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广东省广州市2007学年度高中二数学上学期学生学业水平测试

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2007年广州高二数学水平测试试题(附答案)

2007年广州高二数学水平测试试题(附答案)

2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P （A B ）= P （A ）+ P （B ）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x y sin =的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．π22. 直线013=+-y x 的斜率是A ．3B ．3-C ．33 D ． 33-3. 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取 出的是红球的概率是A.61 B.41 C.31 D.214. 已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B AA ．{}12<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2012x x x -<<<<或5. 已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是A ．161 B ．41C ．4D ．166. 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2”也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是 A.81 B. 21C. 2D. 87. 在ABC ∆中，1,4A D AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DEA ．b 21+a 41B ．b 21+a 43C ．b 21-a 41D ．b 21-a 438. 已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是A ．ab a <2B ．ba11>C ．b a <D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21219. 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为A ．332 B ．32 C ．334 D ．34图210. 定义: 对于函数()x f , 在使()f x ≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值叫做函数()x f 的上确界. 例如函数()x f x x 42+-=的上确界是4, 则函数()()02log221≠+=x xx x g 的上确界是A. 2-B. 23-C. 2D. 22第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 .12. 在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==, ABC ∆的面积为1，则=C sin .13. 已知函数()()()2,0,3,0.xxf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 若()3=a f ，则a = .14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15. （本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16. （本小题满分12分）下面是某地100（1);（2）根据频率分布表, 画出频率分布直方图(请把答案画在答卷所提供的坐标系上); （3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围 内的概率大约是多少?17. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18. （本小题满分14分）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点.（1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ∆是直角三角形.图19. （本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围.20. （本小题满分14分）定义在R 上的函数()∈++=b a axb x x f ,(12R ,)0≠a 是奇函数, 当且仅当1=x 时，()x f 取得最大值.（1）求,a b 的值; （2）若函数()()xmx x f x g ++=1在区间()-1,1上有且仅有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考解答及评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 220x y +-= 12.31 13. 3 14. 275三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算求解能力）解: πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ 3cos ,0,52, 54531c o s 1s i n 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴θθ. 4s i n c o s4c o s s i n 4s i n πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和概率等基础知识，以及数据处理能 力、运算求解能力、应用意识） 解：（1） 某地100（2）频率分布直方（3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的概率大约是6.010060=.17．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等差数列前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力） 解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩ 解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴． （2）()()14211--=-+=n n n dn n na S nn n 52+-= 252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∈n Ｎ*,∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6. 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力）证明:（1）连接AC AC ,与B D 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点. E 为PC 的中点,PA EO //∴. ⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.A B C D 是菱形，︒=∠60BAD ,∴A B D ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF .,//AD BC⊥∴BC 平面PBF . ⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴.∴PBC ∆是直角三角形.19．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识，考查数形结合、函数与方程的数学思想方法，以及运算求解能力、创新意识）（1）解法一:设圆C 的圆心为C , 依题意得直线AC 的斜率=AC k 1-,∴直线AC 的方程为()24--=-x y , 即06=-+y x .直线OA 的斜率24=OA k 2=,∴直线OA 的垂直平分线为()1212--=-x y , 即052=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=-+=-+.052,06y x y x 得圆心C 的坐标为(7,1)-.∴圆C 的半径为r AC ===,∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法二: 设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+-.,22,42222222r b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.25,1,7r b a ∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法三: 设圆心C 的坐标为()b a ,.依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=⨯--.42,11242222b a b a a b 解得⎩⎨⎧-==.1,7b a ∴圆心C 的坐标为()7,1-.∴圆C 的半径为r OC ===. ∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .（2）解:设直线l 的方程为,m x y +-=()()1122,,,M x y N x y .由()()⎩⎨⎧=++-+-=.5017,22y x m x y 消去y 得()22221620x m x m m -+++=.2121228,2m mx x m x x +∴+=+=.∴AN AM ⋅)4)(4()2)(2(2121--+--=y y x x)4)(4()2)(2(2121-+--+-+--=m x m x x x ()()()442222121+-++--=m x x m x x()()()4482222+-++--+=m m m m m21236m m =-+()26m =-.直线l 与圆C 相交于不同两点,25217<--∴m..164<<-∴m ∴AN AM ⋅的取值范围是[)0,100.…………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、函数的应用、基本不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解：（1） 函数()12++=axb x x f 是奇函数,1122++-=++-∴axb x axb x , 得0=b . ()12+=∴axx x f .若,0<a 则函数()12+=ax x x f 的定义域不可能是R , 又0≠a , 故0>a .当x ≤0时，()f x ≤0; 当0>x 时, ()21xf x ax =+=.当且仅当12=ax , 即ax 1=时, ()x f 取得最大值.依题意可知11=a, 得1=a .（2）由（1）得()21x f x x =+，令()0=x g ，即0112=+++xmx x x .化简得()210x mx x m +++=. 0=∴x 或 012=+++m x mx .若0是方程012=+++m x mx的根, 则1-=m , 此时方程012=+++m x mx的另一根为1, 不符合题意.∴函数()()xmxx f x g ++=1在区间()1,1-上有且仅有两个不同的零点等价于方程012=+++m x mx(※)在区间()1,1-上有且仅有一个非零的实根.（1）当0=m 时, 得方程(※)的根为1-=x , 不符合题意.（2）当0≠m 时, 则①当()21410m m ∆=-+=时, 得221±-=m .若221--=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-=-=∈-,符合题意;若221+-=m , 则方程(※)的根为()111,12x m=-=-=∉-,不符合题意.∴221--=m .② 当0>∆时, 令()12+++=m x mx x ϕ,由()()()⎩⎨⎧≠<⋅-.00,011ϕϕϕ 得01<<-m .()021≠=-m ϕ. 若()01=ϕ, 得1-=m , 此时方程012=+++m x mx的根是01=x ,12=x , 不符合题意.综上所述, 所求实数m 的取值范围是()1,02-⎪⎪⎩⎭.。

2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题

2023－2024学年度第二学期期中学业水平质量监测(本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(2,3,1)=−a ，(4,,)m n =b ，且//a b ，则m n +=A ．4B ．5C ．6D ．72．561010C C +=A ．711CB ．611CC ．1111C D ．710C3．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是A ．36B ．72C ．480D ．6004．已知向量(1,3,1)=a ，(2,1,1)=b ，(,5,1)t =c 共面，则实数t 的值是A ．1−B ．0C ．1D ．25．甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为 A ．150B ．300C ．450D ．5406．13520232024202420242024C C C C ++++被3除的余数为A ．1B ．2C ．3D ．47．在正三棱锥A BCD −中，2BE EA =，F 为AD 的中点，BF CE ⊥，则BAC ∠的正弦值为 A ．12B ．22C ．1D ．328．若将整个样本空间想象成一个11⨯的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且 事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示 A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件C 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A ，B 同时发生的概率二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9． 若382828m mC C −=，则m 的取值可能是 A ．4 B ．5 C ．8D ．910．已知A ，B 是两个随机事件，0()1P A <<，下列命题正确的是A. 若A ，B 相互独立，则(|)()P B A P B =B. 若事件A B ⊆，则(|)1P B A =C. 若A ，B 是对立事件，则(|)1P B A =D. 若A ，B 是互斥事件，则(|)0P B A =11．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点M ，N 在对角线AC ，1C D 上移动，且AM AC λ=，1DN DC λ=，(0,1)λ∈则下列结论中正确的是 A ．异面直线AC 与1C D 所成的角为60 B ．线段MN 的最小值为22C ．MN 与平面11AAD D 不平行D ．存在(0,1)λ∈，使得MN AC ⊥三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则AB 在1AC 上的投影向量的模为 ． 13．25(32)x x ++展开式中含2x 项的系数是 ．14．图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 1 次将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 (2,2) 将导致 (1,2)，(2,1)，(2.2)， (2,3)，(3,2)改变状态．如果要求改变(1,1),(2,2),(3,3)的状态，则需按开关的最少次数为_________；如果只要求改变(2,2)的状态，则需按开关的最少次数为_________(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)四、解答题(本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(13分)已知2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++，且满足各项的二项式系数之和为256(1)求3a 的值； (2)求312232222nna a a a ++++的值．16．(15分)如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，10AD =，28BC AB ==，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM PC ⊥，求直线BM 与面PCD 所成角的正弦值．17．(15分)在84x a x +的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1(1)求展开式中含14x的项；(2)求展开式中系数最大的项.18．(17分)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．(1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率;(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.19．(17分)在四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知1B C ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，15BB =E 是线段1B D 上的点．(1)点1C 到平面1B CD 的距离；(2)若E 为1B D 的中点，求异面直线1DD 与AE 所成角的余弦值； (3)在线段1B D 上是否存在点E ，使得二面角C AE D −−5若存在，请确定E 点位置；若不存在，试说明理由．。

广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试(二)

广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试(二)

试卷类型：A广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2007．4本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 480的值为 A ．12-B ．32-C ．12D ．322．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >）3．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为 A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i -- 4．1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()ln 1f x x =-的图像大致是6．4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为A ．4242A AB ．5252A A C ．55AD ．6622A A7．如图1，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为A ．51-B ．51+C ．31-D ．31+8．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题，每小题5分，满分30分． 9．已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t = ．10．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．11．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示，则ω= ，ϕ= ．12．已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的xyO 4π54π 1图2A BC DE F图1xy O D ． x y O B ． x y O A ． x y O C ．值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分．13．已知,,,a b x y ∈R ，224a b +=，6ax by +=，则22x y +的最小值为 ． 14．在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则=AB ．15．如图3，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图4所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，2AB =，1BC =，16AA =，D 是棱1CC 的中点． （Ⅰ）证明：1A D ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求二面角11B AB C --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线A BCA 1B 1C 1D图4PQ ABC 图3O与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）． （Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i OP =∑．20．（本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．21．（本小题满分14分）已知函数()242f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题。

