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八年级上《勾股定理》期末复习试卷.doc

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北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (26)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (26)

一、选择题1.如图，把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，其中∠B=90∘，AB=2，△ABD的周长为8，则四边形ABDE的面积是( )A．83B．133C．6D．72.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点Cʹ处连接ACʹ，则ACʹ长度的最小值是( )A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤134.已知a，b，c是三角形的三边，满足(a−3)2+√b−4+∣c−5∣=0，则三角形的形状是( )A．腰和底不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形5.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2019的值为( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20186. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A ． 1，2，3B ． 2，3，4C ． 3，4，5D ． 4，5，67. 如图，已知 ∠ABC =90∘，AB =6，BC =8，AD =CD =7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 ( )A ． 0B ． 2C ． 3D ． 48. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )A ． 2 米B ． 2.2 米C ． 2.5 米D ． 2.7 米9. 如图，将一根长 27 厘米的筷子，置于高为 11 厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为 (27−√157) 厘米，则底面半径为 ( ) 厘米．A ． 6B ． 3C ． 2D ． 1210. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( ) cm ．A．15B．√97C．12D．18二、填空题11.如图，在高2米，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．12.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC=8，则△ABC的面积是．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．14.等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则其底边BC的长为．15.如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．16.如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．17. 小明用三角板测得一个圆锥形漏斗尺寸如下图所示，那么漏斗斜壁 AB 的长度 cm ．三、解答题18. 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB =90∘，AB =15，BC =9，AD =5，DC =13．试判断△ACD 的形状，并说明理由．19. 已知 AB =2，AC =4√12，BC =25√125，在图所示的网格内画 △ABC ，使它的顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长都为 1．(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求点 A 到 BC 边的距离．20. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，且 AD =BD ，在 AD 上截取 DE =DC ，延长 BE 交 AC于点 F ，连接 CE ．(1) 证明：△BDE≌△ADC．(2) ∠ABF和∠ACE相等吗？说明理由．(3) 若BD=12 cm，CD=5 cm，求线段BF的长度．21.如图，每个小正方形的边长为1．(1) 求四边形ABCD的周长；(2) 求证：∠BCD=90∘．22.回答下列各题：(1) 特例研究：如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高．(2) 经验提升：如图②，在△ABC中，AB=AC≠BC，点P为线段BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．x+3，l2:y=−3x+3，若线(3) 综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=34段BC上有一点M到l1的距离是1，请运用(2)中的结论求出点M的坐标．23.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．24.为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m．(1) 求出空地ABCD的面积．(2) 若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？25.请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示．设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示．设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12−l22=25+25π2−225=25π2−200=25(π2−8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，∴选择路线2较短．(1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=；路线2：l22=(AB+BC)2=．∵l12l22，∴l1l2（填“>”或“<”），∴应选择路线（填1或2）较短．(2) 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为ℎ时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，∴AD=CD，∠AED=∠CED=90∘，AE=CE，∵△ABD的周长为8，∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=8，∴BC=6，∵AD2=AB2+BD2，∴CD2=4+(6−CD)2，∴CD=103，∴BD=83，∴S△ABD=12×2×83=83，S△ACD=12×2×103=103，∵AE=EC，∴S△AED=53，∴四边形ABDE的面积=133，故选：B．【知识点】勾股定理之折叠问题2. 【答案】C【解析】当Cʹ落在AB上，ACʹ长度的值最小，∵∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BCʹ=BC=3cm，∴ACʹ=AB−BCʹ=2cm．【知识点】勾股定理之折叠问题、折叠问题3. 【答案】A【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：√52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】D【解析】因为a，b，c为三角形三边，则a，b，c均大于0，又因为满足 (a −3)2+√b −4+∣c −5∣=0， 又因为 (a −3)2≥0，√b −4≥0，∣c −5∣≥0， 所以 (a −3)2=0，√b −4=0，∣c −5∣=0， 所以 a =3，b =4，c =5， 因为 a 2+b 2=32+42=52=c 2， 所以，三角形为直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律6. 【答案】C【解析】A ．因为 12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B ．因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C ．因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； D ．因为 42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】如图，过点 B ，D 分别作 BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100， 所以 AC =10．再由 12AB ⋅BC =12AC ⋅BE ，可得 BE =4.8．由AD=CD=7且DF⊥AC，得AF=12AC=5，由勾股定理，得DF2=72−52=24，故DF<5．又因为BE<5，所以到直线AC的距离为5的两条平行线与四边形ABCD的边没有交点．故选A．【知识点】勾股定理8. 【答案】A【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA=∠BFO=90∘，因为∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，所以∠AOE=∠OBF．在△AOE和△OBF中，{∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF, OA=OB,所以△AOE≌△OBF(AAS)，所以OE=BF，AE=OF，所以OE+OF=AE+BF=CD=17（米），因为EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7（米），因为OE+OF=2EO+EF=17米，所以2OE=17−7=10（米），所以BF=OE=5米，OF=12米，所以CM=CD−DM=CD−BF=17−5=12（米），OM=OF+FM=12+3=15（米），由勾股定理得：ON=OA=√AE2+OE2=√122+52=13（米），所以MN=OM−OF=15−13=2（米）．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】27−(27−√157)=√157（厘米），筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，√(√157)2−112=6（厘米），6÷2=3（厘米）．故底面半径为3厘米．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】A【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点Aʹ，连接AʹC交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=AʹE，AʹP=AP，∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC，×18cm=9cm，AʹQ=12cm−4cm+4cm=12cm，∵CQ=12在Rt△AʹQC中，由勾股定理得：AʹC=√122+92=15cm．【知识点】平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】(2+2√3)【知识点】勾股定理的实际应用12. 【答案】16【知识点】三角形的面积、勾股定理13. 【答案】2或4017【知识点】勾股定理之折叠问题14. 【答案】6【解析】设底边长为2x．=8−x．∴腰长为16−2x2利用勾股定理：(8−x)2=x2+42，∴x=3，∴其底边BC的长为6，故答案为：6．【知识点】一元二次方程的应用、勾股定理15. 【答案】等于【知识点】勾股定理的实际应用16. 【答案】25cm【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，则AʹB即为最短距离，AʹB=√AʹD2+BD2=√202+152=25(cm)．【知识点】平面展开-最短路径问题17. 【答案】√34【解析】√32+52=√34．【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题18. 【答案】∵AB=15，BC=9，∠ACB=90∘，∴AC=√152−92=12，∵52+122=132，∴AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90∘，∴△ACD是直角三角形．【知识点】勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) ∵AC=4√12=4×√24=2√2，BC=25√125=25×√25×5=25×5√5=2√5，AB=2，∴△ABC如图所示（长度正确，顶点在格点上即可，画法不唯一）．过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=2，∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2×2=2．(2) 过点A作AE⊥BC于点E，则S△ABC=12BC⋅AE．∵S△ABC=2，BC=2√5．∴AE=2S△ABCBC =2√5=√5=√5√5×√5=25√5，即点A到BC边的距离为25√5．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理20. 【答案】(1) 在△BDE和△ADC中，∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90∘，在△BDE和△ADC中，{AD=BD,∠BDE=∠ADC, DE=DC,∴△BDE≌△ADC．(2) ∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD，在Rt△ADB中，AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45∘，同理∠DEC=∠DCE=45∘，∵∠ABF=45∘−∠EBD，∠ACE=45∘−∠CAD，∴∠ABF=∠ACE．(3) ∵∠EBD=∠CAD，∠BED=∠AEF，∠EBD+∠BED=90∘，∴∠CAD+∠AEF=90∘，∴BF⊥AC，∵BD=12 cm，∴AD=12 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=13 cm，S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BF，∴12×(12+5)×12=12×13×BF，解得BF=20413cm．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理、边角边、等腰三角形的性质、全等形的概念及性质21. 【答案】(1) 根据勾股定理可知AB=3√2，BC=√34，CD=√34，AD=5√2，∴四边形ABCD的周长为8√2+2√34．(2) 连接BD．∵BC=√34，CD=√34，DB=√68，∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90∘．【知识点】勾股逆定理、勾股定理22. 【答案】(1) 如图①，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴BG=12BC=4，在Rt△ABG中，AB=8，∴AG=√AB2−BG2=4√3，则等边△ABC的高为4√3．(2) ①当点P在边BC上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD+PE=CF．②当点P在BC的延长线上时，PD−PE=CF，理由：如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF∵S△ABP−S△ACP=S△ABC∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD−PE=CF．(3) 如图④，由题意可求得A(−4,0)，B(0,3)，C(1,0)，∴AB=5，AC=5，BC=√12+32=√10，OB=3，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P，Q．∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ=1．由图②的结论得：MP+MQ=3，∴MP=2，∴M点的纵坐标为2，又∵M在直线y=−3x+3，∴当y=2时，x=13∴M坐标为(13,2)．【知识点】一般三角形面积公式、一次函数与三角形的综合、勾股定理23. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边24. 【答案】(1) 如图所示，连接AC，由题意可知∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，所以AC=√AD2+CD2=√82+62=10m，又因为AB=26m，BC=24m，且102+242=262，所以△ACB为直角三角形，则空地ABCD面积即为△ACB的面积：12⋅AC⋅BC=12×10×24=120m2．答：空地ABCD的面积为120m2．(2) 由题意得：200×120=24000（元），答：共需投入24000元．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】(1) AB2+BC2=52+π2=25+π2；(5+2)2=49；<；<；1(2) l12=AC2=AB2+BC2=ℎ2+(πr)2，l22=(AB+BC)2=(ℎ+2r)2，∴l12−l22=ℎ2+(πr)2−(ℎ+2r)2=r(π2r−4r−4ℎ)=r[(π2−4)r−4ℎ],时，l12=l22；∴当r=4ℎπ2−4时，l12>l22；当r>4ℎπ2−4当r<4ℎ时，l12<l22．π2−4【知识点】勾股定理的实际应用。

