2012届高考数学考点突破测试题5

专题检测卷(四) 数列、不等式、推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为A ．25B ．50C ．100D ．不存在【解析】 由S 20＝100得a 1＋a 20＝10，∴a 7＋a 14＝10. 又a 7＞0，a 14＞0， ∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25. 【答案】 A2．(2010·九江二模)已知函数f (x )＝log 2x ，等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比q ＝2，若f (a 2a 4a 6a 8a 10)＝25，则2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 009)＝A ．21 004×2 008B ．21 004×2 009C ．21 005×2 008D ．21 005×2 009【解析】 ∵等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比q ＝2， ∴a n ＝a 12n －1.又f (x )＝log 2x ，log 2(a 2a 4a 6a 8a 10)＝25，可得a 56＝225，(a 125)5＝225，∴a 1＝1,2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 009)＝a 1a 2…a 2 009＝22 009×1 004. 【答案】 B3．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为 A ．2 B.32 C ．1D.12【解析】 ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3 ∴1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1.【答案】 C4．(2010·湖北八校第二次联考)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008【解析】 由已知S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n项和S n 的变式，S n n ＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2＋(2 008－1)·1＝－1，∴S 2 008＝－2 008.【答案】 C 5．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (xA ．f (x )＝42x ＋2x )＝2x ＋1 C ．f (x )＝1x ＋1x )＝22x ＋2【解析】 解法一 得1＝1＋1为首项，12为公差的等差数列．＝x ＋12， 解法二 由f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2且f (1)＝1. ∴f (2)＝21＋2，f (3)＝2×2323＋2＝21＋3， 又f (1)＝21＋1由此猜想f (n )＝2n ＋1，即f (x )＝2x ＋1(x ∈N *)． 【答案】 B6．(2010·北京)设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)【解析】 平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3. 【答案】 A7．(2010·黄岗质检)已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)【解析】 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2 (－q )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 【答案】 D8．(2010·福建)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于A.285B ．4 C.125D ．2【解析】 画出不等式组所表示的平面区域如下图所示，观察图形可知，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故D 关于直线3x －4y －9＝0对称的点D ′(D ′在Ω2内)的距离|DD ′|最小，D 到直线3x －4y －9＝0的距离为|3－4－9|5＝2，故|DD ′|＝4.【答案】 B9．(2010·贵阳模拟)给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ； ②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则ba ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中不正确命题的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③【解析】 ①中，a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc 时，其中可以有0，①错； ②中，若a b ＜1，则ba 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误； ③中，f (|x |)＝log 2|x |的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}，且f (|x |)＝f (|－x |)成立，故f (|x |)是偶函数，③正确．【答案】 A10．(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378【解析】 由图1可知，满足三角形数的通项a n ＝n (n ＋1)2， 由图2知，满足正方形数的通项b m ＝m 2由289＝172,1 024＝322,1 225＝352知，有三个正方形数． 而点289＝172不可能是三角形数，且1 225＝49×502，知1 225是三角形数，选C.【答案】 C11．(2010·山东潍坊二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18产品的产量应是A ．1吨BC ．3吨【解析】 设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为⎩⎨⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥1，y ≥2.所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域：作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，163时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．【答案】 A12．(2010·上海名校联考)设a ，b 是正实数，以下不等式：①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b |－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab ＞2恒成立的序号为A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】 ∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥2aba ＋b，∴①不恒成立． ∵a 、b 是正实数，∴a ＋b ＞|a －b |，即a ＞|a －b |－b ，∴②恒成立． ∵a 2＋4b 2≥4 ∵ab ＋2ab ≥2 【答案】 二、填空题(横线上)13．(2010·山东烟台模拟n 满足1a n ＋1－1a n＝n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.【解析】 由题易知{x n }为等差数列，从而可得x 5＋x 16＝20. 【答案】 2014．(2010·广东东莞二模)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.【解析】 由题意知k ＜0，且当z ＝x ＋3y 经过A 点时取最大值，由⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0， 得x ＝y ＝－k3，代入z ＝x ＋3y 得8＝－43k ，得k ＝－6. 【答案】 －615．(2010·山东经典考题)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a 定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ________．【解析】 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)1)， ∵点A 在直线mx ＋即2m ＋n ＝1，m ，n ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m 8.当且仅当n m ＝4mn ，即由2m ＋n ＝1，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________． 【解析】 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数．