2010年广州市高二数学学业水平测试题

2010年广州市高二数学学业水平测试题

2010学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数 学（必修）本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数y =A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 20y -=的倾斜角为A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π3．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则()U A B = ðA ．{}2,4,6,8B ．{}1,3,7C ．{}4,8D ．{}2,6 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为 A ．14、12 B ．13、12C ．14、13D ．12、145．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于A ．1 BC ．2D ．37．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为 A ．212cm π B. 215cm πC. 224c m π D. 236cm π8．若23x <<，12xP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log Q x =，R则P ，Q ，R 的大小关系是A ．Q P R <<B ．Q R P <<C ．P R Q <<D ．P Q R <<图1主视图6侧视图图29．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ． 10()2sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为AB ．34 CD ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ． 12．如图4，函数()2xf x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .13．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ．14．设不等式组0,02036x y x y x y -+-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列． （1）求角B 的大小；（2）若()sin 2A B +=，求sin A 的值．图3图4某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）（1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率． 17．（本小题满分14分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB 平面ACE ； （2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．19．（本小题满分14分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）． （1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值． 20．（本小题满分14分）已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．50分．20分．11．()22225x y ++=（或224210x y y ++-=） 12．913．()0,+∞（或[)0,+∞） 14．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三、解答题15．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=， 由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+． 解得3B π=．（2）方法1：由()sin A B +=，即()sin C π-=sin C =． 所以4C π=或34C π=．由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=．所以5sin sin sin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 4646ππππ=+12222=+4=．方法2：因为A ，B 是△ABC 的内角，且()sin 2A B +=，所以4A B π+=或34A B π+=．由（1）知3B π=，所以34A B π+=，即512A π=．以下同方法1．方法3：由（1）知3B π=，所以sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即sin cos cos sin 332A A ππ+=．即1sin 222A A +=．sin A A ．即223cos 2sin A A A =-+．因为22cos 1sin A A =-， 所以()2231sin 2sin A A A -=-+．即24sin 10A A --=．解得sin A =．因为角A 是△ABC 的内角，所以sin 0A >．故sin 4A =．16．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． 解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =． （2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种． 所以()310P X =．故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点． 因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△DPB 的中位线． 所以PB EO ．因为EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB 平面ACE ．（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ， 因为点E 是PD 的中点，所以EH PA ． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则PA AD CD x ===，且1122EH PA x ==． 所以13E ACD ACD V S EH -∆=⨯ 1132AD CD EH =⨯⨯⨯⨯3111262123x x x x === ． 解得2x =．故AB 的长为2．18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． 解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2n S n =．所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()22121n n n =--=-，当1n =时，111211b S ===⨯-， 所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-． （2）由（1）可知，1212n n n b n a --=． 设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， 则 213572321124822n n n n n T ----=++++++ ， ① 即 111357232122481622n n n n n T ---=++++++ ， ② ①－②，得2111112111224822n n nn T --=++++++-11121211212n nn -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--2332nn +=-， 所以12362n n n T -+=-．故数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-．19．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由224x b +=，解得12x =，，所以21AB x x =-=所以12S AB b == 22422b b +-=≤．当且仅当b =b =S 取得最大值2．（2）设圆心O 到直线2y kx =+的距离为d，则d =．因为圆的半径为2R =，所以2AB ===于是241121k S AB d k =⨯===+，即2410k k -+=，解得2k =．故实数k的值为2+2，2-2-20．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分． 解法1：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根， 令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =． 当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解法2：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，()213f x ax x a =+-+在区间[]1,1-上有零点⇔()231x a x +=-在区间[]1,1-上有解⇔213xa x -=+在区间[]1,1-上有解． 问题转化为求函数213xy x -=+在区间[]1,1-上的值域．设1t x =-，由[]1,1x ∈-，得[]0,2t ∈．且()2013ty t =≥-+． 而()214132ty t t t==-++-． 设()4g t t t=+，可以证明当(]0,2t ∈时，()g t 单调递减． 事实上，设1202t t <<≤，则()()()()121212121212444t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由1202t t <<≤，得120t t -<，1204t t <<，即()()120g t g t ->． 所以()g t 在(]0,2t ∈上单调递减． 故()()24g t g ≥=． 所以()1122y g t =≤-．故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州二测及参考答案

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州二测及参考答案

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(文科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧(,r r '分别表示圆台上、下底面半径,l 表示母线长)第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为10秒,绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A.18 B .38 C.12 D.584.已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -,21a +,7a +,则这个数列的通项公式为A.43n a n =-B.21n a n =-C.42n a n =-D.23n a n =-5.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --6.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为π,16π,侧面积为25π,则这个圆台的高为A.3 B .4 C.59.如图1所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 1 11 D 110.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-图1第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题,每小题5分,满分20分.11.已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π,则ω= . 12.某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下(每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．):两个专题都选的有6人,选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人.13.已知函数()f x 满足()12f =,()()()111f x f x f x ++=-,则()3f 的值为 ,()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第14题的得分.14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图2,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.17.(本小题满分14分) 如图3所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使DE平面11AB C ？证明你的结论.图218.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若点P 在椭圆E 上,且满足12PF PF t =,求实数t 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21nii OP=∑.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分.第13题中的第一个空2分,第二个空3分. 11.2 12.20 13.12-；314. 15.135三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运算求解能力)解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2,2－1,2－3,3－2,3－4,4－3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2,2－1,2－4,3－3,4－2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为y x ,,用),(y x 表示抽取结果,则所有可能有()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,共16种. ……4分(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2, ()2,1, ()2,3,()3,2, ()3,4,()4,3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2, ()2,1, ()2,4, ()3,3, ()4,2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)17.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)证明:(Ⅰ)∵90ACB ∠=,∴BC AC ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,∴1BC CC ⊥. ∵1ACCC C =,∴BC ⊥平面11ACC A .∵1AC ⊂平面11ACC A ,∴1BC AC ⊥, ∵11BCB C ,则111B C AC ⊥. ……4分在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC .∵1AA =∴四边形11ACC A为正方形. ∴11AC AC ⊥. ……6分 ∵1111B C AC C =,∴1AC ⊥平面11AB C . ……7分 (Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C . ……9分证明如下:如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点,∴1EFAB .∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF平面11AB C . ……12分同理可证FD 平面11AB C .∵EFFD F =,∴平面EFD平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD , ∴DE平面11AB C . ……14分18.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)(Ⅰ)解:由余弦定理,得222cos 2a c b B ac+-=＝12. ……2分∵0B π<<,∴ 3B π=. ……4分(Ⅱ)解法一:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由余弦定理,得222cos 214b c a A bc +-==. ……8分∵0A π<<,∴sin 14A ==……10分∴sin tan cos A A A ==……12分解法二:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由正弦定理,得sin B A =. ……8分∵3B π=,∴sin 14A =. ……10分又b a =>,则B A >,∴cos A ==.∴sin tan cos A A A == ……12分解法三:∵3c a =,由正弦定理,得sin 3sin C A =. ……6分 ∵3B π=,∴()23C A B A ππ=-+=-. ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=.1sin 3sin 2A A A +=.∴5sin A A =. ……10分∴sin tan cos A A A ==……12分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力)(Ⅰ)解法一:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),由已知半焦距1c =,∴221a b -=. ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,则221914a b+=. ② ……4分 由①、②解得,24a =,23b =.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分 解法二:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,∴1224a CF CF =+=,即2a =. ……3分 由已知半焦距1c =,∴2223b a c =-=. ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分(Ⅱ)设()00,P x y ,由12PF PF t =,得()()00001,1,x y x y t -----=,即22001x y t +=+. ③ ……8分 ∵点P 在曲线C 上,∴2200143x y +=. ④ 由③得22001y t x =+-,代入④,并整理得()2042x t =-. ⑤ ……10分由④知,2004x ≤≤, ⑥ ……12分 结合⑤、⑥,解得:23t ≤≤.∴实数t 的取值范围为[]2,3. ……14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵xy e '=,∴曲线C :x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-,即y ex =. 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0,∴点1P 的坐标为()0,1. ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ),∴曲线C :x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y ee x x -=-, ……4分 令0y =,得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-.∴数列{}n x 是以0为首项,1-为公差的等差数列.∴1n x n =-,1n n y e -=.(*n ∈N ) ……6分 (Ⅱ)∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+, ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分 ()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-. ……14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<, ……2分 ∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞. ……4分(Ⅱ)∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭,显然()02f =-,对称轴20x a=-<. ……6分 (1)当424a --<-,即02a <<时,()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=-,解得x =此时()M a 取较大的根,即()M a==, ∵02a <<,∴()1M a =>-. ……10分数学试题A （文科） 第 11 页 共 11 页 (2)当424a --≥-,即2a ≥时,()2M a a<-,且()4f M a =⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=,解得x =, 此时()M a 取较小的根,即()M a ==, ∵2a ≥,∴()3M a =≥-.……13分 当且仅当2a =时,取等号.∵31-<-,∴当2a =时,()M a 取得最小值－3. ……14分。

