概率论与数理统计B09-10年真题(A卷)

上海海洋大学试卷
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一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）
1. 设,A B 为随机事件,()0.8P A B = ,()0.4P B =,则()
|P A B = 3
2
2．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为
9
2
3．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则X
Y e =的数学期望为 1-e
4．设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则n =_8___p = 2.0
5．设),(~2σμN X ，则
~n
X σμ
-（ )1,0(N ）
6. 设AB φ=，()0.3,()0.4,P A P B ==则=⋃)(B A P （
7.0 ）。

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，
每小题3分，总计18分）
1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >，则有 B
(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A =
2．设,A B 为事件,且A B ⊂,则下列式子一定正确的是( B )
(A) ()()P A B P A = ; (B); ()()P BA P A =
(C) ()()P AB P B =; (D) ()()()P A B P A P B -=-
3． 设随机变量X 的分布率为{}1!
k
P X k a k λ==⋅, ()1,2,k = ,则a = ( B )
(A) e
λ
-; (B) e λ; (C) 1e
λ
--; (D) 1e λ-
4． 设X ~)1,1(N ,概率密度为()f x ,分布函数为()F x ,则有( A )
(A) {1}{1}P X P X ≤=≥; (B) {0}{0}P X P X ≤=≥;
(C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈
5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ D ）。

(A) 1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D) 3/6
6．12,,n X X X 是来自正态总体X ~()
2
,N μσ的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是
( C )
(A) 1max k k n
X ≤≤; (B) X μ-; (C)
1
n
k
k X σ
=∑; (D) 1min k k n
X ≤≤
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共计54分）
1． 有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子中
有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球. (1) 求此球是白球的概率；
(2) 若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率. 解: 设=i A “取中第i 个盒子” )3,2,1(=i ，=B “取中白球”，则
31)(=
i A P ，32)|(1=A B P ，31)|(2=A B P ，2
1
)|(3=A B P (1) 由全概率公式，得 21
)213132(31)|()()(3
1
=++==
∑=i
i i
A B P A P B P ；
(2) 由贝叶斯公式，得
94
2
132
31)()()|(11=⨯
==B P B A P B A P .
2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,
()arcsin ,1,
x a x F x A B a x a a x a ≤-⎧⎪⎪
=+-<≤⎨⎪
>⎪⎩,其中0a >为常数。

求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x ;(3) 2a P X a ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
解: (1)由
)()(lim
a F x F a x =+
→，有2arcsin
1π
B A a a B A +=+= 由
)()(lim
a F x F a x -=+
-→，有2
arcsin
0π
B A a a B A -=-+= 解得21=
A ，π
1
=B ;
(2) ⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤--==,01)()(22'a x a x a x F x f π
(3) 3
1
)21arcsin 121(1)2()()2(=+-=-=<<πa F a F a X a P .
3．设连续型随即变量X 的概率密度1
,()0,
c x
d f x d c ⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩其它，
求E(X ),D(X )
解: ;2
)()(d c dx c d x dx x xf X E d
c
+=-==⎰⎰
+∞∞
- 3
)()(2
222
2
d cd c dx c d x dx x f x X E d c
++=-==⎰⎰
∞
+∞
- 12
)()()()(2
2
2
c d X E X E X D -=-=.
4．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，
又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
解：设=i A “取到第i 条生产线的产品” )3,2,1(=i ，=B “取到次品”，则
4.0)(1=A P ,3
5.0)(2=A P ,25.0)(3=A P
02.0)|(1=A B P ，04.0)|(2=A B P ，05.0)|(3=A B P
由全概率公式，得 0345.005.025.004.035.002.04.0)|()()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑=i
i i
A B P A P B P
5．有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差6.2022S =。

求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。

（0.05α=，查表
()0.02515
2.1315t =） 解：建立统计量 )1(~2
--=
n t n
S
X T μ
则μ的置信度为α-1的置信区间为
,)1([2
--
n t n S
X α,)]1(2
-+
n t n S
X α
将1315
.2)15(,05.0,16,2022.6,75.503025.0=====t n S X α代入，计算得
]06.507,44.500[
6．某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服正态分布()2,N μσ,μ=40cm/s,2/cm s σ=。

现在用新
方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃烧率的样本均值为41.25/x cm s =。

设在新方法下总体均方差仍为2cm/s ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平0.05α=。

（查表0.05 1.645Z =） 解：建立假设;40:00=≥μμH .:01μμ<H 选择检验统计量n
X Z σ
μ0
-=
，进行单侧Z 检验，拒绝0H 的条件为：645.105.0-=-<z Z 。

将25,2,25.41===n X σ代入，计算得125.325
2
40
25.41=-=
Z 。

因为645.1125.3->=Z ，故接受0H ，即可认为这批推进器的燃烧率较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高。

四．证明题（本题10分）
设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2D X σ=,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, 样本
均值11n i i X X n ==∑,样本方差()22
1
11n i
i S X X n ==--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估计量 证明：因为
2
1)(X X n i i ∑=-∑=-=n
i i X n X 1
2
2
，且)()()(22X E X D X E +=
得=
-∑=))((
2
1
X X E n
i i ∑=-n
i i X nE X E 12
2
)()(
-+=
∑=])()([1
2n
i i i
X E X
D )]()([2X
E X D n +
)(
)(22
1
2
2
μσμσ
+-+=
∑=n
n n
i
2
)1(σ-=n 故2
2)(σ=S E
即2
S 是参数2
σ的无偏估计量。