2015西城二模 北京市西城区2015届高三二模数学理试题 扫描版含答案
2015西城中考数学二模题及答案(完整版)
2015二模统一练习（二）一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2015年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动 次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示 应为A. 90.1210⨯B. 71.210⨯C. 81.210⨯D. 71210⨯ 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA =50°，∠D =30°， 那么∠DEC 等于A. 75°B. 80°C. 100°D. 120° 3．64的立方根是A. 8±B. 4±C. 8D. 44．函数y =x 的取值范围是A.2x ≠B. x ≥2C. x ＞2D. x ≥2-5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果23AD AB =，AC =6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 126．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示．那么4月份这100户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是 A. 35 B. 26 C. 25 D. 20 7.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于A. 2B. 1C.8．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A =34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点，若点A 的坐标为，则点C 的坐标为A ．B ．(-C ．(D ．(1)-10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O 上 存在点N ，使得45OMN ∠=︒，那么m 的取值范围是A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．若2(2)0m ++ 则m n -= ．12．若一个凸n 边形的内角和为1080︒，则边数n = ． 13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上 开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小 华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔 成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm ，光屏在距 小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰 所成像的高度为______cm ．14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式： _____________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =与双曲线y =（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：以看出，满足3nx x>的x 的取值范围是1x >．”你同意他的 观点吗？答： ．理由是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x = 象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 . 三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，BD =CE ，连接AE ，CD ．求证：∠E ＝∠D ．18．计算：1012cos 30()1(3)3π-++-.19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．20．解方程：231233x x x x-=--．21．列方程（组）解应用题：某超市的部分商品账目记录显示内容如下：求第三天卖出牙膏多少盒．22．已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m 取何实数，此函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m ＞0时，如果此函数的图象与x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数m 的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′ ，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=D′F的长．24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.根据以上信息解决下列问题：（1）以下说法中，正确的是（请填写所有正确说法的序号）①从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；③ 2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到2015年底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，2015年的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）25．如图1，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在线段ED 上．连接AF 并延长交 ⊙O 于点G ，在CD 的延长线上取一点P ，使PF=PG ．（1）依题意补全图形，判断PG 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 为半径OA 的中点，DG ∥AB ，且OA PG 的长．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，∠ACB =30º，BE ⊥AC 于点E ，且=C D E A C B ∠∠．如果AB =1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于 ，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt△OMN 中，∠MON =90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围；②如果满足10y 且2y≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A，(3,0)B，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B 两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点(0,2)F m（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，E，点(,0)且线段EF关于原点O的τ，求m的值；（3）若(0,2)H-是抛物线2=+的τ型点，直接写出n的取值范围．y x n北京市西城区2015年初三二模数学试卷参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.证明：如图1.∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ACB＝∠ABC =60°．……………………………………………… 1分∵ D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，∴ ∠ACE ＝∠CBD =120°． …………………2分在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()1(3)3π-++- 2311=+- ………………………………………………………………4分 1=. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分 =224252x x x --+-=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分 整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分 解得 12x =-． …………………………………………………………………… 4分 经检验，12x =-是原方程的解． …………………………………………………5分 所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分 由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩…………………………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分 22．解：（1）当m =0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.