多彩课堂20192019学年高中数学人教A版选修12课件：11回归分析-课时1

提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区
别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表
n
2
yi yi
达式为R2=1-i
1 n
yi
y
;2
i1
相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,
n
xixyiy
n
xiyinxy
其表达式为 r
i1
n
2n
xix
i1
.
2
yiy
n
(
xi2nx2)(n
yi－^y i 0.05
0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－－y －2.24 －1.37 －0.54
0.41
1.41 2.31
所以
18，
6
(yi－－y )2＝14.678
4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.61378148≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)残差平方和越小,线性回归方程拟合效果越好.( √ ) (2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变 量在y轴上. ( × ) (3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.( √ )
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的 区域内,两个变量的这种相关关系为 正相关 . (2)在残差分析中,残差图的纵坐标为 残差 .
本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较 引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究， 练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应 用．
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数 据如下表所示：
编号
12345678
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
4
6
8
10
12
-4000
通过残差 eˆ1,eˆ2,eˆ3,.来...判.eˆn断, 模型拟合的效果这种分析工
作称为残差分析
通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断， 如何精确判断模型拟合的效果？
n
2
yi yi
引入参数R2R 2
1
i 1 n
2 来精确该画模型拟合效果
yi y
i 1
(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差 比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比 另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通 过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的 拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. (3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说 模型拟合的效果越好.
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较 大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错 误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型； 由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15 的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的 精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关 系． 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残 差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
①线性回归模型中的预报值 y 与真实情况y
引起的误差；
②观测与计算(用 b a 代替b a)产生的误差；
③省略了一些因素的影响(如生活习惯等） 产生的误差.
在线性回归模型中，e为用bx+a的预报真实值y的随机 误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机 误差？
在实际应用中，我们用 y bx a 估计 bx+a
yi2ny2)
i1
i1
i1
i1
建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量 是预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它 们之间的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应 残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异 常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：
厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数 据如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析． 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明： (1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点 和样本点的带状分布区域的宽窄．
－y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝1
5 xiyi－5－x －y
i＝1
所以^b＝
5 x2i －5－x 2
＝62106－605－×51×8×1872.4＝－1.15.
具有较好的线性相关关系
2.根据线性回归的系数公式， 求回归直线方程
y ＝0.849x-85.712
3.由线性回归方程可以估计其位
置值为 y ＝60.316(千克)左右。
n
xi x yi y
b
i1
n i1
xi x
2
a y bx.
性质：回归直线一定过样本中心点
这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确 地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定， 它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间 存在着误差．
3.相关系数与R2 (1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相关 系数的变化范围为[-1,1]. (2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或 负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果. (3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接 近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时, 说明线性回归方程的拟合效果较好.
所以 ey-bxa的估计量为 e y y
对于样本点 x i,y i i 1 ,2 ,3 , ,n
它们的随机误差为 e i y i b x i a i 1 ,2 , 3 ,,n 估计值为 e i y i y i y i b x i an 1 ,2 ,3 ,n
ei称相应于点 xi,yi的残差
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3.1 回归分析的基本思 及其初步应用
（第一课时）
1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、 方法及其初步应用．
2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感 觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化 后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方 法．
残差的作用
1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴 为中心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。
身
高
异
与
常
体
点
重
残 差 图
•错误数据 •模型问题
残差
6000
4000
2000 0
残差
-2000 0
2
(2)线性回归方程 y bx中a ， 的a 意b 义是：以 为基数a ，x
每增加1个单位，y相应地平均增加 个单位b . (3)线性回归模型中随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②观测与计算产生的误差； ③省略了一些因素的影响产生的误差.
2.线性回归模型的模拟效果 (1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀地 落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适, 这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越 高,回归方程的预报精度越高.
(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线
上,则残差平方和等于
0,解释变量和预报变
量之间的相关系数R等于 1或-1 .
3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的 关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果 的好坏．
解 －x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:
ybxae
其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差，
称它为随机误差，它是随机变量。且 E e0,D e 2
线性回归模型完整表达式为
ybxae，
Ee 0,De 2,
x称为_解__释__变量,y称为_预__报__变量.
线性回归模型中随机误差的主要来源
i＝1
^a＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是：^y ＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：
yi－^y i yi－－y
0
0.3
4.6
2.6
－0.4 －0.4
－0.1 －2.4
0.2 －4.4
所以，
5
(yi－^y
i)2＝0.3，
5
(yi－－y )2＝53.2，
i＝1
i＝1
5
【微思考】 (1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗? 提示:这两个概念在某程度上具有很大的相似性,都是 衡量不确定性的指标,二者的区别是:误差与测量有关, 误差可以衡量测量的准确性,误差越大表示测量越不 准确;残差与预测有关,残差大小可以衡量预测的准确 性,残差越大表示预测越不准确.