高中数学1-3-2《函数的极值与导数》课件
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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
高中数学《1-3-2函数的极值与导数》课件新人教A版选修PPT文档共31页
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学《1-3-2函数的极值 与导数》课件新人教A版选
修
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学《1-3-2函数的极值 与导数》课件新人教A版选
修
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
复习课件
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀课件
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本课结束
答案
(1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.那么把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.那么把点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极.大值点 、
极小值点 统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x) > 0，右侧f′(x) < 0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) < 0，右侧f′(x) > 0，那么f(x0)是极小值.
解析答案
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2.
因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
本课结束
答案
(1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.那么把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.那么把点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极.大值点 、
极小值点 统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x) > 0，右侧f′(x) < 0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) < 0，右侧f′(x) > 0，那么f(x0)是极小值.
解析答案
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2.
因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
高中数学《函数的极值与导数》PPT
课后课时精练
[解] (1)函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x) －
0
＋
f(x)
极小值 3
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
拓展提升 求函数极值的方法
一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝0，设解为 x0， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
课前自主预习
课堂互动探究
Hale Waihona Puke 随堂达标自测课后课时精练
注意：如果在 x0 附近的两侧 f′(x)符号相同，则 x0 不是函数 f(x)的极值 点．例如，对于函数 f(x)＝x3，我们有 f′(x)＝3x2.虽然 f′(0)＝0，但由于无 论是 x>0，还是 x<0，恒有 f′(x)>0，即函数 f(x)＝x3 是单调递增的，所以 x ＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点．一般地，函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0 是 函数 y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
[条件探究] 若将本例(2)中 a>0 改为 a<0，结果会怎样？
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
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函数的极值与导数PPT优秀课件
在点 x 0 处取得极大值5,其导函数 y f '(x) 的图像
(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） x 0 的值；（2）a,b,c的值；
略解：
(1)由图像可知： x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x）3a＝ 2x 2b xc (a 0)
－
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知：y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图，①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系？
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（C ）
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（ ）
②y=f(x)在这些点的导数值是多少？
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） x 0 的值；（2）a,b,c的值；
略解：
(1)由图像可知： x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x）3a＝ 2x 2b xc (a 0)
－
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知：y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图，①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系？
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（C ）
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（ ）
②y=f(x)在这些点的导数值是多少？
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
高中数学选修2精品课件1.3.2函数的极值和导数
4 2 2 2 解: f ( x) 5ax 3bx x (5ax 3b). 由题意, f ( x ) 0应有根 x 1 ,故5a=3b,于是: f ( x) 5ax2 ( x 2 1). (1)设a>0,列表如下:
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
x
f ( x )
的一个极大值。
2. 如 果 x0 是 f′(x)=0 的 一 个 根 ， 并 且 在 x0 的 左 侧 附 近 的一个极小值。
f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是 f(x0)函数f(x)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0为函数是极值点的必要条件。
课堂练习
练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是( A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ( x ) 0 ;②当 x<2时, f ( x ) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x 2 ) 2 x. 2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0 ,即 :
f (b) 0
极大值点
y
f ( x ) >0
f ( x )<0
f ( x ) <0 a
f (a) 0
f ( x) >0
o 极小值点 b
x
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
x
f ( x )
的一个极大值。
2. 如 果 x0 是 f′(x)=0 的 一 个 根 ， 并 且 在 x0 的 左 侧 附 近 的一个极小值。
f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是 f(x0)函数f(x)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0为函数是极值点的必要条件。
课堂练习
练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是( A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ( x ) 0 ;②当 x<2时, f ( x ) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x 2 ) 2 x. 2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0 ,即 :
f (b) 0
极大值点
y
f ( x ) >0
f ( x )<0
f ( x ) <0 a
f (a) 0
f ( x) >0
o 极小值点 b
x
函数的极值与导数 课件
[典例] 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数 f(x) 在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个 不同的交点，求 m 的取值范围．
[解] 因为 f(x)在 x＝－1 处取得极值且 f′(x)＝3x2－3a， 所以 f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以 a＝1. 所以 f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝1.
当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x＝－1 处取得极大值 f(－1)＝1，在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3. 作出 f(x)的大致图象及直线 y＝m 如图所示：
因为直线 y＝m 与函数 y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 结合图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．
[点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它 附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函 数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以 不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能 成为极值点． (5)单调函数一定没有极值．
2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的 交点”结果如何？改为“一个交点”呢？ 解：由例题解析可知：当 m＝－3 或 m＝1 时， 直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有两个不同的交点； 当 m<－3 或 m>1 时， 直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象只有一个交点．
函数的极值与导数 课件
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他 点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧__f′_(x_)_＞__0_，右
侧__f_′(_x_)＜__0__，则把点b叫做函数_y_＝__f_(x_)_的极大值点，f(b)叫做
函 数 y ＝ f(x) 的 极 大 值 ._极__大__值__点__ 、 _极__小__值__点__ 统 称 为 极 值 点 ， _极__大__值___和__极__小__值__统称为极值.