……………………………………………………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m--±+=．∴ 11x =-，23x m=． ……………………………………………………… 3分∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m =1或3．……………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴12∠=∠，AE =EC ．∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠．∴ 13∠=∠．∴ AE =AF1分 ∴ AF =EC ． 又∵ AF ∥EC ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．………………………………………… 2分 又AE =AF ，∴ 四边形AFCE 为菱形．………………………………………………… 3分（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵ 点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ， ∴D F DF '=.∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD =BC ．又∵AF =EC ，∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =．∵在Rt△AGB 中，∠AGB=90°，∠B =45°，AB =∴ AG =GB =6.∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC .∴ ∠4=∠5=60°.∵ 在Rt△AGE 中，∠AGE =90°，∠4=60°， ∴ tan60AGGE ==︒∴ 6BE BG GE =+=+.∴ 6D F '=+.…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分（2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分（3）1.3%. …………………………………………………………………………… 5分 25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切.证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠A +∠AFE =90°.又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG .∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点，∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP=90°，2CG OA ==∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CADBC . …………………………………………………………… 3分1tan α.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点， ∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………………… 1分∴ 1211-=x y ． ………………………………………………………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………………………………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………………………………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4． (6)分②136≤a ＜52．……………………………7分 28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）3．………………………………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）…………2分 △AMN （或△AJK ）. (3)分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L .∵ 线段EF 为点O 的τ型线， ∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高.∵线段EF 关于点O 的τ∴OL =. ……………………………… 4∵ 2OE =，OF m =，∴EL =. ∴ cos 1EL OE ∠==∴ cos 2cos 1OL OLOF ==∠∠∴m =………………………………………………………………………6分 （3）n ≤54-.……………………………………………………………………………8分。
2015西城区高三二模数学(理科)
2015西城区高三二模数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x﹣1＞0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3） D．[﹣1，3]2．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21 C．42 D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A． B． C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数=．10．（5分）双曲线C：﹣=1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则；cos2α=．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=，则PA=；AD•DE=．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求 f （x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k （P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）=2k﹣1，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知a20=46，求s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】由A中不等式解得：x＞1，即A=（1，+∞），∵B=（﹣∞，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．2．【解答】∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．3．【解答】命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）=cos（x+π）=﹣cosx为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．【解答】由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n=3，满足条件n＞2，计算并输出s=1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n=9，满足条件n＞2，计算并输出s=2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s=1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．【解答】解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．【解答】根据题意，得10=a2+a4+…+a20=a2+a20+a4+a18+…+a10+a12=10a11，∴a11=1，∴S21=a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11=21a11=21，故选：B．7．【解答】若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．【解答】由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=．故答案为：1+3i．10．【解答】∵双曲线的方程是﹣=1，∴a2=8，b2=4，∴c2=a2+b2=12，∴a=2，b=2，c=2，∴离心率为e==，渐近线的方程为y=±x，故答案为：，y=±x．11．【解答】∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣；﹣．12．【解答】∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=；∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB ， ∴PB=BD ，∴BD•DC=PB•2PB ， ∵AD•DE=BD•DC ， ∴AD•DE=2PB 2=． 故答案为：，．13．【解答】分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有=72种，故共有72+72+72+72=288． 故答案为：288．14．【解答】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．