Ch2_5样条插值

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样条曲面插值

样条曲面插值

样条曲面插值
样条曲面插值是一种数学方法,用于从离散的点集构建平滑的曲面。

这些点通常表示在二维或三维空间中的位置,而样条曲面则用于近似这些点并创建一个连续的曲面。

插值是指根据已知的离散数据点来推断出其他位置上的数值。

样条曲面插值的目标是通过一个连续且光滑的曲面,最好地逼近这些离散数据点。

常见的样条曲面插值方法包括:
1. 双三次插值样条曲面(Bicubic Interpolation):这种方法使用双三次样条插值来创建一个连续的曲面,它在每个方向上都使用三次多项式来逼近数据点。

2. Bezier曲面:Bezier曲面是由Bezier曲线推广而来的,它利用多个Bezier曲线的控制点来构建曲面。

3. B样条曲面(B-spline Surface):B样条曲面使用多个B样条来构建曲面,这些B样条由节点序列和控制点确定。

4. 样条插值基础上的曲面拟合:在这种方法中,通过使用已知数据点,先进行样条插值以获得一个曲面网络,然后利用这个网络进行曲面拟合。

这些方法都有其独特的优势和适用场景,但都旨在从离散的点集构建出平滑、连续的曲面,使得对数据的预测和分析更加准确和可靠。

五种插值法的对比研究

五种插值法的对比研究

学号:2013大学毕业论文五种插值法的对比研究A Comparative Study of Five Interpolation Methods学院: 理学院教学系:数学系专业班级: 信息与计算科学专业1301学生:指导教师: 讲师2017年6月7日目录容摘要...............................................................I Abstract.................................................................II 1 导言................................................................. 1 1.1 选题背景................................................. 11.2 研究的目的和意义................................................. 22 五种插值法.................................................3 2.1 拉格朗日插值................................................. 3 2.2 牛顿插值.................................................4 2.3 分段线性插值................................................. 4 2.4 分段三次Hermite插值................................................. 52.5 样条插值................................................. 53 五种插值法的对比研究................................................. 6 3.1 五种插值法的解题分析比较............................................. 63.2 五种插值法的实际应用.................................................154 结语.................................................20 参考文献...............................................................21 致...................................................................22容摘要:插值法是数值分析中最基本的方法之一。

样条插值

样条插值
数值分析
作业
• 教材第146页习题:20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定:
(1)n+1个插值节点条件,即s3(xk)=f(xk)=yk; (2)两个边界条件!
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
(2)三转角方 (3)基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B(皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier))样条
数值分析
样条函数插值
定义:记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式,并规定
• • • • • 一元函数插值(一元Lagrange插值) 二元函数插值(二元Lagrange插值) Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值,收敛性好,但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数,引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计:给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样,整个曲线不仅通过样点,并且在整个区间上其一阶 导数,二阶导数是连续的。