广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8} 2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．365．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣368．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．09．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．610．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集运算得答案．解答：解：由M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，得M∩N={1，2，4，8}∩{2，4，6，8}={2，4，8}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分别求出各个函数的定义域，从而得到答案．解答：解：函数y=的定义域是（0，+∞），A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是R，D中的定义域是（0，+∞），故选：D．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了常见函数的性质，是一道基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程由通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a5=a1+4d=9，S2=2a1+d=4，解得a1=1，d=2，∴a2=a1+d=3故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体是三棱柱，依据所给数据直接计算即可．解答：解：由题意可知：几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S=×4×=6，高是3，所以它的体积：Sh=18，故选：C点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．5．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，可得结论．解答：解：将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos（x+）=﹣sinx 的图象，再结合正弦函数的图象特征，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，得到a＞b＞0，分别进行判断即可．解答：解：∵2a＞2b＞1，∴a＞b＞0，只有（）a＜（）b成立，故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据不等式的性质是解决本题的关键．7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，计算即可得到．解答：解：由于AB=AC=5，BC=6，则cosB==，则•=||•||•cos（π﹣B）=5×6×（﹣）=﹣18．故选C．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．8．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可．解答：解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（2，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．6考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，由已知解析式，求得a=3，进而得到f（1），再由f（﹣1）=﹣f（1），即可得到．解答：解：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f（0）=a﹣3=0，解得，a=3，即有f（x）=3x+1﹣3，即f（1）=9﹣3=6，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣6．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和性质，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v==，由于a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得.=．即可得出．解答：解：设甲地到乙地的距离为s．则他往返甲乙两地的平均速度为v==，∵a＞b＞0，∴，∴．=．∴．故选：D．点评：本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是x+4y+3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，能求出直线的方程．解答：解：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，得：﹣3+0+c=0，解得c=3，∴所求直线的方程为x+4y+3=0．故答案为：x+4y+3=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.14π．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，符合几何概型，从而可得=；从而求得．解答：解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则=；故S=0.14π；故答案为：0.14π．点评：本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是21．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y，z 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2z=3，满足条件z＜20，x=2，y=3，z=5满足条件z＜20，x=3，y=5，z=8满足条件z＜20，x=5，y=8，z=13满足条件z＜20，x=8，y=13，z=21不满足条件z＜20，输出z的值为21．故答案为：21．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为2．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cosC的值求出sinC的值，根据A=2C，得到sinA=sin2C=2sinCcosC，求出sinA 的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，即为BC的长．解答：解：∵△ABC中，AB=c=，cosC=，A=2C，∴sinC==，sinA=sin2C=2sinCcosC=2××==，由正弦定理=得：a==2，则BC=a=2，故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，从而解得；（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，从而令t﹣=求得最小值及最小值点．解答：解：（1）依题意f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]；实验室这一天上午10点，即t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，所以上午10点时，温度为4℃．（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，故当t﹣=时，即t=22时，y取得最小值，y min=﹣4；故当t=22时，这一天中实验室的温度最低．点评：本题考查了三角函数的应用及最值问题，属于基础题．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，求出“可回收垃圾”的总量与“可回收垃圾投放正确”的数量，计算概率即可；（2）根据数据统计，求出生活垃圾的总量以及生活垃圾投放错误的总量，计算概率即可．解答：解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨），其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨，设事件A为“可回收垃圾投放正确”，所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）=；（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨，故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨；所以，生活垃圾投放错误的总量为100﹣70=30吨，设事件B“生活垃圾投放错误”，故可估计生活垃圾投放错误的概率为P（B）==．点评：本题考查了数据统计与概率计算的问题，解题时应分析数据，根据数据统计计算概率，是基础题．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．解答：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==＜r=3，由此能求出a＞或a＜﹣．（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．解答：解：（1）圆C：x2+y2=9的圆心C（0，0），半径r=3，圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==，∵线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B，∴d＜r，∴，解得a＞或a＜﹣．（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，∵k PC=﹣，∴﹣，解得a=2，∵a=2符合a＞或a＜﹣，∴存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，所以：a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．所以：解得：a1=1所以：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1证明：（2）已知①②①﹣②得：==所以：由于n≥1所以：＜6点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．考点：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．点评：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州二测及参考答案

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州二测及参考答案

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --4.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.4名男生和2名女生排成一排照相,要求2名女生必须相邻,则不同的排列方法为A.4242A A B.5252A A C.55AD.6622A A7.如图1,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B1 11 D 18.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-第二部分 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题,每小题5分,满分30分. 9.已知0t >,若()021d 6tx x -=⎰,则t = .10.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.图111.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示,则ω= ,ϕ= .12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13.已知,,,a b x y ∈R ,224a b +=,6ax by +=,则22x y +的最小值为 .14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图3,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.17.(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个,从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(Ⅰ)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(Ⅱ)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率分布与数学期望.图2图318.(本小题满分14分) 如图4所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =D(Ⅰ)证明:1A D ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)求二面角11B AB C --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21ni i OP =∑.20.(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.图42007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题。

高中二年级学生学业水平测试-英语(试题 参考答案 评分标准 听力录音稿)

高中二年级学生学业水平测试-英语(试题 参考答案 评分标准 听力录音稿)

2009学年度广州市高中二年级学生学业水平测试英语本试卷四大题，满分150分。

考试用时120分钟。

I 听力（共两节，满分20分）第一节听力理解（4段共10小题，每小题1.5分，满分15分）每段播放两遍。

各段后有几个小题，各段播放前每小题有5秒钟的阅题时间。

请根据各段播放内容及其相关小题，在5秒钟内从题中所给的A、B、C项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

听下面一段对话，回答第1 - 2题。

1. Why does the woman call the man?A. Because she can’t watch a movie.B. Because she wants to buy a new TV.C. Because she wants her TV repaired.2. When will her television be returned?A. Tuesday.B. Wednesday.C. Thursday.听下面一段对话，回答第3 - 5题。

3. What kind of music is the man listening to?A. Folk music.B. Rock music.C. Rap music.4. How did the man get the music?A. He bought it at a music store.B. He downloaded it on the Internet.C. He bought it from the band's website.5. What will the man email to the woman in the evening?A. The song he is listening to.B. The name of the group that sings the song.C. The address of the website that has the song.听下面一段独白，回答第6 - 8题。

广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(二)广州二模数学试卷

广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(二)广州二模数学试卷

【新结构】（广州二模）2024年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,2,4,12A B x x ==∈-≥Z ，则()A B ⋂=Zð（）A.{}2 B.{}0,2 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,4【答案】B 【解析】【分析】求出B 中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出B Z ð即可得出答案．【详解】由12x -≥解得，1x ≤-或3x ≥，即{}13B x x x =∈≤-≥Z 或，{}{}130,1,2B x x =∈-<<=Z Z ð{}0,2,4A = ，(){}0,2A B ∴=Z ð.故选：B ．2.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．3.某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（）A.24种 B.48种C.60种D.96种【答案】D 【解析】【分析】由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解.【详解】由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有444A 96=种.故选：D4.某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（）A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】C 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁做对，结合题意分析推理，利用矛盾律得出结论．【详解】若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件；若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件；故做对的是丙，说对的是甲．故选：C.5.已知,,αβγ是三个不重合的平面，且,l m αγβγ== ，则下列命题正确的是（）A.若,αγβγ⊥⊥，则lm B.若l m ，则αβ∥C.若,αβγβ⊥⊥，则l m ⊥ D.若l m ⊥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误．【详解】若,αγβγ⊥⊥，则l m 或l 与m 相交，故A 错误；若lm ，则αβ∥或α与β相交，故B 错误；若,αβγβ⊥⊥，则l m ⊥，故C 正确；若l m ⊥，则α与β相交，不一定是垂直，故D 错误．故选：C ．6.若0x 是方程()()()()f g x g f x =的实数解，则称0x 是函数()y f x =与()y g x =的“复合稳定点”．若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠与()22g x x =-有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a 的取值范围为（）A.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.(D.)+∞【答案】D 【解析】【分析】2222x x a a -=-即()222220xx a a a a -+=有两个不同实根，令x t a =，则222220t a t a -+=在()0,∞+上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可．【详解】()(0xf x a a => 且1)a ≠与()22g x x =-有且仅有两个不同的“复合稳定点”，2222x x a a -∴=-，即()222220x x a a a a -+=有两个不同实根，令x t a =，则222220t a t a -+=在()0,∞+上有两个不同实根，()22222Δ280220a a a a a ⎧=->⎪∴⇒>⇒>⎨>⎪⎩则a的取值范围为)∞+．故选：D ．7.已知函数π())(0,||2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A 【解析】【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和ϕ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由π()14f =，得π2sin()42ωϕ+=，又点π(,1)4及附近点从左到右是上升的，则ππ2π,Z 44k k ωϕ+=+∈，由5π(08f =，点5π(,0)8及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5ππ2π,Z 8k k ωϕ+=+∈，联立解得2ω=，π2π,Z 4k k ϕ=-+∈，而π||2ϕ<，于是π4ϕ=-，π()2sin(2)4f x x =-，若将函数()f x 的图像向右平移(0)θθ>个单位后，得到πsin(22)4y x θ=--，则ππ2π,Z 42k k θ--=-∈，而0θ>，因此3ππ,N 82k k θ=-+∈，所以当1k =时，θ取得最小值为π8.故选：A8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()11,02f x f x f x f ++-==，则()()2024f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析可知()f x 为偶函数，结合偶函数可得()()210f x f x ++-=，进而可知6为()f x 的周期，赋值可知()21f =-，结合周期性运算求解.【详解】由题意可知：函数()f x 的定义域为R ，因为()()()11f x f x f x ++-=，则()()()11f x f x f x -++=-，可得()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，由()()()11f x f x f x ++-=可得()()()21f x f x f x ++-=+，即()()()21f x f x f x ++=+，整理得()()210f x f x ++-=，可得()()()()330f x f x f x f x ++-=++=，则()()630f x f x +++=，可得()()6f x f x +=，所以6为()f x 的周期，由()()()()11,02f x f x f x f ++-==，令0x =，可得()()()1201f f f +==，可得()11f =；令1x =，可得()()()2011f f f +==，可得()21f =-；所以()()()()202420121f f f f +=+=-+=．故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()1ln 1x f x x x +=--，则（）A.()f x 的定义域为()0,∞+B.()f x 的图像在()()22f ,处的切线斜率为52C.()01f f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭= D.()f x 有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意直接求出x 的范围即可判断A ；求出导函数，进而求得()2f '即可判断B ；求得1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可判断C ；易知()f x 的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D ．。