【解答】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为：∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．17．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为=（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为=（a，b，c），则，∴=（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．【解答】（1）当a=﹣时，f（x）=；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）=的定义域为R；f′（x）=，令f′（x）=0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）=0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M=max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．【解答】（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，且e==，解得a=，b=1，c=，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c==，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率=，直线F 2P的斜率为=，直线F2P：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为=，以PQ 为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•=•=﹣1，化简可得y02=x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0=a2，y0=2﹣a2，即有|OP|2=x02+y02=（a2﹣2）2+2，由a2+b2=4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．【解答】（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）=1，T2（P）=2，T3（P）=2，T4（P）=3，T5（P）=4；（Ⅱ）∵T k（P）=2k﹣1，∴T1（P）=1，T2（P）=3，T3（P）=5，T4（P）=7，…∵T2（P）=3，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）=5，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1=a2=1，a3=a4=2，…，a2n﹣1=a2n=n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）+=，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）=，∴数列{a n}前n项的和S n=；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1对应可得T k（P），及s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）=i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′=a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′=a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列T k（P′）的定义，可得（P′）=i，且T j（P′）=T j（P）（j≠a i+1）．显然（P′）=（P）﹣1，∴s′=a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）=a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）++…+T46（P）=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=s，即调整后s′=s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1=a2=…=a20=46时，T1（P）=T2（P）=…=T46（P）=1，∴s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=46×20+46=966．。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(三角)
北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．答案：257,53-- (2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， ……………… 3分sin B A +=，解得sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b Baca +-==-<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为a A =， 所以22222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==.所以21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为3a =，5c =，b =，所以2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为(0,)A ∈π，所以sin 3A ==.由正弦定理得：sin 3B = 所以sin 3B =.所以sin 22sin 333A B =⨯==. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ） （A）-（B ）12-（C ）12（D(2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x f x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得xk k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x x f x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分(2015届丰台二模)15.（本小题共13分） 在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCDS BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD∠==． ……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB=+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形． 因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)
北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为 所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。
北京市西城区高三二模试卷.docx
北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ， 若7a =，3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____.14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1 π3()32f =；○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.（A ）2 （B ）3 （C ）32（D ）2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E 的离心率为63，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1xf x ax-=+，其中a ∈R . （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π3 33213．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分由 ππ2π22π22k x k -++≤≤，得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以 *12()n nan a +=∈N ． ………………5分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+， ………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE 中，2233AE AD DE =-=. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分 （Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分 （Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ………………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………8分ABCED FM其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且63c a =， ………………2分 解得3a =，1b =，2c =. ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =-=-. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分 所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114x f x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分 因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R . 求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分 令()0f x '=，解得11110x a =-+<，21111x a =++>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' +0 - 0 + ()f x↗ ↘ ↗ ………………8分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x 中最大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅 有负实数解.。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(立体几何)
北京各区二模理科数学分类汇编立几(2015届西城二模) 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最小值为（ ）(2015届西城二模) 17．（本小题满分14 分）如图 1，在边长为4 的菱形ABCD 中，AB DE BAD ⊥=∠,600于点E ，将△ADE 沿DE折起到△A 1D E 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图 2．⑴ 求证：A 1E ⊥平面BCDE ；⑵ 求二面角E —A 1B —C 的余弦值；⑶ 判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为D E BE ⊥,//BE DC ,所以DE DC ⊥, ……………… 1分 又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =,所以DC ⊥平面1A DE ， ……………… 2分所以1DC A E ⊥. ……………… 3分 又因为1A E DE ⊥,DCDE D =,所以1A E ⊥平面B C D E .……………… 4分（Ⅱ）解：因为1A E ⊥平面B C D E ，D E BE ⊥，所以1,,A E DE BE 两两垂直，以1,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分易知DE= 则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，(0,D ，EA 1BCD所以1(2,0,2)BA =-,BC =.平面1A BE 的一个法向量为0,1,0n =（）， ……………… 6分 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=,得220,20.x z x -+=+=⎧⎪⎨⎪⎩令 1y =,得(3,1,m =-. ……………… 8分所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅.由图，得二面角1E A B C--的为钝二面角，所以二面角1E A B C --的余弦值为7-. ……………… 10分（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 11分 解：假设在线段EB 上存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC .设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-,1(0,2)A D =-，…………… 12分 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得111120,20.z tx z-=-=⎧⎪⎨⎪⎩令 12x =，得所以)p t =. ……………… 13分因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=，即0+=，解得3t =-. 因为02t ≤≤，所以在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 14分(2015届海淀二模)A 1EC答案：C(2015届海淀二模)（17）（共14分） （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OM .因为 //AB CD ，2AB CD =，所以2BO ABDO CD ==. 因为 2BM MP =，所以2BMPM =. 所以 BM BOPM DO=. 所以 //OM PD . ………………2分 因为 OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，所以 //PD 平面MAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为 平面PAD⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . ………………6分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 AB PA ⊥. ………………7分 同理可证：AD PA ⊥.因为 AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD AB A =，所以PA ⊥平面ABCD . ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由MBD C O A PEFA22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r，(0,2,2)PB =-u u r.由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PMPBλ=(01)λ≤≤，即P M P λ=u u u r u u r .所以(0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r.设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r ur uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1xλ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以(1,22,2)m λλλ=---u r. ………………12分因为 二面角B AC M--的余弦值为23，所以23=，解得12λ=.所以 PM PB的值为12. ………………14分(2015届东城二模)（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，的长；若不存在，说明理由．（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ． 因为CE⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，A所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE=，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=，BG =．因为222BG BE GE +=，所以GBBE ⊥．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．二面角为．假设在线段BC 上存在一点P ，使平面BGE 的法向量(0,0,1)=m，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=，(,0)GE =．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GPGE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z=，得y λ=，x =，所以PGE 的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ，所以112=，解得[]0,1λ=，故BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45，且BP=. ………14分(2015届昌平二模) 6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.(2015届丰台二模) 5(A) 6(B)29(C) 3 (D)23(2015届丰台二模)17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC⊥于O,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M--的平面角为θ，当cos 25θ=时，求CM 的长．