2013年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
【2013广州二模纯word版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)数学文试题Word版含答案
试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2013.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++> B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a bB ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值 5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y xω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．2B ．3C ．6D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1图2则三个模块都选择的学生人数是A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．17．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、图3B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长． 19．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．21．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程． PAB图42013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．50分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．ks5u11．14π-12．10 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin A =．所以2R ==，即3R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，3OB R ==，703522BC BD ===，所以OD ==………………………………………………………11分=． 所以点O 到直线BCm ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 60BD OD BOD ===∠11分所以点O 到直线BCm ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分 因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分所以AC ==9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△16=10分= ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x=-，即x =13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分 因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，…………………ks5u ………………………8分 PAB则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………ks5u ……………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．……ks5u …………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分此时2cos4BC π==．………………………………………………………………………………13分 所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩……………………ks5u …………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．………………………………ks5u ………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<．因为1m >，所以1133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………ks5u ……………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………ks5u ………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于(2222()x x x a f x x x-'==， 所以函数()f x在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．………………………7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分（ⅱ）若12<≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间(为减函数，在)2上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为ln f a a a =-．……………………………………11分2>，即4a >时，([1,2]⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为ln fa a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2212120121114442BC x x x x k x x x -+===-， 即1202x x x +=．………………………………………………4分 因为2210101011444AC x x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45=．…ks5u ………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分 所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， AB C D O x y l E直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB，可知BAD ∠45=．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-． 即()()102016x x x x --=-． ①由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编20坐标系与参数方程
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编20：坐标系与参数方程一、选择题二、填空题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______【答案】12 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在极坐标系中,直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为____【答案】3 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1l 的极坐标系方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,ρ> 02)θπ≤≤,直线2l 的参数方程为{1222x t y t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________【答案】解析:sin sin cos cos sin 1444y x πππρθρθρθ⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭ {12322x t x y y t =-⇒+==+,由3112x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,2)A ⇒ 4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在极坐标系中,圆3cos ρθ=上的点到直线cos()13πρθ-=的距离的最大值是______. 【答案】745 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、,则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(或1cos sin =+θρθρ)6 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】;7 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.【答案】cos 3ρθ=.8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为__________. 【答案】34 9 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ(0,02πρθ>≤<)中,曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____【答案】解析:4π⎫⎪⎭两式相除得tan 12sin 44ππθθρ=⇒=⇒==,交点的极坐标为4π⎫⎪⎭ 10．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则半径r =________. 【答案】211．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1(x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为________.【答案】412．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______【答案】1;13．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(坐标系与参数方程选做题)过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为__________.【答案】sin ρθ=【解析】点(2,)3π的直角坐标为,∴过点平行于x 轴的直线方程为y =即极坐标方程为sin ρθ=14．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知圆M:x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的距离为______. 【答案】2 15．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩(t 为参数)截圆22cos ρρθ+-3=0的弦长为____【答案】 416．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知直线l 方程是22x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=2,则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___ 【答案】222-17．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线sin()6πρθ+=3的距离的最小值是____【答案】1 18．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________【答案】3;19．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C :ρ=和曲线2C :cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距离等于的点的个数为__________.【答案】3;将方程ρ=与cos()4πρθ+=化为直角坐标方程得 222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=,故满足条件的点的个数3n =.20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4)=2 2 的距离为 _*****_. 【答案】答案: 2 解:在直角坐标系中,圆:x 2+y 2=4x ,圆心C (2,0),直线:x +y =4,所以,所求为2. 21．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C到直线l的距离为__________.【答案】 22．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是________.【答案】分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=,直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离2d ==故圆C 截直线l 所得的弦长为=23．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x oy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若以O 为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是________.【答案】4cos ρθ=25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点π1,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线,则切线长为______. 【答案】3;26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点,A B 分别在曲线12cos :sin x C y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则||AB 的最大值为__________.【答案】527．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中,曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为_________.【答案】(1,)2π28．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线l 过圆C:)4πρθ=-的圆心C,且与直线OC 垂直,则直线l 的极坐标方程为_________.【答案】把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+,圆心C 的坐标为(1,1),与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=,曲线C :1ρ=上的点到直线的距离为d ,则d 的最大值为_________. 【答案】【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=,曲线C 的方程为221x y +=,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为max 11d = 30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点,设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ,则PA d +的最小值为______.【答案】31．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________. 【答案】2.。
2013年广州二模数学理科答案详解
1．集合N M x N x y y M x 则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,0 2．15cot 15tan -的值是（ ）A ．3-B ．32C ．3D ．32-3．要得到函数)42sin(3π-=x y 的图象,可将函数x y 2sin 3=的图象沿x 轴（ ） A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位C ．向左平移8π单位D ．向右平移8π单位4．函数)(32R x y x ∈+=的反函数为（ ）A ．)3(23log 2>-=x x y B ．)3)(3(log 2>-=x x yC ．)3)(3(log 2>-=x x yD ．)3(23log 2>-=x xy 5．011<<ba 若，则下列不等式正确的个数是（ ）①||||b a > ②ab b a <+ ③2>+baa b ④b a ba -<22A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．过点（1，1）的直线l 与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最小时，直线l 的斜率为 （ ）A ．2B ．－1C ．－2D ．1 7．等差数列{}1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为 （ ）A ．20B ．－20C ．10D ．－108．函数)(x f y =图象如右图所示,不等式0)()(>--x f x f 的解集是 （ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．)0,1[-D ．]1,0(9．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，若a ，b ，c 成等比数列，且c =2a ，则cos B 等于（ ）A ．41B ．43 C ．42 D ．3210．已知△ABC 中，向量,0||||(=⋅+AC AB 满足与21||||=AC AB ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形11．已知点（x ，y ）在如图所示平面区域内运动（包含边界），目标函数.y kx z -=当且仅当54,32==y x 时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．)103,512(--B ．]103,512[--C ．)310,125(--D ．]310,125[--12．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则)()()(1021a f a f a f +++ 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小数点题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．不等式21≥-xx 的解集为 . 14．若),(,2||,1||b a a b a -⊥==则向量a 与b 的夹角为 . 15．已知αββαtan ,41tan ,52)tan(则==+= . 16．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积。
2013广州二模数学试题(文科试题含答案)
数学（文科）试题A 第 1 页 共 16 页试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2013.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值数学（文科）试题A 第 2 页 共 16 页5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y x ω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y = ，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：模块 模块选择的学生人数模块 模块选择的学生人数A 28 A 与B 11 B 26 A 与C 12 C26B 与C13则三个模块都选择的学生人数是A ．7B ．6C ．5D ．4图1 S S i =+ 0,1S i ==结束 开始 否 是 输出S 27?i > 2i i =+ 46图2数学（文科）试题A 第 3 页 共 16 页二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数2 2 2 1 1图3M数学（文科）试题A 第 4 页 共 16 页某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长．PABC图4数学（文科）试题A 第 5 页 共 16 页在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．数学（文科）试题A 第 6 页 共 16 页已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．数学（文科）试题A 第 7 页 共 16 页经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．数学（文科）试题A 第 8 页 共 16 页2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分数学（文科）试题A 第 9 页 共 16 页17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =． 所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=． 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． ABCODABCOD数学（文科）试题A 第 10 页 共 16 页所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分 在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， 所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠ ．…………………………………………………………11分 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为AB AC A = ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分 因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PA CA A = ，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分PABC数学（文科）试题A 第 11 页 共 16 页方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分 所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和数学（文科）试题A 第 12 页 共 16 页1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以231133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数，数学（文科）试题A 第 13 页 共 16 页则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==， 所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分 （ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分数学（文科）试题A 第 14 页 共 16 页21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC ABx x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩A B CDOxylE数学（文科）试题A 第 15 页 共 16 页解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．数学（文科）试题A 第 16 页共 16 页。
2013年广州二模理科数学试卷及答案(纯word版)
广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）
18.(本小题满分14分）
等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足==EA CE DB AD 图3).将ΔADE 沿DE 折起到ΔA 1DE 的位置，使二面角A 1-DE-B 成直二面角， 连结A 1B 、A 1C (如图4).
