层次分析AHP
层次分析法(AHP法)
一致性检验是层次分析法 中非常重要的步骤，可以 保证分析结果的可靠性
04
CATALOGUE
层次单排序
特征向量法
总结词
通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素权重的方法。
详细描述
特征向量法是层次分析法中确定权重的一种常用方法。它基于线性代数原理，通过计算判断矩阵的特 征值和特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反映各因素之间的相对重要性，广泛应用于决 策分析和多目标优化等领域。
要点一
总结词
通过计算判断矩阵的最大特征值对应的特征向量来确定各 因素权重的方法。
要点二
详细描述
最大特征值法也是层次分析法中确定权重的一种常用方法 。它基于矩阵论原理，通过计算判断矩阵的最大特征值和 对应的特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反 映各因素之间的相对重要性，并且在判断矩阵一致性检验 中具有重要作用。最大特征值法在多目标决策、系统评价 等领域有广泛的应用。
03
CATALOGUE
构造判断矩阵
标度定义
标度2
两个元素相比，前者比后者稍 重要
标度4
两个元素相比，前者比后者强 烈重要
标度1
两个元素相比，具有相同的重 要性
标度3
两个元素相比，前者比后者明 显重要
标度5
两个元素相比，前者比后者极 端重要
判断矩阵的构造
01
通过专家咨询、比较等方法，对每一层次各元素相对重要性给 出判断
02
将判断结果整理成矩阵形式
判断矩阵的元素aij表示第i个元素与第j个元素相对重要性的比值
03
判断矩阵的一致性检验
一致性检验是检验各元素 重要性判断是否具有逻辑 一致性
当CR<0.1时，认为判断 矩阵的一致性是可以接受 的；否则，需要对判断矩 阵进行调整
ahp层次分析法
ahp层次分析法
什么是AHP层次分析法？
AHP层次分析法是一种量化决策方法，用于归纳分析和比较复杂的挑选抉择，帮助利用决策者的认识和经验，把相关的变量等级排序。
AHP层次分析法是一种
以人为核心的分析方法，其目的是通过让决策者以主观的方式表达他们的决策标准和优先次序，并通过让决策者进行一系列比较和量化操作，形成一种多维度的定性分析思维模型，从而达到精准做出最优决策的目的。
AHP分析步骤：
1、定义模型维度：第一步首先定义分析模型的维度，或者叫哪些变量要参与
分析。
2、建立多视角比较矩阵：建立多个变量的比较矩阵，把它们的相互关系量化，并确定每一维度之间的优先次序。
3、计算消融系数：计算不同比较矩阵的消融系数，识别出各维度的优先次序。
4、结果评价：分析消融系数，就可以由此得出比较变量的优化决策结果。
AHP层次分析法可以用在多种场合，比如解决市场策略决策，品质控制，能
源工程，风险评估，工服位置选择等。
AHP层次分析法在学术研究和实践中受到
广泛应用，其特殊之处，在于能够使决策者可以使用他们的专业知识和认知维度辅助解决复杂的问题，提供准确的分析结果，降低分析过程的投入成本，并且可以帮助决策者更加清楚地理解决策结果。
AHP层次分析法
AHP层次分析法层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。
它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。
层次分析法(AHP)
第一单元层次分析法一AHP介绍(The Analgtic Hierarachy Process AHP)、尸、-前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。
事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。
匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。
于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。
层次分析AHP的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。
决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。
好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。
AHP的主要不足在于：1. AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。
规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。
AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。
尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。
§1 AHP 预备知识（一）1. 特征根与特征向量设A a ij m n为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量g （g i,g2, , g n），使得Ag g （1）则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于（属于）特征根的特征向量。
