MINIMUM SPANNING TREE

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写出最小生成树的构造过程

写出最小生成树的构造过程最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一个连通图上的生成树，它的边权重之和是所有可能生成树中最小的。

最小生成树在许多实际问题中有着广泛的应用，比如网络设计、电力输送、通信等领域。

下面我将为大家介绍最小生成树的构造过程。

一、Prim算法：Prim算法是一种贪心算法，它的基本思想是从一个顶点开始，逐渐扩展生成树，每一步选择一个与树相邻的权重最小的边，并将该边所指向的顶点加入树中。

具体的步骤如下：1.随机选择一个顶点作为起始点，将该顶点加入生成树。

2.在生成树中选择一个顶点v，寻找与v相邻的顶点中权重最小的边(u, v (u∈生成树，v∉生成树))，将该边加入生成树。

3.将顶点v加入生成树。

4.重复执行第2、3步，直到生成树中包含了所有的顶点。

在Prim算法中，我们需要用一个数组distance来记录各个顶点到生成树的最小距离（weight）。

在每一步中，通过更新distance数组的值，选择其中的最小值并将对应的顶点加入生成树。

二、Kruskal算法：Kruskal算法是一种基于边贪心策略的算法，其基本思想是将图中的所有边按照权重的非递减顺序排序，然后逐步加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点。

具体的步骤如下：1.将图中的所有边按照权重的非递减顺序排序。

2.初始化一个空的生成树。

3.依次选择排好序的边，如果该边所连接的两个顶点不属于同一个连通分量，就将该边加入生成树。

如果加入该边之后，生成树中的边数等于顶点数减一，则结束算法。

4.重复执行第3步，直到生成树中的边数等于顶点数减一。

在Kruskal算法中，我们需要用一个数组parent来记录每个顶点所属的连通分量。

在每一步中，通过查找顶点的连通分量是否相同，判断是否可以加入生成树。

三、比较：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

由于Prim算法需要维护一个数组distance，因此适用于稠密图，即顶点数较多的情况。

最小生成树简答题

最小生成树简答题1. 最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中一个重要的概念，常用于解决网络设计、电力传输、城市规划等实际问题。

它可以被定义为一个连通图的子图，包含了图中所有的顶点，且边的权重之和最小。

2. 在许多实际应用中，我们需要找到连接所有节点的最小成本路径。

这个问题可以通过最小生成树算法来解决。

最小生成树算法的目标是找到一棵包含所有节点的树，并且边的权重之和最小化。

3. 最小生成树可以使用多种算法来计算，其中最著名的两种算法是Prim算法和Kruskal算法。

这两种算法分别属于贪心算法和并查集算法。

它们的核心思想是从图中的某个节点开始，逐步扩展生成树，直到覆盖了所有的节点。

4. Prim算法是一种贪心算法，它从图中的某个节点开始，每次选择一条与当前生成树相连的最短边，并将其加入生成树中。

通过这样的方式，不断扩展生成树，直到覆盖了所有的节点。

Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的数量。

5. Kruskal算法是一种基于并查集的算法，它首先将所有的边按照权重从小到大进行排序。

然后依次遍历排序后的边，如果当前边的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入生成树中，并将这两个节点合并到同一个连通分量中。

通过不断地合并连通分量，最终生成包含所有节点的最小生成树。

Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。

6. 然而，最小生成树算法并不是唯一的解决方案。

在某些特定情况下，其他算法可能更加高效。

例如，在稀疏图中，Prim 算法的时间复杂度较高，可以使用Prim算法的优化版本Prim-Jarnik算法来解决。

7. 此外，最小生成树算法还有一些扩展应用，例如最小生成森林、最小生成树问题的变体等。

最小生成森林是指一个无向图中的若干个最小生成树的集合，它可以通过去掉一些边来得到。

而最小生成树问题的变体则是在原问题的基础上增加了一些约束条件，例如要求生成树中的边的数量满足某个范围。

最小支撑树的定义

最小支撑树的定义最小支撑树（Minimum Spanning Tree，MST）是在一个连通图中选择一棵树，使得树上的所有边的权值之和最小且包含图中的所有顶点。

最小支撑树在许多领域中都有广泛的应用，如通信网络、电力传输、城市规划等。

本文将介绍最小支撑树的定义、构造算法以及应用场景。

一、最小支撑树的定义最小支撑树是一个连通图的子图，它是原图的一棵树，包含了原图的所有顶点，但只包含足够连接这些顶点的最小边集合。

换句话说，最小支撑树是一个连通图的生成树，其边的权值之和最小。

二、最小支撑树的构造算法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，从一个初始顶点开始，每次选择一条与当前生成树相连的权值最小的边，直到生成树包含所有顶点。

