2019-2020学年高中数学 2.4 向量的数量积(3)学案苏教版必修4.doc

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高中数学 2.4向量的数量积(三)教案苏教版必修4

第 11 课时：§ 2.4 向量的数量积（三）【三维目标】：一、知识与技能1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用；2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式3.揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 能用所学知识解决有关综合问题.二、过程与方法1.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.【教学重点与难点】：重点：数量积的坐标表达式及其简单应用难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.两平面向量垂直条件；2.两向量共线的坐标表示3.x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=．二、研探新知1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用a和b 的坐标表示a b ⋅，则1122,a x i y j b x i y j =+=+，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+ 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即a b ⋅2121y y x x +=2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设(,)a x y =，则22222||||a x y a x y =+⇒=+（2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则212212)()(||y y x x AB -+-=−→−；（3）夹角：12cos ||||a b a b x θ⋅==⋅+；（πθ≤≤0）（4）垂直的充要条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a ⊥⇔02121=+y y x x（注意与向量共线的坐标表示的区别）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅．解：5(6)(7)(4)30282a b ⋅=⨯-+-⨯-=-+=-．例2（教材79P 例2）已知1122(,),(,)a x y b x y ==，求（3a -b ）·（a -2b ）例3 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。

高中数学 24向量的数量积学案苏教版必修4 学案

2.4 向量的数量积一、学习内容、要求及建议二、预习指导1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题．2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅=cos a b θ⋅．例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a 2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积．例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法．3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握.例1 已知||a =3，||4b =，a 与b 的夹角为32π，求： (1)a ·b ；(2))2()23(b a b a +⋅-；(3)22a b -；(4) ||b a -；(5) |3|a b -.分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅，22,a b ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则.解：(1) a b ⋅=6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θb a ； 2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-；(3)22229167a b a b -=-=-=-；(4)222||()292a b a b a a b b -=-=-⋅+=-(5)|3|a b -222(3)9681a b a a b b -=-⋅+=+=点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =.尤其是求解模问题是一般利用2a a =转化为求模的平方. 例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ⋅b =-542 求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2．如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，某某数k 的值；(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅=22912254-=⨯- ∵0︒＜θ＜180︒∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅=|a |⋅|b |cos120°=4×2×(-21)=-4， ∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )，∴(a ＋k b )⋅(5a ＋b )=0，即 5a 2＋(5k ＋1) a b ⋅＋k b 2＝０，∴5|a |2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k |b |2＝0， ∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩ (1)-(2)得：22a b b ⋅=(3)将(3)代入(1)得22a b =即a b =． 22112cos 2b a b a b bθ⋅∴=== 又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600．点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba b θ⋅=，故应求两个整体a b ⋅与a b ⋅；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角X 围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+， cos θ||||b a ba ⋅222221212121y x y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ=||||b a b a ⋅⋅=2461164369+=+⋅+，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0； (3)方法一：|2a －3b |＝2229124)32(b b a a b a +⋅-=-＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-|23a b -|=1002512555+==；(4)方法一：(2a －3b )⋅(a ＋2b )=2a 2＋a ⋅b －6b 2=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200．方法二：23a b -=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8)(23a b -)⋅(a ＋2b )=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的X 围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅．分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- =22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ,(1,0)C ,(1,3)B -,(2,3)BC =-,由13BD BC =,设(,)D x y , 则213333x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得D (123,33-)28233AD BC ⋅=--=-． 4. 自我检测(1)已知63a =,1b =,9a b ⋅=-,则向量a 与向量b 的夹角θ＝．(2)已知,5b =,当(1)//a b ；(2)a b ⊥；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．(3)已知(1,)a m =与(,4)b n =-共线，且(2,3)c =与b 垂直，则m +n 值为．(4)已知(3,2)a =--,(4,3)b =--,则3a 2－2a b ⋅等于． (5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的心．三、课后巩固练习A 组1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅=．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )⋅(3a －2b )＝8，则a 与b 的夹角为．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=．4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题：①(a ⋅b )c －(c ⋅b )a ＝0 ；②|a |－|b | < |a －b |；③(b ⋅c )a －(c ⋅a )b 与c 不垂直；④(3a ＋2b )⋅(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2．这些命题中，是真命题的有．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则b =．7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 的值等于________．8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于________．D C A B 9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的．(选用重心、外心、垂心、内心填空 )10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为____． 11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ⋅＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______． 12．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =_______．13．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+，则c =______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是．15．设a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值X 围是．16．已知a =(-3，2)，b =(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d ，则k =__________．B 组17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e ，求a b ⋅．18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45︒，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y 的夹角的余弦值．19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b |的值． 20．已知向量a ,b 的夹角为60°,且(a ＋3b )⊥(7a －5b )，求证：(a －4b )⋅(7a －2b )＝0．21．设向量OA ＝(3，1)，向量OB ＝(－1，2)，向量OC ⊥OB ，向量BC //OA ，若OD ＋OA ＝OC ，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为__________．23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()AB DC AC BD +⋅+的值为．24. 如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点， M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅的值是____________．26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若2,3AB AC k =+=+i j i j ，则k 的可能值个数是．29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a c b c -⋅-的最小值为．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值X 围是．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值X 围是_________ . 32. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b O A M N BC D满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b =. 33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b |．是否存在满足条件的a ，b ，使|a +b |＝2|a -b |？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ⋅的取值最大？并求出这个最大值．四、学习心得五、题，例如勾股定理、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线许多、正方形的对角线垂直平分等．你给出具体的证明吗？你能用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗?2.5 向量的应用一、学习内容、要求及建议二、预习指导1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．2. 预习提纲(1)物理中，如果力F 与物体位移s 的夹角为θ，那么F 所做的功W =θs F cos ⋅⋅．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos θ||||b a ⋅222221212121y x y x y y x x +⋅++．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象.例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|1v |=10km /h ，水流的速度|2v |=2km /hmin )？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．