2019年广州二模理科数学试题及答案WORD

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(完整word版)2019广东省广州市二模数学理科word精校版

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知复数)2()3(i i m z +-+=在复平面内对应的点在第三象限,则实数m 的取值范围是（ )A ．)1,(-∞B ．)32,(-∞C ．)1,32(D ．),1()32,(+∞-∞2．己知集合}0181|{<--=x x A ，则=A C R （ ) A ．2|{<x x 或}6≥xB ．2|{≤x x 或}6≥xC ．2|{<x x 或}10≥xD ．2|{≤x x 或}10≥x3．某公司生产C B A ,,三种不同型号的轿车，产量之比依次为4:3:2，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆,则=n （）A ．96B ．72C ．48D ．364．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ )A ．21B ．22C ．23D ．245．己知点A 与点)2,1(B 关于直线03=++y x 对称，则点A 的坐标为（）A ．)4,3(B ．)5,4(C ．)3,4(--D ．)4,5(--6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望=ξE （）A ．54 B ．1 C ．57 D ．27．已知51cos sin =+αα，其中),2(ππα∈，则（ ) A ．724-B ．34-C ．247 D ．724 8．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点F 作圆9222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右交于点P ，若FE PF 2=，则双曲线的离心率为（ )A ．317 B ．617 C ．510 D ．210 9．若曲线2223+-=x x y 在点A 处的切线方程为64-=x y ，且点A 在直线01=-+ny mx (其中0,0>>n m ）上，则nm 21+的最小值为（） A ．24B ．223+C ．246+D ．2810．函数)||,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图像如图所示，先把函数)(x f y =图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移4π个单位长度，得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的图像的一条对称轴为（）A ．43π=x B ．4π=x C ．4π-=x D ．43π-=x 11．已知点P 在直线012=-+y x 上,点Q 在直线032=++y x 上,PQ 的中点为),(00y x M ,且7100≤-≤x y ，则x y 的取值范围为( ） A ．]512,2[B ．]0,52[-C ．]41,165[-D ．]52,2[-12．若点)0,(t A 与曲线x e y =上点P 的距离的最小值为32，则实数t 的值为( ）A ．32ln 4-B ．22ln 4-C ．33ln 3+D ．23ln 3+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．若21,x e 是夹角为︒60的两个单位向量，向量212e e a +=，则=||a．14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80,则实数a 的值是．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之,为实，一为从隅,开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是])2([41222222b c a c a S -+-=,其中c b a ,,是ABC ∆的内角C B A ,,的对边．若B A C cos sin 2sin =，且22,1,c b 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为．16．有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动,则a 的最大值为____．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．己知}{n a 是递增的等比数列，432=+a a ，341=a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式;(2)令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．18．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i ）求x ；(ii ）计算样本相关系数（精确到0.01)，并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为x b yˆ56.1ˆ+=,求b ˆ的值（精确到0。

