圆与圆的位马鞍山中加双语学校袁辉
安徽省马鞍山市银塘中学九年级数学下册《26.7圆与圆的位置关系(一)》教案 新人教版【教案】
126.7 圆与圆的位置关系知识与技能:由现实生活情境探索圆与圆的位置关系,了解并掌握圆与圆的位置关系,两圆半径的和差与圆心连线长之间的相互关系,掌握并能运用相交圆与相切圆性质.过程与方法:经历运动变化中的两圆之间位置关系的不同情况,渗透分类讨论的数学思想方法.情感态度与价值观: 通过对圆与圆的位置关系的探索,从感性认识上了解两圆之间不同的位置关系,从而从圆心距与两圆半径之间关系的理性认识上了解正确结论,培养合情推理能力,并能灵活运用所学知识. 重点与难点:正确理解并掌握两圆位置关系是本节的重点.相切两圆与相交两圆的性质．教学课时：２课时第一课时教学过程：一、新课引入：奥运的五环旗中，五个彩色圆环均为圆形，它们之间又有怎样的位置关系呢？二、新授：1、请学生观察课本P 43页的图，如果把月球与太阳都看作圆，说说平面内两圆间有几种不同的位置关系．2、请同学们用硬纸板剪两个圆，放在桌上做相对运动，可以看出平面上两圆之间有五种不同的位置关系。
3、类似与直线与圆的位置关系，圆与圆的位置又由什么数量关系来确定呢？（1）两圆外离：两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部。
（2）两圆外切：两圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的外部。
（3）两圆相交：两圆有两个公共点。
（4）两圆内切：两圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。
（5）两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。
内含内切相交外切两圆位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系有以下几种情况： 设两圆半径分别为R 与r （R ＞r ），圆心距为d,则：（１）两圆外离⇔d ﹥R+r ；（2）两圆外切⇔d=R+r ；（3）两圆相交⇔R+r ﹥d ﹥R －r ；（4）两圆内切⇔d=R-r；（5）两圆内含⇔d﹤R-r；以上两圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量关系既是两圆位置关系的判定又是它们的性质，即从左到右是由两圆的位置关系判定两圆半径与圆心距的数量关系，这是两圆位置关系的性质；从右到左是由两圆半径与圆心距的数量关系来判断两圆的位置关系，这是两圆位置关系的判定。
2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高一上学期第一次月考英语试题
2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高一上学期第一次月考英语试题Here come 4 most popular clubs in our school! Join us, and we will help you to find your own shining points, lead you to find beauty and to create beauty, and make your campus life as fulfilling and happy as a dream.Basketball ClubStudents will be able to develop their basketball skills further and have the opportunity to compete in basketball games with members from other international schools in Beijing. The club will be available to 10-16 members from grades 5 to 8, and will practice twice weekly.Yoga ClubYoga not only improves balance and flexibility, but also serves as a peaceful escape from the stress of daily life. Our students will have the chance to physically exercise while reducing some stress from their life. The club will be available to 10-16 members from grades 7 to 12, and will meet once weekly (Tuesday).Public Speaking ClubThe Public Speaking Club will be centered around the personal development of students along with developing public speaking skills. The club will be interested in focusing on all skills in delivering better speeches and improving communication skills. The club will be available to 10-12 members from grades 7 to 12, and will meet once weekly (Wednesday).Media ClubThe Media Club teaches students the basics of journalism. The club offers a wide range of activities like interviewing teachers and students, writing about big events on campus, and operating the weekly school radio broadcasts. The club will be available to 8-12 members from grades 6-12 and will meet once weekly (Monday).1. Which club will help students both physically and mentally?D．Media Club.A．Basketball Club B．Yoga Club. C．Public SpeakingClub.2. What will club members do at the Media Club?A．Set up a school radio. B．Write imaginary stories.C．Interview teachers and students. D．Learn public speaking skills.3. Where can the text be found?A．In a travel guidebook. B．In a school introduction.C．In a research paper. D．In a history textbook.My wife isn’t a cat person. So when our daughter Flora started asking for a cat several years ago, my wife politely refused her requests and we didn’t give it a second thought. Flora, though, shares some of my wife’s persistence, so she continued to ask for a cat repeatedly for several years.Then a couple of things happened that made us take a closer look at things. When we went to Flora’s parent-teacher conferences, the teacher first handed us an essay about how my daughter wanted a cat, and then an imaginary story about where she would like to go on vacation: Catville.It was then that my wife and I came to the realization that our daughter wasn’t just messing around here. And it was time for us to break down. But before we brought our new cat home, my wife sternly warned us that she was not going to be the one to take care of or clean up after the cat. Flora was going to take full responsibility. Fine, my daughter said.We welcomed our mini family member into the house right around Christmas. We named her Goldy. When we got her, she peed everywhere. But other than that, she was perfect. My tough-talking wife gradually fell in love with Goldy. And Goldy fell in love with her. Of course, it’s not just my wife who loves Goldy. We all do.There are so many things about that cat that absolutely brighten our life, highlighted by how she nearly bursts with affection when we come home or wake up in the morning. From the moment Goldy came into our house, it seemed unreasonable that we didn’t have a cat before then. We should have settled down to the decision much earlier.4. What led the family to rethink about the idea of keeping a cat?A．The author’s promise.B．The teacher’s adviceC．The wife’s expectation.D．Th e daughter’s effort.5. What does the underlined word “sternly” mean in Paragraph 3?A．Seriously. B．Defensively. C．Anxiously. D．Mildly.6. What kind of person is the author’s wife?A．Inspiring and patient. B．Principled and kindhearted.C．Ethical and traditional. D．Positive and professional.7. What can be a suitable title for the text?A．A Healing Cat B．My Determined daughterC．Best Decision Ever D．Family Means EverythingThe official opening of Beijing Daxing International Airport caps a long design and building process. Designed by the late architect Zaha Hadid and her Chinese partners, the airport is built for the future, having a terminal the size of 97 soccer grounds—as well as customer-service robots that provide travelers with flight updates and airport information.Called “Starfish” by Chinese media for its shape of five concourses (大厅) connected to a main hall, Daxing aims to reduce walking for passengers. The airport authority has promised a distance of nomore than 600 meters—about eight minutes of walking—between security checkpoints and the remotest boarding gates.This new modern airport employs a special intelligent lighting system, supported by eight big C--shaped columns that let in the sunlight, brightening the architecture and structure. Therefore it minimizes the need to use electric lighting.To offer a more refreshing travel experience, five outdoor courtyards—with the themes “Silk Garden”, “Tea Garden”,“Porcelain (瓷) Garden”, “Countryside Garden” and “Chinese Garden”—feature at the end of the five departure lounges for use by passengers waiting for their flights. Travelers will be scanned on cameras using facial recognition. Counters will be fully automated to capture face photos and relay them each part of the journey through the airport, including security and the departure gate.China is projected to overtake the United States as the world’s biggest air travel market by 2022. The “modest” initial operational target at Daxing is to accommodate 72 million passengers and 2 million tons of goods annually by 2025. The ambitious master plan calls for the building of a total of seven runways, and moving at least 100 million passengers and 4 million tons of goods a year through the airport.8. Why is the airport in a starfish-shaped design?A．To keep security checkpoints effective.B．To hold as many passengers as possible.C．To make boarding gates within easy reach.D．To get the main hall easier to be found.9. What can the airport’s lighting system be described as?A．Energy-saving. B．High-end.C．Passenger-friendly. D．Strangely-formed.10. What can be inferred about the five outdoor courtyards?A．They use popular techniques.B．They reflect the Chinese tradition.C．They follow the latest world trend.D．They promote Chinese goods to people.11. What do the numbers in the last paragraph indicate?A．The airport’s potential.B．The airport’s market.C．The airport’s facilities.D．The airport’s project.As a result of pollution, Lake Erie, on the borders of the USA and Canada, is now without any living things.Pollution in water is not simply a matter of “poisons” killing large numbers of fish overnight. Very often the effects of pollution are not noticed for many months or years because the first organisms (生物体) to be affected are either plants or plankton. But these organisms are the food of fish and birds and other creatures. When this food disappears, the fish and birds die too. In this way a whole food chain can be wiped out, and it’s not until dead fish and water birds are seen at the river’s edge or on the seashore that people realize what is happening.Where do the substances which pollute the water come from? There are two main sources—sewage (污水) and industrial waste. As more detergent (洗涤剂) is used in the home, so more of it is finally put into our rivers, lakes and seas. Detergents harm water birds, dissolving the natural substances which keep their feathers water-proof. Sewage itself, if not properly treated, makes the water dirty and prevents all forms of life in rivers and the sea from receiving the oxygen they need. Industrial waste is even more harmful as there are many highly poisonous things in it, such as copper and lead (铅).So, if we want to stop this pollution, the answer is simple: sewage and industrial waste must be made clear before flowing into the water. It may already be too late to save some rivers and lakes, but others can still be saved if the correct action is taken at once.12. When do the people notice the pollution of water according to Paragraph 2?A．