单片机样条插值算法

单片机样条插值算法

样条插值是一种数学方法,用于在给定的数据点之间创建光滑的曲线或曲面。

在单片机应用中,样条插值算法可以用于优化数据处理和算法执行。

下面是一个简单的单片机样条插值算法的介绍。

1. 算法概述样条插值算法是一种基于样条函数(Smooth Piecewise Functions)的插值方法。

它通过拟合一组数据点之间的曲线,生成一条光滑的曲线,以优化数据插补和算法执行。

样条插值算法通常用于计算机图形学、数值分析和工程应用等领域。

2. 单片机实现在单片机上实现样条插值算法需要考虑到实时性、内存和计算资源等因素。

常用的单片机如8051、PIC、AVR等都可以实现样条插值算法。

具体的实现步骤如下:(1) 输入数据:首先需要将需要插值的点输入到单片机中,包括每个点的x、y坐标和对应的数值。

(2) 建立样条基函数:根据输入的数据点,选择合适的样条基函数,如三次B样条函数等。

根据每个数据点,生成相应的样条基函数。

(3) 插值计算:根据样条基函数,在每个数据点之间进行插值计算,生成一条光滑的曲线。

这个过程可以通过简单的数学运算实现。

(4) 结果输出:将生成的曲线输出到需要的地方,如显示屏、控制输出等。

3. 优缺点样条插值算法具有以下优点:(1) 插值结果光滑,适用于需要平滑曲线的场合。

(2) 可以处理多个数据点,适用于复杂的数据插补和算法优化。

(3) 适用于实时性要求较高的场合,如工业控制、机器人等。

然而,样条插值算法也有一些缺点:(1) 计算量较大,需要较多的计算资源和时间。

(2) 对于非线性问题,样条插值可能不够精确,需要选择合适的基函数和插值方法。

(3) 对于大规模数据集,样条插值可能会占用较多的内存和存储空间。

综上所述,样条插值算法在单片机应用中具有广泛的应用前景,但需要根据具体的应用场景和资源条件进行选择和优化。

样条插值

样条插值

M j 1
j 1

, j 1, , n 1,
jM
其中
j
2M
jM
d j, ,d
j
j 1, , n 1, 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ].

h j 1 h j 1 h j
, j
hj h j 1 h j
解:这里 n 2,区间 [ 1,1]分为 [ 1,], ,]两个子区间 0 [0 1 S (x) a x 3 b x 2 c x d , x [ 1, 0 ] 0 0 0 0 0 并设: S ( x ) 3 2 S 1 ( x ) a 1 x b1 x c 1 x d 1 , x [ 0 ,1] S 0 ( 1 ) 1, S 0 ( 0 ) 0 : S 1 ( 0 ) 0 , S 1 (1) 1 a 0 b0 c 0 1 d 0 0 可得: d1 0 a b c 1 1 1 1
hj 6
M j
hj 3
M j 1
y j 1 y j hj
,
h j 1 6
M j 1 M j
j
h j 1 3 hj 6
M j
y j y j 1 h j 1 y j y j 1 h j 1
. y j 1 y j hj
h j 1 h j 3
j 1
S ( xi 0) S ( xi 0) S ( x i 0 ) S ( x i 0 ) S ( x 0 ) S ( x 0 ) i i
i 1, 2 , , n 1
共有3(n1)个条件。因此,要确定一个三次样条函数,还需要另 增加4n3(n1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条 插值。例如 分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0<x1<… < xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n),求插值函数S (x)使其满足:

样条函数及三次样条插值PPT课件

样条函数及三次样条插值PPT课件

(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后,介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数,
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(

样条函数插值

样条函数插值

样条函数插值样条函数插值,是在有限的几何点中求出一组平滑函数,可以精确的贴近原来的数据的过程。

样条函数插值最早是在19世纪末由V. Schoenberg提出的,用于在复合空间中进行自由流体动力学和扩散模拟的数值方法,随着被提出的时间的推移,样条函数插值得到了不断的发展,现如今被广泛的用于数据拟合、函数拟合、仿射变换、几何曲线建模、机器学习等应用上。

样条函数插值法,通常指用于数据拟合的办法。

它是将原先的数据点(插值点)集合连接,形成一系列的平滑曲线,然后在这些曲线上根据每一条曲线规律生成具有明确调整参数的单个函数,即样条曲线函数,该函数可用来表示插值点集合中每一处点,从而可以实现数据拟合。

使用样条函数插值拟合数据的不同之处,就在于样条函数插值拟合完成初始数据可以尽可能的扩展,边界地带可以沿着给定点扩展,此外,它也有良好的几何特性,可以连续变化,具有一定的多参数优化能力,确定多参数的优化问题的逼近度,确定拟合的参数等强大的能力,使其能更有效的完成拟合。