解：||v 2212||||96v v -=km /h )，所以，0.560 3.1||96d t v ==≈(min )．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．AF EC D B H点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把0v 分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证△ABC 的三条高相交于一点.证明：设△ABC 的AB 、AC 边的高分别为CF ，BE ，它们交于点H ，连接AH (如图)，设AB c =，AC b =,AH h = 则,CH h b BH h c =-=- ∵CH ⊥AB ，BE ⊥AC ∴()0,()0c h b b h c ⋅-=⋅-=即0,0c h c b b h b c ⋅-⋅=⋅-⋅=两式相减得0c h b h ⋅-⋅=，即()0c b h -⋅=∵CB c b =-∴BC ⊥AH ，即三角形三条高相交于一点.例3 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交与R 、T 两点，证明：AR =RT =TC .解：设,,,AB a AD b AR r AT t ====，则AC a b =+.由于AR 与AC 共线，所以设()AR n a b =+.又因为12EB AB AE a b =-=-，ER 与EB 共线，设ER =1()2mEB m a b =-因为AR =AE +ER ，所以11()22r b m a b =+-. 因此11()()22n a b b m a b +=+-，即1()()02m n m a n b --++=. 由于向量,a b 不共线，要使上式为0，则有0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得13m n ==. 所以AR =13AC .同理TC =13AC . 所以AR =RT =TC . 点评：本题中由于R 、T 是对角线AC 上两点，要证AR =RT =TC ，只需证明AR 、RT 、TC 都等于13AC 即可. 4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为．(2)已知(3,2)a =-，(1,0)b =-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为． (3)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8,6),则D 点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3, 1)，B (-1, 3)，若点C 满足=+OC aOA bOB ，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸34km 处，以2km /h 的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速. 三、课后巩固练习Ａ组1．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于．2．已知a =(3，λ)，b =(4，-3)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值X 围为_______． 3．若A (0，2)，B (3，1)，C (-2，k )三点共线，则向量a ＝AC +AB 的模为． 4．设点O 是正2n 边形122n A A A ⋅⋅⋅的中心，则在下列各结论中：①122n OA OA OA ==⋅⋅⋅=；②122||||||n OA OA OA ==⋅⋅⋅= ③1OA +2OA +…+2n OA =0；④i OA ⋅n i OA +=0(i =1，2，…，n )．正确的共有个．5．已知向量a =(2，3)，b =(x ，6)，若│a ⋅b │=|a |⋅|b |，则x ＝．6．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则PQ =．7．在四边形ABCD 中，有AB ⋅BC ＝AB ⋅AD ＝AD ⋅DC =0，则该四边形是． 8．设向量a =(1,－3), b =(－2,4),若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为．9．已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值X 围是．Ｂ组10．平面上三个力F 1 、F 2、F 3作用于同一点O ，而处于平衡状态，11F N =，212,,F N F F =成45ο，求(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1的夹角． 11．边形ABCD 中，已知AB +CD =0，AC ⋅BD =0，试证明四边形ABCD 是菱形． 12．在四边形ABCD 中，AB 2+CD 2=AD 2+BC 2成立，求证：AC ⊥BD ．13．已知()23,2c ma nb =+=-，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为0120，且b 4-=⋅c ，22a =，某某数n m ,的值及a 与b 的夹角．四、学习心得五、拓展视野向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点．它们在各类考试中屡见不鲜．现举例如下．例1 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，证明O 是ABC ∆的外心．证明：222()()()OA OB OC ==222OA OB OC ∴==，所以O 是ABC ∆的外心．例2 已知O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC 的重心．证明：如图所示，延长OD 到G ，使DG ＝OD ，连接AG ，BG ，因为D 是AB 和OG 的中点，所以四边形OAGB 为平行四边形，由向量加法性质得OA OB OG +=又由0OA OB OC ++=得OA OB OC +=-OG OC ∴=-，∴C 、O 、D 、G 四点共线 ∴O 在中线CD 上同理得O 在中线AE 和BF 上，∴O 是△ABC 的重心．点评：本题同时证明了CO=2OD=23CD ，即重心O 分中线CD 为2:1两部分．例3O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）.解：由题0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，故P 的轨迹一定过△ABC 的垂心．例4O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上的共线三点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ||AB AB ||AC AC ，λ∈[)+∞,0，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）. 解：||AB AB ||AC AC 特征着手．||AB AB，||AC AC||AB AB，||AC AC||AB ||ACλ||AB AB ||AC AC 与角平分线向量共线，由三角形法则，点P 在∠A 平分线上，点P 轨迹过△ABC 内心．例5 如图：ABC ∆外接圆的圆心为Ｏ，三条高的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：(1)DC OC OB =+；(2)OH OA OB OC =++.分析：运用向量的加减法解决几何问题时，需要构造三角形或平行四边形，证明：(1),OB OD =-DC OC OD OC OB ∴=-=+．(2)因为ＢＤ为直径，90//,//BAD BCD AE CD AD CHο∴∠=∠=∴所以四边形AHCD 为平行四边形．,AH DC OH OA AH OA DC OA OB OC∴=∴=+=+=++点评：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用很大；另外，平面几何中的一些性质在解题中也有很大的用处．。