The first organisms are affected. B．A good many fish and birds die.C．Poisonous things are poured into water. D．The balance of nature is destroyed.13. Why do the living things die in the river according to Paragraph 3?A．There is no water. B．There is no fish.C．There is no poison. D．There is no oxygen.14. Which of the following is harmful according to the text?A．Organisms.B．Plants and plankton in the water.C．Waste water from cities.D．Industrial waste made clear before flowing into the water.15. Which of the following is the best way to stop water pollution?A．To realize the serious situation clearly.B．To put oxygen into the river.C．To make the waste material harmless before flowing into the water.D．To make special room in the sea for our rubbish.If you want to improve your relationship with Mom or Dad, try listening to them, just like you would listen to a friend.Now, it may seem kind of strange to treat your parents as if they were normal people and all, but it’s worth trying. We’re always saying to our parents, “ 16 ” But have you ever stopped to consider that maybe you don’t understand them?They have pressures, too, you know? While you’re worrying about your friends and your upcoming history test, they’re worrying about their bosses and how they’re going to pay for your education. Like you, sometimes they get offended at work and go in the restroom to cry. 17 Your mom may have too much work stress to just sit down and relax at night. Your dad may get laughed at by the neighbour s because of the car he drives. They may have unfulfilled dreams they’ve had to sacrifice so that you can reach yours. 18 They laugh, they cry, they get their feelings hurt, and they don’t always get their act together, just like me and you.19 First, you’ll gain a greater respect for them. Second, if you take time to understand your parents, you’ll get your way much more often. If they feel that you understand them, they’ll be more willing to listen to you, they’ll be more flexible, and they’ll trust y ou more.20 Start by asking them some questions. When’s the last time you asked your mom or dad, “How was your day today?” or “Tell me what you like and don’t like about your job” or “Is there anything I could do to help around the house?”I couldn’t have been better prepared for the talk, my first presentation as a college student. I had learned my speech _________ . The day before the talk, alone in my room, I felt _________ . But as soon as I was invited to the stage, I was overwhelmed by a fear I had _________ too many times before—the fear of getting _________ because of my stutter (口吃).It began when I was a child. I felt ashamed and _________ as little as possible at school. I put a lot of _________ into math and science; in these subjects, I could _________ my teachers with written exams and reports rather than spoken ones.But by the time I got to middle school, my stutter had made me a _________ for bullying (欺凌), which hurt my academic performance. _________ , I went to a cooking school, where I hoped my cooking would speak for itself.I saw my future as a __________ until a nutrition class, when the teacher’s lecture __________ me of my love of science. I found that my thirst for learning more biology was __________ than my fear of stuttering during oral exams. I started to work in a research lab and tried speech therapy (治疗). With the help of my therapist, I __________ realized the real problem was not the stutter itself; it was my fear of stuttering. It took me about a year to __________ during one weekly meeting that I love myself as I am.Now, instead of __________ public speeches, I actively seek opportunities to be on the stage. And ifI happen to stutter along the way, so be it.21.A．by heart B．on purpose C．by mistake D．on duty22.A．nervous B．surprised C．confident D．energetic23.A．forgotten B．experienced C．arranged D．considered24.A．stuck B．broken C．lost D．bored25.A．planned B．moved C．studied D．talked26.A．feeling B．money C．power D．effort27.A．interest B．embarrass C．satisfy D．disappoint28.A．target B．celebrity C．hit D．leader29.A．However B．Instead C．Therefore D．Moreover30.A．professor B．chef C．biologist D．director31.A．warmed B．cured C．informed D．reminded32.A．lighter B．stronger C．smaller D．longer33.A．naturally B．immediately C．gradually D．frequently34.A．speak out B．cut in C．take down D．put up35.A．expecting B．avoiding C．improving D．doubting阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
2023-2024学年江苏省无锡市高级中学实验学校九年级(上)期中数学(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．122．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√54．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．都不对5．（3分）在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．40°B ．160°C ．80°或160°D ．40°或140°6．（3分）下列说法中，正确的是（ ） A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+29．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√310．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tan α=45，则cos α＝ ．12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 m ． 13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ °． 14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．15．（3分）如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝6∠OAC＝48°，则∠BCI＝°．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，sin∠BCD=14，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，则AC的值为．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．20．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知3b＝2c，斜边上的高CD=√3．（1）求tan A的值；（2）求BD的长．̂上一点，连接BD，AD，OC，21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；̂的长．（结果保留π）（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BC22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP．（1）求AP的长；（2）求tan∠DCP的值．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a＝．24．（10分）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当t ＝2时，PQ ＝ ； （2）在运动过程中，当∠DPQ ＝45°时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的⊙O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD ＝；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．12【分析】直接根据sin60°=√32求解． 【解答】解：sin60°=√32．故选：A ．2．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定【分析】点在圆上，则d ＝r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 【解答】解：∵OP ＝3＜4，故点P 与⊙O 的位置关系是点P 在圆内． 故选：A ．3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√5【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得 AB =√AC 2+BC 2=√5． 由锐角的余弦，得cos A =ACAB =15=√55． 故选：C ．4．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A．35°B．55°C．65°D．都不对【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD ＝35°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠ABD＝35°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝55°，故选：B．5．（3分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．40°B．160°C．80°或160°D．40°或140°【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据切线的判定定理对A 进行判断；根据三角形内心的定义对B 、D 进行判断；根据确定圆的条件对C 进行判断．【解答】解：A 、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A 选项错误； B 、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B 选项正确； C 、不共线的三点确定一个圆，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选：B ．7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【分析】由cos30°=√32，cos45°=√22，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵√22＜34＜√32， 又∵cos30°=√32，cos45°=√22，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A ＜45°． 故选：B ．8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+2【分析】连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．证明TA ＝TC =√2EC ，EC ＝DE ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵点C 是AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴AC ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵点D 为BC ̂的中点， ∴CD̂=DB ̂， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝22.5°，∵∠ADC ＝∠ABC ＝45°，CE ⊥DE ，DE ＝1， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ECD ＝∠EDC ＝45°， ∴EC ＝DE ＝1，∴EC ＝DE ＝1，CT =√2， ∵∠ETC ＝45°＝∠TAC +∠ACT ， ∴∠TAC ＝∠TCA ＝22.5°， ∴AT ＝TC =√2， ∴AE ＝AT +TE =√2+1． 故选：C ．9．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√3【分析】作△ABC 的外接圆，延长AO 交BC 于D ，因此A 在BAĈ上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，AO =23AD ，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，求出AD =√32BC =√32×6＝3√3，推出3＜AD ≤3√3，得到3×23＜AO ≤3√3×23，即可求出AO 的取值范围． 【解答】解：作△ABC 的外接圆O ′，延长AO 交BC 于D ，∵∠BAC 的大小不变，∴A 在BAC ̂上运动（不与B 、C 重合），∵O 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD =√32BC =√32×6＝3√3，∵A 不与B 、C 重合，∴12BC ＜AD ， ∴3＜AD ≤3√3，∵O 是△ABC 的重心，∴AO =23AD ，∴3×23＜AO ≤3√3×23，∴2＜AO ≤2√3．故选：D ．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，证明BD ＝DG ，根据直角三角形斜边中线的性质得AD ＝BD ，可作判断；②如图2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，设AE ＝x ，则BF ＝EF ＝x ，BE =√2x ，AB ＝AC ＝x +√2x ，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据sin ∠ABC =EF BE =AC BC =13，设EF ＝a ，BE ＝3a ，则AE ＝EF ＝a ，证明Rt △ACE ≌Rt △FCE （HL ），得AC ＝CF =√2a ，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④如图4，延长BD ，CA 交于点G ，证明△AEC ∽△AGB ，列比例式，并结合三角函数可作判断．