具体步骤如下：（1）选择一个初始顶点v，加入生成树T；（2）在剩余的顶点中，找到与T中的顶点相连的边中权值最小的边e；（3）将边e加入生成树T中，并将与e相连的顶点加入T；（4）重复步骤2和步骤3，直到T包含所有顶点。

2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，它按照边的权值从小到大的顺序选择边，并且在选择过程中避免形成环路。

具体步骤如下：（1）将图中的所有边按照权值从小到大排序；（2）依次选择权值最小的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则加入最小支撑树，并将两个连通分量合并；（3）重复步骤2，直到最小支撑树包含所有顶点。

三、最小支撑树的应用场景1. 通信网络规划最小支撑树可以用于通信网络的规划，例如在电信网络中，选择最小支撑树可以使得网络中的通信线路最短，从而提高通信效率和降低成本。

2. 电力传输在电力传输中，最小支撑树可以用于选择电力线路的布置方案。

通过选择最小支撑树，可以使得电力线路的总长度最短，从而减少能量损耗和电力传输成本。

3. 城市规划在城市规划中，最小支撑树可以用于规划道路系统。

通过选择最小支撑树，可以使得城市中的道路总长度最短，从而提高交通效率和减少交通拥堵。

微生物群落构建mst值

微生物群落构建mst值
微生物群落构建中的MST值是指微生物群落中的最小生成树值。

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是指在一个连通的、
无向图中，找到一棵包含图中所有节点的树，并且边的权值之和最小。

在微生物群落的研究中，MST值通常用来描述微生物群落的结
构和复杂性。

MST值的计算可以通过多种方法实现，其中最常见的是基于微
生物群落数据的距离矩阵。

首先，需要计算微生物群落中各个微生
物群落样本之间的距离或相似性，常用的距离包括欧氏距离、Bray-Curtis距离、Jaccard距离等。

然后，利用这些距离数据构建微生
物群落的连接图，通过最小生成树算法计算出MST值。

MST值在微生物群落研究中具有重要意义。

它可以用来比较不
同微生物群落样本之间的结构差异，评估微生物群落的稳定性和复
杂性。

此外，MST值还可以作为微生物群落数据分析的一个重要指标，帮助研究人员深入理解微生物群落的组成和相互关系。

总之，MST值在微生物群落构建中扮演着重要角色，它是通过
计算微生物群落中样本之间的距离数据，利用最小生成树算法得出
的一个描述微生物群落结构和复杂性的重要指标。

通过对MST值的研究和分析，可以更深入地理解微生物群落的特征和变化规律，为微生物群落研究提供重要参考。

遗传算法最小生成树

遗传算法最小生成树遗传算法什么是遗传算法？遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种基于生物进化思想的随机化搜索优化方法。

它通过模拟自然界中的进化过程，对问题进行求解。

遗传算法的原理1.个体编码：将问题转换为染色体编码的形式。

2.初始种群：随机生成初始种群。

3.适应度函数：根据问题定义适应度函数，用来评估每个个体的优劣程度。

4.选择操作：按照适应度大小选择部分个体作为下一代的父代。

5.交叉操作：对父代进行交叉操作，生成新的后代。

6.变异操作：对后代进行变异操作，增加种群多样性。

7.重复执行步骤4-6，直到满足终止条件。

遗传算法的优缺点优点：1.全局搜索能力强，可以在大规模搜索空间中找到最优解或次优解；2.适用范围广泛，可以处理多种类型和形式的问题；3.具有较好的并行性和可扩展性；4.易于实现和使用。

缺点：1.需要大量计算资源和时间；2.结果不一定是最优解或次优解；3.对问题的建模需要较高的技能和经验。

最小生成树什么是最小生成树？最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是一种用来解决带权无向图连通性问题的算法。

它通过在图中选择一些边，使得这些边组成一个树，并且这个树包含所有节点，并且权值之和最小。

最小生成树的原理1.首先，将图中所有边按照权值从小到大排序。

2.从第一条边开始，依次遍历每条边：①如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，则将这条边加入最小生成树中；②如果这条边连接的两个节点已经在同一个连通分量中，则不加入最小生成树中。

3.重复执行步骤2，直到所有节点都被包含在最小生成树中。

最小生成树的优缺点优点：1.可以保证所得到的解是全局最优解；2.算法简单易行；3.适用范围广泛。

缺点：1.只适用于带权无向图；2.对于稠密图而言，时间复杂度比较高；3.对于动态变化的图而言，需要重新计算整个最小生成树。

最小生成树求解

最小生成树求解最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是图论中的一个重要概念，用于解决有权无向连通图中的最小连接问题。

最小生成树是指在一个连通图中，选取一些边，使得这些边构成的子图是一棵树，并且这棵树的所有边权之和最小。

最小生成树的求解方法有多种，其中最经典且常用的方法是普利姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法。

