型问题时,往往把事件发生的所有结果逐一列举出来,然后进行求解.
(2)画树状图:涉及一些特殊古典概型问题时,直接列举容易出错,通过画树状图,列举过程更具有直观性、条理性,使列举结果不重、不漏.
(3)逆向思维:对于较复杂的古典概型问题,若直接求解比较困难,可利用逆向思维,先求其对立事件的概率,进而可得所求事件的概率.
(4)活用对称:对于一些具有一定对称性的古典概型问题,通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂,利用对称思维,可以快速解决.
提炼2 几何度量法求解几何概型
准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键,常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.
提炼3 求概率的两种常用方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.
(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.[高考真题回访]
回访1 古典概型
1.(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
( )
A.110
B .15 C.310 D .25
D [从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:
基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,
∴所求概率P =1025=25
. 故选D.]
2.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.56
C [从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,
故所求概率为P =46=23
,故选C.] 3.(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.
23 [两本不同的数学书用a 1,a 2表示,语文书用b 表示,则Ω={(a 1,a 2,b),(a 1,b ,a 2),(a 2,a 1,b),(a 2,b ,a 1),(b ,
a 1,a 2),(
b ,a 2,a 1)}.于是两本数学书相邻的情况有4种,故所求概率为46=23
.] 回访2 几何概型
4.(2017·全国卷Ⅰ)如图6-1,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )。