多边形镶嵌(三)
沪科版数学八年级下册《19.4 综合与实践 多边形的镶嵌》教学设计1
沪科版数学八年级下册《19.4 综合与实践多边形的镶嵌》教学设计1一. 教材分析《19.4 综合与实践多边形的镶嵌》是沪科版数学八年级下册的教学内容。
这一节主要让学生了解和掌握多边形镶嵌的条件，以及如何判断一种镶嵌是否成立。
教材通过具体的例子，引导学生探究和发现多边形镶嵌的规律，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了多边形的性质，对多边形有一定的了解。
但他们对多边形镶嵌的概念和条件可能还不太清楚，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对如何判断一种镶嵌是否成立还有一定的困惑，需要通过练习和讲解来加深理解。
三. 教学目标1.了解和掌握多边形镶嵌的条件。
2.学会判断一种镶嵌是否成立。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.多边形镶嵌的条件。
2.如何判断一种镶嵌是否成立。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的例子，让学生理解和掌握多边形镶嵌的条件。
2.动手操作：让学生亲自动手操作，加深对镶嵌概念的理解。
3.问题引导：引导学生提出问题，并进行思考和解答。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的镶嵌实例，如教室地砖的镶嵌，引出本节课的主题——多边形的镶嵌。
让学生观察和思考，这种镶嵌是否符合一定的条件。
2.呈现（10分钟）呈现几种不同的镶嵌实例，让学生进行观察和分析。
引导学生发现镶嵌的条件，并总结出多边形镶嵌的规律。
3.操练（10分钟）让学生亲自动手操作，尝试进行不同多边形的镶嵌。
引导学生发现和解决在操作过程中遇到的问题，加深对镶嵌条件和方法的理解。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的内容。
对学生在练习中遇到的问题进行讲解和指导。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和讨论，如何判断一种镶嵌是否成立。
让学生提出自己的观点和看法，并进行讲解和分析。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调多边形镶嵌的条件和方法。
沪科版(2012)初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案
沪科版 19.4 综合与实践多边形的镶嵌教学设计教学目标1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.3.经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力.4.使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值.内容分析从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺:通常把这类问题画做用多边形的平面镶嵌.平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义.教学重点难点教学重点探索正多边形能够镶嵌的条件．教学难点通过数学实验发现用正多边形进行镶嵌的规律.数学思考1．通过用一种正多边形进行镶嵌的实验，探究平面镶嵌的条件. 2．探究用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌.3．用三角形与四边形能否进行平面镶嵌．问题解决获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.教学过程一、情境引入赏镶嵌之美1．图形欣赏．多媒体出示一组图片，让学生观察欣赏，引导学生思考：这些图案都是由哪些基本的平面图形构成的？这些图形拼成一个平面有什么共同特征？说明：图案中的平面图形有的规则，有的不规则；有的用多边形拼成，有的用多种多边形拼成．各图形之间没有空隙，边也没有重叠.设计意图：一方面让学生直观感受各种图形，特别是蜂窝的图学生都比较熟悉，体现了自然中、游戏中都蕴含着美妙的数学知识，激发学生学习的兴趣，另一方面使学生体会镶嵌的直观形象，进而明确其含义.2．感知概念平面镶嵌的定义用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.二、动手操作合作学习1．提出问题．（1）怎样铺设可以不留空隙，也不相互重叠？（2）可以用哪些图形？（3）用前面所学的正多边形能否拼成一个平面图形？（4）哪些正多边形可以镶嵌成一个平面，哪些不能？设计意图：恰当设计问题，使学生的认识由感性上升到理性，培养学生的合情推理能力，领会镶嵌的原理，进一步培养学生的思维能力，发挥教师的引导者和合作者的作用.2．操作发现寻镶嵌之理让学生先用课前准备好的若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼图游戏．教师巡视，观察学生的活动，共同展示交流.思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌？设计意图：通过亲自动手操作，让学生体验镶嵌的过程，品尝成功的乐趣.3．思考交流让学生思考为什么有的正多边形能进行平面镶嵌，而有的正多边形不能进行平面镶嵌．用一种正多边形镶嵌需要满足什么条件呢？说明：正三角形、正方形、正六边形都可以，正五边形不可以（1）在由正三角形拼成的图案中，每个拼接点处有六个角，每个角都等于60°，六个角的和等于360，即6×60°＝360°，刚好形成一个周角，所以能进行平面镶嵌。
2020-2021学年沪科版数学八年级下册：19.4综合与实践 多边形的镶嵌-教案(16)
多边形的镶嵌教学设计一、教学内容解析“课题学习--镶嵌”位于沪科版八年级下册第十九章第四节。
本节教材从生活中存在的大量平面镶嵌图入手，引出平面镶嵌的概念，然后探究了三个问题：一是一种正多边形的镶嵌问题，希望学生通过动手实验、观察、分析，发现正三角形、正方形和正六边形能镶嵌；二是两种正多边形的镶嵌问题，探究正多边形平面镶嵌的原理；三是探究任意多边形的平面镶嵌。
本节内容共需二课时完成，本节课是第一课时，主要学习探究一、探究二。
本课题的学习，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，加深对相关知识的理解，提高思维能力。
教学重点： 1、掌握正多边形平面镶嵌的条件；2、探究一种正多边形、两种正多边形的镶嵌问题。
