优化问题与规划模型
优化问题中的数学规划模型
优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。
例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。
一般地，优化模型可以表述如下：minzf(某).t.gi(某)0，i=1,2,,m(1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。
在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。
”[H.P.William.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。
Step1.寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。
阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是……Step2.确定决策变量。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用多目标规划是一种在优化问题中同时考虑多个目标的方法。
与传统的单目标规划相比，多目标规划更加适用于现实生产优化中存在多个相互关联的目标的情况。
在生产优化中，多目标规划可以帮助企业在平衡多种目标之间找到最佳的决策方案，提高生产效率和经济效益。
1.决策变量：表示决策者可以调整的各种生产资源和生产参数，如生产数量、生产设备分配等。
2.约束条件：表示各种技术和资源限制，如设备产能、雇员工时等。
3.目标函数：表示需要优化的目标，可以包括多个目标函数，如最小化生产成本、最大化产出、最小化生产时间等。
在生产优化中，多目标规划可以应用于多个方面，如生产调度、生产设备配置和物料采购等。
下面以生产调度为例来具体说明多目标规划的应用。
生产调度是指在生产过程中，根据生产资源和生产任务的需求，合理安排和调度各个工序和设备的完成时间和数量，以达到最佳的生产效率和经济效益。
在生产调度中，通常存在多个决策变量和多个目标。
决策变量可以包括产品的生产顺序、工序的分配和设备的调度等。
不同的决策变量选择可能导致不同的生产成本、生产时间和质量水平等目标的变化。
多目标规划可以将生产调度问题转化为一个多目标优化问题。
在模型中，决策变量可以是各个工序的完成时间和数量，目标函数可以是最小化生产成本、最小化生产时间和最大化产品质量等。
同时，还需要考虑各种资源约束条件，如设备产能、雇员工时和原材料供应等。
通过多目标规划模型求解，可以得到一组最优解，即在满足约束条件的前提下，使得多个目标函数达到最优的决策方案。
这些最优解通常形成一个“帕累托前沿”，即在无法同时改善所有目标的情况下，提供了各种权衡和选择的可能性。
在实际应用中，多目标规划可以帮助企业决策者综合考虑多种目标和约束条件，合理安排生产资源和生产任务，以提高生产效率和经济效益。
同时，多目标规划还可以用于方案比较和灵敏度分析，帮助决策者评估不同决策方案的优劣和稳定性。
利用数学模型解决实际问题
利用数学模型解决实际问题在数学领域，数学模型是指通过符号、方程或者其他数学方法来描述和解释实际问题的工具。
通过构建数学模型，我们可以利用数学工具和方法来解决复杂的实际问题。
本文将介绍一些常见的数学模型，并举例说明利用数学模型解决实际问题的方法和应用。
一、线性规划模型线性规划模型是最常见也是最基础的数学模型之一。
它的基本思想是通过线性关系来描述问题，并在一定的约束条件下，寻找目标函数的最优解。
线性规划模型通常使用线性代数和优化方法来求解。
举例来说，假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A需要2小时的生产时间和3小时的加工时间，每单位产品B需要3小时的生产时间和2小时的加工时间。
而生产这两种产品需要的总生产时间为40小时，总加工时间为50小时。
另外，每单位产品A的利润为20元，产品B的利润为25元。
现在的问题是，如何安排生产计划以最大化利润？我们可以定义变量x和y来表示生产的产品A和B的数量，目标函数就是要最大化利润。
由于生产时间和加工时间有限，我们可以得到以下约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0, y ≥ 0将目标函数和约束条件进行线性化处理后，就可以通过线性规划模型来求解最优解，从而得出最优的生产计划。
二、微分方程模型微分方程模型在描述动态变化问题时非常常用。
微分方程模型通过建立动态方程来描述问题的变化规律，并通过解微分方程来获得问题的解析解或数值解。
例如，假设一个水塘中的水量随时间的变化而变化。
我们可以建立微分方程来描述这个过程。
假设水塘中的水量为V，流入水的速度为r1，流出水的速度为r2，则可以得到以下微分方程：dV/dt = r1 - r2通过求解这个微分方程，我们可以获得水量随时间的变化规律，从而更好地控制水塘中的水量。
三、统计模型统计模型是利用统计方法来描述和分析现象和问题的数学模型。
统计模型通常涉及到概率分布、参数估计、假设检验等统计概念和方法。
举例来说，假设某学校的学生成绩服从正态分布，我们可以通过收集一部分学生的成绩数据来建立统计模型。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究随着人工智能技术的不断发展，组合优化问题的建模和求解方法逐渐成为了研究热点。
组合优化问题是指在一定约束条件下，从有限的可选项中选择出最优的组合方案，如工程规划、物流配送、投资组合等问题。
本文将探讨建立组合优化模型及其求解方法的研究进展。
