2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学 Ⅰ 试 题 2017.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}， 2{|650=-+≤M x x x ，}∈Z x ，则U M ðu = ▲ ．2．若复数z 满足2ii iz ++=，其中i 为虚数单位，则||z = ▲．3．函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 ▲ ． 4．右图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ▲ ． 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三 年级抽10人. 则该校高二年级学生人数为 ▲ ．6．已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ▲ ． 7．从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右焦点，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于A ，B 两点，其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ▲ ．11．在△ABC 中，已知1AB =，2AC =，60A ∠=︒，若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=，则实数λ的值为 ▲ ．（第4题图）12．已知πsin 3sin()6αα=+，则πtan()12α+= ▲ ．13．若函数21112()ln xx f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，，≥1，则函数1()8y f x =-的零点个数为 ▲ ．14．若正数x ，y 满足1522x y -=，则3322x y x y +--的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，的对边．若cos 3a B =，cos 1b A =，且π6A B -=． （1）求边c 的长； （2）求角B 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B . （1）求证：E 是AB 中点；（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．1 （第16题图）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图）．设计要求彩门的面积为S（单位：m2），高为h（单位：m）（S，h为常数）. 彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.（1）请将l表示成关于α的函数()l fα=；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221+=x ya b（0>>a b）的焦距为2，离心率为A.（1）求该椭圆的方程；（2）过点D作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.CBDA（第17题图）已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）.（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -…恒成立，求a 的取值范围. 20．（本小题满分16分）已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，2214(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足2nn n a b t=.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学 Ⅱ 试 题 2017.321．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲） 如图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =,过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E . 求DAC ∠的大小和线段AE 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值． C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．D.（选修4—5：不等式选讲）已知a ，b ，c 为正数，且3a b c ++=的最大值.ABC DO（第21—A 题图）E【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点M ，N 分别在PA ，BD 上， 且13PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小； （2）求二面角N PC B --的余弦值.23．（本小题满分10分）设π2θ<，n 为正整数，数列{}n a 的通项公式πsin tan 2n n n a θ=，其前n 项和为n S . （1）求证：当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-；（2）求证：对任何正整数n ，1221sin21(1)tan 2n n n S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦.CAM PND B（第22题图）2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2017.3一、填空题．1．{}6,7 23．()3,1 1.4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．245．3006．437．138．29．2 10．1y x =- 11．1或14-12．4 13．414．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，cos 3a B =，则22232a c b a ac +-=，得2226a c b c +-=；① ……2分cos 1b A =，则22212b c a b bc+-=，得2222b c a c +-=，② ……4分①+②得：228c c =，4c =. ……7分 （法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-， ……2分 由sin sin sin a b c A B C ==得：sin sin a C A c =，sin sin b CB c=，代入上式得： ……4分 cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分（2）由正弦定理得cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B Ab A B A B===， ……10分又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===++，……12分解得tan B =π)(0,B ∈，π6B =. ……14分16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，OE ⊂平面1ABC ，平面11BCC B I 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分因为侧面11AA C C 是菱形，11AC AC O = ，所以O 是1AC 中点， ……5分 所以11AE AOEB OC ==，E 是AB 中点. ……7分 （2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1AC ⊥， ……9分又11AC A B ⊥，111AC A B A = ，11,AC A B ⊂面1A BC ，所以1AC ⊥面1A BC ，…12分 因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥． ……14分17．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DC B α∠=（π02α<<）， DH h =， 设AD x =， 则sin h DC α=，tan h CH α=，2tan h BC x α=+， ……3分 因为S=12()2tan h x x h α++⋅，则 tan S hx h α=-； ……5分则21()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+- (π02α<<)； ……7分 （2）2222cos 112cos ()()sin sin sin f h h αααααα---'=⋅-=⋅， ……8分 令212cos ()0-'=⋅=f h αα，得π=α. ……9分所以， min π()3Sl f h ==+.……12分答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π02α<<)； CBDA（第17题图）H……11分1（第16题图）（2）当π3α=时，lSh+. ……14分18．