此外,样条函数拟合的原理可以用简单的几何形式来描述,即将整个空间中的点分为三种不同的情况。

将首尾的点假定为特定参考点,而中间的点连接成一个平滑曲线,内部每一条曲线段以某种最小二乘拟合方式来生成具体的样条曲线,每条曲线段有两个参数,斜率和曲线弧度。

并且根据参数调整,可以使得这条曲线会拟合出原始数据点集中最佳的接近度,同时这条曲线也可以优化在给定参数范围内的定义域内的曲线,以使得样条函数拟合所得结果最接近数据集的原始值。

样条函数拟合的技术广泛应用于数据拟合、函数拟合、图像处理等领域,比如计算机视觉领域中可以应用于精细分割,几何形状拟合,曲线和曲面建模等等。

样条函数拟合一般应用在缺少精确计算的情况下,比如波形拟合和几何图形拟合等情形,它具有在定义域内的精度可控性和多参数优化也很有用,这在曲面建模和机器学习上也有大的应用价值,证明其对普遍的函数估计有着不可忽略的作用。

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
§
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单,但都存 在插值曲线在节点处有尖点,不光滑,插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出: 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等,而且还要 求它的导数值也相等(即要求在节点上具有一阶光滑度), 甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特(Hermite)插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ,可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2

j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
(ii)由条件(1)可知,x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根,令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17

x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0

样条插值

样条插值
Pj k 1 Pj k 2 Pj 开始,经过 k-1 层割角,最
后得到P(t)上的点 Pj[ r 1] (t )
清华大学
计算机图形学
P
[1] j k 3
3] Pj[k 4 2] Pj[k 3
Pj[ k 1]
Pj[ 2 ] Pj[1]
Pj k 2
1] Pj[k 2
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3.3.3 de Boor 算法
• 欲计算B样条曲线上对应一点P(t),可以利用B样条曲 线方程,但是采用de Boor 算法,计算更加快捷。
– de Boor 算法的导出
P(t ) Pi N i ,k (t )
i 0 j n i j k 1
PN
i
j
i ,k
P(t ) Pj N (t )
1 j 0 1 j ,k
清华大学 计算机图形学
n 1
• Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式
Pj1 Pj , 1 Pj (1 j ) Pj 1 j Pj , P1 P , j 1 j
j
t tj t j k 1 t j
(t )
t ti ti k t Pi N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k ti 1 i j k 1 ti k 1 ti t ti ti k 1 t Pi Pi 1 N i ,k 1 (t ) ti k 1 ti i j k 1 ti k 1 ti
Riesenfield, Gordan, ...
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• 如何理解B-样条?

关于二元五次样条的插值与逼近

关于二元五次样条的插值与逼近

+
2
16
, 山。 a l s
= 25a
a 3
+
。6
1
+
40
1 3 3
1
+ 40
80 5 40
3
(M
2
)
一 25a

一 25a 一 25
社 2
(1 M 一 4 吻

s
a )一 25
l
一 一


一 50
3
3
一40 16t3 1 6t
3
,
2
,
一 50
5
一。1 一u
Z
+
1 , 1 6亡
一 50
1 2
)一
5a
13a
2
l
+
,
7a
a s
一 2 公 1 + 。 : 一 1 60 = s
a l a l
(M动 吻 ) z l 1 3 (M
+
3
,
7a
一 13 a + 5a 7
2 a s
公 1 一 2山 2 + 2山
,
1 6公 7 1
a 7
+ 公2
+ 曰3
3
,
一 13
a l:
3
+ =


20

=
+
a
,
。5
D S (A D S (A D S (A
Z
)
、 、 少 、 .
AZA
- - 净
I
,
。3 =
山5

样条插值法公式

样条插值法公式

样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。

咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。

想象一下,你正在做一个科学实验,测量了一些数据点,但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。

这时候,样条插值法就派上用场啦!先来说说什么是样条插值法。

简单来说,就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点,使得曲线不仅经过这些点,而且还很光滑。

样条插值法公式有很多种,比如三次样条插值公式。

咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。

假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ,并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。

对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ,我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。

为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ,我们需要满足一些条件。

首先,Sᵢ(xᵢ) = yᵢ,Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁,这保证了曲线经过给定的数据点。