(1) 求证：A 1D 丄平面BCED;
(2) 在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为600
？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由
19.(本小题满分W 分）
巳知a>0,设命题p:函数f(x)=x 2
-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与x 轴有两个不同 的交点；命题q: g(x) =|x-a|-ax 在区间（0, + ∞ )上有最小值.若q p ∧⌝)(是真命题，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分14分）
经过点F (0，1)且与直线y= -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上， 且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程；
(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；
(3) 若点D 到直线AB 的距离等于
||22AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程. 21.(本小题满分14分）
设a n 是函数*)(1)(23N n x n x x f ∈-+=的零点.
(1)证明：0<a n <1；(2)2
3...21<+++<n a a a。
广东省广州市2013年普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试卷(word版)
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ． 两数立方差公式：3322() ()a b a b a ab b -=-++．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的 l ．已知i 为虚数单位，若复数(1)(1)a a -++i 为实数，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ． 1D ．不确定2．已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U UA A痧中有n 个元索，若A B 非空，则A B 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ．n m -3．已知向量()sin ,cos a x x =，向量(b =，则a b +的最大值为A ．1BC ．3D ．94．若m ，n 是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若//m n ，//n α，则//m αC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥5．在如图1所示的算法流程图中，若()2x f x =，()3g x x =，则()2h 的值为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“=”) A ．9 B ．8 C ．6 D ．46．已知点(),p x y 的坐标满足10,30,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点，则PO 的最小值为A．2B．2CD7．已知函数()sin f x x =，若12,[,]22x x ππ∈-且()()12f x f x <，则下列不等式中正确的是A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．2212x x < 8．一个人以6米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为()v t t =米／秒．那么．此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一) 必做题 (9~13题)9．若函数()cos() cos() (>0)2f x x x πωωω=-的最小正周期为π，则m 的值为 ．10．已知椭圆C的离心率2e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重台，则椭圆C 的方程为 ．11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是． 12．图2是一个有n 层(2)n ≥的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第n 层 每边有n 个点，则这个点阵的点数共有 个．13．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中2x 的系数为 ． (二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为142x ty t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈)，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (参数[0,2]θπ∈)，则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ，OD BC ⊥，P 为AD 的中点，6BC =，则弦AD 的长度为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=．(1) 求tan α值；(2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．17．(本小题满分12分)如图4，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，AD CD =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．18．(本小题满分14分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)s t t =+≤≤，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：22 (0)x py p => 的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ．(1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数()32(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的(1) 求a 的值和b 的取值范围；(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意n N ∈*都有1n n a b +=，211n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； (2) 证明：31324122341123...1 (1) ...n n n na a aa a a a a n nb b b b b b b b ++++++<+<++++．。
2013广东揭阳二模数学答案(理科)
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ． 3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D. 6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C .8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
2013年广州二模理科数学试题附详细解答(纯WORD版)
试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2013.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A. |a.b | = |a | |b |B. |a +b |=|a |+|b |C. (a .b )c =a (b -c )D. a .a =|a |22．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年图1A ．B ．C ．D ．图2- 2 -8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，， A ．34 B ．1 C ．3 D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22f x x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为 ．13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cosρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．- 4 -已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程． 21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<； （2）证明：1n n <+1232n a a a +++< ．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．1、分析：|||||||cos ,|a b a b a b =<> ；由向量加法的几何意义||||||a b a b ++ …；()a b c是与c 平行的向量，()a b c 是与a 平行的向量；D 正确，即22||a a a a ==2、分析：圆2220x y y +-=即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =，圆心到直线1y kx =+即10kx y -+=得距离0d ==，即直线经过圆心，故直线与圆相交3、分析：因为1i -是方程220x px q ++=的一个解，所以2(1i)2(1i)0p q -+-+=，整理得(2)(22)i 0p q p ++--=，解得1p =-，2q =，所以1p q +=4、分析：用排除法，当0x >时，()f x 单调递减，故此时()0f x '<，即()f x '的图象在x 轴下方，排除B 、D ；当0x <时，()f x 先增后减再增，故此时()0()0()0f x f x f x '''>→<→>，排除C ；A 正确5、分析：由题意cos()066ππω⨯+=，代入检验2ω=适合6、分析：圆锥直观图如图，设截面圆半径为r ，所截小圆锥的高为h ，由题意2221131173433r hr h πππ=⨯⨯-，化简2836r h =，又由三角形相似得34r h =，即34h r =， 联立解得294r =，故截面圆面积为294r ππ=7、分析：设使用了n 年，则年平均费用为- 6 -15(1.50.3)(1.520.3)(1.530.3)(1.50.3)n n++++⨯++⨯+++⨯15 1.50.3(123)n n n++++++=(1)15 1.50.32n n n n+++⨯=150.31.65 1.652n n =+++…当且仅当150.32n n =时，即2100n =，10n =取到最小值 8、分析：2min{1,1,6}x x x x +-+-+的图象如下图中的红色部分，其最大值2max{min{1,1,6}}x x x x +-+-+在两直线16y x y x =+⎧⎨=-+⎩的交点处取到，解得交点坐标为57(,)22，即最大值为72二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 10．1011．216 12．2π 13．36；3981 14．