本科概率论与数理统计课件第四章新

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概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望

32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2

a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:

f ( xi )xi

x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论

绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )

xf X ( x )dx

yfY
( y )dy

xf ( x , y )dxdy,

概率论与数理统计第四章

E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章随机变量的数字特征

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征

北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。

概率论与数理统计(本科)04(§1)

JINSW 本科４
立信会计学院
数统系数统系
1
概率论与数理统计
４
JINSW 本科４
Jinsw
2
＊例１：在分别写有１，２，３，４，５，８的六张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个真分数，求所得分数是既约分数（最简分数）的概率。解： A { 所得分数是既约分数 }
JINSW 本科４
5
解：（３）其余两个球可在剩下共有 2 3 种排法；的两个位置任意排放，
JINSW 本科先将第１、２号球排在任意相邻位子，４
n P4 4! 24 mC 2 3 2 12 P (C ) mC / n 12 / 24 1 / 2
（４）１号球排在２号球的右边，交换１号球于２号球的位置便对应于１号球在２号球的左边，反之亦然。二两种排法种数相同，各占总排法数的一半，则
P( A B ) 1 {P( A) P( B) P( AB)} P( A) 333 / 2000 P( B) 250 / 2000
JINSW 本科４
又由于一个数同时能被６与８整除。就相当于能
2000 84 ，得被２４整除。因此，由 83 24 83 P( AB) ，于是所求概率为 2000 250 83 3 333 p 1 2000 2000 2000 4
nC
3
JINSW 本科＊例２：一个袋子中装有１０个大小相同的球，其４
中３个黑球，７个白球，求（１）从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；（２）从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率。
解：（１）n C 10 m A C 3

海南大学《概率论与数理统计》课件第四章随机变量及其分布

例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有：当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).

概率论与数理统计第4讲

7
如果对于随机变量X的分布函数如果对于随机变量的分布函数F(x), 存在非负函的分布函数数f(x), 使对于任意实数x有使对于任意实数有
F( x) = ∫ f (t )dt
−∞
x
(4.1)
则称X为连续型随机变量其中函数称为X的则称为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为的为连续型随机变量称为概率密度函数, 简称概率密度. 概率密度函数简称概率密度连续型随机变量的分布函数是连续函数. 连续型随机变量的分布函数是连续函数在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量. 本课程只讨论这两种随机变量. 随机变量本课程只讨论这两种随机变量
(4.2)
看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度的原因相类似这就是为什么称为概率密度的原因. 为概率密度的原因式知道, 由(4.2)式知道若不计高阶无穷小有式知道若不计高阶无穷小, P(x < X ≤ x+∆x)≈f(x)∆x. (4.3) ∆ ≈ ∆
1 , f (r) = 1100 − 900 0, 故有 P{950 < R ≤ 1050} = ∫
©2009-2010, Lin Shao-ling,
900 < r < 1100, 其它.
1050
950
1 d r = 0.5 200
23
福建师大福清分校数学与计算机科学系
补充例题
x1
f ( x)d x.
4, 若f ( x)在点x连续,则有F′( x) = f ( x).
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福建师大福清分校数学与计算机科学系