教学难点：两种正多边形镶嵌问题。
二、教学目标设置知识与技能目标：1、使学生掌握正多边形平面镶嵌的条件；2、能运用两种常见的正多边形进行简单的镶嵌设计。
过程与方法目标：1、经历探索正多边形镶嵌条件的过程，训练学生的合情推理能力；2、通过平面图形的镶嵌活动，培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观目标：1、通过情景的引入，使学生体会数学知识与现实生活的密切联系；2、通过合作学习培养学生团结协作的精神；3、通过拼图和图片欣赏增强学生创新意识的审美意识。
三、学生学情分析七年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本节教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
四、教学策略分析 （1）课堂结构设计：我将课堂结构分为六个环节：（2）教学媒体设计：1、运用PPT 动画，展示镶嵌构造的美丽图案，给学生多感官刺激；2、使用自制颜色各异的各种正多边形硬纸板教具，让学生体会能够镶嵌的条件；3、采用实验报告单收集学生自主探究的结果；4、利用实物投影仪，展示学生成果，提高学生的学习兴趣。
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌（教案练习）
沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下学习目标【知识与技能】了解镶嵌的数学思想及其应用．【过程与方法】经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；【情感态度与价值观】通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．难点怎样进行镶嵌．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？认真观察，积极思考并回答问题，通过生活场景到新课，讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。
平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，探究一：师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?（1）正三角形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正三角形能平面镶嵌（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及描述定义，在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容学生拿手中正三边形进行实验并得出结论学生拿手中正方形进行实验并得出结论引出课题（板书）明确镶嵌含义通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点师：请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌（4）正六边形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？师：由以上可得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角学生拿手中正五边形进行实验并得出结论学生拿手中正六边形进行实验并得出结论都是360°的约数.所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？活动1：师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！你知道正三角形及正方形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60°+n·90°=360°2m+3n=12∵m,n 为正整数∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
人教版八年级数学上册 平面镶嵌
正三角形
能
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
图形
一个顶点周围正
多边形的个数
3
规律总结
只用一种正多边形镶嵌有哪几种情形？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：
这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
镶嵌的条件是？
数学道理
正多边形
的边数n
3
4
5
6
7
8
9
10
12
每个内角
的度数
60
90
108
120
135
9
10
12
每个内角
的度数Βιβλιοθήκη 6090108
120
135
140
140
144
150
解不定方程 + = ，其中，是正多边形每
个内角的度数，，是对应正多边形的个数.
问题4
用三种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面？
（1）正三角形、正方形和正六边形的组合
120°+90°+90°+60°=360 °
第十一章 三角形
数学活动
平面镶嵌
图案欣赏
图案欣赏
图案欣赏
从数学的角度看，用一些不重叠摆放的多边形把平面
的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
问题1
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能
镶嵌成一个平面？
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
列表总结
正多边形
能否平
面镶嵌
120°+60°+60°+60°+60°=360°
人教版数学八年级上册数学活动——平面镶嵌(第三课时)课件
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
5
【典例】如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的一个平行四边 形，这个图案中等腰梯形的内角各是多少度？
分析：根据密铺(平面镶嵌)的条件，同一顶点处的各角之和等于360°.由于所 有等腰梯形的形状、大小是完全相同的，所以从图中可以看出，三个同样的钝角拼 在了一起，所以每个钝角是120°，锐角是60°.