一、普利姆算法普利姆算法是一种基于贪心策略的算法，用于解决最小生成树问题。

其基本思想是从连通图中任选一个顶点开始，然后逐步选择与已选顶点集合相连的权值最小的边，直到选取了所有顶点为止。

具体步骤如下：1. 初始化：选择其中一个顶点作为起始顶点，并将其标记为已访问。

2. 迭代过程：从已访问的顶点集合中，选择一条边的权值最小且与未访问的顶点相连的边，将该边加入最小生成树的边集合，并将访问顶点集合扩展至新连接的顶点。

3. 重复步骤2，直到所有顶点都被访问。

普利姆算法的优势在于适合处理稠密图，时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

二、克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法也是一种常用的最小生成树求解算法，它基于并查集(Disjoint Set)实现。

与普利姆算法不同的是，克鲁斯卡尔算法是通过选择权值最小的边，判断该边的两个顶点是否已经在同一个连通分量中，若不在同一分量，则选择该边，直到最小生成树中的边数为V-1为止。

具体步骤如下：1. 初始化：将图中所有边按照权值从小到大进行排序。

2. 重复选择：依次选择排序后的边，若该边的两个顶点不在同一连通分量中，则将该边加入最小生成树的边集合。

3. 结束条件：当最小生成树的边数达到V-1时，停止选择。

克鲁斯卡尔算法的优势在于适合处理稀疏图，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。

三、算法选择普利姆算法和克鲁斯卡尔算法的选择应根据具体问题而定。

如果图较为稠密，则普利姆算法更为高效；如果图较为稀疏，则克鲁斯卡尔算法更为高效。

克鲁斯卡尔算法求最小生成树完整代码

克鲁斯卡尔算法是一种用来求解最小生成树（Minimum Spanning Tree）的经典算法，它采用了贪心策略，能够高效地找到图中的最小生成树。

下面将为大家介绍克鲁斯卡尔算法的完整代码，希望对大家有所帮助。

1. 算法思路克鲁斯卡尔算法的基本思路是：首先将图中的所有边按照权值进行排序，然后从小到大依次考虑每条边，如果加入该边不会构成环，则将其加入最小生成树中。

在算法执行过程中，我们需要使用并查集来判断是否会构成环。

2. 代码实现接下来，我们将给出克鲁斯卡尔算法的完整代码，代码使用C++语言编写，具体如下：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;// 定义图的边struct Edge {int u, v, weight;Edge(int u, int v, int weight) : u(u), v(v), weight(weight) {} };// 定义并查集class UnionFind {private:vector<int> parent;public:UnionFind(int n) {parent.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}void Union(int x, int y) {int root_x = find(x);int root_y = find(y);if (root_x != root_y) {parent[root_x] = root_y;}}};// 定义比较函数用于排序bool cmp(const Edge a, const Edge b) {return a.weight < b.weight;}// 克鲁斯卡尔算法vector<Edge> kruskal(vector<Edge> edges, int n) { // 先对边进行排序sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);// 初始化最小生成树的边集vector<Edge> res;UnionFind uf(n);for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {int u = edges[i].u, v = edges[i].v, weight = edges[i].weight; // 判断是否构成环if (uf.find(u) != uf.find(v)) {uf.Union(u, v);res.push_back(edges[i]);}}return res;}// 测试函数int m本人n() {vector<Edge> edges;edges.push_back(Edge(0, 1, 4));edges.push_back(Edge(0, 7, 8));edges.push_back(Edge(1, 2, 8));edges.push_back(Edge(1, 7, 11));edges.push_back(Edge(2, 3, 7));edges.push_back(Edge(2, 5, 4));edges.push_back(Edge(2, 8, 2));edges.push_back(Edge(3, 4, 9));edges.push_back(Edge(3, 5, 14));edges.push_back(Edge(4, 5, 10));edges.push_back(Edge(5, 6, 2));edges.push_back(Edge(6, 7, 1));edges.push_back(Edge(6, 8, 6));edges.push_back(Edge(7, 8, 7));vector<Edge> res = kruskal(edges, 9);for (int i = 0; i < res.size(); i++) {cout << res[i].u << " " << res[i].v << " " << res[i].weight << endl;}return 0;}```3. 算法实例上述代码实现了克鲁斯卡尔算法，并对给定的图进行了最小生成树的求解。

克里斯卡尔算法最小生成树

克里斯卡尔算法最小生成树什么是克里斯卡尔算法？克里斯卡尔算法是一种求解最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)的算法，它采用贪心算法的思想，在给定一个连通图的情况下，通过逐步选择边来生成树，最终得到权值和最小的生成树。