2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)

2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)

数学学业水平测试 第 1 页 （共 13 页）2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数 学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 本次考试不允许使用计算器.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是A. 2- B. 12-C.12D.23. 不等式2230x x --<的解集是A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞ 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12-D. 2-数学学业水平测试 第 2 页 （共 13 页）5. 函数sin 2y x =是A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为A . 1 B.53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为A. B.C.D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b bC. D. ()+⊥a b b10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系O xyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 .()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x>4正视图 侧视图俯视图图1()()1122x f x x f x <数学学业水平测试 第 3 页 （共 13 页）13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = .14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则12m n+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.()100mx ny mn +-=>16．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知13,2,cos3a b A===．（1）求sin B的值；（2）求c的值.17．(本小题满分14分)如图2，在三棱锥P A B C-中，5,4,3AB BC AC===，点D是线段P B的中点，平面P A C⊥平面ABC．（1）在线段AB上是否存在点E, 使得的位置,并加以证明；若不存在,（2）求证：P A B C⊥.数学学业水平测试第 4 页（共13 页）数学学业水平测试 第 5 页 （共 13 页）18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n nT S S S =+++，求证：34n T <.19. （本小题满分14分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，M N =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求 的取值范围.121d d -数学学业水平测试 第 6 页 （共 13 页）20. （本小题满分14分） 已知113a ≤≤, 若函数()22fx ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.数学学业水平测试 第 7 页 （共 13 页）2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14.3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分 (2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种.………10分数学学业水平测试 第 8 页 （共所以()80.810P B ==.答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．（1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==． ………2分 由正弦定理得：sin sin a b AB=， ………4分∴2sin 3sin 39b A B a⨯===. ………6分（2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，∴222123b c abc+-=. ………8分∴222231223c c+-=⨯，解得3c =. ………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//D E 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//D E 平面PAC :取线段AB 的中点E , 连接D E ， ………3 ∵点D 是线段P B 的中点，∴D E 是△P A B 的中位线. ………4 ∴//D E P A . ………6 ∵PA ⊂平面PAC ，D E ⊄平面PAC ，∴//D E 平面PAC . (8)数学学业水平测试 第 9 页 （共 13 页）（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+.∴A C B C ⊥. ………10分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC A C =，B C ⊂平面ABC ， ∴B C ⊥平面PAC . ………12分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴P A B C ⊥. ………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分（2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分∴ 12111n nT S S S =+++()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+=11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………10分数学学业水平测试 第 10 页 （共 13 页）111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ =31114212n n ⎛⎫-+⎪++⎝⎭………12分 34<. ………14分19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l的距离d ==.………2分 ∵ M N =2, ∴2=. ………3分∴2=. ………4分解得r =………5分∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. ………6分 (2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====.………8分 又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==………9分∴121d d-== (10)分m =，则1t -= ………11分∵1t ≠，∴1m >.数学学业水平测试 第 11 页 （共 13 页）∴121d d-===. ………12分∵1m >, ∴12m +>. ∴2011m <<+.∴20111m <-<+. ………13分∴0<<.∴121d d -的取值范围是(. ………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………1分∵113a ≤≤, ∴113a≤≤. ① 当112a≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()fx 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴ ()()()g a M a N a =-=196a a+-. ………3分② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭.数学学业水平测试 第 12 页 （共 13 页）∴ ()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a aa a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分 任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=. ………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，数学学业水平测试 第 13 页 （共 13 页）∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <. ∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分 当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫=⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。

广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案)

广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案)

2024-2025学年第一学期阶段性考试（10月月考）高二年级 数学试卷本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分。

考试时间 120 分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上。

2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ）A ．B ．1C ．D ．22．空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若向量垂直于向量和，向量(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则（ ）A ．B ．C ．不平行于，也不垂直于D ．以上三种情况都有可能5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ）A. 12B. 8C. 6D. 4()2,,1a x = ()1,2,1b =- x =3212()1,2,3P ()M 1,2,0-()1,6,3()1,2,3-()1,6,3--31,0,2⎛⎫ ⎪c =b m a b n a b λμ=+m n ∥m n ⊥ m n m n 1111ABCD A B C D -12AA AD AB ===2BAD π∠=113BAA A AD π∠=∠=11AB AD ⋅=6. 已知直线l 过点，且方向向量为，则点到l 的距离为（ ）A. B. C. D. 7. 把正方形纸片沿对角线AC 折成直二面角，分别为AD ，BC 的中点，O 是原正方形的中心，那么折纸后的大小为（）A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，点P 在棱CD 上运动，点Q 在侧面上运动，满足平面，则线段PQ 的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．9. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）A.B. 与共线单位向量是C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是10. 给出下列命题，其中正确的命题是（）A ．若，则是钝角B ．若，则可知C ．若为直线l 的方向向量，则λ也是直线l 的方向向量D ．在四面体中，若，，则的()2,3,1A ()0,1,1s = ()4,3,2P ABCD ,EF EOF ∠30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -11ADD A 1B Q ⊥1AD P ()0,1,0A ()2,2,0B ()1,3,1C -AB AC ⊥ AB ()1,1,0AB BC ABC ()1,2,5-0a b ⋅< ,a b <> 1233AD AC AB =+ 2CD DB = a ()a R λ∈ P ABC -0PA BC ⋅= 0PC AB ⋅= 0PB AC ⋅=11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ）A. 对于任意的，且，都有平面平面B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，存在点，使得D. 当时，不存在点，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知点，，，若A ，B ，C 三点共线，则____________．13. 在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到平面的距离是______________．14．如图，在长方体中，，在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值．16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD ，M 为BC 的中点.(1)求证：平面PBD ；(2)求直线PA 与平面PBD 所成角的正切值．34μ=P AP ⊥PCD (),3,5A a -()0,,2B b ()2,7,1C -1111ABCD A B C D -11AD AA ==AB 1ACD 1111ABCD A B C D -1AB =BC =M 1CC 1MD MA ⊥1MAD ∆1AA =()2,1,2a =- ()1,4,1b =r 2a b - P ABCD -PD ⊥2PD DC AD ===，AM ⊥1111ABCD A B C D -P 1AP AC AD λμ=+ ()0,1λ∈μ∈R 0μ≠()0,1λ∈μ∈R 0μ≠ACP ⊥11A B D1λμ+=1B A PD -34λ=P 190A PB ∠> a b +=2AB =2a b + a b -17．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.(1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值．18. 如图，在长方体中，，为的中点.(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)若平面与平面夹角的大小为，求的长．19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面．(1)求证：平面平面；(2)若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余PO PAB C OB D 2π3DOC ∠=DC PA DC 1111ABCD A B C D -11AA AD ==E CD 11B E AD ⊥1AA P DP ∥1B AE AP 1AB E 11A B E 45︒AB ABCD 4AB =2AD =M DC ADM △AM ADM ⊥ABCM ADM ⊥BDM E DB ()01DE tDB t =<<E AM D --t时，求的值．。

2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)

2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)

数学学业水平测试 第 1 页 （共 4 页）秘密★启用前2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数 学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =, 集合{}1,3A =, , 则U A =ð( )A . ∅ B. {}1,3 C. {}2,4,5 D. {}1,2,3,4,5 2. 已知点(3,4)P -是角α终边上的一点, 则tan α=( ) A . 43-B. 34-C. 34D. 433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直, 则实数a 的值为( ) A . 2- B. 2 C. 12-D. 124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框, 不考虑焊接损耗, 则需要铁丝的长度至少为( )A .24 B. 12 C. 6 D. 35. 如图1, 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P , 分别以A 、B 、C 、D 为圆心、1为半径作圆, 在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为M (阴影部分), 则点P 取自区域M 的概率是( ) A .2π B. 4πC.14π-D. 12π-6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图2所示, 则该几何体的体积为( ) A . 16 B. 13C.12D. 1 7.函数2()f x x的零点所在的区间为( ) A . 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4, 公差为4, 其前n 项的和为n S , 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为( ) A .2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 21nn +9. 在长方形ABCD 中, AB=2, AD =1, 则AC CD ⋅=( )A . 4 B. 2 C. 2- D. 4-图1数学学业水平测试 第 2 页 （共 4 页）10. 设函数()f x 的定义域为R ,若存在与x 无关的正常数M , 使()f x M x ≤对一切实数x 恒成立, 则称()f x 为有界泛函. 有下面四个函数:① ()1f x =; ② 2()f x x =; ③()2sin f x x x =; ④ 2().2xf x x x =++ 其中属于有界泛函的是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点(, 则函数()f x 的定义域是 .12. 如图3, 给出的是计算111123S n=++++ 值的一个程序框图, 当程序结束时, n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是(2,4,0)A ,(2,0,3)B , (2,2,)C z , 若90C ∠= , 则z 的值为 .14. 设实数x , y 满足3,20,40,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知(3,1),(1,0)A C（1）求以点C 为圆心, 且经过点A 的圆C 的标准方程;（2）若直线l 的方程为290x y -+=, 判断直线l 与圆C 的位置关系, 并说明理由.数学学业水平测试 第 3 页 （共 4 页）已知函数()sin ,f x x x x R =∈．（1）求函数()f x 的的最小正周期;（2）若6,0,,352f ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计, 随机抽取N 名学生作为样本, 得到这N 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:（1）求出表中N ，p ，及图中的a 的值;（2）在所取样本中, 从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人, 求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.18. （本小题满分14分）如图4所示, AB 是⊙O 的直径, 点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点, P A ⊥平面ABC , 点E 是线段PB 的中点, 点M 在AB 上, 且//MO AC . （1）求证: BC ⊥平面PAC ;（2）求证: 平面EOM //平面P AC .图4数学学业水平测试 第 4 页 （共 4 页）已知数列{}n a 满足*111,2(N ,)n n n a a a n λλ+==+⋅∈为常数, 且123,2,a a a +成等差数列. （1）求λ的值;（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）设数列{}n b 满足23n n n b a =+, 证明: 9.16b ≤20. （本小题满分14分）设a 为常数, R a ∈, 函数2()||1,R.f x x x a x =+-+∈（1）若函数()f x 是偶函数, 求实数a 的值; （2）求函数()f x 的最小值.。

