第四章 弯曲内力2
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
第四章弯曲内力精品文档
(Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l.
a
求距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , FRAx 0
A l
Fa M A 0 , FRB l
上的剪力和弯矩.
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
a c
解：（1）求支座反力
2019/10/F 26R A F R B F 6k 0N
27
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC
看左侧
F S C F 1 6k 0N M C F 1 b 6 . 0 k m N
解得 FSEFRA MFc 2019/10/26 E R A
FRA
FSE
ME
A
E
c
20
(Internal forces in beams)
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
Fy 0 F S E F R B F 1 F 2 0
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD
看左侧
F S D F R A F 1 6 6 0 0 0
M D F R A ( c a ) F 1 c F 1 . 8 k a 3 m
第四章 弯曲内力2
四、对称性与反对称性的应用： 对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称 结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
11
五、剪力、弯矩与外力间的关系 剪力、 外 外力 力
q=0 q>0 q<0
力
P C m
力
C
Q
Q
Q
Q
Q x x
Q
Q1 C x
Q C x
x
Q>0 Q<0
=
M1
=
+ PL/4 x PL/2 – M2
14
+
PL/2
+
x
(4) 20kNm
50kN
20kNm 20kNm a M +
20kNm x 30kNm
a 20kNm
50kN
=
20kNm M1
=
20kNm – x
+
M2
+
+ 50kNm
15
x
16
4
[例7] 作下列图示梁的内力图。 例 P PL Q – 0 L P L P Q1 0.5P + – 0.5P 0.5P Q2 – 0.5P L L 0.5P 0.5P
5
x
P x
0.5P
L
L PL
x
P
PL +
x
0
L P
L
P
M
PL x + 0.5PL 0.5PL – + 0.5PL
6
0.5P
L
L PL
+
x
1.25 – + M(kNm) 1
q=2kN/m 1 x
11
五、剪力、弯矩与外力间的关系 剪力、 外 外力 力
q=0 q>0 q<0
力
P C m
力
C
Q
Q
Q
Q
Q x x
Q
Q1 C x
Q C x
x
Q>0 Q<0
=
M1
=
+ PL/4 x PL/2 – M2
14
+
PL/2
+
x
(4) 20kNm
50kN
20kNm 20kNm a M +
20kNm x 30kNm
a 20kNm
50kN
=
20kNm M1
=
20kNm – x
+
M2
+
+ 50kNm
15
x
16
4
[例7] 作下列图示梁的内力图。 例 P PL Q – 0 L P L P Q1 0.5P + – 0.5P 0.5P Q2 – 0.5P L L 0.5P 0.5P
5
x
P x
0.5P
L
L PL
x
P
PL +
x
0
L P
L
P
M
PL x + 0.5PL 0.5PL – + 0.5PL
6
0.5P
L
L PL
+
x
1.25 – + M(kNm) 1
q=2kN/m 1 x
弯曲内力2
B
RB
ql 2
Qx ql qx 0 x l
2
M x ql x qx2 0 x l
22
（2）依据方程作图
ql 2
Q ql max 2
M ql2 max 8
22
[例4] 作梁的内力图
q
A
RA ql 2
x
l
ql 2
Q
（3）总结
B
RB
ql 2
1
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
2
§4–1 工程实际的弯曲问题
一 工程实例
3
火车轮轴
桥式起重机大梁
4
二 受力、变形特点
弯曲
1 受力： 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用
2 变形： 轴线由直线
q
剪力Q
a
FA
3 2
qa
3qa 2
a
a
qa FB 2
qa 2
弯矩M
qa
3qa 2
2
2
qa2
2
qa2
35
2
[例4] 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。
q
m1 qa2 m2 0.5qa2
a
a p qa
剪力Q 弯矩M
qa
qa2 2
qa2
qa2
2
2
36
[例5] 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正；反之为负。
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学—弯曲内力
FB
FB′
B
FB = FD = qa
q
C
qa2
A
qa2
A
D
aa
qa
FS
qa2
M
q
D
a
aB
B
qa
qa
＋
－
2a
C
q
B
C
2a
qa
－ qa
＋ 0.5qa2
§4-5 叠加法画弯矩图