层次分析法AHP
AHP层次分析法原理一. AHP 层次分析法介绍•AHP 层次分析法简介AHP，即层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。
在评价对象的待评价属性复杂多样，结构各异，难以量化的情况下AHP层次分析法也能发挥作用。
•AHP 基本思想AHP 把复杂的问题分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成地递阶层次结构。
通过两两比较的方式确定方式确定层次中诸因素的相对重要性。
然后综合有人员的判断，确定备选方案相对重要性的总排序。
整个过程体现了入门分解问题—判断—综合，的思想特征。
•AHP 步骤1)分析问题，明确需求，确定评价指标，并建立评价层次关系。
2)构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵。
3)由判断矩阵得出层间的相对权重（层次单排序及一致性检验）。
4)计算各层对总评价目标的总权重（层次总排序），得出各备选方案的评估结果。
二. AHP 的实际问题应用案例本章节我们将在选择购买空调的过程中使用 AHP 来完成决策。
为了从三种空调，空调A、空调B、空调C，中选购最合适的空调，我们采用 AHP法对我们的需求进行分析与评估，最终完成决策。
1. 确定评价指标，建立层次关系为了选出最合适的空调，我们确定从四个指标来对空调进行评估，分别是：价格、噪声、功耗、寿命。
在AHP 中，要构建三层层次关系：目标层、准则层、方案层。
•目标层只有一个要素，是分析问题的预期结果或期望实现的最终目标，是评价的最高准则，可称为目的或目标层•准则层准则层可以是多层构成，其包括所要考虑的准则，子准则等。
•方案层表示实现目标所提供的各种方案与措施，是最终评价对象，决策的结果将从中选出。
2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵对一层的每一个节点，与其下层的所有与其有关联的节点构建判断矩阵。
判断矩阵描述了下一层节点之间的相对重要性或优越性。
为了量化节点间的优劣先后，将用到以下判断矩阵标度定义。
层次分析法（AHP）
层次分析法（AHP）The analytic hierarchy process⼀、内容1.主要⽤于解决评价类问题（决策）。
2.将相关元素分解成⽬标、可选⽅案、准则/指标三个层次，通过建⽴递阶层次结构，把⼈类的判断转化到若⼲两两之间重要度的⽐较上。
3.层次分析法中构造的矩阵为判断矩阵，判断矩阵均为正互反矩阵aij✖aji=1。
4.⼀致矩阵（不会出现⽭盾）：正互反矩阵满⾜aik=aij✖ajk。
⼀致矩阵有⼀个特征值为n，其余特征值均为0。
特征值为0时对应的特征向量刚好为k倍的第⼀列元素。
⼀致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和⼀致性矩阵是否有太⼤的差别。
判断矩阵越不⼀致时，最⼤特征值与n相差就越⼤。
5.⼀致性检验步骤：⼀致性指标、平均⼀致性指标、⼀致性⽐例。
⼀致性权重要进⾏归⼀化处理（只⽤第⼀列就可计算出权重），但判断矩阵要充分利⽤每⼀列(算术平均法、⼏何平均法、特征值法求权重）。
特征值法求权重：假如判断矩阵⼀致性可以接受，则可以仿照⼀致矩阵权重的求法。
a、求矩阵A的最⼤特征值以及其对应的特征向量b、求出的特征向量进⾏归⼀化6、层次分析法的步骤：a、分析系统中各因素的关系，建⽴递阶层次结构 b、对于同⼀层次的各元素关于上⼀层次中某⼀准则的重要性进⾏两两⽐较，构造两两⽐较矩阵 c、由判断矩阵计算被⽐较元素对于该准则的相对权重，并进⾏⼀致性检验(检验通过权重才能⽤)7、局限性：a、决策层不能太多 b、决策层中指标数据已知不可⽤。
⼆、收获1、基本了解了层次分析法的内容以及能够解决的问题。
2、层次分析法具有⼀定局限性，在指标数据已知时不可⽤。
3、为了保证结果的稳健性，可以采⽤三种⽅法分别求出权重。
4、特征向量相关知识有些遗忘。
层次分析法分析(AHP)及实例教程
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
层次分析法(AHP)
aij
n
aij
i 1
i，j 1,2,, n
2 ） 再按行相加得和
n
wi aij j 1
3）再规范化，得权重系数：
wi
wi
n
wi
i 1
方根法
这种方法的步骤是：
1） 按行元素求积，再求1/n次幂，得
n
wi
aij i，j 1,2,, n
j 1
2）规范化，即得权重系数
wi
wi
n
wi
用ANP进行决策的基本步骤
▪ (1) 构造ANP的典型结构： A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界 定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法 得到. B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其 网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种 方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相 互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP 网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环 的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。 在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立， 既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