广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学

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2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是A . 2-B. 12-C.12D.23. 不等式2230x x --<的解集是A . ()3,1- B. ()1,3-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-+∞ 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12- D. 2-5. 函数sin 2y x =是A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为A . 1 B.53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为A . B.C.D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有A. B. C. D.()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()(-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x>4正视图 侧视图俯视图图1()()1122x f x x f x <二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系O xyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线上, 则12m n+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值； （2）求c 的值.()100mx ny mn +-=>如图2，在三棱锥P A B C -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段P B 的中点， 平面P A C ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：P A B C ⊥.18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n nT S S S =+++，求证：34n T <.已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，M N =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求121d d -的取值范围.20. （本小题满分14分） 已知113a ≤≤, 若函数()22fx ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14.3+ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分所以()80.810P B ==.答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分 16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==． ………2分 由正弦定理得：sin sin a b AB=， ………4分∴2sin 3sin 39b A B a⨯===. ………6分（2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，∴222123b c abc+-=. ………8分∴222231223c c+-=⨯，解得3c =. ………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//D E 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//D E 平面PAC : 取线段AB 的中点E ,∵点D 是线段P B 的中点，∴D E 是△P A B ∴//D E P A . ………6 ∵PA ⊂平面PAC ，D E ⊄平面PAC ，∴//D E 平面PAC . ……… （2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+. ∴A C B C ⊥. ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC A C =，B C ⊂平面ABC ， ∴B C ⊥平面PAC . …12分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴P A B C ⊥. ……14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分 （2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++ ()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+=11111111111232435112n n nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………10分 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭2分 34<. 14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离d ==.…2分∵ M N =2, ∴ 2=. …3分∴ 2=.4分解得r =………5分 ∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. 6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====………8分 又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==………9分∴121d d -== (10)分m =，则1t -=， ………11分∵1t ≠，∴1m >.∴121d d-1m-===. ………12分∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+.∴20111m <-<+. 13分∴0<<∴121d d -的取值范围是(0,. ………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.………1分 ∵ 113a ≤≤, ∴113a ≤≤.① 当112a≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()fx 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴ ()()()g a M a N a =-=196a a +-.…3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴ ()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a aa a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <， ()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()34343491a a a a a a --=. ………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫=⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。