解：（1）由题1c =，c e a ==所以a =1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=……4分（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意； ……5分当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ的方程为(y k x ，……6分 代入2222x y +=，得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=， ……8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则：4(81)0k ∆=-+>，18k <-，1,2x =， ……9分所以12x x +=212248212k k x x k ++⋅=+，……11分又AP AQ k k +==422k k ==-所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+…恒成立. 令1()ln +1g x x=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a <….……6分……４分（2）当02a <…时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -…恒成立． ……10分 若2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<，则()()0p x f x x'=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<<，矛盾. ……15分 因此，02a <….……16分20．解：（1）由题意得2214(1)n n n a na ++=，因为数列{}n a 各项均正，得22141n n a a n n +=+2=， ……2分2=，所以是以1a 为首项公比为2的等比数列.……4分（2）由（1112n a -=⋅，12n n a a -=22114n n n n na a nb t t -==， ……5分 如果数列{}n b 是等差数列，则2132b b b =+，……6分得：2212023111123244423a a a t t t--⋅⋅=+，即2316148t t t =+，则216480t t -+=， 解得 14t =，212t =. ……7分当14t =时，214n a nb =，2221111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=，数列{}n b 是等差数列，符合题意；……8分当2t =12时，2143n na nb =⋅，2222111241244242211434343162a a a b b a +=+==⋅⋅⋅，2132133428231b a a ==⋅⋅，2432b b b +≠，数列{}n b 不是等差数列，2t =12不符合题意；……9分 综上，如果数列{}n b 是等差数列，4t =.……10分（3）由（2）得214n a nb =，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=，则4242111(1)816424a n n a m a n +⋅-=，所以214na m =. ……12分当12a k =，k ∈N *，此时2244k n m k n ==，对任意的n ∈N *，符合题意； ……14分当121a k =-，k ∈N *，当1n =时，22441144k k m k k -+==++. 不合题意. …15分综上，当12,a k k =∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=.……16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分 因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =， 所以60∠=∠=︒ABC BCO ,则DAC ∠=906030ACO ∠=︒-︒=︒. ……4分23cos30AC =⋅︒=sin 30DC AC =︒=，9cos302DA AC =︒=. ……7分 由切割线定理知，2DC DA DE =⋅， ……9分所以32DE =，则3AE =. ……10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M 11811a b c d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，M 122242a b c d ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……3分 ABC D O（第21—A 题图）E882224a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，，，，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，即M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……5分（2）则令特征多项式62()(6)(4)8044f λλλλλ--==---=--， ……8分解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，①……3分由2πcos()24ρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，……4分222()2x y x y +-+=，故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分 （2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分D ．（选修4—5：不等式选讲）解：因为：2(111)(313131)a b c +++++++…, ……7分由于3a b c ++=6，当且仅当1a b c ===时6. ……10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD -中，OP ⊥平面ABCD . 又2PA AB ==，所以OP =以O 为坐标原点，DA ，AB方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图： ……1分 则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --，P故211(,,3333OM OA AM OA AP =+=+=- ，111(,,0)333ON OB == ， ……3分所以2(0,,33MN =-，(1,1,PC =- ，cos ,2MN PC MN PC MN PC⋅<>==所以MN 与PC 所成角的大小为π6. ……5分（2）(1,1,PC =- ，(2,0,0)CB = ，42(,,0)33NC =- . 设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ⋅= m ,0CB ⋅=m ，可得0,0,x y x ⎧-+-=⎨=⎩ 令0x =，y =1z =，即=m ， ……7分设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则0PC ⋅= n ，0CN ⋅=n ，可得111110,20,x y x y ⎧-+-=⎨-+=⎩ 令12x =，14y =，1z ==n ， …9分cos ,33⋅<>===m nm n m n ，则二面角N PC B --的余弦值为33……10分23．证明：（1）因为πsintan 2nn n a θ=. 当n 为偶数时，设2n k =，2222πsintan sin πtan 02kk n k k a a k θθ===⋅=，0n a =.…1分 当n 为奇数时，设21n k =-，21(21)ππsintan sin(π)tan 22n n n k k a a k θθ--===-⋅. 当2k m =时，21ππsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=-，此时1212n m -=- ，121221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---==-=-=-.……2分 当21k m =-时，213π3πsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=，C y z此时1222n m -=-， 122221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---===-=-. 综上，当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-. ……3分（2）当1n =时，由（1）得：212tan S a a θ=+=，121sin21(1)tan 2n n θθ+⎡⎤+-⎣⎦=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=⋅⋅=. 故1n =时，命题成立……5分假设n k =时命题成立，即1221sin21(1)tan 2k kk S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦. 当1n k =+时，由（1）得：2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+=12211sin21(1)tan (1)tan 2k k k k θθθ++⎡⎤⋅+-+-⎣⎦ ……6分=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++⎡⎤⋅+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ =2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++⎡⎤⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++⎡⎤=⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ =()2221sin21(1)tan 2k k θθ++⋅+-⋅ 即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分。