14 159、分析：设乙型号x 支，丙型号y 支，则12234x y==，得18x =，24y =，则样本容量12182454n =++= 10、分析：因为02πα<<，所以3444πππα<+<，又3cos()45πα+=，所以4sin()45πα+==， 故sin sin[()]44ππαα=+- sin()cos cos()sin 4444ππππαα=+-+435252=⨯-⨯=11、分析：因为该五位数能被5整除，所以其末位是0或5，若末位是0，则从1，2，3，4，5中任取4个数字填前4位，有45A 5432120=⨯⨯⨯=种；若末位是5，因为0不能在首位，先从1，2，3，4中任取1个数字填首位，有14C 种，再将余下的3个数字连同0共4个数字排在中间三个数位，有34A 种，故末位是5的有1344C A 443296=⨯⨯⨯=种；综上，满足条件的五位数共有12096216+=种12、分析：2222{(,)|()()2}{(,)|222}{(,)|(1)(1)4}M x y f x f y x y x x y y x y x y =+=-+-=-+-剟M 表示以(1,1)为圆心，半径2r =的圆及其内部；2222{(,)|()()0}{(,)|220}{(,)|(1)(1)}{(,)|1||1|}N x y f x f y x y x x y y x y x y x y x y =-=--+=--=--厖 …N 表示两条相交直线构成的两个部分；在同一坐标系中画出上述两个图形，其公共部分如图中阴影部分所示，其面积21222S ππ=⨯=13、分析：2036S =；截至第21k -个 2 时，共有2(121)[135(21)]2k k k k k k k +-+++++-=+=+ 项，估计2k k +的值，当44k =时，共21980k k +=项，要达到2013项，只需从其后续的取1个1，32个 2，故201344(187)451(13587)23224526439812S +=⨯+++++⨯+⨯=+⨯+= 14、分析：如图，作//DH BC ，交AF 于G ，交AB 于H ，设HG x =，因为D 是AC 中点，所以G 、H 分别是AF 、AB 中点，所以2BF x =，又BEF ∆∽DEG ∆，又13BE BD =，所以24GD BF x ==，5HD HG GD x =+=，由中位线知10BC x =，1028FC BC BF x x x =-=-=，所以2184BF x FC x ==15、分析：点(1,)2A π的平面直角坐标为(0,1)A ，由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即其平面直角坐标方程为24y x =（抛物线），由cos 10ρθ+=得10x +=，（恰是抛物线的准线），作图如下：由抛物线定义知||||||PA d PA PF +=+，（F 为抛物线的焦点(1,0)）由两点之间线段最短知，当P 移动到直线AF 与抛物线的交点'P 时||||PA PF +最小，此时- 8 -|||||||'||'|||PA d PA PF P A P F AF +=+=+=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ……………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以2R ==，即R =8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，OB R ==703522BC BD ===，所以OD ===……………………………………11分 所以点O 到直线BCm ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 60BD OD BOD ===∠．…………………………………………11分 所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分 17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=…1’满足||PH <P 构成的平面区域是以HABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个 直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部 构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||PH <112484π+π=+．………………………………………………………4分 （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．……………………………………5分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为12．……………………………………………………7分 且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为……10分- 10 -21321127714714E ξ=⨯++⨯+57+=．………12分 18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA =， 所以1AD =，2AE =． 在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得DE 因为222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥．……………………………………………………………………………………2分因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED ． …………………………3分 又平面1A DE 平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥， 所以1A D ⊥平面BCED ． ………………………………………………………………………………4分 （2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分 由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH ．…………………………………………………6分又1A D BD D = ，所以PH ⊥平面1A BD ．…………………………………………………………………………………7分 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角． ……………………………………………………8分 设PB x =()03x ≤≤，则2x BH =，PH x =．…………………………………………………9分 在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分 在Rt △1A DH 中，11A D =，122DH x =-．………………………………………………………11分 由22211A D DH A H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．……………………………………………………………13分 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图． …………………………………………………………5分设2PB a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2DH a =-． ……………………6分 所以()10,0,1A，()2,0P a -，()E ．…………7分所以()12,,1PA a =-．……………………………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD的一个法向量为()DE =．……………………………………………………9分因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE =2==…………………………………………11分 解得54a =． ……………………………………………………………………12分 即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． ……………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分） 解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………2分- 12 -即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………4分112a <≤．112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分 下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分 ②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………8分 ③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．………………………………………………7分 要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分 即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………………………………9分 所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ……………………………………………10分 若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……………11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ………………………………………………………………………13分故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦．…………………………………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444ABx x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45= ．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． A B CDOxylE- 14 -由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分 所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到ABAD ，可知BAD ∠45= ．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ……………………………………………………11分以下同方法1． 21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．………………………………………………………………………1分 因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………2分 所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内． 而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．…………………………………………………………3分 （2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=， 由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．………………………………………………………………4分 即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．…………………………………………………………5分 所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．…………………6分 以下证明222111112111n n n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，…………………………………………7分 所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++．…………………………………9分 方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立． 2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．- 16 -那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++． 以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ② 即证()()()21111111k kk k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立． 即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立． 所以121n na a a n +++>+ ．…………………………………………………9分 再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11324a <<．………………………………………………………………10分 由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n -=<． ……………………………11分 因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，…………………………………………………………12分 所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 113122n =+-<． 所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<． 综上所述，1n n <+1232n a a a +++< ．……………………………………………………………14分。
【解析版】2013年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)
2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）
•|=|||| +|=|丨（•）（••=||2
