数值分析计算方法_第二章作业
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第二章作业题答案
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式 （1）用单项式基底 （2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f (x) a bx cx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a 7,b 3,c 5 326
所以 f (x) 7 3 x 5 x2
a,b都为待定系数
P4' (x)
4bx3
3(a
3b) x3
(4b
6a
1) x
2a
3 2
将 p' (0) 0, p' (1) 1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有
P4 (x)
1 x4 4
3 2
x3
9 x2 4
32 6
（2）解：
l0
(x)
(x (x0
x1)(x x2) x1)(x0 x2 )
(x 1)(x 2) (11)(1 2)
(x
1)(x 2
2)
( x 1)( x 2)
l1 ( x)
6
l2 (x)
(x
1)( x 3
1)
Ln (x)
n k 0
f
'' ( x0 ) 2
( x1
x0 )2
将a带回到P（x）中即可
14.求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件：
p(0) 0, P'(0) 1, P(1) 1, p'(1) 2
解：设P（x）= ax3 bx2 cx d
则 P' (x) 3ax2 2bx c
又因为 f (n1) (t) 0 ，所以 Rn (t) 0
n
即 (t x)k l j (t)(x j x)k 0 j0
n
将t替换为x，得到 ( x j x)k l j ( x) 0 j0
5.设 f (x)C2
a,b
且f(a)=f(b)=0,求证：maxaxb
当f(x)=x^k（k<=n)时， f (n1) (x) 0
n
于是有 Rn (x) xk xikli (x) 0 i0
n
所以 f (x) xk Ln (x) xikli (x) i0
n
(2)解：当f(t)=(t-k)^k(k<=n)时，Pn (t) lj (t)(xj x)k , j0
2!
max f (x) max f ''( ) (x a)(x b) 1 (b a)2 f ''( ) 1 (b a)2 max f ''(x)
axb
axb 2!
8
8
axb
6.在-4<=x<=4上给出f(x)=e^x的等距节点函数表，若用二次插值求e^x的 近似值，要求截断误差不超过10^-6,问使用函数表的步长h应取多少？
yk lk
(x)
5x2 6
3 2
x
7 3
4.设xj为互异节点，求证：
（1） n
x
k j
l
j源自文库
(
x)
xk
j 0
（2） n ( x j x)k l j ( x) 0 j0
（1）解：余项定理
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)! wn1(x)
解：假设节点取 x0 h, x0 , x0 h
R2 (x)
f
(3) (
3!
)
w3 (x)
e 6
(x x0 h)(x x0 )(x x0 h)
R2 (x)
e 6
(x x0 h)(x x0 )(x x0 h)
令 t x x0
则
R2 (t)
f (x) 1 (b a)2 max
8
axb
f ''(x)
解：Rn(x) f (x) Ln(x)
Rn (x)
f ''( ) (x a)(x b) 2!
Ln
(x)
f a
(a) b
(x
b)
f b
(b) a
(x
a)
0
所以
f (x)
f '' ( )
(x a)(x b)
e (t 3 h2t ) 6
当t= 3 h 时，上式有最大值 2 3 h3
3
9
则
R2 (t)
e 6
(t3 h2t)
e4
6
2 3 h3 106 9
解得 h 6.58*103
13.求次数小于等于3的多项式P（x），使满足条件：
p(x0 ) f (x0 ), P'(x0) f '(x0), P''(x0) f ''(x0), p(x1) f (x1)
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x
16.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足：
p(0) p' (0) 0, p(1) p'(1) 1, p(2) 1
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P2
(x)
(x 1)(x 2) (1)(2)
0
(x)(x 2) (1 0)(1 2)
1
( x)( x (2)(2
1) 1)
1
1 2
x2
3 2
x
从而 P4 (x) P2 (x) ax(x 1)(x 2) bx2 (x 1)(x 2)
解：设
P(x)
f (x0 )
f ' (x0 )(x x0 )
f
'' (x0 2!
