高中数学24逆变换与逆矩阵242二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏

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高中数学二阶矩阵与二元一次方程组导学案苏教版选修4-2

课题：二阶矩阵与二元一次方程组【学习任务】1．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解二元一次方程组．2．能用变换与映射的观点认识线性方程组解的意义．3．会用系数矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组．4．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性．【课前预习】1．已知2 11,,3 22xA X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解方程AX B=2.已知方程组1 03,,,0 25xAX B A X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。

【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。

例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。

例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。

例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。

【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。

2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。

（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。

4.利用逆矩阵解下列方程组：（1）2305x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）3872yx y=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.已知在下列矩阵对应变换的作用下，△A B C'''的像是图中的△ABC，试求原像△A B C'''（1）1 00 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）4 00 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.求使等式2 4 2 0 1 03 50 10 -1M⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M。

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计一、课程设计说明1.1 课程设计背景逆变换和逆矩阵是高中数学中的重要概念之一，是线性代数的基础知识。

逆变换和逆矩阵在工程、物理、经济等领域中有广泛的应用。

在高中数学选修课程中，逆变换和逆矩阵是必须掌握的知识点之一。

1.2 设计目标本课程设计旨在通过理论讲解、模型建立和题型讲解等多种方式，使学生掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点，培养学生运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

1.3 设计内容本课程设计分为以下三个部分：1.逆变换的基本概念和性质2.矩阵的逆3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题二、课程设计实施计划2.1 教学目标在完成本课程设计后，学生应达到以下目标：1.掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点。

2.熟练掌握求解矩阵的逆的方法。

3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

2.2 教学计划本课程设计分为以下三个部分：2.2.1 逆变换的基本概念和性质•介绍逆变换的定义和性质。

•介绍逆变换的求解方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.2 矩阵的逆•介绍矩阵的逆的定义和性质。

•介绍求解矩阵的逆的方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.3 运用逆变换和逆矩阵解决实际问题•给出具体的实际问题。

•引导学生将实际问题转化为数学问题。

•通过逆变换和逆矩阵求解实际问题。

•练习计算题。

三、教学方法3.1 教学理念本课程设计采用启发式教学法，注重知识的系统性、普遍性和实际性。

以应用为导向，以培养学生的数学思维能力和创新能力和发展学生综合实践能力为目标。

3.2 实施方式•讲授：采用板书、幻灯片等方式进行理论讲解。

•练习：采用大量的习题和例题进行练习巩固。

•互动：采用问答、讨论等方式提高学生的参与度。

四、考核方式4.1 考核方式以期中期末为主要考核方式，包含选择题、填空题、计算题等多个类型的考试题目。

比例约为30%的总课时。

4.2 考核标准根据学生的学习成果和教学要求，采用标准答案和量化评价相结合的方式，确保考核公正、透明、科学。

苏教版高中数学选修4矩阵与变换二阶矩阵与二元一次方程组

复习回顾
三、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵
若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1 A－1
四、二阶矩阵满足消去律的条件
已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC. 若A可逆，则B=C
问题情境
消元法求解二元一次方程组
当ad－bc≠0时，方程组的解为
建构数学
数学运用
克莱姆法则（Cramer ’ s Rule）是高等数学线性代数中一个关于求解线性方程组
的定理。它适用于变量和方程数目相等的
线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（17041752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的,对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.用计算机求解线性方程
1、课本P65页习题第6、 8题
2、训练案
3、预习
组目前已经有了一整套成熟的方法.
**用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。
数学运用用逆矩阵方法求二元一次方程组的解
例2：利用逆矩阵求解二元一次方程组
数学运用
例3 ：
数学运用
例4 ：
课堂小结
1、消元法求解二元一次方程组 2、二阶行列式有关概念,及用行列式求解二元一次方程组. 3、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 4、用几何变换的观点讨论二元一次方程的解的情况.
2.4.2 二阶矩阵与二元一阵
对于二阶矩阵 A,B 若有 AB=BA=
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵。 A的逆矩阵记为 A-1
若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。
二、求解逆矩阵的常用方法 1、待定系数法. 2、公式法. 3、用几何变换的观点求解逆矩阵