2019苏教版必修四2.4《向量的数量积》word学案1

一：学习目标1．理解平面向量数量积的概念、两向量夹角的概念及其取值范围，学会运用概念求两个向量的数量积。

2．会解有关两向量平行及垂直的问题；3．学会运用向量数量积的性质解决有关问题。

二、学习重点、难点重点：平面向量数量积的概念，性质及运算律。

难点：平面向量数量积的重要性质及运算律的理解和运用三：学习过程问题1：我们已经学过了向量的哪些运算？运算的结果有什么特点？向量与向量之间有没有乘法运算呢？运算的结果有什么特点？问题2：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）从求功的运算中，你能抽象出什么样的数学运算？问题3：如何定义两向量的数量积？零向量有没有数量积？应该如何定义？问题4：对于公式中的两个非零向量的夹角θ是如何规定的？思考：若两个向量的起点不同呢？问题5：根据向量的数量积的定义你还能得出它有哪些性质？（1）⇔⊥→→b a（2）当→a 与→b 同向时，→→⋅b a = 当→a 与→b 反向时，→→⋅b a = 特别地，⋅→a →a = 或→a =（3）=θcos（4）当→a 与→b 夹角为锐角时，满足什么条件？（5）当→a 与→b 夹角为钝角时，满足什么条件？练习 1、判断下列说法是否正确：（1）向量的数量积可以是任意实数（2）若→a =0，则对任意向量→b ，有→→⋅b a =0（3）若0≠→a ，则对任意非零向量→b ，有0≠⋅→→b a（4）如果0>⋅→→b a ，那么→a 和→b 的夹角为锐角（5）若0≠→a ，0=⋅→→b a 则0=→b（6）若0≠→b →→⋅b a =→→⋅c b 则=→a →c2、已知向量→a 和→b 的夹角为θ，→a =2，→b =3，分别在下列条件下求→→⋅b a（1）0135=θ （2）→a ||→b （3）→→⊥b a问题6：两个实数的运算满足哪些运算律？类比到向量，两个向量的数量积满足怎样的运算律？问题7：三个不共线的向量的数量积是否满足结合律？你能说明理由吗？四、阅读课本77页链接了解→→⋅b a 的几何意义。