然后,还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。

这一堆条件看起来很复杂,但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点,又光滑自然。

我记得有一次,我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。

实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。

但是由于测量设备的精度问题,得到的数据点并不是很连续。

我们就用样条插值法来填补这些空缺。

通过计算那些复杂的公式,一点点地确定系数,最终得到了一条非常漂亮的曲线,准确地反映了物体下落的规律。

那个学生当时眼睛都亮了,直说:“老师,这太神奇了!”在实际应用中,样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。

比如说,在图像处理中,对图像进行缩放或者变形时,就可以用样条插值来保持图像的质量。

总之,样条插值法公式虽然看起来有点吓人,但只要我们掌握了它的原理和方法,就能在很多情况下发挥大作用,解决那些让我们头疼的数据空缺问题。

样条曲线插值算法

样条曲线插值算法

样条曲线插值算法
样条曲线插值算法是一种数学方法,用于通过已知的数据点生成平滑的曲线。

它的基本思路是通过多项式函数拟合原始数据点,然后用这些函数来构建一条平滑曲线。

这种方法比传统的插值方法更具有稳定性和可靠性,能够更好地逼近原始数据,同时也能够避免插值产生的抖动和不稳定性问题。

样条曲线插值算法主要分为两种类型:自然样条曲线和非自然样条曲线。

自然样条曲线是通过对曲线的第一和第二阶导数进行限制来实现的,从而确保曲线在端点处足够平滑。

非自然样条曲线则不对导数进行限制,因此可以产生更加灵活的曲线形状。

在实际应用中,样条曲线插值算法被广泛用于图像处理、计算机辅助设计、物理建模等领域。

例如,在计算机辅助设计中,样条曲线可以用于生成平滑的曲面,从而提高产品的外观质量和设计效率。

在物理建模中,样条曲线也可以用于生成平滑的轨迹,从而提高机器人和自动车辆的控制精度和稳定性。

总的来说,样条曲线插值算法是一种非常有用的数学工具,可以帮助人们更好地理解和处理现实世界中的复杂数据。

- 1 -。

样条插值及应用研究

样条插值及应用研究

报告题目《样条插值及应用》研究学院:研究生学院专业:机械工程组号: 39成员:日期: 2012年12月31日《样条插值及应用》研究第一章 对象描述一.《样条插值及应用》的描述自上世纪60 年代以来, 由于航空造船等工程设计的需要, 发展了样条插值技术, 现在样条函数越来越流行, 它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支,而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。

它以各种方式应用到逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。

在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域,样条函数都被认为是一种有效的数学工具。

设)(x s 是定义在],[b a 上的函数,在],[b a 上有一个划分∆:b x x x a n =<<<= 10, (1.1)若)(x s 满足如下条件:(1) )(x s 在每区间],[1i i i x x I -=(n i ,,2,1 =)上是m 次多项式;(2)函数],[)(1b a C x s m -∈,即)(x s 在],[b a 上有1-m 阶连续导数.则称)(x s 是关于划分∆的一个m 次样条函数。

简单地说,样条函数就是由一些具有某些连续性条件的子区间上的分段多项式构成的。

若样条函数)(x s 还满足条件:(3)对给定的某函数在节点上的函数值),,1,0)((n i x f f i i ==,且 ),,2,1,0()(n i f x s i i ==, (1.2)则称)(x s 是)(x f 关于划分∆的一个m 次样条插值函数。

二.《样条插值及应用》的相关概念1.2.1插值法设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义,且已知在点b x x a n ≤≤≤≤ 0上的值),,1,0()(n i y x f i i ==,若存在一简单函数)(x ϕ,使得),,1,0()(n i y x i i ==ϕ (1.3)成立,就称)(x ϕ为)(x f 的插值函数,点),,1,0(n i x i =为插值节点,包括插值节点的区间],[b a 称为插值区间,求插值函数)(x ϕ的方法称为插值法。