新高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

新高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_21．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1. 2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30][例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－1 2 2 －3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2 －3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21－3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21－3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32. 从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32 ⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c－－－－－＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.[例3] 若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 15. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15. (1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B－1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，则A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.6．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1. [例4] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.若矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2z y －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8.8．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－－－c－＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－10. 法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－10.[对应学生用书P32]1．求下列矩阵的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－21 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值．解：根据题意，得AA －1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵． 4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－3212. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234. (1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12.(2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．已知曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1300 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x29＋y24＝1.故曲线C的方程为x29＋y24＝1.。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2-苏教版

.4.2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a b c d＝ad －bc 因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 例1 求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad-bc ）例2 若x=θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4；当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3 y ＝2（2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高二数学(逆变换与逆矩阵及二元一次方程组)学案

高二数学（逆变换与逆矩阵）学案姓名【知识要点】1.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

2.求逆矩阵常见的方法：（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ＡＢ＝ＢＡ＝E ；（2）公式法：行列式a b c d ＝ad bc -，记为：detA ，有1det det det det d b A A A ca A A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当detA=ad bc -≠0；3.利用逆矩阵解方程组的步骤： a x b y m c x d y n +=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒=4.行列式解方程：x y x D Dx D D =⎧⎪⎨=⎪⎩，,,.x y a b m b a m D D D c d n d c n=== 【例题选讲】例1、已知矩阵132x M x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦为可逆矩阵，则实数x 的取值范围是（） A ．(,2)(3,)-∞-+∞ B ．(2,3)- C ．(,2)(2,3)(3,)-∞--+∞ D ．R例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵.(1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣ 3a -⎤⎥⎦, 求a , b .例5、利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例6、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.例7、试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性.例8、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.练习：已知矩阵1237-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ．（1）求逆矩阵1-A ；（2）若矩阵X 满足31⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AX ，试求矩阵X ．高二数学（逆变换与逆矩阵）作业姓名1.矩阵A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|A|= 2.矩阵A ＝21510x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 是不可逆的，则x= 3. 1234⎛⎫ ⎪-⎝⎭的逆矩阵为 4. A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝5. A ＝312x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，31α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若A 不可逆，则A α＝6.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝7.设二元一次方程组224m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭没有非零解，则m 所有值的集合为 8.向量α在旋转变换60o R 的作用下变为13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝9. 若1301⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x+y ＝ 10.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为 11. A ＝3110-⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ＝3201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量α满足1()AB α-＝31⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝ 12.用逆矩阵的方法解方程组：①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240x y x y -=⎧⎨-=⎩13.求下列未知的二阶矩阵X ：①12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ②12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭14.当λ为何值时，二元一次方程组2213⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭有非零解？15.设A ＝1211⎛⎫⎪-⎝⎭，矩阵B 满足1ABA -＝3012⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵B.16.①解二元一次方程2312⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31⎛⎫ ⎪-⎝⎭；②求满足X 2312⎛⎫⎪⎝⎭＝3211⎛⎫ ⎪-⎝⎭的二阶矩阵X 。

2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

江苏理数选修4-2 矩阵与变换第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3，－4
2－6＝2λ，即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3，解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2．已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ，向量 α ＝－3是－4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案苏教版选修42(1)