【解答】解：①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝BD，故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=√2x，AB＝AC＝x+√2x，∴CE=√AE2+AC2=√x2+(x+√2x)2=√4+2√2x，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE =（CEBE）2=(4+2√2)x22x2=2+√2，∴S△ACE＝（2+√2）S△BDE，故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EFBE=ACBC=13，设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝2√2a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=√2a，延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝3√2a，BD＝DG，∴AG＝2√2a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×2√2a×4a＝2√2a2，S△ABC=12•√2a•4a＝2√2a2，∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG =ACAB，由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB=m，∴CE2BD=m，∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tanα=45，则cosα＝5√4141．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．【解答】解：设∠A＝α，所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tanα=45，即ab=45，设a＝4k，则b＝5k，∴c=√a2+b2=√41k，∴cosα=bc=41k=5√4141．故答案为：5√4141． 12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 25 m ．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝50m ，则BC =12AB =12×50＝25（m ），所以这山的高度是25m ，故答案为：25．13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ 120 °．【分析】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形的性质求出x ，得到∠B 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，则2x +7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 24π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl ＝π•3•8＝24π（cm 2）．故答案为：24π．15．（3分）如图，点O 、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心，若∠CAB ＝6∠OAC ＝48°，则∠BCI ＝ 25 °．【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝8°，再根据三角形外心的性质得到OA＝OC，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC＝164°，接着根据圆周角定理得到∠ABC＝82°，则利用三角形内角和可计算出∠ACB＝50°，然后根据三角形内心的性质得到∠BCI的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠CAB＝6∠OAC＝48°，∴∠OAC＝8°，∵点O是锐角△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝8°，∴∠AOC＝180°﹣8°﹣8°＝164°，∴∠ABC=12∠AOC＝82°，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣82°＝50°，∵点O是锐角△ABC的内心，∴∠BCI=12∠ACB=12×50°＝25°．故答案为：25．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1.（结果保留π）【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．故答案为：π﹣1．17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为（﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．【分析】如图，设G（m，0），由点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，可得A′（3+m，m+3），根据OA′＝2，构建方程求出m即可．【解答】解：如图，设G（m，0），∵点A （﹣3，3）绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴A ′（3+m ，m +3），∵OA ′＝2，∴（3+m ）2+（3+m ）2＝22，解得，m ＝﹣3±√2，∴G （﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．故答案为：(−3+√2，0)或(−3−√2，0)．18．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，sin ∠BCD =14，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为 2√13或√73 ．【分析】由△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，因此要分以下两种情况进行讨论：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，先证△BAD ∽△BCE 得∠ABD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠BEC ，进而证△ABC 和△DBE 全等得AC ＝DE ，然后在Rt △DCE 中，利用勾股定理求出DE 即可；（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ，在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，先证△ABD ∽CBM ，得∠ABD ＝∠CBM ，进而证△ABC ∽△DBM 得BC ：DM ＝AB ：BD ＝1：2，则BC =12DM ，然后在Rt △DCM 中，利用勾股定理求出DM ．【解答】解：∵△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，如图1所示：∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BAD＝∠BDA，AD＝2AH，∠BAD+∠ABH＝90°，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCD，∵sin∠BCD=1 4，∴sin∠ABH=AHAB=14，∴AB＝4AH＝2AD，∴AD：AB＝1：2，∵CE=12BC＝4，∴BC：CE＝1：2，∴AD：AB＝BC：CE，∵CE⊥CD，∴∠BCE+∠BCD＝90°．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，又AD：AB＝BC：CE，∴△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，∠BDA＝∠BEC，∴∠BDA＝∠BEC＝∠BDA＝∠BCE，∴BC＝BE＝8，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ， 即∠ABC ＝∠DBE ， 在△ABC 和△DBE 中， {BD =BA∠ABC =∠DBE BC =BE， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）， ∴AC ＝DE ，在Rt △DCE 中，CD ＝6，CE ＝4，由勾股定理得：DE =√CD 2+CE 2=2√13， ∴AC ＝DE =2√13．（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ， 在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，如图2所示：∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝2AN ，∠ADN +∠BAD ＝90°， 又∵∠BAD +∠BCD ＝90°， ∴∠ADN ＝∠BCD ， ∵sin ∠BCD =14，∴sin∠ADN=ANAD=14，∴AD＝4AN＝2AB，∴AB：AD＝1：2，∵CM＝2BC＝16，∴BC：CM＝1：2，∴AB：AD＝BC：CM，∵CM⊥CD，∴∠BCM+∠BCD＝90°，又∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCM，又∵AB：AD＝BC：CM，∴△ABD∽CBM，∴∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD＝∠CBM＝∠DAB＝∠BCM，∴BM＝CM＝2BC＝16，∵∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC，即∠ABC＝∠DBM，∵AB：BD＝1：2，BC：BM＝1：2，∴AB：BD＝BC：BM，∴△ABC∽△DBM，∴BC：DM＝AB：BD＝1：2，∴BC=12 DM，在Rt△DCM中，CD＝6，CM＝16，由勾股定理得：DM=√CD2+CM2=2√73，∴BC=12DM=√73．综上所述：AC的长为2√13或√73．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°； （2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．【分析】（1）先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1）(√3)2−π°+√3cos30° ＝3﹣1+√3×√32 ＝3﹣1+32 =72；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5| ＝4﹣1+5 ＝8．20．（9分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，已知3b ＝2c ，斜边上的高CD =√3． （1）求tan A 的值； （2）求BD 的长．【分析】（1）首先利用勾股定理用b 表示a ，然后利用tan A 的定义即可求解； （2）首先利用已知条件证明∠A ＝∠BCD ，然后利用已知条件即可求解． 【解答】解：（1）∵3b ＝2c ， ∴c =32b ，而a =√c 2−b 2=√52b ， ∴tan A =a b =√52； （2）∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴tan A ＝tan ∠BCD ， ∴BD CD=√52，而CD=√3，∴BD=√152．21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BĈ上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BĈ的长．（结果保留π）【分析】（1）连接OB，结合垂径定理得到弧AB＝弧AC，，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到∠AOB和∠AOC之间的关系，进而求出∠AOC的度数；（2）要求劣弧弧BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE的长，进而在Rt△BOE中利用勾股定理求出OE的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【解答】解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴弧AB＝弧AC，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°．（2）∵OA⊥BC，∴BE =12BC =9，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°， ∴OB ＝2OE ，∴BE =√OB 2−OE 2=√3OE =9， ∴OE =3√3cm ，OB =6√3cm ． ∴劣弧BC 的长=120π×6√3180=4√3π(cm)． 22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ． （1）求AP 的长； （2）求tan ∠DCP 的值．【分析】（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，H 是AB 的中点，得∠ABC ＝90°，AH ＝BH =32，则CH =√BH 2+BC 2=52，由折叠得PH ＝BH ＝AH ，CH 垂直平分PB ，则∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，可证明∠APB ＝90°，则AP ∥CH ，∠P AB ＝∠BHC ，所以AP AB=cos ∠BHC =35，则AP =35AB =95；（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，则EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝∠AFP ＝90°，所以AF AP =cos ∠P AB =35，PF AP=sin ∠BHC =45，则AF =35AP =2725，PF =45AP =3625，所以CE ＝BF =4825，PE =1425，即可求得tan ∠DCP =PECE =724．【解答】解：（1）连接PB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点， ∴∠ABC ＝90°，AH ＝BH =12AB =32， ∴CH =√BH 2+BC 2=√(32)2+22=52，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH ＝BH ＝AH ， ∴CH 垂直平分PB ，∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，∴∠APB ＝∠HPB +∠HP A ＝∠HBP +∠HAP =12×180°＝90°， ∵AP ⊥BP ，CH ⊥BP ， ∴AP ∥CH ， ∴∠P AB ＝∠BHC ，∴APAB =cos ∠P AB ＝cos ∠BHC =BH CH =3252=35， ∴AP =35AB =35×3=95， ∴AP 的长是95．（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ， ∵∠FEC ＝∠ECB ＝∠FBC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形， ∴EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝90°， ∴∠AFP ＝90°， ∴AF AP=cos ∠P AB =35，PFAP=sin ∠P AB ＝sin ∠BHC =BC CH =252=45， ∴AF =35AP =35×95=2725，PF =45AP =45×95=3625， ∴CE ＝BF ＝AB ﹣AF ＝3−2725=4825，PE ＝EF ﹣PF ＝2−3625=1425， ∴tan ∠DCP =PE CE =14254825=724， ∴tan ∠DCP 的值为724．23．（10分）如图，在等边△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 边上．（1）在BC 边上求作点P ，使∠MPN ＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB ＝9，BM ＝5，设CN ＝a ，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则a ＝8120．【分析】（1）以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ，作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2，即可完成作图；（2）证△MBP ∽△PCN ，可得MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，列出方程5x=9−x a，整理得x 2﹣9x +5a ＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P 有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P 只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P 不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ， ②作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2， 如图，点P 1、P 2即为所求；（2）如图，∵∠MP 1N ＝60°， ∴∠MP 1B +∠CP 1N ＝120°， 在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠MP 1B +∠BMP 1＝120°， ∴∠BMP 1＝∠CP 1N ， ∴△MBP 1∽△P 1CN ， ∴MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，∴5x =9−x a，∴5a ＝9x ﹣x 2， ∴x 2﹣9x +5a ＝0， ∵只能作出唯一的点P ， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣9）2﹣20a ＝81﹣20a ＝0， ∴a =8120． 故答案为：8120．24．（10分）如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 是⊙O 上一点，过C 作CE ⊥AC ，交AD 的延长线于点E ，连接DB ，且CD ＝CE ． （1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC ＝90°，则OD ⊥DC ，可得出结论；（2）证明△BCD ∽△DCA ，由相似三角形的性质得出BC CD=CD AC=BD AD，设CB ＝x ，则CD ＝2x ，得出方程（2x ）2＝x •（x +15），解方程求出x 即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵CE ⊥AC ， ∴∠ACE ＝90°， ∴∠A +∠E ＝90°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∴∠A +∠CDE ＝90°， ∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠ADO +∠CDE ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 与⊙O 相切；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠A +∠ABD ＝90°， 又∵∠BDC +∠ODB ＝90°， ∴∠BDC ＝∠A ， ∵∠BCD ＝∠ACD ， ∴△BCD ∽△DCA ， ∴BC CD=CD AC=BD AD，∵tan ∠BDC ＝tan ∠A =BDAD =12， 设CB ＝x ，则CD ＝2x ， ∴CD 2＝CB •CA ，∴（2x ）2＝x •（x +15）， ∴x ＝5， ∴CD ＝CE ＝10．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【分析】过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，解直角三角形求出CN 、BN 的长，得出BF 的长，再求出AE AB≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE＝（3x +4.5）米，然后证AF ＝AD ，则4x +3.5＝3x +4.5，解得x ＝1，即可求解． 