当梁在荷载作用下的变形很小时，梁跨 长的改变可忽略不计。此时，梁的支座约束 力、剪力和弯矩均与荷载成线性关系。
F
q(x)
当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所 引起的梁的支座约束力、剪力和弯矩将不受其他 荷载的影响。
C
D
B
a
a
a
解：⑴ 计算控制截面上的剪力和弯矩
B - ： FS = 0 ， M = 0 ；
D ： FS = qa ， M = －0.5 qa2 ；
C＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 ；
C - ： FS = qa ， M =－0.5qa2 ；
A＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 。
F
A C
B
l/2
l/2
P71 例4-4 特殊情况
F
A C
B
FA
l/2
l/2
FB
解：⑴ 求支座约束力
FA = FB =
1 2
F
⑵ 列剪力方程、弯矩方程
A
FA
AC 段：
CB 段：
F
x
C
B
x
l/2
l/2
FB
FS =
1 2
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
第四章弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
弯曲内力2
d
M (x) dx
FS (x)
还可有：
d2 M (x) d x2
q(x)
11
l q(x)、FS(x)和M(x)间的微分关系
d FS(x) q(x) dx
d
M (x) dx
FS ( x)
FS
d2 M (x) d x2
q(x)
l 由微分关系可得以下结论 (书例4. 3)
12
l 由微分关系可得以下结论
常不为零）； ③ 端部铰、中间铰弯矩
错误（通常为零）； ④ 自由端内力错误; ⑤ 校验错误。
23
题4.4
24
例： (习题4.6)
求：不解方程，并作剪力图和弯矩图. FRD
FRA
解：支座反力如图 分析CE段平衡
FRB FRC
FRB 6kN FRC 2kN
FRB
25
例： (习题4.6)
求：不解方程，并作剪力图和弯矩图. FRD
FS(x) 3 kN M (x) 3x
u AD段
FS (x) 7 kN M (x) 7x 6
u DB段
FS x 19 10x M x 125x 5(2.4 x)2
8
4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
对图示的直梁, 考察dx 微段的 受力与平衡。
FS
⑥ 均布载荷q；
3kN
5kN
⑦ 支反力RB。
18
(3)画弯矩图
① 端点C； ② CA段； ③ AD段； ④ 集中力偶m； ⑤ 均布载荷q； ⑥ 支反力RB; ⑦ 校验。
1.8kN·m
4.2kN·m 2.45kN·m
1.25kN·m
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P
Pa
B
a
P A
a
B
+
A
a
Pa B
P A
a
B
M1
Pa/4
x
Pa
A
a
B Pa/2 x -Pa/2
+
M2
P Pa A
a
B
M
3Pa/4
x
-Pa/4
习作4
应用叠加法 作出右图梁 的内力图
P=20KN q=30KN.m A
1m 1m 1m
q=30KN.m B
1m
q=30KN.m
A B
q=30KN.m
+
P=20KN A B
§4- 6
叠加法作梁的内力图
叠加原理：多个载荷作用在结构上引起的内力等于各个载荷单
独作用时引起的内力的代数和。
FQ ( PP 1 2 P n)
FQ1 ( P 1 ) FQ 2 ( P 2 ) FQn ( P n)
M ( P1 P2 Pn )
RA
a
RB
x
1 qa 2 3 qa 8 9 qa 2 128
M
x
1 qa 2 8
例题2 作出下图梁的内力图
2KN
2.5KN.m
q=1KN/m
RA=3KN RB=2KN FS
2m
RA
3m
3m
RB
1KN
x
-2KN 2KN.m
M-2KN
1.5KN.m
x
-1KN.m -4KN.m
★ 微分关系法作弯曲内力图的步骤：
MA A
50KN
50KN
D
1m
FD=25KN
FA=75KN MA=-200KNm
FA FS (KN)
2m
2m
B
1m
C
FD
75
25
25
x
M
(KNm)
20
x
40
200
习作
q=30KN.m
P=20KN
q=30KN.m
A
1m 1m 1m
B
1m
20kN
10kN
30kNm
20kN
2m 30kN
2m
1m
4m
1m
qdx dFQ
M(x)
FQ(x)
FQ(x)+ d FQ(x) M(x)+ d M(x)
dx
dFQ ( x) dx
q( x) ……※
M
q(x) M(x) O FQ(x)+ d FQ(x) M(x)+ d M(x)
O
0
2
FQ dx q(dx) / 2 M [ M dM ] 0
FQ(x)
FQ dx dM
dx
dM ( x) FQ ( x) ……※ dx
d M ( x) ……※ q ( x ) 2 dx
2
二、几点结论
(1) 若q(x) = 0 Q(x) =常数，
ＲA A a x1 l P C ＲB b x2 B
剪力图为水平线；
ap/l
bp/l
M(x) 为一次函数，
q=30KN.m A FQ1 B
30KN
q=30KN.m
x
-30KN
P=20KN A
10KN
+
x
FQ2
B
-10KN
P=20KN q=30KN.m A
1m 1m 1m
q=30KN.m B
1m
FQ
10KN
30KN
x
-10KN
-30KN
q=30KN.m A M1 B
q=30KN.m
x
-15KN.m
P=20KN
集中力偶为逆 时针时，向下 跳(从左向右 看); 顺时针时， 向上跳(从 左向右看).
