26.2.1 二次函数 的图象与性质
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
26-2-1二次函数的图像和性质(1)22-23学年华东师大版九年级数学下册
y=－2x2 … -８ -4. 5
-１ -0.25 ０ -0.25 -０.５ -０.１２５ ０ -０.１２５
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
1 1.5 2 … -１ -2.25 -４ …
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
不同点: 开口大小不同;
|a|越大， 抛物线的开口越小。
探究
画出函数 y x2, y 1 x2, y 2x2 的图象． 2
解: (1) 列表
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
y=－x2 … -４ -2.25
y=－
1 2
x2
…
-2
-１.１２５
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－21 x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
仪陇县第九中学九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质 1二次函数y＝ax2
26．2 二次函数的图象与性质1． 二次函数y ＝ax 2的图象与性质1．能够利用描点法作出y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能够比较与y ＝x 2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．重点会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．难点结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．一、创设情境，引入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、探究问题，形成概念1．函数y ＝ax 2 的图象画法及相关名称【探究1】画y ＝x 2的图象学生动手实践、尝试画y ＝x 2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y ＝x 2的图象，如图1.【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线；②图象关于y 轴对称；③有最低点，没有最高点．结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．2．函数y ＝ax 2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.比较图中三个抛物线的异同．相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；②对称轴相同，都为y 轴；③开口方向相同，它们的开口方向都向上．不同点：开口大小不同．【练一练】画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)比较函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．找出它们的异同点． 相同点：①形状都是抛物线；②顶点相同，其坐标都为(0，0)；③对称轴相同，都为y 轴；④开口方向相同，它们的开口方向都向下．不同点：开口大小不同．【归纳】y ＝ax 2的图象特征：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线；(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；(3)|a|越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．三、练习巩固1．已知函数y ＝(m －2)xm 2－7是二次函数，且开口向下，则m ＝________.2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．3．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．4．已知正方形周长为C (cm )，面积为S (cm 2)．(1)求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.四、小结与作业小结1．抛物线y ＝ax 2 (a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．3．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．作业1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思24.6 图形与坐标学前温故在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面____．通常把其中水平的一条数轴叫做______或______，取向右为正方向；铅直的数轴叫做______或____，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做______.新课早知1．确定点的位置的方法有多种：①用______确定点的位置；②用角度和距离确定点的位置；③用棋盘坐标确定点的位置；④用经纬坐标确定点的位置，利用________来表示．2．平面直角坐标系中，图形中各点的坐标发生变化，则新旧图形的变化规律如下：(1)横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于____对称；(2)纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于____对称；(3)横、纵坐标均乘以－1，图形关于____对称；(4)如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；(5)如果原图形上点的横、纵坐标保持不变，而另一个图形的横、纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形则相应地被________放大或缩小该倍数．3．在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(－4,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大，则对应点A′、B′的坐标为( )．A．A′(6,8)、B′(－8，－6)B．A′(6,8)、B′(8，－6)C．A′(－6，－8)、B′(－8,6)D．A′(－6，－8)、B′(8，－6)答案：学前温故直角坐标系x轴横轴y轴纵轴坐标原点新课早知1．平面直角坐标系经纬度2．(1)x轴(2)y轴(3)原点(4)向右(或向左) 向上(或向下)(5)横向、纵向3．D位似变化【例题】如图，把△ABC以A为位似中心，放大1倍，并分别写出变化前后各对应顶点的坐标．分析：(1)运用网格法，延长AB、AC到B′、C′，运用相似三角形性质，相似比等于对应边的比，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′，△AB′C′为所求三角形．(2)可运用相似三角形的性质求变化的坐标．解：如上图所示，网格法延长AB 至B′使AB′＝2AB ， ∵AB＝32＋32＝18＝32，则AB′＝62，延长AC 至C′使AC′＝2AC ，∵AC＝52＋1＝26，则AC′＝226，△AB′C′为所求三角形，AB′AB ＝B′C′BC ＝AC′AC＝2， ∴B′(1,4)、C′(5,0)．∴图形变化前后各对应顶点坐标为：A(－5，－2)、B(－2，1)、C(0，－1)、B′(1,4)、C′(5,0)．点拨：(1)作位似图形时，也可反向延长，即反向延长BA 、CA 到B′、C′，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′.(2)图形放大坐标变化：①用网格法易求点的坐标变化．②运用相似三角形性质求点的坐标变化，构建直角三角形，利用相似形入手求解．1．如图所示，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10,20)表示的位置是( )．