为数学理解而教

为数学理解而教
纵观中外各种对“数学理解”的界定，其观点多源于认知心理学对“理解”的界定，都是从信息的内部表征来解释的，认为“数学理解”多指数学知识的理解，指对数学知识正确、完整、合理的表征，描述的是学习者对某一知识或方法达到某种状态时即为理解。

但是，数学并不完全等同于知识的简单汇聚，本文试图从数学的角度研究数学理解。

笔者认为，数学教学要引导学生认识到数学学习的抽象化、数学的结构、数学的应用和过程性，以理解为价值取向，引领学习者走向数学本质的教学。

提出“理解”目标，分析“理解”因素
理解目标在这里主要指课时目标，以全面理解数学为价值取向。

理解目标至少包含以下三个方面的问题：需要理解什么？怎么理解？达到什么样的理解程度？理解需要过程，理解目标本质上是一种过程性目标。

理解目标与行为目标类似，但有区别，行为目标描述的是学生要做什么，理解目标描述的是学生通过做需要学会什么。

在确定理解目标时，要把握好目标的层次结构、理解的层次性和认知发展水平之间的关系，理解目标与理解活动要相匹配。

教材是相对稳定的，可称之为静态因素。

教材是个例子，教师对教材理解得深，思考得透，才能做到为数学理解而教。

理解教材，就是以“知识”为载体，在对文本作深入解读的基础上掌握教材所呈现的各类信息。

研读教材必须站在一定的高度上，从教材的点、线、面、体等不同层面加以理解：点上理解，指对某一节课或某一单元教材的理解；线上理解，指对某一知识块教材的理解，如“分数”；面上理解，指对某一学习领域甚至是某一学段教材的理解，如“数与代数”；体上理解，指对数学教材的总体理解。

在整体中把握每一节课，在对每一节课的研究中形成整体。

在分析理解教材时不能以课论课，要注重把一节课放在某一整体中加以理解。

如，对“比的认识”教学，注重从知识的前后联系进行分析，“比”所在的数学知识链条，是以低年级“倍的认识”为基础的，然后经历除法、分数、百分数的学习后认识“比”，并把“比”作为向后延伸的起点。

又如对“分数意义”的分析与理解，要从不同的维度进行深入的研究：首先，在单元中、在不同学段中、在知识领域中理解“分数”的相关内容，进而分析“分数意义”理解的两条基本线索与四个基本维度，“分数的意义”揭示了分数一个方面的意义，即“表示部分与整体的关系”；“分数与除法的关系”进一步揭示了分数另一方面的意义，即“表示两个整数相除（除数不为0）的商”，指具体一个数值的大小。

分数意义具有丰富性，至少包含“比率”“度量”“运算”“商”等含义。

此外，还要挖掘隐含在“分数意义”中的数学内涵
及数学精神。

学生是活生生的个体，可称之为动态因素。

理解是有条件的，必须要有一定的认知基础与心理基础。

美国教育心理学家奥苏伯尔说过：“影响学生的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。

”《数学课程标准》（2011版）也强调：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。

为了让学生顺利地将所学的新知纳入原有的知识体系中，必须认真分析学生的学习起点。

学生的学习起点主要有逻辑起点（知识起点）与现实起点（生活起点）。

逻辑起点是指学生按照教材学习的进度应该具有的知识基础。

了解学生的逻辑起点，即是“备教材”，尽管学生的基础知识参差不齐，但仔细分析，还是有规律可循的。

现实起点是指学生在多种学习资源上或现实生活中已具有的知识
基础。

了解学生的现实起点，即是“备学生”，学生的学习现状千差万别，开展一些“前测”活动，有利于抓准教学的真实起点。

分析理解产生的两个要素：教材与学生。

教材相对静止，但在学生眼里却是变动着的；学生富有个性，但在同一学龄段的认知水平却有相同之处。

因此说，教材与学生是静中有动，动中有静，要辩证地理解教材与学生的关系，找到静态与动态的最佳融合点。

设计“理解”问题
在理解取向的教学中，学生的理解通常产生于问题，但问题是否具有启发性与生成性对于维持并发展学生的理解是至关重要的。

理解性问题的核心是启发性与生成性。

所谓生成性问题是指从研究一个问题出发，能产生一系列新问题，而且这些新问题能够引导学生的理解持续深入地发展。

在选择生成性问题时，需要思考数学课程中有哪些问题值得深入理解，通过对哪些问题的理解能够更好地把握数学的本质等。

如，人教版五年级上册“估计不规则图形（树叶）的面积”的教学，“这片叶子的形状不规则，怎么计算面积呢？”这个问题会引发一系列相关的新问题：
①不规则的图形能找到面积计算公式吗？
②选择什么测量标准来估计不规则图形的面积比较合适呢？
③借助方格纸估计不规则图形的面积有哪些方法？
④怎样才能使估计得到的结果更精确一些？
……
组织“理解”活动
理解目标和理解问题仅仅是为学生的理解进行了预设，并不代表学生真正参与了理解。