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．（5分）已知全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |x （x +2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{x |﹣1≤x ＜0}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}D ．{x |x ＜﹣1} 2．（5分）若复数z ＝m （m ﹣1）+（m ﹣1）i 是纯虚数，其中m 是实数，则＝（）A ．iB ．﹣iC ．2iD ．﹣2i3．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7+a 8+a 9＝（）A ．144B ．81C ．45D ．634．（5分）设函数f （x ）＝cos （x +），则下列结论错误的是（） A ．f （x ）的一个周期为2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝对称 C ．f （x +）的一个零点为πD ．f （x ）在（，π）上单调递减 5．（5分）下列说法中，正确的是（）A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0＞0，x 02﹣x 0＞0”的否定是：“∀x ＞0，x 2﹣x ≤0”C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g（x ）＝e x ，则（）A ．f （﹣2）＜f （﹣3）＜g （﹣1）B ．g （﹣1）＜f （﹣3）＜f （﹣2）C ．f （﹣2）＜g （﹣1）＜f （﹣3）D ．g （﹣1）＜f （﹣2）＜f （﹣3） 7．（5分）在△ABC 中，||＝||，||＝||＝3，则＝（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A．360种 B．300种 C．150种 D．125种9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2] 11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若＝0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（）A．7﹣2 B．7﹣ C．7 D．7 12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是（填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳． 14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p ＝．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为． 16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a＝，且c+2cos C＝2b，＝m+n，则m+n的最大值为．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知Sn 为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an2+3an+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF ⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则则常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x+恒成立，求m的取值范围．2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【专题】37：集合思想；44：数形结合法；5J：集合．【分析】由图可得图中阴影部分为N∩（∁U M），求解一元二次不等式，再由交集与补集【解答】解：图中阴影部分为N∩（∁U M），的混合运算求解．∵M＝{x|x＜﹣1}，∴∁U M＝{x|x≥﹣1}，又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（∁U M）＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：A．【点评】本题考查利用图示法表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则＝（） A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由纯虚数的定义可得m＝0，故＝﹣，化简可得．【解答】解：复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）＝0且（m﹣1）≠0，解得m＝0，故z＝﹣i，故＝﹣＝﹣＝i．故选：A．【点评】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3．（5分）设等比数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（）A．144 B．81 C．45 D．63【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，由已知数据易得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S3＝9，S6﹣S3＝36﹣9＝27，∴q＝＝3，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝27×3＝81．故选：B．【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题．4．（5分）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+）的一个零点为πD．f（x）在（，π）上单调递减【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用余弦函数的周期性、对称性、单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：由函数f（x）＝cos（x+），知：在A中，由余弦函数的周期性得f（x）的一个周期为2π，故A正确；在B中，函数f（x）＝cos（x+）的对称轴满足条件x+＝kπ，即x＝k，k∈Z，∴y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝对称，故B 正确；在C 中，f （x +）＝cos （x +）＝﹣sin x ，﹣sin π＝0，∴f （x +）的一个零点为π，故C 正确；在D 中，函数f （x ）＝cos （x +）在（，π）上单调先减后增，故D 错误．故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查余弦函数的周期性、对称性、单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列说法中，正确的是（）A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0＞0，x 02﹣x 0＞0”的否定是：“∀x ＞0，x 2﹣x ≤0”C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】A 先写出逆命题再利用不等式性质判断；B 中“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C 命题“p ∨q ”为真命题指命题“p ”或命题“q ”为真命题，只要有一个为真即可；D 应为必要不充分条件．【解答】A “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，m ＝0时不正确；B 中“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C 命题“p ∨q ”为真命题指命题“p ”或命题“q ”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D 应为必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g（x ）＝e x x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g （x）＝e x，可得2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝e x x，联立解得：f（x），g（x），利用其单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e x，则2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝e x，联立解得：f（x）＝，g（x）＝．则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．函数g（x）在R上单调递减．∴g（﹣1）＜g（0）＝0＜＝f（0）＜f（﹣2）＜f（﹣3），即g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）在△ABC中，||＝||，||＝||＝3，则＝（） A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△ABC 的形状即可求得．【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||＝||，||＝||＝3，如图，设|OC|＝x，则|OA|＝x，所以|AO|2+|OC|2＝|AC|2即3x2+x2＝9，解得x＝，所以|BC|＝3，所以△ABC为等边三角形，所以＝3×3×＝；故选：C．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状．8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A．360种 B．300种 C．150种 D．125种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．【分析】分2步分析：先将5名大学生分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案；【解答】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，则一共有10+15＝25种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方式；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式．9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】L3：棱锥的结构特征；LN：异面直线的判定；LS：直线与平面平行；L Y：平面与平面垂直．【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；【专题】15：综合题．利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；③直线EF∥平面PBC；由E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面P AB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．故选：C．【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2]【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】原式利用正弦定理化简，将3B变形为2B+B，利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后利用二倍角的余弦函数公式变形化为一个角的余弦函数，求出B的范围得到2B的范围，利用余弦函数值域确定出范围即可．【解答】解：∵A＝3B，∴由正弦定理得：＝＝＝＝cos2B+2cos2B＝2cos2B+1，∵B+A＜180°，即4B＜180°，∴0＜B＜45°，即0＜2B＜90°，∴0＜cos2B＜1，即1＜2cos2B+1＜3，则的取值范围为（1，3）．故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若＝0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（）A．7﹣2 B．7﹣ C．7 D．7【考点】KC：双曲线的性质．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|BF2|＝x，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用x表示出|AF1|，|AF2|，根据|AF2|﹣|AF1|＝2a计算x，再根据勾股定理列方程得出a，c的关系，从而求出e2的值．