校本基础物理第二轮1

2013学年第一学期校本选修第二轮—基础物理（一）
带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中所做的匀速圆周运动的问题，由于较好的综合了数学、物理知识，而成为历年高考考查的重点。

解决这类问题中有相当数量的题型可以通过灵活运用偏向角、回旋角、弦切角的关系来达到的。

一、偏向角、回旋角、弦切角的关系
带电粒子沿垂直于磁场的方向进入
有界磁场，其运动轨迹为一圆弧（优弧
或劣弧），连接圆弧的两端点（入射点、
出射点）即得弦，而粒子在入射点或出
射点的速度方向即为该圆弧的切线，可
见为了更准确的反映它们的关系，定义：
φ──偏向角，即粒子沿偏转方向转过的角度，反映在入射点与出射点的速度方向上；
α──回旋角，即粒子经过圆弧所对
的圆心角；
β──弦切角，即粒子的速度与“弦”
所成的角。

如图1所示，易证它们的关系：
二、化归统一“圆运动”
（一）空间问题
由表一可知，解决“圆运动”问题，应充分关注“速度”的方向和入射点与出射点，以明确“切线、弦”，从而确定“轨迹圆”。

1．典型的“切线、弦”类型
表一：粒子运动与轨迹参量的对应关系
例1.如图2所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以速度
v
从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正
方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距
离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。

2.已知入射方向及偏向角“φ”，可用“φ=2β”来补弦，从而将问题化归为“切线、弦”类型
例2.如图4所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点
能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方
加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场
仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重
力忽略不计）。

（二）时间问题
因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由 =ω ，T= ，可得粒子在磁场中运动的时间t= 。

可见要解带电粒子在磁场中运动的时间问题关键是抓住回旋角α。

例3.如图9所示，一束电子（质量为m ，电量为e ）以速度v 0沿水平方向由S 点
射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B ，而宽度为d 的匀强磁场。

射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°，则穿过磁场所用的时
间是________________。

例4. 如图10所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。

一对正、负电子分别以相同速率，沿与x 轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例5. 在真空中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y 轴在坐标原点O 处相切，磁场B ＝0．3T 垂直于纸面向里，在O 处有一放射源S 可沿纸面向各个方向射出速率均为的带正电的粒子，已知粒子荷质比为
，则粒子在磁场中运动的最长时间t 有多大？
带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中所做的匀速圆周运动的问题，由于较好的综合了数学、物理知识，而成为历年高考考查的重点。

解决这类问题中有相当数量的题型可以通过灵活运用“φ=α=2β”来达到的，
一、偏向角、回旋角、弦切角的关系
带电粒子沿垂直于磁场的方向进入有界磁场，其运动轨迹为一圆弧（优弧或劣弧），连接圆弧的两端点（入射点、出射点）即得弦，而粒子在入射点或出射点的速度方向即为该圆弧的切线，可见
表一：粒子运动与轨迹参量的对应关系
为了更准确的反映它们的关系，定义：
φ──偏向角，即粒子沿偏转方向
转过的角度，反映在入射点与出射点的
速度方向上；
α──回旋角，即粒子经过圆弧所
对的圆心角；
β──弦切角，即粒子的速度与“弦”所成的角。

如图1所示，易证它们的关系：“φ=α=2β”
二、化归统一“圆运动”
（一）空间问题
由表一可知，解决“圆运动”问题，应充分关注“速度”的方向和入射点与出射点，以明确“切线、弦”，从而确定“轨迹圆”。

1．典型的“切线、弦”类型
例1如图2所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以速度
v
从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正
方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距
离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。

分析与解答带正的电粒子射入磁场后，由于受
洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由左手定则可知，
粒子沿顺时针方向运动从x轴负半轴射出磁场。

令出
射点为M，则OM = L。

由“切线、弦”可得圆心O’，
如图3所示。

由几何关系易知，①
又因为洛伦兹力提供向心力，即，所以，②
由①、②解得。

点评利用圆的切线、弦的性质找准圆心，确定“轨迹圆”是该题得以解决的关键所在。

2．已知入射方向及偏向角“φ”，可用“φ=2β”来补弦，从而将问题化归为“切线、弦”类型
例2如图4所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速
度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为
了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射
出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度
为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，
试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。

分析与解答由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角φ=π/2。

设粒子由M点进入磁场，则由φ=2β可沿粒子偏转方向β=π/4来补弦MN，如图5所示。

，从而画轨迹弧MN。

由“切线、弦”可得圆心O
1
显然M、N为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆
形区域内。

欲使磁场面积最小，则弦MN应为磁场边界所
在圆的直径（图5中虚线圆），即得
，
由几何知识，在中可知，
又因为，
所以，这圆形磁场区域的最小半径。

点评运用“φ=2β”来补弦，将此题化归于“切线、弦”类型，顺利得到粒子的运动轨迹，为观察发现磁场区域之半径与粒子运动轨迹的半径的关系，使问题得以解决创造了条件。

㈡时间问题
因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由，，可得。

可见要解带电粒子在磁场中运动的时间问题关键是抓住回旋角α。

1．由“α=φ”，应用偏向角φ求解时间
例3.如图9所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速
度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，
而宽度为d的匀强磁场。

射出磁场时的速度方向与竖直边界成
30°，则穿过磁场所用的时间是________________。

分析与解答直接应用求解，则需要画轨迹，工作量较
大，且对于填空题而言，这属于无用功。

因已知初速度和末速度的方向，易得偏向角φ，若应用“α=φ”作为桥梁再应用求解，则解题过程十分简单。

所以，。

3．由“α=2β”，应用弦切角β求解时间
例4.如图10所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。

一对正、负电子分别以相同速率，沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（）
A． B． C． D．
分析与解答由左手定则可知，正电子由原点O射入磁场后沿逆时针方向偏转，而负电子则沿顺时针方向偏转。

所以，正、负电子运动轨迹的弦切角分别为电子在O点的速度v与y轴正方向和与x轴正方向所成的角，即
，由及α=2β可
得，故选“B”。

点评如若由题条件知道弦切角β，利用“α=2β”求解带电粒子在磁场中的运动时间问题非常方便，连轨迹都不用画，效率很高，特别适用于求解选择题和填空题。

2．抓住回旋角“α”，求解时间
例5 在真空中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场B＝0．3T垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的带正电的粒子，已知粒子荷质比
为，则粒子在磁场中运动的最长时间t有多大？
分析与解答由可知，在v、一定时，若α最大则粒子在磁场中运动的时间就最长，且其所对的弦也最长。

然而入射点与出射点间的距离即弦长，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点进，而从
M点出（如图8所示）。

又因为
由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。

由图易知，所以，粒子在磁场中运动的最长时间为
综上所述，灵活应用“φ=α=2β”可将带电粒子在磁场中的运动的作图问题统一于“切线、弦”类型，而将运动的
时间问题化归于。

这虽然不能解决所有的问题，但对于基础比较薄弱的学生而言无疑是很有意义的，它可以一定程度上降低试题的难度，帮助学生更快的掌握此类习题的解法。