【解答】解：过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，如图所示： 则CN ∥AD ，∴∠NCF ＝∠ADC ＝45°，在Rt △BCN 中，CN ＝BC •sin37°≈2.5×35=1.5（米），BN ＝BC •cos37°≈2.5×45=2（米）， 在Rt △CNF 中，∠NCF ＝45°， ∴△CNF 是等腰直角三角形， ∴NF ＝CN ＝1.5（米）， ∴BF ＝BN +NF ＝3.5（米）， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝53°， ∴∠ABE ＝37°，∴tan ∠ABE ＝tan37°=AE AB ≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE ＝（3x +4.5）米， 在Rt △ADF 中，∠ADC ＝45°， ∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当t＝2时，PQ＝4√2cm；（2）在运动过程中，当∠DPQ＝45°时，求t的值；（3）在运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围．【分析】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm），可得BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），故PQ=√BP2+BQ2=4√2（cm）；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，由∠DPQ＝45°，可得△PQM是等腰直角三角形，从而△PMN≌△MQK（AAS），PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则（6﹣t）+x＝2t﹣x，得x=3t−62，证明△MPN∽△DP A，有即3t−62t=t+6212，即可解得t的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q与AD相切于T时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，连接QT，可得√(6−t)2+(2t)2=6，解得t＝0（舍去）或t＝2.4，当⊙Q经过D时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，可得√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足2.4＜t＜6√13−18．【解答】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），∴PQ=√BP2+BQ2=√42+42=4√2（cm），故答案为：4√2cm；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，如图：根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝（6﹣t）cm，由作图可知四边形BQKN是矩形，∴BN＝QK，BQ＝NK＝2t cm，∵∠DPQ＝45°，∴△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ＝90°，PM＝QM，∴∠PMN＝90°﹣∠QMK＝∠KQM，∵∠MNP＝90°＝∠QKM，∴△PMN≌△MQK（AAS），∴PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则MN＝NK﹣MK＝（2t﹣x）cm＝QK，∵BN＝QK，∴（6﹣t）+x＝2t﹣x，∴x=3t−6 2，∴PN=3t−62（cm），MN＝2t−3t−62=t+62（cm），∵∠MPN＝∠DP A，∠MNP＝90°＝∠A，∴△MPN ∽△DP A ，∴PN AP =MN AD ，即3t−62t =t+6212，解得t ＝15+3√17（舍去）或t ＝15﹣3√17；∴t 的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q 与AD 相切于T 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，如图：∵∠A ＝∠B ＝∠ATQ ＝90°，∴四边形ABQT 是矩形，∴QT ＝AB ＝6cm ＝PQ ，∴√(6−t)2+(2t)2=6，解得t ＝0（舍去）或t ＝2.4，由图可知，⊙O 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足t ＞2.4；当⊙Q 经过D 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，如图：此时PQ＝DQ，∴√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足t＜6√13−18；∴当2.4＜t＜6√13−18时，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝5√33；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接OM，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质求得AE，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点G在点P的上方时，过点O作OF⊥CH 于点F，连接AH，利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理求得线段HF的长度，再利用三角形的中位线定理和勾股定理求得GF的长度，则GH＝GF﹣HF；②当点G在点P的下方时，过点O作OK⊥CH 于点K，连接AH，利用①的方法解答即可．【解答】解：（1）连接OD，如图，∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°，∴tan A =OD AD ，∴AD =OD tan60°=5√3=5√33． 故答案为：5√33； （2）连接OM ，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图，∵BC 边与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥BC ，∵OE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形OMCE 为矩形，∴CE ＝OM ＝5．∵AC ＝8，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴OE=√OA2−AE2=√52−32=4，∴OC=√OE2+CE2=√42+52=√41．∴C（√41，0）；（3）①当点G在点P的上方时，如图，过点O作OF⊥CH于点F，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OF⊥CH，∴CF＝HF=12CH＝3．∵OF⊥CH，AC⊥CH，∴OF∥AC，∴OF为△HAC的中位线，∴OF=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP+PG＝5+1＝6，∴GF=√OG2−OF2=√62−42=2√5，∴GH＝GF﹣HF＝2√5−3；②当点G在点P的下方时，如图，过点O作OK⊥CH于点K，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OK⊥CH，∴CF＝HK=12CH＝3．∵OK⊥CH，AC⊥CH，∴OK∥AC，∴OK为△HAC的中位线，∴OK=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP﹣PG＝4，∴OG＝OK，∴点G，K重合，∴GH＝HK＝3．综上，GH的长为2√5−3或3．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是P1，P2（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2√5，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（−12，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO=√5，OP1=√5，AP1=√10，则OP12+OA2=AP12，∴∠AOP1＝90°，∴OP2=√52，AP2=52，则AP22=OA2+OP22，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O 关于点A 的“联络点”是P 1，P 2；故答案为：P 1，P 2；（2）如图2，依题意，点C 关于点D 的“联络点”P 在CD 的垂线上且过点C ，∵直线y =−12x +1与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝2，∴C （2，0），D （1，0），∴OD ＝1，OC ＝2，∴tan ∠COD =OD OC =12，CD =√OD 2+OC 2=√5， ∵tan ∠CPD =12，∴CP 1＝2√5，∴DP 1＝5，则P 1（0，﹣4），设直线CP 的解析式为y ＝kx ﹣4，则0＝2k ﹣4，解得：k ＝2，∴直线CP 的解析式为y ＝2x ﹣4；设P （p ，2p ﹣4），∵tan ∠CPD =12，∴CD CP =12，∴CP＝2CD＝2√5，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2=(2√5)2，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，第41页（共41页）∴T （0，2）或T （0，6），结合图形可得2≤t ≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t ≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t ≤6或﹣2≤t ≤﹣6．。
构建“幸福课堂”，提高学生质疑创新的能力
构建“幸福课堂”，提高学生质疑创新的能力发布时间：2022-10-22T16:11:24.925Z 来源：《中小学教育》2022年9月3期作者：张海元[导读] 数学知识的培养不仅在于知识的传授，更是在于学生思维能力的培养发展，包括学生的质疑及创新能力。
数学与生活有着较高的应用性特质，如若仅教授固定的知识结果，学生的质疑及创新能力则难以有所突破，对于学生的发展则会形成闭环影响。
因而教师要提高学生质疑创新能力的培养重视，立足学生本体的角色定位，创设具有良好氛围、趣味互动的“幸福课堂”，以促使学生的潜能素养得以切实发挥，从而推进高中数学教育的持续发展。
张海元安徽省宁国中学 242300【摘要】数学知识的培养不仅在于知识的传授，更是在于学生思维能力的培养发展，包括学生的质疑及创新能力。
数学与生活有着较高的应用性特质，如若仅教授固定的知识结果，学生的质疑及创新能力则难以有所突破，对于学生的发展则会形成闭环影响。
因而教师要提高学生质疑创新能力的培养重视，立足学生本体的角色定位，创设具有良好氛围、趣味互动的“幸福课堂”，以促使学生的潜能素养得以切实发挥，从而推进高中数学教育的持续发展。
【关键词】幸福课堂；质疑能力；创新能力；高中数学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）9-161-01引言：质疑能力的发展培养在于激发学生的问题意识，使其在学习并回答教师的问题同时，亦能够与之形成双向互动，提出自身的想法与策略，使其在质疑能力获得有效发展的同时，亦能够实现创新能力的形成。
创新的培育，以数学的角度而言，则是以发展学生的创新思维能力，能够从多个角度思考并解决问题，探索问题解决策略的新方向，与质疑能力的终极结果形成有机统一，因而教师可将其融合展开教育提升，以促使学生的能力素养得以较好的发展落实。
一、创造良好氛围，激活质疑创新潜能以往的教学氛围庄重、严肃，存在一定的气氛压抑现象，导致学生的紧张情绪长期萦绕在学生周围，使其难以切实有效的发挥各自的个性及其潜能。
2013-2014学年沭阳银河学校高一数学教案：2.2.3《圆与圆的位置关系》
2.2.3圆与圆的位置关系教学目标：1．理解圆与圆的位置关系；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；3．会用圆心距与两圆半径之间的大小关系判断两圆的位置关系．教材分析及教材内容的定位：本节教材是本单元的最后一节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变．通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育．所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在几何教学中都占有重要的地位．教学重点：两圆位置关系的判定．教学难点：通过两圆方程联立方程组的解来判断圆与圆的位置关系．教学方法：导学点拨法、电脑、投影．教学过程：一、问题情境1．情境：古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣的打了一个比方：“如果有小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多”请你谈谈其中的道理；2．问题1：直线与圆的位置关系的几何特征是通过公共点来刻化的，请同学们猜想一下：圆与圆的位置关系按公共点分类能划分为哪几类？问题2：圆与圆的位置关系有几种情况？问题3：(师指出圆与圆的五种位置关系的名称之后提问)你能给这五种位置关系分别下一个准确的定义吗？二、学生活动1．回顾知识点互相交流；2．在教师引导下，阅读教科书；3．利用类比方法，总结出判定圆与圆的位置关系的方法．4．学生动手在同一个直角坐标系中画出两个圆，观察并思考用数学语言发表自己的解题方法5．在教师的引导下总结判定两圆位置关系的方法—代数法与几何法三、建构数学1．引导学生自己总结给出判定圆与圆位置关系的步骤；2．圆与圆之间有____，____，_____，____，_____五种位置关系．3．判断圆与圆的位置关系有两种方法：（1）几何方法：两圆2221111()()(0)x a y b r r -+-=>与2222222()()(0)x a y b r r -+-=>圆心距d =___________________________________________________,12d r r >+⇔两圆___________________________；12d r r =+⇔两圆___________________________；1212r r d r r -<<+⇔两圆___________________；12d r r =-⇔两圆__________________________；120d r r <<-⇔两圆_______________________；0d =时两圆为______________________________．（2)代数方法：方程组{221112222200x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++= 有两组不同实数解⇔___________________________;有两组相同实数解⇔___________________________;无实数解⇔____________________________________．3．两圆的公切线条数．当两圆内切时有_______条公切线；当两圆外切时有________条公切线；相交时有________条公切线；相离时有_________条公切线；内含时_______公切线．四、数学运用1．例题．例1 判断下列两圆的位置关系,并说明它们有几条公切线．2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与222226706270x y x x y y ++-=++-=（）与例2 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程． 例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0．（1）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求公共弦AB 所在直线的方程及公共弦的长；（2）试求两圆的公切线方程．2．练习．1．两圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为．2．若半径为1的动圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的坐标满足的关系是．3．圆x2＋y2＝1上动点A到圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上动点B间距离的最大值和最小值分别为．4．若两圆x2＋y2＝9与x2＋y2－8x＋6y－8a－25＝0只有惟一的一个公共点，求实数a的值．5．求与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相外切，与直线y＝0相切且半径为4的圆方程.6．已知⊙C1：x2＋y2＋6x－4＝0和⊙C2：x2＋y2＋6y－28＝0相交于A、B 两点．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过A、B两点的圆C方程．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．圆与圆的五种位置关系2．圆与圆的位置关系的判定：（1）几何方法；（2）代数方法；3．一个思想：数形结合思想方法．。
行星的运动ppt
【答案】
1683天或1.45×108 s
马鞍山中加双语学校 高一物理组
目标升华
1.所有的行星围绕太阳运 动的轨道都是椭圆，太阳 处在所有椭圆的一个焦点 上
开普勒三定律的近似描述？
1.行星绕太阳运动的轨 道十分接近圆，太阳处 在圆心 2.对于某一行星来说， 它绕太阳做圆周运动的 角速度（或线速度大小） 不变，即行星做匀速圆 周运动 3.所有行星的轨道的半 长轴的三次方跟公转周 期的二次方的比值都相 等，即R³ /T²=k
马鞍山中加双语学校 高一物理组
引导探究一
“地 心 说”
基本观点： 1.地球是静止不动的. 2.太阳，月亮以及其他行星都绕地 球运动。
代表人物：托勒 密
马鞍山中加双语学校 高一物理组
“日 心 说”
基本观点： （1）太阳是宇宙的中心，所 有的行星都绕太阳做匀速圆周运 动 （2）地球是绕太阳旋转的普 通星体，月球是绕地球旋转的普 通卫星
马鞍山中加双语学校 高一物理组
有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径
之比是1：2，则它们绕地球运转的周期之比为 。
1: 2 2
马鞍山中加双语学校 高一物理组
飞船沿半径为r的圆周绕地球
运转,其周期为T,如图6－1－2
所示，如果飞船要返回地面， 图6－1－2 可在轨道上某一点A处将速率降低到适当值， 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行, 椭圆与地球表面在B点相切，已知地球半径为R,
引导探究二
德国天文学家开普勒（1571-1630）在最初研究他的 导师家第谷（1546-1601）所记录的数据时，也是以行星 绕太阳做匀速圆周运动的模型来思考问题的，但是所得结 果却与第谷的观测数据至少有8分的角度误差。当时公认 的第谷的观测误差不超过2分，开普勒想，这不容忽视的8 分也许是因为人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成 的。至此，人们长期以来视为真理的观念——天体做匀速 圆周运动，第一次受到了怀疑。后来开普勒又仔细研究了 第谷的观测资料，经过四年多的刻苦计算先后否定了 19种 设想，最后终于发现了天体运行的规律开普勒三大定律。
第2章章末综合提升-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
因此，圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
章末综合提升
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巩固层·知识整合 提升层·题型探究 章末综合测评
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而 MC2＝d2＋B2C2， 所以 25＝(m＋5 5)2＋5， 解得 m＝5 或 m＝－15. 故直线 l 的方程为 2x－y＋5＝0 或 2x－y－15＝0.
章末综合提升
类型 3 圆与圆的位置关系
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(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BC＝OA，
求直线 l [解]
的方程． (2)因为直线
l∥OA，所以直线
l
的斜率为42－－00＝2.
设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，即 2x－y＋m＝0，
则圆心 M 到直线 l 的距离
d＝|2×6－57＋m|＝|m＋55|.