样条插值

样条插值

样条插值 --------工程师的做法多项式插值虽有许多优点,但由于多项式“在一点的性质足以决定其整体性质”的特点,难以描述自然界“在不同的区域内的性状可以完全不相关”的大范围现象;另方面分段线性插值和分段Hermite 插值的光滑性不够(例如船体、飞机的外形曲线设计常需二阶可导)。

下面介绍的样条是一种分段多项式,各相邻段又具有某种连接性质,因而它既保持了多项式的简单性,又在各段保持了相对独立的局部性质。

定义:设给定一组节点∞=<<<<=∞-+110N N x x x x ,分段函数)x (s 满足:(1) 于每个区间]x ,x [j j 1+上)x (s 是一个次数不超过n 的实系数代数多项式; (2) )x (s 于),(∞-∞上具有1-n 阶导数。

则称)x (s 为),(∞-∞上n 次插值多项式。

对3=n ,便得三次样条插值,此时曲线)x (s 处处均有曲率---------这是工程的需要。

虽然可在每个子区间段设i i i i d x c x b x a )x (s +++=23来求)x (s 但我们还是愿意用以下简洁方法: 暂记)n ,i (x x h )n ,i (M )x (''s ,f )x (s ii i ii i i 1001-=-====+由于)x (s 在]x ,x [j j 1+上为三次多项式, 从而)x (''s 在]x ,x [j j 1+上应为一次多项式,故其插值形式为 iii i i ih x x M h x x M )x (''s -+-=++11 两次积分分别得:ii ii i i i iii i i i i i C x C h )x x (M h )x x (M )x (''s C h )x x (M h )x x (M )x ('s 213131121216622++-+-=+-+--=++++这里101-=≤≤+n ,i )x x x (i i ,i i i C ,C ,M 21为待定参数。

样条插值.ppt

样条插值.ppt

+mk 1hk 1 6
dk1
其中dk
yk1 hk
yk
而一阶导函数在xk点连续,即 sk ( xk ) sk1( xk )从而得
hk1mk1 2(hk1 hk )mk hk mk1 6(dk dk1 ) uk , k 1, 2,,n 1
h0m0 2(h0 h1 )m1 h1m2 u1
x xk
3
yk hk
mk hk 6
xk1 x
yk1 hk
mk 1 hk 6
x xk
表达式化为只含{mk}形式,再将xk点代入方可求出未 知{mk},求导
sk
(
x
)
mk 2hk
xk1 x
2 mk1 2hk
x xk
2
yk hk
mk hk 6
yk 1 hk
mk 1hk 6
有用。
hk1mk1 2(hk1 hk )mk hk mk1 uk
v1 h1
h1
v2
h2
m1 u1
m2
u2
OO O
M M
hn3
vn2
hn
2
mn
2
un2
hn2 vn1 mn1 un1
16
24
已知(0,0),(1,0.5),(2,2.0),(3,1.5), 求三
sk( x)
mk hk
xk1 x
mk1 hk
x xk
xk x xk1, k 0,1,L , n 1
将上次积分两次,引入两个积分常数,得如下形式
sk
(x)
mk 6hk
xk1 x
3 mk1 6hk
x xk 3 pk
xk1 x qk

17_YQJ_Ch5_3_2_4样条插值

17_YQJ_Ch5_3_2_4样条插值
是逐段的简单函数,且连接点保持足够光滑。但因三 次多项式计算简单,且能满足一般实际问题的要求, 故三次样条函数用得最多。
5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数
设区间 [a, b] 上的分划为 xi a ih (i 0,1, …, n), h (b a)/h . 由(5.29)知, 对应此划分的 s(x) 可表示为
解之, 有
c0 c2 2hf ' ( x0 ) cn 2 cn 2hf ' ( xn )
(5.40)
在方程组中消去 c0, cn+2 得到 n +1个变元的线性方程组。
4 2 c2 6 y0 2hf ' ( x0 ) 1 4 1 c 6 y1 3 6 yn 1 1 4 1 cn 2 4 cn 1 6 yn 2hf ' ( xn )

