江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中联考试题

2015-2016学年度春学期江阴市三校期中联考试卷高一数学试卷参考公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）．1．直线1y x =-的倾斜角为 ▲ 度．2．等比数列{}n a 中，28a =，564a =，则3a = ▲ ． 3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝ ▲ ．4．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则其通项公式n a ＝ ▲ ．5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为 ▲ m ． 6．下列四个结论，正确的是 ▲ ．(填序号) ①,a b c d a c b d ><⇒->-； ②0,0a b c d ac bd >><<⇒>；③0a b >>⇒>④22110a b a b>>⇒>．第5题图7．过点(2,3)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ▲ ．8．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第8个三角形数是 ▲ ．9．已知过点()1,1P -的直线l 与x 轴正半轴，y 轴负半轴分别交于,C D 两点，O 为坐标原点，若OCD ∆的面积为2，则直线l 方程为 ▲ ．10．已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且118m a a -=，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．11．在ABC ∆中，120A =，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，AD =，则AC 的长为 ▲ ．12．已知关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有2-，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，对边分别为a , b , c ,且2325ac b +=，则边b 的最小值为 ▲ ．14．已知数列{}n a 满足211112311,,4444nn n n n n a a a S a a a a -+⎛⎫=+==+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，仿照课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -= ▲ ．二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤，请把过程写在答题卡相应位置）． 15．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式为2212x ax a ->. (1)当2a =时，求不等式的解集； (2)当a R ∈时，求不等式的解集．第8题图▲▲▲▲▲已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=．当m 为何值时，1l 与2l ：(1)相交？(2)平行？ (3)垂直？▲▲▲▲▲17．（本小题满分14分）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设32log 1n n b a =+，且数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．▲▲▲▲▲18．（本小题满分16分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4cos 5A =，5b c =． (1)求sin C ； (2)若ABC ∆的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值．▲▲▲▲▲如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35． (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？▲▲▲▲▲20．（本小题满分16分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n a S An Bn C +=++． (1)当0A B ==，1C =时，求n a ；(2)若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-． ①设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和； ②设64n n nT c -=，若不等式8n mc ≥对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．▲▲▲▲▲2015-2016学年度春学期江阴市三校期中联考试卷高一数学参考答案及评分标准2016.04说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）． 1．45；(45不扣分) 2．16； 3．－2； 4． ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2； 5． 50 2 ；6．①③； 7． 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0； 8．36； 9．20x y --=； 10．323n -+； 11．3； 12．32k -≤<； 13．52； 14．n ； 二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）． 15．解：(1)1{2x x <-或2}3x >； ．．．．．．．．．．．．4分(2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0， ．．．．．．．．．．．．6分令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时， x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ．．．．．．．．．．．．8分当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ．．．．．．．．．．．．10分当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. ．．．．．．．．．．．．14分(没有综上，不扣分)16．解： 当5m =-时，直线2l 垂直于x 轴，此时直线1l 与2l 相交但不垂直. ．．．．．．．2分当5m ≠-时，直线1l 的斜率134m k +=-，直线2l 的斜率225k m=-+. ．．3分由12k k ≠，即3245m m+-≠-+， 得1m ≠-且7m ≠-，此时两直线相交. ．．．．．．．．．．．．5分当1m =-时，两直线重合；当7m =-时，两直线平行. ．．．．．．．．．．．．7分当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交； ．．．．．．．．．．．．9分 由12=1k k ⋅-，即32145m m +⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得133m =-， 此时两直线垂直. ．．．．．．．．．．．．11分(1) 当7m =-时，1l 与2l 平行； ．．．．．．．．．．．．12分(2) 当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交； ．．．．．．．．．．．．13分 (3) 当133m =-时，1l 与2l 垂直. ．．．．．．．．．．．．14分17．解：(1)设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. ．．．．．．．．．．．．3分由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1. ．．．．．．．．．．．．5分所以，数列{}n a 的通项公式为13n n a -= ．．．．．．．．．．．．7分 (2)21n b n =-， ．．．．．．．．．．．．9分()()1112121n n b b n n +=⋅-⋅+=11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， ．．．．．．．．．．．．11分 所以1111111111112335572121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ 21n n =+ ．．．．．．．．．．．．14分18．(1)因为4cos ,55A b c ==，所以2222254105c c a c +-=，得a =，．．．．．．．．．．．4分所以3sin 5A C ==，故sin 10C =； ．．．．．．．．．．．．8分 (2)因为13sin sin sin 22S ac B C B ==， ．．．．．．．．．．．．10分所以10ac =① ．．．．．．．．．．．．12分又a = ②由①②得5c = ．．．．．．．．．．．．16分19.解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45. ．．．．．．．．．．．．1分从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝531246313513565⨯⨯⨯=. ．．．．．．．．．．．．3分由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B =⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m. ．．．．．．．．．．．．5分(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， ．．．．7分因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8， 故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． ．．．．．．．．．．．．9分(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B ⨯=⨯＝500(m)．．．．11分 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ， 由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， ．．．．．．．．．．．．15分 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． ．．．．．．．．．．．．16分20．解：(1)因为21n n a S +=，令111,3n a ==．．．．．．．．．．．．1分又1121(2)n n a S n --+=≥，得1220n n n a a a --+=，所以123n n a a -=， ．．．．．．．．．．．．2分 所以数列{}n a 是等比数列， ．．．．．．．．．．．．3分 故11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ ．．．．．．．．．．．．4分(2)①因为数列{}n a 是等差数列，所以()()()21111131+=22222n n n n d a S a n d na d n a d n a d -⎡⎤⎛⎫+=+-++++-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 22n Bn =+-， ．．．．．．．．．．．．5分 所以111122222d a d a d ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎩， ．．．．．．．．．．．．6分 所以21n a n =-，(21)2n n b n =-⋅， ．．．．．．．．．．．．7分 由错位相减法得()12326n n T n +=-⋅+ ．．．．．．．．．．．．10分 ②646=42n n n nT n c --= 则11424652222n n n n n n n n c c ++----=-= ．．．．．．．．．．．．12分 当1,2n =时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<；即12345c c c c c <<>>>所以当3n =时，()max 34n c =； ．．．．．．．．．．．．14分 因为不等式8n m c ≥对*n N ∈恒成立所以348m≥，解得：6m≤. ．．．．．．．．．．．．16分。