因为 BC＝OA＝ 22＋42＝2 5，
类型 2 直线与圆的位置关系 判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂 的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离 d， 然后比较所求距离 d 与半径 r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置 关系．
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【例 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的
翻转课堂视阈下教师课程领导力探析
翻转课堂视阈下教师课程领导力探析陆晓东摘 要:借鉴现代教育理论和现代课程理论的研究成果,深度剖析翻转课堂教学模式的内存机理,从课程领导的视角出发,阐述教师课程领导力在翻转课堂中的关键作用,从而进一步推进翻转课堂教学模式的课改实践。
关键词:教师;课程领导力;要素;翻转课堂作者简介:陆晓东,男,无锡机电高等职业技术学校副校长,高级教师,主要研究方向为职业学校教育管理。
中图分类号:G712文献标识码:A文章编号:1674-7747(2015)36-0007-02 2007年,在美国科罗拉多州落基山的林地公园高中,有两位化学老师为解决少数迟到和缺课学生的补课问题,尝试将课堂教学PPT附上讲解声音录制成视频上传至网上,供学生在家下载自学,从而帮助学生完成了本应在课堂上学习的任务。
此后,这种借助于互联网技术和现代教育技术得以实现的教学过程,在不经意间成为风靡全球的新型教学模式。
2011年,萨尔曼·可汗(Sal⁃manKhan)在TED(Technology Entertainment De⁃sign)大会上作了《用视频重新创造教育》的演讲报告,其中,就将这种教学方式———“翻转课堂”(the Flipped Classroom)推向了全世界,并引起了广大教育工作者的关注。
如今,很多学校和教师都在争先尝试这一新型的教学模式,以求在新一轮课改中寻找到提升教育质量的突破口。
然而,笔者以为,作为一种学习方式的革新,“翻转课堂”颠履了夸美纽斯以来传统的课堂教学模式,但倘若将“翻转课堂”仅仅理解为学生在家中或课外观看教师预置的教学视频,回到课堂上师生交流和完成作业这样一种简单的教学程式的话,就极易忽视教师角色、课程领导、管理模式等关键因素的实践意义,最终,“翻转课堂”只会成为教学模式创新的一只哗众取宠的“花瓶”,而瓶中之花终究是会凋谢的。
从现代课程观的维度进行审视,翻转课堂模式依然遵循学习过程的两个阶段,即“信息传递”和“吸收内化”。
强化符号意识，为学习数学推开一扇门
数学学习与研究2016.16数学知识的学习包括符号学习、概念学习与命题学习.学生学习数学的过程,实际上就是学生们对于数学书本上数字和符号之间的重新排列组合的过程.对于初中学生而言,在经过了小学阶段的数学学习之后,对数学符号有了一定程度的认识和理解,并且能运用简单的数学符号开展运算.但是,随着初中数学中符号的增多,容易造成符号混淆的现象.因此,我们应该强化符号意识,从而为以后的学习奠定基础.一、衔接小学内容,正确处理知识的迁移儿童心理学家皮业杰说过,形式运算阶段儿童能够摆脱不同符号的诱惑,产生清晰的符号化思维.在小学数学学习阶段,很多时候教师更加重视培养学生们的计算能力.但是到了初中的数学学习阶段,学生们不但要掌握好计算能力,同时还需要具备化抽象为具体的思维方式.因为从初中开始,数学问题变得更加抽象且富有难度,对学生们原有的数学认知产生了一定的冲击.很多学生刚刚步入初中学习的大门时就感到很不适应,学习的状态也出现了下滑.因为他们当中的很多人还在用小学数学的学习和理解的方式去学习初中数学,这是不可取也是不正确的方式.例如,在初中数学中学习了有关有理数和无理数的有关知识.这其中就包含了小于0的负数的参与,对于小学生而言他们的脑海里最小的数字还仅仅只是0这个数字.对于简单的6-5=1,学生们往往会很快地得出答案,但是一旦把数字换成了5-6,那么学生可能一时转换不了思路,而出现思维卡壳短路的现象.因此,对于这样的情况,作为教师一定要注意教学时学生们的思想动态,关注学生们对于难点的理解程度,这样才能保证他们真正学到了数学知识,真正熟练运用数学知识.二、联系实际生活,理解数学符号的意义在日常生活当中,随处都能看到各种各样的标识.例如麦当劳的M,马路上各式各样的交通信号,以及商场里琳琅满目的商品的品牌,都有着各自特有的标志.由此可见,符号是人类生活和工作不可缺少的重要组成部分,有了符号的使用,人们学习和理解数据的效率会大大提升.对于数学学习,符号的认识和使用也至关重要.例如,在学习“分式”这一章节的知识时,教师就可以为学生先展示出这么一道应用题:在高速公路上,有这么两条道路,一条是平整的,长度大约4km,而另外一条道路是曲折的,分别由2km 的上坡路和1.5km 的下坡路组成.那么此时,小明开车上坡的速度为x km /h,在平地上行驶的速度为1.3x km /h,在下坡道路上行驶的速度为2x km /h.请问:小明沿着第二条道路行驶,他需要多久才能行驶完这段路程?相比第一条,哪一条道路花费的时间更少?这道题目,条件给了学生们有关设置未知数x 来进行计算的提示.这里的x 就是一种变量,学生们通过寻找条件中存在的共同之处,从而建立关系式,来解答计算.这不就是一种符号的运算吗?由此看来,数学符号的使用,能够帮助学生更好地解答数学学习中的难题.三、创设现实情境,唤起学生符号化意识情境教育理论告诉我们,知与行是交互的过程,并且通过活动不断地向前发展.因此,在初中数学教学中有目的有计划有安排地培养学生们使用符号,这是目前初中数学教学过程中非常重要且必不可少的重要环节.作为数学教师,在进行课堂教学的时候,一定要注重表达的完整和教学思路的清晰,不能使得学生们听了教师的课程后得不到收获,甚至出现更大的错误,这就非常可怕了.教师在上课时提出的问题一定要有意义,最好能与学生们的日常生活实际相关.这样会使得学生们在解答问题的时候,也学习到了生活中解决问题的好办法,进一步激发了他们学习数学的热情和动力.例如:在学习“用字母代替数字”这一内容时,教师就可以给学生提出这样的问题:一个长方形,长比宽多12cm,那么请问如何得出长方体的长度?学生们想了想,便不假思索地回答出“首先需要知道长方体的宽度”这一条件才行.之后,教师就可以举例,如果宽度为2cm,长度为多少?宽为4cm 时,长度又是多少?以此类推,学生们渐渐总结出了用12+x 来表示长方形的长,而这个变量x 就是长方形的宽.学生们也发现长方形的长是随着宽的变化而变化的.四、渗透数形结合,增强学生符号化意识著名的数学家罗素说:“数学就是一种由符号和数字组合而成的逻辑理论体系.”这样的论断其实就是说明了数学思想就是由难化简,从抽象到具体的推理和转变过程.学生们在之前的学习中也多多少少地接触到了有关数学变量以及几何图形的知识,那么在实际解答过程当中,就需要学生们充分地运用这些所学过的知识,将它们作为工具,去解答更加有深度的问题,从而真正达到化繁为简,学以致用的目的.例如,书本上给出学生们化简公式的例子有3a +a =?但是一旦把a 这个字母换成较为复杂的x -y +6之类的算式时,学生们就会感到迷茫甚至出错.这就反映出了学生们对于符号所代表意思的理解不够深刻彻底,因此才会出现错误甚至被题目所迷惑.在小学阶段学习数学,很难见到由符号替代数字出现的式子,但是在初中,这样抽象的关系式越来越多,在题目中出现的频率也越来越高了.这就是中学与小学学习数学的不同之处.如果学生们不能及时理解和掌握数学符号的使用方法,那么会对今后的数学学习造成很大的负面影响.综合上述,强化学生的数学符号意识需要在平时的教学中潜移默化的进行.只有通过长期的训练才能加深对数学符号的理解,才能在学生的意识中形成认知.这就需要广大数学教师在从最基础的数学符号开始,一点一点地积累和巩固.才能让学生在以后的数学学习中不感到迷茫,从而灵活运用数学知识.强化符号意识,为学习数学推开一扇门◎甘晓晖(江苏省淮安经济技术开发区启明中学223005)136. All Rights Reserved.。
安徽省马鞍山中加双语学校2025届高三3月份第一次模拟考试语文试卷含解析
安徽省马鞍山中加双语学校2025届高三3月份第一次模拟考试语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
1、阅读下面的文字，完成下面小题。
伴随着信息科技的迅猛发展，基础层的云计算、大数据等因素的成熟带来了人工智能的进步。
近年来人工智能概念发展十分迅速，深度学习带来的技术突破使得复杂任务处理准确率得到大幅提升，人工智能步入其发展黄金期。
“十三五规划”提出了“重点突破新兴领域人工智能技术”，国家层面和地方层面也都相继出台了其他各项政策，对发展人工智能和大数据进行有力支持。
发展人工智能有望成为经济发展的新动力。
国内外互联网巨头凭借其先天用户数据丰富、资源配置高效等方面的优势，正在以各种形式加速布局人工智能领域。
在大数据处理能效显著提升与人工智能快速渗邊的时代背景下，金融决策平台搭载人工智能技术，使金融数据的分析越来越科技化、多样化与普适化。
虽然在我国，金融数据的挖掘和应用尚在起步阶段，但金融数据作为大数据中最具含金量的数据源，也逐渐受到越来越多的重视。
阿里巴巴旗下蚂蚁金服2016年公布的数据中，网上银行的花呗与微货业务上，使用机器学习将虚假交易率降低了九成，机器人问答准确率超过80%，人工智能在与客户沟通及数据挖掘中发挥了重要作用。
交通银行推出的网点智能机器人，足以分担大量大堂经理的工作，分流客户，节省客户时间。
指向核心素养的中位线与圆的“共振”问题