(2)由(1)知，a∈[3，4]时，函数 f(x)的单调递增区间为0，23a， 单调递减区间为(－∞，0)和23a，＋∞. 所以 f(x)极大值＝f 23a＝42a73＋b，f(x)极小值＝f(0)＝b. 由于对任意 a∈[3，4]，函数 f(x)在 R 上都有三个零点， 所以ff（ （xx） ）极 极大 小值 值＞ ＜00， ，即b42＜ a73＋0，b＞0，解得－42a73＜b＜0.
函数的极值与导数
1.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其 他 点 的 函 数 值 都 小 ， f ′ (a) ＝ 0 ； 而 且 在 点 x ＝ a 附 近 的 左 侧 _f_′(_x_)_＜__0，右侧__f_′(_x_) _＞__0_，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处 导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件， 所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
类型三 函数极值的综合应用(互动探究) 【例3】 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).
高中数学《1-3-2函数的极值与导数》课件新人教A版选修
极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x) 极小值．
>0，右侧f′(x) <0，右侧f′(x)
< 0 ，那么，f(x0)是 0 >，那么，f(x0)是
想一想：极值点与单调区间有什么关系？ 提示 极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的
转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增 区间的转折点．
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3. (2)函数的定义域为 R. 2x2＋1－4x2 2x－1x＋1 f′(x)＝ ＝－ . 2 2 2 2 x ＋1 x ＋1 令 f′(x)＝0，得 x＝－1，或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提示
一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还
要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反， 才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如 f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．
2．求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)
f(1) ＝－1建立关于 a， b，c 的方程组．求出 a， b，c 值，再由
判定极值的方法判定其极值情况．
解
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴x＝± 1 是方程 f′(x)＝0 的两根， 即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根， 2b －3a＝0， 由根与系数的关系，得 c ＝－1 3a 又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 1 3 由①②③解得 a＝2，b＝0，c＝－2. ③ ① ②
【变式1】 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
>0，右侧f′(x) <0，右侧f′(x)
< 0 ，那么，f(x0)是 0 >，那么，f(x0)是
想一想：极值点与单调区间有什么关系？ 提示 极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的
转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增 区间的转折点．
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3. (2)函数的定义域为 R. 2x2＋1－4x2 2x－1x＋1 f′(x)＝ ＝－ . 2 2 2 2 x ＋1 x ＋1 令 f′(x)＝0，得 x＝－1，或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提示
一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还
要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反， 才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如 f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．
2．求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)
f(1) ＝－1建立关于 a， b，c 的方程组．求出 a， b，c 值，再由
判定极值的方法判定其极值情况．
解
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴x＝± 1 是方程 f′(x)＝0 的两根， 即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根， 2b －3a＝0， 由根与系数的关系，得 c ＝－1 3a 又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 1 3 由①②③解得 a＝2，b＝0，c＝－2. ③ ① ②
【变式1】 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
函数的极值与导数课件
解不等式 f/〔x〕<0 得f(x)的 单调(dāndiào)递减区间.
第四页，共20页。
复习(fùxí)回忆：
观3察、画函出数的f图(x象)=，2答x3复-6下x2面+7问，求f(x)的单调 题(：dāndiào)区间,并画出其图象;
问题1：在点x=0附近的图象有 什么(shén me)特点？ 问题2：函数在x=0处的函数值 和附近函数值之间有什么 (shén me)关系？ 问题3：在点x=0附近的导数符 号有何变化规律？ 问题4：函数在x=0处的导数是 多少？
第十一页，共20页。
例1.〔1〕以下图是函数的图象,试找出函数的极值(jí zhí)点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 〔2〕如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极 大值点,哪些是极小值点?
第十二页，共20页。
思考4：导数为0的点一定是极值(jízhí)点吗？能举例说明 吗？导数为0是可导函数在此处取极值(jízhí)点的什么条件？
f '(x) +
第二页，共20页。
复习(fùxí)回忆：
1.函数的单调性与导数(dǎo shù)的关系：
一般(yībān)地,设函数y=f(x)在某个区间〔a，b〕内有导数,
如果在 这个区间内f/〔x〕 >0,那么函数y=f(x) 为这个区间
内的增函数;
如果在这个区间内f/〔x〕<0,那么函数y=f(x) 为这个区间内
y
f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0 不是(bù shi)该函数的极值点.
f (x)x3
Ox
f (x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f (x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得(qǔdé)极值的必要不充分条件
第四页，共20页。
复习(fùxí)回忆：
观3察、画函出数的f图(x象)=，2答x3复-6下x2面+7问，求f(x)的单调 题(：dāndiào)区间,并画出其图象;
问题1：在点x=0附近的图象有 什么(shén me)特点？ 问题2：函数在x=0处的函数值 和附近函数值之间有什么 (shén me)关系？ 问题3：在点x=0附近的导数符 号有何变化规律？ 问题4：函数在x=0处的导数是 多少？
第十一页，共20页。
例1.〔1〕以下图是函数的图象,试找出函数的极值(jí zhí)点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 〔2〕如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极 大值点,哪些是极小值点?