滕州市2019-2020年八年级上《勾股定理》期末复习试卷含解析

滕州市2019-2020年八年级上《勾股定理》期末复习试卷含解析

滕州市2019-2020年八年级上《勾股定理》期末复习试卷含解析一、选择题1．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（）cm2．A．54 B．108 C．216 D．2702．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，33．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm24．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13C．a2=b2﹣c2D．∠A=∠C﹣∠B5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．256．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或77．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定8．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（）A．4.8 B．5 C．4 D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（）A．4 B．9 C．18 D．3610．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A．16 B．32 C．34 D．6411．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30 B．50 C．60 D．8012．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题13．已知|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，则以x、y、z为三边的三角形是______三角形．14．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=______．15．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为______．16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．17．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为______．18．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：______．三、解答题19．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．20．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．21．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？24．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？25．如图，学校为美化校园，将形状是直角三角形的﹣园地△ABC，分别以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，开辟为三个花坛甲、乙、丙，现分给201班同学种花．班长准备让人数相等的两个小组同学负责．为了公平分配任务，她安排一个小组负责花坛甲，另一个小组负责花坛乙和丙．你认为班长的安排合理吗？请说明理由．-学年八年级（上）期末数学复习试卷（勾股定理）参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（）cm2．A．54 B．108 C．216 D．270【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答：这块地的面积是216平方米．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选B．3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【考点】勾股定理；完全平方公式．【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【解答】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选A．4．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13C．a2=b2﹣c2D．∠A=∠C﹣∠B【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、不妨设a=5，b=12，c=13，此时a2+b2=132=c2，即a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、由条件∠A=∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故选A．5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．25【考点】勾股定理．【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB==5．故选：A．6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或7【考点】勾股定理．【分析】分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．【解答】解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．7．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（）A．4.8 B．5 C．4 D．【考点】勾股定理；垂线段最短；等腰三角形的性质．【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD===4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（）A．4 B．9 C．18 D．36【考点】勾股定理；等腰直角三角形．【分析】解：由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=36，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE=BC，AF=FC=AC，得出S1+S2=BE2+AF2=（BC2+AC2），即可得出结果．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=6，∴BC2+AC2=AB2=62=36，∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，∴BE=CE=BC，AF=FC=AC，∴S1+S2=BE2+AF2=×（BC）2+×（AC）2=（BC2+AC2）=×36=9；故选：B．10．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A．16 B．32 C．34 D．64【考点】勾股定理．【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积．【解答】解：如图所示：根据题意得：EF2=25，FG2=9，∠EFG=90°，根据勾股定理得：EG2=25+9=34，∴以斜边为边长的正方形A的面积为34．故选：C．11．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30 B．50 C．60 D．80【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．【解答】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，（AAS）同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，∵梯形DEFH的面积=（EF+DH）•FH=80，S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，∴图中实线所围成的图形的面积S=80﹣2×9﹣2×6=50，故选 B．12．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【考点】勾股定理的应用．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，解得：h=4.5．故选：C．二、填空题13．已知|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，则以x、y、z为三边的三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出x、y、z的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可．【解答】解：以x，y，z为三边的三角形是直角三角形．∵|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，∴|x﹣12|+|z﹣13|+（y﹣5）2=0，∴x﹣12=0，z﹣13=0，y﹣5=0，∴x=12，y=5，z=13，∵122+52=132，∴以x，y，z为三边的三角形是直角三角形．故答案为直角．14．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=8．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可求得该代数式的值．【解答】解：∵AB2=BC2+AC2，AB=2，∴AB2+BC2+AC2=8．故答案为：8．15．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为2cm．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理和已知条件得出得出AB2=16cm2，得出AB=4cm，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵直角三角形三边的平方和是32cm2，∴AB2=16cm2，∴AB=4cm，∴斜边AB上的中线长=AB=2cm，故答案为：2cm16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 4.8．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8﹣x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8；故答案为：4.8．17．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为1或4．【考点】勾股定理的证明．【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长=4﹣3=1，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得：另一直角边长==4，∴小正方形的边长=4﹣3=1，∴小正方形的面积=12=1；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5﹣3=2，∴小正方形的面积22=4；综上所述：小正方形的面积为1或4；故答案为：1或4．18．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：13、84、85．【考点】勾股数．【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，第6组第一个数是13，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：132+x2=（x+1）2，解得x=84．则得第6组数是：13、84、85．故答案为：13、84、85．三、解答题19．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．则S四边形ABCD故四边形ABCD的面积是36．20．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．【考点】勾股定理的应用．【分析】在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．【解答】解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．∵AB=A′B′，∴A′O2+OB′2=40．∴OB′==．∴BB′=6﹣．21．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？【考点】勾股定理的应用．【分析】设BE=x米，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=52+x2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=32+（8﹣x）2，根据AE=CE∴52+x2=32+（8﹣x）2求得BE的长即可．【解答】解：设BE=x米，在Rt△ABE中，AE2=52+x2在Rt△CDE中，CE2=32+（8﹣x）2，∵AE=CE，∴52+x2=32+（8﹣x）2，解得x=3，答：点E应该选在距B点3米处．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠1与∠3的关系，AB与DE的关系，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系；（2）根据面积的不同求法，可得答案．【解答】解：（1）AB=DE，AB⊥DE，如图2，∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°．在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA （SAS），AB=DE，∠3=∠1．∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE；=S△ADE+S△BDE=DE•AF+DE•BF=DE•AB=c2，（2）S四边形ADBE=S△ABE+S△ADE=a2+b2，S四边形ADBE∴a2+b2=c2，∴a2+b2=c2．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶40×20×60=48000（米），进而得出答案．【解答】解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2=AB2﹣AC2=502﹣302=402，所以BC=40，小汽车3秒行驶40米，则1小时行驶40×20×60=48000（米），即小汽车行驶速度为48千米/时，因为 48＜70，所以小汽车没有超速行驶．24．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为=5cm，盒子的对角线长： =13cm，细木棒长15cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：15﹣13=2cm．所以细木棒露在外面的最短长度是2厘米．25．如图，学校为美化校园，将形状是直角三角形的﹣园地△ABC，分别以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，开辟为三个花坛甲、乙、丙，现分给201班同学种花．班长准备让人数相等的两个小组同学负责．为了公平分配任务，她安排一个小组负责花坛甲，另一个小组负责花坛乙和丙．你认为班长的安排合理吗？请说明理由．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据△ABC 是直角三角形，可得出S 甲=S 乙+S 丙，故班长的安排是合理的．【解答】解：班长的安排合理．理由如下：∵S 甲=π×（）2S 乙=π×（）2S 丙=π×（）2又△ABC 是直角三角形∴=+∴S 甲=S 乙+S 丙答：因为班长分配给两个小组的花坛面积相等，所以她的安排是合理的．年9月20日。

2013学年八年级上《勾股定理》期末复习试卷

2013学年八年级上《勾股定理》期末复习试卷

勾股定理复习题班级________姓名________一、方程思想1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为.(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= .(4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．(5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为.(6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.二、分类讨论思想x1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．三、类比思想1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你、S2、S3之间的关系并加以证明．确定S四、整体思想在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．五、数形结合思想1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？*2．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.六、转化思想有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 的正上方B 点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐的底面圆的周长是12m ，高AB 是5m ）七、其它1．如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 2．如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c3．如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 以上都不对4．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其 中能构成直角三角形的有____________．(填序号)5．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 6．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______， AB 边上的高CD ＝______． 7．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．8. 如图4，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5所示的“数学风车”，则这个风车的外 围周长是__________；9. 如图6，已知正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；正方形A 1B 1C 1D 1各边长按原法延长一倍 得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图7）；以此下去...，则正方形A 4B 4C 4D 4 的面积为 ，正方形A n B n C n D n 的面积为 .图5ABC图4B CPMBCA10. 如图14，在中，D 是BC 边上的点，已知，，，，求DC 的长.11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．12、 如图15，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．13. 如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP +=．AB DC 图3CBA DEF14、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)

一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2， 解得 x =4．故线段 BN 的长为 4． 【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。

2019—2020年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析(试卷).docx

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《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (39)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (39)