命题历程２０２３年４月下半月㊀㊀㊀指向核心素养的中位线与圆的 共振 问题◉连云港外国语学校㊀胡小明㊀㊀摘要:本文中通过贯穿 圆 和 中位线 两个核心考点的３道例题,探讨解决数学题的通性通法,研究如何引导学生建立数学模型突破核心难点,寻找其中的共性生长点㊁拓展点,让课堂教学变得更加高效．关键词:核心素养;圆;中位线㊀㊀«义务教育数学课程标准(２０２２版)»在关于学业考试的命题原则中指出: 坚持素养立意,凸显育人导向．以核心素养为导向的考试命题,要关注数学的本质,关注通性通法,综合考查 四基 四能 与核心素养． [１]作为 双减 背景下的第一次中考,该如何落实这一要求?本文中以圆与中位线在一道题中的综合考查(即 共振 )为例,展开研究．关于中位线,义务教育苏科版教材(２０１３版,以下简称苏科版教材)指出:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半．关于圆的定义,苏科版教材指出:圆是到定点的距离等于定长的点的集合．１以坐标系为背景的共振 例１㊀如图１Ｇ１,在平面直角坐标系中,A (４,０),B (０,－３),以B 为圆心㊁２为半径的☉B 上有一动点P ．连接A P ,若C 为A P 的中点,连接O C ,则O C 的最小值为．图１Ｇ１㊀㊀㊀图１Ｇ２分析:本题以坐标系为背景,将一个定圆置于其中,以动点P 的运动为主要条件,学生的核心难点是厘清O C 的长度与点P 的运动之间存在怎样的关系．不少学生是直接根据点P 的运动轨迹确定点C 的运动轨迹,这个思路可行,但较为繁琐．如果学生能利用C 为A P 的中点这个条件,主动构建三角形中位线的数学模型(即让O C 成为三角形的中位线),则会使本题的难度大为降低．如图１Ｇ２,在x 轴负半轴取点D ,使O D ＝O A ,连接D P ．这样,O C 就成了әA D P 的中位线,求O C 的最小值就转化为求D P 的最小值(取一半)．根据圆的有关知识,D 为圆外一定点,连接D B 交☉B 于点E ,点P 运动到E 处时D P 显然最短,最后再根据中位线的性质,O C 的最小值即为此时D P 的一半．值得注意的是,本题若改编为求O C 的最大值,依然可以构建中位线模型来解决．这样的解题思路需要学生有一定的建模能力,因此需要教师平时在课堂上加以渗透．对本题而言,在新授 三角形的中位线 这一知识点时,就可以在课堂上加以渗透．例２㊀(２０２０泰安改编)如图２Ｇ１,点A ,B 的坐标分别为(２,０),(０,２),C 为坐标平面内一点,B C ＝１,M为线段A C 的中点,连接O M ,则O M 的最大值为．图２Ｇ１㊀㊀图２Ｇ２分析:和例１相比,本题仍然以坐标系为背景,但是没有直接给出圆,也没有强调C 为动点,需要学生自己去发现C 是以B 为圆心㊁１为半径的圆上的动点．O M 的长度随着点C 的位置变化而变化,所以要把这个圆画出来(如图２Ｇ２),然后再利用 M 为线段A C 中点 这一关键条件去构建三角形的中位线,即在x 轴负半轴上取一点D ,使O D ＝O A ,连接C D ．因此O M 是әA C D 的中位线,从而把求O M 的最大值转化为求C D 的最大值(的一半),具体解题思路类似于例１．本题原题为２０２０年泰安中考的选择题最后一题,属于压轴题．若学生能根据圆的定义(到定点距离等于定长的点的集合)发现 隐圆 ,然后再根据 M 为线段A C 中点这一明显的 暗示 ,构建出三角形中位线,最后再利用圆外一定点到圆上的点的距离的知识,求出C D 的长(的一半),即可快速解决问题．本题若改编８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月下半月㊀命题历程㊀㊀㊀㊀为求O M 的最小值,仍可用一样的思路解决．本题可视为例１的改编题,对学生核心思维能力的考查是相同的,但难度加大了,增加了 发现隐圆 这一要求,需要学生对圆的定义有深刻的理解,教师在新授 圆 的相关内容时,应加以强调和适当拓展．２以三角板为背景的共振 图３Ｇ１例３㊀(２０２２连云港２７题节选)在一次数学兴趣小组活动中,小昕同学将一大一小两个三角板按照如图３Ｇ１所示的方式摆放．其中,øA C B ＝øD E B ＝９０ʎ,øB ＝３０ʎ,B E ＝A C ＝３．小昕同学将三角板D E B 绕点B 按顺时针方向旋转．(１)连接D C ,取D C 的中点G ,三角板D E B 由初始位置(图３Ｇ１)旋转到点D ,B ,D 首次在同一条直线上(如图３Ｇ２),求点G 所经过的路径长．图３Ｇ２(２)如图３Ｇ３,G 为D C 的中点,则在旋转过程中,点G 到直线A B 的距离的最大值是．图３Ｇ３分析:本题为２０２２年江苏连云港市中考最后一题(原题共４小问,取最后２小问),是以一大一小两个三角板为背景的旋转问题,难度大,属于压轴题,突出考查学生的核心素养,需要学生有较强的思维能力．本题第(１)问要求点G 所经过的路径长,核心难点是确定点G 所经过的路径是一个什么样的图形．先按题意标上C D 的中点G ,再取B C 的中点O ,连接G O ．因此G O 是әC B D 的中位线,可得G O ＝１２B D ＝３,于是发现,点G 在以定点O 为圆心㊁定长３为半径的圆上运动(如图３Ｇ４)．本题第(１)问所求的路径长即为弧G １G ２的长度,再根据点G 的起㊁终点位置确定øG １O G ２＝１５０ʎ,最后带入弧长公式即可求出答案．有第(１)问作为基础,再求第(２)问就简单了,此时,点G 运动的轨迹发生了变化,从一段弧变成了整个圆(如图３Ｇ５)．要求点G 到直线A B 的距离的最大值,先作出O K ʅA B 于K ,再延长K O 交☉O 于点G ᶄ,线段K G ᶄ即为所求(计算简单)．２０２２年的中考,是在 双减 背景下进行的,本题作为连云港市中考试卷的压轴题,难易程度合理,体现了以核心素养为导向的命题,考查了学生的模型意识和建模能力,关注了数学的本质,关注了通性通法,让基础较好的学生的水平得到了展示．图３Ｇ４图３Ｇ５３总结本文中的３道例题本质上有很大的相通性,都运用了圆的概念㊁中位线的性质,考查了学生的建模能力(根据一个中点,主动构建另一个中点,从而产生中位线),体现了核心素养的一致性,符合 双减 背景下新课改对学生能力的要求．对学生建模观念等核心素养的培养,广大一线教师应在平时的教学中予以足够的重视．此外,本文中的３道例题是一脉相承的,只是难度逐步加大,例２是例１的改编,都在坐标系背景下,但由 圆 变成了 隐圆 ;例３则是例２的 再创造 ,由以坐标系为背景改为以三角板为背景,核心难点 构建中位线 得到了保留,同时又增加了对旋转等知识点的考查．纵观这３道例题,都贯穿着由已知一个中点联想到再构建一个中点,从而形成中位线,再运用中位线的知识解决问题的主线．因此,教师在教学中,要培养学生 见中点想中点 进而构建中位线模型的意识．同时, 打铁还需自身硬 ,作为教师也要加强自身解读和改编拓展典型例题的能力,只有教师自己做到了由一变三 ,才能让学生真正学会 举一反三 ．落实新课程标准提出的培养学生核心素养的要求,需要从身边的每一道题㊁每一节课做起．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(２０２２年版)[S ]．北京:北京师范大学出版社,２０２２．Z９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
指向深度学习的初中数学单元主题式教学设计实践与思考
2023年第12期教育教学SCIENCE FANS 指向深度学习的初中数学单元主题式教学设计实践与思考袁 辉（北京师范大学宣城实验学校，安徽 宣城 242000）【摘 要】深度学习是提高学生综合能力、培养学生核心素养的有效途径，而开展单元主题式教学是促使学生实现深度学习的重要手段。
对此，初中数学教师应实施单元主题式教学，从确定单元学习主题、明确单元学习目标、设计单元学习活动、制定持续性评价方案四个方面促进深度学习的落实，进而培养学生的高阶思维和创新能力。
【关键词】初中数学；深度学习；教学设计【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）12-0124-031 基本内涵在初中数学教学过程中，教师主要针对教材中的单元内容进行教学规划，并明确教学目标，单元成为数学学科教学中不可或缺的载体。
对于学生来说，单元主题的内核在于明确本单元的学习意义以及社会价值，学生在自主明确学习目标、规划学习内容的过程中需要对单元主题进行详细的分析。
按照内容主题，初中阶段的数学教学内容大致可以分为四类，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践，分别对应数学教材中的相应单元。
教学过程中的主题则需要教师根据本单元的教材内容和具体的课程教学目标明确。
同时，在制定教学规划的过程中，教师还要考虑学生的学习能力，开展分层教学。
初中数学教师在运用单元主题式教学培养学生深度学习习惯和能力的过程中，需要重点关注“单元”以及“主题”这两个概念。
在实际的教学活动中，教师不仅需要遵循完整性原则，同时还要深入挖掘教材，拓展教学资源，从而完善学生的知识体系，培养其深度学习的能力和习惯，提高学生的综合素养。
在初中数学教学中应用单元主题式教学模式的关键在于教师对课堂问题的设计。
在实际教学过程中，教师可以对本单元的主题内容进行分解，将其融入课堂问题，让学生在问题的引领下高效学习，提高教学效率，通过将重难点内容转化成问题的形式深化学生对教材理论知识的理解，使学生在构建基础知识体系的同时不断提高分析和解决问题的能力，实现学科素养的提升。
圆与圆的位置关系优秀文档
扬中市外国语学校 潘金城
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一、教学目标：
1、利用计算机制作动画（让学观察两圆相对运动 的过程）培养学生以运动变化的观点来观察问题 （观察出确定“两圆位置关系”的关键是两圆交 点的个数）分析问题、解决问题的能力.
再见.