解：∵=||||cos|||||
|+||+||，只有当，
∵（是向量，其方向与向量相同，（）与向量
=||||cos0=
22
的距离为=0
3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，
根据根与系数的关系可得，解得
4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）
．．D
5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则
ω×）+，
解：∵函数的一个对称中心是
ω×++=k+
6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
．D
小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，，
截面的面积为
7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即
费用
=15+1.5n++=0.15n
年平均费用：=0.15n++1.652+1.65=2。
广东省13大市区高三数学 最新试题精选二模分类汇编15 常用逻辑用语 理
一、选择题1 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）若0>x 、0>y ,则1>+y x 是122>+y x 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】B 2 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））在四边形ABCD中,“AB DC =,且0AC BD ⋅=”是“四边形ABCD 是菱形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）下列命题正确的是 （ ）A ．2000,230x R x x ∃∈++=B ．32,x N x x ∀∈> C ．1x >是21x >的充分不必要条件 D ．若a b >,则22a b >【答案】C4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如果命题“()p q ⌝∨”是假命题,则下列说法正确的是（ ）A ．p q 、均为真命题B ．p q 、中至少有一个为真命题C ．p q 、均为假命题D ．p q 、中至少有一个为假命题【答案】B5 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知命题p :,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b+=;命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥恒成立,则下列命题是假命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()p q ⌝∧【答案】B6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b⊥的充要条件是 （ ）A ．0x =B ．5x =C ．1x =-D ．12x =-【答案】A7 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）“1a =”是“(1)(2)0a a --=”成立的A . 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】A 8 ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）给出下述四个命题中:①三角形中至少有一个内角不小于60°; ②四面体的三组对棱都是异面直线;③闭区间[a ,b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点;④当k >0时,方程x 2+ ky 2= 1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】解:当k =1时,曲线是圆,故D 错误.其余三个命题都是正确的.选 C ． 9 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知x R ∈,则1x ≥是|1||1|2||x x x ++-=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A10．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x <<C ．1x >- D ．1x >【答案】D 画出直线y x =与双曲线1y x=,两图象的交点为(1,1)、(1,1)--,依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*),显然1x >⇒(*);但(*)⇒/1x >. 11．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）设向量=a ()21x ,-,=b ()14x ,+,则“3x =”是“a //b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A分析:当//a b 时,有24(1)(1)0x x ,解得3x =±;所以3//x a b =⇒,但//3a bx =,故“3x =”是“//a b ”的充分不必要条件12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题,则 （ ）A ．命题p 、q 均为假命题B ．命题p 、q 均为真命题C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题 【答案】D 13．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为2π; 命题q:函数y=cosx 的图象关于直线x=2π对称,则下列的判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．⌝q 为假C ．p ∧q 为假D ．p q ∨为真【答案】C14．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）“22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B15．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）下面是关于复数21z i=- 的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为.A 23,p p .B 12,p p .C 24,p p .D 34,p p【答案】C 16．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）设x,y ∈R,则“x=0”是“复数x+yi为纯虚数”的A 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））“|x -1|<2成立”是“x(x -3)<0成立”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 18．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A19．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-”; ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”④等比数列{}n a 中,首项10a <,则数列{}n a 是递减数列的充要条件是公比1q >; 其中不正确．．．的命题个数是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C20．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））设命题p:“若对任意x R ∈,|x+1|+|x-2|>a,则a<3”;命题q:“设M 为平面内任意一点,则 （ ） A ． B ．C 三点共线的充要条件是存在角α,使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”,则（ ）A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题 【答案】C解析:P 正确,q 错误:22sin cos MB MA MC αα=+⋅,<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C 三点共线.反之,不成立.例如,A(0,0),B(1,0),C(2,0),BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量 M C ．所以这个命题是假的. 21．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知:230p x x ---≤,:3q x ≤,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A22．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R【答案】C 二、填空题 23．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）命题“∃0x ∈R,0x e ≤0”的否定是______________.【答案】∀x ∈R,x e >0 24．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知函数()4||21f x a x a =-+.若命题:“0(0,1)x ∃∈,使0()0f x =”是真命题,则实数a 的取值范围为____________.【答案】由“∃)1,0(0∈x ,使得0)(0=x f ”是真命题,得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >. 25．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知命题2:,10,p x R x x ∃∈+-<则命题p ⌝是______________________. 【答案】2,10x R x x ∀∈+-≥三、解答题26．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知0a >,设命题p :函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点;命题q :()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值.若()p q ⌝∧是真命题,求实数a 的取值范围.【答案】(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点,必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.解得1212a -<≤.所以当1212a -<≤时,函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围:方法1:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥①当1a >时,()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减,()g x 在()0,+∞上无最小值; ②当1a =时,()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-; ③当01a <<时,()g x 在()0,a 上单调递减,在[),a +∞上单调递增,()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值方法2:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥因为0a >,所以()10a -+<.所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的要使()g x 在()0,+∞上有最小值,必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数 即10a -≥,即1a ≤所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值若()p q ⌝∧是真命题,则p ⌝是真命题且q 是真命题,即p 是假命题且q 是真命题所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或解得01a <-或112a <≤ 故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦。
2013年广州市普通高中毕业班综合测2答案
值． ……………………………………………10分
若 p q 是真命题，则 p 是真命题且 q 是真命题，即 p 是假命题且 q 是真命
题．……………11分
所以
0
a≤
2 1,或a 1 , 2
……………………………………………………12分
0 a≤1.