为了更好地理解克里斯卡尔算法，我们首先要明确最小生成树的概念。

在一个连通图中，最小生成树是指连接图中所有顶点的树，并且树上所有边的权值之和最小。

生成树是一个无环的连通图，具有n个顶点的连通图的生成树必然含有n-1条边。

克里斯卡尔算法的步骤如下：1. 初始化：将图中的每个顶点看作是一个单独的树，每个树只包含一个节点。

同时，创建一个空的边集合用于存储最小生成树的边。

2. 对所有边按照权值进行升序排列。

3. 依次选择权值最小的边，并判断该边连接的两个节点是否属于不同的树（不属于同一个连通分量）。

4. 如果两个节点不属于同一个树，则将这条边添加到边集合中，并将两个节点合并为同一个连通分量。

5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树的边数达到n-1条为止。

6. 返回边集合，即为最小生成树。

通过这个步骤的执行，克里斯卡尔算法能够保证运行过程中生成的树权值和是最小的。

这是因为在选择边时，我们总是选择权值最小且不会形成环路的边，这样生成的树就不会包含多余的边。

需要注意的是，克里斯卡尔算法适用于带权无向连通图，如果是带权有向图，需要先进行转化为无向图的操作。

另外，克里斯卡尔算法在实际应用中有着广泛的应用，比如网络设计、电路设计以及地图路线规划等领域。

总结一下，克里斯卡尔算法是一种通过贪心思想解决最小生成树问题的算法。

它通过逐步选择权值最小的边，并将不同的树合并为一个连通分量的方式，生成一个权值和最小的生成树。

在实际应用中，克里斯卡尔算法具有重要的意义，能够为我们提供高效、经济的解决方案。

通过了解和学习克里斯卡尔算法，我们能够更好地理解图论中的最小生成树问题，并运用其解决实际问题。

最小生成树算法详解

最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。

在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。

本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。

其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。

具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。

二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。

它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。

算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。

2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。

3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。

4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。

Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。

它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。

算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。

2. 将图中的所有边按照权值进行排序。

3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。

4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。

Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。

最小支撑树的三种算法

最小支撑树的三种算法
最小支撑树（Minimum Spanning Trees，MST）是指在一个加权连通图上，具
有最小权值的连通图，它是网络规划的重要部分。

它有三种求解算法，即Prim算法，Kruskal算法，和Bor邻接算法。

Prim算法是一种求最小支撑树的常用算法，它以点的形式进行遍历，以邻接
矩阵描述网络结构，选取其中权值最小的边，一步步向外扩展，直到构造出支撑树。

它的优势在于简单易行，但有一个缺点就是以某个点为起始点，其他点没有参与进来，因此最终的结果受到起始点的影响较大。

Kruskal算法是另一种经典的算法，它从权值最小的边开始往外展开，直到所
有点都包括在支撑树内，将构造的最小支撑树的边连接起来，使其构成一个循环结构，这样就可以避免出现单拐点，它的缺点是算法耗时较长，在大型图结构中效率也比较低。

Bor邻接算法是最近出现的一种算法，它结合了Prim和Kruskal算法的优势，可以在短时间内生成支撑树，并且不存在多个拐点的问题，使用实用性也很强。

但是，由于Bor邻接算法是较新的方法，相比Prim和Kruskal算法，目前尚未产生
比较多的研究和评价，在某些情况下仍可能会导致支撑树的生成错误。

总的来说，三种最小支撑树的求解算法都有各自的优势和缺点，从实际应用来看，根据要求的精度和计算速度的不同，可以灵活的采用相应的方法来有效解决问题。

最小生成树MinimumSpanningTree最小生成树

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Kruskal Algorithm(用邊集)
由小到大排序為：ab, bc, de, fg, ad, be, dg, ce, bd, cf, eg, ef
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Kruskal Algorithm
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)

Prim Algorithm(用點集)
最小生成樹(Minimum Spanning Tree)
Main Algorithms: Dijkstra Algorithm
利用此演算法即可求出一網路中任兩點的最短路徑!
最短路徑問題(Shortest Path)

Dijkstra Algorithm
最短路徑問題(Shortest Path)

日常生活中的例子
在 Internet 中 router 用來建 forwarding table 所用的routing protocol – Link State routing protocol.