第十二页，共20页。
思考4：导数为0的点一定是极值(jízhí)点吗？能举例说明 吗？导数为0是可导函数在此处取极值(jízhí)点的什么条件？
f '(x) +
第二页，共20页。
复习(fùxí)回忆：
1.函数的单调性与导数(dǎo shù)的关系：
一般(yībān)地,设函数y=f(x)在某个区间〔a，b〕内有导数,
如果在 这个区间内f/〔x〕 >0,那么函数y=f(x) 为这个区间
内的增函数;
如果在这个区间内f/〔x〕<0,那么函数y=f(x) 为这个区间内
y
f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0 不是(bù shi)该函数的极值点.
f (x)x3
Ox
f (x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f (x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得(qǔdé)极值的必要不充分条件
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀课件
极大值与极小值同称为极值.
函数极值的定义
〔1〕极值是某一点附近的小区间而言的,是函数 的局部性质,不是整体的最值; 〔2〕函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内 可能有多个极大值和极小值； 〔3〕极大值与极小值没有必然关系，极大值可 能比极小值还小.
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
函数值有什么关系？
2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 3 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0), 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记 作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
函数的极值与导数〔一〕
观察以下图中P点附近图像从左到右的变化
趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
S(x ,f(x ))
4
4
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
1 函数y=f(x)在 x1, x2, x3, x4 等点的函数值与这些点附近的
A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大 值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大 值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小
求函数f(x) 1 x3 4x 4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
函数极值的定义
〔1〕极值是某一点附近的小区间而言的,是函数 的局部性质,不是整体的最值; 〔2〕函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内 可能有多个极大值和极小值； 〔3〕极大值与极小值没有必然关系，极大值可 能比极小值还小.
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
函数值有什么关系？
2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 3 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0), 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记 作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
函数的极值与导数〔一〕
观察以下图中P点附近图像从左到右的变化
趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
S(x ,f(x ))
4
4
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
1 函数y=f(x)在 x1, x2, x3, x4 等点的函数值与这些点附近的
A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大 值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大 值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小
求函数f(x) 1 x3 4x 4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
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1.3.2 函数的极值与导数
h
h' a 0
单调递增
O
单调递减 h' t 0
a 图1.3 8
h t 0
'
t
图1.3 9
观察图 1.3.8, 我们发现 , t a时,高台跳水运动员 距水面的高度最大 .那么 ,函数ht 在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
x 3 是单调递增的 , 所以x 0不是函数f x x 3 极值点 . 一般地,函数 y f x 在一点的导数值为 0是函数 y f x 在这点取极值的必要条 件,而非充分条件 . 一般地, 求函数y f x 的极值的方法是 :
1如果在x 0附近的左侧f ' x 0, 右侧f ' x 0, 那么 f x 0 是极大值; ' ' 2如果在x0附近的左侧f x 0,右侧f x 0, 那么 f x 0 是极小值.
我们把点a叫做函数 y f x 的极小值点, f a 叫做函数y f x 的 极小值; 点b叫做函数y f x 的极大值点, f b叫做 函数y f x 的极大值;
y
y f x
a o b
x
图1.3 10
极小值点、极大值点统 称为极值点 .极大值和 极小值统称 极值 extreme value. 极值反映了函数在某一 点附近的大小情况 , 刻画 的是函数的局部性质 .
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d e
f g
o
h
i
j
x
图1.3 10
图1.3 11
以a, b两点为例 , 我们可 以发现 ,函数 y f x 在 点x a的函数值 f a 比 它在点 x a 附近其他 点的函数值都小 , f ' a 0 ; 而且在点 x a 附
2 2, 0 4 单调递增 3
1 3 因此,当x 2时, f x 有极大 f x x 4 x 4 3 28 值, 并且极大值为 f 2 ; 3 o 2 当x 2时, f x 有极小值 , 并且 x 2 4 极小值为 f 2 . 图1.3 12 3 1 3 函数 f x x 4 x 4的图象如图 1.3 12所示. 3
'
1当f x 0,即x 2,或x 2时; 2当f ' x 0,即 2 x 2时. ' 当x变化时, f x , f x 的变化情况如下表 :
2 2,2 f ' x 0 28 f x 单调递增 单调递减 3 x
,2
探究 如图1.3 10 和图1.3 11 ,函数 y f x 在 a , b , c , d, e , f , g, h, i, j 等点的函数值与这些点 附近 的函数值有什么关系 ? y f x 在这些点的导数 值是多少? 在这些点附近 , y f x 的导数的符号 有什么规律?