解
得
0 a≤ 2 1
或
1 a≤1． ………………………………………………………………………13分 2
不同的线段．…………………………5 分
其中长度为 1 的线段有 8 条，长度为 2 的线段有 4 条，长度为 2 的线段有 6 条，长度
为 5 的线段有 8 条，长度为 2 2 的线段有 2 条． 所以 所有可能的取值为1， 2，2， 5，2 2 ．………7 分
且 P 1 8 2 ， P 2 4 1 ， P 2 6 3 ，
由
余
弦
定
理
15． 2
得
AB2 AC2 BC2 cos BAC
………………………………………………………2 分
2 AB AC
802 502 702 1 ．………………………3 分 280 50 2
因为 BAC 为△ ABC 的内角，所以 BAC ．……………………4 分 3
（2）方法 1：因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等， 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心．…………………… 5 分 设外接圆的半径为 R ， 在△ ABC 中，由正弦定理得 BC 2R ， …………………………………7 分 sin A
半轴，建立空间直角坐标系 D xyz 如图．…………………5 分
D
H B x
E y
2013年广州市高三第二次模拟考试试题答案
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π- 12 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．……………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．……………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ………10分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．…………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin A =．所以2R ==R =．………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，……………9分 在△OBD中，OB R ==，703522BC BD ===，所以OD ==………………………………………………………11分=． 所以点O 到直线BCm ．………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离 相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， ………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 60BD OD BOD ===∠11分 所以点O 到直线BCm ．…………………………………12分 18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．……………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．……………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………4分 因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．……………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………7分 因为1PA=，=2AB ，设BC x =()02x <<，…8分PAB所以AC===．…9分因为13P ABC ABCV S PA-=⨯△16=………………………………………………10分=()224162x x+-≤⨯………………………………………………11分13=．……………………………………………………………12分当且仅当224x x=-，即x=时等号成立．………………………13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC．…………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，所以PA是三棱锥P ABC-的高．…………………………………7分因为90ACB∠=，设ABCθ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………8分则cos2cosBC ABθθ==，sin2sinAC ABθθ==．………………9分所以112cos2sin sin222ABCS BC ACθθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………10分所以13P ABC ABCV S PA-=⨯△1sin23θ=．…………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABCV-有最大值13．……………………………12分此时2cos4BCπ==．……………………………………………13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC．…………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩……………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． ………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………7分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列， 则21m n S S S =．………………………………………………………8分即2131431m n mn ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以113m <<<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．………………………………………………………13分所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ……14分20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． ………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．…………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．……………………………6分②若0a >，由于222()x a f x x -'==所以函数()f x 在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．…………7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………9分 （ⅱ）若12<≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x xa x =-在区间(为减函数，在)2上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为ln f a a a =-．……………11分2>，即4a >时，([1,2]⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为ln fa a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．……14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线的斜率为012BC k x =．…………………………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，AB CDOxylE即1202x x x +=．…………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分 所以BAD CAD ∠=∠．……………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到ABBAD ∠45=．……………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………10分)()042x ---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得2AC =+．…………11分 所以△ABC的面积20122244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． …………………14分 方法2：由点D 到ABBAD ∠45=．……………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分2=-，同理2AC =+． …………………………………………………11分 以下同方法1．。
2013届广州市高三年级调研测试数学(理科)试题及参考答案详解
俯视图侧视图正视图图1广州市2013届高三年级调研测试数 学（理 科） 2013.1本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+xD ．()f x =)32cos(π+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．8 7．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x ya b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为图3A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线， 则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =， 则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .图2图4M NBCDAP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值.17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. （苏元高考吧： ）(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.222N 2013届广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i 332i--=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x?-+=，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=¿，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PADS S∆∆==⨯⨯=，14362PABS∆=⨯⨯=7. B分析：方程22221x yab+=表示焦点在x轴且离心率小于222a bcea a⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a ba b⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a∈，[2,4]b∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…， 综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=， 即178a a +=，故1777()282a a S +== 10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=， 即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x yx y +++-=化为标准式22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线2x y -的距离5d ==，由右图 所示，圆上到直线20x y -=4个． 13.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=， …20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行， 输出的122012S a a a =+++3018=分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =15.分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d == 故圆C 截直线l 所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =. …………… 3分 (2)解:∵a b<，∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分 ∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=,∴23C Aπ=-. …………… 8分∴4223C Acos cosπ⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A Acos cos sin sinππ=+…………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为501 1002=.∴应从,,,A B C D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C215+C220+C210+C25=350. …………… 6分∴()350 1225P M==27.答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，…………… 8分E MNDCBAPMNDCBAP()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为：…… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） （1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分FEMNDCBAP∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分 证法3： 取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ， ∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分 （2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分 过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n EN nEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分 故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ ……………9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分 当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q++=,即12n q+=. …………… 1分 依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分 ∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”； 设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数， 不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分 又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分 由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立 又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=， 故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分 由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分 取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分 因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分 （2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-， 所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分 而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14<. …………… 14分。
