7.序列相关问题

-1 -1 -1



-1

σ D DDD
2 -1
1
σ 2 I ， 同 方 差 ， 无 序 列 相 关
对新模型可以利用OLS
所以， 新 模 型 Y X β μ 中 -1 1 -1 -1 -1 ˆ X X Y X D D X D X D Y βOLS X
-1 < < 0
DW DW = 2 DW = 0 DW = 4
0 < DW < 2 2 < DW < 4
ut的表现 ut 非自相关 ut完全正自相关 ut完全负自相关
ut 有某种程度的正自相 关 ut 有某种程度的负自相 关
无法判定
正 自 相 关
0
负
无序列相关性
自 相 关
4
DW
dL
dU
2
4 - dU 4 - d L
构造统计量 nR2 ~ χ 2 p; 在假设 ρ1 ρ2 ρp 0 成立时
S4.2.4 解决带有序列相关的线性模型 的参数估计问题
1.广义最小二乘方法（GLS） GLS是最普遍意义的最小二乘估计，在这种 意义下，OLS 和 WLS 都是GLS 的 特例。
GLS 本质上仍然是通过模型变换，得到 一个新的随机误差项满足无序列相关性的线性回 归模型。 具体如下：
(X
i 1
n
i
X)(Yi Y )
2
(X
i 1
n
i
X)
(Y
i 1
n
i
Y)
2
可得 ρe ~， e ~ t t -1 ~e ~ e t t -1
t 2 n 2 ~ et t 2 n

~e ~ e t t -1
t 2 n 2 ~ et t 1
n
D.W.

-1

1


X D D X DD X X DD Y
X D D X
-1 -1 -1 1 -1 1 -1
Y
X Ω X
-1


1
X Ω - 1Y
以上是理论推导。
由推导看出，如果知矩 道 阵 Ω， 就 可 以 得 到 未 知 参数的满足 BLUE 性 质 的 估 计 。 但是，要知道 Ω ， 必 须 知 道Ω 中 的 n个 参 数
3 .样本容量一般要满 足 n 15.
另 ：由 D.W. 2 1 ρe 可 得一 阶自 相 关 系 数 ~， e ~ t t -1 D.W. ρ 1 2


3.拉格朗日乘数（Lagrange Mutiplier）检 验
LM检验（又称GB检验）主要是通过建立如下辅助 回归模型：
~ β β X β X β X e t 0 1 1,t 2 2,t k k,t ~ ~ ~ ρ1et 1 ρ2 et 2 ρ p et p εt
t
00
正序列相关
6 4 2 0 -2
~ e t
-4
-6
t
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
负自相关的序列图
2.
~ 与e ~ 的散点图。 绘制 e t t -1
4
~ et
2
0
-2
-4 -4 -2 0 2
~ e t -1
4
(1)不存在序列相关性
6 4 2 0 -2 -4 -6 -6