一、组合优化模型建立1. 线性模型线性规划模型是组合优化中最基本的模型之一，通过构造一系列线性约束条件和目标函数，求解出满足约束条件的最大（小）值。
例如，在投资组合问题中，可以将每一项投资的收益和风险以及各项的投资比例表示成线性函数，求解出使预期收益率最大，规避风险风险最小的投资组合。
2. 非线性模型非线性模型相对于线性模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
例如，在旅行商问题中，需要寻找一条路径，使得经过的所有城市只访问一次，并且总路径最短。
这个问题无法用线性模型表示，需要采用非线性优化算法进行求解。
3. 混合整数规划模型在实际问题中，很多变量只能取整数值，而且该问题本身又是一个优化问题，因此需要采用混合整数规划（MIP）模型进行求解。
例如，在运输问题中，货物只能在整数数量上进行运输，此时需要构建MIP模型进行求解。
二、组合优化求解方法研究1. 线性规划法线性规划法是最基本的数学规划方法之一。
该方法通过求解线性规划模型的最优解，来得到组合优化问题的最优解。
线性规划法求解过程中，需要对线性规划模型进行求解，通过单纯形法等算法对模型进行求解，得到最优解。
然而，该方法在遇到非线性模型或超大规模问题时，效率会急剧下降。
2. 分支定界法分支定界法是解决混合整数规划问题的一种有效方法。
这种方法将原问题分解为一系列子问题，并将子问题的可行空间一步步缩小，最终得到最优解。
该方法特别适用于规模较小、分支量少的混合整数规划问题。
3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，具有较好的全局搜索能力和适应性。
该算法模拟遗传和自然选择机制，通过不断选择优秀的个体和产生新的个体，最终寻找到问题的最优解。
数学中的数学建模与优化问题
数学中的数学建模与优化问题数学建模和优化是数学领域中的两个重要概念，它们在解决实际问题中起着关键作用。
本文将探讨数学建模和优化的定义、原理及其在实际中的应用。
一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来描述和分析问题。
数学建模的核心是找到问题的本质，抽象出关键因素，并建立合适的数学模型。
通过建模，我们可以利用数学工具和方法来解决问题，预测未来的趋势，制定决策。
在数学建模中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、统计学等。
数学建模的过程通常包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证等步骤。
通过这些步骤，我们可以得到符合实际情况的数学模型，并进行预测和优化。
二、数学优化数学优化是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的一组变量取值。
数学优化在解决实际问题中，通常涉及到决策、资源分配、路径规划等方面。
通过优化，我们可以在有限资源下找到最优解，提高效率和经济性。
数学优化的常用方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些方法通过数学理论和算法，求解最优解或次优解。
在实际应用中，我们可以通过优化来改进生产制造、物流配送、交通规划等领域，提高整体效益。
三、数学建模与优化的应用数学建模和优化在各个领域都有广泛的应用。
以下是数学建模和优化在几个领域的具体应用示例：1. 交通规划：通过数学建模和优化，可以确定最短路径、优化交通信号配时、减少拥堵等，提高城市交通效率。
2. 生产制造：通过数学建模和优化，可以优化工厂生产线布局、减少生产成本、提高生产效率，增加企业竞争力。
3. 资源分配：通过数学建模和优化，可以优化资源的分配，合理规划资源的使用，提高资源利用率和经济效益。
4. 环境保护：通过数学建模和优化，可以优化污染治理方案，减少环境污染，保护生态环境。
5. 金融投资：通过数学建模和优化，可以帮助投资者制定投资组合、分散风险、最大化收益。
通过数学建模和优化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策的科学性和准确性。
组合优化问题中的混合整数规划模型研究
组合优化问题中的混合整数规划模型研究组合优化问题是一个重要的数学领域，涉及到许多实际应用。
其中一种常见的问题就是如何有效地选择和组合一系列的元素，以达到最优的效果。
这类问题叫做组合优化问题，混合整数规划模型是其中的一种常用的数学模型。
混合整数规划模型通常用于解决二元决策问题，即决策集合只包含0和1两种情况的问题。
在混合整数规划模型中，一部分变量为整数，一部分变量为实数。
通常情况下，混合整数规划问题很难求解。
因为这类问题的可行解空间很大，因此需要采用优化算法来求解。
混合整数规划模型的求解可以分为线性规划和整数规划两个步骤。
由于线性规划是一个简单而又高效的求解方法，因此通常是先求解线性规划问题，然后再用整数规划方法来求解整数解。
这种方法称为分支定界法，是求解混合整数规划问题中最常用的方法。
在混合整数规划模型中，目标函数通常是一个线性函数。
例如，考虑一个生产调度问题，其中一家公司需要决定如何制造一批产品，以达到最大利润。
每个产品可以在不同的时间内生产，而且每个产品都有不同的成本和利润。
在这种情况下，生产调度问题可以被描述为一个混合整数规划模型，其中目标函数是最大化总利润。
假设有n个产品，它们可以在m个时间段内制造。
令x_{i,j}表示第i个产品在第j个时间段内是否被制造。
在每个时间段内，公司只能制造一个产品，因此有以下约束条件：\sum_{i=1}^n x_{i,j} <= 1, for j=1,2,...,m.另外，每个产品有一个成本c_i和一个利润p_i。
公司需要考虑利润和成本之间的平衡，以最大化整个调度周期的利润。