说说最小生成树（MinimumSpanningTree）

说说最小生成树（MinimumSpanningTree）minimum spanning tree(MST)转自：/gsky1986/article/details/45149931 最小生成树是连通无向带权图的一个子图，要求能够连接图中的所有顶点、无环、路径的权重和为所有路径中最小的.graph-cut对图的一个切割或者叫切断，会使图分离成为两个不相连的顶点集.它基于树的两个基本属性：为树的任意两个节点间添加一条边，会在树中形成一个环.删去树中的一条边，会将原树分离成两棵不相连的树.crossing edge有了切断的概念，很容易就会问到，被切开的那些边是什么？切断造成了两个不相连的顶点集，而切断的操作施加在这些边上，那么这些边本身就横跨了两个顶点集.prim’s algorithm最常用的一种求MST的算法是普利姆算法它是一种贪心算法.它搜索的方向是从某一个顶点开始，对所有邻接的边进行考察，然后将最轻的边（权重最小的边）加入MST.决定它下一步搜索方向的，是最轻边的另一端的顶点，从这个顶点开始，它重复上一步，直到所有的顶点访问完毕.由于普利姆算法每次都贪心地找当前看来最轻的边，它不会综合考量全局，所以它是一种贪心算法.由于它从最轻边的另一个端点继续它的搜索之旅，所以每一步求出的在MST中的边都会自然地连成一颗树，直到最后长大为MST. PriorityQueue在普利姆算法中，一个重要的操作是挑选最轻边，所以一个优先队列可以对这个操作进行优化支持.优先队列通常基于堆来实现，比如二叉堆.它可以给我们对数级的时间返回队头元素，而这个队头元素具有最高的优先级.如果我们规定越轻的边的优先级越高，那么一个小根堆实现的升序优先队列就可以用在普利姆算法中.lazy prim普利姆算法在找到一条最轻边（v,w）后，这条边就不应该在以后的搜索中成为一个备选，同时点w也被加入了MST，那么优先队列中所有还未访问的但和点w连着的那些边都成了废弃边，它们不应该被再次考察.那么如何处理这种不再备选的边？我们可以删除这些边，但是删除这条边后，边的另一端顶点还没有访问，我们的删除操作会波及那些还没有访问的顶点.那么，一个比较懒而直观的方式是推迟对所有的废弃边的删除操作，任由它们在优先队列中，作为队列一员参与队列的每次调整操作.采取懒惰方式的普利姆算法的时间复杂度是O(ElogE).从这里看出，它对边比较稠密的图来说，是低效的.如果要了解懒惰方式的的普利姆算法，请参考：普利姆算法lazy 实现eager prim以懒惰方式处理不再备选的边，会使得算法多次考察这样的边,影响了效率.有没有方法对它进行改进？考虑一下，我们在找出一条最轻边并将它加入MST后，实际上使得其它的还没有被访问的边被访问的机会增加了.而我们只对最轻边感兴趣，所以在考察一个顶点时，只需要在优先队列中维护一条目前已知的到这个顶点的最短距离或最小权重就可以了.为了不将废弃边加入队列，我们需要以索引方式来组织优先队列.关于索引式的优先队列，请参考：索引式优先队列以积极方式队列废弃边的算法，请参考：普利姆算法eager实现普利姆算法的eager实现的时间复杂度是最差O(ElogV ) kruskal’s algorithm克鲁斯卡尔算法是求MST的另一种常用算法，它非常简单：1.每一步都挑选当前看来最轻的边.如果这条边的两个端点的加入，没有在mst中造成回路，将这条边加入mst.2.对所有的边重复上一步.算法中比较关键的一个操作是判断是否形成回路(cycle)，这可以借助并查集来做，请参考：快速并查集克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE).这里是一个完成的算法实现，请参考：克鲁斯卡尔算法实现综述最小生成树和最小生成森林（minimum spanning forest）技术，对于连通性考察很有意义.克鲁斯卡尔算法和懒惰方式的普利姆算法形式简单、易于理解，适合处理边不稠密的图.积极方式的普利姆算法,初次接触会不易理解.但它效率高于懒惰方式，平均适用性更好.求MST的贪心算法，都离不开优先队列或堆的支持，堆的操作效率决定了这些算法的效率.如果用斐波那契堆来实现优先队列，则decrease-key操作的摊还代价是O(1 )，普里姆算法将可优化到：O(E+VlogV ).。

最小生成树例题详解

最小生成树例题详解最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

下面是一个常见的最小生成树例题:给定一个由五只兔子和它们的家组成的奴隶图,如下图所示:```1 2 3 4 5/ / /6 7 8 9 10 11/ / /2 4 6 8 10 12```要求找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

首先,我们需要遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数等于该节点到其他节点的距离。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点。

接下来,我们需要计算每个节点到根节点的度数。

如果某个节点到根节点的度数大于等于它的度数,那么它就不是最小生成树的一部分,我们需要继续寻找。

最后,我们需要计算每个节点的边权值之和。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点,然后遍历该节点的邻居节点,计算它们的边权值之和。