FA
FB
7kN
3kN 1kN
5m
2kN G
20kN m
20.5kN m
3kN 16kN m
6kN m
6kN m
例题1 作出下图梁的内力图
q
RA=9qa/8 RB=3qa/8 FS
a/2
5 qa 8
1m 1m 1m
B
1m
(a)
20kN
10kN
(b)
2m
30kNm
20kN
2m
2m
1m
4m
1m
FS
7.5KN
10KN
10KN
FS x
2.5KN
x
-12.5KN
M
15KN.m
M
x
-10KN.m -25KN.m 5KN.m
x
-20KN.m
(c)
30kN
20kN/m
RA RA=10KN FS
1m
1m
1m RB
q=3KN/m A
4m
M=3KNm B
2m
2m
FA
FB
8.5KN
x
-6KN 4.83
3.5KN
M
6.04KNm 7 4KNm
x
-6KNm
训练:
A
FA=3KN FC=7KN
3
q=2KN/m
M=10KNm
F=2KN
FA FS
(KN)
B
4m
2m
C
FC
2
2m
D
x
1.5m
M
(KNm)
2.25
6
5
x
4 4
训练:
10kN
M
15KN.m
x
2m 2m 1m -10KN.m
M1
20kN
20KN.m
x
1m
2m
2m
+
2m 2m
M2
10kN
x
-10KN.m
1m
本章小结
一、作内力图的方法
1、基本方法：截面法，列内力方程，作内力图。
2、微分关系法： 不列方程，依导数关系、突变规律作图
二、依内力方程作图时需注意以下几点
1、正确分段 2、列方程时，要明确坐标的原点，截面的位置，研
究对象，适用范围
3、判断图线的形状，计算特征值（各段梁的端截面，极值） 4、校核： 1）支反力 2）形状
3）突变规律
三、完整内力图的要求
1、受力图、剪力图、弯矩图置于同一纵向位置上对齐； 2、坐标架，数值，比例尺，单位，控制截面的位置及数值，
极值的位置及大小。
训练:
FA=14.5KN FB=3.5KN FS
20KN
RB=40KN
10KN
x
-20KN
M
10KN.m
x
-10KN.m
a (d)
q
a FS q qa x M x
-qa2/2
-qa2
P=20KN
(f) q=30KN.m q=30KN.m
A
1m 1m 1m
B
1m
FS
10KN
30KN
x
-10KN
M
-30KN
x
-5KN.m -15KN.m -15KN.m
Pab/l
弯矩图为斜直线。
(2) 若q(x) = 常数 Q(x)为一次函数，
q
剪力图为斜直线； M(x) 为二次函数，
A ＲA
x
B l ＲB
ql/2
弯矩图为抛物线。 当q(x) > 0(向上)时, 抛物线是下凸的； 当q(x) < 0(向下)时, 抛物线是上凸的；
ql/2
ql2/8
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
x1
(4) 在集中力作用点：
剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突
ＲA A ＲB b x2 B
a x1 l
P C
变的方向沿着集中力的
ap/l
bp/l
方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
Pab/l
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。
20kN/m
a
q
a
1m
1m
1m
q
+
x
M2
A
10KN.m
B
P=20KN q=30KN.m A
1m 1m 1m
q=30KN.m B
1m
M x
-5KN.m
-15KN.m
-15KN.m
习作5
30kNm 20kN
M
30KN.m
x
-20KN.m
4m
1m
M1
30kNm
30KN.m
x
4m 1m
+
4m
M2
20kN
x
-20KN.m
1m
习作6
20kN
M 1 ( P1 ) M 2 ( P2 ) M n ( Pn )
q
A
l
P
B 例题3 用叠加原理作出 左图梁的内力图
q
A
l
B
+
A
l
P
B
P A M1
l
B
Pl/4
x
q
A
l
B M2 x
+
q
A
l
P B
Pl/4+ql2/8
M
x
例题4
用叠加原理作出 A 左图梁的内力图