感谢观看
点在圆内、在圆上、在圆外
相离、相切、相交
2、学习两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
性质
及判
定 外离d>R+r
公共
点个
数
没有
外切d=R+r
外离R-r <d<R+r 内切 d=R-r 内含 d＜R-r
一个
两个
一个
没有
3、学习两圆相切及相交时的对称性
两个圆一定组成一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。当两圆相切
2.用计算机制作动画让学生从静止的角度探索出 “两圆半径与圆心距之间的数量关系”与“两圆 位置”的联系，培养学生认识事物都是相互联系、 相互制约的辩证唯物主义观点。
3、在经历“观察 猜测 探索 验证 应用”的过程， 渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的 转化，培养了学生的转化、思维能力.实现了感性 到理性的升华。
目录 二、复习引入：
封面
导航 1、直线与圆的位置关系
目标
引入 新课
2、两个圆的位置关系
归纳 如何呢？这就是我们
来自一道初二数学操作探究题的思考———浅谈数学知识的建构与数学语言表述能力的培养
数学学习与研究2016.16初中的数学教师通常都有这样的体会:大多数学生很难正确地表述数学概念、法则以及解题过程.在数学课堂教学中,教师提出问题,要求学生把解题的思维过程讲给同学们听时,有不少的同学反映:老师,这道题我会解,但我不会给大家讲.由于上述问题的存在,学生在解决数学有关实际问题时会造成一定的困难.下面有这样一道案例:2013年11月江苏省泰州市白马中学对初二的学生进行了一次数学学情分析,在数学学情分析的命题中,本人变式创新了一道操作探究题,题目是:如图,已知:△ABC与△DCE是等边三角形.B,C,E三点在一条直线上,△ABC经过一次变换后得△DCE,请你写出变换的过程.显然,这道操作探究题考查了初二的学生对三种图形变换:平移、旋转、翻折概念的理解、掌握和运用的情况,同时还考查了初二的学生数学语言表述的能力.初步看,这道题目的答案很简单,只要填写平移、旋转、翻折就行了.但仔细看,填写的答案并不是变换的形式,而是变换的过程.填写的正确答案应当是:变换1:将△ABC沿射线BC的方向平移与线段BC的长度相等的距离;变换2:将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转120°;变换3:将△ABC沿过点C且垂直于BE的直线翻折.教师教学不得法的根本原因有可能是教师在课堂教学中采用了“注入式”的教学方式,学生获取知识的方式是“接受式”.学生用“接受式”获取的知识:(1)具有很强的记忆性色彩,容易逃出他的记忆;(2)不能有效迁移和灵活运用.为了加强课堂教学的有效性,在平时的课堂教学中,教师要采用现代的教学方式“建构式”来进行教学,让学生在“生成式”中获取知识(建构式:从原有的知识经验中生长出新的知识经验;生成式:生长而成的新的知识经验;生成:指思考后的结果).学生用“生成式”获取的知识:(1)能成为身体的一个部分,记忆保持长久;(2)能有效迁移和灵活运用.例如:在讲解图形变换中的旋转变换时,教师可以先用多媒体让学生欣赏日常生活中学生熟知的旋转变换的几个实例来激发学生学习旋转变换的兴趣.教师在黑板上做出旋转变换的图形,如图所示,并用直角三角板示范:将△ABC绕着点A沿顺时针方向旋转90°到△A′B′C′位置.教师一边示范,一边让学生注意观察旋转变换过程中旋转的三要素:(1)旋转中心是哪一个点?(2)旋转方向是什么?(3)旋转角度是多少?学生通过观察后很容易得到答案:A点,顺时针方向,90°.学生回答问题后,教师一边提出问题一边板书:将一个图形绕着某个点沿着某个方向转动一定的角度,这样的图形运动叫作什么?问题一出,全班的学生会不约而同、异口同声立即回答:旋转.此时,教师应立即板书,并向学生明确:这就是旋转变换的定义.学生回答问题后,教师应立即板书.为了强化旋转变换的概念,教师让学生同桌两人为一个小组,要求学生按如图所示用直角三角板动手操作.当学生动手操作时,教师要求学生注意观察旋转变换的过程,并要求学生将观察到的旋转变换的过程用数学语言相互表述.学生在用数学语言相互表述时,教师还要向学生明确:旋转的三要素顺序不能改变.最后教师让学生归纳、总结形成正确的答案:将△ABC绕着点A沿顺时针方向旋转90°到△A′B′C′位置.在平时的课堂教学中,如果教师果真采用了这种“建构式”的教学方法,让学生在“生成式”中获取了知识,那么,学生在解决上述案例中的操作探究题时,我想,大多数同学的答案会绝对准确.语言是沟通与理解的载体,在平时的数学课堂教学中,教师要让学生在建构数学知识的同时,重视培养学生的数学语言表述能力.本人在三十多年的数学教学实践中不断探索、研究,总结得出了行之有效的教学策略:(1)加强阅读,让学生感悟数学语言.数学语言具有高度的抽象性,因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力.学会有关的数学术语、符号、图形,正确依据数学原理分析逻辑关系,才能达到对书本知识的真正理解.同时,数学语言也具有高度的精确性,每个数学概念、符号、术语、图形都有其精确的含义,因此数学阅读,要求必须认真细致,逐字逐句,同时,还要求学生在阅读的过程中勤思多想.对重要的数学概念、公式、法则要反复阅读并尽可能熟记,让学生感悟数学语言.(2)教师示范,让学生形成数学语言.教师数学语言的表述对学生数学语言的表述起着表率的作用,教师的数学语言直接影响着学生的数学语言.因为初中学生具有很强的模仿力,所以教师的数学语言必须力求用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯、逻辑性强.这就要求数学教师要不断提高自身的数学语言素养,通过教师数学语言的示范作用,对学生逻辑思维能力的形成施以催化剂的作用.从新课的引入、知识的发生、问题情境的创设、师生感情的交流,育人氛围的营造,教学的设计、回顾、小结、都需要教师数学语言的艺术功底,而学生正是在教师数学语言的艺术功底中潜移默化,逐步形成数学语言.(3)创造机会,让学生发挥数学语言.在数学课堂教学中,大多数学生不愿说话,不愿举手发言.因此,数学教师要激发学生说话的愿望,鼓励学生大胆说,尽量给每一名学生都有说话的机会,可以先让学生在小组中讨论、交流并形成小组意见,然后再让学生对全班的同学讲.长期训练下去,学生不但有了说话的勇气,而且加强了学生表述数学语言的基础.“疑”是思维的火花,“问”是追求的动力.教师在数学课堂教学中要不断地创造机会,鼓励学生提出问题,让学生在思考中发现问题,解决问题.同时,教师还要让学生用数学语言表述自己的发现过程与解决问题的思维过程,从而让学生发挥数学语言.综上所述,在平时的数学课堂教学中,教师要用现代的教学方式“建构式”来进行教学,让学生在“生成式”中获取知识.学生在建构数学知识的同时,教师要重视学生数学语言表述能力的培养,让学生能够将自己的数学思维活动过程用数学语言有条理性地、有逻辑性地、准确地表述出来.这样,我们的数学课堂教学才能有效,才能跟上时代课堂教学改革的步伐,促进学生数学思维能力的发展,从而促进学生智力的发展,与时俱进.来自一道初二数学操作探究题的思考———浅谈数学知识的建构与数学语言表述能力的培养◎孔令明(江苏省泰州市白马中学副校长225300). All Rights Reserved.。
初中数学美育教育的探究
初中数学美育教育的探究20100225 安徽省桐城市陶冲中学 张新江 罗素大师说过:“数学,如果正确地看,不但拥有真理,而且也具有至高的美.”深刻地揭示了数学与美学的本质联系.随着教学改革的深入,如何在教学教育中带领学生揭示数学的抽象美,诱导学生对数学美的认同,成为初中数学美育教育中的重要课题.本文藉此出发,尝试作出一些探究.1 亲近生活,建立科学的审美感悟一位名人曾经说过:“世界上不缺少美,只是缺少了发现美的眼睛”,这双“发现美的眼睛”,就是我们的审美观.它体现了人的生活态度与价值取向.数学作为解释世界的最基础的自然科学,本身就是为实际需求而建立和存在的.因此,要想更好地体会数学美,就必须在学生心目中树立起科学的审美观.生活中美的形式是多样的,例如对称美、秩序美、和谐美、统一美、奇巧美、简洁美、比较美等等.如果我们把数学美与生活美作一对比,就可以发现它们之间有很多的相同与相似:生活美举例数学美举例井然有序的公共秩序代数式的规范与有序员工待遇的公平对待方程式两端数值平衡干净利索的生活环境形式简约、方法便捷不同方案的比较分析最佳方案与最值问题………… 在初中的数学课堂上,教师们应当联系生活经验,有效地将科学的审美观植入学生的心灵,为学生提供足够的审美时间与审美空间,不断提升学生的审美情操. 2 清晰完整,培养完美的过程意识数学是一门严肃的自然科学.针对任何一个数学问题,我们需要的不仅是得到最终答案,还要系统地梳理出解决问题的科学过程.在这一过程的实现中,需要实现依据的可信、过程的清晰、步骤的完整、结论的合理.任何一个环节的残漏与贻误,都将导致瑕疵或错误.案例1 (学生作业)某药品原价a元,为了缓解老百姓看病贵的问题,政府要求制药厂尽快实行合理定价.某厂决定分两次降价,设每次降价的百分数为x,则两次降价后的售价为____.学生对这道填空题的答案有这样三种形式:①a-2ax+ax2;②a(x-1)2;③a(1-x)2点评 三种答案在数值上是完全相等的,但在数学意义上却大不相同.①式就如无源之水,答案令人费解;②式中的(x-1)所直接表达的意义不合常理;只有③式完整反映了数学事件的整个过程,其中a,(1-x),指数2都有合理的意义,才能算作合理规范的“答案”.图1案例2 (课堂板演)如图1,△ABC中,已知DE//BC,AD=4,DB=6,DE=5,求BC.一位学生的解题步骤如下.解 ∵DE∥BC,∴AD AB=DE BC.……课堂中师生进行了这样的探讨评价:生:缺少一个步骤,要用△ADE~△ABC才能得到这个比例式.师:对!缺少△ADE~△ABC,就好比一棵树,主干剪断后,生出旁枝来,其解题过程因残缺而出错.3 细致入微,树立严谨的数学意识我们从数学中所能获得美的感受,在于微观的精图2准,疏忽大意必定引起描述的失真.案例3 如图2,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,写出图中所有相等的角.21 (2010年第5期·初中版) ·教材教法·. All Rights Reserved.有学生是这样答题的:∠1=∠2=∠B =∠C =45°,∠BAC =∠ADB =∠ADC =90°.点评 这位学生在审题中产生了一个主观误判,根据题图形将∠BAC 当作了直角,进而致使错误难以发现.事实上,如果能够认真审题,便知原题并没有给出△ABC 是直角三角形的条件.4 简捷方法,点亮奇巧的数学灵感数学,是以抽象的思维来达到解决问题的目的.不同的思维出发点,往往会有不同的路径,而在解决问题的方案当中,往往是奇径风景独好,这便是数学的奇巧美.要让学生在数学学习中体验奇巧的魅力,为他们的创新思维提供更加充分的自由空间,也是很有必要的.图3案例4 (课堂板演)如图3,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =4,AC =8,CD ⊥AB ,求sin∠ACD ,cos∠BCD.生1:利用勾股定理,求出AB =42+82=45,再利用△CBD ∽△ABC ,CD AC =CBAB ,求出CD进而求出sin∠ACD 与cos∠BCD.生2:有更好的方法求CD :12AB ·CD =12BC ·AC ,CD 生3:不如利用∠ACD =∠B ,∠BCD =∠A ,转而求sin B 与cos A.全班同学顿时讶然.笔者让学生进行讨论,给予了学生充分的发挥空间与发言机会.简捷方法与奇巧思路的不断推出,极大地激发了学生的灵感.在这样活跃的自由互动中,奇巧的数学美得以诞生.5 弘扬真善美,健全仁爱的数学情操数学作为人类文明的奠基石,并能反作用于人类文明,进而推动文明的良性发展.因此数学也是人文科学的思想结晶.数学中的美育应当作为德育的一个环节.积极弘扬真善美,培养学生的仁爱心灵,这是数学教师义不容辞的责任.在学习中,教师应该向学生提出一些有积极意义的现实问题.例如:将台阶楼梯改为能供残疾人轮椅上下的斜坡,水平距离需延伸多少?再如:为了可持续发展,某处牧场最多能放养多少只羊?等等.使学生在解决数学问题的同时还可以自然地受到人格培养.然而在教学实践中,难免也会遇到一些不和谐的情景.案例5 有一段故事说是爷爷考孙子:“100个和尚100个粑,大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个.算出大和尚、小和尚各有多少?”结果孙子一听就火了:“太不公平了,小和尚1人只能吃到一点点,大和尚凭什么吃那么多?”虽然只是故事,但这里有我们必须反思的问题,那就是数学不可用来解答有悖人性美德的问题.同样为了出题,如果能够稍加改造,调用一些更为合情合理的背景情境,可以做得更好.此例改为:师生总共100人,后山植树100棵.老师1人植3棵,学生3人植1棵.请问参加植树活动的师生各有多少人?虽然在数学模型上无差别,但爱的教育,却在潜移默化中进行着.初中数学美育要在教学实践中让学生真切感受到数学的内在美,培养学生的审美能力,提高学生对数学美的欣赏,激发学生对数学的兴趣,从而达到育人的最终目标.参考文献1.项筱玲.数学教学中的审美思考.贵州大学学报(自然科学版),19932.郭建安.数学教学中的美育问题.青海师范大学学报(自然科学版),19893.封平华、张宏建.数学新课程标准几何部分的审美解读.教学与管理,20094.梅德荣.认识数学美激发学生的学习乐趣.科教文汇(中旬刊),20095.刘红卫.初中数学美和美育教学.教育信息报,2009(收稿日期:20091224)31·教材教法· (2010年第5期·初中版). All Rights Reserved.。
直线和圆的位置关系教学案例
Course Education Research课程教育研究2017年第8期直线和圆的位置关系教学案例杨佳(南京大学附属中学江苏南京210000)【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2017)08-0139-02一、教学内容解析本节课是苏教版必修二第二章2.2.2的内容,是在学习了直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程等之后,用多种方法来研究直线与圆的位置关系。
初中的学习让学生对直线和圆的位置关系有了初步的认识,学生依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系,但从未从“方程”的角度分析直线和圆的位置关系。
研究直线与圆的位置关系,一是从继续从几何角度直观判断,二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究。
这体现了数形结合的思想。
在此基础上,重点研究相交和相切两种位置关系,解决相关问题。
二、教学目标解析1.了解直线与圆的三种位置关系的含义及图示。
2.会通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小判断直线与圆的位置关系。