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
16
思维训练
14．【核心素养题】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图
案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少
一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1、2、3个图案(如下图)所
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
数学活动——平面镶嵌(第三课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
数学·八年级 (上)·配人教
3
知识点1 平面镶嵌问题 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
4
知识点2 平面镶嵌的条件 (1)拼接在同一个顶点处的各个角的和恰好等于360°； (2)相邻的多边形有公共边． 注意：(1)能够进行平面镶嵌的同一种正多边形只有：正三角形、正方形和正六 边形； (2)能够进行平面镶嵌的两种正多边形组合有：正三角形与正方形，正三角形与 正六边形，正方形与正八边形等．
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2022春八年级数学下册 第19章 四边形19.4综合与实践 多边形的镶嵌习题课件沪科版
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的 是( C ) A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
8．用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形 的个数为____6____．
【点拨】先求出正三角形每个内角的度数，再求个数即可．正三 角形的每个内角是 60°，同一顶点周围，正三角形的个数为 360°÷60°＝6.
9．能够铺满地面的正多边形的组合是( B ) (1)正三角形与正方形； (2)正五边形与正十边形； (3)正六边形与正三角形． A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3)
【点拨】分别求出正方形和正八边形每个内角的度数，结合镶嵌 的条件即可得到答案．正方形的每个内角为 90°，正八边形的每 个内角为 135°， ∵90°＋2×135°＝360°， ∴正方形，正八边形地砖的块数分别是 1，2.
【答案】A
*4.在地面上某一点周围，a个正三角形，b个正十二边 形 (a ， b 均 不 为 0) 恰 能 铺 满 地 面 ， 则 a ＋ b ＝ ___3_____．
12．下列图形中，能用来铺满地面的是( A )
易错总结：易错的原因是误认为凡是正多边形就可以铺满地面， 其实并不是所有的正多边形都可以铺满地面，而对于某些非正多 边形，只要满足铺满地面的条件，也可以铺满地面．显然选项 A 中图形的内角和为 360°，满足铺满地面的条件，故选 A.
13．【中考·齐齐哈尔】如图，蜂巢的横截面由正六边形组成， 且能无限无缝隙拼接．称横截面图形由全等正多边形组成， 且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．若已知具有 同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360°＝ kα(k为正整数)，则k关于边数n的函数是 ________．(写出n的取值范围)
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 沪科版数学八年级下册教案
《19.4 综合与实践多边形的镶嵌》公开课教学设计教学目标：1.了解平面图形镶嵌的含义和条件，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计；2、通过探索平面图形的镶嵌，会用一种三角形、四边形、或正六边形进行镶嵌，并能够运用这几种图形进行简单的设计；3、经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维，培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力；运用几种图形进行平面镶嵌设计，进一步提升自身的审美意识与创新意识。
4、使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。
5.通过实践体会数形结合的思想，提升自身的思维能力与逻辑推理能力，逐步由形象思维向抽象思维发展。
6.在实践中发现新问题，激发潜能，创造性的解决问题。
教学重点：经历平面镶嵌的探究过程，理解平面镶嵌的条件。
教学难点：通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律——用一种形状、大小完全相同的三角形，形状、大小完全相同的四边形进行平面镶嵌。
教学辅助设备：一体机希沃授课助手几何画板教学方法：多媒体教学法、实验法、讨论法、小组合作探究、展示交流法教学准备：吸铁石若干个课前准备：先让学生预习本节课的内容，然后对于整节课的活动流程有一个初步的了解。
教学过程：活动内容教师活动学生活动设计意图一、创设情境引入课题（5分钟）导入语：拉近与学生之间的距离师：“春秋多佳日，登高赋新诗。
”在这春意盎然、百花盛开的美好时节，我很荣幸能有这次机会来到美丽如画的适之中学东山校区，和生机勃勃的你们共同度过这愉快的40分钟。
同学们，你可知道百花盛开的万花丛中谁最忙吗？师：……毫无疑问当属我们的勤劳的小蜜蜂了。
那同学们知道蜂房截面的形状吗？师：对！你们看这些蜂房之间密密麻麻地排列在一起时有什么规律吗？比如每两个蜂房之间有缝隙吗？有重叠交叉吗？师：瞧！就连我们自然界的小精灵都知道巧妙地利用我们数学几何知识来搭建它们的温馨而又漂亮的新房。
2021-2022学年吉林省长春市绿园区新解放学校初中部七年级(下)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年吉林省长春市绿园区新解放学校初中部七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 赵爽弦图B. 科克曲线C. 斐波那契螺旋D. 笛卡尔心形线2. 不等式2x−1≤5的解集是( )A. x≤3B. x≥3C. x<3D. x>33. 用不等式表示“a的2倍与6的差不大于18”为( )A. 2a−6>18B. 2a−6≤18C. 2(a−6)<18D. 2(a−6)≥184. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( )A. 全等形B. 稳定性C. 灵活性D. 对称性5. 如图，点E、F、C、B在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是( )A. BC=EFB. AC=DEC. ∠B=∠ED. ∠ACB=∠DFE6. 一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A. 10B. 11C. 12D. 137. 