P4：建 图书馆
P5：引进 新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
c1 P1
p2
p3
p4
p5 w
p1 1
3
5
4
7 0.491
p2 1/3 1
3
2
5 o.232
p3 1/5 1/3 1
½
3 0.092
p4 ¼ ½
2
1
3 0.138
p5 1/7 1/5 1/3 1/3 1 0.046
层次分析法(AHP法课件
一致性检验
一致性检验是检验判断矩阵是否满足一致性的过程，即判断 矩阵中的元素是否满足传递性。
一致性检验的方法包括计算一致性指标CI和随机一致性指标 RI，通过比较CI和RI的值可以判断判断矩阵的一致性。如果 一致性不满足要求，需要对判断矩阵进行调整。
03
层次分析法的实施步骤
建立递阶层次结构
明确问题
详细描述
科研项目评估需要考虑多个指标，如项目的 创新性、可行性、预期成果等。层次分析法 可以将这些指标分为不同的层次，并确定各 指标之间的相对重要性，从而帮助科研管理 者更加科学地选择和资助科研项目。
05
层次分析法的优缺点与改进
方向
优点
01 02
系统性强
层次分析法能够将复杂的问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的 相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多 层次的分析结构模型。
特点
简单易懂、系统性、实用性、灵活性。
应用领域
资源分配
根据资源有限性，合理 分配资源，实现资源利
用最大化。
方案选择
在多个备选方案中选出 最优方案，满足特定目
标或标准。
风险评估
对风险进行定性和定量 分析，确定风险优先级
和应对策略。
决策分析
在多准则或多目标决策 问题中，为决策者提供
决策依据。
层次分析法的发展历程
确定研究的问题，明确目标层和准则 层，将决策问题分解成不同的组成因 素。
构建层次结构
将决策问题分解成不同的组成因素， 并根据因素间的相互关联影响以及隶 属关系将因素按不同的层次聚集组合 ，形成一个多层次的分析结构模型。
构造判断矩阵
确定判断标度
根据因素间的相对重要性，确定 因素间的判断尺度。常用的判断 尺度有1-9标度法。
层次分析法(AHP)
（3）构造判断矩阵
判断矩阵元素的值反映了评估人员对各因素相 对重要性（或优劣）的经验认识，一般采用经典1-9 及其倒数的标度法。如下表所示。
图2 AHP层次结构示意图
表1 1-9 标度及其含义
（4）层次单排序及其一致性检验。
A.层次单排序就是求某一层次上各指标对其上层指标 相对重要性的权重。一般计算方法采用方根法, 设判断 矩体阵计为算B步=骤[b如ij],下阶:数为n,bij为矩阵中第i行第j列元素, 具
选择1-9比率标度法是基于下述的一些事实和科学依据
类似的，当RI<0.10时，认为层次总排序结果具有满
意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
案例：用方根法判断矩阵的最大特征根及其对应 的特征向量
1 5 3
1
5 1 1
3
1
3 3
1
（1）计算判断矩阵每一行元素的乘积
M1
1
1 5
1 3
1 15
0.067
n
Wj 0.405 2.466 1 3.871
j 1
W1
W1
n
Wj
0.405 0.105 3.871
j 1
W2
W2
n
Wj
2.466 0.637 3.871
j 1
W3
W3
n
Wj
1 0.258 3.871
j 1
正规化
层次分析法(AHP)
层次分析法建模层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
层次分析AHP模型
层次分析AHP模型1. 引言层次分析AHP（Analytic Hierarchy Process）模型是一种多准则决策方法，通过对问题进行层次化划分，对准则之间进行比较，最终得出各准则的权重，进而作出最优决策。
该模型在管理学、经济学、工程学等领域有广泛的应用。
2. 模型原理AHP模型的核心是层次分析方法。
这种方法将问题分解为多个层次，从全局的角度逐步细化问题，最终得出对应准则的权重。
AHP模型的基本步骤如下：2.1 问题层次划分在AHP模型中，首先需要将问题进行层次化划分。
划分过程需要考虑到问题的结构和层次关系。
2.2 构建层次结构在问题层次划分的基础上，需要构建一个层次结构，用于表示准则之间的相互关系。
在层次结构中，上层准则需要对下层准则进行比较和评价。
2.3 准则之间的比较根据层次结构，需要对各准则之间进行两两比较。
比较的结果可以使用1到9之间的标度表示准则之间的重要性程度，其中1表示相等重要，9表示完全重要。
2.4 计算权重根据准则之间的比较结果，使用AHP模型的数学方法计算各准则的权重。
具体方法主要包括构造判断矩阵、计算特征向量和一致性检验等步骤。
2.5 综合评判最后，根据各准则的权重，对各个备选方案进行综合评判，得出最优解。