2023-2024学年广东省广州市一中高二上学期10月月考数学试卷含详解

2023-2024学年广东省广州市一中高二上学期10月月考数学试卷含详解

2023-2024高二数学10月月考卷（问卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知过点()1,A a ，(2,B 的直线的倾斜角为60°，则实数a 的值为（）A.-B.C.D.2.下列说法错误．．的是（）A.设,a b 是两个空间向量，则,a b一定共面B.设,a b 是两个空间向量，则a b b a⋅=⋅ C.设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c一定不共面D.设,,a b c是三个空间向量，则()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ 3.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA = ，点N 为BC 的中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.221332a b c +- C .111222a b c +- D.211322a b c -++ 4.已知(1,0,1)a = ，(,1,2)b x =- ，且3a b ⋅=- ，则向量a 与b的夹角为（）A.56π B.23π C.3πD.6π5.已知(2,1,3)=- a ，(1,2,3)=- b ，(7,6,)λ= c ，若a ，b ，c共面，则λ等于（）A.9- B.9C.3- D.36.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11AADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，M 是11A D 的中点，则MP =（）A .5B.7C.3D.57.如图，三棱锥-P ABC 中，PAB 和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（）A.12B.1C.32D.138.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，平面PAD ⊥平面,2,2ABCD AD AB AP ===，当棱PC 上一动点M 到直线BD 的距离最小时，过,,A D M 作截面交PB 于点N ，则四棱锥P ADMN -的体积是（）A.4227B.24C.10227D.7216二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于空间直角坐标系Oxyz 中的一点()1,2,3P 的说法正确的有（）A.线段OP 的中点的坐标为13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.点P 关于x 轴对称的点的坐标为()1,2,3---C.点P 关于坐标原点对称的点的坐标为()1,2,3-D.点P 关于Oxy 平面对称的点的坐标为()1,2,3-10.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（）A.1AC =B.1AC BD⊥C.直线1BD 与直线AC 所成角的正该值是3D.直线AB 与平面11A ACC 所成角的正弦值是3311.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA的中点.下列说法正确的是（）A.直线1BA 与平面1A CD 所成角是6πB.在直线11A C 上存在点F ，使EF ⊥平面1A CDC.直线1EC 与直线AD 是异面直线D.点B 到平面1A CD 的距离是2212.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（）A.存在点F ，使得1A F AE ⊥B.线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C.四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D.设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4三、填空题（本大题共4小题，共20.0分.答案填在答题卡上）13.已知向量(1,2,2)a = ，(2,1,1)b =-- ．若()()a a b λλ⊥+∈R，则λ的值是________．14.设动直线l 经过定点()1,1A -，则当点()2,1B -与直线l 的距离最大时，直线l 的斜率为___________.15.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD =，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.16.如图所示的一块长方体木料中，已知141AB BC AA ===，，设E 为底面ABCD 的中心，且1,02AF AD λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，则该长方体中经过点1,,A E F 的截面面积的最小值为_____．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知点0(1)A ，，(02)B ，，点(,)P a b 在线段AB 上.（1）求直线AB 的斜率；（2）求ab 的最大值.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB ，11D B 的中点．（1）求证：1EF DA ⊥；（2）求证：1DA ⊥平面1ABC 19.如图，在空间四边形OABC 中，E 是线段BC 的中点．（1）设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用a ，b ，c表示向量OE ；（2）若4OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OE 和AB 所成角的余弦值．20.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．（1）求三棱锥1B AEF -的体积；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，且1AB =，2CD =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：AN ∥平面PBC ；（2）求平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值.22.如图1，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，,22,3AE CD AE BE CD CE ====∥．将四边形AECD 沿AE 折起，使得3BC =，得到如图2所示的几何体．（1）若G 为AB 的中点，证明：DG ⊥平面ABE ；（2）若F 为BE 上一动点，且二面角B AD F --的余弦值为63，求EF EB 的值．2023-2024高二数学10月月考卷（问卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知过点()1,A a，(2,B 的直线的倾斜角为60°，则实数a 的值为（）A.-B.C.D.【答案】A【分析】根据斜率的定义求解．【详解】由题意，得(tan 6012a -=︒=-，解得a =-.故选：A.2.下列说法错误．．的是（）A.设,a b 是两个空间向量，则,a b一定共面B.设,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅C.设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c一定不共面D.设,,a b c是三个空间向量，则()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ 【答案】C【分析】根据空间向量可平移可判断AC ，根据向量数量积定义可判断B ，根据向量数量积的运算律可判断D.【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A 正确；cos ,a b a b b b a ⋅==⋅，故B 正确；设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c可能共面，故C 错误；空间向量数量积满足分配律，故()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，即D 正确.故选：C3.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA = ，点N 为BC 的中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.221332a b c +-C.111222a b c +- D.211322a b c-++ 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】由于N 为BC 的中点，2OM MA =，所以()12ON OB OC =+ ，23OM OA = ,()1221121123322322MN ON OM OB OC OA OA OB OC a b c =-=+-=-++=-++ ，故选：D4.已知(1,0,1)a = ，(,1,2)b x =- ，且3a b ⋅=- ，则向量a 与b的夹角为（）A.56πB.23π C.3πD.6π【答案】A【分析】先由3a b ⋅=-求出x ，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量a与b的夹角为θ，因为(1,0,1)a = ，(,1,2)b x =- ，且3a b ⋅=-，所以23x -=-，得=1x -，所以(1,1,2)b =--，所以cos 2a b a bθ⋅==- ，因为[0,]θπ∈，所以56πθ=，故选：A5.已知(2,1,3)=- a ，(1,2,3)=- b ，(7,6,)λ= c ，若a ，b ，c共面，则λ等于（）A.9-B.9C.3- D.3【答案】A【分析】由a，b，c共面，设c ma nb =+，根据条件列出方程组即可求出λ的值．【详解】因为a，b，c共面，设c ma nb =+，又(2,1,3)=- a ，(1,2,3)=- b ，(7,6,)λ=c ，得到(7,6,)(2,2,33)m n m n m n λ=-+-+，所以272633m n m n m n λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得4,1,9m n λ===-，故选：A.6.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11AADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，M 是11A D 的中点，则MP =（）A.5B.7C.3D.【答案】D【分析】根据数量积的定义可得2AB AD ⋅=，12AB AA ⋅=- ，10AD AA ⋅= ，再结合向量的线性运算以及数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可知：12AB AD AA ===，1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，190A AD ∠=︒，可得：12222AB AD ⋅=⨯⨯= ，112222AB AA ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，12200AD AA ⋅=⨯⨯=uuu r uuu r ，因为()()11111111111222MP MD D P A D D C D D AB AD AA =+=++=+-uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuur uu u r uuu r uuu r，可得()()2222211111122244MP AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r()144422222054⎡⎤=+++⨯-⨯--⨯=⎣⎦，所以MP =uuu r，即MP =故选：D.7.如图，三棱锥-P ABC 中，PAB 和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（）A.12B.1C.32D.13【答案】A【分析】先证明AB ⊥平面PEC ，得到AB PC ⊥，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，PAB 和ABC 都是等边三角形，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，PE CE E ⋂= ，PE ⊂平面PEC ，CE ⊂平面PEC ，AB ∴⊥平面PEC ，PC ⊂ 面PEC ，∴AB PC ⊥，在APC △中，2AP AC ==，1PC =，由余弦定理2224141cos 244AP PC AC APC AP PC +-+-∠===⨯，∴()112142PD PC PA AD PC PA PC AD PC PA PC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= .故选：A.8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，平面PAD ⊥平面,2,ABCD AD AB AP ===，当棱PC 上一动点M 到直线BD 的距离最小时，过,,A D M 作截面交PB 于点N ，则四棱锥P ADMN -的体积是（）A.4227B.24C.10227D.7216【答案】B【分析】取,AD BC 的中点,O E ，连接,OP OE ，由题意可得OP ⊥平面,ABCD 建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出M 到直线BD 的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点M 到直线AD 的距离和点P 到平面MNAD 的距离即可.【详解】取,AD BC 的中点,O E ，连接,OP OE ，因为PAD △是等腰直角三角形且2,AD AP ==PD =OP AD ⊥，1OP ==，因为平面PAD ⊥平面,ABCD 平面PAD ⋂平面,ABCD AD =OP ⊂平面,PAD 所以OP ⊥平面,ABCD 所以以O 为原点，分别以OA ，OE ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,1,,1,,1,0,0,0,0,1,A B C D P --所以()1PC =--，()DB = ，()1,0,1AP =- 因为动点M 在棱PC 上，所以设()01PM PC λλ=≤≤，则(),1,M λλ--所以()1,1DM λλ=-- ，DM =，()DB =，DB =)DB D u B ==，3DM u ⋅== ，所以点M 到直线BD的距离为=，所以当12λ=时，点M 到直线BD 的最小距离为33，此时点M 是PC 的中点即11,,222M -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面ADM ，平面ADM ⋂平面=PBC MN ，所以//AD MN ，所以//BC MN ，因为点M 是PC 的中点，所以点N 是PB 的中点，所以112MN BC ==，121,,222DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1DM == ，()2,0,0DA =uu u r ，2DA = ，()1,0,0DA DA v == ，12D v M ⋅= ，所以点M 到直线AD32==，所以梯形MNAD 的面积为()133312224+⨯=，设平面MNAD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则=0=0n DA n DM ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩ ，即2=0121++=0222x x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，令=1y ，则=0x ，z =，所以(0,1,n = ，则点P 到平面MNAD的距离63AP n n ⋅== ，所以四棱锥PADMN -的体积为13434⨯⨯=．故选：B 【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于空间直角坐标系Oxyz 中的一点()1,2,3P 的说法正确的有（）A.线段OP 的中点的坐标为13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.点P 关于x 轴对称的点的坐标为()1,2,3---C.点P 关于坐标原点对称的点的坐标为()1,2,3-D.点P 关于Oxy 平面对称的点的坐标为()1,2,3-【答案】AD 【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可.【详解】由题意可知线段OP 的中点的坐标为13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以A 中说法正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为()1,2,3--，所以B 中说法错误；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为()1,2,3---，所以C 中说法错误；点P 关于Oxy 平面对称的点的坐标为()1,2,3-，所以D 中说法正确.故选：AD.10.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（）A.1AC =B.1AC BD⊥C.直线1BD 与直线AC 所成角的正该值是63D.直线AB 与平面11A ACC 所成角的正弦值是33【答案】AB【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可.【详解】记1,,AA a AB b AD c === ，则12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= 因为1AC a b c =++，所以1AC == A 正确；因为221()()0AC BD a b c c b a c a b b c b c b c ⋅=++⋅-=⋅-⋅+⋅-+-⋅= ，故B 正确；因为1BD ==，AC == ，221()()1AC BD b c b a c b a b b c b c a c c ⋅=+⋅--=-⋅-⋅+⋅-⋅-=- ，所以1cos ,6AC BD <>==- ，所以130sin ,6AC BD <>= ，故C 不正确；易知AC BD ⊥，又1()0BD AA c b a ⋅=-⋅=，所以BD 为平面11A ACC 的法向量，记直线AB 与平面11A ACC 所成角为θ，则21sin 112b c b AB BD AB BDθ⋅-⋅===⨯ ，故D 不正确.故选：AB11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA 的中点.下列说法正确的是（）A.直线1BA 与平面1A CD 所成角是6π B.在直线11A C 上存在点F ，使EF ⊥平面1A CD C.直线1EC 与直线AD 是异面直线D.点B 到平面1A CD的距离是2【答案】ABD 【分析】连接1B C 交1BC 于点M ，则可得到直线1BA 与平面1A CD 所成角，求出这个角，可判断A ，取11A C 与11B D 的交点为F ，利用线面垂直的判定定理可判断B ，证明1EC 在平面11ADC B 上，可以判断C ；BM 的长就是点B 到平面1A CD 的距离，可判断D.【详解】如图，由E 是1A B 中点，则它也是1AB 的中点，连接1C D，由11//B C AD 知11,AD C B 共面，显然1EC 在这个平面内，1EC 与AD 共面，C 错；连接11B D ，11A C ，11A C 与11B D 的交点为F ，则EF ⊥平面1A CD ，连接1BC ，1B C ，正方体中，,E F 分别是111,A B A C 中点，则1//EF BC ，由CD ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，则1BC CD ⊥，又11BC B C ⊥，1B C 与CD 是平面11B CDA 内两相交直线，∴1BC ⊥平面11B CDA ，∴EF ⊥平面11B CDA ，即EF ⊥平面1A CD ，B 正确；设1B C 交1BC 于点M ，连接1A M ，则1BA M ∠是直线1BA 与平面1A CD所成角，在直角三角形1A BM 中，111sin 2BM BA M BA ∠==，∴16B AM π∠=，A 正确；由上可知点B 到平面1A CD 的距离就是22BM =，D 正确.故选：ABD.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（）A.存在点F ，使得1A F AE⊥B.线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C.四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D.设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4【答案】BCD【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项；求出b 与a 的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用等积法可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为1CC ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()12,0,2A 、()10,2,2B 、()10,0,2C 、()0,1,2E ，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤.对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()12,2,2A F a =-- ，()2,1,2AE =- ，()142220A F AE a ⋅=++-= ，解得1a =-，不合乎题意，A 错；对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中m 、R n ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即22=2+2=02+=2m n b m n m an ---⎧⎪⎨⎪⎩，可得424b a =+-，02a ≤≤ ，则442a -≤-≤-，所以，[]420,14b a =+∈-，B 对；对于C 选项，2C AFEG C AGE C AFE V V V ---=+=，其中11233C AGE E ACG ACG V V S EC --==⋅⋅= ，故43C AFE V -=，又124333C AFE A CEFCEF CEF V V AC S S --==⋅⋅== ，故2CEF S = 即11122CEF CBB C S S == 正方形，故点F 只能与点B 重合，C 对；对于D 选项，()2,1,2AE =- ，()2,2,AF a =- ，则点F 到直线AE的距离为13d =，()2,0,2AG b =- ，则点G 到直线AE的距离为2d =()334a ==-，所以，223124S d S d a ==-，故()2223312232332242242S S S S S a S S S S S S a +-==++=++-，24≥=，当且仅当=2a 时，等号成立，故2123S S S 的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分.答案填在答题卡上）13.已知向量(1,2,2)a = ，(2,1,1)b =-- ．若()()a a b λλ⊥+∈R ，则λ的值是________．【答案】92【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由(1,2,2)a = ，(2,1,1)b =-- 得()()(1,2,2)2,1,112,2,2a b λλλλλ+=+--=-+- ．故由()a a b λ⊥+ 得()0a a b λ⋅+= ,即()()()1222220λλλ-+++-=，解得92λ=，故答案为：9214.设动直线l 经过定点()1,1A -，则当点()2,1B -与直线l 的距离最大时，直线l 的斜率为___________.【答案】32##1.5【分析】由题可知当直线AB l ⊥时，点B 与直线l 的距离最大，即求.【详解】当直线AB l ⊥时，点B 与直线l 的距离最大，此时直线AB 的斜率为()112123--=---，所以直线l 的斜率为32.故答案为：32.15.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AM AC =________.【答案】213【分析】设1AM AC λ= ，其中01λ<<，用AB 、AD 、1AA 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本定理可知存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+ ，由空间向量基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，即可解得实数λ的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】设()111AM AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++ ，其中01λ<<，1112233GM AM AG AB AD AA AA AB AD AA λλλλλλ⎛⎫=-=++-=++- ⎪⎝⎭ ，11223GE AE AG AB AA =-=- ，11233GF AF AG AD AA =-=- ，因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE 、GF 共面，由共面向量定理可知，存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，即1112121232333AB AD AA m AB AA n AD AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1112233mAB nAD m n AA =+-+ ，所以，()12132233m n m n λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-+=-⎪⎩，解得213λ=.故答案为：213.16.如图所示的一块长方体木料中，已知141AB BC AA ===，，设E 为底面ABCD 的中心，且1,02AF AD λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，则该长方体中经过点1,,A E F 的截面面积的最小值为_____．【答案】1255【分析】作出辅助线，得到平行四边形1A FGH 即为该长方体中经过点1,,A E F 的截面，建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式表达出截面面积，求出最值.【详解】连接FE 并延长，交BC 于点G ，过点1A 作1A H 平行于FG 交11B C 于点H ，连接1,A F GH ，则平行四边形1A FGH 即为该长方体中经过点1,,A E F 的截面，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()14,4,1A ，()4,44,0F λ-，()2,2,0E ，则()()22212219A E =-+-+= ，故点()14,4,1A 到直线EF的距离为d ====则截面面积为()22882916168S FG d EF λλλ-=⋅=⨯--+()22288216168916168λλλλλ-=-+⨯--+()22221441447288280168λλλλλ=-+--=-+21942101010λ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，因为102λ≤≤，所以当110λ=时，219101010y λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，故截面面积最小值为1255故答案为：1255四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知点0(1)A ，，(02)B ，，点(,)P a b 在线段AB 上.（1）求直线AB 的斜率；（2）求ab 的最大值.【答案】（1）2-（2）12【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；（2）先确定,a b 满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答.【小问1详解】由题意知，直线AB 的斜率20201AB k -==--.【小问2详解】当点(,)P a b 在,A B 两点之间时，由点(,)P a b 在线段AB 上，易知AP AB k k =，即021b a -=--，即22(01)b a a =-+<<，当P 与,A B 重合时也满足22b a =-+，因此22(01)b a a =-+≤≤，亦即22a b +=，且01,02a b ≤≤≤≤，所以22a b =+≥12ab ∴≤，当且仅当2a b =，即1,12a b ==时，等号成立.故ab 的最大值为12.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB ，11D B 的中点．（1）求证：1EF DA ⊥；（2）求证：1DA ⊥平面1ABC 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可.【小问1详解】如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则()()()12,2,1,1,1,2,2,0,2E F A ，所以()()11,1,1,2,0,2EF DA =--= ，有()111210120EF DA EF DA ⋅=-⨯+-⨯+⨯=⇒⊥ ；【小问2详解】由（1）知()()10,2,0,2,0,2AB BC ==- ，设平面1ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则10202200n AB y x z n BC ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ，令10,1x y z =⇒==，即()1,0,1n = ，又()12,0,2DA = ，显然12DA n = ，故1DA ⊥平面1ABC .19.如图，在空间四边形OABC 中，E 是线段BC的中点．（1）设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用a ，b ，c 表示向量OE ；（2）若4OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OE 和AB 所成角的余弦值．【答案】（1）1122OE c b =+ （2）737185【分析】（1）结合向量的平行四边形法则即可；（2）利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】11112222OE OC OB c b =+=+ ，【小问2详解】由（1）知1122OE c b =+ ，4OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，AB OB OA b a =-=- ，211)1111)(2222(22O b c b c E AB a b c a a b b +⋅⋅⋅=-=⋅--+⋅ 11111134449340222222=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅⋅72=，||OE ====2=，222222||||||435AB OA OB =+=+= ，所以||5AB = 所以77372cos ,1852OE AB == 20.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB的中点．（1）求三棱锥1B AEF -的体积；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）4；（2）313065.【分析】（1）利用等体积法结合三棱锥的体积公式计算即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面角即可.【小问1详解】因为11AC ⊂底面111AB C ，由题意1AA ⊥底面111A B C ，得111AA A C ⊥，由AC AB ⊥及三棱柱的性质可知1111A C A B ⊥，又1111111,A A A B A A A A B ⋂=⊂、平面1AB F ，故11A C ⊥平面1AB F ，所以AC ⊥平面1AB F ，所以E 到面1AB F 的距离为122AC =，由1111114322B AEF E AFB V V AC AF BB --==⨯⨯⨯=【小问2详解】由题意,以1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,4,0,0,2,6,0,0,6,2,0,3B F A E ，所以()()()10,2,6,0,2,0,2,0,3B F AF AE =-==- ，设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0230200n AE x z y n AF ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，令30,2x y z =⇒==，即()3,0,2n = ，设1B F 与平面AEF 所成角为α，则113130sin 65n B F n B Fα⋅===⋅ ，即1B F 与平面AEF所成角的正弦值为65.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，且1AB =，2CD =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：AN ∥平面PBC ；（2）求平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）余弦值为23-【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明相面平行.（2）利用向量法即可求得二面角的余弦值.【小问1详解】如图所示取PC 中点为M ，连接NM ，MB .所以NM ∥12DC 且12NM DC =又因为AB ∥12DC 且12AB DC =所以NM ∥AB ，NM =AB ，所以四边形NMBA 为平行四边形.所以AN ∥BM ，又因为AN ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC所以AN ∥平面PBC .【小问2详解】如图所示取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，所以()0,0,0A ，()0,0,1P ，()0,1,0B ，()22,1,0D -，()2,1,0C 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，因为()0,1,1BP =- ，()2,0,0BC = 则·=0·220BP m y z BC m x ⎧-+=⎪⎨==⎪⎩ 所以令1y =，得()0,1,1m = 设平面PDC 的法向量为(),,n a b c = ，因为()2,1,1PD =-- ，()0,2,0DC = 则·=220·20PD n a b c DC n b ⎧--=⎪⎨==⎪⎩ 所以令2a =)2,0,4n = 所以42cos ,3218m n m n m n===⨯⋅ 又因为平面PDC 与平面PBC 夹角为钝角所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为23-22.如图1，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，,22,3AE CD AE BE CD CE ====∥．将四边形AECD 沿AE 折起，使得3BC =，得到如图2所示的几何体．（1）若G 为AB 的中点，证明：DG ⊥平面ABE ；（2）若F 为BE 上一动点，且二面角B AD F --的余弦值为63，求EF EB 的值．【答案】（1）证明见解析（2）13EF EB =【分析】（1）取BE 中点O ，先证CO ⊥面ABE ，再由CO ∥DG ，证线面垂直即可；（2）以E 为中心建立空间直角坐标系，设F 坐标，由空间向量计算二面角B AD F --求得F 的坐标即可得结果.【小问1详解】如图，取BE 的中点O ，连接,OC OG ，易得OG ∥1,2AE OG AE =．因为CD ∥1,2AE CD AE =，故CD ∥OG ，且CD OG =，所以四边形CDGO 为平行四边形，则DG ∥CO ．因为,,,,AE CE AE EB CE EB E CE EB ⊥⊥⋂=⊂面BCE ，所以⊥AE 平面BCE ．而CO ⊂平面BCE ，所以AE CO ⊥．因为BC CE =，所以BE CO ⊥．因为,,BE AE E BE AE ⋂=⊂面ABE ，所以CO ⊥平面ABE ，所以DG ⊥平面ABE ．【小问2详解】如图，过点E 作直线l ∥DG ，则直线l ⊥面,,ABE AE EB ⊂面ABE ，又AE EB ⊥，所以直线,,l EA EB 两两相互垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()((2,0,0,0,2,00,1,,1,1,A B C D ，设()()0,,002F t t ≤≤，则(AD =- ，()()2,2,0,2,,0AB AF t =-=-．设面ADF 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则11111020AD m x y AF m x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12y =，则)112,2t x t z -==，即)2,2,2t m t ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ．设面ABD 的一个法向量为()222,,n x y z =r，则222220220AD n x y AB n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则221,0y z ==，即()1,1,0n = ，由图象可知二面角B AD F --为锐角，所以6cos ,3m n m n m n ⋅〈〉== ，解得23t =或6（舍去），即23EF =，所以13EFEB =.。