一、选择题1.△ABC中，已知AB=1，AC=2．要使∠B是直角，BC的长度是( )A．√3B．√5C．3D．√3或√52.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了_____米的草坪，只为少走_____米路( )A．20，50B．50，20C．20，30D．30，203.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米4.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．5√21B．25C．10√5+5D．355.某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是( )（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）A．1B．2C．3D．46.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )A．5，4，3B．√2，√3，√5C．6，8，10D．8，15，197.如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为( )米．A．1+√5B．1+√3C．2√5−1D．38.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为( )（杯壁厚度不计）A．2√26cm B．√149cm C．2√41cm D．4√29cm9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A．3B．4C．5D．610.在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=1，AC=2，则AB的长是( )A．1B．√3C．2D．√5二、填空题11.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=45∘，AC=4, 则AB的长是．12.在△ABC中，∠C=90∘，若AB=6，BC=2√5，则AB边上的高是．13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，AD=CD，AB+BC=8，则四边形ABCD的面积是．14.如图所示，∠ABC=∠BAD=90∘，AC=13，BC=5，AD=16，则BD的长为．15.如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为．16.在三角形ABC中，∠C=90∘，AB=7，BC=5，则AC的长为．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，AB=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，MN的长为半径作弧，两弧交分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于12于点P，作射线AP交BC于点D，则CD的长是．三、解答题18.在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=∠ADC=45∘，BD=6，DC=4(1) 当D，B在AC同侧时，求AD的长；(2) 当D，B在AC两侧时，求AD的长．19.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90∘，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积．20.在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的面积．21.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，D为AB上一点，CD=8，BD=6．(1) 求证：∠CDB=90∘；(2) 求AC的长．22.如图，在△ABC中，∠C=90∘，M为BC的中点，MN⊥AB，N是垂足．求证：AN2−BN2=AC2．23.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．24.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．25.小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁BC竖直放置吸管，露在外面部分BD=2厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底部是直径(AC)为8厘米的圆，请你求出吸管的长度．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC=√AC2−AB2=√4−1=√3．【知识点】勾股定理2. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC2=302+402=2500，∴AC=50米，30+40−50=20（米），∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路．【知识点】勾股定理的实际应用3. 【答案】D【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】将长方体展开，连接A，B，根据两点之间线段最短．（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=√AD2+BD2=√152+202=√625=25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√52+302=√925=5√37．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29．由于25<5√29<5√37，故最短距离为25．【知识点】勾股定理的实际应用、勾股定理5. 【答案】B【解析】∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD=√OC2−OD2=√22−12=√3≈1.73（米），CH=CD+DH=1.73+1.6=3.33，∴两辆卡车都能通过此门．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用6. 【答案】D【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】由勾股定理可知，BC=√AC2+AB2=√12+22=√5，∴AC+BC=1+√5．【知识点】勾股定理的实际应用8. 【答案】C【解析】圆柱展开如图所示，由题意可知蚂蚁从A点爬到ME上某点再爬到B点最短路径，作A关于ME对称点Aʹ连接AʹB，AʹB即作求最短路径，过B作BO⊥MN与O，则四边形OBFN为矩形，∴OB=NF，ON=BF，∵MQ=NP=20，MN=EF=7，BF=2，MA=3，E，F分别MQ，NP中点，NP=10=OB，ON=BF=2，∴NF=12MO=MN−ON=5，∵A，Aʹ关于MN对称，∴AʹM=AM=3，∴AʹO=AʹM+MO=8，∴AʹO=√AʹO2+OB2=√82+102=2√21，∴最短路径为2√21．【知识点】轴对称之最短路径、勾股定理的实际应用9. 【答案】C【解析】如图所示：∵(a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21−13=8，∴小正方形的面积为13−8=5．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】4√2【解析】如图，∵∠C=90∘，∠A=45∘，∴∠B=90∘−45∘=45∘，∴∠A=∠B，∴AC=CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√42+42=4√2．【知识点】勾股定理12. 【答案】4√53【知识点】勾股定理13. 【答案】16【解析】如图，连接AC．∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC=12BC ⋅AB +12CD ×AD =12BC ⋅AB +12AD 2=12BC ⋅AB +12CD 2,∵AB +BC =8，∴BC 2+AB 2+2BC ×AB =64， ∴4S △ABC +4S △ACD =64，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =16．【知识点】勾股定理14. 【答案】 20【解析】 ∵∠ABC =90∘，AC =13，BC =5， ∴AB =√AC 2−BC 2=12， 又 ∵∠BAD =90∘，AD =16， ∴BD =√AB 2+AD 2=20． 【知识点】勾股定理15. 【答案】 10【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】 2√6【解析】 ∵∠C =90∘，AB =7，BC =5， ∴AC =√AB 2−BC 2=√72−52=2√6．【知识点】勾股定理17. 【答案】 1.5【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ． ∵DA 平分 ∠BAC ， ∴∠DAH =∠DAC ，∵∠AHD=∠C=90∘，AD=AD，∴△ADH≌△ADC(AAS)，∴DH=DC，AC=AH=3，在Rt△ABC中，∵AB=5，AC=3，∴BC=√52−32=4，设DC=DH=m，在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，∴(4−m)2=m2+22，∴m=32，∴CD=32．【知识点】角角边、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) 如图1，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于E，∵∠ADC=45∘，∴△ADE为等腰直角三角形，∵AB=AC，∠ABC=45∘，∴△ABC为等腰直角三角形，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=6，DE=10，∴AD=√22DE=5√2．(2) 如图2，过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC=6，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90∘，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=2√5，∴AD=√22DE=√10．【知识点】边角边、勾股定理、等腰直角三角形19. 【答案】如图所示，连接AC．∵∠D=90∘，∴AC2=AD2+CD2，∵AD=8，CD=6，∴AC=10．又AC2+BC2=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S四边形ABCD =S△ABC−S△ACD=12(24×10−6×8)=96．∴这块地的面积为96m2．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】48．【知识点】勾股定理21. 【答案】(1) 略(2) 253．【知识点】勾股定理、勾股逆定理22. 【答案】连接AM，AN2−BN2=(AM2−MN2)−(BM2−MN2)=AM2−BM2=AM2−MC2=AC2．【知识点】勾股定理23. 【答案】设旗杆长为x米，则绳长为(x+1)米，则由勾股定理可得：52+x2=(x+1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12米．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】设AC=x．∵AC+AB=10，∴AB=10−x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10−x)2．解得：x=4.55，即AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】根据勾股定理得，AB2=BC2+AC2，所以AB2=(AB−2)2+82，解得：AB=17，答：吸管的长度17cm．【知识点】勾股定理的实际应用。

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版
AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
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证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
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证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点， 所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，



BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .



2
2
2
2
在Rt△ DAF 中， DF ＝ AD ＋ AF ＝ a .


在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.


在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (21)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (21)

一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期末复习综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期末复习综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期末复习综合练习题（附答案）1．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．4，3，5C．4，7，5D．7，24，25 2．下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，93．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S26．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（）A．7B．10C．20D．257．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．3B．5C．4D．3.58．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形9．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）A．15m B．9m C．7m D．8m10．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm11．直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．13．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA＝°．14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为．15．直角三角形的两边长分别是3cm、5cm，则第三边平方为．16．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝．17．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．18．如图，△ABC中，AB2＝32，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．19．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．（1）求证：BC＝BD；（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．20．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？21．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．22．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：a b c13＝1+24＝2×1×25＝2×2+125＝2+312＝2×2×313＝4×3+137＝3+424＝2×3×425＝6×4+149＝4+540＝2×4×541＝8×5+1…………n a＝b＝c＝（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？（3）你能用以上结论解决下题吗？20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）223．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．（1）求证：AB平分∠EAC；（2）若AD＝1，CD＝3，求BD2．24．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．参考答案1．解：A、52+122＝169＝132，故是直角三角形，不符合题意；B、32+42＝52，故是直角三角形，不符合题意；C、42+52＝41≠72，故不是直角三角形，符合题意；C、72+242＝252，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，∵12+22＝5≠32＝9，∴不是勾股数；B、错误，∵42+52＝41≠62＝36，∴不是勾股数；C、正确，∵32+42＝25＝52＝25，∴是勾股数；D、错误，∵72+82＝113≠92＝81，∴不是勾股数．故选：C．3．解：在Rt△AOB中，AB＝10m，∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．即少走了4m．故选：A．4．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．5．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∵S1＝9，S2＝16，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．故选：D．7．解：∵BC＝5，AC＝5，∴S△ABC＝×5×3＝×AC×BD，∴BD＝3，解法二：过A点做AE⊥BC交于点E，则易证三角形AEC全等三角形BDC，所以BD等于AE＝3．故选：A．8．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．9．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），15﹣7＝8（m）．故选：D．10．解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，则AD＝10×＝5（cm）．又因为CD＝AB＝12cm，所以AC＝13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．11．解：在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，已知两直角边为3、4，则斜边边长＝5，故答案为5．12．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．13．解：由图可知：AD2＝CD2＝5，AC2＝10，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，故答案为：45．14．解：延长AB和DC，两线交于O，∵∠C＝90°，∠ABC＝135°，∴∠OBC＝45°，∠BCO＝90°，∴∠O＝45°，∵∠A＝90°，∴∠D＝45°，则OB＝BC，OD＝OA，OA＝AD，BC＝OC，设BC＝OC＝x，则BO＝x，∵CD＝6，AB＝2，∴四边形ABCD的面积S＝S△OAD﹣S△OBC＝×OA×AD﹣＝16，故答案为：16．15．解：①当3cm和5cm都是直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：第三边平方为＝34；②当3cm为直角边和5cm为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：第三边平方为＝16（cm）．故答案为：16或34．16．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，此时∠DAE＝∠FCG，∵CF∥BD，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，设小正方形的边长是1，由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，∴∠CAG＝90°，即△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45°．17．解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；∵30.25≠20.25+10.24，∴不能做帐篷的支撑竿．18．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．∵AD＝AC，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，DE＝CE．∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BE．在Rt△ABE中，AB2＝32，∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝32，∴BE＝4，∴BD+DC＝4．又∵BD﹣DC＝1，∴DC+1+DC＝4，∴DC＝2．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠ACD＝45°，∴∠D＝∠BCD，∴BC＝BD；（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∴BD＝3，∵∠BCD＝∠D＝45°，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝3．20．解：（1）如图，连接AC，在直角三角形ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，∴AC＝10m，∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，答：空地ABCD的面积是144m2．（2）144×100＝14400（元），答：总共需投入14400元．21．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，解得，h＝2，即AB边上的高为2．22．解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；（2）a2+b2＝c2，理由是：∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1∴a2+b2＝c2；（3）当2n+1＝2019时，n＝1009，∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，∵a2+b2＝c2；∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2＝0．23．解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，∴∠CBD＝∠ABE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠EAB＝∠BAC，∴AB平分∠EAC；（2）∵AD＝1，CD＝3，∴AC＝4．∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠C＝45°，过点B作BF⊥AC于点F，如图：则△BCF为等腰直角三角形，∴BF＝CF＝2，∴DF＝CD﹣CF＝1，在Rt△BFD中，由勾股定理得：BD2＝5∴BD的平方等于5．24．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：∵大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积＝（a+b）2，又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝90°；（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴∠B+∠D＝180°，∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得：a2+b2＝c2．。