如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是( )A. 75°B. 80°C. 90°D. 105°8. 如图，从下列：①BC=EC，②AC=DC，③AB=DE，④∠ACD=∠BCE中任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确说法的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为______．10. 如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B=45°，∠ACD=150°，则∠A的大小为______．11. 如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是______．12. 如图，将△ABC 沿CB 方向平移到△DEF 的位置．已知点A ，D 之间的距离为2，CE =12，则BF 的长是______．13. 我们知道用正五边形不能铺满地面，若将三个相同的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是______．14. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 边上的两点，AD =AE ，BE =CD ，∠1=∠2=110°，∠BAE =60°，则∠BAC 的度数为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。
八年级数学《课题学习-镶嵌》教案
《§7.4镶嵌》教学设计
四、教学方法：本课由用地板砖铺地，引入镶嵌问题后通过设问，引发学生的思索，为了深化课题研究，设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习。
针对七年级学生的认知结构和心理特征，为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注。
在实践中探索规律，在研讨中发现结论，达到让“学优生领先，中游生冒尖，学困生发展”的全人化培养目标。
五、学法指导：《课标》要求“数学教学应努力体现从‘问题情境出发、建立模型、寻求结论、应用与推广’的基本过程”。
这就要求数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。
因此，通过本课的教学，在教师的组织引导下，倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。
六、教学准备：多媒体课件。
19.4综合与实践：多边形的镶嵌
欣 赏
埃 舍 尔 的 作 品
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出 的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经 一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
资料1：石子路镶嵌图案最多的园林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石 子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花 石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子 路镶嵌图案最多的园林了。这些石子路图案的组成， 是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极 为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌， 内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古 等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对 刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、 构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。
1、平面镶嵌的定义. 2、正多边形平面镶嵌的条件. 3、关注身边的数学,关注数学中的美.
镶嵌之父
M.C.埃舍尔是荷兰的现代版画艺术家、“图
形艺术家”，他是一个将艺术与数学融合的画 家，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的 作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形 象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称 他为“镶嵌之父”。 。
(m−2)180° (n−2)180° (t−2)180° + + =360° m n t 1 1 1 3 − 2（ m + n + t ）= 2
1 1 1 1 + + = n t m 2
如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形 只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？
小结
这些图形拼成一个平面图案的共 同特征是什么？
平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图 形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠 地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。
360° 三、两种正多边形镶嵌情况
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1 正多形2 正多形1 正多形2 正多形3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3 3,3,3,3 3,3 3 4 5,5
4,4 6 6,6 12,12 8,8 10
7. 两种正多边形进行镶嵌 有多少种情况？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1个正三角形，2个正12边形； 2个正三角形，2个正6边形； 3个正三角形，2个正4边形； 4个正三角形，1个正6边形； 1个正四边形，2个正8边形； 2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
90o ×1 + 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个0o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌 60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
C
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件： 一个顶点处的各角之和为360度.