广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

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广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷一、单选题1．已知{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．2a ≤D ．2a ≥2．已知1i z =-是方程()220,z az b a b +-=∈R 的根，则a b +=（ ）A ．3-B ．1-C ．2D ．33．已知e πa a =，ln πb b =，c = ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<4．已知π,0,4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，221cos sin 7αα-=，且3sin sin(2)βαβ=+，则αβ+的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 5．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（0πϕ<<），()π6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．()102f = B ．()f x 的图象向左平移π6个单位长度后关于y 轴对称 C ．()f x 在π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．ππ033f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．在某种药物实验中，规定100ml 血液中药物含量低于20mg 为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg /ml ，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg20.3010≈）A ．4B ．5C ．6D ．77，母线长为3 ） A ．36π B ．24π C ．18π D ．12π8．已知O 为ABC V 的内心，角A 为锐角，sin A =AO AB AC μλ=+u u u r u u u r u u u r ，则μλ+的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．56二、多选题9．已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列不等式成立的是（ ）A ．14ab ≥B ．4925a b +≥CD ．2a a <10．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ）A ．直线1AD 与直线DP 所成角的大小不变B ．平面1PBD ⊥平面11AC DC ．点P 到平面11ACD D ．存在一点P ，使得直线AP 与平面11BCC B 所成角为π311．一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ）A ．平均数为3，中位数为4B ．中位数为4，众数为3C ．平均数为2，方差为2.1D ．中位数为3，方差为0.85三、填空题12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为分．13．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是ABC V 的中线．若2AD =，且()222cos cos b c bc b C c B ++=+，则ABC V 面积的最大值为．14．设函数()f x 的定义域关于原点对称且满足：（ⅰ）()()()()()1212211f x f x f x x f x f x ⋅+-=-；（ⅱ）存在正常数a 使()1f a =．则函数()f x 的一个周期是．四、解答题15．已知函数()()π(01,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象过2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，π3⎛ ⎝两点，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.(1)求函数()g x 的解析式；(2)若函数()()0F x g x =>，求函数F x 的单调区间. 16．已知斜三角形ABC .(1)借助正切和角公式证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：①tan20tan40tan40︒+︒︒︒， ②tan20tan40tan120tan20tan40︒︒︒︒︒++； (2)若135C =︒，求tan tan A B +的最小值.17．如图，在平行四边形ABCD 中，⊥AP BC ，垂足为P ，E 为CD 中点，(1)若AP u u u r ·AC u u u r =32，求AP 的长；(2)设|AB u u u r ||AC u u u r |，cos BAC ∠AP u u u r ＝x AE u u u r ＋y AC u u u r ，求xy 的值． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=o ，1PD AD ==，2PB AB ==．(1)证明：BD ⊥平面PAD ；(2)当二面角D PA B --BD 与平面PBC 所成角的大小． 19．已知有序数对{}123:,,X x x x ，有序数对{}123:,,Y y y y ，定义“Ω变换”：112y x x =-，223y x x =-，331y x x =-，可以将有序数对X 转化为有序数对Y ．(1)对于有序数对{}:3,4,5X ，不断进行“Ω变换”，能得到有序数对{}0,0,0吗？请说明理由．(2)设有序数对{}123:,,X x x x 经过一次“Ω变换”得到有序数对{}():,2,Y y x x y ≥，且有序数对Y 的三项之和为2024，求y x的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对Y 经过n 次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和最小，求n 的最小值．。