则前n －1行共有1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数．∴前n －1行的最后一个数是n 2－n2.故第n 行的第3个数为n 22－n2＋3(n ≥3)． 【答案】 n 22－n2＋3(n ≥3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )＜x ；(2)设x ＞a 时，f (x )的最小值为6，求a 的值．【解析】 (1)f (x )＜x ①当a ＞0②当a ＜0(2)x ＞a 时，x －a ＞0t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2a 2＋3＋2a ＝6，解之得a ＝1.时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3a ＜x ＜a； ⎭⎪⎬⎪⎫x ＞－3a 或x ＜a(2)a ＝1 18．(12分)(2010·宁夏银川评估)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1－a n＋1a n －2a 2n ＝0(n ∈N *)，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ， 求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．【解析】 (1)∵a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0，∴(a n＋1＋a n)(a n＋1－2a n)＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋1＋a n＞0，∴a n＋1－2a n＝0，即a n＋1＝2a n(n∈N*)，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3＋2是a2，a4的等差中项，∴a2＋a4＝2a3＋4，∴2a1＋8a1＝8a1＋4，∴a1＝2，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)．(2)由(1)及b n＝a n log 12a n，得b n＝－n·2n，∵S n＝b1＋b2＋…＋b n，∴S n＝－2－2·22－3·234n∴2S n＝－22－2·23－②－①得，S n＝2＋22n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2.由S n＋n·2n＋1＞50即2n＋1＞52，n≥5.∴使S n＋n·2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.【答案】(1)a n＝2n(n∈N*)(2)519．(12分)(2010·广东揭阳模拟)甲、乙两公司，2003年的销售量都为p(设2003年为第1年)，根据市场分析和预测，甲公司前n年的总销售量为p2(n2－n＋2)，乙公司第n年的销售量比前一年的销售量多p2n－1.(1)分别求出甲、乙两公司第n年的销售量的表达式；(2)根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一公司年销售量的20%，则该公司将被另一公司兼并．经计算2012年之前，不会出现兼并局面，试问2013年是否会出现兼并局面？并写出判断过程．【解析】 (1)设甲公司前n 年的总销售量为S n ，第n 年的销售量为a n ，乙公司第n 年销售量为b n ，则S n ＝p 2(n 2－n ＋2)．a 1＝S 1＝p ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p (n －1)∴a n ＝⎩⎨⎧ p (n ＝1)，p (n －1) (n ≥2).b 1＝p ，b n －b n －1＝p 2n －1(n ≥2，且n ∈N *)， ∵b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)及b n －b n －1＝p 2n －1 b n ＝p ＋12p ＋122p ＋…＋12n －1p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1p (2)2013年是第11∵a 11·20%＝105· p ＝2p 故2013【答案】 (1)a n ＝⎩⎨⎧p p)已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 3＝45，a 1＋a 4＝14.(2)通过公式b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n (n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值． 【解析】 (1)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎨⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎨⎧ a 2＝9a 3＝5. ∵公差d ＞0，∴a 2＝5，a 3＝9.∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． ∴b n ＝2n 2－n＝2n .【答案】 (1)a n ＝4n －3 (2)c ＝－12 (3)13621．(12分)(2010·江苏四校联考)数列{a n }的通项是关于x 的不等式x 2－x ＜nx (n ∈N *)的解集中整数的个数，f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数a 使不等式f (n )＞112log a (a －1)＋23对一切大于1的自然数n都成立？若存在，试确定a 的取值范围；否则，说明理由．【解析】 (1)原不等式的解集为{x |0＜x ＜n ＋1，n ∈N *}， 因此a n ＝n .(2)假设存在实数a 使f (n )＞112log a (a －1)＋23对于一切n ＞1的自然数恒成立．由于f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥2)， 则f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2. 两式相减得：f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1 ＞12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， ∴f (n ＋1)＞f (n )．∴f (n )当n ≥2且n ∈N *时是增函数，∴f (n )的最小值是f (2)＝1＋1＝7. 若假设成立，则有712＞即log a (a －1)＜－1，解得1＜a ＜1＋52. 故存在实数a 且取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52. 【答案】 (1)a n ＝n (2)存在 ⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52 22．(14分)(2010·山东青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2·3n ＋k (k ∈R ，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式和k 的值；(2)设数列{b n }满足a n ＝4(5＋k )a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较3－16T n 与4(n ＋1)b n ＋1的大小，并证明你的结论．【解析】 (1)由S n ＝2·3n ＋k (k ∈R ，n ∈N *)得：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4·3n －1.∵{a n }是等比数列，∴a 1＝S 1＝6＋k ＝4，∴k ＝－2，故a n ＝4·3n －1(n ∈N *)．(2)由a n ＝4(5＋k )a n b n ，a n ＝4·3n －1和k ＝－2得b n ＝n －14·3n －1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝14·3＋24·32＋…＋n －24·3n －2＋n －14·3n －1① 3T n ＝14＋24·3＋34·32＋…＋n －24·3n －3＋n －14·3n －2② 由②－①得，2T n ＝14＋14·3＋14·32＋∴T n ＝18＋18·3＋18·32＋…＋18·3n －3＋4(n ＋1)b n ＋1－(3－16T n )＝n (n ＋1)3n －∵n (n ＋∴当n 有n (n ∴当n 2n ＋1)， ∴当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n ＞4(n ＋1)b n ＋1.综上，当n ＞5(n ∈N *)时，有3－16T n ＜4(n ＋1)b n ＋1；当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n ＞4(n ＋1)b n ＋1.【答案】 (1)a n ＝4·3n －1(n ∈N *) k ＝－2(2)当n ＞5(n ∈N *)时，有3－16T n ＜4(n ＋1)b n ＋1；当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n ＞4(n ＋1)b n ＋1.证明略。