n1
(n2-2)×180o ＋ = 360o n2
《 镶 嵌 》 教 学 设 计
《镶嵌》教学设计宁夏石嘴山市第二中学马荣一、教学目标1、通过探索平面图形的镶嵌，理解多边形是否能够镶嵌的条件。
2、通过拼图、推理等数学活动，培养学生的观察、猜想、归纳及动手操作的能力。
3、学生在应用已有的数学知识探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验。
4、在探索过程中,培养学生的合作交流意识和一定的审美情感。
二、教学重点和难点教学重点：镶嵌的含义及多边形平面镶嵌条件的探索教学难点：探索能镶嵌成平面图案的多边形应满足的条件三、教学准备学生教具：边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形,任意全等的三角形、四边形各６－１０个，彩纸、剪刀、胶水、白纸等；教师教具：磁铁、多媒体课件、展台、投影仪、实验报告表。
四、教学过程设计教学流程图※创设情境引发探索1、课前需要准备的材料各小组准备好了吗？说说看你们小组做了哪些准备？由各个小组选代表介绍各自的准备工作充分给学生发言交流的机会，【设计意图】经过几个小组的交流，老师在给予适时的评价和鼓励，这样不仅可以启示任务完成不充分的小组，而且对大部分的同学能给与肯定。
2、你在生活中见过类似这样的图案了吗？举例说说看。
观察这些图案有哪些特征呢？引出镶嵌定义【设计意图】目的是把生活中的数学问题引入课堂中来３、放映生活中的镶嵌图案，从常见的地板砖、西班牙阿尔罕布拉宫的建筑、埃舍尔的设计再到天然工程师蜜蜂的杰作，学生细心观察，欣赏镶嵌在生活中的广泛应用。
【设计意图】吸引同学们的眼球，体验镶嵌在生活中的应用，及其源远流长的文化内涵。
※实验操作交流感悟活动一：仅用一种正多边形，哪些正多边形能镶嵌成一个平面图案？教师提出问题，引发学生探索实验。
由学生小组合作，开始拼图实验，并结合教师课前发的活动实验报告，交流讨论可行方案，把能镶嵌的正多边形用双面胶粘在白纸上，方便作品的展示与欣赏。
各个小组成员分工合作，确保活动井然有序，忙而不乱。
最后再鼓励同学们把作品展示到黑板上。
沪科版(2012)初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案
19.4综合与实践《多边形的镶嵌》教学设计一、教学课题《多边形的镶嵌》二、教学设计背景《多边形的镶嵌》是在沪科版八下教材中以数学活动的形式呈现的。
课标中已将综合实践活动作为数学学习的一个重要组成部分。
“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动．学生在教师的指导下，将所学过的知识有机地结合，增强对知识的理解；注意与实际问题有机地结合，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
三、教材分析（一）学习目标分析：本课是在信息环境、资源环境中让学生通过实例认识图形的镶嵌，理解构成镶嵌的条件，在发现只用正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌的基础上，上升到选用两种正多边形镶嵌平面和任意三角形、四边形可以镶嵌平面。
通过学生思考，相互讨论，动手操作，丰富学生对镶嵌的认识，提高动手能力，发展空间观念，增强审美意识。
（二）资源环境分析：现代信息技术及各种有效的资源既能调动学生思维的主观能动性，培养其创新精神，又能使学生活跃思路，多角度、全方位的思考问题。
为此，我构建了图形镶嵌的图片资源、拼图动画资源、现场实物操作资源等环境。
在思考、操作、欣赏与提高各板块的活动中，充分利用现代信息技术让学生欣赏图形的镶嵌、感受到图形镶嵌的魅力；在合作学习、快乐体验中达到学习目标。
（三）学生学习心理分析：我所面对的教学对象是八年级学生，他们思维活跃、求知欲强，对事情有自己的看法，他们的学习在很大的程度上受着兴趣、情感的支配。
信息技术的运用这对他们来说是一种新异刺激，可使其充分集中注意力，更激发他们参与活动的内在动机。
苏霍姆林斯基说：“儿童是用形象、色彩、声音来思维的”。
从儿童心理学角度看，儿童具有直观、形象的思维特征。
所以我同时又在信息环境的氛围中采用具体、形象的教学形式，学生在信息技术的引导下清楚的了解到图形镶嵌的实质。
学生在整个活动中思维活跃，从接受灌输的被动地位转变为发现知识、理解知识掌握知识的主体地位，构成了探究式的学习氛围。
八年级数学上册《镶嵌》
课题学习：镶嵌
生活中的平面镶嵌
平面镶嵌
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问 题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
注意：1、不重叠 2、无缝隙
自主探究、合作交流
探究1：用一种正多边形进行平面镶嵌 （1）用同一种正三角形可以吗？
k
360 (n 2) 180
360
(n
n 2) 180
2n n2
n
因为k为大于等于3的正整数，所以 解只有三组：
2n 3，解得
n2
n 6 ，易得到它的整数
n 3,n 4,n 6 k 6,k 4,k 3
结论：用同一种正多边形进行平面镶嵌只有三种情况： 正三角形、正方形、正六边形.
能否镶嵌与
360
有关吗？
若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。 一个内角的度数
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360 .