以下是Python代码实现:```pythondef Minimum Spanning Tree(graph):# 遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数最小为0for node in graph:度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到最小生成树root = node = Nonefor node in graph.nodes():if root is None:if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreakelse:# 度数最小的节点来代替该节点if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreak# 计算该节点到根节点的度数度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到连接到该节点的所有边neighbors = [node for edge in graph.get_edges(node) if edge[1] >= 0]# 计算该节点的边权值之和neighbors_sum = sum(度数)# 找到边权值之和最小的节点if neighbors_sum < neighbors_sum.min():root = nodebreakreturn root```在此算法中,我们使用了邻接表(neighbors table)来维护每个节点的邻居节点。

4最小生成树

v3 v6
特点——边少、点不少。图为根植于v2的DFS-树
图的生成树(spanning tree)
广度优先算法：
—— 图G′ 与图G的点集相同，但图G′ 的边集仅是图G边集的子集。
v1 v7
v2
v5
生成树：设图T＝(V，E′)是图 G＝(V，E)的生成子图，如 v4 果T是一个树，则称 T 是 G 的一个生成树（支撑树）。
3
5
1 v4
v3
2
7 5 3 5 v5
v6
1 7
5
v7
最小部分树如图上红线所示；最小权和为14。思考：破圈法与避圈法各自的思路是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。 ——加边取其中最小的。
最小生成树的算法
例要在5个城市架设电话线，使城镇之间能够通话两镇直接连接，每两个城镇之间的架设电话线的造价如下图所示，各边上的数字为造价（单位：万元）。问：应如何架线，可使总造价最小？
树的性质
3) 设图G＝(V，E)是一个树，点数n(G) ≥ 2，则 G 中至少有两个悬挂点（叶子）。从一棵n阶树中删除一片叶子之后得到n-1阶树。 5) 图G＝(V，E)是一个树，|V|=n，|E|=m <==>G是连通图，且不含圈 <==>G的任意两个顶点之间有且仅有一条路径 <==>G是连通图，且m＝n－1 <==>G无圈，且m＝n－1 <==>G无圈，但在G的任意两个不相邻的顶点之间增加一条边，则得到唯一的一个圈 <==> G是连通图，且G的每条边都是割边（桥），即删去G的任意一条边后所得的图都不连通。
∵图中已经不含圈
且 n＝ 5 m＝4

10个节点的最小生成树

10个节点的最小生成树摘要：1.介绍最小生成树的概念2.解释生成树的作用3.描述10 个节点的最小生成树的构建方法4.举例说明如何构建10 个节点的最小生成树5.总结最小生成树的应用场景正文：最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。

生成树的作用很多，它可以用于计算网络中最短路径、最小路径、最短路径树等。

在实际应用中，生成树被广泛应用于网络设计、数据压缩、图像处理等领域。

对于一个有10 个节点的图，如何构建最小生成树呢？这里我们可以使用Kruskal 算法。

Kruskal 算法是一种基于边的算法，它按照边的权值从小到大的顺序依次选取边，每次选取一条边，判断这条边是否可以加入生成树。

如果这条边连接的两个节点在当前生成树中不连通，那么这条边可以加入生成树，否则舍弃。

这样，我们可以构建出一棵包含所有节点且边权值之和最小的生成树。

举个例子，假设我们有一个有10 个节点的图，节点编号为1 至10，边的权值如下：1-2 (权值为3)1-3 (权值为1)1-4 (权值为2)1-5 (权值为4)2-3 (权值为2)2-4 (权值为3)2-5 (权值为1)3-4 (权值为3)3-5 (权值为4)4-5 (权值为2)按照Kruskal 算法，我们首先将权值最小的边1-3 选取进来，然后是1-4、2-3、2-4、1-5、3-4，此时生成树如下：1-2-3-4| |1-5 2-5接下来是3-5，但由于3-5 与2-5 相连通，所以舍弃。

再接下来是4-5，同样与2-5 相连通，舍弃。

最后是1-2，与1-3 相连通，舍弃。

此时生成树如下：1-2-3-4| |1-5 2-5经过以上步骤，我们成功构建了一棵包含所有节点且边权值之和最小的生成树。

最小生成树求解无向的最小连接子

最小生成树求解无向的最小连接子最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个概念，指的是在一个联通图中，找出一个子集，使得所有节点都能连接起来，并且边的权值之和最小。

在实际应用中，最小生成树常用于优化网络通信、城市规划、电力传输等问题。

一、什么是最小生成树在图论中，最小生成树是指在一个具有n个顶点的联通图中，选择n-1条边，将n个顶点相互连接，形成具有最小总权值的树形结构。

这里的总权值是指选择的n-1条边的权值之和。

二、Kruskal算法Kruskal算法是一种经典的求解最小生成树问题的算法。

其基本思想是先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后依次加入到最小生成树中，直到满足n-1条边的条件。

具体步骤如下：1. 创建一个空的最小生成树集合，初始化为0条边。

2. 将图中的所有边按照权值从小到大排序。

3. 依次遍历排序后的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入到最小生成树集合中，并合并两个连通分量。

