数学专项练习2(理)

高三“一诊”数学专项练习（2）— 集合及选修内容（理科）
姓名： 命题人：许明勇
1．已知复数,z a bi =+且满足
2
,(1)
a i
b i z i +=++是z 的共轭复数，则z ＝（ ） （A ）122i --
（B ）122i -+ （C ）132i -+ （D ）132
i -- 2．＂函数()f x 在点0x x =处有定义＂是＂函数()f x 在点0x x =处有极限＂的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
3．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） （A ）若函数()f x 在0x x =处连续，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→= （B
）1
12
x →=
（C ）函数2
2
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- （D ）若函数()f x ，()g x 满足lim (()())0x f x g x →+∞
-=，则lim ()lim ()x x f x g x →+∞
→+∞
= 4．设随机变量ξ服从正态分布2(3,2)N ,若(24)P a ξ<<=,则下列选项表示的概率为2
a
的是( ) （A ）12(2)P ξ-< （B ）
12(4)2P ξ-> （C ）(02)P ξ<< （D ）1
(2)2
P ξ+<
5．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1
(1)1
lim (1)1
p n q n
n
→∞+-+-=（ ） （A ）0 （B ）p q （C ）1 （D ）11
p q --
6
．设复数12,z i z i ==在复平面内对应的点分别为A, B ，且O 为坐标原点，则AOB S ∆= 7．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米） 数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知
a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人 参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人 数应为 。

8．设2
{0,1,2,3},{|0}U A x U x mx ==∈+=，若{1,2}U C A ⊆，则实数m ＝
9．设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；
③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
10．已知在4支不同编号的枪中有3支已经试射校正过，1支未经试射校正。

某射手若使用其中校正过的
枪，每射击一次击中目标的概率为
45；若使用其中未校正的枪，每射击一次击中目标的概率为15
，假定每次射击是否击中目标相互之间没有影响。

（1）若该射手用这3支已经校正过的枪各射击一次，求目标被击中的次数为奇数的概率；
（2）若该射手用这4支枪各射击一次，设目标被击中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

11．已知集合22{|320},{|20,}A x x x B x x ax a a R =-+≤=-+≤∈，若B A ⊆，求a 的取值范围。

12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*11(3),3,n n n a a a a S n N +=>=+∈。

（1）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若23log 13n n b c a =+-，证明：对任意的*n N ∈
，不等式12
11
1
(1)(1)(1)n
c c c +++
>
高三“一诊”数学专项练习（2）参考答案（理科）
1．A 2．D 3．D （提示：lim (),lim ()x x f x g x →+∞
→+∞
可以不存在，比如：当2()()f x g x x ==时，
l i m (()())0x f x g x →+∞
-=，但lim (),lim ()x x f x g x →+∞
→+∞
都不存在）
4．B （提示：利用图象的对称性可知：1(23)(34)(24)22
a
P P P ξξξ<<=<<=
<<=，又因为 1(3)(3)2P P ξξ<=>=
，所以11
(4)(2)222
a P P ξξ=->=-<） 5．B （提示：法一，可以利用洛必达法则；法二，利用二项式定理展开，
原式=122122
122
122
1111111()()1()()
lim
lim
1111111()()1()()
p p p p
p
p p p
p p n n q q q q q q q q q q C C C C C C n n n n n n C C
C C C C n n
n n n
n
→∞→∞++++-+++=+++
+-++
+ 21121
1
11()()
lim
()()
p p p p n q q q q p C C p n n q q C C n
n
-→∞-++
+==++
+） 6 7．0.03，３， ８．－３（提示：集合A 可能有1个元素，或2个元素，从而U C A 有2个元素或三个元素，又
{1,2}{1,2}{0,3}3U U C A C A A m ⊆⇒=⇒=⇒=-）
９．①② （提示：因为整数作加减乘运算后仍为整数，所以①正确； 令x y S =∈，则0x y S -=∈，
所以②正确； 若{0}S =，则S 为封闭集，所以③错； 令S Z S =⇒为封闭集，但{}T Z i C
=⊆不是封闭集，所以④错）
10．（１）记＂该射手击中目标次数为奇数＂为事件A, 则1
1
23
3
334
1476()()()()5
5
5
125
P A C C =⨯+= （２）ξ可能的取值为０，１，２，３，４
033144(0)()55625P C ξ==⨯=， 11203
334141149(1)()()()55555625P C C ξ==⨯⨯+⨯=
221233414411204(2)()()555555625P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=，3322
3344411304(3)()()55555625
P C C ξ==⨯+⨯⨯=
33
34164(4)()P C ξ==⨯=， 从而ξ的分布列为：
所以：012346256256256256255
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
11．[1,2]A =，（１）当B =∅时，2440(0,1)a a a ∆=-<⇒∈
（２）当B ≠∅时，设方程2
20x ax a -+=的两根分别为12,,x x 且12x x ≤
因为B A ⊆，所以1212x x ≤≤≤，设函数2()2f x x ax a -+，由根的分布可知
2440
(1)1201(2)4402122
a a f a a a f a a a ⎧∆=-≥⎪
=-+≥⎪⎪
⇒=⎨=-+≥⎪
⎪≤≤⎪⎩； 综上：a 的取值范围为(0,1]．
12．（1）因为11n n n a S S ++=-， 所以13n n n n S S S +-=+
（分析：题中给了台阶3n n n b S =-,因此要想办法构造出1,n n b b +的递推关系） 从而有：11132(3)2n n n n n n S S b b +++-=-⇒=，即{}n b 是以公比为2的等比数列 所以：11112(3)2(3)2n n n n b b S a --==-=-
（2）由（1）知：1
2
(3)23log 1323
n n a c n a --=+=--
即证明：111
(1)(1)
(1)14
32
n +++
>-，下面用归纳法证明。

① 当n=1时，左边=2，右边
2>⇒不等式成立；
② 假设当n=k 时，不等式成立，即：111
(1)(1)(1)1
4
32
k +++
>- 则当n=k+1时，右边
左边=11111
(1)(1)
(1)(1)
(1)1
4
323131k k k +++
+>+-++ 1
(1)31
k +
>+ 要证明上面不等式，只需证明：3
1(31)(1)3(1)131
k k k +⋅+
>+++ 即证：3
32(31)(
)3431
k k k k ++⋅>++， 即证：32(32)(34)(31)k k k +>++ 即证：3232
27543682754
274k k k
k k k +++>+++， 即证：940k +>
因为*
k N ∈
1
(1)31
k +
>+成立 所以1111
(1)(1)
(1)(1)14
3231
k k +++
+>-+ 即当n=k+1时，原不等式也成立，所以对所有的*
n N ∈，原不等式成立。