（Ⅲ）原题：设二面角1A BD M --的余弦值为25，求CM 的长．（要舍一解）17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BAB A 11侧 视图正视图俯视图俯视图正视图OMD 1C 1B 1A 1DCBA是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分（Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ． 设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-．所以08081=++-=⋅．所以1AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =．设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．B又因为cos θ=， 所以2cos ,m n<>=，即125m nn m⋅==解得3h=或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分(2015届昌平二模) 17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面；（II ）求二面角1D AB E --的余弦值； （III ）在线段1BC 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.17. (本小题满分14分) ( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以MEAM =，故AE M B ⊥1.又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥,即.DMAE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形.所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AEAECD =,1B M ⊂平面AECD所以⊥MB 1平面AECD .1.B M AE ⊥因为⊂CD平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C , )3,0,0(1B , )0,0,1(-A ,)0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD .设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得, )1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1BC 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ . 则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD .因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ .又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D .所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(三角)
北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．答案：257,53--(2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 7 ，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积． （Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得73sin sin AB=73sin B A =， ……………… 3分7sin 23B A +=，解得 3sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得 1c = 或 2c =. ……………… 10分 当1c =时，因为222cos 270c b B aca +-==<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分 当2c =时，因为222cos 27014c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 36a A =， 所以 222362b c a a bc+-=. ………………3分 因为 5c =，6b = 所以 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：6cos 3336A ==. 所以 21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为 3a =，5c =，26b =所以 2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分 所以cos2cos A B =. ………………12分因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π，所以 2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为 (0,)A ∈π，所以 sin A ==.由正弦定理得：sin B =所以 sin 3B =.所以 sin 22sin A B ===. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈. 所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ）（A ）2-（B ）12- （C ）12（D ）2 (2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间． （15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得x k k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x xf x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x 的最大值为 …………………7分 （Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)， 所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =，5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分 (2015届丰台二模)15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值；（Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ． 因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD ∠==． ……………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． (13)分。
北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷
北京市西城区2015年高三二模试卷理科综合能力测试2015.5本试卷分为选择题和非选择题两个部分，选择题1-5页，非选择题6-16页，共300分．考试时长150分钟．考生务必将答案填写在答题卡上和答题纸的相应区域内，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷及答题卡和答题纸一并交回．可能用到的相对原子质量：Mg24 Si28 H1 N14 O16一、选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列有关细胞的叙述错误的是（）A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行复制DNA2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。
苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。
患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。
下列分析错误的是（）A．一个基因可能会影响多个性状表现B．生物的一个性状只受一个基因的控制C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症3．为研究交感神经和副交感神经对心脏的支配作用，分别测定狗在正常情况、阻断副交感神经和阻断交感神经后的心率，结果如下表所示。