2.4 逆变换与逆矩阵2．4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质．3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1．逆变换二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .3．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .4．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？【提示】恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是否每个二阶矩阵都可逆？【提示】不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立，故A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆．3．若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1?【提示】根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：(ACB)－1＝[]AC B－1＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1；(3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【思路探究】矩阵→对应的几何变换→ 判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0；(3)C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.(4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵．【思路探究】思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc 求解．【自主解答】法一设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.法二注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d：①若ad－bc＝0，则A的逆矩阵不存在．②若ad－bc≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3；(2)B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 5.【解】法一利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B存在逆矩阵B－1，且B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52322 －1.法二利用待定系数法．(1)设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探究】思路一：A ，B →A －1，B －1→(AB )－1＝B －1A －1思路二：A，B→AB→(AB)－1【自主解答】法一因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，且1×12－0＝12≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤12121212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，同理B－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.因此(AB)－1＝B－1A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，∴AB＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×00×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112.且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212－11212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：先求A－1，B－1，再求(AB)－1＝B－1A－1或先求AB，再求(AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－354545 35，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，试求出(AB )－1.【解】反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3545 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25 115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，试求A －1. (2013·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【命题意图】考查逆矩阵、矩阵的乘法，以及考查运算求解能力．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察下列说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，则B ＝C . 其中正确的是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确．【答案】 ② 2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b 0d 可逆的条件是________．【解析】当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆．【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ≠0)，则A －1等于________．【解析】设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－k1. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－k14．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 12，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13，则x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y 13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0. 【答案】 0 n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．【解】这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4 cos －π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22.2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】法一待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 【解】设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1231，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1525 35 －15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2．4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1．二阶行列式将矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d两边的“[]”改为“||”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d ＝ad－bc.2．二阶行列式与二元一次方程组关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d记为D，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪m bn d记为D x，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a mc n记为D y，则当D≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝D x Dy＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n.(1)逆矩阵与二元一次方程组令A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d为系数矩阵，X＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy为待求向量，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn是经A将X变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，则有X ＝A －1B ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？【提示】二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 则是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是可逆的，则方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，且det(A )≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A.利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探究】将方程化成一般形式→求出D ，D x 、D y →求解【自主解答】先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 234＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再分别求出D ，D x，D y然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探究】思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1【自主解答】法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0.D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4110＝－1，所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1.(2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵；当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3 a a －3.利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探究】找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2－2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组．【解】令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13，所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况．【思路探究】找到矩阵A 对应的几何变换→ 判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况【自主解答】对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究．若将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？【解】矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2013·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题意图】本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32，因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，则x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】－12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.则det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．若二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1747－107 －57 4．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下得到点(2,1)，则该点坐标为________．【解析】设该点的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1002＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝错误!)，所以所求点的坐标为错误!.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 124＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤235 6的逆矩阵．【解】设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由AA －1＝E 得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2356＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1306＝6，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2150＝－5，所以a ＝D aD ＝－2，c ＝D c D ＝53，同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23.3．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4．利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12，这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 23的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 1525 15，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.【证明】因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的．7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量，即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种：方法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解；方法二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1，求 (AB )－1.【解】法一 ∵AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 5－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 13119 10119 －11119.法二 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪45－1 3＝12＋5＝17， A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417；又∵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17. ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 1311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1．二元一次方程组的解的情况的判定．常用两种方法：法一：利用Det(A )与0的大小情况判定．法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解常用两种方法： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则det(A )＝ad －bc ，若det(A )＝0，判定方程组解的情况；若det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤αβ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】法一方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 123＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. 所以原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤76＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 163＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 726＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】法一设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 法二矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，所以逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 综合检测(四)1．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.【解】法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1. 法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则AA －1＝E ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.2．试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0的逆矩阵．【解】代数角度：⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 110，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 110＝－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0.∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.4．用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】方程组可写为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，则det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 117517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由．【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221的逆矩阵．【解】设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，由MN ＝E 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3， D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1120＝－2，所以a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323 －13.7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12，从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤135 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有惟一解？【解】二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11，令－2m 2－9m ＋11＝0，得m ＝1或m ＝－112，。

苏教版高中数学高二选修4-22.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组

选修4－2矩阵与变换 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组编写人：编号：011学习目标1、了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。

2、能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。

3、会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。

4、会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解答下列问题：问题1、方程⎩⎨⎧=+=+ndy cx m by ax 的解是：问题2、定义：det(A) ＝a bc d ＝因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d c b a 有什么异同？练习：1、求下列行列式的值⑴21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c2、若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

二、课堂训练：例1．利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例2、利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵例3、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解三、课后巩固：1. 甲乙两个公司均生产A ，B 两种产品，已知今年两个公司的销售业绩如下表（单位：万件），甲公司销售额为58万元，乙公司销售额为68万元，试求出A 产品和B 产品的销售2. 已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，试求出A －13、已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312，X ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，解方程AX ＝B 。

4、已知可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡372a 的逆矩阵A －1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a b 72，求a ，b 。

江苏省铜山县高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2

.4。

2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组错误!当ad －bc≠0时，方程组的解为错误!二、二阶行列式定义:det(A ）＝a b c d ＝ad －bc 因此方程组的解为错误! 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为错误! 例1 求下列行列式的值⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4—2×3=—2 ⑵21 43-=1×4—2×（—3）=10 ⑶21 - 40=-1×4—2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad —bc) 例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x —3 的最值。

解:∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f （x)=x 2+2x —3=(x+1）2-4∴当x=—1时f （x ）取得最小值 -4；当x=1时f （x ）取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用:一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为:⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）错误!(2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4-2

一次方程组→
用行列式解方程组
→
A－1
Hale Waihona Puke 法二：(用行列式法) 计算det（A） → A－1
利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算 det(A)时用.
利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例 1 中的方程组.
【精彩点拨】找到 A，X，B→对应矩阵方程 AX＝B→ A－1 → X＝A－1B→ 得解
(2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵ac db和变换后的象mn ，去求在这个变换的作用下的原象.
利用行列式解方程组
利用行列式解方程组x3＋x＋2y4＋y－1＝ 1＝0， 0.
【导学号：30650040】
将方程化成【精彩点拨】一般形式 → 求出D，Dx、Dy → 求解
利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到 A，X，B，找到其对应的矩阵方程 AX＝B，再求出 A－1 然后由 X＝A－1B，求出 x，y 即可.
从几何变换的角度研究方程组解的情况
已知二元一次方程组 AX＝B，A＝10 21，B＝32，X＝xy，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.
【精彩点拨】找到矩阵A对应的几何变换 → 判断几何变换的逆变换情况 → 方程组解的存在情况
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

高中数学二阶矩阵与二元一次方程组导学案苏教版选修

【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560 x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。

例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。

例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。

例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。

【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。

2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。

（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。

数学：2.4.2《二阶矩阵与二元一次方程组》教学案(苏教版选修4-2)

§2。

4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学目标:知识与技能:1。

掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同.2。

掌握运用行列式解方程组的方法。

3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程:一、问题情境:关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n+=⎧⎨+=⎩当ab －bc ≠0时，方程的解为md bn x ad bc an cmy ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?二、建构数学:1.二阶行列式及运算公式；2。

二元一次方程组的行列式解法;3。

利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用:例1、利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。

例3、试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性。

例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ； 2。

已知方程组Ax=B ， A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M=11λ-⎡⎢⎣ 42⎤⎥⎦, 且det(M)=0 ，求λ.2.设A=12⎡⎢-⎣ 23⎤⎥⎦， B=12⎡⎢⎣ 24⎤⎥⎦。

人教版高中选修4-22.逆矩阵与二元一次方程组课程设计 (2)

人教版高中选修4-22．逆矩阵与二元一次方程组课程设计课程设计背景在高中数学的教学中，二元一次方程组一直是比较重要的内容。

而逆矩阵则是线性代数中的一个基本概念，具有广泛的应用。

本课程设计的目的是通过逆矩阵和二元一次方程组的结合，让学生更深入地理解逆矩阵及其在方程组中的应用。

同时，也帮助学生进一步提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

设计目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟悉逆矩阵的概念及其性质；2.理解逆矩阵在方程组中的应用，掌握求解二元一次方程组的方法；3.探究逆矩阵与其他数学概念之间的联系，如行列式、线性相关等；4.发展学生的数学思维、解决问题的能力以及合作学习的能力。

设计内容课程内容按时间分配为以下三部分：第一部分：逆矩阵的定义及基本性质（1 课时）1.1 逆矩阵的定义及性质（5 分钟）1.2 如何求逆矩阵（20 分钟）1.3 逆矩阵的应用（25 分钟）第二部分：使用逆矩阵求解二元一次方程组（3 课时）2.1 二元一次方程组的概念及求解方法（10 分钟）2.2 使用逆矩阵求解二元一次方程组的步骤（30 分钟）2.3 练习和应用（80 分钟）第三部分：逆矩阵与其他数学概念之间的联系 (1 课时)3.1 逆矩阵与行列式 (30 分钟)3.2 逆矩阵与线性相关性 (30 分钟)教学方法本课程设计采用以学生为主导的授课方法，强调学生的主动参与和合作学习。