4. 重复步骤3，直到最小生成树集合中边的数量达到n-1条。

三、Prim算法Prim算法是另一种常用的最小生成树算法，其基本思想是从一个顶点开始，每次选择一个和当前最小生成树集合相邻的最小权值边，并将该边的另一个顶点加入到最小生成树集合中。

具体步骤如下：1. 创建一个空的最小生成树集合，初始化为0条边。

2. 随机选择一个顶点作为起始点，将其加入到最小生成树集合中。

3. 每次从最小生成树集合中选出一个顶点，遍历其邻接边，选择权值最小的边，并将该边的另一个顶点加入到最小生成树集合中。

4. 重复步骤3，直到最小生成树集合中顶点的数量达到n个。

四、应用示例假设有一个无向图如下所示：```A---4---B/ \ / \2 3 6 8/ \ \C---9---D---5--E```我们可以使用Kruskal算法或Prim算法求解最小生成树。

使用Kruskal算法的步骤如下：1. 将所有边按照权值从小到大排序：AC, AB, AD, BC, BD, BE, CD, DE。

【算法】关于图论中的最小生成树（MinimumSpanningTree）详解

【算法】关于图论中的最⼩⽣成树（MinimumSpanningTree）详解什么是图(network)什么是最⼩⽣成树 (minimum spanning tree)最⼩⽣成树的算法这⾥的图当然不是我们⽇常说的图⽚或者地图。

通常情况下，我们把图看成是⼀种由“顶点”和“边”组成的抽象⽹络。

在各个“顶点“间可以由”边“连接起来，使两个顶点间相互关联起来。

图的结构可以描述多种复杂的数据对象，应⽤较为⼴泛，看下图：为了更好地说明问题，下⾯我们看⼀个⽐较⽼套的通信问题：在各⼤城市中建设通信⽹络，如下图所⽰，每个圆圈代表⼀座城市，⽽边上的数字代表了建⽴通信连接的价格。

那么，请问怎样才能以最⼩的价格使各⼤城市能直接或者间接地连接起来呢？我们需要注意两点：最⼩的价格各⼤城市可以是直接或者间接相连的稍稍留⼼可以发现，题⽬的要求是，城市只需要直接或者间接相连，因此，为了节省成本，我们稍稍优化⼀下上述⽅案如下：可以看到，我们砍掉了原先在AD，BE之间的两条道路，建设价格⾃然就降下来了。

当然这个⽅案也是符合我们题⽬的要求的。

按照国际惯例，这⾥要说蛋是了。

上⾯的实例由于数据很简单，优化的⽅案很easy就看出来了。

但在实际中，数据量往往是⾮常庞⼤的。

所以，我们更倾向于设计⼀种⽅法，然后利⽤计算机强⼤的运算能⼒帮我们处理这些数据得出最优的⽅案。

那么，针对上述问题，我们⼀起来看看如何应⽤图的相关知识来实现吧。

为了直观，还是⽤图⽚给⼤家解释⼀下：对于⼀个图⽽⾔，它可以⽣成很多树，如右侧图2，图3就是由图1⽣成的。

从上⾯可以看出⽣成树是将原图的全部顶点以最少的边连通的⼦图，对于有n个顶点的连通图，⽣成树有n-1条边，若边数⼩于此数就不可能将各顶点连通，如果边的数量多于n-1条边，必定会产⽣回路。

对于⼀个带权连通图，⽣成树不同，树中各边上权值总和也不同，权值总和最⼩的⽣成树则称为图的最⼩⽣成树。

基本思想：假设有⼀个⽆向带权图G=(V,E)，它的最⼩⽣成树为MinTree=(V,T)，其中V为顶点集合，T为边的集合。

最小生成树MinimumSpanningTree

4
1、Prim算法
如何找轻边？
❖可能的紫边集
设红点集|U|=k, 白点集|V-U|=n-k，则可能的紫边数为：k(n-k)。
在此紫边集中选择轻边效率太低。
❖构造候选轻边集构造较小的紫边集，但保证轻边在其中。
因为，∀v∈白点集，从v到各红点的紫边中，只有最短的那一条才可能是轻边，所以只须保留所有n －k个白点所关联的最短紫边作为轻边候选集即可。
int fromvex, tovex; //起点、终点 int len; //边长度，权值 } MST[n-1];
设邻接矩阵初值：不存在的边其权值为Infinity
9
1、Prim算法
算法求精－初始化
将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。
151
3
2
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2 4
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0
151 2
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1、Prim算法
存储结构
＃define Infinity INT_MAX //表示最大整数＃define n 100 typedef int AdjMatrix[n][n]; //邻接矩阵 typedef struct { //树边
增加一局部向量indegree[0..n]保存各顶点的当前入度
或者在邻接表的顶点表中增加入度域
用栈（或队列）来保存所有入度为0的顶点，以免每次选入度为0的顶点时扫描整个indegree向量 void NonPreFirstTopSort（ALGraph G）{ //以下vi简称为i int indegree[MaxVertexNum]，i，j，count=0； SeqStack S; EdgeNode *p;