(m 0,1,2)
其中a0,a1,a2都是与 f 和 h 无关的常数。
注 理论上,只要求解4n阶线性代数方程组,
即可得sx在各个小区间上的表达式sjx的各个 系数。实际上,这种做法的工作量相当大,且 上述方程组一般是病态的。介绍一种计算工作
量小得多的切实可行的构造sx的方法。 注:样条函数不一定必须是逐段三次多项式,也可以
的,并且是数值稳定的,但其误差估计式与收 敛定理的证明都是较复杂的,只给出结论。
定理5.5 设 f(x)在区间[a,b]上有四阶连续导数,
s(x)是关于第一或第二种边界条件的三次样条
插值问题的解,记hi=xi-xi-1,h=maxhi, 则有
估计式:
f ( m) s ( m)

样条插值函数及应用

样条插值函数及应用

样条插值函数及应用摘要样条函数具有广泛的应用,是现代函数论的一个十分活跃的分支,是计算方法的主要基础和工具之一,由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要,人们便更多地应用这个工具,也更深刻的认识了它的本质。

在实际问题中所遇到许多函数往往很复杂,有些甚至是很难找到解析表达式的。

根据函数已有的数据来计算函数在一些新的点处的函数值,就是插值法所需要解决的问题。

插值法是数值逼近的重要方法之一,它是根据给定的自变量值和函数值,求取未知函数的近似值。

早在一千多年前,我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。

而在实际问题中,有许多插值函数的曲线要求具有较高的光滑性,在整个曲线中,曲线不但不能有拐点,而且曲率也不能有突变。

因此,对于插值函数必须二次连续可微且不变号 ,这就需要用到三次样条插值。

关键词三次样条函数;插值法目录引言 (1)第一章三次样条插值 (2)1.1 样条插值函数简介 (2)1.2 三次样条函数应用 (3)第二章AMCM91A 估计水塔水流量 (5)2.1 理论分析及计算 (6)2.2运用MATLAB软件计算 (9)参考文献 (14)引言样条函数具有广泛的应用,是现代函数论的一个十分活跃的分支,是计算方法的主要基础和工具之一,由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要,人们便更多地应用这个工具,也更深刻的认识了它的本质。

上世纪四十年代,在研究数据处理的问题中引出了样条函数,例如,在1946年Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数,直到五十年代,还多应用于统计数据的处理方面,从六十年代起,在航空、造船、汽车等行业中,开始大量采用样条函数。

在我国,从六十年代末开始,从船体数学放样到飞机外形设计,逐渐出现了一个使用样,逐渐出现了一个使用样条函数的热潮,并推广到数据处理的许多问题中。

在实际生活中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求,例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数,用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度,而且当节点逐渐加密时其函数值整体上能很好地逼近被插函数,相应的导数值也收敛于被插函数的导数值,不会发生“龙格现象”。

数值分析(15)样条插值

数值分析(15)样条插值

数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由(1)已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由(2)S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi? 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程(n 1个方程要解n 1个未知数)
(4)再由三转角方程 边界条件(补充两个方程) 封闭的方程组,可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
(2)构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件, 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 (1)yi'' f '' ( xi )未知,但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) (2)如能求出M i,则可由M i 和yi 构造S ( x ).

样条插值实验报告

样条插值实验报告

四、三次样条插值1.样条函数插值的原理给定区间[,]a b 上划分011:n n a x x x x b -∆=<<<<=,若分段函数()S x 满足: 1. ()S x 在各个子区间1[,]i i x x +,0,1,,1i n =-上均为x 的三次多项式;2. ()S x 在整个区间[,]a b 上有直至二阶的连续导数。