具体的教学方法包括：1.课前讲解：教师主要介绍本次课的主要内容和学习目标，引导学生预习，并让学生思考有关的问题。

2.小组合作学习：学生分为小组，共同研究某个问题或任务，通过交流、合作、讨论等方式，完成任务和探究问题。

3.讲评：在小组合作学习后，教师进行全班讲解、点拨，并出示相关例题进行演示。

同时，鼓励学生提出问题，进行交流和探究。

4.练习：教师布置相关练习题目，巩固学生的知识、技能，提高解决问题的能力。

评价方式本课程设计采用多种评价方式，包括：1.课堂表现：包括学生的参与情况、合作程度、提问和回答问题的能力等。

逆矩阵与二元一次方程组精品教案

（1）

x y

y 1

1
（2）

2 2 2 2
x x
y 1 2 y 1 2
2．用逆矩阵的方法解二元一次方程组：
（1）
5x 2x

3y 1 y 2
（2）
3x 2 y 0

x

y

2
（3）
3x 4x

2y 2y

2 3
学生小组讨论，教师板书总结。
三、课堂总结
（1）这节课我们主要讲了
如果关于变量
x，y
的二元一次方程组（线性方程组）
ax cx

by dy

e f
的系数矩阵
A

a c
b
d

可逆，那么该方程组有唯一解

x y

a c
b 1 e
d

逆矩阵二元一次方程组
【教学目标】
1．亲历认识解线性方程组的意义的探索过程，体验分析归纳得出二元一次方程组矩阵解法，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握二元一次方程组矩阵解法及其有非零解的充分必要条件。 3．熟练运用系数矩阵的逆矩阵解方程组，会通过具体的系数矩阵，从系数矩阵行列式上说明线性方程组非零解解的存在性。
3．

为何值时二元一次方程组

2 2
3 1

x y

x y

有非零解？
-3-/3
二、讲授新课

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2(20

江苏省铜山县高中数学2.4 逆变换与逆矩阵2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省铜山县高中数学2.4 逆变换与逆矩阵2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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.4。

2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组错误!当ad －bc≠0时，方程组的解为错误!二、二阶行列式定义:det(A ）＝a b c d ＝ad －bc 因此方程组的解为错误! 记：D ＝a b c d ，D x ＝m bn d ，D y ＝a mc n ，所以，方程组的解为错误!例1 求下列行列式的值⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c解：⑴21 43=1×4—2×3=—2 ⑵21 43-=1×4—2×（—3）=10⑶21 - 40=-1×4—2×0=-4 ⑷2b a d c =2（ad —bc)例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x —3 的最值。

解:∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1∵f （x)=x 2+2x —3=(x+1）2-4∴当x=—1时f （x ）取得最小值 -4；当x=1时f （x ）取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用:一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x的解解：已知方程组可以写为:⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）错误!(2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高二数学二阶矩阵与二元一次方程组教案

课题
二阶矩阵与二元一次方程组
总课时数
第节
教学目标
1.掌握二阶行列式的定义及运算方法,了解行列式与矩阵的异同.
2.掌握运用行列式解方程组的方法
教学重难点
二阶行列式的定义及运算方法
运用行列式解方程组、求逆矩阵
教学授课方法
引导发现
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、问题情境:
问题1、方程的解是：
问题2、定义：det(A)＝＝
记：D＝，Dx＝，Dy＝，所以，方程组的解为
二数学应用
例1、利用行列式解方程组 .
分析一、用行列式
学生
思考：二阶矩阵与二阶行列式有什么异同？
讨论：三个行列式是怎么得来的？
学生阅读课本60页思考:如何用逆矩阵的知识解这个方程组?
课外作业
65页6、7、
教学小结
教学过程设计
教
学
二次备课
分析二：从逆变换的角度来理解并求解。
例2、利用行列式方法求矩阵A= 的逆矩阵.
例3、试从几何变换的角度说明方程组解的存在性和唯一性.
三课堂小结1、已掌握的知识
2、已掌握的方法
练习：
1.设A= , x= , B= ,用两种方法解方程组Ax=B ;
2.已知方程组Ax=B , A= , x= , B= ,试从几何变换的角度研究方程组解的情况.