因此，目标函数可以表示为：maximize \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (p_i - c_i) x_{i,j}.上述混合整数规划模型中涉及到了许多变量和约束条件，因此需要采用分支定界法进行求解。
这种方法能够同时考虑到实数优化和整数优化两个问题，因此通常是解决混合整数规划问题的最佳方法。
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。
优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。
本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。
一、优化问题的定义优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。
这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
二、优化问题的数学模型优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。
1. 目标函数目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
在数学模型中，目标函数通常表示为：$$max f(x)$$或$$min f(x)$$其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。
2. 约束条件约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。
在数学模型中，约束条件通常表示为：$$g_i(x) leq b_i$$或$$g_i(x) geq b_i$$其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。
3. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。
在数学模型中，决策变量通常表示为：$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。
三、优化问题的应用优化问题的应用非常广泛，包括工业、经济、管理、军事等领域。
下面我们将以几个具体的例子来说明优化问题的应用。
1. 最小化成本在生产过程中，我们希望以最小的成本来生产产品。
这时，我们可以将生产成本作为目标函数，约束条件可以是生产量的限制、材料的限制等。
通过数学模型，我们可以求出最小化成本的生产方案，从而实现成本控制的目的。
投资组合优化问题的动态规划模型研究
投资组合优化问题的动态规划模型研究投资组合优化是一门在金融领域应用广泛的学科。
它的目的是在给定的投资机会下，通过合理的分配资产，最大化收益、最小化风险，从而提高投资回报率。
在如今投资市场的复杂和多变的情况下，如何选取最优的投资组合是一个近乎无解的难题。
本文将从动态规划角度剖析投资组合优化问题，给出其最优解的求解方法。
一、动态规划模型基础动态规划是一种算法思想，在解决最优化问题时，能够有效避免暴力搜索，减少计算量。
动态规划的基本思想是将问题分解为一个个子问题，逐一解决，并将子问题的最优解整合起来得到原问题的最优解。
它的核心是“最优子结构”和“无后效性”。
二、投资组合模型的建立在设定投资组合模型前，我们需要确定一些前置条件。
首先，我们假设市场上有N种资产，而每一种资产可以有多个投资方案，用户可以选择不同的投资方案；其次，资产的价格或投资回报率，并不稳定，而是存在一定程度的波动。
假设在时刻t市场上第i种资产的价格为Pit，如果在时刻t+1用户选择这种资产，那么在t+1时刻能够获得的回报率为Rit+1=Pit+1-Pit/Pit。
考虑到资产价格和回报率会产生波动，投资组合优化问题最好采用动态规划模型进行解决。
设状态变量为f(t,x)，表示在时刻t，选取资产的价值为x时最大收益。
对于每一种资产，x可以遍历其不同的投资方案，由此得到递推公式：f(t,x) = max(f(t-1,x),f(t-1,x-k) + Rit+1*k)其中，f(t-1,x)表示在t-1时刻没有投资该资产，f(t-1,x-k)+Rit+1*k表示在t-1时刻已经投资该资产，并且该资产价格变化为k。
将公式中的f(t-1,x)替换为f(t-1,x-k)，可以得到递推公式的简洁形式：f(t,x) = max(f(t-1,x),f(t,x-k)+Rit+1*k)三、动态规划模型的求解动态规划模型的求解离不开两个核心步骤：状态转移方程和边界状态。
运筹学的基本理论与方法
运筹学的基本理论与方法运筹学（Operations Research）是一门应用数学学科，旨在通过量化建模和优化方法，解决实际问题和做出最优决策。
本文将介绍运筹学的基本理论与方法，包括问题建模、优化模型、经典算法等方面。
一、问题建模运筹学的第一步是把实际问题转化为数学模型，以便进行分析和求解。
问题建模通常涉及以下几个方面：1. 目标：明确问题的目标是什么，如最大化利润、最小化成本、优化资源利用率等。
2. 决策变量：确定可以控制或调整的变量，即决策变量，如生产数量、采购量、分配方案等。
3. 约束条件：考虑问题的限制条件，如资源限制、技术限制、时间限制等。
二、优化模型基于问题建模的基础上，可以建立相应的优化模型，常见的几种常用优化模型如下：1. 线性规划：线性规划是最经典的优化模型之一，目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划可以通过诸如单纯形法、内点法等算法求解。
2. 整数规划：整数规划是线性规划的拓展，决策变量需要取整数值。
整数规划一般通过分支定界法、割平面法等算法求解。