【创新设计】数学苏教版必修4学案：2.4 向量的数量积(三)

2.4 向量的数量积(三)[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？答若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于对应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.要点一向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b .解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)． (1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →；(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )，∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)．(2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8.∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717. 规律方法应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，|a ＋b |＝(4＋1)2＋(3－1)2＝25＋4＝29.(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210. 要点三向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .解设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |，∴|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0. 解得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－12. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________________________________________________________________________．★答案★ π4解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.∴a 与b 的夹角为π4.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________.★答案★ 2解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．★答案★ 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．一、基础达标1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. ★答案★ 3解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴m ＝ 3.2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.★答案★ 23解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2 3.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.★答案★ ⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角为________．★答案★ π4解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22， ∴α＝π4. 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.★答案★ 5解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________． ★答案★ x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.★答案★ －3解析因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．★答案★ 322解析因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|C D →|＝1552＝322. 10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.★答案★ 2解析因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 又m ＝1为增根，舍去．∴m ＝35. 三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. ∵a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， ∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形.。

高中数学 2.4 向量的数量积(3)学案苏教版必修4

2.4向量的数量积（3）【教学目标】掌握平面向量数量积运算律，运用数量积的运算律解决与向量有关的综合问题；【教学重点】平面向量数量积的运算律的综合应用．【教学难点】向量共线、垂直的判定方法，证明两向量垂直等问题．【教学过程】一、引入：1．向量数量积的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a b ⋅= （向量法）= ．（坐标法）2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设(,)a x y =，则222||||______________________a x y a =+⇒==；（2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则||________________AB −−→=；（3）夹角：cos ____________________________θ==；（πθ≤≤0）；（4）共线的充要条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b ⇔ （向量法）⇔ ．（坐标法）（4）垂直的充要条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a⊥⇔ （向量法）⇔ ．（坐标法）二、新授内容：例1．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若＝(2，－1)，求a (b ·)及(a ·b )【变式拓展】1.已知()4,6-=a ，()2,0=b ，b m a c +=，求满足下列条件的m 的范围：（1）10=c ；（2）()c b a ⊥-；（3）()b a +2∥c ．2.p 与q 是两个夹角为︒60的单位向量，且q p -2与q p k+夹角为︒120，求k ．例2．设△ABC 中，,,AB c BC a CA b ===，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅．试判断△ABC 的形状．【变式拓展】已知直角坐标平面内，()()()3,1,1,4,8,1=-=-=OC OB OA ，求证：△ABC 为等腰直角三角形．例3．在平面直角坐标系中，已知(3,5)A -，(1,10)B ，(2,1)C ，求：（1）CA CB ⋅的值；（2）ACB ∠的大小．【变式拓展】如图，在ABCD 中，2AB =，1AD =，060BAD ∠=．（1）求AB AC ⋅的值；（2）求cos BAC ∠．三、课堂反馈：1．()4,2=a ，()1,1=b ，)//(b a b +λ，则=λ ．2．a 与b 不共线，||3a =，||4b =，若()()a kb a kb +⊥-，则k 的值为．3．2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为︒60，则a 与b a 2+的夹角为．4. 若()1,1=a ，若0=•b a ，()62=-a b ，则向量b =__________ 5．已知()m A ,1，()1,3-B ，()4,3－=AC ．（1）若2=m 时，求+2的模；（2）求BAC ∠cos ；四、课后作业：姓名：___________ 成绩:____________1．(),8,2-=+b a ()16,8-=-b a ，a 与b 的夹角为θ，则a = ；b = ；=•b a ；=θcos ．2．()2,1=a ，()3,2-=b ，则b a k +与b k a-垂直，则=k ．3.向量a 与b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3π，则|a +b |= ． 4．1==b a ，323=-b a ，则=+b a 3 ．5．已知(3,5)a =，b a ⊥，且||2b =，则向量b 的坐标为．6．4=a ，5=b ，()()b a b a 23+⊥-，则a 与b 的夹角的余弦值是． 7．4=a ，1=b ，62=-b a ，a 与b 的夹角为θ，则=θcos ．8．b 是与()3,3=a 的夹角为︒45的单位向量，则=b ．9.已知||=1，|+=，试求：（1）|a －b |；（2）+b 与a －b 的夹角．10．在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求：（1）求2AB AC +的模；（2）cos BAC ∠．11．设a 与b 是两个非零向量，如果()()b a b a 573-⊥+，且()()b a b a 274-⊥-，求a 与b 的夹角．12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，用向量知识完成下列问题(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．。