则称()S x 为[,]a b 上依次划分的三次样条函数,简称样条函数。

具体地有分段表达式:3200000132111112322222233211111,[,],[,](),[,](1),[,]n n n n n n a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x S x a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x -----⎧+++∈⎪+++∈⎪⎪=+++∈⎨⎪⎪⎪+++∈⎩共有4n 个参数,,,,0,1,,i i i i a b c d i n =,它们在内节点处满足00''00''''00()(),()(),1,2,, 1.(2)()(),i i i i i i S x S x S x S x i n S x S x -+---+=⎧⎪==-⎨⎪=⎩满足样条函数定义的函数集合称为分划∆上的三次样条函数空间,记为(3,)S ∆,可以证明(3,)S ∆为线性空间。

若()(3,)S x S ∈∆,且进一步满足插值条件()(),0,1,,(3)i i i S x y f x i n===其中i y 为节点i x 处的给定函数值(若被插函数()f x 已知,则用()i f x 代替之),则称()S x 为以011,,,,n n x x x x -为节点的三次样条函数。

其中式(3)插值节点提供了1n +个约束条件,加上式(2)的33n -个,合起来共有42n -个,欲求4n 个待定参数的唯一解,尚缺两个条件。

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1
2
1,
0, 10 13
3 13
1
,u
2

1 2
,u
3
1,
0
1

2

1 2
d
0
6 h
0
( f [ x , x ] f ) 46 . 666 , d 6 f [ x , x , x ] 4 . 00002
0 1 0 1 0 1 2
d 6 f [ x , x , x ] 2 . 70000
M
n 1
2M

若令
0 1, d 0
6 h0 ( f [ x 0 , x 1 ] f o ), n 1, d n
'
6 h
n 1
( f n f [ x n 1 , x n ])
'
那么三次样条方程可写成矩阵形式
2 1
S (x)
j (x) 、
j
[y
j0
n
j
j ( x ) m j j ( x )],
(x)
是由分段三次埃尔米特插值公式表示的插值基函数

下面我们利用
"
S (x)
的二阶导值
[x j , x
j 1
S ( x ) M j , ( j 0 ,1, 2 , , n ) 由 于 S ( x ) 在 区间
3
6 hk
Ak ( x x k ) B k
其中Ak、Bk为积分常数。根据插值条件
s( xk ) yk s ( x k 1 ) y k 1
M M
hk
k
2
6
Bk yk
2
hk
k 1
6
Ak hk B k y k 1
从而解出Ak和Bk,即
定义: 若函数
S (x) C
2
a , b 且在每一个小区间 [ x j , x j 1 ]
上是三次多项式,其中 a x 0 x 1 x n b 是给定节点,则称 S ( x ) 是节点 x 0 , x 1 , x n 上的三次样条函数。
若在节点
构造满足插值条件及相应边界条件的三次样条插值函数 S ( x ) 的表达式可能有多种方法 。 方法1:可以直接利用分段三次埃尔米特插,
只要假定
S ( x j ) m j , ( j 0 ,1, 2 , n )
'
再由插值条件 可得
S ( x j ) y j , ( j 0 ,1, 2 n )
j 1
3
M h j 1 6
2 j
6h M6h (yj(yh j 6
j
)
j 1
x)
j
h
j 1

x x ) h
j
j
可得书上的 分段表达式
[x j, x [x j, x [x j, x
]
上是三次多项式,故 S " ( x ) 在 [ x j , x j 1 ] 上是线性函数
x k 1 x
k
S ( x ) M
M
x xk
k 1
( *)
hk
hk
对 S ( x ) 积分两次并利用 S ( x ) y 及 S ( x j 1 ) y j 1 j j