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章

解：X 的分布函数为依题意，当x <0时，当0≤x ≤2时，当x >2时，F (x )=P (X ≤x )F (x )=P (X ≤x )=0F (x )=P (X ≤x )=P (X <0)+P (0≤X ≤x )=0+kx 2=kx 2F (x )=P (X ≤x )=1例1.一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.当0≤x ≤2时，F (x )=P (X ≤x )=kx 2另外依题意F (2)=P (X ≤2)=k.22=1所以k 14=x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩10.80.60.40.2-0.2-2-101234解得说明，存在一个非负可积函数f (x )，使得下式成立易知x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩x x F x f x ,02()()20⎧≤≤⎪'==⎨⎪⎩其他()()xF x f t dt-∞=⎰1.定义：设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在一个非负可积函数f (x )，使对任意的实数x ，均有则称X 是连续型随机变量(Continuous Random Variable )，称f (x )是X 的概率密度函数，简称概率密度(Probability Density Function ).()()xF x f t dt-∞=⎰连续型随机变量X的分布函数F(x)和概率密度f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布.易知此时分布函数F(x)是连续函数，即连续型随机变量的分布是连续函数.2.概率密度函数的性质（1）f (x ) ≥ 0（2）这两条性质是判定一个函数f (x )是否为某r.v.X 的概率密度函数的充要条件.f (x )xo 面积为1+()1f x dx ∞-∞=⎰（3）P (a <X ≤b )=F (b )-F (a )如 f (x )xo a b （4）()()GP X G f x dx∈=⎰()()b a f x dx f x dx -∞-∞=-⎰⎰()baf x dx =⎰()()a P X a f x dx+∞>=⎰（5）在f (x )的连续点x 处，有f (x )=F '(x )（6）设x 为f (x )的连续点，当∆x 较小，则有P (x< X ≤x+∆x )故X 的密度f (x )在x 这一点的值，恰好是X 落在区间(x ,x +∆x ]上的概率与区间长度∆x 之比.它反映了X 在x 附近单位长区间上取值的概率.x xx f t dt f x x()()+∆=≈⎰∆连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！（7）P (X =x 0)=F (x 0)-F (x 0-0)P (a <X ≤b )=P (a ≤X ≤b )=P (a <X <b )=P (a ≤X <b )密度函数f (x )在某点处a 的函数值f (a )，并不等于X 取值为a 的概率.但是，这个值f (a )越大，则X 在a 附近取值的概率f (a )∆x 就越大.也可以说，在某点密度曲线的函数值反映了概率集中在该点附近的程度，即X 在该点附近取值的密集程度.=0()ba f x dx=⎰=F (b )-F (a )若X 为连续型随机变量，概率密度f (x )唯一确定了分布函数F (x )；若随机变量X 的分布函数F (x )满足：(1)F (x )连续；(2)存在x 1<x 2<…<x n (n ≥0)，除这些点外，F (x )可导，且导函数F '(x )连续；令F x F x f x F x (),()()0,()''⎧=⎨'⎩当存在当不存在则f (x )必是X 的概率密度.例2.设随机变量X 的概率密度为求(1)常数k 的值；(2)X 的分布函数；(3)P (1<X <7/2).解：(1)由解得kx x f x x x ,03()2/2,340,≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他+1()f x dx ∞-∞=⎰3403(2)2x kxdx dx =+-⎰⎰k 16=k 9124=+解:(2)当x <0时，当0≤x <3时，当3≤x <4时，020()()0612x x t x F x f t dt dt dt -∞-∞==+=⎰⎰⎰03203()()0(2)32624x xt t x F x f t dt dt dt dt x -∞-∞==++-=-+-⎰⎰⎰⎰()()0x F x f t dt -∞==⎰求（2）X 的分布函数；()()xF x f t dt-∞=⎰6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他当x ≥4时，所以()()1xF x f t dt -∞==⎰x x x F x x x x x 220,0/12,03()32/4,341,4<⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩求（2）X 的分布函数；6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他P X F F 7741(1)()(1)2248<<=-=72723113741(1)()(2)26248x x P X f x dx dx dx <<==+-=⎰⎰⎰求(3)P (1<X <7/2)解:(3)6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他在上例中，当x ∉[0,4]时，f (x )=0，所以P (X ∉[0,4])=0，为了方便，我们说X 只在[0,4]上取值.g x a x b f x ()0,()0,>≤≤⎧=⎨⎩其他我们就说X 只在[a , b ]上取值.一般地，若随机变量X 的概率密度f (x )是如下分段函数：6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他例3.设连续型随机变量X 的分布函数为求(1)常数C 值；(2)X 取值于(0.3,0.7)内的概率；(3)X 的密度函数.