苏教版高中数学必修四向量的数量积教案

2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。

三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=u r r （其中θ是F u r 与s r 的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量a r 和b r （如图2），作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则 AOB θ∠=（0180θ≤≤o o ）叫做向量a r 与b r 的夹角。

当0θ=o 时，a r 与b r 同向；当180θ=o 时，a r 与b r 反向；当90θ=o 时，a r 与b r 的夹角是90o ，我们说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅r r 叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =u u u r r ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=r ．||cos b θr 叫做向量b r 在a r 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=o 时，它是0；当0θ=o 时，它是||b r ；当180θ=o 时，它是||b -r ．（2）a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的长度||a r 与b r 在a r 的方向上的投影||cos b θr）111的乘积。

2019-2020年高中数学 2.4 向量的数量积教案2 苏教版必修4

2019-2020年高中数学 2.4 向量的数量积教案2 苏教版必修4●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．2．过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．●重点难点重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入向量数量积的坐标运算.⇒引导学生类比数的乘法运算，推导出向量数量积的坐标运算法则.⇒结合数量积的定义及性质，引导学生对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握向量数量积的坐标运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量垂直问题的求解思路及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量夹角问题的求解思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)平面向量数量积的坐标表示【问题导思】i，j分别是x轴、y轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何求a·b?【提示】a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝x2＋y2.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0，反之亦成立．数量积的坐标运算已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，求|c|.【思路探究】由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|＝x2＋y2求解．【自主解答】∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)·b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋－82＝8 2.1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )．【解】法一 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54. 法二 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11， ∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.向量垂直的坐标表示的应用已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .【思路探究】题目中给出了向量a 的坐标，而欲求的向量b 满足：OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b 且三角形AOB 且以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b ＝(x ，y )，由OA →⊥OB →，列出方程组求出向量b .【自主解答】法一设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|，从而有：⎩⎨⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x 2＋32＋y 2.解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．法二设向量b ＝(x ，y )，依题意，OA →·OB →＝0， |OA →|＝|OB →|，则(a －b )·(a ＋b )＝0， |a －b |＝|a ＋b |，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.所以向量b 是与向量a 相互垂直的单位向量，即有⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋32y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．1．向量的垂直问题主要借助于结论：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求实数m的值．【解】由题设，a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0.即(m ＋2)m ＋(m －4)(－m －2)＝0.∴m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，即4m ＋8＝0， ∴m ＝－2.向量夹角问题已知点A (2,2)，B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量P A →与PB →的夹角的余弦值．【思路探究】设点P (x,0)，将AP →·BP →表示成x 的函数，即可求得相应的最小值及x 的值，再由夹角公式即得结论．【自主解答】设点P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1.此时，P A →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)． PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)， ∴|P A →|＝5，|PB →|＝2，∴cos ∠APB ＝P A →·PB →|P A →||PB →|＝1010.利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值．利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握．已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若c ＝5，求cos A 的值；(2)若A 为钝角，求c 的取值范围．【解】 (1)AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)，当c ＝5时，AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－6＋16520＝15＝55.(2)若A 为钝角，则AB →·AC →＝－3(c －3)＋16＝25－3c ＜0，解得c ＞253.显然此时有AB →和AC →不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为(253，＋∞).由夹角范围求参数范围时忽视向量共线情况致误已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【错解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12，∴t 的取值范围为(－12，＋∞) .【错因分析】错解忽视了a 与b 反向共线时，也有a ·b ＜0成立，应排除使a 与b 反向的t 值．【防范措施】两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cos θ的正负不能判定θ为锐角或钝角．cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角，cos θ＞0且cos θ≠1时，θ为锐角．【正解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1， t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．∴t 的取值范围是(－12，2)∪(2，＋∞)．1．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ的值． (4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.1．已知A (1,2)，B (2,1)，则|AB →|＝________.【解析】 ∵AB →＝(1，－1)，∴|AB →|＝12＋－12＝ 2. 【答案】 22．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.【答案】 3π43．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则x 的值等于________．【解析】由a ⊥b 得a ·b ＝0，即2(x －5)＋3x ＝0，解得x ＝2. 【答案】 24．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．【解】 ∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴AB →⊥AC →.又∵tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝1010＝1.∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.一、填空题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 【解析】 ∵a ＋2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝－15＋12＝－3. 【答案】－32．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 【解析】 ∵a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a ＋b |＝－12＋32＝2.【答案】 23．(xx·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5.【答案】 54．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于________．【解析】 a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52.【答案】 525．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是________．【解析】设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又|a |＝|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α∈[0，π]，α＝23π.【答案】 23π6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上取一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是________．【解析】设点P 坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0)．【答案】 (3,0)7．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 【解析】 a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ. 由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)．【答案】 (－3,6) 8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________. 【解析】设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，所以－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 又c ⊥(a ＋b )，所以3m －n ＝0.②联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73，则c ＝(－79，－73)．【答案】 (－79，－73)二、解答题9．在▱ABCD 中，A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)，求AB →与BD →夹角的余弦值．【解】 ∵A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)， ∴AB →＝(2,2)，AC →＝(3，－1)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(1，－3)．又由题意可知BC →＝AD →， ∴BD →＝AD →－AB →＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)．设AB →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·BD →|AB →||BD →|＝－12413＝－31313.10．(xx·南昌高一检测)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，则|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，则|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5. ∴|a －b |＝2或2 5.11．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．【解】 ∵a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，∴|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.又∵a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，∴a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0，解得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.(教师用书独具)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【思路探究】 (1)分别求出AB →，AC →的坐标，通过向量的坐标运算得到AB →＋AC →，AB →－AC →，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t 的方程，解方程即得．【自主解答】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，解得t ＝－115.1．熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键．2．涉及方程思想的应用，一般地，求参数的值时，通常根据题意列出方程进行求解．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝2 5.AC →·BD →＝8＋8＝16.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45. ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. .。

高中数学 2.4 向量的数量积(3 )教案苏教版必修4

一、课题：向量的数量积二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；四、教学过程：（一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质； 2．判断下列各题正确与否：①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有22||a a =． ( √ ) （二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即OB ）在c 方向上的投影等于,a b在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 4．例题分析：例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