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△ABC 与△A′B′C′关于y 轴对称，那么点A 的对应点A′的坐标为( )．A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)3．线段AB 的两端点A(1,3)、B(2，－5)．(1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A′、B′的坐标为：A′______，B′_______.(2)线段AB 关于x 轴对称的线段A″B″，则其坐标为：A″_______，B″________.(3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B 1，A 1B 1关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________．4．如图所示是某城市几个景点的示意图(图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形)．请以某个景点坐标为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．答案：答案：1．B 2.D3．(1)(－1,3) (0，－5)(2)(1，－3) (2,5)(3)(－1,5) (－2，－3)4．分析：(1)几个景点之中，只有“金凤广场”不在格点上．故选择原点时应避开金凤广场，这样就避免太多的点的坐标是分数．(2)选择湖心岛或者动物园作原点，则其他景点均在y轴的右方或者左方，选择动物园作为坐标原点，则所有点均在第三象限．解：选择动物园作为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则湖心岛的坐标为(－6，－2)，光岳楼的坐标为(－5，－3)，山峡会馆的坐标为(－1，－3)，金凤广场的坐标为(－5.5，－5)．。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
九年级数学上册 26.2 二次函数的图像与性质教案2 沪教版五四制
二次函数的图像与性质教学目标1．会画二次函数2()y a x h =-的图象；2．掌握二次函数2()y a x h =-的性质，并要会灵活应用；重点、难点1．会画二次函数2()y a x h =-的图象；2．掌握二次函数2()y a x h =-的性质，并要会灵活应用；考点及考试要求 掌握抛物线2()y a x h =-图像的基本性质（开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、增减性和对称性）教学内容一【课堂导入】1、二次函数的图像是什么形状？2、二次函数22y x =、213y x =-、251y x =+、210y x =--的性质分别是什么？ 3、2(0)y ax a =≠与2(0)y ax c a =+≠二者之间的图像有什么关系？平移规律是什么？ 4、二次函数221y x =- ∵a =___2______∴函数有最___小______值。
二【知识精讲】知识点1：二次函数2()y a x h =-的图像画出二次函数y ＝12 x 2,y ＝12 (x ＋2)2，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点．先列表：x… -4 －3 -2 -1 0 1 2 3 4 y ＝12 x 2 … 8 9/2 2 1/2 0 1/2 2 9/28y ＝12(x ＋2)2 … 9/2 1/2 0 1/2 2 9/2 8 25/2 18 y ＝12(x -2)21825/289/2 21/21/22描点并画图．-10-8 -6 -4 -2-5 -4 -3 -2 -1 10 5 4 3 2 1 8 6 4 2yOx观察图象，二次函数y ＝12 (x ＋1)2的图像是___________________ ； 抛物线②抛物线y ＝12 (x ＋1)2与抛物线y ＝12x 2的形状大小____________ ；相同③ 把抛物线y ＝12 x 2向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝12 (x ＋1)2；2．填表：函数开口方向 顶点 对称轴 y ＝12x 2 向上 （0,0） Y 轴 y ＝12(x ＋2)2 向上 （-2,0） X=-2 y ＝12 (x -2)2向上（2,0）X=2知识点整理1．y ＝ax 2 y ＝ax 2＋c2()y a x h =-开口方向a ＞0 向上 a ＜0 向下 顶点（0,0）（0，c ）(h,0)对称轴Y 轴Y 轴X=h对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 形状 位置三【典例精析】【例1】对于二次函数2)4(31--=x y ，请回答下列问题：(1)把函数231x y -=的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(31--=x y 的图像？ (2)说出函数2)4(31--=x y 的图像的顶点坐标和对称轴。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数图象和性质
二次函数图象和性质ppt xx年xx月xx日contents •二次函数图象的基本特征•二次函数的图象与系数的关系•二次函数的图象变换•不同类型的二次函数的图象和性质•二次函数的应用•总结与回顾目录01二次函数图象的基本特征二次项系数大于0，图象开口向上，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x的增大而减小；在对称轴右侧，函数值y随自变量x 的增大而增大开口向上二次项系数小于0，图象开口向下，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x的增大而增大；在对称轴右侧，函数值y随自变量x 的增大而减小开口向下开口方向顶点式图象的顶点是y轴交点，是对称轴与开口方向相反一般式图象的顶点是原点，对称轴为y轴顶点对称轴公式：对称轴为直线x=-b/2a对称轴与开口方向相反对称轴与开口方向相同对称轴02二次函数的图象与系数的关系总结词：系数a控制函数图象开口方向和大小详细描述开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大开口方向：当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下总结词：系数b控制函数图象对称轴的位置详细描述对称轴向右移动01总结词：系数c控制函数图象与y轴交点的位置与c的关系02详细描述03交点位置：c为图象与y轴交点的纵坐标，当c>0时，交点位于x轴上方；当c<0时，交点位于x轴下方04与最大值的关系：当a>0时，c越大，函数在x轴上方与y轴交点越靠上；当a<0时，c越大，函数在x轴上方与y轴交点越靠下03二次函数的图象变换将二次函数的图象沿x轴或y轴方向进行平移。
平移变换平移变换定义左加右减，上加下减。
平移规律将二次函数y=x^2+2x+1沿x轴向右平移3个单位，得到y=(x-3)^2+2(x-3)+1。
平移示例1翻折变换23将二次函数的图象沿x轴或y轴进行翻折。
翻折变换定义当翻折方向为x轴时，需要将y轴两侧的x坐标取相反数；当翻折方向为y轴时，需要将x轴两侧的y坐标取相反数。
《26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质》同步练习(含答案解析)