3. 动态规划：动态规划适用于具有决策阶段和状态转移的问题，通过将问题分解为子问题，利用最优子结构性质，建立递推关系来求解。
4. 近似算法：对于复杂优化问题，精确求解往往是不可行的，此时可以采用近似算法，如启发式算法、模拟退火算法、遗传算法等。
三、经典算法运筹学中有一些经典的算法常用于求解各类优化问题，下面介绍几个典型的算法：1. 单纯形法：单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法，通过不断在可行域内移动以达到最优解。
2. 分支定界法：分支定界法通常用于解整数规划问题。
通过不断划分问题的可行域，并对每个子问题求解，最终得到整数规划的最优解。
3. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种全局优化算法，通过模拟金属退火过程来避免陷入局部最优解。
4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择、交叉、变异等操作来搜索最优解。
四、应用领域运筹学方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 生产与物流：优化生产计划、供应链管理、仓储布局等，以提高生产效率和降低成本。
管理学中的决策模型和优化方法
管理学中的决策模型和优化方法在管理学中，决策模型和优化方法是非常重要的工具。
它们帮助管理者分析问题、做出决策，并优化目标实现的过程。
本文将介绍管理学中常用的决策模型和优化方法，以及它们在实践中的应用。
一、决策模型决策模型是指在面对特定决策问题时，通过建立数学模型来分析问题、评估决策选项，帮助管理者做出合理决策的工具。
下面介绍几种常见的决策模型：1.经济订单数量模型（EOQ模型）EOQ模型是一种用于寻找最优经济订货数量的模型。
它基于需求量、订货成本和库存成本等因素，通过求导等数学方法，找到最佳的订货数量，以达到最小总成本的目标。
2.线性规划模型线性规划模型是一种用于解决资源有限的决策问题的数学模型。
它将问题转化为线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题，通过线性规划算法求解，帮助管理者做出最优决策。
3.马尔科夫模型马尔科夫模型是一种用于描述状态转移过程的概率模型。
在决策问题中，马尔科夫模型可以用来分析不同状态之间的转移概率，帮助管理者预测未来状态的变化，并做出相应决策。
二、优化方法优化方法是指通过数学建模和计算方法，寻找问题的最优解或接近最优解的过程。
以下介绍几种常用的优化方法：1.整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，其决策变量的取值限制为整数。
在一些需要做出离散决策的问题中，整数规划可以帮助管理者找到最优的决策方案。
2.动态规划动态规划是一种用于求解具有最优子结构的问题的优化方法。
它通过将问题分解为一系列相互依赖的子问题，利用递推关系求解子问题，最终得到整体问题的最优解。
3.遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化方法。
它通过对候选解进行遗传操作，如交叉、变异等，不断迭代搜索，最终找到适应度最高的解作为最优解。
三、决策模型和优化方法的应用决策模型和优化方法在管理学中有着广泛的应用，以下列举几个常见领域的应用案例：1.供应链管理通过使用EOQ模型和线性规划模型，管理者可以优化供应链中的订货数量、仓储和运输等环节，降低成本，提高效率。
优化问题建模方法
优化问题建模方法
优化问题建模方法包括以下几种常见方法：
1. 线性规划建模：将优化问题转化为线性规划模型，并利用线性规划的解法进行求解。
线性规划建模方法常用于资源分配、最大化利润等问题。
2. 非线性规划建模：将优化问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划的解法进行求解。
非线性规划建模方法常用于具有非线性约束或目标函数的问题，如最小化成本、最大化收益等。
3. 整数规划建模：将优化问题转化为整数规划模型，并利用整数规划的解法进行求解。
整数规划建模方法常用于需要做出离散决策的问题，如生产批量、路线规划等。
4. 动态规划建模：将优化问题转化为动态规划模型，并利用动态规划算法进行求解。
动态规划建模方法常用于多阶段决策问题，如项目管理、资源优化等。
5. 组合优化建模：将优化问题转化为组合优化模型，并利用组合优化算法进行求解。
组合优化建模方法常用于在给定的选项集合中找到最优组合，如旅行商问题、图的着色问题等。
6. 模拟退火建模：将优化问题转化为模拟退火模型，并利用模拟退火算法进行求解。
模拟退火建模方法常用于寻找全局最优解，如优化函数拟合、参数调优等。
7. 遗传算法建模：将优化问题转化为遗传算法模型，并利用遗传算法进行求解。
遗传算法建模方法常用于在搜索空间中找到全局最优解，如优化函数拟合、参数组合选择等。
以上是常用的优化问题建模方法，实际问题的建模方法可以根据问题的性质和约束条件进行选择和组合使用。
数学建模中的优化问题
奥运会临时超市网点设计
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
利用线性规划模型优化生产调度问题
利用线性规划模型优化生产调度问题生产调度问题是生产过程中非常关键的一个环节。
通过合理的生产调度安排，可以优化资源利用、提高生产效率、降低成本，从而增加企业的竞争力。
在解决生产调度问题时，线性规划模型是一种常用的优化方法。
线性规划模型假设目标函数和约束条件都是线性的，通过线性规划模型求解可以得到最优的生产调度方案。
首先，我们需要明确生产调度问题的目标。
通常，生产调度问题的目标是最大化利润或者最小化成本。