下列分析错误的是（）A．副交感神经兴奋引起心脏搏动减慢B．对心脏支配占优势的是副交感神经C．交感神经和副交感神经的作用是相互协同的D．正常情况下，交感神经和副交感神经均可检测到膜电位变化4．下图是生物甲与生物乙的种群数量变化曲线，下列分析正确的是（）A．有生物乙时，甲的数量在第6周时达到值KB．生物甲与生物乙之间的关系是互利共生C．无生物乙时，生物甲的种群数量呈指数增长D．无生物乙时，周生物甲种群出生率大于死亡率1 35．下列与实验相关的叙述不正确的是（）A．培养小鼠胚胎细胞时，原代培养和传代培养均可出现接触抑制B．调查群落中土壤动物类群丰度和种群密度时，宜用标志重捕法C．制备单克隆抗体时，需诱导经免疫的细胞与骨髓癌细胞融合BD．植物组织培养时，在接种前对外植体进行消毒处理可减少污染6．下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确．．．的是7A．煤的干馏和煤的液化均是物理变化B．海水淡化的方法有蒸馏法、电渗析法等C．天然纤维和合成纤维的主要成分都是纤维素D．用活性炭为糖浆脱色和用次氯酸盐漂白纸浆的原理相同8．下列解释事实的化学方程式不正确．．．的是△A．金属钠在空气中加热，生成淡黄色固体：2Na＋O2 === Na2O2B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝：Al3+＋3NH3•H2O=Al(OH)3↓＋3NH4+ C．铁在潮湿的环境中生锈：3Fe＋4H2O= Fe3O4＋4H2↑D．二氧化氮溶于水有硝酸生成：3NO2＋H2O=2HNO3＋NO9．下列说法不正确．．．的是A．为除去FeSO4溶液中的Fe2(SO4)3，可加入铁粉，再过滤B．为除去溴苯中的溴，可用NaOH溶液洗涤，再分液C．为除去乙炔气中少量的H2S，可使其通过CuSO4溶液D ．为除去CO 2中少量的SO 2，可使其通过饱和Na 2CO 3溶液10．电化学气敏传感器可用于监测环境中NH 3的含量，其工作原理示意图如下。
北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷(扫描版).pdf
生物答案解析 【考点】真核细胞与原核细胞的区别 【解析】 A选项考查大肠杆菌基因转录的场所，大肠杆菌的基因除在拟核区外，质粒中也有基因，所以大肠杆菌基因转录的场所在拟核区和质粒。
A错误 蓝藻为原核生物，无叶绿体但含有光合色素能进行光合作用。
B正确 异化作用是将自身有机物分解成无机物，并释放能量的过程，分为需氧型和厌氧型。
乳酸菌异化作用类型为厌氧性，醋酸杆菌异化作用类型为需氧型。
C正确 酵母菌为真核生物，DNA分布在细胞核和线粒体中，并能完成复制过程。
D正确 2． 【答案】B 【考点】信息提取，基因与性状的关系 【解析】 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，会导致苯丙酮尿症；苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
一个基因确实可以影响多个性状表现。
A正确 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，最终会使毛发与皮肤颜色较浅等症状，由图知，若控制酪氨酸酶的基因突变同样会使黑色素减少，出现毛发与皮肤颜色较浅等症状，所以不是一个性状只受一个基因控制。
B错误 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
表明基因可以通过控制酶的合成控制代谢，进而控制性状。
C正确 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
所以如果婴儿期限制对苯丙氨酸的摄入，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积减少，可缓解患者的病症。
D正确 3． 【答案】C 【考点】信息提取 【解析】 由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
A正确由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高。
阻断交感神经心率降低的变化并不明显。
B正确 阻断副交感神经，心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
阻断交感神经心率降低，说明交感神经对心脏搏动起促进作用。
2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3] 2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9} 5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα；cos2α＝．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）＝；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3]【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A＝（1，+∞），∵B＝（﹣∞，3]，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）＝cos（x+π）＝﹣cos x为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}【解答】解：由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n＝3，满足条件n＞2，计算并输出s ＝1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n＝9，满足条件n＞2，计算并输出s ＝2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s＝1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝＝4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时，取“＝”；∴当x＝4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝，其中x＞0；设t＝，∴4x2﹣tx+64＝0，∴△＝t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t＝32时，x＝＝4，∴x＝4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．84【解答】解：根据题意，得10＝a2+a4+…+a20＝a2+a20+a4+a18+…+a10+a12＝10a11，∴a11＝1，∴S21＝a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11＝21a11＝21，故选：B．7．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）＝2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选：A．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM ＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝1+3i．【解答】解：＝．故答案为：1+3i．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为y＝±x．【解答】解：∵双曲线的方程是﹣＝1，∴a2＝8，b2＝4，∴c2＝a2+b2＝12，∴a＝2，b＝2，c＝2，∴离心率为e＝＝，渐近线的方程为y＝±x，故答案为：，y＝±x．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα﹣；cos2α＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，∴cosα＝＝﹣cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故答案为：﹣；﹣．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝；∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：，．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 288 种．（用数字作答）【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有＝72种， 故共有72+72+72+72＝288．故答案为：288．14．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）＝；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）＝4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0． 其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）＝＝； 当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）＝S 矩形OABM ﹣S △OME ＝2﹣＝2﹣； 当x ＝时，f （x ）＝2； 当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）＝2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣＝4+．于是可得：①＝＝，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得＝，∴sin B＝3sin A，再根据sin B+sin A＝2，求得sin A＝，∴角A＝．