【解答】解：∵＝0，∴AB⊥BF2，∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°，设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB|＝x，∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2a﹣x，又|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴2x﹣（x+2a﹣x）＝2a，解得x＝2（﹣1）a．∴|BF1|＝2a，|BF2|＝2（﹣1）a，在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a2+[（2﹣2）a]2＝4c2，即（7﹣2）a2＝c2，∴e2＝＝7﹣2．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】对f（x）求导，然后赋值求出f（0），f′（1），从而得到f′（x），解不等式f′（x）＞0即可．【解答】解：f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，两边求导得，f′（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e0﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，所以f（0）＝f′（1）e0﹣1﹣f（0）•0+0＝1，得f′（1）＝e．所以f′（x）＝e x x﹣1+x，因为y＝e x递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝e x﹣1+x递增，又f′（0）＝0，所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，注意赋值法求值的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是 ②③④ （填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I ：概率与统计．【分析】利用折线图的性质直接求解．【解答】解：由折线图得：在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误；在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确；在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故④正确．故答案为：②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p ＝ 2 ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】38：对应思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值．【解答】解：把x ＝代入y 2＝2px 可得y ＝±p ，不妨设M 在第一象限，则M（，p），又A（﹣，0），∴直线AM的方程为y＝x+，即x﹣y+＝0，∴原点O到直线AM的距离d＝＝，∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，∴＝+1，解得p＝2．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；49：综合法；5U：球．【分析】取AC的中点E，利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直，得到OE⊥平面ABC，再由中位线得出OE∥CD，于是得出CD⊥平面ABC，根据已知条件计算出△ABC的面积，并利用锥体体积公式计算出CD，再利用勾股定理得出AD，即可得出球O的半径为，最后利用球体体积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD， ∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC＝，则△ABC的面积为，由锥体体积公式可得，∴CD＝6，所以，，则球O的半径为，因此，球O的体积为．故答案为：．【点评】本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a＝，且c+2cos C＝2b，＝m+n，则m+n的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得c+2a cos C＝2b，运用正弦定理和余弦定理，可得A，以及b，c的关系，考虑＝m+n，两边点乘，，运用数量积定义可得m，n的方程，解得m，n，再由基本不等式可得所求最大值．【解答】解：△ABC中，a＝，且c+2cos C＝2b，∴c+2a cos C＝2b，∴sin C+2sin A cos C＝2sin B，∴sin C+2sin A cos C＝2（sin A cos C+cos A sin C），∴sin C＝2cos A sin C，C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cos A＝，A∈（0，π），∴A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即为3＝b2+c2﹣bc，由2R＝＝＝2，即R＝1，可得外接圆的半径为1，＝m+n，可得•＝m2+n•，化为c2＝mc2+nbc，同理可得为b2＝mbc+nb2，解得m＝，n＝，即有m+n＝﹣（+）≥﹣•2＝，当且仅当b＝c＝时，取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，以及向量数量积的定义，考查三角形的余弦定理和正弦定理，化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n ﹣a n﹣1﹣3）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1＝+3a n+2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣3）＝0，﹣1∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解得a1＝1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．∴b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．∴数列{b n}的前2n项的和T2n＝36（1+2+……+n）﹣21n＝﹣21n＝18n2﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF ⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．【考点】L Y：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】35：转化思想；41：向量法；5H：空间向量及应用．【分析】（1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直不因此可以建立空间直角坐标系．不的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．妨设BC＝4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），B（2，，0），F（﹣1，0，0）．，，，．设平面A′MN的法向量为＝（x，y，z），由，可取＝（，1，0）．同理可得平面A′BF的法向量＝（，﹣3，﹣1）．∴＝3﹣3+0＝0，∴，∴平面A′MN⊥平面A′BF；（2）解：由（Ⅰ）可得平面A′BF的法向量＝（，﹣3，﹣1）．取平面EA′F的法向量＝（0，1，0）．cos＜＞＝＝由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线y2＝4x的焦点（1，0），求出点F关于直线y＝x 的对称点，结合已知条件求出椭圆的长轴长，则a可求，再由a，b，c的关系转化求解椭圆的标准方程；（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以AB为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．＝1 ①当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则＝，＝（x2，y2﹣1）；＝（1+k2）x1x2﹣+ ＝k＝0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．【点评】本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，训练了向量垂直与数量积间的关系，是高考试卷中的压轴题．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正则如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．【分析】（1）由题意可得＝，解方程即可得到所求值；（2）分别考虑系统A，B可能维修的费用，运用组合数公式和数学期望公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），∴＝，整理得：2p3﹣5p2+4p﹣1＝p（p2﹣5p+4）+p3﹣1＝（p﹣1）2（2p﹣1）＝0，解得p＝1（舍）或p＝，故p的值为．（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；可得EX＝•（）8（0+200+250+300+450+500+550+750）+•（100+300+350+400+550+600+650+850）+•（200+400+450+500+650+700+750+950）+•（300+500+550+600+750+800+850+1050）+•（400+600+650+700+850+900+950+1150）+•（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）＝+++++＝625（元）【点评】本题考查随机变量的概率和期望的求法，考查独立事件同时发生的概率求法，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，利用函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝3x﹣e列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再求出导函数的零点，得到原函数的单调区间，进一步求得极值；（2）把f（x）﹣m（x﹣1）＞0变形，可得m＜对任意x＞1都成立，等价于m＜，利用导数求得，即可得到m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b，∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，∴，解得a＝1，b＝﹣1．∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2，由f′（x）＝lnx+2＝0，得．∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，则当x＝时，函数f（x）取得极小值为f（）＝；（2）当x＞1时，由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m＜．令g（x）＝＝，则g′（x）＝，设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝1﹣＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），且h（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增． ∴g（x）min＝g（x0）＝，∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0，∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键，属难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；44：数形结合法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ求得曲线C2的直角坐标方程；（2）画出两曲线的图形，数形结合即可求得t的取值范围．【解答】解：（1）由，得，＝1；两式平方相加得：（x﹣1）2+（y﹣1）2由ρcos（）＝t，得，∴，即x+y＝t；（2）由π≤α≤2π，得曲线C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≤0）．作出曲线C1与曲线C2的图象如图：。