根据具体情况，我们可以选择不同的目标函数。
比如，如果希望降低生产成本，可以将目标函数设置为最小化生产成本；如果希望提高生产效率，可以将目标函数设置为最大化生产量。
接下来，我们需要确定决策变量。
决策变量是指我们需要作出的决策，通常是指生产、分配或调度方案中的一些参数。
常见的决策变量包括生产量、生产时间、员工数量等。
我们需要根据具体情况确定决策变量，并给出其取值的范围。
然后，我们需要建立约束条件。
约束条件反映了在生产调度问题中各种资源的限制。
比如，生产量必须大于等于需求量，生产时间必须在一定的范围内，员工数量必须满足一定的条件等。
我们需要根据实际情况，分析各种资源的限制，建立相应的约束条件。
接下来，我们可以根据确定的目标函数、决策变量和约束条件建立线性规划模型。
线性规划模型通常包括目标函数和约束条件两个部分。
目标函数是一个代数表达式，表示所需要最大化或最小化的目标。
它由决策变量的系数和常数项组成。
我们需要根据具体情况构建目标函数，并确定各个决策变量的系数和常数项。
约束条件是一组等式或不等式，限制决策变量的取值范围。
约束条件通常由各种资源的限制组成，需要根据实际情况确定。
我们需要将各个约束条件转化为线性等式或不等式，并确定各个决策变量的系数和常数项。
完成线性规划模型的建立后，我们可以使用线性规划求解方法求解模型，得到最优的生产调度方案。
常见的线性规划求解方法包括单纯形法、内点法等。
我们需要选择适合问题的求解方法，并编程实现求解算法。
优化模型下的路线规划问题解决方案
优化模型下的路线规划问题解决方案在优化模型下的路线规划问题中，我们面临着如何寻找最优解的挑战。
为了解决这个问题，我们可以采用以下几种方案进行优化。
1. 基于贪婪算法贪婪算法是一种简单而有效的启发式算法，它通过每一步选择最优的局部解来逐步求取整体最优解。
在路线规划问题中，我们可以从起点开始，每次选择距离当前位置最近的下一个位置作为下一步的目标。
这种算法简单高效，但不能保证求得最优解。
2. 基于动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题并存储每个子问题的解来求解最优解的方法。
在路线规划问题中，我们可以使用动态规划来计算最短路径。
我们将整个路线划分为多个子问题，每个子问题代表从起点到某个位置的路径。
通过逐步计算每个子问题的最优解，并将结果存储起来，最终得到整个路径的最优解。
3. 基于遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
在路线规划问题中，我们可以将每个可能的路径表示为一个个体，通过模拟交叉、变异和选择等基因操作来不断进化优秀的个体。
通过迭代进化过程，我们可以找到适应度最高的个体，即为最优解。
4. 基于模拟退火算法模拟退火算法是一种模拟固体物质退火过程的优化算法，通过接受状态下降的概率来避免陷入局部最优解。
在路线规划问题中，我们可以将每个可能的路径看作系统的一个状态，通过模拟温度的降低过程来寻找整个系统状态下的最优解。
通过随机选择解并根据一定的概率条件接受新解，我们可以逐步收敛到最优解。
5. 基于禁忌搜索算法禁忌搜索算法是一种通过规定一定的禁忌条件来避免搜索过程中陷入局部最优解的优化算法。
在路线规划问题中，我们可以将每个可能的路径看作搜索空间的一个解，通过定义禁忌表和禁忌长度等禁忌条件来确保搜索过程能够尽可能跳出局部最优解，并最终找到全局最优解。
6. 基于人工智能算法人工智能算法（如神经网络）可以通过学习历史数据，发现隐藏在数据中的规律，并在未知输入上进行预测。
在路线规划问题中，我们可以利用人工神经网络来学习历史路径数据，并预测出最优路径。
城市规划课题决策模型与方法构建与优化
城市规划课题决策模型与方法构建与优化引言：城市规划是实现城市可持续发展的重要手段，它涉及到城市环境、人口流动、土地利用等多个方面。
为了有效地进行城市规划，我们需要建立科学合理的决策模型与方法，以辅助决策者进行决策，并对其进行优化。
本文将针对城市规划课题，探讨建立与优化相应的决策模型与方法。
一、决策模型构建1. 系统动态模型城市规划涉及到多个变量和相互关联的因素，因此可以借鉴系统动力学的思想，建立相应的系统动态模型。
这样的模型可以考虑城市规划的长期效应，将各种因素的变化与城市发展的关系相联系，帮助决策者预测未来的城市发展趋势。
2. 多目标规划模型城市规划需要权衡多个目标，包括经济发展、环境保护、社会福利等方面。
因此，可以采用多目标规划模型来帮助决策者在不同目标之间进行权衡和取舍。
这样的模型可以将不同目标量化为指标，通过权重的设定，计算得到最优解。
3. 层次分析模型城市规划涉及到的决策问题通常是复杂的，有多个层次和多个因素。
为了解决这种复杂性，可以采用层次分析模型。
这样的模型可以将决策问题分解为层次结构，通过对不同层次的因素进行比较和评估，最终得出决策结果。
二、决策方法构建1. 数据收集与分析城市规划的决策需要大量的数据支持。
决策者可以通过多种渠道收集相关数据，包括统计局、环保局、土地管理部门等。
收集的数据应包括城市发展的各个方面的信息，如人口统计、交通状况、环境监测等。
通过对收集到的数据进行分析和整理，可以为决策提供科学依据。
2. 专家意见征询城市规划的决策需要综合考虑多个因素和利益相关方的意见。
因此，决策者可以邀请相关领域的专家进行意见征询。
专家可以提供对不同方案的评价和建议，帮助决策者理清思路，找到最优的解决方案。
3. 情景分析和模拟城市规划的决策通常涉及到不确定性和多样性的因素。
因此，可以采用情景分析和模拟的方法来考虑不同情况下的决策结果。
通过建立模拟模型和设定不同的情景，可以评估不同决策方案在不同条件下的效果，帮助决策者选择最合适的方案。
优化问题与规划问题
正则模型:
决策变量: x1,x2,…,xn. 目标函数: Z=c1x1+c2x2+…+cnxn.