3.从方程角度理解直线与圆的三种位置关系,通过直线与圆的方程所组成的方程组的解的个数来确定对应关系,解决相关问题。
4.通过直线与圆的位置关系的代数化处理,使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁,从而更深刻地体会数形结合思想。
三、教学重难点教学重点:从几何和代数的角度理解直线和圆相交和相切的位置关系。
教学难点:理解可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系。
四、教学过程设计1.问题情境问题1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为50km的圆形区域。
已知港口位于台风中心正北70km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?设计意图:让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系,思考解决问题的方案。
2.揭示课题———直线与圆的位置关系问题2.前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题。
人教A版高中数学选修一—第二学期第一次月考.docx
2010—2011学年度第二学期马鞍山中加双语学校第一次月考高一数学试卷（时间：120分钟满分：150分）命题人：夏黎平审题人：郑晓敏注意:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分；将选择题答案填在第Ⅱ卷上,只交第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（10*5=50分）1、在中，若，则度数为（）A． B． C．或D．或2、在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，3、在等差数列{an}中，若等于（）A．7 B．8 C．9 D．104、在中，若，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5、在各项均为正数的等比数列{an}中，若等于（）A．12 B．10 C．15 D．276、已知Sn为等差数列等于（）A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：137、数列=（）A．11 B．9 C．7 D．58、在等差数列，则在Sn中最大的负数为（）A．S17B．S18C．S19D．S209、数列的通项公式是，若前项和为10，则项数为（）A．11 B．99 C．120 D．12110、数列1，（）A．B．C．D．二、填空题（5*5=25分）11、在中，,则12、在△ABC中，A，B，C成等差数列，则13、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是.14、数列为等差数列，且，则15、已知两等差数列的前n项和分别为=三、解答题 (12+12+12+12+13+14=75分)16、在△中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．17、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
18、在中，分别为角A、B、C的对边，且满足（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若的最大值。
19、已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。
20、已知数列（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。
安徽省马鞍山市银塘中学九年级数学下册《26.3圆的确定(一)》教案 新人教版
26.3 圆的确定知识与技能：探索圆的确定方法及三角形外接圆的形成，了解三角形的外心到三角形各顶点的距离相等的性质，掌握反证法的证明过程及证明方法。
过程与方法：经历确定圆的过程，体会反证法在证明过程中渗透的辨证唯物主义思想。
情感态度与价值观：与同伴合作交流，共同探索圆的确定方法及三角形外接圆的有关性质，体会数学的应用价值，并能合理应用反证法，对辩证唯物主义思想进一步深刻的认识，从而解决问题。
教学重点：圆的确定及三角形外心的性质。
教学难点：反证法的运用。
教学课时：２课时第一课时一、复习：请学生口述垂径定理及其逆定理。
二、新授：（一）新课引入：经过一点可以作无数条直线，经过两点可以作一条直线，那么经过几点可以作圆呢？（二）思考：１、经过一点A作圆，能作多少个圆？２、经过两点A、B作圆，能作多少个圆？这些圆的圆心有什么特点？３、经过三点A、B、C，能不能作圆？问：当三点不在同一条直线上，要求作一个圆，使它经过这三点，可能吗？如何作？作法：（１）连接AB、BC．（２）分别作线段AB、BC的垂直平分线，设它们交于点O．（３）以O为圆心，OA为半径作圆．则⊙O就是所求作的圆．由于过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆，其圆心只能是线段AB、BC的垂直平分线的交点O，所以经过不在同一直线上的三个点A、B、C只可作一个圆．总结：不在同一直线上的三个点确定一个圆．说明：“不在同一直线”这一条件必须重点强调，若三点共线，则不存在经过这三点的圆。
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心叫做三角形的外心。
这个三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
注：（１）三角形的外心有三种情况：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部．如下图所示：（2）直角三角形外接圆的直径为这个直角三角形的斜边。
三、巩固练习：P23第１题P24第２、３题四、小结：本节课主要学习了哪些知识？同学们有哪些收获？五、作业：P25 第1、２题。
安徽省马鞍山市中加双语学校2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析
安徽省马鞍山市中加双语学校2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为虚数单位，且复数为纯虚数，则实数的值是（）。
A. 0或1B.C.0 D. 1参考答案：C2. 已知：函数f（x）=的图象在（0，f（0））处的切线恰好是双曲线﹣=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率和方程，得双曲线的渐近线，建立a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）==，则函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）==2，f（0）=0，即切点为（0，0），则对应的切线方程为y=2x，∵在（0，f（0））处的切线恰好是双曲线﹣=1的一条渐近线，∴=2，即b=2a，则b2=4a2=c2﹣a2，即c2=5a2，c=a，则离心率e==，故选：B．3. 已知函数，动直线x=t与、的图象分别交于点P、Q，则|PQ|的取值范围是（）A．[0，1] B．[0，2] C．D．参考答案：C4. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18－a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72参考答案：D5. 已知各棱长均为1的四面体A-BCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则的最小值为A．B．C．D．参考答案：B6. 已知集合M={x|y=ln(2-x2)},N={x|}，则（）A．{1} B．{－1,0} C．{－1,0,1} D．参考答案：B7. 已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（0，1] D．（0，1）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），故选：D．8. 已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，点M为椭圆上不同于A1，A2的一点，若直线MA1，MA2与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为﹣得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，，则，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得﹣，即，解得e=．故选：C．9. 命题“”是命题“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分又不是必要条件参考答案：B略10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为I，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为，高为4的四棱锥中挖掉个半径为的球，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两个向量,满足，，,的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .参考答案：12. 直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．参考答案：13. 已知抛物线上有三个不同的点A 、B 、C ，抛物线的焦点为F，且满足，若边BC 所在直线的方程为，则p =______；参考答案：8 【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合直线与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用，即可求得值，从而解决问题．【详解】由可得．由△，有，或．设，，，，则，设，，抛物线的焦点为，且满足，，，，，，点在抛物线上，，.故答案为：8．【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算. 14.．参考答案：15. 设的内角所对边的长分别为,若,则角=______.参考答案：略16. 已知复数满足的轨迹方程是 ；参考答案：略17. 若x≥0，则的取值范围为 ．参考答案：[3，+∞）【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x≥0，则y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=3，当且仅当x=1时取等号．∴y=x+的取值范围为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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5,
所以圆C1与圆C2相交
变式1 求圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y2=0相交弦长.
y C2
（2，2）
x
A （-1,1） O
.
B
. （-1，-4）
直线AB:x+2y-1=0 （3,-1）
外切 |O1O2|=|R+r|
两个公共点 2条公切线
R O1 r O2
O1 O2
r
内切 |O1O2|=|R-r|
相交 |R-r|<|O1O2|<|R+r|
例1 设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0, 试判断圆C1与圆C2的关系.
y C2
（-1,1） A
. （2，2）
y
（2，2）
.A
O
B
.
x
（-1，-4）
巩固练习
过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0的交点且圆心在直线x-y-4=0 上的圆方程是( C ) A.x2+y2-x-5y+2=0
B.x2+y2-x-5y-2=0
C.x2+y2-x+7y-32=0 D.x2+y2+x+7y+32=0
2
①
② ③
把上式代入①,并整理,得 x2 2 x 3 0.
方程④的判别式 2 4 1 3 16 0,
所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2分别代入方程 ③,得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2). 所以圆C1与圆C2相交
解法二: 把圆C1的方程化为标准方程，得
x 1
2
y 4 25.
2
圆C1的圆心是点（-1，-4）,半径长r1=5. 把圆C2的方程化为标准方程，得
x 2 y 2
2
2
10.
圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10 . 圆C1与圆C2的连心线长为 1 22 4 22 3 圆C1与圆C2的半径之和是 r1 r2 5 10, 两半径之差是 r1 r2 5 10,
O
. （-1，-4）
x
B （3,-1）
x+2y-1=0
C1
解法一：圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组 x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ①-②,得 x+2y-1=0, 由③,得
y 1 x 2,
数学思想方法：数形结合
等价转化
谢谢
4.2.2 圆与圆的位置关系
马鞍山中加双语学校 袁辉
圆与圆有哪几种位置关系？
无公共点 4条公切线
R r O1 O2 外离 |O1O2|>|R+r|
无公共点 无公切线
R
唯一公共点 3条公切线
R O1
r
O2
O1 O2
r
内含 0≤|O1O2|<|R-r| 唯一公共点 1条公切线
R
圆与圆 的位置 关系
拓展练习：
c1 : x2 y 2 4x 6 y 12 0
实数K为何值时，圆
c2 : x2 y2 2x 14 y k 0
相切 相交 相离
小结：
研究两圆的位置关系可以有两种方法:
1 圆心距与r1 r2与 r1 r2 的关系 2 两圆方程组成的方程组解的组数
C1
变式2点A在圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0上,点B在圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0圆上,求|AB|的最大值.
y
.
B
. （2，2）
C2
.
. .
A 两点A（2,2）B(-1，-4)到直线L的距离分别 是. 10 和5，满足条件的直线共有多少条？