2013年高三数学二模文科试题(广州市附答案)
2013年高三数学二模文科试题（广州市附答案）广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是ABCD2.如果函数f(x)=ln(-2x+a)的定义域为（-∞，1)，则实数a的值为A.-2B.-1C.1D.23.对于任意向量a、B、C,下列命题中正确的是A.|a.b|=|a||b|B.|a+b|=|a|+丨b丨C.(a.b)c=a(b-c)D.a.a=|a|24.直线y=kx+1与圆(x+1)2+y2=0相交于A，B两点，则|AB|的值为A.2B.1C.D.与k有关的数值5.若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q=A.-3B.-1C.1D.36.执行如图l所示的程序框图，输出的S值为A.225B.196C.169D.144(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）7.若函数的一个对称中心是(，0),则ω的最小值为A.2B.3C.6D.98.一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面的面积为A.B.CB9.已知0A.(0，a2]B.(0，a]C.D.10.某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，R至少需要选择l个模块，具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是A.7B.6C.5D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.(—)必做题（11~13题）11.如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P,则点P落在区域M内的概率为.12.已知a为锐角，且，则sina=.13.数列{an}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l 之间有2k-1个2，即数列{an}为：1,2，1,2，2，2，1，2，2，2，2，2,1,…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S20=________;S2013=_____(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲选做题）在ΔBC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD,延长AE交BC于点F，则的值为_______.15.(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A(1,),点P是曲线sin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线cosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为_______.新课标第一网三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(1)用上述样本数据估计高三（1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.17.(本小题满分12分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m,BC=10M,CA=50m.假定A、B、C、O四点在同一平面上.(1)求的大小；（2）求点O到直线BC的距离18(本小题满分14分）如图4，在三棱锥P-ABC中，===900.(1)求证：平面PBC丄平面PAC(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC的体积最大时，求BC的长.19.(本小题满分14分）在等差数列{an}中，a1+a2=5,a3=7,记数列的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m、n,且120.(本小题满分14分）已知函数f(x)=x2-2alnx().(1)若f(x)在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间1，2]上的最小值.21.(本小题满分14分）经过点F(0，1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD(两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程；(2)证明：；(3)若点D到直线AB的距离等于，且ΔABC的面积为20，求直线BC的方程.。
2013年广州二模数学理科试题
2013年广州二模数学理科试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷有三个大题，26个小题．满分为130分，考试时间为120分钟．2．请用蓝、黑圆珠笔或水笔答题，并按要求将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．4．抛物线的顶点坐标为．试题卷Ⅰ一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 的值等于（▲）A．4 B． C． D．22．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法可表示为( ▲).A. B. C. D.3．计算的结果是（▲）A．B．C．D．4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是………………………（▲）A． B． C． D．5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米, CA=1米, 则树的高度为（▲）A. 4.5米B. 6米C. 3米D. 4米6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（▲）A．r B．22 r C．10 r D．3r7．小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（▲）A．x=1B．x=2 C．x=3 D．x=48．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（▲）A．B．C．D．9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（▲）．A．B．若MN与⊙O相切，则C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切10. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b 的值为( ▲)A．3 B．C．D．11．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线（a ＜0）的图象上，则a的值为（▲）A．B．C．D．12. 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上（）A．1 B．2 C．3 D．5试题卷Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分）13．在函数y= 1 x－2 中，自变量x的取值范围是▲.14．已知关于x的方程的一个根是1，则k= ▲．15. 如图，在长为8 ，宽为4 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是▲.16．抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是▲17．如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是▲18. 如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是▲；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是▲.三．解答题（第19题6分，第20-22题各8分，第23-24题10分，第25题12分，第26题14分，共76分）19. （本题6分）计算:20.先化简再求值：，其中．21．（本题8分）某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2012年宁波市区初二学生约为2万人，按此调查，可以估计2012年宁波市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.22. （本题8分）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．23．宁波滨海水产城一养殖专业户陈某承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 2011年，陈某养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求陈某这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）(2) 2011年，陈某继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求陈某原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?24. (1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为。
广东省2013届高三数学广州二模热身考试试题理新人教A版
E
Bx
n AF (x，ｙ，ｚ) (0 ,2 5,-2) 2 5y - 2z 0 n BF (x ，ｙ，ｚ) (-4 ,2 5,0) 2 5y - 4x 0
令 y 1 ，则 x
5 ,z 2
5,即 n （ 5 ， 1， 5 ） 2
,, 11 分
6
设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ，则
sin COS n, EF
如图，圆柱的高为 2，底面半径为 3,AE、 DF 是圆柱的两条母线，
的两点 , 已知四边形 ABCD是正方形。
（Ⅰ）求证： BC BE ；
（Ⅱ）求直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值。
D
B、 C 是下底面圆周上
A F C
E
B
19．（本小题满分 14 分） 如图，抛物线 C1 : y2
x2 8x 与双曲线 C2 : 2
y=x 4
y=8 x
x >2？
输出 y
13．已知 AD 是 ABC 的中线， AD AB AC ( , R) ，
结束
那么
；若 A 120 ， AB AC 2 ，则 AD 的最小值是
（二）选做题（ 14 - 15 题，考生只能从中选做一题）
是
y=6
．
14 ．（ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
A． 1-
8
B ． 1-
C ． 1-
4
2
8、用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A B
D
．1- 3
4
C( A) C( B),当 C( A) C (B) ，若
广东省13大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编7立体几何
广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）下列四个命题中,真命题的个数为(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若α∈M ,β∈M ,l =⋂βα,则l M ∈; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版）（ ）523 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12π+853,则正视图与侧视图中x 的值为A .5B .4C .3D .24 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （ ）A ．403 B C ．503D5 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示,则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．223C ．476D ．2336 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题．．．是 （ ）A ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直;C ．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 7 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为（ ）A．π B．2)π+ C．D．2)+8 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （ ） A ．14π B ．πC．94πD ．4π9 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V（ ）图2侧视图正视图A ．π12B ．π16C ．π18D ．π64二、填空题10．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为060的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为________.俯视图左视图主视图11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）图2是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)___________12．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是________3cm (结果保留π)13．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___14．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知集合A B C 、、，A ={直线},B ={平面},C A B =.若,,a A b B c C ∈∈∈,给出下列四个命题:①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩ ④//a ba c cb ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是__________. 三、解答题15．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）如图,四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,AD AB ⊥,CD AC ⊥,︒=∠60ABC ,BC AB PA ==,E 是PC 的中点. (1)求证:AE CD ⊥; (2)求证:⊥PD 面ABE ;(3)求二面角C PD A --的平面角的正弦值.EDCBAP16．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图51-,在直角梯形ABCD 中,已知//AD BC ,1AD AB ==,90,45o o BAD BCD ∠=∠=,AE BD ⊥.将ABD ∆沿对角线BD 折起(图52-),记折起后点A 的位置为P 且使平面PBD ⊥平面BCD .(1)求三棱锥P BCD -的体积;(2)求平面PBC 与平面PCD 所成二面角的平面角的大小.17．