约束条件: a11x1+…+a1nxn≤b1,
……
am1x1+…+amnxn≤bm,
第十八页，编辑于星期六：十五点 五十九分。
• 模型的标准化
• 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束
c1(x)≤0, c2(x)=0
•
LB ≤x ≤UB
• MATLAB 程序
•
[x,z]=fmincon(fun,x0,A1,b,A2,b2,LB,UB,n onlcon）
第三十四页，编辑于星期六：十五点 五十九分。
用随机搜索算法确定初始点： 在可行域[0.5,8.75][0.75,7.75]内简单地选 取n个随机的的点， 计算目标函数在这些点的值，选择其中最 小的点即可。 然后，可采用Matlab求最值点程序求出精 确的最小值点: 求函数fun在x0点附近的最 小值点
i １ ２ ３ ４５ ６
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d3
5
4
7 6 11
建两个日储量e为20吨的料场，需要确定料场位置 (xj,yj)和运量cij ，使总吨公里数最小。
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26
min
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表1 行车时间
距离 1.22 3.48 5.10 3.39 4.13 1.75 2.95 1.30 0.76 2.52 1.66 1.84 时间 2.62 8.35 6.44 3.51 6.52 2.46 5.02 1.73 1.14 4.56 2.90 3.19 距离 3.19 4.11 3.09 4.96 1.64 3.23 3.07 4.26 4.40 2.42 2.96 时间 4.26 7.00 5.49 7.64 3.09 3.88 5.49 6.82 5.53 4.30 3.55
数学模型与优化问题求解方法
数学模型与优化问题求解方法数学模型在现代科学和工程中扮演着至关重要的角色。
它们是描述和解决现实世界中各种问题的一种工具，而优化问题则是数学模型中常见且关键的一类问题。
本文将介绍数学模型与优化问题求解方法的基本概念和应用。
一、数学模型的定义和构建数学模型是对现实世界中的问题进行抽象和描述，以数学语言和符号表示出来的模型。
构建数学模型的过程主要包括以下几个步骤：1.问题定义：明确定义具体的问题，并确定问题的目标和约束条件。
2.变量和参数的选择：确定模型中需要考虑的变量和参数，并进行恰当的量化。
3.建立数学关系：根据问题的特点和目标，建立合适的数学关系式，描述变量之间的相互作用。
4.模型求解：利用数学方法和工具解决建立的数学模型，得到问题的解。
二、数学模型的应用领域数学模型广泛应用于各个领域，包括运筹学、管理科学、经济学、物理学、工程学等。
下面以运筹学为例，介绍数学模型在优化问题中的应用。
1.线性规划模型：线性规划是一种常见的数学模型和优化问题求解方法。
它主要用于在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划模型被广泛应用于生产调度、资源分配等问题的求解中。
2.整数规划模型：整数规划是线性规划的扩展，它要求变量取整数值。
整数规划模型常用于需要进行决策选择的问题，如旅行商问题、装箱问题等。
3.非线性规划模型：非线性规划是一类目标函数或约束条件为非线性函数的优化问题。
它在工程设计、经济学、生物医学等领域有广泛应用，如优化管道网络、最小化成本或最大化效益等。
三、优化问题求解方法优化问题的求解方法依赖于问题的特点和模型的形式。
以下介绍几种常用的求解方法：1.穷举法：穷举法是一种简单直观的求解方法。
它通过列举所有可能的解，然后逐个对比求出最优解。
虽然穷举法在计算量上有一定缺陷，但对于规模较小的问题，是一种可行的方法。
2.贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它通过局部最优选择的策略，逐步构建最终的解。
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§3.6 优化问题与规划模型与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。
解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。
运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。
6.1 线性规划1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论.1. 问题例1 作物种植安排一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标.1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x1亩、 x2亩、 x3亩2. 优化什么？产值最大 max f=10x1+75x2+60x33. 限制条件？田地总量 x1+x2+x3≤ 50 劳力总数 1/2x1+1/3x2+1/4x3≤ 20模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩，求目标函数f=110x1+75x2+60x3在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值规划问题：求目标函数在约束条件下的最值,规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。