解：(1)应用连续型随机变量X 的分布函数的连续性，有所以C =1x F x Cx x x 20,0(),011,1<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F F x C11(1)lim ()→-===x x f x F x 2,01()()0,<<⎧'==⎨⎩其他解：20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)P (0.3<X <0.7)=F (0.7)−F (0.3)=0.72−0.32=0.4求(2)P (0.3<X <0.7);(3)X 的密度函数.(3)随机变量的分类：离散型随机变量连续型随机变量.非离散型随机变量非连续非离散型随机变量.（1）若随机变量X 的概率密度为1.均匀分布(Uniform Distribution )则称X 在[a , b ]上服从均匀分布，记为X~U [a , b ]1,()0,a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他[,]1a b I b a =-[,][,]1,[,]()0,[,]a b a b x a b I I x x a b ∈⎧==⎨∉⎩区间[a ,b ]上的示性函数类似地，我们可以定义区间[a , b )、(a , b ]和(a , b )上的均匀分布一般地，设D 是数轴上一些不相交的区间之和，若X 的概率密度为x D f x D x D 1()0⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，的长度，则称X 在D 上服从均匀分布.若X ~U [a , b ]，X 的分布函数为对于满足a ≤c <d ≤b 的任意的c 、d ，有0(),1,x a x a F x a x bb a<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎩，其他()d c P c X d b a-<≤=-例1.设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量.试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率.解：设该乘客于7时X 到达此站，则X 服从[0, 30]上的均匀分布令B ={候车时间不超过5分钟}1530102511130303dx dx =+=⎰⎰()(1015)(2530)P B P X P X =≤≤+≤≤1030()300x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它2.指数分布(Exponential Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中常数λ>0，则称X 服从参数为λ的指数分布.,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩易求得X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩指数分布的另一种等价定义定义：设连续型随机变量X 的概率密度为1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中θ>0为常数，则称X 服从参数为θ的指数分布.服从指数分布的随机变量X 具有以下性质：事实上无记忆性或无后效性(|)()P X s t X s P X t >+>=>(,)(|)()P X s t X s P X s t X s P X s >+>>+>=>()()P X s t P X s >+=>1()1()F s t F s -+=-()s t t s e e e λλλ-+--==1()()F t P X t =-=>1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩即对于任意s , t >0，有如果X 表示某仪器的工作寿命，无后效性的解释是：当仪器工作了s 小时后再能继续工作t 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作t 小时的概率.说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化，或说仪器是“永葆青春”的.(|)()P X s t X s P X t >+>=>一般来说，电子元件等具备这种性质，它们本身的老化是可以忽略不计的，造成损坏的原因是意外的高电压等等.3.正态分布(Normal Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中μ, σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ的正态分布.记作X ~N (μ, σ2)正态分布最初由高斯（Gauss ）在研究偏差理论时发现，又叫高斯分布.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞X 的分布函数为22()21()2t xF x e dtμσσπ---∞=⎰N (10, 32)0-50.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025正态分布N(μ,σ2)密度函数图形的特点f(x)μa.正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线.f(μ+c)=f(μ−c )特点是“两头小，中间大，左右对称”.b .μ决定了图形的中心位置，称为位置参数；σ决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数或者刻度参数μ2μ1μ3x f (x )f (x )0xc .在x =μ处达到最大值：1()2f μπσ=d .曲线f (x )向左右伸展时，越来越贴近x 轴，即f (x )以x 轴为渐近线.当x →±∞时，f (x )→0e .x=μ±σ为f (x )的两个拐点的横坐标.说明X 落在μ附件的概率最大，或者说X 的取值在μ附件最密集.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞μf (x )年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.