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如图,在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2, AD = 3, E 为C D 中点,三棱 锥A 1-A B 1E 的体积是6. (1) 设P 是棱BB 1的中点,证明:CP//平面AEB 1; (2) 求AB 的长;(3)求二面角B —AB 1-E 的余弦值.18．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））如图6,已知四边形ABCD 是矩形,22AB BC ==,三角形PAB 是正三角形,且平面ABCD ⊥平面PCD . (1)若O 是CD 的中点,证明:BO PA ⊥; (2)求二面角B PA D --的余弦值.19．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点.(1)求证:DC ⊥平面ABC; (2)求BF 与平面ABC 所成角的正弦值; (3)求二面角B-EF-A 的余弦值.甲DCBAF E乙DCBA20．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形ABCD 中//AB CD ,,60AD CD CB a ABC ===∠=︒,平面ACFE ⊥平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,//AM 平面BDF ?证明你的结论;(3)求二面角E EF D --的余弦值.21．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,60DAB ∠=,点E,F 分别在边CD,CB 上,点E 与点C,点D 不重合,EF AC ⊥, EF AC O ⋂= ,沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置,使得平面PEF ⊥ 平面ABFED(1)求证:BD ⊥平面POA (2)设AOBD=H,当O 为CH 中点时,若点Q 满足AQ QP ＝,求直线OQ 与平面PBD 所成角的正弦值.22．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD 中,AD=2AB=2,E 、F 分别为AD 、BC 的中点, M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动,且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B AE(1)当045θ=时,求三棱柱BCF-ADE 的体积;(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN 总与平面BCF 平行;(3)当090θ=且a =时,求异面直线MN 与AC 所成角余弦值.23．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形ABCD的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.(1)证明:1//A E 平面1CD F ;(2)求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值.24．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(本小题满分14分)如图, 111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点. (1)证明: 11//MN A ACC 平面; (2)求二面角N MC A --的正弦值.BECD F图甲1A EFBC1D图乙A 第18题图B 125．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图 3).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图4).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.26．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.第18题图广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何参考答案一、选择题 1. A 2. C 3. C 4. A5. 依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=,故选D.6. B7. 【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6,椎体底面边长为12,高为.1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B .8. C 9. B 二、填空题 10. π11. 40π解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为22422222648.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=12. 13π+13.10314. 【解析】由题意知:C 可以是直线,也可以是平面, 当C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.三、解答题15. (1)证明:⊥PA 底面ABCD ,PA CD⊥∴又AC CD ⊥,A AC PA =⋂,故⊥CD 面PAC ⊆AE 面PAC ,故AE CD ⊥(2)证明:BC AB PA ==,︒=∠60ABC ,故AC PA = E 是PC 的中点,故PC AE ⊥由(1)知AE CD ⊥,从而⊥AE 面PCD ,故PD AE ⊥ 易知PD BA ⊥,故⊥PD 面ABE(3)过点A 作PD AF ⊥,垂足为F ,连结EF .由(2)知,⊥AE 面PCD ,故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角.设a AC =,则a AE 22=,a AD 32=,a PD 37=从而a PD AD PA AF 72=⋅=,故414sin ==∠AF AE AFE 说明:如学生用向量法解题,则建立坐标系给2分,写出相关点的坐标给2分,第(1)问正确给2分,第(2)问正确给4分,第(3)问正确给4分.16.解:(1)∵平面PBD ⊥平面BCD ,PE BD ⊥,PE ⊂平面PBD ,平面PBD 平面BCD BD =,∴PE ⊥平面BCD , 即PE 是三棱锥P BCD -的高,又∵//AD BC ,1AD AB ==,90,45o o BAD BCD ∠=∠=, ∴45,90,o o ABD CBD BDC ∠=∠=∠=CD BD ===∴sin 45o PE AE AB ===, 11122BCD S BD CD ∆=⋅==,∴三棱锥P BCD -的体积11133BCD V S PE ∆=⋅=⨯=. (2)方法一:∵PE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴CD PE ⊥又∵CD BD ⊥,PE PD P =,∴CD ⊥平面PBD , ∵PD ⊂平面PBD ,∴CD ⊥PD∴2223PC CD PD =+=∵090BD CD BDC ==∠=,∴2224BC BD CD =+=∴ 222BC PB PC =+∴090BPC ∠=,即PB PC ⊥ 由已知可知PB PD ⊥,∵PD PC P =,∴PB ⊥平面PBC ∵PB ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PBC 所以平面PBC 与平面PCD 所成二面角的平面角的大小为90o . 方法二:过E 作直线//EG DC ,交BC 于G,则EG BD ⊥,EG PE ⊥如图建立空间直角坐标系,则,,P B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭222,0,,PB PC⎛⎫⎛=-=-⎪⎝,PD⎛=-⎝设平面PBC的法向量为(,,)xy z=n,则PBPC⎧=⎪⎨=⎪⎩nn,即x zx z=⎪+-=⎪⎩化简得20z xx y z=⎧⎨-+=⎩令1x=,得1,1z y==,所以(1,1,1)=n是平面PBC的一个法向量.同理可得平面PCD的一个法向量为(1,0,1)=-m设向量n 和m所成角为θ,则cos0θ===n mn m∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90o.17.18.19.证明:在图甲中∵AB BD =且45A ∠=(1) ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠= 即AB BD ⊥在图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC , 且平面ABD 平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥C D 又90DCB ∠=,∴DC⊥BC,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC(2)解法1:∵E、F 分别为AC 、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC,垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角在图甲中,∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 设CD a =则2,BD a BC ==,BF ==,1122EF CD a ==∴在Rt △FEB 中,sin EF FBE FB ∠=== 即BF 与平面ABC解法2:如图,以B 为坐标原点,BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设CD a =,则2,BD AB a ==BC =,AD =可得(0,0,0),(2,0,0)B D a ,(0,0,2)A a,3(,0)2C a a ,(,0,)F a a ,∴1(,,0)2CD a =,(,0,)BF a a = 设BF 与平面ABC 所成的角为θ 由(1)知DC ⊥平面ABC∴2cos()2||||CD BF CD BF a πθ⋅-===⋅⋅∴sin θ=(3)由(2)知 FE ⊥平面ABC,又∵BE⊂平面ABC,AE ⊂平面ABC,∴FE⊥BE,FE ⊥AE, ∴∠AEB 为二面角B-EF-A 的平面角 在△AEB 中,12AE BE AC ==== ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅即所求二面角B-EF-A 的余弦为17-20.证明:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒,∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE. (Ⅱ)当EM 时,AM平面BDF.现在证明如下:在梯形ABCD 中,设AC BD N=,连结FN,则:1: NA = ∵EM =而EF AC =,∴:1:2,EM FM =∴MF =AN,∴四边形ANFM 是平行四边形. ∴.AMNF又∵NF ⊂平面BDF,AM ⊄平面BDF. ∴AM平面BDF.(Ⅲ)方法一;(几何法)取EF 中点G,EB 中点H,连结DG 、GH 、DH, ∵容易证得DE=DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥yX又∵GH FB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE中,,.DE DB BE ==∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴.DH =又,.DG GH ==∴在△DGH 中,由余弦定理得cos DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为1010方法二;(向量法)以C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:)0,0,0(C ,)0,,0(a B ,),0,0(a F ,)0,2,23(a a D -,),0,3(a a E所以)0,0,3(a EF -=,),,0(a a BF -=,),2,23(a aa DF -=分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为),,(1111z y x n =,),,(2222z y x n =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅00311111az ay BF n ax EF n ,令11=y ,则1,011==z x又⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=-=⋅022*********az y a x a DF n ax EF n 显然02=x ,令21-,122==z y 则 所以)1,1,0(1=n ,)21,1,0(2-=n ,设二面角的平面角为θθ,为锐角 所以1010252)21,1,0()1,1,0(cos 2121=⨯-⋅=⨯∙=n n n n θG EABCDFNMN 1M 1EA BC DFNM21.22.解:(1)依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ,DEA ∠=θ由45θ=得,12sin 452ADE S DE EA∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=(2)证法一:过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M , 过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ,连结11M N , ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN = ∴四边形11MNN M 为平行四边形,11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面【法二:过点M 作MG EF ⊥交EF 于G,连结NG,则,CN FM FGNE MA GE == //NG CF ∴QEABC DFNM,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面,同理可证得//MG BCF 面,又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF ∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面 】 (3)法一:取CF 的中点为Q,连结MQ 、NQ,则MQ//AC, ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角,∵090θ=且a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC【法二:∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得cos ,AC MN ∴<>==所以与AC】 23. ⑴证明:在图甲中,易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ,因为1A E ⊄平面1CD F ,1D F ⊂平面1CD F ,所以1//A E 平面1CD F (条件2分) ⑵解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角, 图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以,1BG MF ==,AG =; (三角形全等1分) 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,112cos 3HG AGH A H ∠==,即所求二面角的余弦值为23解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线, 设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以1BG MF ==,则AG =; 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=A BE CDF图甲1A EFC1D图乙GMHH图丙B 1A 1PC 1N CBAM在1Rt AGH ∆中,1AG ===作//GT BE 交EF 于点T ,则TG GC ⊥,以点G 为原点,分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)G 、(1,1,0)E-、(2,2,0)F、1A ,则1(1,3,0)(EF EA ==-，(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,1GA =是平面BEFC 的一个法向量,设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量,则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩,即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,不妨取1y =-,则(3,1,n =-,设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ,可以看出,θ为锐角,所以,121|032cos 3||||23(1)GA n GA n θ⨯===+-,所以,平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为2324. (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 : (1)证法一: 连接1,1AB AC 由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , //MN ∴平面11A ACC证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面, 同理可证11//NP A ACC 平面又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC MN ⊂平面MNP ,//MN ∴平面11A ACC证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz-,如图所示.