)
(
x
x0
)2
a(x x0 )3
a为待定系数，这样的P（x）显然满足前三个条件，将第四 个条件代入，可以求解出：
a
f (x1) f (x0 ) f ' (x0 )(x1 x0 ) ( x1 x0 )3
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式 （1）用单项式基底 （2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f (x) a bx cx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a 7,b 3,c 5 326
所以 f (x) 7 3 x 5 x2
a,b都为待定系数
P4' (x)
4bx3
3(a
3b) x3
(4b
6a
1) x
2a
3 2
将 p' (0) 0, p' (1) 1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有
P4 (x)
1 x4 4
3 2
x3
9 x2 4
32 6
（2）解：
l0
(x)
(x (x0
x1)(x x2) x1)(x0 x2 )
(x 1)(x 2) (11)(1 2)
(x
1)(x 2
2)
( x 1)( x 2)
l1 ( x)
6
l2 (x)
(x
1)( x 3
1)
Ln (x)
n k 0
f
'' ( x0 ) 2
( x1
x0 )2
将a带回到P（x）中即可
14.求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件：
p(0) 0, P'(0) 1, P(1) 1, p'(1) 2
解：设P（x）= ax3 bx2 cx d
则 P' (x) 3ax2 2bx c
又因为 f (n1) (t) 0 ，所以 Rn (t) 0
n
即 (t x)k l j (t)(x j x)k 0 j0
n
将t替换为x，得到 ( x j x)k l j ( x) 0 j0
5.设 f (x)C2
a,b
且f(a)=f(b)=0,求证：maxaxb
当f(x)=x^k（k<=n)时， f (n1) (x) 0
n
于是有 Rn (x) xk xikli (x) 0 i0
n
所以 f (x) xk Ln (x) xikli (x) i0
n
(2)解：当f(t)=(t-k)^k(k<=n)时，Pn (t) lj (t)(xj x)k , j0
2!
max f (x) max f ''( ) (x a)(x b) 1 (b a)2 f ''( ) 1 (b a)2 max f ''(x)
axb
axb 2!
8
8
axb
6.在-4<=x<=4上给出f(x)=e^x的等距节点函数表，若用二次插值求e^x的 近似值，要求截断误差不超过10^-6,问使用函数表的步长h应取多少？
yk lk
(x)
5x2 6
3 2
x
7 3
4.设xj为互异节点，求证：
（1） n
x
k j
l
j源自文库
(
x)
xk
j 0
（2） n ( x j x)k l j ( x) 0 j0
（1）解：余项定理
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)! wn1(x)
解：假设节点取 x0 h, x0 , x0 h
R2 (x)
f
(3) (
3!
)
w3 (x)
e 6
(x x0 h)(x x0 )(x x0 h)
R2 (x)
e 6
(x x0 h)(x x0 )(x x0 h)
令 t x x0
则
R2 (t)
f (x) 1 (b a)2 max
8
axb
f ''(x)
解：Rn(x) f (x) Ln(x)
Rn (x)
f ''( ) (x a)(x b) 2!
Ln
(x)
f a
(a) b
(x
b)
f b
(b) a
(x
a)
0
所以
f (x)
f '' ( )
(x a)(x b)
e (t 3 h2t ) 6
当t= 3 h 时，上式有最大值 2 3 h3
3
9
则
R2 (t)
e 6
(t3 h2t)
e4
6
2 3 h3 106 9
解得 h 6.58*103
13.求次数小于等于3的多项式P（x），使满足条件：
p(x0 ) f (x0 ), P'(x0) f '(x0), P''(x0) f ''(x0), p(x1) f (x1)
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x
16.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足：
p(0) p' (0) 0, p(1) p'(1) 1, p(2) 1
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P2
(x)
(x 1)(x 2) (1)(2)
0
(x)(x 2) (1 0)(1 2)
1
( x)( x (2)(2
1) 1)
1
1 2
x2
3 2
x
从而 P4 (x) P2 (x) ax(x 1)(x 2) bx2 (x 1)(x 2)
解：设
P(x)
f (x0 )
f ' (x0 )(x x0 )
f
'' (x0 2!
)
(
x
x0
)2
a(x x0 )3
a为待定系数，这样的P（x）显然满足前三个条件，将第四 个条件代入，可以求解出：
a
f (x1) f (x0 ) f ' (x0 )(x1 x0 ) ( x1 x0 )3