2019年广州市二模理科数学试题及答案

A. -3B. -1C. 1D. 3广东省广州市2019届高三4月综合测试（二）理科数学试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式 V= -Sh 油，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对于任意向量a 、b 、c,下列命题中正确的是A. |a.b| = |a| |b|B. |a+b|= | a|+ | b 1C. (a.b)c =a (b-c)2D. a.a =|a|2. 直线y=kx +1与圆 x 2+y 2-2y=0的位置关系是A.相交B.相切C 相离 D.取决于k 的值3.若1-i （i 是虚数单位）是关于 x 的方程x 2+2px +q=0（p 、q € R）的一个解，贝U p+q =A.1B. 2C. 4D. 84.已知函数y=f （x ）的图象如图l 所示，则其导函数 y=f （x ）的图象可能是5.若函数y = cos®x +匀（缶W N*）的一个对称中心是（三■ ,0）,则④的最小值为66 -6. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 l:7的上、下两部分，则截面的面积为A.【兀B.冗4C 写 B 4兀47.某辆汽车购买时的费用是 15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5万元.年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A. 8 年B. IO 年C. 12 年D. 15 年9.记实数XI , x 2,…,x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…，x n }，最小数为 min{x I ,x 2,…,x n }则 max{min{x+1 , x 2 - x + 1, -x +6}}=A. 3B. 1C. 3D.-4 2二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.（-）必做题（9-13题）9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次A.B.C.D.为2:3:4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n =310.已知a 为锐角，且cos（a * —）=—,则sina=.4 511.用0 , 1 , 2 , 3,4 , 5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示).12.已知函数f(x) =x 2 - 2 x,点集M = (( X, Y)| f(x) +f(y) < 2) , N = ｛( X, Y)|f(x)-f(y) m0)，贝U Ml N所构成平面区域的面积为13.数列｛a n)的项是由l或2构成，且首项为1,在第k个l和第k+ 1个l之间有2k-1个2,即数列｛a n)为：1,2 , 1,2 , 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, …，记数列｛a｝的前n 项和为S ,贝U S20=； S 2019 =.(二)选做题(14-15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)1 _______ 、一在ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE^- BD,延长AE交BC于点F,则既的值为.FC15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知点A(1,-),点P是曲线P sin 2° =4cos 0上任意一点，设点2P到直线Pcos 0 + 1 = 0 的距离为d,贝U I PA | + d的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)某单位有A、8 C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0 ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC = 70m, CA=50m. 假定A、8 C、O四点在同一平面内.⑴求ZBAC的大小；(2)求点O到直线BC的距离17.(本小题满分12分)等边三角形ABC的边长为3，点D> E分别是边AB、AC上的点，且满足AD CEDB EA =；(如已知正方形ABCD的边长为2 , E、F、G H分别是边AB、BG CD DA的中点.(1)在正方形ABCErt部随机取一点P,求满足|PH|< ^/2的概率；(2)从A、B、C、D、E、F、G H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为匚，求随机变量f的分布列与数学期望E E.18.(本小题满分14分)图3).将^ ADE替DE折起到△ ADE的位置，使二面角A-DE-B成直二面角，连结AB、A i C （如图4）.(1) 求证：A i D ±平面BCED;⑵ 在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面ABD所成的角为60 °?若何，求出PB狐:；若不存在，谨说明理由19.(本小题满分 W 分)巳知a>0,设命题p ：函数f (x)=x 2-2ax+ 1-2a 在区间［0,1］上与x 轴有两个不同的交点；命题q ： g(x) =|x-a|-ax 在区间(0, +)上有最小值.若(「p)八q 是真命题，求实数 a 的取值范围.20.(本小题满分14分)经过点F (0 , 1)且与直线y = - 1相切的动圆的圆心轨迹为 M 点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.(1) 求轨迹M 的方程； (2)证明：4BAD=/CAD;2 .. . ....................(3)若点D 到直线AB 的距离等于一 | AD | ,且△ ABC 的面积为20,求直线BC 的方程.2图1C B图421.（本小题满分1 4分）设a n是函数f （x） = x3+n2x-1（ n亡N *）的零点.⑴证明：0<a n<1 ;⑵证明：n< a1 + a2+... + a n< —n 1 22013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学〔理科）试题参考答案及评分标准说明■一零考答案与评例司F指由了护地8（妥考查饰主要知识和能九并给出了-种或儿种髀法供禁考. 扯梁考生的解法与律者答案不版可根据试收N塾若杏的©ih"【I：菲力府眼评分株准豁以杓迎的分攻.L对新答通中的计H・气希生的邮岩在粟步悟以靖通时.M驰后继郡分的制誓未故变该题的内容和燃座，W相幡响的柱!tt决地后麒茶分的符Sb也成蛤分数不备超过津部分正耐解答应将分教巳如果后缝都■分此解答有较严重的赭误，就不可始分-。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2019.4一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.2．己知集合A= ，则A.x|x<2或x≥6}B.x|x≤2或x≥6C.x|x<2或x≥10}D.x|x≤2或x≥10 3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为A.(3,4)B. (4,5)C. (-4,-3)D. (-5,-4)6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，则数学期望 =A． B.1 C. D．27．已知：,其中,则A. B. C. D.8．过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D．9．若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A.4B. 3+2C. 6+4D.810．函数的部分图像如图所示，先把函数y=f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，则函数y=g(x)的图像的一条对称轴为A.x=B. x= C． x= - D．x= -11.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(x o，y o)，且1≤y o -x o≤7，则的取值范围为A. B. C. D.12.若点A(t，0)与曲线y=e x上点P的距离的最小值为，则实数t的值为A. 4-B. 4-C. 3+D. 3+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ．14．若(ax-l)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是____．15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。

【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。

2019年广东省广州市高考数学二模试卷及参考答案(理科)

形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S＝
பைடு நூலகம்
，其中 a，b，c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．若 sinC
＝2sinAcosB，且 b2，1，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
x（年龄 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 /岁）
y（脂肪 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 含量
/%）
根据上表的数据得到如下的散点图．
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（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到 0.01），并刻画它们的相关程度．
C．（
）
D．（﹣∞，）∪（1，+∞）
2．（5 分）己知集合 A＝{x|1﹣ ＜0}，则∁RA＝（）
A．{x|x＜2 或 x≥6} B．{x|x≤2 或 x≥6} C．{x|x＜2 或 x≥10} D．{x|x≤2 或 x≥10}
3．（5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该
（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量．附：
，求的值（精确到 0.01），并根据回归
参考数据：＝27，
，
，
＝7759.6，
，
参考公式：相关系数 r＝
＝
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
，
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为D CB AA ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，M O H F E D C B A ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 (2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x -+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <.故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分11 / 11 223222n n n n--=+. ……………14分。

2019广东二模理数答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。

2019年广东省高考数学二模试卷(理科)(可编辑修改word版)