思考：用同一种正多边形进行平面镶嵌共有几种情况呢？能不能用数学 式子来论证一下呢？
设用同一种正n边形进行平面镶嵌时，在一个拼接点处有k个正n边形， 则有：
D、2个正方形、1个正三角形和1个正六边形可以进行镶嵌.
只有选择正方形和正六边形时，不能镶嵌成一个平面图案，答案为A.
归纳：用两种正多边形进行镶嵌时，先求出两种正多边形的每个内角，设 两种正多边形的每个内角分别为 m和 n，需要这样的两种正多边形的个数 分别为 x 个和 y个时，则需要满足：
m x n y 360
说明:(1)多边形的镶嵌方式有两种，①有些图案中的多边形的顶
多边形的镶嵌
探究多边形的镶嵌人大附中 陆剑鸣 100080用一些多边形既不重叠又无空隙地将平面完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形镶嵌平面（或覆盖平面）问题.依照这个镶嵌的定义，在一点处能够进行多边形镶嵌的条件是：这一点处各多边形内角和为360°，各多边形的边长相等.下面我们从特殊到一般，从简单到复杂对“多边形镶嵌”问题进行一些初步的探究，能得到什么结论并不重要，重要的是在探究过程中体会提出问题和解决问题的方法. 从最特殊情况入手，探究以一种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题1.问题1：哪些正多边形能够单独进行平面镶嵌呢？由于一点处各内角和为360°，所以考虑正多边形内角是360°的倍数的情况，进而得出以下结论：结论1：在一点处用6个正三角形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（3，3，3，3，3，3）表示.即用正三角形（等边三角形）可以平面镶嵌，如图1所示；结论2：在一点处用4个正四边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（4，4，4，4）表示，即用正四边形（正方形）可以平面镶嵌，如图2所示；结论3：在一点处用3个正六边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（6，6，6）表示，如图3所示.只有以上三种正多边形可以平面镶嵌吗？其它的正多边的情况又如何呢？由此提出问题2.问题2：除正三、正四、正六边形外，其它正多边形能不能镶嵌平面呢？请你说明理由. 结论4：正五边形不能单独镶嵌平面，这是因为若在一点处摆放3个正五边形，那么一点处内角和为1083324360︒⨯=︒<︒，若在一点处摆放4个正五边形，那么一点处内角和为1084432360︒⨯=︒>︒，如图4所示；图1 图2 图3 图4结论5：正(7)n n ≥边形均不能镶嵌平面，因为在一点处各内角的和不等于360°.以上的探究，我们用的是“实验”的方法.如果我们应用代数方法，有如下的推理： 设一点处用m 个正n 边形镶嵌，则有 (2)180360,2,2n m m n n-⋅⋅=>>的整数. 220mn m n ∴--=. （*）(2)2(2)4,(2)(2)4m n n m n ∴---=--=.242221,,212224m m m n n n -=-=-=⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩. 643,,346m m m n n n ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩. 这就证明了，只用一种正多边形来镶嵌平面，只存在三种情况.比较以上探究过程中的两种方法，用代数方法简单明了.其中方程（*）为不定方程，它的解法是方程两边同加4，之后将左边因式分解，进而得到方程的解.由正多边形想到一般多边形，提出问题3.问题3：哪些多边形可以单独进行平面镶嵌呢？结论6：任意三角形可以单独镶嵌平面，这是因为三角形内角和为180°，在一点处用6个全等的三角形可以镶嵌， 进而扩展到整个平面，如图5所示；结论7：任意四边形可以单独镶嵌平面，这是因为四边形内角和为360°，在一点处用4个全等的四边形可以镶嵌，进而扩展到整个平面，如图6所示；结论8：(5)n n ≥边形均不能单独镶嵌平面.说明某个多边形不能单独镶嵌平面，只需举一个反例即可.这里以五边形为例，若五边形的内角分别为100°，100°，100°，119°，121°，可以验证其中任意两个角、三个角、四个角的和均不等于360°，所以单独用这个五边形不能平面镶嵌.其它(6)n n ≥边形均不能单独镶嵌平面，请同学们自己举反例说明.下面探究以两种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题4.问题4：如果用两种边长相等的正多边形，哪些正多边形能够平面镶嵌呢？我们可以将某些正多边形的角度都列出来，然后组合各角和为360°.这是前面提到的如，603902360︒⨯+︒⨯=︒，所以在一点处可用边长相等的3个正三角形和2个正方形镶嵌；我们还可以借助于代数方法求解.设一点处用x 个正三角形，y 个正方形平面镶嵌，x y 、为正整数.则 60903602312x y x y +=+=，.32x y =⎧∴⎨=⎩. 这里要求方程2312x y +=的整数解，由于方程系数比较简单，我们直接观察就可以得到.结论9：用正三角形和正方形可以平面镶嵌，用符号（3，3，3，4，4）表示，如图7所示.图5 图6 图7用同样的方法还可以得到以下结论：结论10：用正三角形和正六边形可以平面镶嵌，有两种情况（3，3，6，6）如图8所示和（3，3，3，3，6）如图9所示.结论11：用正四角形和正八边形可以平面镶嵌，用符号（4，8，8）表示，如图10所示. 结论12：用正五角形和正十边形虽然能够在一点处镶嵌（各角和构成360°），但是它们不能镶嵌平面，如图11所示.图8 图9 图10 图11用两种正多边形的镶嵌就有以上五种情况.下面同学们会自然提出我们该探究以三种正多边形为基础的平面镶嵌.由于以三种边长相等的正多边形为基础的平面镶嵌比较复杂，我们这里只举两个“实验”得出的例子.有兴趣的同学可自己“实验”探究.︒+︒⨯︒=︒，所以（3，4，4，6）可以镶嵌平面，如图12所结论13：由于60902+120360示[︒︒+︒=︒，所以（4，6，12）可以镶嵌平面，如图13所示. 结论14：由于90+120150360图12 图13以上探究过程涉及到三种方法：“实验”的方法，代数的方法，举反例否定一个命题的方法，这三种方法也是我们研究问题解决问题普遍适用的方法.你体会到了吗？。