26.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象1．二次函数y ＝－5x 2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________． 2．抛物线y ＝ax 2(a <0)经过( )A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限3．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝1100v 2，则下列表示s 与v 之间函数关系的图象为( )图26－2－14．2020·启东市校级月考已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象可能是( )26－2A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． (1)y ＝－3x 2； (2)y ＝14x 2.知识点 2 二次函数y ＝ax 2的性质6．在二次函数y ＝－14x 2中，当x >0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2; 当x <0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“<”)7．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．关于二次函数y ＝12x 2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x <0时，y 随x的增大而减小；(3)当x >0时，y 随x 的增大而增大；(4)当x ＝0时，y 有最小值．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．2020·连云港已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)经过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>010．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求出y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )图26－2－3A ．4B ．8C ．12D ．1612．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2与y ＝kx (k ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )图26－2－413．定义运算“※”为：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2（b >0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )图26－2－5 14．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为________．15．根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；(2)二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值．16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．17．如图26－2－6①所示，P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，点A 的坐标为(4，0)．(1)设点P 的坐标为(x ，y )，试求出△AOP (O 为坐标原点)的面积S 关于点P 的横坐标x 之间的函数关系式；(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S 关于x 的函数图象．图26－2－618.如图26－2－7，平行于x 轴的直线AC 与抛物线y 1＝x 2(x ≥0)和y 2＝x 23(x ≥0)分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝________．图26－2－7详解详析1．向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0)2．B [解析] ∵a <0，∴抛物线的开口向下． 又∵抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为(0，0)， ∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.3．C [解析] 因为1100>0，所以函数s ＝1100v 2的图象开口向上．由于自变量v >0，故选C.4．B [解析] 当a ＞0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y ＝ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a ＜0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y ＝ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.5．略 6．< >7．B [解析] 抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2的开口向上，y ＝－x 2的开口向下，故①错误；抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，②③正确；④错误．故选B. 8．D 9．C [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)，∴A (－2，y 1)关于y 轴的对称点的坐标为(2，y 1)．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 1>y 2>0.故选C.10．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a ×1＝3， ∴a ＝3.(2)把x ＝3代入y ＝3x 2中，得y ＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可)．11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.故选B.12．C [解析] 一次函数y ＝k (x －k )＝kx －k 2， ∵k ≠0，∴－k 2＜0，∴一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上．A 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，A 不正确；B 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，B 不正确；C 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴上，C 正确；D 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，D 不正确．13．C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（x >0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是抛物线y ＝2x 2对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是抛物线y ＝－2x 2对称轴左侧的部分．故选C.14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －4＝2，k ＋2＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3或k ＝2，k >－2，∴k ＝2.15．解：(1)∵二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＋3＜0，解得m ＜－3.(2)∵二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值，∴2m －1＞0，解得m ＞12.16．解：(1)列表如下：连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a |相同，两条抛物线的形状就相同；|a |越大，抛物线的开口就越小． 17．解：(1)由于P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ，y )，所以点P 到x 轴的距离为y ＝x 2，所以S ＝12×4×x 2＝2x 2(x ＞0)．(2)由于x >0，所以画出的图象为抛物线S ＝2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．18．3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，a )，令x 2＝a ，解得x ＝a (负值已舍去)，∴点B (a ，a )．令x 23＝a ，则x ＝3a (负值已舍去)，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ，∴点D 的纵坐标为(3a )2＝3a ， ∴点D 的坐标为(3a ，3a )．∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a . 令x 23＝3a ，∴x ＝3 a (负值已舍去)，∴点E 的坐标为(3 a ，3a )， ∴DE ＝3 a －3a . 故DE AB ＝3 a －3a a＝3－ 3.。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