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高中数学24逆变换与逆矩阵242二阶矩阵与二元一次方程组教学
案苏
2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
?a 1．把?
?c
－bc.
??ax＋by＝m2．方程组?
?cx＋dy＝n?
b?
?a ?称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝?d??c
b?d?
?＝ad
?a
写成矩阵形式为AZ＝B，其中A＝?
?c
b?d?
?，称为系数矩阵，Z＝
?x??m?
??，B＝??，当A可逆时，方程组有唯一解，当A不可逆时，方程组无解或有无数组解． ?y??n?
??ax＋by＝m3．对于方程组?
?zx＋dy＝n?
?a
，令D＝?
?c
b?d?
?，Dx
?m ＝??n
b?
?a
?，Dy＝?d??c
m?
?，当D≠0时，方程组有唯一组解，为x＝D，y＝D. n?
?a
，令D＝?
?c
b?d?
DxDy??ax＋by＝0
4．对于方程组?
?cx＋dy＝0?
?，当D＝0时，此方程组有非零解．
5．二阶矩阵A＝?
?a b?
?可逆的充要条件是det(A)≠0且A?c d?
－1
??＝??
dA－c
－bAaAA??. ??
[对应学生用书P34]
求行列式的值
?λ－2 3λ＋5?
[例1] 求??的最大值(其中λ∈R)．
?2λ－2 5λ＋8?
[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．
?λ－2 3λ＋5?
[精解详析] ??
?2λ－2 5λ＋8?
＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ－6λ－6＝－(λ＋3)＋3≤3， 2
2
1
?λ－2 3λ＋5?∴??的最大值为3. ?2λ－2 5λ＋8?
?a
(1)矩阵A＝?
?c
b?
?a
?与它的行列式det(A)＝?d??c
b?d?
矩阵A不是一个数，?的意义是不同的．
而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A)是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
(2)?
?a
b??c
d?
?＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
1．计算下列行列式的值：
(1)?? 6 2??cos θ ?－5 －3??；(2)?－sin θ??sin θ cos θ?? 解：(1)?? 6 2??－5 －3??
＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；
(2)?
?cos θ －sin θ??sin θ cos θ??
＝cos2 θ－(－sin2
θ)＝1.
2．若?? x2 y2
?? －1 1??＝??x x??y －y??
，求x＋y的值．
解：x2＋y2
＝－2xy?x＋y＝0.
利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵
[例2] 已知A＝??
1
2?
?1??－1
2??，B＝? 1 ?－1
1?
?，判断AB是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．
[精解详析]
AB＝?
? 1
2??1?
3??－1 2?? ? 1 ?－1??＝?1
?－1 ?－3 1??
. 因det(AB)＝??
－1
3??－3
1?
?＝－1＋9＝8≠0，故AB可逆，
2
∴(AB)
－1
3 －??188??＝. 31? －??88?
?a
已知矩阵A＝?
?c
b?d?
?，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：
?＝ad－bc，当det(A)≠0时，逆矩阵存在． ?c d?
－b(1)首先计算det(A)＝?
(2)利用A－1
??＝??dA－cAaAA?
?，求出逆矩阵A??
－1
.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
?－1 (1)?? 1 1??1 ；(2)??1??0
a?
?a
；(3)??1??0
0?
?.
1?
11－ ??22??－1 1??解：(1)二阶行列式?. ?＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为
11? 1 1?? ??22?
?1
(2)二阶行列式?
?0
(3)二阶行列式?
a?
0?1?
?＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为??. 1??0 1?
?＝a，当a＝0时，矩阵不可逆，当a≠0时，矩阵可逆，逆矩阵
?a ?0
?1 0?
?. 为?a??? 0 1?
4．若矩阵A＝?
?3 9?
?存在逆矩阵，求x的取值范围． ?6 x2?
?3 9?
解：据题意det(A)≠0，即??≠0.
?6 x2?
∴3x－54≠0. ∴x≠±32.
2
3
故x的取值范围是{x|x∈R且x≠±32}.
??3x－2y＝1，
[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组?
??－x＋4y＝3.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x＝，y＝求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．
[精解详析] 法一：(行列式解法)
DxDDyD? 3 －2?D＝??＝12－2＝10， ?－1 4?
Dx＝?Dy＝?
?1 －2?
?＝4＋6＝10，
?3 4?? 3 ?－1
1?
?＝9＋1＝10， 3?
xD10x＝＝＝1??D10
故方程组的解为?D10
y＝??D＝10＝1.
y
法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式
? 3 －2??x??1?
?? ??＝??. ?－1 4??y??3?
令M＝?
? 3 －2?
?，则其行列式
?－1 4?
? 3 －2?
?＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，
?－1 4?
－1
det(M)＝?
所以矩阵M存在逆矩阵M，且 4221 ??10??10??55??＝＝，1313? ?? ??1010??1010?
M－1
4
感谢您的阅读，祝您生活愉快。