当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。
2. 线性规划问题求解方法称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,称使目标函数达最值的可行解为最优解.命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集.因为可行解集由线性不等式组的解构成。
两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。
命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到.图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。
命题3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。
于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。
单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解.正则模型:决策变量: x1,x2,…,x n. 目标函数: Z=c1x1+c2x2+…+c n x n.约束条件: a11x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m,模型的标准化10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束.若有 a i1x1+…+a in x n≤b i, 则引入 x n+i≥ 0, 使得 a i1x1+…+a in x n+ x n+i =b i若有 a j1x1+…+a jn x n≥b j, 则引入 x n+j≥ 0, 使得 a j1x1+…+a jn x n- x n+j =b j.且有 Z=c1x1+c2x2+…+c n x n+0x n+1+…+0x n+m.20. 将目标函数的优化变为目标函数的极大化. 若求 min Z, 令 Z’=–Z, 则问题变为 max Z’ .30. 引入人工变量,使得所有变量均为非负. 若 x i没有非负的条件,则引入 x i’≥ 0 和 x i’’≥0, 令 x i= x i’– x i’’, 则可使得问题的全部变量均非负.标准化模型求变量 x1, x2,…, x n,max Z = c1x1+…+ c n x n,s. t. a11x1+…+ a1n x n= b1,……a m1x1+…+ a mn x n=b m,x1 ≥0,…, x n ≥0,定义: 若代数方程AX=B的解向量有n-m个分量为零, 其余m个分量对应A的m个线性无关列, 则称该解向量为方程组的一个基本解.在一个线性规划问题中, 如果一个可行解也是约束方程组的基本解, 则称之为基本可行解.命题 4 一个向量 x 是线性规划问题可行解集的一个极点, 当且仅当它是约束方程的一个基本可行解。
于是寻找取得极值的凸集极点的几何问题变成了求代数方程基本解的问题，形成了解优化问题的单纯形方法，改进单纯形方法等。
按这些计算方法编制程序，产生了专门解优化问题的软件Lindo、Lingo 。
用Matlab求解：标准的线性规划的模型：min f=c T xs.t. Ax ≤ bA1x=b1LB ≤ x ≤ UBMatlab求解程序: [x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)还有软件Excel 也可应用于解优化问题。
3 对偶问题例1 作物种植安排一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.分析：以最经济的投入达到收益最大的目标.（或者说以直接出售土地和劳动力的方式达到收益最大的目标.）1 求什么？土地成本价格 y1 劳动力成本价格 y22. 优化什么？成本价格最低 Min g=50y1+20y23. 限制条件？蔬菜的市场价 y1+1/2y2 ≥110棉花的市场价 y1+1/3y2≥ 75水稻的市场价 y1+1/4y2≥60模型II .设决策变量: 对单位土地和对单位劳力投入成本价格分别为y1y2求目标函数g=50y1+20y2在约束条件y1+1/2y2 ≥110 y1+1/3y2≥ 75 y1+1/4y2≥60 下的最小值.设A 是m ⨯ n 矩阵，c 是n ⨯ 1向量，b 是m ⨯ 1向量x是n ⨯ 1向量, y是1 ⨯m 向量问题: max f=c T x s.t. Ax ≤ b x i≥0, i=1,2,⋯,n.对偶问题: min f=yb s.t. yA ≥ c y i≥0, i=1,2,⋯,m.对偶定理: 互为对偶的两个线性规划问题, 若其中一个有有穷的最优解, 则另一个也有有穷的最优解, 且最优值相等. 若两者之一有无界的最优解, 则另一个没有可行解模型I II构成对偶问题.模型I 解得最优解(optimun solution) X opt=(30 0 20), 最大值f(x opt)=4500模型II 解得最优解y opt=(10 200), 最小值g(y opt)=4500.模型I 给出了生产中的资源最优分配方案模型II 给出了生产中资源的最低估价.进一步问：如果增加对土地和劳动力的投入，每种资源的单位投入增加会带来多少产值？由最优解 y=(10,200) 可见, 多耕一亩地增加10元收入，多一个劳动力增加200元收入。