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题(附答案)

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题(附答案)

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．7，24，25C．8，12，20D．5，13，15 2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．±53．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5B．C．D．5或4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（10，0）B．（0，4）C．（4，0）D．（2，0）5．已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距（）A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里6．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE 的长是（）A．3B．4C．5D．67．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．+2C．﹣2D．28．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤139．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米10．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校六号楼前有一块长方形花圃（如图所示），有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，请你计算，他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．15．如图所示，圆柱的高AB＝15cm，底面周长为40cm，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是．16．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要元．17．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝16km，CB＝11km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．23．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米．（1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长；（2）若梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD＝0.5米，求梯子顶端A 下滑了多少米？24．如图，正方形网格中有△ABC．若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求△ABC中BC边上的高．25．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案一．选择题1．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；B、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形；C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．故选：B．2．解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是＝5．故选：C．3．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D．4．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10，∴AC＝AB＝10，∴OC＝10﹣6＝4，∴点C的坐标为（4，0），故选：C．5．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：＝50（海里）．故选：D．6．解：根据翻折的性质得，AE＝CE，设BE＝x，∵长方形ABCD的长为8，∴AE＝CE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2＝AB2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，所以，BE的长为3．故选：A．7．解：由题意可得，AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，∴AC＝＝＝，∴AD＝．∴点D表示数为﹣2．故选：C．8．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．9．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故选：B．10．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，∴BC＝8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，∴CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，故选：D．二．填空题11．解：根据勾股定理可得斜边长是＝5m．则少走的距离是3+4﹣5＝2m，∵2步为1米，∴少走了4步，故答案为：4．12．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．故答案为：49cm2．13．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝8π．故答案为：8π．14．解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．15．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝15，AD为底面半圆弧长，AD＝40＝20，所以AC＝＝＝25，故答案为：25cm．16．解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m＝7m，则面积是14m2，价格是14×20＝280（元）．17．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．三．解答题18．解：设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得x2+162＝112+（25﹣x）2，解得x＝9.8，∴E站应建在离A站9.8 km处．19．解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，则x+1＝13，答：水深12尺，芦苇长13尺．20．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．21．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝1200米，AC＝500米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1300（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝（米）．由于400米＜米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．23．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°根据勾股定理，得：AC＝＝＝2（米）∴梯子顶端A与地面的距离AC为2米；（2）依题意，得：CD＝BC+BD＝1.5+0.5＝2（米）在Rt△CDE中，∠C＝90°，根据勾股定理，得：∴AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5（米）∴梯子顶端A下滑了0.5米．24．解：（1）∵由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB＝，AC＝2，BC＝5，设△ABC的边BC上的高为h，则AB×AC＝×h，∴×2＝5h，h＝2，即△ABC中BC边上的高是2．25．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120（千米），则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (32)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (32)

一、选择题1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )√2D．2A．√5B．2.5C．322.在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC=x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是( )A．B．C．D．3.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )．A．1，2，√3B．2，5，6C．3，4，5D．5，12，134.一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为( )B．13C．6D．25 A．60135.在Rt△ABC中，∠B＝90∘，BC=1，AC=2，则AB的长是( )A．1B．√3C．2D．√56.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7.把两个同样大小的含45∘角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB=√2，则CD的长为( )A．√2−1B．√2+1C．√3−1D．√38.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为( )A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm9.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与下图中△ABC相似的是( )A．B．C．D．10.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.如图，在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为5，b，c之间的距离是7．若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上（任意两个顶点不在同一平行直线上），则△ABC的面积是．12.我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB=AC=AD，则AC2=AB⋅AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB，AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD，CD是对应的闪亮边，且∠ABC=90∘，∠D=60∘，AB=4，BC=2，那么线段AD的长为．13.在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为cm2．14.若三角形的三边满足a:b:c=5:12:13，则这个三角形中最大的角为．15.如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C=90∘，已测得AB=260m，BC=100m，AD=20m，EC=10m，则池塘的宽度DE=．16.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE．依此类推，则第2019个等腰直角三角形的斜边长是．17.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．三、解答题，求AD，BD的长．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，AC=10，sin∠DCB=3519.如图，△ABC中，AC=2AB=6，BC=3√3．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．(1) 求BE的长．(2) 延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．20.在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE．(1) 连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2) 连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2；(3) 如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，若BD=√13，CD=1，则AD的长为．(直接写出答案）21.有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声时，会立即赶过去．如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？22.在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，求证：AC⊥CD．23.问题探究题．问题背景：如图1，在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为√13，√10，√17，求△ABC 的面积．(1) 问题解决：小明在计算这个三角形面积的时候，采用了传统的三角形面积计算公式的方法计算，即求出三角形的一条高．如图2，他过点B作BD⊥AC于点D，为了求出高BD的长，他设AD=x，则DC=√17−x，根据勾股定理，可列方程：，该方程解得x=，再根据勾股定理求出高BD的长，从而计算△ABC的面积（注：此小问不用计算BD的长和△ABC的面积）．(2) 思维拓展：小辉同学在思考这个问题时，觉得小明的方法在计算上比较复杂，他先建立了一个正方形网格（每个正方形网格的边长是1），再在网格中画出了格点△ABC（即△ABC 的三个顶点都在正方形的网格线的交点处），如图3，这样就不用求△ABC的高，直接借助网格就能计算△ABC的面积为（直接写出△ABC的面积即可）．(3) 方法应用：我们将小辉的方法称为“构图法”，若△ABC的三边长分别为2√2a，√13a，√17a(a>0)，请在图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．(4) 探索创新：若△ABC中有两边长为√2，√10，且△ABC的面积为2，请在图5和备用图的正方形网格中画出△ABC所有可能情况（全等三角形视为同一种情况），则△ABC的第三边长为多少？（直接写出所有可能的情况）．24.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1) 求证：△BC1F∽△AGC1；(2) 若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．25.如图，将一根30cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm，24cm的长方体无盖盒子中，那么细木棒露在盒外面的最短长度是多少？答案一、选择题1. 【答案】A【解析】连接AC，CF．∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴∠ACD=∠FCD=45∘，AC=√2BC=√2，CF=√2CE=3√2，∴∠ACF=∠ACD+∠FCD=90∘，∴AF=√AC2+CF2=2√5，又∵H为AF中线，∴CH=12AF=√5．【知识点】勾股定理2. 【答案】D【解析】由题意PC=BC−PB=BC−(AB−AC)=8−10−6=4，故A错误；连接PA，由题意PA=PB，设PA=PB=x．∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90∘，∴PA2=AC2+PC2，∴x2=(8−x)2+62，∴x=254，∴PC=BC−PB=8−254=74，故B错误；作PH⊥AB于H．由题意，PA平分∠BAC，∵PH⊥AB，PC⊥AC，∴PH=PC，设PH=PC=x，∵S△ABC=S△ABP+S△APC，∴12⋅AC⋅BC=12AB⋅PH+12⋅AC⋅PC，∴6×8=10x+6x，∴x=3，∴PC=3．故A，B，C中，PC能确定．【知识点】勾股定理、作线段的垂直平分线3. 【答案】B【知识点】勾股逆定理4. 【答案】A【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为√52+122=13，∵S△ABC=12×5×12=12×13ℎ，∴ℎ=6013．故选：A．【知识点】勾股定理5. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90∘，BC=1，AC=2，∴AB=√AC2−BC2=√22−12=√3．故选：B．【知识点】勾股定理6. 【答案】A【解析】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了(5+5)−8=2cm．【知识点】勾股定理的实际应用7. 【答案】C【解析】如图，过点A作AF⊥BC于F．在Rt△ABC中，∠B=45∘，∴BC=√2AB=2，BF=AF=√22AB=1，∵两个同样大小的含45∘角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=√AD2−AF2=√3,∴CD=BF+DF−BC=1+√3−2=√3−1．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形8. 【答案】D【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点Aʹ，连接AʹB交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+ BF的长，即AF+BF=AʹB=20cm，延长BG，过Aʹ作AʹD⊥BG于D，∵AE=AʹE=DG=4cm，∴BD=16cm，Rt△AʹDB中，由勾股定理得：AʹD=√202−162=12cm，∴则该圆柱底面周长为24cm．【知识点】平面展开-最短路径问题9. 【答案】B【知识点】相似三角形的判定、勾股定理10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】37或1692或1932【解析】当直角顶点在直线b上时，如图1所示，过点B作BE⊥a，BF⊥c，∵∠ABC=90∘，∴∠ABE+∠CBF=90∘，∵∠ABE+∠BAE=90∘，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE与△BCF中，{∠E=∠F,∠BAE=∠CBF, AB=CB,∴△ABE≌△BCF∴AE=BF=7，BE=CF=5，由勾股定理得，AB=BC=√AE2+BE2=√49+25=√74，∴S△ABC=12⋅AB⋅BC=12×√74×√74=37；当直角顶点在直线a上时，如图2所示，同理可得△ABE≌△BCF∴AE=BF=5，BE=CF=12，由勾股定理得，AB=BC=√AE2+BE2=√52+122=13，∴S△ABC=12⋅AB⋅BC=12×13×13=1692；当直角顶点在直线c上时，如图3所示，同理可得，△ABE≌△BCF∴AE=BF=12，BE=CF=7，由勾股定理得，AB=BC=√AE2+BE2=√122+72=√193，∴S△ABC=12⋅AB⋅BC=12×√193×√193=1932．综上所述，△ABC的面积是：37或1692或1932．【知识点】勾股定理12. 【答案】2√5【知识点】勾股定理13. 【答案】252或10或5√6【知识点】勾股定理14. 【答案】90°【解析】设三边长为5x，12x，13x，∵(5x)2+(12x)2=(13x)2，∴三角形为直角三角形，∴最大内角等于90∘．【知识点】勾股逆定理15. 【答案】210m【解析】在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√2602−1002=240(m)，∴DE=AC−AD−EC=240−20−10=210(m)，∴池塘的宽度DE为210米．【知识点】勾股定理的实际应用16. 【答案】(√2)2019【知识点】勾股定理17. 【答案】x−3；(x−3)2+82=x2【解析】x−3；由题意可知AB⊥BC，由勾股定理可得(x−3)2+82=x2．【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题．18. 【答案】AD=8，BD=92【知识点】正弦、直角三角形的概念及性质、勾股定理19. 【答案】(1) ∵AC=2AB=6，∴AB=3，∵BC=3√3，∴在△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠B=90∘，连接AE，设BE=x，∴CE=3√3−x，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE=3√3−x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴32+x2=(3√3−x)2，∴x=√3即BE=√3．(2) 3√3【解析】(2) 在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=30∘，∠A=60∘，∵DE所在直线是AC的垂直平分线，∴AD=CD，DF⊥AC，在△ADF和△CDF中{AD=CD,∠ADF=∠CDF, DF=DF,∴△ADF≌△CDF(SAS)，∴∠FCD=60∘，∴△ACF是等边三角形，∵∠ABC=90∘，∴BC是AF边的中线，∵DE是AC的垂直平分线，∴AM=CM，∴CM+MN=AM+MN，当且仅当A，M，N三点共线，且AN⊥CF时，CM+MN取得最小值，当AN⊥CF时，AN=BC=3√3，∴CM+MN最小值为3√3．故答案为：3√3．【知识点】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形、勾股逆定理、垂直平分线的性质20. 【答案】(1) 结论：BC=DC+EC，理由：如图①中，∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，即：BC=DC+EC．(2) BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90∘，∴CE2+CD2=ED2，即：BD2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2又AD=AE，∴ED2=2AD2，∴BD2+CD2=2AD2．(3) √6【解析】(3) 作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE=√13，∵∠ADC=45∘，∠EDA=45∘，∴∠EDC=90∘，∴DE2=CE2−CD2=(√13)2−12=12，∴DE=2√3，∵∠DAE=90∘，AD2+AE2=DE2，∴AD=√6．【知识点】边角边、勾股定理21. 【答案】5.2s【知识点】勾股定理的实际应用22. 【答案】在△ABC中，AB⊥BC，根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5，∵在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，∴AC2+CD2=AD2，∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，∴AC⊥CD．【知识点】勾股逆定理、勾股定理23. 【答案】(1) (√13)2−x2=(√10)2−(√17−x)2；10√1717(2) 112(3) 如图，S△ABC=3a×4a−12×a×4a−12×2a×2a−12×2a×3a=5a2．根据（2）问中的方法，√13可以由边长为2，3的直角三角形构成，√17可以由边长为1，4的直角三角形构成，2√2可以由边长为2的等腰直角三角形构成．(4) √2可以由直角边边长分别为1，1的直角三角形的斜边边长构成．√10可以由直角边边长分别为1，3的直角三角形的斜边边长构成．如图所示① AB=√2，AC=√10，当S△ABC=2时，BC=4．② AB=√2，BC=√10，当S△ABC=2时，AC=2√2．故△ABC中两边长为√2，√10，且△ABC面积为2，则△ABC的第三边长为4或2√2．【解析】(1) 由题意得：AD=x，DC=√17−x，根据勾股定理：AB2−AD2=BD2，BC2−CD2=BD2，∴可列出方程(√13)2−x2=(√10)2−(√17−x)2，13−x2=10−(17+x2−2√17x)2√17x=20x=10√1717.(2) S△ABC=3×4−12×2×3−12×1×3−12×1×4=112．【知识点】三角形的面积、勾股定理24. 【答案】(1) 由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2) ∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3．∵∠B=90∘，∴BF2+32=(9−BF)2，∴BF=4，由（1）得△AGC1∽△BC1ʹF，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【知识点】相似三角形的性质与判定、相似三角形的判定、轴对称的性质、勾股定理25. 【答案】4cm．【知识点】勾股定理的实际应用。