标准正态分布(Standard Normal Distribution )μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用φ(x )和Ф(x )表示：)(x Φ)(x ϕ221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞221()2t x x e dt π--∞Φ=⎰注意：Φ(0)=0.5,Φ(-x )=1-Φ(x )若X ~N (0, 1)，对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有人们已编制了Φ(x )的函数表，可供查用.P (X≤x 1)=Φ(x 1)P (X>x 1)=1-Φ(x 1)P (x 1≤X≤x 2)=Φ(x 2)-Φ(x 1)221()2x t x e dt π--∞Φ=⎰−x x Φ(x )x4-40.40.2正态分布的计算()x μσ-=Φ对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有211221()()()()()x x P x X x F x F x μμσσ--<≤=-=Φ-Φ222()()22()22x t xu F x e dt e du μσμσπσπ-----∞-∞==⎰⎰111()()()x P X x F x μσ-≤==Φ111()1()1()x P X x F x μσ->=-=-Φ例2.设X ~N (μ,σ2)，求P (|X −μ|<k σ)的值，k =1, 2, 3.解：当k =1时当k =2时当k =3时(||)()P X k P k X k μσμσμσ-<=-<<+()()F k F k μσμσ=+--()()k k μσμμσμσσ+---=Φ-Φ()()k k =Φ-Φ-()[1()]2()1k k k =Φ--Φ=Φ-(||)2(1)10.6826P X μσ-<=Φ-=(||2)2(2)10.9544P X μσ-<=Φ-=(||3)2(3)10.9974P X μσ-<=Φ-=质量控制中的3σ原则设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(μ,σ2)，为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图.每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内.如果超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查.当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小.214y x=π因此，需要求某些随机变量的函数的分布.在某些实际问题中，我们所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能够直接测量的随机变量的函数.例如，考察一批圆轴的截面面积Y ，我们能够直接测量的是直径X ，且当直径X 取x 值时，截面面积Y 的取值为一般地，设X、Y是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X取值x时，Y取值为g(x)，则称Y是随机变量X的函数，记为Y=g(X).问题是：如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y=g(X)的概率分布.解：求Y =(X –1)2的分布律.Y 所有可能的取值为0，1，4，而且(0)(1)0.1P Y P X ====(1)(0)(2)0.7P Y P X P X ===+==(4)(1)0.2P Y P X ===-=例1.设随机变量X 的分布律为X −10 1 2P0.20.3 0.1 0.4一、离散型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2X−1 0 1 2 Y= (X–1)24101 P0.20.3 0.1 0.4所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2一般地，若X 的分布律为则Y =g (X )的分布律为如果g (x k )中有一些值是相等的，则它们是Y 可能取的同一个值.此时，在Y 的分布律中，只需列出一个，然后把对应于这些相同值的概率相加，作为Y 取这个可能值的概率.X x 1 x 2 … x k …Pp 1 p 2 … p k…Y g (x 1) g (x 2)… g (x k ) …Pp 1 p 2 … p k…二、连续型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布例2.设随机变量X 的概率密度为令求Y 的分布.解：2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他1,1/20,1/2X Y X ≤⎧=⎨>⎩(1)P Y =(1/2)P X =≤1/2124xdx ==⎰所以Y 的分布为13(0)1(1)144P Y P Y ==-==-=Y0 1P 3/4 1/4例3.设连续型随机变量X 的概率密度函数为求Y =2X +8的概率密度.解：设X 和Y 的分布函数分别为F X (x )和F Y (y ).F Y (y )=P (Y≤y )=P (2X +8≤y )于是Y 的密度函数/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()()22X y y P X F --=≤=()81()()22Y Y X dF y y f y f dy -==⋅故当8<y <16时，当y ≤8或y ≥16时，81()()22Y X y f y f -=⋅/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()216X y y f --=8()02X y f -=8,816()320,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它方法：1.先求Y=g(X)分布函数F(y)；Y2.求分布函数F Y (y)的导数，即为密度函数f Y(y).关键步骤：F(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X∈D)Y。