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a2＝7＝c2+9﹣6c•cos，解得c＝1 或c＝2．当c＝1时，cos B＝＝﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c＝2时，△ABC的面积为bc•sin A＝•3•2•＝．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为＝24，乙组数据的平均数为＝26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n＝5，所以m＝n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．（Ⅲ）若a＝1，b＝0时，s2达到最小值．17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（﹣2，0，2），＝（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴＝（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞＝，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为＝（a，b，c），则，∴＝（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t＝0，∴t＝﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．【解答】解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）＝的定义域为R；f′（x）＝，令f′（x）＝0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）＝0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M＝max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．【解答】解：（1）设c＝，由题意可得a2+b2＝4，且e＝＝，解得a＝，b＝1，c＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）证明：a2+b2＝4，则椭圆E：+＝1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c＝＝，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率＝，直线F 2P的斜率为＝，直线F2P：y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为＝，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•＝•＝﹣1，化简可得y02＝x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+＝1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0＝a2，y0＝2﹣a2，即有|OP|2＝x02+y02＝（a2﹣2）2+2，由a2+b2＝4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）＝1，T2（P）＝2，T3（P）＝2，T4（P）＝3，T5（P）＝4；（Ⅱ）∵T k（P）＝2k﹣1，∴T1（P）＝1，T2（P）＝3，T3（P）＝5，T4（P）＝7，…∵T2（P）＝3，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）＝5，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，…，a2n﹣1＝a2n＝n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）+＝，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）＝，∴数列{a n}前n项的和S n＝；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1，对应可得T k（P），及s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵Tk（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）＝i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′＝a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′＝a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列Tk（P′）的定义，可得（P′）＝i，且T j（P′）＝T j（P）（j ≠a i+1）．显然（P′）＝（P）﹣1，∴s′＝a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）＝a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）+ +…+T46（P）＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝s，即调整后s′＝s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1＝a2＝…＝a20＝46时，T1（P）＝T2（P）＝…＝T46（P）＝1，∴s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝46×20+46＝966．。
2015西城二模试题及答案
北京市西城区2015年初三二模试卷语文 2015.6考生须知1．本试卷共8页，共四道大题，24道小题。
满分120分。
考试时间150分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、基础·运用（共22分）（一）选择。
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．符合题意，选出答案后在答题卡上用铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满。
（共10分）成语是经过长期锤炼而形成的汉语言文化精髓．，它浓缩了中国古代传统文化的精华，承载着历代华夏儿女千百年来形成的处世哲学。
成语多来源于寓言故事，神话传说，古典诗文，也有些源自民间惯用语，谚语，歇后语等，是中华民族宝贵的文化遗产，堪称中华文化的“活化石”。
它言简意赅，以简驭繁，以极少的文字传达丰富的内涵,成为汉语言文化中的一道亮丽风景。
人们讲话、写文章都喜欢运用成语，是由于成语除了（甲），还（乙）。
而最能体现后者的，莫过于比喻的运用。
成语的比喻用法大致有两种情况。
一种是明显的比喻。
例如“如虎添翼”“门庭若市”“归心似箭”“味同嚼蜡”等，特点是带有“如”“若”“似”“同”这类比喻词。
因此不管放在什么语言环境里，一眼就能看出是比喻。
这类成语生动形象，表达效果值得__①__。
更多的一种情况是运用成语的比喻意义。
什么叫“成语的比喻意义”呢？那就是一个成语由于它的比喻用法而逐渐形成并固定下来的意义。
如“完（bì）归赵”出自蔺相如设法把国宝从秦国送回赵国的历史故事，后用来比喻原物完整无损地归还本人，这一比喻义用得多了，得到社会认可，就作为这个成语的固定意义确定下来了。
运用这类成语不仅能收到比喻的表达效果，还能提升语言的文化__②__。
1.文中加点字“髓”的注音和“完（bì）归赵”注音处应填入的汉字正确的一项是A．髓（sǔi）壁（声旁为“辟”，形旁为“土”）B．髓（suǐ）璧（声旁为“辟”，形旁为“玉”）C．髓（suǐ）壁（声旁为“辟”，形旁为“土”）D．髓（sǔi）璧（声旁为“辟”，形旁为“玉”）2.根据句意，依次填入①②两处的词语，最恰当的一项是A．①品位②品味 B．①品味②品味C．①品位②品位 D．①品味②品位3.对文中画线句标点修改正确的一项是A.成语多来源于寓言故事，神话传说，古典诗文；也有些源自民间惯用语、谚语、歇后语等B.成语多来源于寓言故事，神话传说，古典诗文。
2015高三数学理科西城二模解析
π π f x f x =4 2 2
③显然 f x 是增函数，所以
故选①②
注：第 10，11，12 题第一问 2 分，第二问 3 分；第 14 题多选、漏选或错选均不得分．
又因为 A1 E ⊥ DE ， DC DE D ， 所以 A1 E ⊥ 平面 BCDE 4分
⑵ 解 ： 因 为 A1 E ⊥ 平 面 BCDE ， DE ⊥ BE ， 所 以 A1 E，DE ，BE 两 两 垂 直 ， 以
EB ，ED ，EA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分
2 0 2 1 C5 C5 2 C0 2 C1 5 5C5 5 C5 P ( X 2) ， ， P ( X 1) ， 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9
……8 分
所以 X 的颁布列为：
X P
0
2 9
1
5 9
2
2 9
5 2 所以 E ( X ) 0 1 2 1 ． 9 9 9
x2 2x 4 1 4 1 x 2 4
2
1分
x 1 3 1 4 1 x 2 4
2 2
求导，得 f x
0，
4分
2 ， 所以函数 f x 在区间 ， 2 ，2 ， 2 ， 上单调递减．5 分
5.
64 4 x 2 64 64 ， 即x4 当且仅当 4 x 4x 2 4 64 32 ， x x x
6.