浙江省数学八年级上学期期末复习专题（7） 勾股定理的简单应用

浙江省数学八年级上学期期末复习专题（7） 勾股定理的简单应用

浙江省数学八年级上学期期末复习专题（7）勾股定理的简单应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·广西模拟) 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A . 9B . 10C . 4D . 22. （2分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A . 12米B . 13C . 14米D . 15米3. （2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A . 3mB . 5mC . 7mD . 9m4. （2分） (2016九上·简阳期末) 如图①，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图②是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ ， C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN ，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)（）A . 10.8米B . 8.9米C . 8.0米D . 5.8米5. （2分）如图，有一个棱长为1m且封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫沿表面爬行的最短路程是（）A . 3mB . （+1）mC . mD . m6. （2分）已知菱形的一个角为60°，边长为6，则菱形的面积是（）A . 36B . 18C . 18D . 247. （2分） (2020八下·哈尔滨月考) 在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018八上·仙桃期末) 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点 , 若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（）A . 6B . 8C . 10D . 129. （2分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019八下·三原期末) 如图，在中，，，，延长到点E，使，交于点F，在上取一点G，使，连接 .有以下结论：① 平分；② ；③ 是等边三角形；④，则正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2019八上·南山期中) 直角三角形的两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的高为cm．12. （1分）如图所示，在一块长为8m，宽为5m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．13. （1分） (2019八下·宜城期末) 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程求出AC的长为.14. （1分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．这种不爱惜花草的行为仅仅使他们少走了米．15. （1分）(2021·包头) 已知抛物线与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C ，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为．16. （1分） (2020八上·盐湖期末) 如图在中，，，，分别以为直径作半圆，如图阴影部分面积记为、，则．17. （1分） (2020八下·抚顺期末) 如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值是.18. （1分） (2021·浙江模拟) 如图1，这是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的立体示意图，图2是它的平面示意图.已知汽车货箱高度，货箱底面距地面的高度，坡面与地面的夹角，木箱的长为2m，高为1.6m.宽小于汽车货箱的宽度.已知，木箱底部顶点C与坡面底部点重合，则木箱底部悬空部分的长为m，木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为m.三、解答题 (共8题；共81分)19. （5分） (2019八上·靖远月考) 如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积.20. （5分） (2019八上·高州期中) 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？21. （5分） (2020八下·新乡期中) 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.22. （15分） (2020八上·桐城期末) 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，求的度数；（2）连接，若，的周长是，求的长．23. （10分） (2018八下·瑶海期中) 一架长2.5米的梯子AB如图所示斜靠在一面墙上，这时梯足B离墙底C（∠C＝90°）的距离BC为0.7米．（1）求此时梯顶A距地面的高度AC；（2）如果梯顶A下滑0．9米，那么梯足B在水平方向，向右滑动了多少米？24. （15分） (2018九上·黔西期中) 在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点.（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH.小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.…请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH.（一种方法即可）25. （15分） (2021八上·丹阳期末) 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点这两条垂直平分线分别交于点 .（1）若，求的度数；（2）已知的周长，分别连接，若的周长为，求的长.26. （11分） (2019九上·武汉月考) 已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE（1）如图1，连接BG、DE，求证：BG＝DE（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD① 求∠BDE的度数② 若正方形ABCD的边长是，请直接写出正方形CEFG的边长参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共8题；共8分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共81分)答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、考点：解析：。

浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理

浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理

浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共30分)1. （3分） (2020八下·罗山期末) 如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A'，使梯子的底端A'到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B 下降至B'，那么BB' （）A . 等于1mB . 小于1mC . 大于1mD . 以上都不对2. （3分） (2020九上·杭州期中) 如图，在中，均为斜边中线，则以为边构成的三角形是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定3. （3分） (2020八下·福州期中) 我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（）A . 4B . 1C . 2D . 以上都不对4. （3分） (2017八上·乐清期中) 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A . 49B . 25C . 12D . 105. （3分） (2016八上·宜兴期中) 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组（）A . 3，4，5B . 5，12，13C . 12，15，25D . ，，16. （3分） (2020八上·太原期中) 在中，若，，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D . 不是直角三角形7. （3分） (2015七上·海淀期末) 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A . MB . NC . SD . T8. （3分） (2020七上·龙口期中) 小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）A .B .C .D .9. （3分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是A .B .C .D .10. （3分） (2015九上·淄博期中) 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）cm.A . 6B . 8C . 10D . 12二、填空题 (共6题；共24分)11. （4分） (2018八下·柳州期末) 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②.12. （4分） (2021八上·青羊月考) 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为.13. （4分）如图，△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，现在分别取三边的中点E、F、G，顺次连结E、F、G，则△EFG的面积为14. （4分） (2020八下·韶关期末) 如图，菱形的两条对角线的长分别为与，点是的中点，则．15. （4分）某同还用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需cm．16. （4分） (2019八上·重庆期末) 如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是cm.三、解答题 (共8题；共66分)17. （6分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．18. （6分） (2020八上·郑州月考) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.（1）在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= .（2）在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= ，AC= ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.19. （6分）(2017·盘锦) 如图，码头A，B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A，B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）20. （8分） (2018八上·湖州期中) 阅读下列材料：【材料】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理： .【请回答】如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？21. （8分） (2021八下·惠城期末) 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，点D的坐标为(2，0)，E为AB上的点，求当△CDE的周长最小时，点E的坐标和最小周长．22. （10分） (2020八上·福鼎期中) 意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1 ，右图中空白部分的面积为S2 ．（1）请用含a ， b ， c的代数式分别表示S1 ， S2；（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．23. （10分） (2018八上·龙岗期中) 如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．24. （12分）(2018·井研模拟)（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．参考答案一、单选题 (共10题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共24分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共66分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、答案：24-4、考点：解析：。