于是B 1A 1QPHOD 1DC 1NC B A MB 1PQHOMD 1(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量(0,1,1)MN ,2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥又11MN A ACC ⊄平面 //MN ∴平面11A ACC(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M N 由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x z n MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=-设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MAn MA nθ⋅===- ∴二面角N MC A --==解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上 易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD , 111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D =1C O ∴⊥平面11ACB D . 取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D ,且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OP MC ⊥于P ,过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ ,则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角 在Rt MAC ∆中,CM ===,sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos 2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==, 在Rt OPC ∆中,sin OCP ∠=,OP ∴==HQ OP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中,NQ ===sin NH NQH NQ ∴∠===∴所求二面角N MC A --25. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =, 所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AD DE ⊥. 折叠后有1A D DE ⊥因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D ⊥PH又1A DBD D =,所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角 设PB x =()03x ≤≤,则2xBH =,PH x =在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = 在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、系D xyz -如图设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-所以()10,0,1A,()2,0P a -,()E所以()12,,1PA a =- 因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD的一个法向量为()DE = 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60, 所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =26.解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.)法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,在Rt ABC ∆中设1AD =,由3AD DB =BC =得,3DB =,4AB =,BC =,∴BD BC BC AB ==,则BDC BCA ∆∆∽, ∴BCA BDC ∠=∠,即CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 在Rt ABC ∆BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =,BC =, 由余弦定理得,2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=,∴222CD DB BC +=,即CD AO ⊥. ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =, ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ⊂平面CDE , ∴CE PB ⊥,∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角 由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分∴PB =,则PD DB DE PB ⋅===,∴在Rt CDE ∆中,tan CD DEC DE ∠===∴cos DEC ∠=即二面角C PB A --法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =BC =得,3PD DB ==,CD =,∴(0,0,0)D,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =-,(CD =,由CD ⊥平面PAB ,知平面PAB 的一个法向量为(CD = 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n,即30330y y z -=-=⎪⎩,令1y=,则x =1z =, ∴=n ,设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,则cos ||5CD CD θ⋅===⋅n|n |∴二面角C PB A --。
广州市2013届高三二模数学试题
2006年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（2006．4．24）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{4,5}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð（ ）A ．{3,4,5}B ．{1,2,3,4,6}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,5,6}2. 设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若()2x f x =，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）AB ．1C ．12 D ．1-3. 已知||1a = ，||b ()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒4. 设函数(1)()(1)x f x x a x ≥=-+<⎪⎩在点1x =处连续，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-5. 若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A ．//a β且αβ⊥ B ．a β⊂且αβ⊥ C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6. 已知双曲线2212x y m-=的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B C ．2D ．47. 若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b < B ．11a b a >-C ．||||a b >D ．22a b <8. 4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（ ）A ．37B ．314C ．128D ．1561A 1B 19. 已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|||20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．2B ．32C ．94 D ．5410. 现定义：i cos isin e θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对i e θ都适用。
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2013年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）理科数学试题本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后:用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V = 油，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意向量a、b、c,下列命题中正确的是 A. |a.b| = |a| |b| B. |a+b|=|a|+丨b丨 C. (a.b)c =a (b-c) D. a.a =|a|2 2. 直线y=kx +1与圆
x2+y2-2y=0的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于k的值3. 若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. 已知函数y=f(x)的图象如图l所示，则其导函数y=f'(x)的图象可能是 5. 若函数的一个对称中心是( ,则ω的最小值为 A.1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面的面积为 A.
B. C B 7. 某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元.年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是 A. 8 年 B. IO 年
C. 12 年
D. 15 年 9. 记
实数x1，x2,…，xn中的最大数为max{x1，x2,…，xn} ,最小数为min{x1，x2,…，xn}则max{min{x+1，x2 - x + 1, -x +6}}= A. B.
1 C. 3 D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (-)必做题（9-13题） 9.某商场销售甲、乙、丙
三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 2:3:4. 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n =____ 10.已知a为锐角，且，则sina=_____.
11.用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成____个没有重复数字
且能被5整除的五位数（结果用数值表示）. 12.已知函数 f(x) =x2 - 2x，点集M = {(X,Y)| f(x) +f(y)≤2}，N = {(X, Y)| f{x)-f{y) 0}，则M N所构成平面区域的面积为______ 13.数列{an}的项是由l 或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+ 1个l之间有2k-1 个2，即数列{an} 为：1, 2，1, 2，2，2，1，2，2，2，2，2, 1, …，记数列 {an}的前n项和为Sn，则S20=________; S2013 =_____. (二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.(几何证明选讲选
做题）在ΔBC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE= BD,延长AE交 BC于点F，则的值为_______. 15.(坐标系与参数方
程选做题）在极坐标系中，已知点A(1, ),点P是曲线 sin2θ=4cosθ
上任意一点，设点P到直线 cosθ + 1 = 0的距离为d，则丨PA丨+ d的最小值为_______.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个
工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC = 70m, CA=50m.假定A、B、C、O四点在同一平面内. (1)求的大小;
(2)求点O到直线BC的距离
17.(本小题满分12分）已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H
分别是边AB、BC、CD、DA的中点. (1) 在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|< 的概率； (2) 从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量f的分布列与数学期望 .
18.(本小题满分14分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足 (如图3).将ΔADE沿DE折起到ΔA1DE 的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C (如图4). (1) 求证：A1D�A平面BCED; (2) 在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由
19.(本小题满分W分）巳知a>0,设命题p:函数f(x)=x2-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与x轴有两个不同的交点；命题q: g(x) =|x-a|-ax 在区间（0, + ∞ )上有最小值.若是真命题，求实数a的取值范围.
20.(本小题满分14分）经过点F (0，1)且与直线y= -1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、 C. (1) 求轨迹M的方程； (2) 证明：； (3) 若点D到直线AB的距离等于，且ΔABC 的面积为20，求直线BC的方程.
21.(本小题满分14分）设an是函数的零点. (1)证明：0<an<1； (2)证明：。