2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合 A ＝{x |﹣1＜x ＜6}，集合 B ＝{x |x 2＜4}，则 A ∩（∁R B ）＝（）A ．{x |﹣1＜x ＜2}B ．{x |﹣1＜x ≤2}C ．{x |2≤x ＜6}D ．{x |2＜x ＜6} 2．（5 分）设 i 为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A ．B ．C ．D ．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（）A ．0.2B ．0.25C ．40D ．504．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k ），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A ．（1，8）B ．（﹣16，﹣2）C ．（1，﹣8）D ．（﹣16，2）5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）C ．D ．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（）A ．B ．A ．B ．C．D．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．1309．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A．B．C． D．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|2≤x＜6} D．{x|2＜x＜6} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则∁R B＝{x|x≥2 或x≤﹣2}，则A∩（∁R B）＝{x|2≤x＜6}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2．（5 分）设i 为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A．B． C． D．【考点】A5：复数的运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：∵＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A．0.2 B．0.25 C．40 D．50【考点】B8：频率分布直方图．【分析】设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+ m＝200，由此能求出中间一组的频数．【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，解得m＝150，∴中间一组的频数为＝50．故选：D．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A．（1，8）B．（﹣16，﹣2）C．（1，﹣8）D．（﹣16，2）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据即可得出，从而得出k＝﹣3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．【解答】解：∵；∴；∴k＝﹣3；∴；∴；∴（﹣16，﹣2）与共线．故选：B．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S ＝3×+＝，r ＝，几何体的体积为：＝．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（）A ．B ．C ．D ．A ．B ．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin B＝sin2A，可求B＝2A，或B＝π﹣2A，根据三角形的内角和定理即可得解A 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵b＝2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B＝2sin A cos A＝sin2A，∴B＝2A，或B＝π﹣2A，∵B＝C≠A，∴当B＝2A 时，由于A+B+C＝5A＝π，可得：A＝；当B＝π﹣2A 时，由于A+B+C＝B+2A，可得：B＝C＝A（舍去）．综上，A＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．130【考点】DA：二项式定理．5 55 5 【分析】令 x ＝1 得各项系数为 3，求出 n 的值，结合展开式项的系数进行求解即可．【解答】解：令 x ＝1 得各项系数和为（2﹣n ）（1﹣2）5＝3，即 n ﹣2＝3，得 n ＝5，多项式为（2x 2﹣5）（x ﹣ ）5，二项式（x ﹣）5 的通项公式为 T k +1＝C k x 5﹣k （﹣）k ＝（﹣2）k C k x 5﹣2k ，若第一个因式是2x 2，则第二个因式为x ，即当k ＝2 时，因式为4C 2x ＝40x ，此时2x 2×40x ＝80x 3，若第一个因式是﹣5，则第二个因式为 x 3，即当 k ＝1 时，因式为﹣2C 1x 3＝﹣10x 3，此时﹣5 ×（﹣10）x 3＝50x 3，则展开式中 x 3 项的为 80x 3+50x 3＝130x 3，即 x 3 的系数为 130 故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令 x ＝1 求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键． 9．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A. B ．C ．D ．【考点】HK ：由 y ＝Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．【解答】解：A ．由图象知函数的周期 T ＝2π，则＝2π 得 ω＝1，此时 f （x ）＝2sin （x ﹣）＝﹣2cos x 为偶函数，对应图象为 A ，故 A 图象可能B. 由图象知函数的周期 T ＝﹣（﹣）＝＝，即＝，得 ω＝±3，当 ω＝3 时，此时 f （x ）＝2sin （3x ﹣），f （）＝2sin （3× ﹣ ）＝2sin≠﹣2，即B 图象不可能，当ω＝﹣3 时，此时f（x）＝2sin（﹣3x+），f（）＝2sin（﹣3×+）＝﹣2sin ≠﹣2，即B 图象不可能，C.由图象知函数的周期T＝4π，则＝4π得ω＝±，当ω＝时，此时f（x）＝2sin（x﹣π）＝﹣2sin x，f（π）＝﹣2sin ＝﹣1，即此时C 图象不可能，当ω＝﹣时，此时f（x）＝2sin（﹣x﹣π）＝2sin x，f（π）＝2sin ＝﹣1，即此时C 图象可能，D.由图象知函数的周期＝﹣＝，即t＝π，则＝π得ω＝2，此时f（x）＝2sin（2x﹣），f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，即D 图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω 以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω 有可能是复数．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立得k 在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k 的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝3x2﹣ke x≤0 在（0，+∞）上恒成立，∴k 在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝，x＞0，则，当0＜x＜2 时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x＝2 时，g（x）取得最大值g（2）＝，则k ，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】设棱锥底面边长为a，由已知把a 用含有H 的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．【解答】解：设P 在底面ABC 的射影为E，D 为AB 的中点，连结PD，设正三角形ABC 的边长为a，则CD＝，∴ED＝，EC＝a，由二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，得＝4，解得a＝．∴EC＝＝，OP+OC＝R，OE＝H﹣R，∴OC2＝OE2+CE2，∴R2＝（H﹣R）2+（）2，解得＝．故选：A．【点评】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【分析】画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，利用导数求解．【解答】解：函数，的图象如下：当m≥1 时，f（t）＝m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）＝t1 有一个解，f（x）＝t2 有两个解，不符合题意．当m＜0 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）＝t 有一个解，不符合题意．