北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)

北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6C．16 D．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连32A E．32122222A A A A A E A E==，，32212290A A E A A E∠=∠=，322122Rt RtA A E A A E∴△≌△（SAS）．322122A E A A E A∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E===，4532A E A E===，图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。

苏科版八年级上《勾股定理》期末复习评估试卷(4)及答案

苏科版八年级上《勾股定理》期末复习评估试卷(4)及答案

勾股定理评估试卷（4）一、选择题1. 如图1小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5DC BACBA(1) (2)2. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A. 9英寸(23厘米)B. 21英寸(54厘米)C. 29英寸(74厘米)D. 34英寸(87厘米)3. 下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A.5组B.4组C.3组D.2组4. 一架4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ）A.3.2mB.4.0mC.4.1mD.5.0m5. 如图2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对6. 三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形7. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)A8. 如图3，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.m 2 B.m 3 C.m 4 D.m 5DCAEDCBO200m 520mCB A（3） (4) (5)二、填空题9. 如图4，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________。

八年级上册第二章：勾股定理与平方根期末复习试卷苏科版

八年级上册第二章：勾股定理与平方根期末复习试卷苏科版

第二章期末复习作业纸A 组1．下列说法正确的是【 】A 一个数的平方等于1，那么这个数就是1。

B ±6是36的算术平方根。

C 6是（-6）2的算术平方根。

D 4是8的算术平方根。

2．若032=-++y x ，则xy 的值为__________。

3．已知a ，b 为两个连续整数，且b a <<7，则a+b=__________。

4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a b a -+的结果是_______。

5．计算()32843+--=_______________。

6．若a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身。

求()m m b a mcd-++2的立方根的值。

7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简：c b a c b a a -+-+--。

8．直角三角形中，两直角边长度之和为8，斜边的长为34，则此三角形的面积是_________。

9．一个有盖的长方体形状的文具盒的长、宽、高分别是12cm ，4cm ，3cm ，那么它最多能放________cm 长的铅笔。

10．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则长方形ABCD 的边BC 长为___________。

11．如图，在长方形一边CD 上取一点E ，沿AE 把△ADE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

EC12．如图所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设22CD AB m +=，22BC AD n +=，请比较m 和n 的大小。

D13．如图所示，CE 、CF 分别是△ABC 的内角∠ACB ，外角∠ACD 的平分线，若EF=10，则22CF CE +=____________。

14．如图所示，已知在△ABC 中，∠B=90°，点D 、点E 分别在BC 和AB 上，求证：2222DE AC CE AD +=+。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (14)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (14)

一、选择题1.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是( )A．1，√3，2B．5，12，15C．4，5，6D．√2，√3，52.下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A．4，5，6B．1，1，√2C．6，8，11D．5，12，233.小红同学要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是( )A．21m B．13m C．10m D．8m4.如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于( )A．13B．√13C．5D．√55.五根木棒，其长度分别为7，15，20，25，24，现将它们摆成两个直角三角形正确的是( )A．B．C．D．6.如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是( )A．6，7，8B．5，6，8C．√3，√2，√5D．4，5，67.△ABC中，AB=13 cm，AC=15 cm，高AD=12，则BC的长为( )A．14B．4C．14或4D．以上都不对8.若直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为( )A．3013cm B．6013cm C．12013cm D．13cm9.已知直角三角形的两条边的长为3和4，则第三条边的长为( )A．5B．4C．√7D．5或√710.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A．B．C．D．二、填空题11.如图，将长为12cm的弹性绳放置在直线l上，固定端点A和B，然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D，则拉长后弹性绳的长为．12.如图，在四边形ABCD中，AD=2√2，AB=12，BC=13，CD=√17，∠ADC=90∘，那么四边形ABCD的面积=．13.如图，某小区有一块长方形的花圃，有人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条路AB，已知AC=3m，BC=4m，他们仅仅少走了步（假设两步为1米），却伤害了花草．14.如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO=CO=8，BO=DO=6，点P为线段AC上的一个动点．（1）填空：AD=CD=．（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．连接PB，在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为．15.一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为．16.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果一个三角形的三个内角之比是1:2:3，且最短边的长度是8，最长边的长度是．17.一直角三角形有两边长分别为4和5，则第三边长为．三、解答题18.如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12，△ABE的面积为60，△ABC是否直角三角形？为什么？19.如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后到达E点，底端也水平滑动2米吗？试说明理由．20.如图，在△ABC中，AB=10，BD=8，AD=6，CD=2√3．(1) 试说明AD⊥BC；(2) 试求点D到直线AC的距离．21.如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．(1) 在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：方法一：S=．方法二：S=S△ABC+S△BDE+S△AEF+S△ABE=ab+12b2−12a2+12c2.(2) 由于（1）中的两种方法表示的的都是长方形ACDF的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．(3) 请直接运用（2）中的结论，求当c=10，a=6，S的值．22.如图，在四边形ABCD中，∠A=45∘，CD=BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．(1) 求证：∠DEC=∠BEC；(2) 若AB=8，BC=√10，求CE的长．23.如图，在△ABC中，∠BAC=105∘，∠C=30∘，AC=2√3．求BC的长．24. 如图，在四边形 ABCD 中，AB =4，AD =3，BC =12，CD =x ，x >0，AB ⊥AD ．(1) 求 BD 的长．(2) 当 x 为何值时 △BDC 为直角三角形？ (3) 在( 2 )的条件下，求四边形 ABCD 的面积．25. 李老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2345⋯a 22−132−142−152−1⋯b 46810⋯c 22+132+142+152+1⋯(1) 请你分别观察 a ，b ，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n (n >1) 的代数式表示：a = ，b = ，c = ．(2) 猜想：以 a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？(3) 观察下列勾股数 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，分析其中的规律，根据规律直接写出第五组勾股数 ．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【解析】A．∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误，B．∵12+12=√22，∴能构成直角三角形，故B正确，C．∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误，D．∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误，故选B．【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【解析】设旗杆高x m，∴(x−1)2+52=x2，∴x2−2x+1+25=x2，2x=26，x=13．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】∵x=√22+32=√13．【知识点】勾股定理5. 【答案】C【解析】A选项：72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A错误；B选项：72+242=252，152+202≠242，故B错误；C选项：72+242=252，152+202=252，故C正确；D选项：72+202≠252，242+152≠252，故D错误．【知识点】勾股逆定理6. 【答案】C【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=132−122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=152−122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=132−122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=152−122=81，则CD=9，故BC的长为DC−BD=9−5=4．【知识点】勾股定理8. 【答案】B【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，∴斜边=√52+122=13cm，设斜边上的高为ℎ，则直角三角形的面积=12×5×12=12×13⋅ℎ，∴ℎ=6013cm．【知识点】勾股定理9. 【答案】D【解析】设第三边为x，①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，∴x=5．②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，∴x=√7．∴第三边的长为5或√7．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【解析】由正方形的性质可知，∠ACB=180∘−45∘=135∘，A，C，D图形中的钝角都不等于135∘，由勾股定理得，BC=√2，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和√2，∵√2=√22，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．【知识点】相似三角形的判定、勾股定理二、填空题11. 【答案】15cm【解析】根据题意得：AD=BD，AC=BC，AB⊥CD，则在Rt△ACD中，AC=12AB=6cm，CD=4.5cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=√62+4.52=7.5(cm)．同理：BD=7.5，∴AD+BD=15(cm)，即拉长后弹性绳长为15cm．【知识点】勾股定理的实际应用12. 【答案】30+√34【知识点】勾股逆定理13. 【答案】4【知识点】勾股定理的实际应用14. 【答案】10；785【解析】（1）∵AC⊥BD于点O，∴△AOD为直角三角形．∴AD=√AO2+OD2=√82+62=10，∵AC⊥BD于点O，AO=CO，∴CD=AD=10，故答案为：10．（2）如图所示：连接PD，∵S△ADP+S△CDP=S△ADC，∴12ADPM+12DCPH=12ACOD，即12×10×PM+12×10×PH=12×16×6，∴10×(PM+PH)=16×6，∴PM+PH=9610=485，∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值，∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短．∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小，最小值=485+6=785．故答案为：785．【知识点】垂直平分线的性质、垂线段的性质、勾股定理15. 【答案】13或5【解析】以x为边长的正方形的面积为x2，当2和3都是直角边长时，x2=4+9=13；当3是斜边长时，x2=9−4=5．【知识点】勾股定理16. 【答案】16【知识点】勾股定理17. 【答案】3或√41【解析】第三边可能是直角边或斜边，若是直角边，其长为√52−42=3；若是斜边，其长为√42+52=√41．【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】是，理由略．【知识点】勾股逆定理19. 【答案】由题意可知，AB=10m，AC=8m，AE=2m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√102−82=6m，当B滑到D时，DE=AB=10m，CE=AC−AE=8−2=6m；在Rt△CDE中，CD=√DE2−CE2=√102−62=8，BD=CD−BC=8−6=2m．答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) ∵AD2+BD2=62+82=100，AB2=102=100，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90∘，即AD⊥BC；(2) ∵∠ADB=90∘，且点D为BC边上的一点，∴∠ADC=90∘，∴由勾股定理得：AC=√AD2+CD2=√62+(2√3)2=4√3，∴点D到直线AC的距离为6×2√3÷2×2÷4√3=3．【知识点】勾股逆定理、勾股定理21. 【答案】(1) ab+b2或a(a+b)(2) 由题意得：ab+b2=ab+12b2−12a2+12c2，∴2ab+2b2=2ab+b2−a2+c2，∴a2+b2=c2．(3) ∵a2+b2=c2，且c=10，a=6，∴62+b2=102，∴b=8，∴S=ab+b2=6×8+64=112．答：S的值为112．【知识点】勾股定理、三角形的面积22. 【答案】(1) 因为DE是AB边的垂直平分线，所以DE⊥AB，AE=EB=4，因为∠A=45∘，所以DE=AE=EB，又因为DC=CB，CE=CE，所以△EDC≌△EBC．所以∠DEC=∠BEC=45∘．(2) 过点C作CH⊥AB于点H，可得，CH=EH，设EH=x，则BH=4−x，在Rt△CHB中，CH2+BH2=BC2，即x2+(4−x)2=10，解之，x1=3，x2=1（不合题意，舍），即EH=3．所以CE=√2EH=3√2．【知识点】垂直平分线的性质、边边边、等腰直角三角形、勾股定理23. 【答案】过点A作AD⊥BC于点D，∵∠BAC=105∘，∠C=30∘，∴∠B=45∘，∵AC=2√3，AC=√3，CD=√AC2−AD2=3．∴AD=12∴BD=AD=√3，∴BC=BD+CD=√3+3．【知识点】勾股定理24. 【答案】(1) 因为AB⊥AD，所以∠BAD=90∘，在Rt△BAD中，BD=√AB2+AD2=√32+42=5．(2) 当△BDC为直角三角形时，①当∠CBD=90∘时，CD=x=√BD2+BC2=√52+122=13，②当∠BDC=90∘时，CD=x=√BC2−BD2=√122−52=√119．(3) ①当x=13时，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×AB⋅AD+12×BD×BC=12×4×3+12×5×12=6+30=36,②当x=√119时，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×AB×AD+12×BD×CD=12×4×3+12×5×√119=6+5√1192.【知识点】勾股定理、勾股逆定理、三角形的面积25. 【答案】(1) n2−1；2n；n2+1(2) 是直角三角形．证明：当三角形是以a，b，c为边的三角形时：∵a2+b2=(n2−1)2+4n2=n4+2n2+1，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．(3) 11，60，61【知识点】勾股逆定理、勾股定理。