3. 优缺点分析3.1 优点•AHP模型能够将复杂的问题分解为可管理的层次结构，使问题的处理更加清晰和系统化。
•AHP模型能够充分考虑到各个准则的相对重要性，使决策结果更加客观和科学。
•AHP模型能够充分利用专家知识和经验，提高决策的精度和可靠性。
3.2 缺点•AHP模型对准则之间的两两比较有一定的主观性，可能受到决策者个人偏好的影响。
•AHP模型在计算权重时，需要进行一致性检验，如果一致性比例超过一定的阈值，则需要重新进行比较和计算，会增加决策的时间和成本。
•AHP模型对问题的层次结构和准则之间的关系要求较高，如果划分不合理，可能会导致决策结果不准确。
4. 应用案例4.1 项目选择假设某公司需要选择一个新的投资项目，该项目有多个评价准则，如市场规模、竞争优势、技术可行性等。
ahp层 次 分 析 法
AHP层次分析法是一种将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
这种方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
AHP层次分析法将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
AHP层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
层次分析法(AHP)
缺点：存在着较大的随意性。 譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让 不同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模 型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差 异。
计算最大特征根：
max
( AW ) i nWi i 1
n
( AW ) i 表示向量AW的第i个分量。
(二) 方根法
计算判断矩阵每一行元素的乘积
M i bij (i 1,2,, n)
j 1
计算M i 的n次方根
n
W i n M i (i 1,2,, n)
（4）对C而言，bi比bj稍重要，则bij=3。
（5）对C而言，bi比bj同样重要，则bij=1。 （6）对C而言，bi比bj稍次要，则bij=1/3。
（7）对C而言，bi比bj次要，则bij=1/5。
（8）对C而言，bi比bj次要很多，则bij=1/7。 （9）对C而言，bi比bj极为次要，则bij=1/9。
AHP的基本步骤
明确问题
建立多级递阶层次结构
建立判断矩阵
相对重要度计算和一致性检验 综合重要度的计算
建立多级递阶层次结构
最简单的层次结构
第1级
目标
目标层
第2级
准则1
准则2
。。。
准则n
准则层
第3级
方案1
方案2
。。。
层次分析法AHP
层次分析法一、层次分析法简介美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)。
层次分析法就是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性与定量分析的决策方法。
该方法具有系统、灵活、简洁的优点。
运用层次分析法建模来解决实际问题,可按如下五个步骤:步骤l 定义问题,确定目标步骤2从最高层(目标层),通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型步骤3 两两比较打分,确定下层对上层的分数准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。
引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵(见表1)。
表1 判断矩阵标度定义标度含义含义l 表示两个因素相比,具有相同重要性3 表示两个因素相比,前者比后者稍重要5 表示两个因素相比,前者比后者明显重要7 表示两个因素相比,前者比后者强烈重要9 表示两个因素相比,前者比后者极端重要2,4,6,8 表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为,那么因素j与因素i重要性之比为步骤4 层次合成计算步骤5一致性检验1)计算一致性指标CI(consmtency index)其中,为判断矩阵的最大特征值。
2)查找一致性指标RI(见表2)表2 平均随机一致性指标n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 RI 0 O O、52 0.89 1.12 1、24 1、36 1、41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.583)计算一致性比例CR(consistency ratio)当CR<0、10时,认为通过了一次性检验,否则应作适当修正。
二、层次分析法权重向量W计算方法层次分析法有四种计算方法求权重:算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。
1、算术平均法(求与法)由于判断矩阵A中的每一列都近似地反映了权值的分配情形,故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。
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具 体 实 施 过 程
1. 2. 3.