最全二次函数概念的图像与性质(系统归纳)完整版.doc
二次函数的图像与性质抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点:①抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）②抛物线与x轴的交点坐标为(x1,,0) (x2,,0),其中x1,、 x2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根。
抛物线与x轴的交点情况：（可由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式判定）①△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点；②△＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；③△＜0⇔抛物线与x轴没有交点。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用：(1)a决定抛物线形状及开口方向:①若|a|相等，则形状相同。
②a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下。
③ |a|越大,开口越小.(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x= -b/2a 故①若b＝0⇔对称轴为y轴；②若a与b同号⇔对称轴在y轴左侧；③若a与b异号⇔对称轴在y轴右侧。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c ，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)。
①c＝0⇔抛物线经过原点；②c＞0⇔抛物线与y轴交于正半轴；③c＜0⇔抛物线与y轴交于负半轴。
（4）判断a＋b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为何值决定正负。
判断a－b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为何值决定正负。
利用待定系数法求二次函数的方法：①已知抛物线过三点，设一般式y=ax2+bx+c ②已知抛物线顶点（对称轴、最值）及一点，设顶点式y=a(x-h)2+k③已知抛物线与x轴的两个交点（抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式y=a(x-x1)( x-x2) 其中x1 、x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，， 且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．B A D MF第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=．B 图(1)图(2)l3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
华东师大版九年级数学下册26.2《二次函数的图像与性质》平移与抛物线的求法
平移与抛物线的求法抛物线的平移题型一般有两种情况：(1)已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；(2)已知原抛物线和经过平移后所得抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．抛物线平移规律可由其顶点坐标y=a(x-h)2+k 来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，易成立．下面举例说明有关的平移问题．一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线例1 将抛物线y=2x 2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．析解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为(0，0)， 向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(3，-2)，所以所得抛物线的关系式为y=2(x-3)2-2． 例2 将抛物线y=-3(x-1)2-3先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．析解： 因为抛物线y=-3(x-1)2-3的顶点坐标为(1，-3)， 所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1-2，-3+5)，即(-1，2)，所以所得抛物线的关系式为y=-3(x+1)2+2．二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式例3 将抛物线y=a(x-h)2+k 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为y=-21(x+2)2-3，则原抛物线的关系式为_______． 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
26.2.1特殊二次函数的图象
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用光滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.
观察:
函数y=-x2 的图像的形状，位置有什么特征？
归纳:二次函数y=-x 2的图像也是一条抛物线，分别向
左下方和右下方无限伸展.
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 2 -2 抛物线 y=-x 的开口方向向下;它是轴对称图 -3 形,对称轴是y轴,即直线x=0. -4 2 -5 抛物线y=-x 与y轴的交点是原点O;除这个交 -6 点外,抛物线上的所有点都在x轴的下方,这个交点 -7 是抛物线的最高点. -8 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. -9 2 抛物线 y=-x 的顶点是原点O(0,0). -10
1 函数y=－2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
x
一般地,二次函数y=ax2 (a≠0 )的图像是抛物线， a>0 称为抛物线y=ax2 y 10 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,即直线x=0; 9 8 7 顶点是原点.开口方向由a的符号决定。 6 当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛 物线的最低点, a越大,抛物线的开口越小; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛 物线的最高点, a越大,抛物线的开口越大;
二次函数: 一般地,解析式形如 y=ax2+bx+c (其中a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数. 二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0）的定义域 为一切实数。
1.一次函数图象的形状是什么？ 一条直线
+1
华东师大版九年级数学下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质【名校课件+集体备课】
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
新课进行时
典例精析
例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗? （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二 次函数y=－x2的图象上吗?