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试(一)数学试卷

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试(一)数学试卷

2024—2025学年广东省广州市天河中学高三上学期综合模拟测试（一）数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数满足，则复数对应的点在第（）象限A．一B．二C．三D．四(★★) 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（）A．B．C．10D．20(★★) 4. 若角的终边过点，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知：不等式的解集为，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 6. 双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋( y－4) 2＝r2( r＞0)相切，则r＝（）A．B．C．D．(★★★) 7. 下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布，则B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2(★★★) 8. 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（）A．中位数不变B．平均数变小C．方差变大D．方差变小(★★★) 10. 在正方体中，点分别是和的中点，则（）A．B．与所成角为C．平面D．与平面所成角为(★★★★) 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（）A．B．C．D．三、填空题(★) 12. 如图，矩形中，，E是的中点，则_________ ．(★★★) 13. 若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程： ______ ．(★★★★) 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ______ ．四、解答题(★★) 15. 记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.(★★★) 16. 已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．(★★★) 17. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．(★★★★★) 18. 已知在曲线，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）(1)求曲线C的方程；(2)若过且与l垂直的直线与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限）（ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值．（ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．(★★★★) 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出维“立方体”的顶点数；(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．①求的分布列与期望；②求的方差．。

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2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P （A B ）= P （A ）+ P （B ）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x y sin =的最小正周期是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π22. 直线013=+-y x 的斜率是 A ．3 B ．3-C ．33 D ． 33- 3. 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取出的是红球的概率是 A.61B.41C.31 D. 21 4. 已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B AA ．{}12<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2012x x x -<<<<或5. 已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是A ．161 B ．41C ．4D ．166. 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2” 也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是 A.81 B. 21C. 2D. 87. 在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=a ,=b , 则=A ．b 21+a 41B ．b 21+a 43C ．b 21-a 41D ．b 21-a 438. 已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是A ．ab a <2B ．ba 11> C ．b a <D ．ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂9. 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A ．332 B ．32 C ．334 D ．34 图2 10. 定义: 对于函数()x f , 在使()f x ≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值叫 做函数()x f 的上确界. 例如函数()x f x x 42+-=的上确界是4, 则函数()()02l o g 221≠+=x x x x g 的上确界是 A. 2- B. 23- C. 2 D. 22第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 .12. 在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==, ABC ∆的面积为1，则=C sin .13. 已知函数()()()2,,3,0.xx f x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩ 若()3=a f ，则a = .14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座 位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16.（本小题满分12分）下面是某地100位居民月均用水量的频率分布表：分 组 频 数 频 率[ 0, 0.5 ) 5 0.05 [ 0.5, 1 ) 10 [ 1, 1.5 ) 15 [ 1.5, 2 ) 20 [ 2, 2.5 ) 25 [ 2.5, 3 ) 10 [ 3, 3.5 ) 8 [ 3.5, 4 ) 5 [ 4, 4.5 ) 2 合计1001.00（1）请同学们完成上面的频率分布表(请把答案填在答卷所提供的表格上);（2）根据频率分布表, 画出频率分布直方图(请把答案画在答卷所提供的坐标系上); （3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围 内的概率大约是多少?17.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18.（本小题满分14分）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点.（1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ∆是直角三角形.图319.（本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求⋅的取值范围.20.（本小题满分14分）定义在R 上的函数()∈++=b a ax bx x f ,(12R ,)0≠a 是奇函数, 当且仅当1=x 时，()x f 取得最大值.（1）求,a b 的值; （2）若函数()()xmxx f x g ++=1在区间()-1,1上有且仅有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围.2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DACBCCABDB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 220x y +-= 12.3113. 3 14. 275三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算求解能力）解: πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 54531c o s 1s i n22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴θθ.4s i n c o s 4c o s s i n4s i n πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和概率等基础知识，以及数据处理能 力、运算求解能力、应用意识） 解：（1） 某地100位居民月均用水量的频率分布表:（2）频率分布直方图如下:分 组 频 数 频 率[ 0, 0.5 ) 5 0.05 [ 0.5, 1 ) 10 0.10 [ 1, 1.5 ) 15 0.15 [ 1.5, 2 ) 20 0.20[ 2, 2.5 ) 25 0.25[ 2.5, 3 ) 10 0.10[ 3, 3.5 ) 8 0.08[ 3.5, 4 ) 5 0.05 [ 4, 4.5 ) 2 0.02 合 计 1001.00（3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的概率大约是6.010060=.17．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等差数列前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力）解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴．（2）()()14211--=-+=n n n dn n na S n n n 52+-=252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∈n Ｎ*,∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6.18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力） 证明:（1）连接AC AC ,与BD 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点. E 为PC 的中点,PA EO //∴.⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.ABCD 是菱形，︒=∠60BAD ,∴ABD ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF . ,//AD BC⊥∴BC 平面PBF . ⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴.∴PBC ∆是直角三角形.19．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识，考查数形结合、函数与方程的数学思想方法，以及运算求解能力、创新意识）（1）解法一:设圆C 的圆心为C , 依题意得直线AC 的斜率=AC k 1-, ∴直线AC 的方程为()24--=-x y , 即06=-+y x .直线OA 的斜率24=OA k 2=, ∴直线OA 的垂直平分线为()1212--=-x y , 即052=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=-+=-+.052,06y x y x 得圆心C 的坐标为(7,1)-.∴圆C 的半径为r AC ===,∴圆C 的方程为()50172=++-y x .解法二: 设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+-.,22,42222222r b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.25,1,7r b a∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法三: 设圆心C 的坐标为()b a ,.依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=⨯--.42,11242222b a b a a b解得⎩⎨⎧-==.1,7b a∴圆心C 的坐标为()7,1-. ∴圆C的半径为r OC ===. ∴圆C 的方程为()50172=++-y x .（2）解:设直线l 的方程为,m x y +-=()()1122,,,M x y N x y .由()()⎩⎨⎧=++-+-=.5017,22y x m x y 消去y 得()22221620x m x m m -+++=.2121228,2m mx x m x x +∴+=+=.∴⋅)4)(4()2)(2(2121--+--=y y x x)4)(4()2)(2(2121-+--+-+--=m x m x x x ()()()442222121+-++--=m x x m x x()()()4482222+-++--+=m m m m m21236m m =-+()26m =-.直线l 与圆C 相交于不同两点,25217<--∴m..164<<-∴m∴AN AM ⋅的取值范围是[)0,100.…………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、函数的应用、基本不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解：（1） 函数()12++=ax bx x f 是奇函数, ()()x f x f -=-∴.1122++-=++-∴ax bx ax b x , 得0=b .()12+=∴ax xx f . 若,0<a 则函数()12+=ax xx f 的定义域不可能是R , 又0≠a , 故0>a . 当x ≤0时，()f x ≤0; 当0>x 时, ()21x f x ax =+=.当且仅当12=ax , 即ax 1=时, ()x f 取得最大值. 依题意可知11=a, 得1=a . （2）由（1）得()21x f x x =+，令()0=x g ，即0112=+++xmxx x . 化简得()210x mx x m +++=.0=∴x 或 012=+++m x mx .若0是方程012=+++m x mx 的根, 则1-=m , 此时方程012=+++m x mx 的另一根为1, 不符合题意.∴函数()()x mxx f x g ++=1在区间()1,1-上有且仅有两个不同的零点等价于方程 012=+++m x mx (※)在区间()1,1-上有且仅有一个非零的实根.（1）当0=m 时, 得方程(※)的根为1-=x , 不符合题意.（2）当0≠m 时, 则①当()21410m m ∆=-+=时, 得221±-=m .若221--=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-==∈-,符合题意;若221+-=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-==∉-,不符合题意. ∴221--=m .② 当0>∆时, 令()12+++=m x mx x ϕ, 由()()()⎩⎨⎧≠<⋅-.00,011ϕϕϕ 得01<<-m .()021≠=-m ϕ. 若()01=ϕ, 得1-=m , 此时方程012=+++m x mx 的根是01=x , 12=x , 不符合题意.综上所述, 所求实数m 的取值范围是()1,0-⎪⎪⎩⎭.。

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