当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，g′（t）＝2t lnt﹣1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设z＝，作出不等式组对应得平面区域，利用z 得几何意义即可得到结论．【解答】解：设z＝，则k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA 的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA 得斜率k＝，则的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】由已知求得tan2β，再由tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]求出tanα，代入得答案．【解答】解：由tanβ＝2，得tan2β＝＝，又tan（α﹣2β）＝4，∴tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]＝＝．∴＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为 2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由二次型函数值域的求法得：设m＝3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，得解【解答】解：设m＝3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P 的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1＝＝，即有直线PF2 的斜率为tan∠PF2F1＝，由直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线y＝x 交于点P，可得P（2a，2b），可得＝，即有4b2＝15（4a2﹣4ac+c2）＝4（c2﹣a2），化为11c2﹣60ac+64a2＝0，由e＝可得11e2﹣60e+64＝0，解得e＝或e＝4，由2a﹣c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e＝4 舍去．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）运用等比数列的中项性质，令n＝1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项公式；（2）求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）依次成等比数列，可得（）2＝S n＝（n+2）（a1﹣2）n，当n＝1 时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1，上式对n＝1 也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n+1；（2）＝＝（﹣），可得前n 项和T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18（．12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，P D⊥平面ABCD，∠PAD＝∠ DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，E 为AB 的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥ 平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（﹣1，0，2 ），A（0，﹣，0），E（，0），C（0，，0），＝（﹣1，，2），＝（，0），＝（1，），＝（，0），设平面APE 的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），设平面PCE 的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（3，1，2），设二面角A﹣PE﹣C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣PE﹣C 的余弦值为﹣．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【分析】（1）先将y＝kx+3 代入x2＝6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，由∠OPM＝∠OPN，得当k 变化时，k1+k2＝0 恒成立，进而可求出结果【解答】解（1）证明：将y＝kx+3 代入x2＝6y，得x2﹣6kx﹣18＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣18，从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18 为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2＝+＝＝．当b＝﹣3 时，有k1+k2＝0 对任意k 恒成立，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X 的所有可能的取值，计算出每个X 对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．【解答】解：（1）这600 辆车在9：20～10：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10 辆车中，在10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10 ＝4，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．（3）由（1）得μ＝64，σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝+＝0.8186，所以估计在在9：46～10：40 之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819 辆．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤﹣，∵x＞1，∴lnx＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞﹣，令g′（x）＝0，得x＝，当1＜x＜e 时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，令h′（x）＝0，得x＝e a﹣1，当x∈（0，e a﹣1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a﹣1）＝（a﹣1）e a﹣1+a+e﹣2﹣ae a﹣1＝a+e﹣2﹣e a﹣1，令t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1，则t′（a）＝1﹣e a﹣1，令t′（a）＝0，得a＝1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）＝e﹣2﹣，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1≥0＝t（2），∴a 的取值范围是[0，2]．【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．【解答】解：（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|＝3+sinα，又直线ρcosθ＝﹣1 的直角坐标方程为x＝﹣1，所以|PN|＝2+cosα+1＝3+cosα，所以|PM|+|PN|＝6+ sin（α+），故当α＝时，|PM|+|PN|取得最大值为6+ ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）k＝4 时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0 的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3﹣k≥，求不等式的解集即可．【解答】解：（1）k＝4 时，函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣4，不等式f（x）＜0 化为|x+1|+|2﹣x|＜4，当x＜﹣1 时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得﹣＜x＜﹣1，当﹣1≤x≤2 时，不等式化为x+1+2﹣x＝3＜4 恒成立，则﹣1≤x≤2，当x＞2 时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0 的解集为（﹣，）；（2）因为f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k＝3﹣k，所以f（x）的最小值为3﹣k；又不等式对x∈R 恒成立，所以3﹣k≥，所以，解得﹣3≤k≤1，所以k 的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