2 1 2 3
d
3

6 h
2
( f f [ x , x ]) 17 . 4
3 2 3
1 2 M 0 46.66 3 / 13 2 10 / 13 M 1 4.000 M 2.700 1/ 2 2 1/ 2 2 M 1 2 3 17.40
y
j
x
j
上给定函数值 并成立
f ( x j )( j 0 ,1, 2 , 3 , n )
S ( x j ) y j , ( j 0 ,1, 2 n )
则称 S ( x )
为三次样条插值函数。
从定义知要求出 S ( x ) ,在每个小区间 [ x j , x j 1 ]上要 确定4个待定系数,共有n个小区间,故应确定 4n个参数。根据 S ( x ) 在[a,b]上二阶导数连续, 在节点 x j ( j 1, 2 , , n 处应满足连续性条件。 1)
M 0 23.53 M 1 0.395 M 0.830 2 M 9.115 3
代入表达式 S (x) M (x
j j 1
x)
j 2 j
3
M (x
(x x j )

y j 1 y j hj
j 1
S ( x ) 在区间 [ x j , x
j 1
] 上的值
S '( x j 0 )
hj 3
M
j

hj 6
M
j 1

y
j 1
y
j
hj
类似可以求出 在区间 从而得
S '(x 0) h j 1 6 M
[x
j 1
,xj]
上的表达式,
f (x) 是以
x n x为周期的周期函数时,则要求 0
S ( x )也是周期函数,这时边界条件应满足
S ( x0 0) S ( xn 0), S ( x0 0) S ( xn 0)
' '
S ( x0 0) S ( xn 0).
" "
这样确定的样条函数 S ( x ) 称为周期样条函数。
(1)已知两端的一阶导数值,即:
S ( x0 ) f 0 , S ( xn ) f n
' ' '
'
(2)两端的二阶导数已知,既
S ( x0 ) f0 , S ( xn ) f n
" " "
"
其特殊情况为 S " ( x0 ) S " ( xn ) 0 也称为自然边界条件 (3)当
0 1
f ( x ) f ( 29 ) 4 . 1, f ( x ) f ( 30 ) 3 . 0
2 3
试求三次样条函数 S ( x ) 使它满足边界条件
S ( 27 . 7 ) 3 . 0 , S ( 30 ) 4 . 0
解 :由前已知公式计算如下:
h
u
0
0 . 30 , h h
j 1
j
j 1
(
h j 1 h j hj

)
令 :j
h j 1 h j 1 h j
; j
hj h j 1 h j
; j 0 ,1 , n
dj
6 h j 1 h j
(
y j 1 y j hj

y j y j 1 h j 1
)6
f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j ] h j 1 h j
希望: 既想分段插值,又想在结点处保持光滑, 甚至二阶光滑——三次样条。 样条来源
2.7
三次样条插值
上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性,但 光滑性较差,对于像高速飞机的机翼形线,船体放洋 等型值线往往要求有二阶光滑度,即有二阶导数。 早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条用 压铁固定在样点上,在其他地方让它自由弯曲, 然后画下长条的曲线,称为样条曲线。 样条曲线实际上是由分段三次曲线拼接而成,在 连接点 即样点上要求二阶导数连续,从数学上加 以概括就得到数学样条这一概念。
Ak y k 1 y k hk hk
k 2

hk 6
(M
k 1
M
k
)
Bk yk M
6
S (x) M ( x k 1 x )
k 3
M
( x xk )
k 1
3
6 hk M h k 1 k 6
2
6 hk
( yk
M k hk 6
2
)
( x j 1 x ) hj
0
h
0
,u 1
n n 0
h h
n 1
n 1
h
0
d
n

f [x , x ] f [x
1
n 1
,x ]
n
h h
0
n 1

可以写成矩阵形式
2 u . . . . .

1
.
.
2
.
.
.
2
2 u
3

2 .

. .
3
. . . u . .
S ( x j 0) S ( x j 0)
S ( x j 0 ) S ( x j 0 )
S ( x j 0 ) S ( x j 0 )
共有3n-3个条件,再加上S ( x ) 满足插值条 件 S ( x j ) y j , ( j 0 ,1, 2 n ) ,共有4n-2个 条件,因此还需要2个条件才能确定 S ( x ) 。 通常可在区间[a,b]端点 a x 0 , b x n 上各加一个条件(称为边界条件),可根据 实际问题的要求给定。 常见的有以下3种:
"
可定出积分常数,于是得三次样条表达式
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