2020年北师大版八年级上册数学期末复习《勾股定理》(含答案)

2020年北师大版八年级上册数学期末复习《勾股定理》(含答案)

北师大版八上数学期末复习《勾股定理》一、选择题1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.7，12，13B.30，40，50C.5，9，12D.3，4，62.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是( )A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形3.下列各组数中，能构成直角三角形的是( ）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，234.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ）A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=9：12：15 C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c25.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A.1B.C.D.27.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为（）A.5B.6C.8D.108.如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是( )A. B.﹣ C.D.﹣9.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7＋C.12或7+D.以上都不对10.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为（）A．4 B．4π C．8π D．812.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cmD．9cm二、填空题13.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．14.小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是____________；15.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里．16.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．17.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是．18.如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．三、解答题19.如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．20.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD=16，CD=12，BD=9．(1）求△ABC的周长．(2）判断△ABC的形状并加以证明．21.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？22.操场上有一根竖直立在地面上的旗杆，绳子自然下垂到地面还剩余2米，当把绳子拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面（如图①）（1）请根据你的阅读理解，将题目的条件补充完整：如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8米，AB比AC长2米，求AC的长.根据（1）中的条件，求出旗杆的高度.23.一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m．（1）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？24.如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm?（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．参考答案1.B.2.B3.答案为：B.4.答案为：B.5.B．6.D7.C8.D9.答案为：C.10.答案为：B.11.A．12.B.13.答案为：120 cm2.14.答案为：6cm、8cm、10cm.15.答案为：17；16.答案为：13.17.答案为：15°．18.答案为：8．19.150m2．提示：延长BC，AD交于E．20.解：(1）∵CD是AB边上高，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴AC===20，BC===15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；(2）△ABC是直角三角形，理由如下：202+152=252，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．21.解：根据图中数据，运用勾股定理求得：AB===480m，答：该河流的宽度为480m．22.解：(1)补充条件：AB比BC大2. 设AC=x，则BC=x+2,在Rt△ABC，∠ACB=90°.∵AC2+BC2=AB2，∴x2+82=(x+2)2，解得x=15.答：旗杆高15米.23.24.。

山东省淄博市数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理

山东省淄博市数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理

山东省淄博市数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共30分)1. （3分）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A . 10B . 2C . 10或2D . 142. （3分） (2018九上·通州期末) 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在小正方形的顶点上.则的值为（）A .B .C .D .3. （3分）(2020·上城模拟) 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）A . S1＝2B . S2＝3C . S3＝6D . S1+S3＝84. （3分） (2016七下·沂源开学考) 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A . 90B . 100C . 110D . 1215. （3分） (2020八下·昌吉期中) 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A . 三内角之比为1：2：3B . 三边长之比为3：4：5C . 三边长分别为1，，D . 三边长分别为5，12，146. （3分）三角形的三边长分别为6，8，10，那它最短边上的高为（）A . 4B . 5C . 6D . 87. （3分）(2018·湖北模拟) 如图，一个长方体盒子，BC=CD=8，AB=4，则沿盒子表面从A点到D点的最短路程是（）A . 4B . 4+4C . 4 +8D . 48. （3分） (2019七下·江阴期中) 如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中的度数和是（）A .B .C .D .9. （3分）(2019·兴县模拟) 如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA=4,OC=8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，，则k的值是（）A . 8B . 12C . 15D . 1610. （3分）(2017·临海模拟) 如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共24分)11. （4分） (2019八上·靖远月考) 观察则有；，则有；，则有；按此规律接续写出两个式子________.12. （4分）(2018·滨州) 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________．13. （4分） (2018九上·南京期中) 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，若AC＝2 ，则∠BAC的度数为________.14. （4分） (2018八上·佳木斯期中) 在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=________．15. （4分）如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________cm．16. （4分）(2018·昆山模拟) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点E为AB的中点．以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD．则△ACD的面积为________．三、解答题 (共8题；共66分)17. （6分）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若t an∠OAC=2．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？18. （6分） (2017八上·揭阳月考)（1）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是 1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中画出长为的线段 PQ，其中 P 、 Q 都在格点上；（2）如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，判断△ABC是什么三角形，并说明理由．19. （6分） (2019八上·西安月考) 我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝8米，CD＝6米，AD⊥CD，AB＝26米，BC＝24米，求这块地的面积.20. （8分） (2016八下·红安期中) 如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）21. （8分） (2019八下·武昌期中) 如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-2x+8交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为底作等腰三角形△ABC的顶点C恰好落在y轴上，连接BC，直线x=2交AB于点D，交BC于点E，交x轴于点G，连接CD.（1）求证：∠OCB=2∠CBA；（2）求点C的坐标和直线BC的解析式；（3）求△DEB的面积；（4）在x轴上存在一点P使PD-PC最长，请直接写出点P的坐标.22. （10分） (2017八上·高州月考) 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．（1）如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3 ，则有________；（2）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3 ，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3 ，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．23. （10分） (2016九上·夏津期中) 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．24. （12分） (2018八上·郓城期中) 如图：在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝20，BC＝15，DB＝9.（1）求CD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？参考答案一、单选题 (共10题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共24分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共66分)18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、22-3、22-4、23-1、23-2、24-1、24-2、。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末练习题含答案解析 (27)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末练习题含答案解析 (27)