广东省广州市2019届高三数学二模试卷(理科) Word版含解析

2018-2019学年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f （x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n=2S n+3（n∈N）+1（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩60 65 70 75 85 87 90x i物理成绩70 77 80 85 90 86 93y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 52619．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．=••x2n﹣5r，【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f （x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩x i60 65 70 75 85 87 90物理成绩y i70 77 80 85 90 86 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时，=0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F 为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF 是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q 到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2016年10月6日。

2019广州二模理科数学试题及答案WORD

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 3AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE 中，tan AOAEO EO∠==……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

数学试卷2019届广州市二(理科)

绝密★启用前2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题1314．21516．3R三、解答题17．解法1：（1）设等比数列}{na的公比为q，因为234a a+=，143a a=，所以2113114,3.a q a qa a q⎧+=⎪⎨∙=⎪⎩……………………………………………………………………………………2分解得19,1,3aq=⎧⎪⎨=⎪⎩或11,33.aq⎧=⎪⎨⎪=⎩………………………………………………………………………………4分因为}{na是递增的等比数列，所以113a=，3q=．……………………………………………………………………………………5分所以数列}{na的通项公式为23nna-=．………………………………………………………………6分解法2：（1）设等比数列}{na的公比为q，因为234a a +=，14233a a a a ==，所以2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根．…………………………………………………………2分解得231,3,a a =⎧⎨=⎩或233,1.a a =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………………4分因为}{n a 是递增的等比数列，所以21a =，33a =，则3q =．…………………………………………………………………………5分所以数列}{n a 的通项公式为23n n a -=．………………………………………………………………6分（2）由（1）知23n n b n -=⨯．………………………………………………………………………………7分则10121323333n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯， ①…………………………………………8分在①式两边同时乘以3得，012131323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， ②………………………………………9分 ①-②得10121233333n n n S n ----=++++-⨯，…………………………………………………10分即()111332313n n n S n ---=-⨯-，…………………………………………………………………………11分所以()111213412n n S n -=-⨯+．………………………………………………………………………12分18．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）262739414953565860614710x +++++++++==．…………………………………2分（ⅱ）rni ix y nx y-=∑=3分==………………………………4分=5分6.56≈54.18≈，所以0.98r ≈．……………………………………………………………………………………………6分由样本相关系数0.98r ≈，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分（2）因为回归方程为ˆˆ 1.56ybx =+，即ˆ 1.56a =．所以ˆ27 1.56ˆ0.5447y abx--==≈．【或利用()()()121ˆn iii ni i x x y y bx x==--=-∑∑()1221ni ii ni i x y nx yx n x==-=-∑∑837.80.541548=≈】……………………………10分所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.54 1.56yx =+．将50x =代入线性回归方程得ˆ0.5450 1.5628.56y =⨯+=．………………………………………11分所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．…………………………………12分 19．（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以AD =AB BD =．因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．………………………………………1分在△APD 中，90APD ∠=， O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．设2AD PB a ==,则OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．………………………………………2分【2分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】因为OPAD O =，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ．……………………………………………………………………………………3分因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．…………………………………………………………………………4分D CBAPO（2）解法1：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OBPB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．………………………5分以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………………………………………………………6分设2AD =，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，()B ，()0,0,1P ，………………………………7分所以()1,0,1PD =--，()1PB =-，(2,0,0)BC AD ==-，………………………………8分设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则11110,30,PD x z PB y z ⎧∙=--=⎪⎨∙=-=⎪⎩n n 令11y =，则1x =1z = 所以(=n ．…………………………………………………………………………………9分设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则22220,30,BC x PB y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-=⎪⎩m m令21y =，则20x =，2z = 所以(=m ．……………………………………………………………………………………10分设二面角D PB C--为θ，由于θ为锐角，所以cos cos ,θ=<>m n ………………………………………………………………………………11分==．所以二面角D PB C --．…………………………………………………………12分解法2：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．…………………………………………………………………………………………5分z yxO PA BCD所以PO a =，PD =．过点D 作DH PB ⊥，H 为垂足，过点H 作//HG BC 交PC 于点G ，连接DG ，……6分因为AD PB ⊥，//BC AD ，所以BC PB ⊥，即HG PB ⊥．所以DHG ∠为二面角D PB C --的平面角．………7分在等腰△BDP 中，2BD BP a ==，PD =，根据等面积法可以求得DH =．…………………………………………………………………8分进而可以求得12PH a =，所以12HG a =，PG =．…………………………………………………………………………9分在△PDC中，PD =，2DC a =，PC =，所以2223cos 24PD PC DC DPC PD PC +-∠==⨯．在△PDG中，PD =，2PG =，3cos 4DPC ∠=，所以22222cos DG PD PG PD PG DPG a =+-⨯⨯∠=，即DG a =．…………………………10分在△DHG中，2DH a =，12HG a =，DG a =，所以222cos 2DH HG DG DHG DH HG+-∠=⨯………………………………………………………………11分=所以二面角D PB C --．…………………………………………………………12分20．解：（1）设动点M 的坐标为(),x y ，H GD CB AP O因为2MA y k x =+()2x ≠-，2MB y k x =-()2x ≠，…………………………………………………1分所以1222MA MB y y k k x x =⨯=-+-．……………………………………………………………………2分整理得22142x y +=．………………………………………………………………………………………3分所以动点M 的轨迹C 的方程22142x y +=()20x y ≠±≠或．………………………………………4分（2）解法1：过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意．……………………………………………5分所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=．………………………………………………………6分因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得+1y 2y =222m m +，1y 2y =232m -+．…………………………………………………7分注意到+1x 2x =()122422m y y m -+-=+．所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫⎪++⎝⎭．…………………………………………………………8分因为12PQ y =-==………………………………………………9分点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++．………………………………………10分因为2d -24PQ =()422292012042m m m ++>+，……………………………………………………………11分即d >2PQ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．……………………………………………………12分解法2：①当过点()1,0-的直线斜率不存在时，直线方程为1x =-，与22142x y +=交于1,2P ⎛-- ⎝⎭和1,2Q ⎛- ⎝⎭两点，此时直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．…………………………………5分 ②当过点()1,0-的直线斜率存在时，设其方程为()1y k x =+，设直线()1y k x =+与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由()221,1,42y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214240k x k x k +++-=．……………………………………………6分因为()()()2222244212424160kk k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得12x x +=22421k k -+，12x x =222421k k -+．…………………………………………………7分注意到()121222221ky y k x x k k +=++=+．所以PQ 的中点坐标为2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．…………………………………………………………8分因为12PQ x =-==．………………………………………………9分点N 到直线52x =-的距离为()22225265221221k k d k k +=-=++．……………………………………10分因为2d -24PQ =()4222122090421k k k ++>+，……………………………………………………………11分即d >2PQ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．……………………………………………………12分21．（1）解：因为2()ln kf x x x=-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以233122(),0k x kf x x x x x+'=+=>．………………………………………………………………1分当0k ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．…………………………………………………………………2分当0k <时，由()0f x '=，得x =当(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x在(上单调递减；在)+∞上单调递增．