最小生成树定理

摘要：最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个基本概念，它在网络设计、数据结构、算法设计等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍最小生成树定理的定义、性质、算法以及在实际应用中的重要性。

一、引言在图论中，一个图由顶点和边组成。

如果这个图是一个连通图，那么它的任意两个顶点之间都存在一条路径。

最小生成树定理研究的是如何从一个连通无向图中选择一些边，使得这些边构成一个连通子图，并且所有边的权值之和最小。

二、定义1. 图：由顶点集合V和边集合E组成，记为G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集。

2. 连通图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若存在一条路径连接u和v，则称图G是连通的。

3. 无向图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若边(u,v)和边(v,u)同时存在，则称边(u,v)为无向边。

4. 权值：对于图G中的任意一条边(u,v)，可以赋予一个非负实数w(u,v)作为权值。

5. 最小生成树：对于图G的一个连通子图T，如果满足以下两个条件，则称T为G 的最小生成树：（1）T是连通的；（2）T中的边权值之和最小。

三、性质1. 存在性：对于任意一个连通无向图，都存在一个最小生成树。

2. 唯一性：对于任意一个连通无向图，其最小生成树是唯一的。

3. 极小性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最小。

4. 极大性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最大。

四、算法1. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）（1）将图G中的所有边按照权值从小到大排序；（2）初始化一个空的最小生成树T；（3）遍历排序后的边，对于每条边(u,v)：①检查边(u,v)是否与T中的任意一条边形成环；②若不形成环，则将边(u,v)加入T；（4）当T中的边数等于顶点数减1时，算法结束。

2. 普里姆算法（Prim's Algorithm）（1）从图G中选择一个顶点作为起始顶点v0；（2）初始化一个空的最小生成树T，并将v0加入T；（3）对于图G中的其他顶点v，初始化一个距离数组dist，其中dist[v]表示顶点v到T的距离，初始时dist[v]=∞（v≠v0）；（4）遍历T中的顶点，对于每个顶点v，更新其相邻顶点的距离；（5）从距离数组中选择距离最小的顶点u，将其加入T；（6）重复步骤（4）和（5），直到T中的边数等于顶点数减1。

sdh中mst的作用 -回复

sdh中mst的作用-回复MST（Minimum Spanning Tree）指的是在一个连通图中，用边的权值最小的树来连接所有的顶点，从而使得任意两个顶点之间都有唯一的路径。

在MST中，每个顶点都是一个节点，并且通过边连接。

边的权值表示连接两个顶点之间的代价或者距离。

而MST的作用是为了找到所有顶点之间的最短路径，从而减少连接的代价或者距离。

本文将从以下几个方面详细介绍MST的作用：1. 最优连接MST的主要作用是在一个连通图中找到最优的连接方式。

通过MST，可以得到一棵树，使得整个图的所有顶点都连接起来，而且总的边的权值最小。

这样就可以达到连接所有顶点的最小代价或者距离。

2. 网络设计MST在网络设计中有着广泛的应用。

在计算机网络中，顶点可以表示网络中的各个设备，边的权值可以表示设备之间的传输延迟或者带宽。

MST可以帮助网络设计师找到一个最优的网络拓扑结构，使得整个网络的传输效率最高，延迟最小。

3. 铺设电缆在电信领域，铺设电缆是一个重要的环节。

而MST可以帮助优化电缆的铺设方案。

通过建立一个连通图，将电缆的路径作为边，电缆的长度作为权值，然后通过MST算法得到最小的铺设代价，从而减少铺设电缆的成本。

4. 电力传输在电力系统中，MST也有着重要的应用。

通常情况下，电力公司需要铺设电力线路来将电力传输到各个地区。

而MST可以帮助电力公司确定最佳的电力线路连接方式，从而减少电力传输的损耗和成本，提高电力传输的效率。

5. 公共交通规划在城市规划中，MST可以被用于公共交通的规划。

通过将城市的交通网路转化为一个连通图，顶点可以表示车站或者交通节点，边的权值可以表示路程或者时间。

通过MST算法，可以找到一个最佳的公共交通网络结构，使得公共交通的覆盖范围最广，同时交通流量最小。

总结起来，MST的作用在于找到一个连通图中连接所有顶点的最短路径，从而减少连接的代价或者距离。

它不仅可以应用于网络设计、电力传输和公共交通规划等领域，还能帮助优化铺设电缆和传输线路的方案。