(a1 a21 ) 21 21 ，所以选 B. 2
2015年北京市朝阳区和西城区高三二模数学理试题及答案(word版)
北京市朝阳区理科数学2015学年度第二学期高三综合练习2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
2015届高三二模理科数学分类汇编(解析)
北京各区二模理科数学分类汇编解析(2015届西城二模)10．双曲线 C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．答案：x y 22,26±= (2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F 1、F 2分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2．⑴ 若椭圆E 的离心率为26，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：|OP|>则219．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且6c a =……………… 2分 解得3a =1b =，2c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =--设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分直线2F P 的斜率20F Py k x c =-，所以直线2F P 的方程为0()y y x c x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Qy k c x =-， ……………… 8分因为以PQ为直径的圆经过点1F，所以11PF F Q⊥.所以1100001F P F Qy yk kx c c x⨯=⨯=-+-，………………10分化简，得22200(24)y x a=--，○1又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以22002214x ya a+=-，x>，y>，○2由○1○2，解得202ax=，2122y a=-，………………12分所以2222200||1(2)22OP x y a=+=-+，………………13分因为22242a b a+=<，所以22a>，所以||2OP>. ………………14分(2015届海淀二模)答案：(2,)+∞(2015届海淀二模)（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.ac ba b c⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a=，2b c==………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分所以0000002(,)(,)22Q Q y x y QM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----uuu r .所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以20284221k x k --=+，即222421kx k -=+. 所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x=得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .所以22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分(2015届东城二模)（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．答案：552(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在xC上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,24,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）． 设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+．所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM ===．||AN =2228(1)||||1414k AM AN k k +==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x=与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l=:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k=，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以0212≠-x x .所以2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=-. ……………9分 (ii) 证明：0k=时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ，直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++. 因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分。
北京市西城区2015届高三二模数学(理)试题 含解析
汽车租赁中的车辆保险费用分摊范本近年来，汽车租赁行业的发展迅速，租车已成为一种常见的出行方式。
然而，在租车过程中，车辆保险费用分摊问题一直备受争议。
为了明确车辆保险费用的分摊范本，保障租车双方的权益，本文将对汽车租赁中的车辆保险费用分摊进行探讨。
一、保险费用的定义及计算方式在汽车租赁中，保险费用指的是为了保障车辆投保人和驾驶人的车辆安全而支付的费用。
计算保险费用时，通常会考虑车辆的价值、车型、驾驶人的驾龄和行驶记录等因素。
二、车辆保险费用的责任划分1.基本强制保险根据我国法律规定，每一辆机动车都必须购买基本强制保险，即交强险。
交强险保障的是在道路交通事故中由被保险人负责的人身伤亡、财产损失责任，费用由所有机动车车主共同分摊。
2.商业保险除了基本强制保险外，车辆租赁公司还可以按照客户的需求为租车提供商业保险，例如车损险、第三者责任险等。
商业保险的费用由租车双方通过协商决定，并在租车合同中明确注明。
三、车辆保险费用分摊的原则1.保险费用由使用方承担汽车租赁中，保险费用应由租车使用方承担。
使用方在租车之前应明确了解并同意支付相应的保险费用。
2.按照使用时间分摊车辆保险费用的分摊应根据租车的使用时间进行合理划分。
通常情况下，按照天数进行分摊是一种常见的方式。
四、车辆保险费用的分摊例子假设小明在租赁一辆汽车，租期为7天，每日租金为100元，保险费用为50元/天。
则车辆保险费用的分摊可以按照以下方式计算：保险费用总额 = 每日保险费用 ×租期天数保险费用总额 = 50元/天 × 7天 = 350元小明需要支付的保险费用 = 每日租金 ×租期天数 ×保险费用占租金比例小明需要支付的保险费用 = 100元 × 7天 × 50% = 350元五、车辆保险费用的支付方式车辆保险费用的支付方式可以根据租车双方的协商而定。
一种常见的做法是，在租车时支付全部保险费用，然后在还车时根据实际使用天数进行退还或调整。
2015年北京西城高考二模数学(理)
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3
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为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该
������������ 折起到 △ ������ 1 ������������ 的位置，使 ������ 1 ������ ⊥ ������������ ，如图 2．
(1)求证：������ 1 ������ ⊥ 平面������������������������ ； (2)求二面角 ������ − ������ 1 ������ − ������ 的余弦值； (3)判断在线段 ������������ 上是否存在一点 ������ ，使 平面������ 1 ������������ ⊥ 平面������ 1 ������������ ？若存在，求出 若不存在，说明理由． 18. 已知函数 ������ ������ =
������ ������ ≥ ������ 表示集合 ������
(1)若数列 ������ ：1,3,4,7, ⋯，写出 ������ 1 ������ ，������ 2 ������ ，⋯，������ 5 ������ ； (2)若 ������ ������ ������ = 2������ − 1，求数列 ������ 前 ������ 项的和； (3)已知 ������ 20 = 46，求 ������ = ������ 1 + ������ 2 + ⋯ + ������ 20 + ������ 1 ������ + ������ 2 ������ + ⋯ + ������ 46 ������ 的值．