……………………………3分综上所述，当0k ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0k <时，函数()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增．………………………………………………………………………4分（2）先求k 的取值范围：【方法1】由（1）知，当0k ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．………………………………………………………………………5分当0k <时，函数()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以min 1()2f x f==，要使函数()f x 有两个零点，首先min 1()02f x =<，解得102e k -<<．………………6分因为21k -<<，且()10f k =->，下面证明()()12ln 204f k k k-=-->．设()()1ln 24g k k k =--，则()22114144k g k k k k+'=+=．因为12e k >-，所以()222211141e 0444k g k k k k k-++'=+=>>．所以()g k 在1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2f k -=()11e ln 02e e 2g k g ⎛⎫>-=+> ⎪⎝⎭．【若考生书写为：因为当0x +→时，()f x →+∞，且()10f k =->．此处不扣分】所以k 的取值范围是1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………7分【方法2】由2()ln 0kf x x x=-=，得到2ln k x x =．………………………………………………5分设()2ln g x x x =，则()()2ln 1g x x x '=+．当120ex -<<时，()0g x '<，当12ex ->时，()0g x '>，所以函数()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以由()ming x =⎡⎤⎣⎦121e 2e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………6分因为0x +→时，()0g x →，且()10g =，要使函数()f x 有两个零点，必有102ek -<<．所以k 的取值范围是1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………7分再证明12x x +>：【方法1】因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．……………………………………………………8分所以22211ln k k t t x x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102e k -<<，1t >．要证12x x +>，即证()2128x x k +>-．………………………………………………………9分即证()22118x t k +>-，即证()221118ln k t k t t ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭．因为102e k -<<，所以即证()221118ln t t t ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，或证()2218ln 110t t t ⎛⎫+-+<⎪⎝⎭()1t >．………………………………………………………………10分设()221()8ln 11h t t t t ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，1t >．即2221()8ln 2h t t t t t t =--++，1t >．所以()()2222332121822()220t t t h t t t t tt----'=----=<．【用其他方法判断()0h t '<均可，如令分子为()u t ，通过多次求导判断】所以()h t 在()1,+∞上单调递减，………………………………………………………………………11分所以()221()8ln 11(1)0, 1h t t t h t t ⎛⎫=+-+<=>⎪⎝⎭．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法2】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．……………………………………………………8分所以22211ln k k t t x x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102e k -<<，1t >．要证12x x +>9分即证212tx k >-，即证2112ln k t k t t ⎛⎫⨯->- ⎪⎝⎭．因为102e k -<<，所以即证12ln t t t->()1t >．…………………………………………………10分设1()2ln h t t t t=-+，则()222121()10t h t t t t -'=--=-<，1t >．所以()h t 在()1,+∞上单调递减，………………………………………………………………………11分所以1()2ln h t t t t=-+()10h <=．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法3】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．所以121222ln 0,ln 0.k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即122212ln ln k k x x x x +=+．………………………………………………………8分要证12x x +>9分只需证()12ln ln ln 2x x k +>-．即证()2212ln 2k k k x x +>-，即证()2211ln 2k k k x tx +>-．即证()221111ln 2k k t x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………10分10x <<，所以212x k <-，即21112x k>-．………………………………………………11分所以()222211111111111111222k k t x t k t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+⨯=-+>-+=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．而()1ln 2ln 1ek -<=-，所以()221111ln 2k k t x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭成立．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法4】因为1x ，2x 是函数()f x 有两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >．由已知得121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即212221ln ln k k x x x x -=-．…………………………………………………8分先证明2121ln ln x x x x -<-，即证明ln t <()1t >．设()ln h t t =-，则()210h t '=>．所以()h t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h t h >=，所证不等式成立．………………………9分所以有2121ln ln x x x x -=-()122212k x x x x -+<10分即()312k x x -+<．122x x +<（12x x ≠），……………………………………………………………………11分所以()312122x x k x x +⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()2128x x k +>-．所以12x x +>．…………………………………………………………………………………12分【方法5】要证12x x +>，其中1x∈(，2x∈)+∞，即证21x x >．…………………………………………………………………………………8分利用函数()f x 的单调性，只需证明()()21f x f x >．因为()()21f x f x =，所以只要证明()()11f x f x >，其中1x∈(．………9分构造函数()()()F x f x f x =-，(x ∈，则()()()22ln ln k k F x x x x x=--+．…………………………………………10分因为()()33122k k F x x x x'=++()()()22334x x x x x x⎤-+⎥⎣⎦=+（利用均值不等式）2x x<()2220x x x=-<，所以()F x在(上单调递减．…………………………………………………………………11分所以()11022F x F >=-=．所以()()f x f x >在(上恒成立．所以要证的不等式12x x +>成立．……………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），当=2απ时，直线l 的直角坐标方程为2x =．…………………………………………………………1分当2απ≠时，直线l的直角坐标方程为()tan 2y x α=-．……………………………………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．………………………………………………………5分解法2：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），则有sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ……………………………………………………………2分所以直线l的直角坐标方程为()sin cos 2sin 0x y αααα--= ．………………………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得05)cos 2sin 32(2=-++t t αα．……………6分因为020)cos 2sin 32(2>++=∆αα，可设该方程的两个根为1t ，2t ，则()122cos t t αα+=-+ ，125t t =-．……………………………………………………7分所以12AB t t =-===8分整理得)2cos 3αα+=，故2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭…………………………………………………………………………………9分因为0α≤<π，所以63αππ+=或263αππ+=，解得6απ=或2απ= 综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………………………………………………10分解法2：直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且AB =，故圆心)0,1(C 到直线l 的距离1)22(92=-=d ．…………………………………………………6分 ①当2απ=时，直线l 的直角坐标方程为2=x ，符合题意．…………………………………………7分 ②当0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，直线l 的方程为0tan 23tan =-+-ααy x ．所以1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd ，………………………………………………………………8分tan α=解得6απ=．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．…………………………………………1分当12x ≥时，2111x x -->+，解得3x >．当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-．…………………………………………………………4分综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．……………………………………5分（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122a x a x --<+-．则22121a x x >--+．…………………………………………………………………………………6分令()22121g x x x =--+，则问题等价于min (())a g x >因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩……………………………………………………………………9分min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………………………………………………10分解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+，………………………………………………6分即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．……………………………………………7分所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-，…………………………………………8分当且仅当12x =时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………………………………………………10分古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

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高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：A20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）20xx.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数图1俯视图侧视图正视图 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16 B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .D CB A a0.0320.02452515O 12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CBA18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分M OH FED C B A （或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE nAE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。