完全相关性结构
投资效果好（T）
举
风险程度（I1） 资金利润率（I2） 转产难易程度（I3）
例
家用电器(P1)
紧俏产品(P2)
传统产品(P3)
具 体 实 施 过 程
如上例构造判断矩阵
T I1
I1 1
I2 1/3
I3 2
I1
P1
P2 1/3 1 3
P3
P1
P2 P3
Wpi
投资效果好（T）
风险程度（I1）
资金利润率（I2）
转产难易程度（I3）
家用电器(P1)
紧俏产品(P2)
传统产品(P3)
综合重要程度的一致性检验
这一步骤是从高到低逐层进 行的，如果E层次某些因素对于D 层某一因素得一致性指标
具 体 实 施 过 程
l max - n CI j = n- 1
相应的平均随机一致性指标 为RIj，D层第j个元素的总排序权 值为dj (j=1，…，m ；m为D层元 素个数)，则E层总排序一致性比率 m 为 å d CI
1
P3
0.226
Wi
0.076
Wio
P1
P2 P3
1
3 7
1/3
1 5
1/7
1/5 1
0.250
0.580 2.171
0.083
0.193 0.724
相对重要程度的计算
具 体 实 施 过 程
2、求根法 （1）将矩阵按行求： ui = n Õ aij
j
（2）归一化：wi =
ui å ui
一致性检验
具 体 实 施 过 程
如上例构造判断矩阵
T I1
I1 1
I2 1/3
I3 2
I1
P1
P2 1/3 1 3
P3
P1
P2 P3
1
3 5
1/5
1/3 1
I2
I3
3
1/2
1
1/5
5
1
具 体 实 施 过 程
如上例构造判断矩阵
I2
P1
P2
P3
I3 P1 P2 P3
P1 1 3 7
P2 1/3 1 5
P3 1/7 1/5 1
一致性检验
具 体 实 施 过 程
显然，随着n的增加判断误差就会 增加，因此判断一致性时应当考虑到n的 影响，使用随机性一致性比值 C.R. = C.I . R.I . 式中 R.I . 为平均随机一致性指标。下表 给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得 到的平均随机一致性指标 。
n RI n RI 1 0 9 1.46 2 0 10 1.49 3 0.52 11 1.52 4 0.89 12 1.54 5 1.12 13 1.56 6 1.26 14 1.58 7 8
ui w = å ui
用上述例子计算相对重要度
具 体 实 施 过 程
2 按行求和：W i
1 按 列 归 一 化
T I1 I2
I1 1 3
I2 1/3 1
I3 2 5
Wi 0.689 1.944
Wio 0.230 0.648
I3
I1 P1 P2 P3
1/2
P1 1 3 5
1/5
P2 1/3 1 3
1
P1 P2
P3
1 1/2
1/7
2 1
1/5
7 5
1
相对重要程度的计算
具 体 实 施 过 程
1、求和法 （1）将矩阵按列归一化（即使 a b = 列和为1）： a
ij ij
å
ij
（2）按行求和：u
0 i
i
=
å
i
bij
j
（3）归一化： 0 w 所得 i (i = 1, 2, , n) 即为 特征向量的近似值。
综合重要程度的计算
具 体 实 施 过 程
在分层获得了各要素之间的 相对重要程度之后，就可以自上 而下地计算各级要素关于总体的 综合重要度。 设c级有m个要素c1， c2，…， cm ，其对总值的重要度 为ω1 ，ω2，…， ωm；它的下一级 有n个要素，p1，p2，…，pn， pi 关于cj 的相对重要度为vi j，则P级 的要素Pi 的综合重要度为：
标 度
定义与说明
两个元素对某个属性具有同样重要性 两个元素比较，一元素比另一元素稍 微重要 两个元素比较，一元素比另一元素明 显重要
具 体 实 施 过 程
1 3 5
7
9
两个元素比较，一元素比另一元素重 要得多
两个元素比较，一元素比另一元素极 端重要
2,4,6, 表示需要在上述两个标准之间折中时 8 的标度 1/bij 两个元素的反比较
Wi =
'
å
w j vij
j
具 体 实 施 P1 过 P2 程 P3
综合重要度
I1 0.2229 0.1062 0.2605 0.6333 I2 0.6479 0.5907 0.3338 0.0755 I3 0.1222 0.0833 0.41657 0.1932 0.29794 0.7235 0.27849
2.