也就是说, 此时一个劳动力的估价为200元,而一亩土地估价为10元.这种价格涉及到资源的有效利用, 它不是市场价格, 而是根据资源在生产中做出的贡献确定的估价, 被称为“影子价格”.再进一步问，棉花价格提高到多少才值的生产？由 y1+1/3y2=10+200/3=76.6>75, （而其它两个约束条件是等式）可见，只有当棉花价格提高到 76.6元时才值得生产.4 灵敏度分析当线性规划问题中的常数发生变化(由于测量误差或具有多个取值可能)时, 最优解是否会随之变化?通常假定变化的常数是某参数的线性函数.讨论参数取值与最优解的关系的问题, 被称为参数线性规划.例如, 当农作物的价格发生变化时, 生产计划是否应马上随之改变? 参见线性规划书籍将实际问题归结为线性规划模型是一个探索创造的过程。
线性规划模型的求解仍是计算数学的一个难题。
例2 供货问题一家公司生产某种商品. 现有n 个客户, 第 j 个客户需要货物量至少为 b j, 可在m 各不同地点设厂供货. 在地区 i 设厂的费用为 d i , 供货能力为 h i ,向第 j 个客户供应单位数量的货物费用为 c ij. 如何设厂与供货使总费用最小.模型：设决策变量：x ij为在地区i 向第j 个客户供货数量, 在地区i 设厂，记y i =1 , 否则记y i =0求目标函数f= ∑i (∑j c ij x ij + y i d i )在约束条件∑i x ij =b j, ∑j x ij -h i y i ≤0, x ij≥0, y i ∈{0，1} 下的最小值例3 钢材截短有一批钢材, 每根长7.3米. 现需做100套短钢材. 每套包括长2.9米, 2.1米,1.5米的各一根. 至少用掉多少根钢材才能满足需要, 并使得用料最省.分析：可能的截法和余料第1种7.3-(2.9×2+1.5)=0第2种7.3-(2.9+2.1 ×2)=0.2第3种7.3-(2.9+1.5 ×2)=1.4第4种7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8第5种7.3-(2.1 ×2+1.5 ×2)=0.1第6种7.3-(2.1 ×3)=1第7种7.3-(2.1+1.5 ×3)=0.7第8种7.3-(1.5 ×4)=1.3模型：设决策变量：按第i种方法截x i根钢材。
求目标函数f=0.2x2+1.4x3+0.8x4+0.1x5+x6+0.7x7+1.3x8在约束条件2x1+x2+x3+x4=100 2x2+x4+2x5+3x6+x7=100 x1+2x3+x4+2x5+3x7+4x8=100 x i≥0 , i=1,…,8 下的最小值用Matlab程序解得x opt=(40, 20, 0, 0, 30, 0, 0, 0) , f (x opt )= 7（实际上应要求x i 为正整数。
这是一个整数规划问题）。
6.2 整数规划如果要求决策变量取整数, 或部分取整数的线性规划问题, 称为整数规划.例4 . 飞船装载问题设有n种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令c j>0表示每件第j 类仪器的科学价值;a j >0表示每件第j 类仪器的重量. 每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数. 飞船总载荷不得超过数 b. 设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大.建模记x j为第j 类仪器的装载数.求目标函数f= ∑j c j x j在约束条件∑j a j x j≤ b, x j 为正整数, 下的最大值.用分枝定界法求解整数规划问题基本思想:反复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题, 且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.例:求目标函数f=3x1+2x2在约束条件: 2x1+3x2 ≤14, 2x1+x 2 ≤ 9, x1 x 2为自然数下的最大值. 用Lindo软件求解整数规划max 3x1+2x2s.t.2x1+3x2<=142x1+x2<=9endgin x1gin x2(或者用gin 2 代替gin x1 gin x2)6.3 0-1规划如果要求决策变量只取0 或1的线性规划问题, 称为0-1规划.0-1 约束不一定是由变量的性质决定的, 更多地是由于逻辑关系引进问题的例5 背包问题一个旅行者的背包最多只能装6 kg 物品. 现有4 件物品的重量和价值分别为2 kg , 3 kg, 3 kg, 4 kg, 1 元, 1.2元, 0.9元, 1.1元. 应携带那些物品使得携带物品的价值最大?建模: 记x j为旅行者携带第j 件物品的件数, 取值只能为0 或1.求目标函数f=x 1 +1.2x 2 +0.9x 3 +1.1x 4 在约束条件2x 1 +3x 2 +3x 3 +4x 4≤ 6下的最大值.用Lingo 软件求解0-1规划Model:Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6;@int(x1);@int(x2);@int(x3);@int(x4);end例 6 集合覆盖问题实际问题1 某企业有5种产品要存放, 有些不能存放在一起, 有些能存放在一起的, 由于组合不同所需费用不同. 求费用最低的储存方案.实际问题 2 某航空公司在不同城市之间开辟了 5 条航线, 一个航班可以飞不同的航线组合, 不同组合成本不同, 求开通所有航线且总费用最小的方案.抽象为集合覆盖问题：设集合S={1,2,3,4,5} 有一个子集类φ={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}其中每一个元素对应一个数c j , 称为该元素的费用. 选φ的一个子集使其覆盖S , 且总费用最低.即实际问题1中5种产品能存放在一起的各种组合为φ={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}第 i 种组合的存储费用为 c j ,求这五种产品费用最低的储存方案。