高中数学 2.4 第1课时向量的数量积导学案苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

2.4 向量的数量积第1课时向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意义．3．能记住平面向量的数量积与投影的关系． 4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义．难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝|a ||b |；当θ＝180°时，a 与b 反向，a ·b ＝－|a ||b |；当θ＝90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .预习交流1(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于__________． (2)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________. (3)已知|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－102，则a 与b 的夹角θ＝__________.提示：(1)|2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2. (2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1025×4＝－22，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a ·a 可简写为a 2，所以a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a ·a ；②a⊥b ⇔a ·b ＝0；③a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |；④|a ·b |≤|a ||b |.(2)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 预习交流2对于向量a ，b ，c ，等式(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(a ·b )·c ≠0，其方向与c 相同或相反，而a ·(b ·c )≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b 在a 方向上的投影：设a ，b 是两个非零向量，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________． ①a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0；②a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a |；③a ⊥b ⇒a ·b ＝(a ·b )2；④a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b . 提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在b 上的投影为|a |cos θ＝5×cos 120°＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为__________．答案：322解析：向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ，应用公式时要分清|a |与|b |，不能套错公式，由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，则向量a 在向量b 上的投影为|a |cosθ＝3×22＝322. 2．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________． ①|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ；②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |. 答案：3解析：①∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π.∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，故有a ⊥b ，因此命题③是真命题．④当|a |＝|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．1．数量积的符号同夹角的关系：(1)若a ·b ＞0⇔θ为锐角或零角；(2)若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；(3)若a ·b ＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .二、平面向量数量积的运算已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 夹角为60°，求值：(1)a 2－b 2；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )．思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解．解：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝42－52＝－9；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2＋5a ·b －6b 2＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×42＋5×4×5×12－6×52＝－4.1．已知正△ABC 的边长为2，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .解：如图，a 与b ，b 与c ，a 与c 夹角均为120°，∴原式＝|a ||b |cos 120°＋|b ||c |cos 120°＋|a ||c |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×3＝－6.2．已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )．解：(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.1．利用定义求向量的数量积时，要注意a 与b 的夹角大小．若|a ||b |是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k 减到－k ，其图象是从0到π的半个周期内的余弦函数图象．2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积．三、求向量的夹角问题设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．思路分析：n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a ，b 均有向量n 和m 线性表示，待求向量a ，b 的夹角，求解时可先利用|a |＝|2m ＋n |，|b |＝|2n －3m |求模，再利用a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )求数量积，最后代入cos α＝a ·b|a ||b |求α.解：|m |＝1，|n |＝1，由夹角为60°，得m ·n ＝12，则有|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n 2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7，|b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2＝4n 2－12n ·m ＋9m 2＝7.∴a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴a ，b 夹角为120°.1．向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，求m 与n 的夹角．解：∵|m |＝1，|n |＝ 2. 又m ⊥(m －n )，∴m ·(m －n )＝m 2－m ·n ＝0. 设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝m 2|m ||n |＝|m ||n |＝22.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°.2．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2.又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |3|a |＝32.∴θ＝30°.1．求向量a ，b 夹角的流程图求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ2．由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝__________. 答案：－12 2解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a ·b 为__________．答案：2解析：∵a 在b 方向的投影为|a |cos θ，∴a ·b ＝|b |·|a |cos θ＝3×23＝2.3．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝__________. 答案：－4解析：∵a 与b 互为相反向量， ∴|a |＝|b |且两向量夹角为180°. ∴a ·b ＝2×2×cos 180°＝－4.4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为__________．答案：π3解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.5．已知|a |＝3，|b |＝6，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；(3)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.。

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的数量积教案苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