3.
分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和 模型化； 分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关 系具体而明确； 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用 于地区经济发展方案比较、科学 技术成果评比、资源规划和分析 以及企业人员素质测评。
AHP基本步骤：
（1）分析评价系统中各基本要素之 间的关系，按照相互联系及其隶属关系 分成不同层次的组合，建立系统的递阶 层次结构（分解法、ISM法）； （2）对同一层次的各要素关于上一 层次中某一准则的重要性进行两两比较， 构造判断矩阵（专家调查法）； （3）由判断矩阵计算被比较要素对 于该准则的相对权重（几何求和法、方 根法）；
层次分析（ＡＨＰ）法
Analytic Hierarchy Process——AHPΒιβλιοθήκη 组员：孙晓光 陈 燕 王雪花
柳梦琦 徐 凡 郭 凯
层 次 分 析 法
层次分析法(AHP)首先是 由T.L.SAATY在20世纪70年 代提出来的，是系统工程中常 用的一种评价与决策方法。它 特别适用于处理那些多目标、 多层次的复杂大系统问题和难 于完全用定量方法来分析与决 策的社会系统工程复杂问题。 它将人们的主观判断用数量形 式来表达和处理，是一种定性 和定量相结合的分析方法。
j j
CR =
å
j= 1 m
d jRI j
j= 1
综合重要程度的一致性检验
具 体 实 施 过 程
对于该例，通过计算得相对重要 程度均满足一致性检验，且综合重要 程度排序P1＞P2＞P3， CR=0.02486<0.1，因此决策结果是可 信的，即最优方案为方案1。
AHP法的基本原理：
层 次 分 析 法
AHP法首先把问题层次 化，按问题性质和总目标将此 问题分解成不同层次，构成一 个多层次的分析结构模型，分 为最低层（供决策的方案、措 施等）相对于最高层（总目标） 的相对重要性权值的确定或相 对优劣次序的排序问题。
层次分析法（AHP）特点：
1.
层 次 分 析 法
P3 1/5 1/3 1
0.367
Wi 0.318 0.782 1.900
0.122
Wio 0.106 0.261 0.633
同理可得：
具 体 实 施 过 程
I2 P1 P2
P1 1 1/2
P2 2 1
P3 7 5
Wi 1.772 1.002
Wio 0.591 0.334
P3
I3
1/7
P1
1/5
P2
1
3 5
1/5
1/3 1
I2
I3
3
1/2
1
1/5
5
1
建立两两比较的判断矩阵
具 体 实 施 过 程
判断矩阵表示针对上一层次 某单元（元素），本层次与它有 关单元之间相对重要性的比较。 在层次分析法中，为了使判 断定量化，关键在于设法使任意 两个方案对于某一准则的相对优 越程度得到定量描述。一般对单 一准则来说，两个方案进行比较 总能判断出优劣，层次分析法采 用1-9标度方法，对不同情况的评 比给出数量标度。
层 次 分 析 法
（ 4 ）计算各层要素相对于系统目 的（总目标）的合成（总）权重，并据 此对方案进行排序（关联矩阵表及加权 和法）。
建立多层次递阶结构
一般说来，构成评价系统各 要素的多级递阶结构可以根据像 （ISM）法等方法来建立。就多 级递阶结构类型来说，可以有三 种类型，即： 完全相关性结构 完全独立性结构 混合结构
具 体 实 施 过 程
为了检验判断矩阵的一致性 （相容性），根据AHP的原理， l max 可以利用 与n之差检验一致性。 定义计算一致性指标： l max - n C .I . = 可由下式求出： n - 1
l max
l
max
1 = å n i
骣 ( AW )i ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç 桫 wi ÷
1.36 1.41 15 1.59
一致性检验
具 体 实 施 过 程
当 n<3时，判断矩阵永远 具有完全一致性。 当 C.R.< 0.10 时，便认 为判断矩阵具有可以接受的一 致性。 当C.R. ≥0.10 时，就需要 调整和修正判断矩阵，使其满 足C.R.< 0.10 ，从而具有满意 的一致性。