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20．解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°． 90BAC BAF C ∠=∴∠=∠ °，． 90OE OB BOA COE ∴∠+∠= ⊥，°，90BOA ABF ∠+∠= °，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ． 2AC AB = ，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==． 由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△， BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠= °，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，， 又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OGOE BF AB===． 解法二：902BAC AC AB AD BC ∠== °，，⊥于D ， Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD ACBD AB ∴==．设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴===．90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴ °，△∽△，BD BO DF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==，5DF =，x ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-=322OF OE ∴==．（3）OFn OE=．27．证明：（1）连接OD OE BD 、、．AB 是O ⊙的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=°， E 点是BC 的中点，DE CE BE ∴==．OD OB OE OE ODE OBE ==∴ ，，△≌△． 90ODE OBE ∴∠=∠=∴°，直线DE 是O ⊙的切线． （2）作OH AC ⊥于点H ，BA D E COF GBA DE COF由（1）知，BD AC ⊥，EC EB =． OA OB OE AC =∴ ，∥，且12OE AC =． CDF OEF ∴∠=∠，DCF EOF ∠=∠．CF OF = ，DCF EOF ∴△≌△，DC OE AD ∴==． 45BA BC A ∴=∴∠=，°． OH AD OH AH DH ∴== ⊥，．13tan 3OH CH OH ACO CH ∴=∴∠==，．25、（1）D 点的坐标为)3,0(-…………………………………………………….3分 （2）易知：)0,33(),0,3(C B -，将B 、C 、D 的坐标分别代入抛物线解得：3,332,31-=-==c b a ，故抛物线的解析式为：3332312--=x x y ………………………………………………………………………………….4分 （3）连结AP 易得N 的坐标为（5,0-）， 从而可得直线MN 的解析式为533-=x y ，……………………………..3分 又抛物线的顶点坐标是)4,3(-，即3=x 当时有45333-=-⨯…….3分 故点)4,3(-在直线MN 上，即直线MN 经过抛物线的顶点。

………….1分三、解答题：1．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ． ∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ， ∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ， ∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ． （2）①连结AO ，交BC 于点F ， ∵ AB ＝AC ，∴＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．CEBAOF D H在Rt △ABF 中，BFAF＝tan ∠ABF ， 又 tan ∠ABF ＝tan C ＝tan ∠ABE ＝21，∴ BF AF ＝21，∴ AF ＝21BF ．∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ．∴452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==ECEA BE BC ABEB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0，∴511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110． 2．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， ∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）． 即⊙O 的半径为6cm ．3．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线， ∴ AC 2＝AD ·AB ，∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ， ∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10， ∵ k ＞0，∴ k ＝10． ∴ AB ＝5k ＝510．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径， ∴ AC ⊥BC ． 在Rt △ACB 中，sin B ＝51010510==AB AC ．4．解法一：连结AC ．∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， ∴ ∠ACB ＝90°． CD ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ．∵ tan B ＝21， ∴ tan ∠2＝21．∴ CBACDB CD CD AD ===21． 设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ． ∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ， ∴21==CB AC PC PA ． ∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线， ∵ PC 2＝PA ·PB ，∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3． ∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12． ∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36． 即三角形BCD 的面积36cm 2．解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21==CB AC PC PA ． ∵ PA ＝10，∴ PB ＝20． 由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．∴ PA ＝201022-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15， ∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12． ∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36． 即三角形BCD 的面积36cm 2．5．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ． 在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ， ∴ 四边形EOCD 为矩形． ∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫⎝⎛a ＝28πa ．6．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE ∴AB DE ＝ABC CDE S S ∆∆＝41＝21，即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ）， 作OM ⊥FG ，垂足为M ， 则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ）， 连结OF ， ∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）． ∴ OF ＝OA ＝5（cm ）． 在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）． ∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）． 7．⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O P B C O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225（或56.25π）（平方单位）．⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P B A P C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC ． 解法一：设AB ＝x ，AC ＝2x ，BC 为⊙O 的直径⇒∠CAB ＝90°，则 BC ＝5x ． ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝55252==xx BC AC 解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2， 即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65，∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝5521556==BC AC。