'
y
y f x
a o b
x
图1.3 10
'
类似地,函数 y f x 在点 x b的函数值 f b 比它
近的左侧 f x 0, 右侧 f x 0.
而且在点 x b附近的左侧 f ' x 0, 右侧 f ' x 0.
在点 x b附近 其他 点的函数 值 都 大 , f ' b 0 ;
1 3 例 4 求函数 f x x 4x 4 的极值. 3 1 3 解 因为f x x 4 x 4 , 所以f ' x x 2 4 3 x 2x 2. 令f ' x 0, 得x 2, 或x 2.
下面分两种情况讨论 :
y
极大值一定大于极小极 吗?
思考 导数值为 0的点一定是函数的极值 点吗?
函数 f x x 3 , 我们有 f ' x 3 x 2 .虽然 f ' 0 0, 但由 于无论 x 0 , 还是 x 0 ,恒有 f x 0 ,即函数 f x
'
导数值为0 的点不一定是函数的极 值点 .例如, 对于
解方程f x 0.当f x 0 0 时 :
' '
h
h' a 0
单调递增
O
单调递减 h' t 0
a 图1.3 8
h t 0
'
t
图1.3 9
观察图 1.3.8, 我们发现 , t a时,高台跳水运动员 距水面的高度最大 .那么 ,函数ht 在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
x 3 是单调递增的 , 所以x 0不是函数f x x 3 极值点 . 一般地,函数 y f x 在一点的导数值为 0是函数 y f x 在这点取极值的必要条 件,而非充分条件 . 一般地, 求函数y f x 的极值的方法是 :
1如果在x 0附近的左侧f ' x 0, 右侧f ' x 0, 那么 f x 0 是极大值; ' ' 2如果在x0附近的左侧f x 0,右侧f x 0, 那么 f x 0 是极小值.
我们把点a叫做函数 y f x 的极小值点, f a 叫做函数y f x 的 极小值; 点b叫做函数y f x 的极大值点, f b叫做 函数y f x 的极大值;
y
y f x
a o b
x
图1.3 10
极小值点、极大值点统 称为极值点 .极大值和 极小值统称 极值 extreme value. 极值反映了函数在某一 点附近的大小情况 , 刻画 的是函数的局部性质 .
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d e
f g
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h
i
j
x
图1.3 10
图1.3 11
以a, b两点为例 , 我们可 以发现 ,函数 y f x 在 点x a的函数值 f a 比 它在点 x a 附近其他 点的函数值都小 , f ' a 0 ; 而且在点 x a 附
2 2, 0 4 单调递增 3
1 3 因此,当x 2时, f x 有极大 f x x 4 x 4 3 28 值, 并且极大值为 f 2 ; 3 o 2 当x 2时, f x 有极小值 , 并且 x 2 4 极小值为 f 2 . 图1.3 12 3 1 3 函数 f x x 4 x 4的图象如图 1.3 12所示. 3
'
1当f x 0,即x 2,或x 2时; 2当f ' x 0,即 2 x 2时. ' 当x变化时, f x , f x 的变化情况如下表 :
2 2,2 f ' x 0 28 f x 单调递增 单调递减 3 x
,2
探究 如图1.3 10 和图1.3 11 ,函数 y f x 在 a , b , c , d, e , f , g, h, i, j 等点的函数值与这些点 附近 的函数值有什么关系 ? y f x 在这些点的导数 值是多少? 在这些点附近 , y f x 的导数的符号 有什么规律?
'
y
y f x
a o b
x
图1.3 10
'
类似地,函数 y f x 在点 x b的函数值 f b 比它
近的左侧 f x 0, 右侧 f x 0.
而且在点 x b附近的左侧 f ' x 0, 右侧 f ' x 0.
在点 x b附近 其他 点的函数 值 都 大 , f ' b 0 ;
1 3 例 4 求函数 f x x 4x 4 的极值. 3 1 3 解 因为f x x 4 x 4 , 所以f ' x x 2 4 3 x 2x 2. 令f ' x 0, 得x 2, 或x 2.
下面分两种情况讨论 :
y
极大值一定大于极小极 吗?
思考 导数值为 0的点一定是函数的极值 点吗?
函数 f x x 3 , 我们有 f ' x 3 x 2 .虽然 f ' 0 0, 但由 于无论 x 0 , 还是 x 0 ,恒有 f x 0 ,即函数 f x
'
导数值为0 的点不一定是函数的极 值点 .例如, 对于
解方程f x 0.当f x 0 0 时 :
' '