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§7．4课题学习：镶嵌
课题学习执笔：王满英
一、教学目标
1．会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面.
2．让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验.
二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程.
建议本节教学活动采用以下形式：
（1）学生自己提出研究课题；
（2）学生自己设计制订活动方案；
（3）操作实践；
（4）回顾和总结.
教学活动中，教师提供必要的指点和帮助.引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力.
三、关于镶嵌
1.镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的
原因：
（1）如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合.
（2）“几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合.比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等.
2.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一
个顶点的若干个角的和恰好等于360°.
（1）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌.比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌.
（2）用两种或三种正多边形镶嵌，详见163～166页内容.
（3）用一种任意的凸多边形镶嵌.
从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）
１、正三角形与正方形
正方形的每个内角是９０° ，正三角形的每个内角是６０° ，对于某个拼结点处，没有 x 个６０°角，有 y 个９０° 角，则：
６０ x ＋９０ y ＝３６０即：２ x ＋３ y ＝１２
又 x 、 y 是正整数解得： x ＝３， y ＝２
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接，
学生试着拼图。
２、正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是６０° ，正六边形的每个内角是１２０° ，对于某个拼结点处，没有 x 个６０°角，有 y 个１２０° 角，
则：６０ x ＋１２０ y ＝３６０
即： x ＋２ y ＝６
X、y 是正整数。
x ＝４或 x ＝２
y ＝１ y ＝２
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或用二个正三角形和两个正六边形，学生试着拼图。
３、正三角形和正十二边形
讨论同上，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形。
由以上讨论找到镶嵌平面的条件。
结论：由几种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
（１）几个正多边形中的一个内角的和的倍数是３６０° 。
几个正多边形的边长相等，或其中一个或几个正多边形的边长是另一个或几个正多边形的边长的整数倍。
拓展：学生自己动手设计自家的地砖或墙壁。
例1 某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无隙地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）
A．正三角形 B.长方形 C.正八边形 D.正六边形
变式训练一:
如图,是由6个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分,那么,这种正多边形是____________。
例2 利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点有a 块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，则a+b的值为（）A．3或4 B.4或5 C.5或6 D.4
变式训练二:
1、一幅美丽图案,在某顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中三个分别为正三角形,正四边形,正六边形,那么另一个为( )
A.正三角形
B.正四边形
C.正五边形
D.正六边形
2、某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是 .
四、作业及能力提升
1、装饰大世界出售下列形状的地砖：○
1正方形；○2长方形；○3正五边形；○
4正六边形。
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有（ ）A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
2、边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）
A ．正方形与正三角形
B ．正五边形与正三角形
C ．正六边形与正三角形
D ．正八边形与正方形
3、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中，选一种能铺满地面的正多边形是________________________.
4、在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。
（1）请根据下列图形，填写表中空格:
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）。
……。