只有当预设转变为可以操作的活动时，学生的理解行为才可能发生。

在理解取向的教学中，怎样组织“理解”活动呢？
组织建立数学表象的活动。

数学具有抽象性与概括性，直接理解有困难。

教学中，应提供或让学生动手制作实物、模型、图表等丰富的数学学习材料，组织学习者借此来进行各种认知活动，获得对学习对象的具体或感性的认识，建立正确的表象，最终通过自己的思维构成对学习对象的抽象化理解。

如，人教版三年级上册“周长”的教学，出示一些规则或不规则的实物和图形，让学生具体说一说课桌面、钟面、三角尺等的周长各指的是什么；摸一摸数学书封面的边线；描一描树叶、五角星、长方形等图形的边线等。

学生通过观察和亲身体验等活动，获得对周长的感性认识，建立丰富的表象，初步认识周长的含义。

组织揭示数学本质的活动。

以理解为重心，从学习者的心理基础与认知水平出发，引导他们联系自己已有的知识和经验，组织特定的数学学习活动，让学习者经历知识产生、发展和形成的过程，从而揭示数学本质。

具体地说，就是对数学概念、性质、法则、公式、数量关系、解题方法策略、知识系统等达到理性的认识，能够描述对象的特征和由来，既知其然又知其所以然；同时，在学习过程中领悟数学美、数学思想、数学文化与数学哲理等。

数学教学应揭示知识的数学本质，这需要我们对具体内容进行深入挖掘，一层一层地追问，隐藏在数学事实背后的是什么数学知识、数学规律、数学思想？这个数学知识的本质属性是什么……
如，人教版四年级上册“平行与垂直”的教学。

“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”，这是对“平行”的静态定义。

用“不相交”来定义“平行”，为什么会不相交呢，却无法说明。

什么是“平行”的本质？用运动的观点观察直线的位置关系，平行是直线平移运动的状态。

一条直线，如果发生平移，与原直线的位置关系就是平行；如果发生旋转，与原直线的位置关系就是相交，当旋转90°时，两条直线就互相垂直；两条直线相互平行，其中一条直线发生旋转，那么这两条直线就相交了。

有时，用运动、发展和变化的观点来学数学，才能看穿数学的本质。

组织扩展认知结构的活动。

首先，要切实帮助学生建立数学知识之间的内在联系。

教学中，要通过分类、比较等方法，建立知识之间的相互联系。

第一，要注意部分与整体之间的联系。

数学知识在教材中是以独立的方式呈现，在课时教学中，教师往往只对局部或单个知识点进行教学，忽视了单个知识点与整体的关系，造成数学知识间互相封闭，内在联系被割裂。

第二，数学逻辑性强，新旧知识之间有紧密的联系，旧知是新知的基础，而新知是旧知的发展，从而形成数学知识的连续性。

教学中，应引导学生理解本节课所学，还要知道这部分内容与之前相关知识之间的联系，有意识地沟通新旧知识的纵横联系。

如，人教版六年级上册“比”的教学。

在抽象概括出比的意义后，要不失时机地引导学生进
一步认识相关概念之间
其次，数学是一门结构性很强的学科，如，比与比例的知识结构（见图1）。

这种结构需要逐步形成，促进理解的数学课堂就是要切实帮助学生实现知识结构化，即经过学习者的思维加工，把新学的知识内容融入已有的数学认知结构中。

知识结构化的过程也就是让学生再次理解知识的过程。

教学中要强化整体观念，明确相关知识的体系，把握好层次，找出同类或近类知识之间的异同点，帮助学生建立数学知识之间的内在联系，引导学生将所学新知连接或纳入已有的认识结构中，促进先前理解的知识在新的情况下产生新理解，使已有的理解不断拓展、深化，建立良好的数学认知结构。

组织双向数学交流的活动。

数学交流是指在数学活动中，师生、生生之间互相表达学习中的理解情况。

通过交流，教师可以发现学生的理解情况，及时纠正理解偏差；学生可以获取更加广泛的数学信息，促进对数学的全面理解。

教学中，要营造民主氛围，让学生敢于表达；要创造机会，让学生多表达；要教给方法，让学生会表达。

组织变式数学应用的活动。

变式就是变换知识的非本质属性而本质属性不变的呈现方式。

教学中，要遵循认知规律，根据教学需要，通过改变问题情境，变换问题的条件或结论，转换问题的内容或形式，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地理解与思考、分析与解决。

这样有利于学生抓
住知识的本质，而不被表面的非本质的属性迷惑，从而加深对知识的理解。

如，学习了“梯形的面积”后，可进行如下变式数学应用（见图2、图3）。

反思“理解”过程。

指导学生对自己的学习活动进行反思。

如，面对问题你是怎么思考的？采用了哪些解决问题的策略？体现了哪些数学思想方法……在学习不等于在思考，教师在组织理解活动中，要不断启发学生思考，通过反思理解过程，学生在得出结论的同时了解知识的来龙去脉，教师可以发现学生对知识的理解程度，从中总结经验教训，积累数学活动经验，以达到对数学的高水平理解。