2.4 向量的数量积整体设计教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W＝|F||s|cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W ＝|F||s |cosθ.其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课新知探究1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a 与b 的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；(4)当0≤θ<π2时cosθ>0，从而a·b >0；当π2<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b ＝b·a (交换律)；②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．特别是：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab ＝bc a ＝c ，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图3(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：由向量数量积的定义可知，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.应用示例思路1例1见课本本节例1.例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直？活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．解：a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.∵a 2＝32＝9，b 2＝42＝16，∴9－16k 2＝0.∴k＝±34. 也就是说，当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直．点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.思路2例1已知四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2.又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2.同理，可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2.由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2.即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA.∴四边形ABCD 是平行四边形．故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b .即AB →⊥BC →.综上所述，四边形ABCD 是矩形．点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |，|b |＝|a ＋b |，求向量b 与a －b 的夹角．解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2.∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.∴a·b ＝－12|b|2.而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2，而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2，∴|a －b|＝3|b|.②设a 与a －b 的夹角为θ，则cosθ＝b·a －b |b||a －b|，代入①②，得cosθ＝－32|b|2|b|×3|b|＝－32. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.知能训练判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a·b|＝|a||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a·b ≠0；⑥a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a·b )c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解：上述8个命题中只有③⑧正确．对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应有0·a＝0；对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．作业课本习题2.4 1、2、3、4、5.设计感想1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.(1) (2)图4在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(m a)×b＝m(a×b)．二、备用习题1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|＝|a||b|a∥b②a与b反向a·b＝－|a||b|③a⊥b|a＋b|＝|a－b|④|a|＝|b||a·c|＝|b·c|A．1 B．2C ．3D ．42．有下列四个命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为钝角三角形；③△ABC 为直角三角形AB →·BC →＝0；④△ABC 为斜三角形AB →·BC →≠0.其中为真命题的是( )A ．①B ．②C ．③ D．④3．设|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为( )A ．4 3B ．4C ．4 2 D.324．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a|－|b|<|a －b |；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2.其中正确的是( )A ．①② B．②③C ．③④ D．②④5．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，则|b||c|2－b·c 2等于( )A ．0 B.12S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC6．设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.7．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.8．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求：(1)(a －3b )·(2a ＋b )；(2)|3a －4b |.9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与向量n ＝a －4b 的夹角的余弦值．参考答案：1．C 2.B 3.B 4.D 5.D6．－2 7.－138．(1)－30＋303； (2)337＋144 3.9．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1}． 10．解：由向量的数量积的定义得a·b ＝2×1×cosπ3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21，∴|m |＝21.又∵n ＝a －4b ，∴n 2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝12.∴|n |＝2 3.设m 与n 的夹角为θ，则m·n ＝|m||n |cosθ.①又m·n ＝2a 2－7a·b －4b 2＝2×4－7－4＝－3，把m·n ＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，∴cosθ＝－714，即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为－714. (设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝x2－x12＋y2－y12.(3)两向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(4)两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.应用示例例1课本本节例2.例2课本本节例3.变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b ＝x1x2＋y1y2和模|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝－12＋62＝37， ∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，－4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1°)．解：a·b ＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a |＝52＋72＝74，|b |＝－62＋－42＝52，由计算器得cosθ＝－274×52≈－0.03. 利用计算器得θ≈92°.例3课本本节例4.例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．解：(1)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝91313，y ＝－61313， ∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)． (2)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝61313，y ＝91313或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－61313，y ＝－91313，∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)．点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.知能训练课本练习1～8.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 8、9、10.设计感想1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22 (x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )．例1(1)已知实数x ，y 满足x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值是________；(2)已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则2x －y 的最大值是________．解析：(1)令m ＝(x ，y)，n ＝(1,1)．∵|m ·n |≤|m ||n |，∴|x＋y|≤x 2＋y 2·2，即2(x 2＋y 2)≥(x＋y)2＝16.∴x 2＋y 2≥8.故x 2＋y 2的最小值是8.(2)令m ＝(x ＋2，y)，n ＝(2，－1)，2x －y ＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤x ＋22＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤5，解得－4－5≤t≤5－4，故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例2已知a ，b∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小．解：构造向量m ＝(a cosθ，b sinθ)，n ＝(cosθ，sinθ)，由|m ·n |≤|m ||n |得 (a cosθcosθ＋b sinθsinθ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b∈R ，m ，n∈R ，且mn≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小．解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2，∴M>N. 例3设a ，b∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A∩B≠∅与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧ na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144.②设存在a和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1) ⇒n 4－6n 2＋9≤0. 解得n ＝±3，这与n∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( ) A ．3 B.13 C ．－13D ．－3 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m>12B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．若a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b )4．与a ＝(u ，v)垂直的单位向量是( )A ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v2) B ．(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) C ．(v u 2＋v 2，u u 2＋v2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) 5．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．6．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2.D 3.C 4.D5．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) (a ＋3b )·(7a －5b )＝0 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① 又(a －4b )⊥(7a －2b ) (a －4b )·(7a －2b )＝0 7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③ 将③代入①式可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.6．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin∠BAC 可先求出cos∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin∠BAC＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC＝12×2×5×45＝4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．(设计者：仇玉法)附：2．4 向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．整体设计在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．教材分析1．教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．2．教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．教学过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．1．理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．复习思考：运算结果向量的加法―→向量向量的减法―→向量实数与向量的乘法―→向量两个向量的乘法―→？？？？。

2019-2020学年高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第8课时 2.4向量的数量积(1)

第8课时 §2.4 向量的数量积（1）【教学目标】一、知识与技能（1）掌握向量的数量积及其几何意义；（2）掌握向量数量积的重要性质及运算律；（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；（4）掌握向量垂直的条件.二、过程与方法从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积三、情感、态度与价值观通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程】一、创设情景：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？二、新课讲解引入：物理学中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b = AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），A a bθ （图）记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0 ．3、数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=． 4．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值； B b1B O 1 1()B当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

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高中数学 2.4向量的数量积(三)教案 苏教版必修4

高中数学 24向量的数量积学案 苏教版必修4 学案