概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)

分别就是该分布的数学期望和方差，
因此，正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定
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16
例1 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：
X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在，则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
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8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
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3
为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值相对于其中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
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4
方差的概念
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10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n

概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征

解：
1 (5 0.5x)( 3 x2 x)dx
0
2
4.65(元)
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4.1.2 随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形．
定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数．
(1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律
为P{X xi ,Y yj } pij, i, j 1,2,, 则有
解：由于 P{ X k} k e ，k = 0，1，2，…，
k!
因而
E( X ) kP{ X k} k k e
k0
k0 k!
k e
k1 (k 1)!
e
k 1
k1 (k 1)!
e k ee k0 k!
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12
4.1.1 数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
2021/7/22
18
4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连续
函数).
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
若级数 g( xk ) pk绝对收敛,则 E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
f ( x) 25( x 4.2)， 4 x 4.2，
0，
其它.
求pH值X的数学期望E(X).
解：
E( X ) xf ( x)dx
4
4.2
x 25( x 3.8)dx x (25)(x 4.2)dx
3.8
4
4
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15

概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差

回归分析
在回归分析中，数学期望和方差等统计指标用于描述因变量和自变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等统计指标用于比较两组数据或样本的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统计指标，分析不同组别或处理之间的差异，确定哪些因素对数据变化有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用的统计方法，通过比较不同组数据的方差，可以判断它们是否存在显著差异。
在生产过程中，方差用于度量产品质量波动的程度，通过控制产品质量指标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组合而成的随机变量的方差等于它们各自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系，如方差等于期望值减去偏差的平方和再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量投资组合的风险，通过计算投资组合中各个资产的方差和相关系数，可以评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算金融资产的风险，评估投资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统计指标，对金融资产进行定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统计方法，评估保险产品的风险和回报，制定合理的保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用

概率论与数理统计ppt课件

称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球，记A={恰是一红一黄}，求P(A)．解：
（注：当L>m或L<0时，记）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．解：
*
第四章随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵第五章大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理第六章数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计第八章假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验第九章方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解：设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解：设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……

概率论与数理统计第4章

dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量，则有性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值解引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻，则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第2讲

| x-m |
2
| x - m | e 2
e
2
f ( x) d x
2
s 2 ( x - m ) f ( x) d x 2 . e - e
此不等式也可写为:
s P{| X - m | e } 1 - 2 e
2
(2.10)
16
这个不等式给出了, 在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-m|<e}的概率的下限估计. 例如, 在(2.10)式中分别取e=3s, 4s得到 P{|X-m|<3s}0.8889, P{|X-m|<4s}0.9375. 在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差, 供读者查用.
2 2
2
4
方差的几个重要性质 (1) 设C是常数, 则D(C)=0. (2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X).
(3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5) 特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6) (4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取以cm计)X~N(22.40, 0.032), 气缸的直径Y~N(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率. 解按题意须求P{X<Y}=P{X-Y<0}. 由于 X-Y~N(-0.10, 0.0025), 故有 P{X<Y}=P{X-Y<0}
概率论与数理统计
第四章随机变量的数字特征
第2讲
1
例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差 D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s . 1 1 * 则 E ( X ) E ( X - m ) [ E ( X ) - m ] 0; s s 2 X - m * *2 * 2 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] E s

概率论与数理统计第四章

可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
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【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
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显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
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二、随机变量函数的数学期望利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
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例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □

概率论与数理统计之正态分布PPT课件

17
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数例：设 X ~N(1,4) ，求 P(1.6X2.4)
解： P ( 1 .6X 2 .4 ) 2 .4 2 1 1 .2 6 1
0 . 7 1 . 3 0 . 7 1 1 . 3
查表 0 .7 5 8 0 ( 1 0 .9 0 3 2 ) 0 .6 6 1 2
2
则称 X 服从正态分布，记作 X ~N(,2)，其中及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0,1时，得到正态分布 N ( 0 ,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~N(,2)
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
证明：
16
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X2.35); 2. P(X3.03); 3. P(X1.54);
解：1 .P ( X 2 .3 5 ) ( 2 .3 5 ) 0 .9 9 0 6 2 .P ( X 3 . 0 3 ) ( 3 . 0 3 ) 1 ( 3 . 0 3 ) 1 0 . 9 9 9 5 0 . 0 0 0 5 3 .P ( X 1 . 5 4 ) 2 ( 1 . 5 4 ) 1 2 0 . 9 3 8 2 1 0 . 8 7 6 4
18
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X~N(1.5,4)，求： 1. P(X3.5); 2. P(1.5X3.5); 3. P( X 3);
解：1 . P (X 3 .5 ) 3 .5 2 1 .5 (1 ) 0 .8 4 1 3

概率论与数理统计第四章第四节大数定理与中心极限定理

第四节大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.教学目标：了解大数定理与中心极限定理。

教学重点：大数定理与中心定理。

教学难点：中心定理。

教学内容：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1(讲义例1)在每次试验中, 事件A发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?中心极限定理例2(讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.例3 (讲义例3)计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。

本科概率论与数理统计课件第四章新

概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望

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北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征

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