一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为( )A．13B．169C．12D．52.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了( )A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米3.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A．5，12，14B．6，8，10C．7，24，25D．8，15，174.如图，在单位为1的正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，能构成一个直角三角形三边的线段是( )A．a，b，c B．b，c，d C．a，b，d D．a，c，d5.满足下列条件的不是直角三角形的是( )A．三边之比为1:2:√3B．三边之比1:√2:√3C．三个内角之比1:2:3D．三个内角之比3:4:56.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为( )A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( )A．√1，√2，√3B．7，24，25C．6，8，10D．32，42，528.下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是( )A．a=1，b=1，c=√2B．a=1，b=√3，c=2C．a=3，b=4，c=5D．a=2，b=2，c=39.如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是( )A．8B．10C．64D．13610.已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的面积为( )A．12B．24C．30D．48二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.如图所示，一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯．13.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．14.已知小明和小王从同一地点出发，小明向正东方向走了2km，小王向正南方向走了3km，此时两人之间相距km．15.面积为4的正方形的对角线的长为．16.《九章算术》是我国最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何”．译文大意是：“有一根竹子高一丈（十尺),竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高”，若设未折断的竹干长为x尺，根据题意可列方程为．17.如图，张大伯屋后有一块长12米、宽8米的矩形空地ABCD，他在以较长边BC为直径的半圆形内种菜，他家的羊平时拴在A处一棵树上．为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长应小于米．三、解答题18.如图，要修建一个育苗棚，棚高ℎ=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？19.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AC=√34，CD=5，BC=13，求△ABC的面积．20.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘．(1) 用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点O；(2) 在（1）的条件下，若BC=3，AC=4，求点O到AB的距离．21.如图，扇形QOP中，OQ=4，∠QOP=120∘，点R是弧QP上的一个动点，（不与Q，P重合），OS⊥QR，OT⊥RP，垂足分别为S，T，连接ST．(1) 在点R的运动过程中，∠SOT的度数是否保持不变，若不变，求出其值，若变化请说明理由．(2) 求ST的长．(3) 若设QS=x，△SOT面积为S，求S关于x的表达式，并写出x的取值范围．22.在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12．求∠C的余弦值．23.利用勾股定理可以在数轴上画出表示√10的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足√10=√a2+b2，使其中a，b都为正整数．你取的正整数a=，b=；第二步：（画长为√10的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF=90∘，则斜边OF的长即为√10．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示√10的点）在下面的数轴上画出表示√10的点M，并描述第三步的画图步骤：．24.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，ab+(a−b)2，由此推导斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×12出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．(1) 图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2) 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？(3) 在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=4，BC=5，AB=6，设AH=x，求x的值．25.如图，AB=BC=1，CD=3，DA=√7，∠ABC=90∘．(1) 求∠BAD的度数．(2) 延长CB交AD于E，则△CDE的面积为．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又∵AC2=144，BC2=25，∴AB2=25+144=169，∴AB=√169=13．【知识点】勾股定理2. 【答案】B【解析】在Rt△ACB中，AC2=AB2−BC2=2.52−1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.9，∴CD=2.4．在Rt△ECD中，EC2=ED2−CD2=2.52−2.42=0.49，∴EC=0.7，∴AE=AC−EC=2−0.7=1.3．【知识点】勾股定理的实际应用3. 【答案】A【知识点】勾股逆定理4. 【答案】A【解析】根据勾股定理a2+b2=c2，（a，b分别为两直角边，c为斜边），所以图中a=√12+12=√2，b=√22+22=√8，c=√12+32=√10，d=√42+12=√17．要构成直角三角形必须满足两直角边平方和等于斜边平方，a，b，c，d中有(√2)2+(√8)2=(√10)2，所以能构成直角三形的三条线段为a，b，c．故B，C，D选项不正确．故选A．【知识点】勾股逆定理5. 【答案】D【解析】A．12+(√3)2=22，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；B．12+(√2)2=(√3)2，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C．根据三角形内角和定理，求得第三个角为90∘，所以此三角形是直角三角形；D．根据三角形内角和定理，求得各角分别为45∘，60∘，75∘，所以此三角形不是直角三角形．【知识点】勾股逆定理6. 【答案】C【解析】∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE=ED，设AE=x，则ED=9−x，BE=9−x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即32+x2=(9−x)2，解得x=4，∴AE的长是4，∴BE=9−4=5．【知识点】勾股定理之折叠问题7. 【答案】D【解析】∵(32)2+(42)2≠(52)2，∴32，42，52不能构成直角三角形．【知识点】勾股逆定理8. 【答案】D【知识点】勾股逆定理9. 【答案】C【解析】设面积为36的正方形边长为a，面积为100的正方形边长为c，B的边长为b，则易知a2+b2=c2，∴b2=c2−a2=100−36=64，∴B的面积为64，故选C．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【知识点】勾股逆定理二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】7m【知识点】勾股定理的实际应用13. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理14. 【答案】√13【解析】如图所示，∠ACB=90∘，∴AB=√AC2+BC2=√22+32=√13(km)．故答案为：√13．【知识点】勾股定理的实际应用15. 【答案】2√2【知识点】勾股定理16. 【答案】x2+32=(10−x)2【解析】设未折断的竹干长为x尺，根据题意可列方程为：x2+32=(10−x)2．【知识点】勾股定理的实际应用17. 【答案】4【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题18. 【答案】60平方米．【知识点】勾股定理的实际应用19. 【答案】因为CD⊥AB，所以∠CDA=∠BDC=90∘，在Rt△ADC中，AD2=AC2−CD2，在Rt△BCD中，BD2=BC2−CD2，因为AC=√34，CD=5，BC=13，所以AD=√34−25=3，BD=√132−52=12，所以AB=15，所以S△ABC=12AB⋅CD=752．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 如图，BO为所求作．(2) 过点O作OD⊥AB于点D，如图．∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OD⊥AB，∴OC=OD，∴BD=BC=3，在Rt△ABC中，AB=√42+32=5，∴AD=2，设OD=x，则OC=x，OA=4−x，在Rt△AOD中，x2+(4−x)2=22，解得x=32，即点O到AB的距离为32．【知识点】作已知角的平分线、勾股定理、角平分线的性质21. 【答案】(1) 由题意，连接OR．∵OR=OP=OQ，OS⊥RQ，OT⊥RP，∴∠ROS=12∠ROQ，∠ROT=12∠ROP，∴∠ROS+∠ROT=12∠ROQ+12∠ROP=12(∠ROQ+∠ROP)=12∠POQ=12×120∘=60∘,即∠SOT=60∘．(2) 连接PQ，作OM⊥PQ，垂足为M，∵OP=OQ=4，∠POQ=120∘∴∠OPM=30∘，∴PM=√32OP=√32×4=2√3，∵OP=OQ，OM⊥PQ，∴PQ=2PM=2×2√3=4√3，∵OS⊥RQ，OT⊥RP，∴QS=RS，PT=RT，∴ST=12PQ=12×4√3=2√3．(3) 作SN⊥OT，垂足为N，∵QS=x，OQ=4，∴OS=√OQ2−QS2=√16−x2，∵∠SON=60∘，∠SNO=90∘，∴ON=12OS=12√16−x2，SN=√32OS=√32√16−x2∵ST=2√3，∴NT=√ST2−SN2=√(2√3)2−(√32√16−x2)2=√32x,∴OT=ON+NT=12√16−x2+√32x，∴S=S△SOT=12OT⋅SN=12×(12√16−x2+√32x)⋅√32√16−x2=−√38x2+3x8√16−x2+2√3(0<x<2√3).【知识点】勾股定理、垂直平分线的性质、解直角三角形22. 【答案】cosC=916．【知识点】余弦、勾股定理23. 【答案】3；1；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作【解析】第一步：√10=√a2+b2=√32+12，a=3，b=1；第二步：如图，OF为所作；第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．【知识点】在数轴上表示实数、勾股定理24. 【答案】(1) 梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，也可以表示为12ab+12ab+12c2，∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，即a2+b2=c2．(2) ∵CA=x，∴AH=x−0.9，在Rt△ACH中，CA2=CH2+AH2，即x2=1.22+(x−0.9)2，解得x=1.25，即CA=1.25，CA−CH=1.25−1.2=0.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3) 设AH=x，则BH=6−x，在Rt△ACH中，CH2=CA2−AH2，在Rt△BCH中，CH2=CB2−BH2，∴CA2−AH2=CB2−BH2，即42−x2=52−(6−x)2，解得：x=94．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用25. 【答案】(1) 连接AC，∵∠ABC=90∘，AB=BC=1，∴AC=√AB2+BC2=√2，∠BAC=∠BCA=45∘，∵AC2+DA2=(√2)2+(√7)2=9，CD2=32=9，∴AC2+DA2=CD2，∴∠CAD=90∘，∴∠BAD=∠CAD−∠BAC=90∘−45∘=45∘.(2) √142−1【解析】(2) 由（1）知∠CAD=90∘，∠ABC=90∘，∴AB⊥CE，∴BC=BE=1，∴CE=BC+DE=2，∴S△ACE=12⋅AB⋅CE=12×1×2=1,∵S△ACD=12AC⋅AD=12×√2×√7=√142,∴S△CDE=S△ACD−S△ACE=√142−1.【知识点】三角形的面积、勾股逆定理。

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勾股定理复习题
班级________姓名________
一、方程思想
1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为.
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= .
(4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
(5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为.
(6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.
二、分类讨论思想x
1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．
2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．
三、类比思想
1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你
、S2、S3之间的关系并加以证明．
确定S
四、整体思想
在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
五、数形结合思想
1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距
离是多少千米？
*2．如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.
已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.
六、转化思想
有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 的正上方B 点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐的底面圆的周长是12m ，高AB 是5m ）
七、其它
1．如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 2．如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A 、a ＜b ＜c
B 、c ＜a ＜b
C 、c ＜b ＜a
D 、b ＜a ＜c
3．如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 以上都不对
4．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其 中能构成直角三角形的有____________．(填序号)
5．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 6．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______， AB 边上的高CD ＝______． 7．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．
8. 如图4，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5所示的“数学风车”，则这个风车的外 围周长是__________；
9. 如图6，已知正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；正方形A 1B 1C 1D 1各边长按原法延长一倍 得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图7）；以此下去...，则正方形A 4B 4C 4D 4 的面积为 ，正方形A n B n C n D n 的面积为 .
图
5
A
B
C
图4
B C
P
M
B
C
A
10. 如图14，
D 是BC 边上的点，
DC 的长.
11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．
12、 如图15，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．
13. 如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：
2
22BC AP BP +=．
A
B D
C 图3
C
B
A D
E
F
14、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

15、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
16、在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
17. 如图所示，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP =160m ，点A 到公路MN 的距离为80m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方 向行驶时，学校是否会受到影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影 响的时间为多少秒?
A B
C
D。

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