6
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题； 2、完成同步练习册本课时的习题。
文本
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文本
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谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
新课进行时
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流。
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
新课进行时
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我 们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域 中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去 比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补 法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
二次函数的图像与性质
在数学其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用，例如最优化问题、供需关系等。 二次函数在物理学中的应用，例如抛物线运动、弹簧振动等。 二次函数在计算机科学中的应用，例如算法设计、数据拟合等。 二次函数在工程学中的应用，例如建筑设计、机械运动等。
在物理和工程中的应用
抛物线运动：描述 物体在垂直方向上 的运动轨迹
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
调递增
添加标题
应用：二次函数在 数学、物理等领域 有广泛的应用，如 求最值、解决实际 问题等；反比例函 数在物理、工程等 领域也有应用，如 计算电容量、电流
等
添加标题
与指数函数的比较
表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，指数函数的一般形式为y=a*x^n，其中n>0且 n≠1
图像：二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一条单调递增或递减的曲线
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．。
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27.2.1 二次函数）（02
≠=a ax y 的图象与性质
班级： 姓名： 档次：
学习目标：
1、掌握二次函数）（02
≠=a ax y 的图象及其性质。
2、会画形如）（02≠=a ax y 的二次函数的图象，会用2
ax y =的性质解决有关问题。
知识回顾：
1、二次函数的一般形式是
特殊形式有 2、由函数解析式画函数图象由哪几步？
3、一次函数）（0≠+=k b kx y 的图象是 ，当0>k 时，y 随x 增大而 ；当
0<k 时y 随x 增大而 ，反比例函数）
（0≠=k x k
y 的图象是 自学指导： 请同学们认真自学课本5页—6页内容，并完成下列问题。
1、在同一坐标系内画出下列函数的图象： （1）2
x y = （2）221x y = （3）2x y -= （4）22
1x y -=
描点： 连线：
2
主备人：
注意：a 越大，抛物线开口越小，a 越小，抛物线开口越大。
自学检测： 1、已知二次函数2
3x y =，2
31x y -
=（1）抛物线23x y =的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，抛物线上的点都在x 轴的上方。
（2）抛物线2
3
1x
y -=的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，除顶点外，抛物线上的点都在x
轴的 方，它的顶点是图象的最 点。
2、已知函数m
m
mx y --=2
的图象是开口向下的抛物线，则m 的值是 。
3、抛物线2
2x y -=的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
4、对于二次函数2
3x y =，当=x 时，y 有最 值是 。
5、二次函数2
3x y -=的图象上有两点A （m ，27-），B （2，n ），则=+n m 。
6、已知二次函数2
x y π-=的图象经过A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点，且021>>x x ，则1y 与2y 的大小关系是
7、已知点A （a ，1y ），B （1+a ，2y ），C （2+-a ，3y ）都在抛物线2
x y -=上，当2>a 时，1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）。
A 、1y <2y <3y B 、2y <1y <3y C 、2y <3y <1y D 、3y <2y <1y
8、函数2x y =，221x y =，2
2x y =的图象大致如图所示，则图中从里到外的三条抛物
线对应的函数依次是（ ）
A 、221x y =，2x y =，22x y =
B 、2x y =，22
1
x y =，22x y = C 、22x y =，221x y =，2x y = D 、22x y =，2
x y =，22
1x y =
达标测试：
1、函数）（22x y -=
的图象是 线，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图
象的开口向 ，当=x 时，函数有最 值，是 ，在对称轴的左侧，y
随x 的增大而 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而
2、把函数2
3x y -=的图象绕其顶点旋转︒180，得到的图象的解析式为 3、二次函数）（02≠=a ax y 与直线32-=x y 交于点A （1，b ）。
求：①a 和b 的值；②画出函数图象；③求顶点坐标和对称轴。
④x 取何值时，2ax y =中的y 随x 的增大而减小。