0
0 0 0 ρ 1 ρ2 ρ
0 0 1 ρ2 ρ 0
0 0 0 0 ρ 1
据此可得 D .
-1
2.广义差分法
假设原模型存在形式为 μt ρ1 μt 1 ρ2 μt 2 ρ p μt p εt 的 序 列 相 关 . 其 中 εt 为 满足 基 本 假 设 的 随 机 误项 差。
σ 2 Ω, 这 里 Ω 为 一 对 称 的 正 定 矩 阵 。
由 线 性 代 数 ， 存 在 一逆 可 矩 阵 D, 使 得 Ω DD 用 D - 1左 乘 模 型Y Xβ μ ，得 新 模 型 D - 1Y D - 1 Xβ D - 1 μ
令 Y D -1Y, X D -1 X, μ D -1 μ , 则 新 模 型 Y X β μ cov μ , μ cov D μ , D μ D cov , D
~ et
~ e t -1
-4 -2 0 2 4 6
(2)存在正序列相关性
6
4
2 0 -2
~ e t
-4
-6 -6 -4 -2 0 2 4
~ e t -1
6
(3)存在负序列相关性
2 . DW Durbin - Watson检 验 法 .
德 宾- 沃 森 检 验 法
n
~ 这是一种比较正式的验 检方法，它本质上是用 利e t 构 造 了 一 个DW 统 计 量 D.W. ~ e ~ 2 e t t 1
cov μ1 , μn cov μ2 , μn 2 σn
1 2 ρ σ ρ n1
ρ 1 ρ
n 2
ρ n1 ρ n 2 2 σ Ω 1
0 1 ρ 2 ρ 1 ρ ρ 0 ρ 1 ρ2 1 1 可得 Ω 2 1 ρ 0 0 0 0 0 0 判断。
无法判定
拒 绝H 0
接 受 H0
拒 绝H 0
DW
0
dL
dU
2
4 - dU 4 - d L
4
DW 检验
• 注意： 使用 DW 检验法应首先满足的三个条件 ：
1.误差项的自相关为 一阶自回归形式 μi ρμi -1 εi .
2.所 建 立 的 模 型 中 不 应 包含有滞后被解释变作 量 为解释变量。
cov μ1 , μn σ 2 0 cov μ2 , μn 0 σ 2 ≠ 0 0 σ2
序列相关性又称自相关性（autocorrelation）。
若
cov μi , μi 1 0 ; i 1,2,, n - 1 即 cov μi , μi 1 Eμi μi 1 0 ;
。 则 称 存 在 一 阶 序 列 相 关 一阶自相关
一阶自相关常常写成 μi ρμi -1 εi 的线性形式 。
ρ 称为自相关系数 ，ρ - 1， 1. 诸 εi 是满足假定的一切性质 的随机干扰项。
注意：
（1）经济问题中的自相关主要表现为正自相关。 （2）自相关多发生于时间序列数据。
自相关产生的原因： （1）模型的数学模型不妥。所建立的数学模型与变
量间的真实关系不一致，误差项表现出自相关。
例 如 ： 边 际 成 本 与 产的 量函 数 关 系 式 为 ： Yt β0 β1 X t β2 X t2 μt 如 果 所 建 模 型 为 直 线式 形 ：Yt β0 β1 X t v t . 这 时 v t β2 X t2 μt 包 含 了 X t2 对 边 际 成 本 的 系 统 影 ， 响 vt 很 可 能 存 在 自 相 关 。
t 2 2 ~ et t 2 n
虽 然 D.W.的 具 体 分 布 很 难 精 确 出 推，但两个人得 到 了 临 界 值 d L 和 dU 。
与 n 和 k有 关，显 著 性 水 平 0.05或 0.01。
~ 求出 D.W.的值。 通过近似残差 e t
由样本相关系数公式 ρ X,Y
Yt β0 β1 X 1t βk X kt μt
Yt 1 β0 β1 X 1,t 1 βk X k,t 1 μt 1 Yt p β0 β1 X 1,t p βk X k,t p μt p ; 建立差分模型
具 有 线 性 和 无 偏 性 ，不 但再 具 有 有 效 性 。
2
t 检验失效。
3预测不再精确可靠 失效。
S4.2.3序列相关性的检验
检验方法很多,但原理只有一个: ~ ~ e e 先利用 OLS 求出近似残差 i ,用 i 来代替无 ~ μ e 法测量的随机误差 t ,然后再分析诸残差 i 之间 的相关关系,以此判定模型是否存在序列相关性.
DW 检验
1 .提 出 假 设 ， H 0 : ρ 0, 即 不 存 在 一 阶 自 相 关 即 存 在 一 阶 自 相 关 H 1 : ρ 0；
2 .构 造 统 计 量 D.W 3 .查 表 得 到 d L和d U .课 本 P 3 7 7 ~388页附表.
D.W检 验 的 方 法 步 骤 ：
检验方法:
1.图示检验法.
3
1.
~ 与 t 的散点图。 e t
2
1 0 -1 -2 -3
~ et
t
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
非自相关的序列图
4
~ et
2
0
-2
-4 10 20 30 40 50 60 70 80
t
90 100
正自相关的序列图
150 RESID 100 50 0 -50 -100 -150 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
2 2 2 k 1个 参 数 0，1， σ1 ,σ2 , , σ n 的 估 计 .还 有 , βk，
这是比较困难的。
实际当中是这样来处理的。
对模型中随机 误 差 项 序 列 相 关 的 形给 式出 一阶序列相关的假定 . 即 假设 序 列 相 关 的 形 式 为 μ ： t ρμt 1 εt